Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
Ecuaciones diferenciales Nombre: Daniel Valdemar Cuellar Valles Fecha:06/12/2021 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de Laplace. 1. 𝑦′′ + 3𝑦′ + 2𝑦 = 0 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 1 𝐿{𝑦´´ + 3𝑦´ + 2𝑦} = 𝑠2𝐿{𝑦} − 𝑠𝑦 (0) − 𝑦´(0) + 3(𝑠𝐿{𝑦} − 𝑦(0)) + 2𝐿{𝑦} = 0 𝑠2𝐿{𝑦} + 3𝑠𝐿{𝑦} − 𝑠 + 2𝐿{𝑦} − 4 = 0 = 𝐿{𝑦}(𝑠2 + 3𝑠 + 2) = 𝑠 + 4 = 𝐿{𝑦}(𝑠2 + 3𝑠 + 2) 𝑠2 + 3𝑠 + 2 = 𝑠 𝑠2 + 3𝑠 + 2 + 4 𝑠2 + 3𝑠 + 2 : 𝐿{𝑦} = 𝑠 + 4 𝑠2 + 3𝑠 + 2 : 𝑦 = 𝐿−1 { 𝑠 + 4 𝑠2 + 3𝑠 + 2 } = 𝐿−1 { 3 𝑠 + 1 } − 𝐿−1 { 2 𝑠 + 2 } = 𝐿−1 { 3 𝑠 + 1 } : 3𝑒−𝑡 = 𝐿−1 { 2 𝑠 + 2 } : 2𝑒−2𝑡 𝑦 = 3𝑒−𝑡 − 2𝑒−2𝑡 2. 𝑦′′ − 4𝑦 = 0 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 0 𝐿{𝑦´´ − 4𝑦} = 𝐿{𝑦´´} ∶ 𝑠2𝐿{𝑦} − 𝑠𝑦(0) − 𝑦´(0) = 𝑠2𝐿{𝑦} − 𝑠𝑦(0) − 𝑦´(0) − 4𝐿{𝑦} = 0 𝑠2𝐿{𝑦} − 𝑠 ∗ 0 − 0 − 4𝐿{𝑦} = 0 = 𝑠2𝐿{𝑦} − 4𝐿{𝑦} = 0 = 𝐿{𝑦}(𝑠2 − 4) = 0 𝐿{𝑦}(𝑠2 − 4) = 0 ∶ 𝐿{𝑦} = 0 = 𝑦 = 𝐿−1{0} 𝑦 = 0 3. 𝑦′′ − 2𝑦´ − 3𝑦 = 0 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = −1 𝐿{𝑦´´ − 2𝑦´ − 3𝑦} = 𝐿{𝑦´´} − 2𝐿{𝑦´} − 3𝐿{𝑦} = 𝐿{𝑦´´}: 𝑠2𝐿{𝑦} − 𝑠𝑦(0) − 𝑦´(0) = 𝑠2𝐿{𝑦} − 𝑠𝑦(0) − 𝑦´(0) − 2(𝑠𝐿{𝑦} − 𝑦(0)) − 3𝐿{𝑦} = 0 𝑠2𝐿{𝑦} − 2𝑠𝐿{𝑦} − 𝑠 + 3 − 3𝐿{𝑦} = 0: 𝑠2𝐿{𝑦} − 2𝑠𝐿{𝑦} + 3 − 3𝐿{𝑦} − 3 = 𝑠 − 3 = 𝐿{𝑦}(𝑠2 − 2𝑠 − 3) = 𝑠 − 3 = 𝐿{𝑦}(𝑠2 − 2𝑠 − 3) 𝑠2 − 2𝑠 − 3 = 𝑠 𝑠2 − 2𝑠 − 3 − 3 𝑠2 − 2𝑠 − 3 = 1 𝑠 + 1 𝑦 = 𝐿−1 { 1 𝑠 + 1 } = 𝑒−𝑡 𝑦 = 𝑒−𝑡 4. . 𝑦′′ − 2𝑦′ − 3𝑦 = 𝑒𝑡 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = 4 𝐿{𝑦´´ − 2𝑦´ − 3𝑦}: 𝑠2𝐿{𝑦} − 𝑠𝑦{0} − 𝑦´(0) − 2(𝑠𝐿{𝑦} − 𝑦(0)) − 3𝐿{𝑦} = 𝐿{𝑒𝑡}: 1 𝑠 − 1 𝑠2𝐿{𝑦} − 𝑠𝑦(0) − 𝑦´(0) − 2(𝑠𝐿{𝑦} − 𝑦(0)) − 3𝐿{𝑦} = 1 𝑠 − 1 : 𝑠2𝐿{𝑦} − 2𝑠𝐿{𝑦} − 2𝑠 − 3𝐿{𝑦} = 1 𝑠 − 1 : 𝐿{𝑦}(𝑠2 − 2𝑠 − 3) = 1 𝑠 − 1 + 2𝑠 = 𝐿{𝑦}(𝑠2 − 2𝑠 − 3) 𝑠2 − 2𝑠 − 3 = 1 𝑠 − 1 𝑠2 − 2𝑠 − 3 + 2𝑠 𝑠2 − 2𝑠 − 3 𝐿{𝑦} = 1 − 2𝑠(𝑠 − 1) (𝑠 − 1)(𝑠2 − 2𝑠 − 3) : 𝑦 = 𝐿−1 { 1 − 2𝑠(𝑠 − 1) (𝑠 − 1)(𝑠2 − 2𝑠 − 3) } −𝐿−1 { 1 4(𝑠 − 1) } + 𝐿−1 { 5 8(𝑠 + 1) } + 𝐿−1 { 13 8(𝑠 − 3) } 𝐿−1 { 1 4(𝑠 − 1) } : 1 4 𝑒𝑡 𝐿−1 { 5 8(𝑠 + 1) } : 5 8 𝑒−𝑡 𝐿−1 { 13 8(𝑠 − 3) } : 13 8 𝑒3𝑡 𝑦 = − 1 4 𝑒𝑡 + 5 8 𝑒−𝑡 + 13 8 𝑒3𝑡
Compartir