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INTEGRANTES: Jean Carlos De la Cruz Sullca sección C Mauricio Guzman Neyra sección A Juan Luis Llanos sección A Aldair Josehp De la Cruz sección A LA HIPÉRBOLA DEFINICIÓN: Una Hipérbola 𝐻 está formada por el conjunto de puntos 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2, tal que: |‖𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅‖ − ‖𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅‖| = 2𝑎 Donde 𝐹1 y 𝐹2 son diferentes puntos fijos llamados focos y además: ‖𝐹1𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ = 2𝑐. Veamos el siguiente gráfico: 𝐴1: 𝑦 ′ = 𝑏 𝑎 𝑥′ 𝐴2: 𝑦 ′ = − 𝑏 𝑎 𝑥′ Y X Y X Los elementos de la Hipérbola 𝑉1, 𝑉2: Vértices del eje transverso (‖𝑉1𝑉2̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ = 2𝑎) 𝐵1, 𝐵2: Vértices del eje conjugado (‖𝐵1𝐵2̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅‖ = 2𝑏) 𝐹1, 𝐹2: Focos de la Hipérbola (‖𝐹1𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ = 2𝑐) 𝐿1𝑅1̅̅ ̅̅ ̅̅ , 𝐿2𝑅2̅̅ ̅̅ ̅̅ : Lados rectos de la hipérbola (‖𝐿1𝑅1̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ = ‖𝐿2𝑅2̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ = 2𝑏2 𝑎 ) 𝐷1, 𝐷2: Directrices de la hipérbola (𝑑(𝐶, 𝐷1) = 𝑑(𝐶, 𝐷2) = 𝑎 𝑒 ) 𝐴1, 𝐴2: Asíntotas de la hipérbola (𝐴1 : 𝑦 ′ = 𝑏 𝑎 𝑥′ 𝑦 𝐴2 : 𝑦 ′ = − 𝑏 𝑎 𝑥′ ) 𝑋′: Eje focal de la hipérbola. 𝑒 = 𝑐 𝑎 : Excentricidad de la hipérbola (𝑒 > 1) RELACIÓN: Del gráfico observamos que: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 Si la relación 𝑎 = 𝑏, la hipérbola se denomina hipérbola equilátero. En este caso: 𝑐 = 𝑎√2 La excentricidad de la hipérbola equilátera es 𝑒 = 𝑐 𝑎 = 𝑎√2 𝑎 = √2 ASINTOTAS DE LA HIPÉRBOLA Las asíntotas de la hipérbola pueden hallarse fácilmente igualando la ecuación de la hipérbola. 𝐻: 𝑥′2 𝑎2 − 𝑦′ 2 𝑏2 = 1 a cero, es decir: 𝑥′2 𝑎2 − 𝑦′ 2 𝑏2 = 0 entonces: 𝑦′ = + − 𝑏 𝑎 𝑥′, de donde: 𝐴1 : 𝑦 ′ = 𝑏 𝑎 𝑥′ , 𝐴2 : 𝑦 ′ = − 𝑏 𝑎 𝑥′ ECUACIÓN VECTORIAL DE LA HIPÉRBOLA La Ecuación vectorial de la hipérbola tiene la forma: 𝐻:𝑃 = 𝐶 + 𝑥′�⃗� + 𝑦′�⃗� 𝑥′2 𝑎2 − 𝑦′ 2 𝑏2 = 1⁄ Donde: 𝑥′ = (𝑃 − 𝐶). �⃗� 𝑦′ = (𝑃 − 𝐶). �⃗� ECUACIÓN CARTESIANA DE LA HIPÉRBOLA La ecuación de una hipérbola toma su forma más simple cuando su centro está en el origen de coordenadas y su eje focal coincide con uno de los ejes coordenados. Primer caso: Consideremos que el centro de la hipérbola es 𝐶 = (0,0) y que su eje focal sea el eje X. Por definición de la hipérbola: |‖𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅‖ − ‖𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅‖| = 2𝑎 Del gráfico tenemos: |√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 − √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2| = 2𝑎 |√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 − √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2| 2 = (2𝑎)2 (√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 − √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2)2 = 4𝑎2 (√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2)2 − √(𝑥2 − 𝑐2) + 𝑦2(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦4 + (√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2)2 = 4𝑎2 𝑥2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 − 2√(𝑥2 − 𝑐2) + 𝑦2(2𝑥 + 2𝑐)2 + 𝑦4 + 𝑥2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 = 4𝑎2 2𝑥2 + 2𝑐2 + 2𝑦2 − 4𝑎2 = 2√(𝑥2 − 𝑐2) + 𝑦2(2𝑥 + 2𝑐)2 + 𝑦4 2(𝑥2 + 𝑐2 + 𝑦2 − 2𝑎2) = 2√(𝑥2 − 𝑐2) + 𝑦2(2𝑥 + 2𝑐)2 + 𝑦4 (𝑥2 + 𝑐2 + 𝑦2 − 2𝑎2)2 = (2√(𝑥2 − 𝑐2) + 𝑦2(2𝑥 + 2𝑐)2 + 𝑦4) 2 (𝑥2 + 𝑐2)2 + 2(𝑥2 + 𝑐2)(𝑦2 − 2𝑎2) + (𝑦2 − 2𝑎2)2 = 𝑥4 − 2𝑐2𝑥2 + 𝑐4 + 2𝑥2𝑦2 + 2𝑐2𝑦2 + 𝑦4 𝑥4 + 2𝑐2𝑥2 + 𝑐4 + 2𝑥2𝑦2 − 4𝑎2𝑥2 + 2𝑐2𝑦2 − 4𝑎2𝑐2 + 𝑦4 − 4𝑎2𝑦2 + 4𝑎4 = 𝑥4 − 2𝑐2𝑥2 + 𝑐4 + 2𝑥2𝑦2 − 4𝑎2𝑥2 + 2𝑐2𝑦2 + 𝑦4 4𝑐2𝑥2 − 4𝑎2𝑥2 − 4𝑎2𝑦2 = 4𝑎2𝑐2 − 4𝑎4 4(𝑐2𝑥2 − 𝑎2𝑥2 − 𝑎2𝑦2) = 4(𝑎2𝑐2 − 𝑎4) (𝑐2 − 𝑎2)𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 𝑎2(𝑐2 − 𝑎2)(𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2) 𝑏2𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2 Dividiendo toda la expresión entre 𝑎2𝑏2 tenemos: 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 (Ecuación de la hipérbola) SEGUNDO CASO: Consideremos que el centro de la hipérbola es 𝐶 = (0,0) y que su eje focal es el eje 𝑌. La ecuación de esta hipérbola es: 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 (La demostración queda como ejercicio). CASOS PARTICULARES CASO 1: Ecuación de la hipérbola con centro 𝐶 = (ℎ, 𝑘) y eje focal paralelo al eje 𝑋. La ecuación de la hipérbola en el sistema 𝑥′𝑦′ es: 𝑥′2 𝑎2 − 𝑦′2 𝑏2 = 1…………………………….(𝐼) Pero por traslación de ejes: { 𝑥 = 𝑥′ + ℎ → 𝑥′ = 𝑥 − ℎ 𝑦 = 𝑦′ + 𝑘 → 𝑦′ = 𝑦 − ℎ }………… (𝐼𝐼) Reemplazando (𝐼𝐼) en (𝐼): (𝑥 − ℎ)2 𝑎2 − (𝑦 − 𝑘)2 𝑏2 = 1 CASO 2: Ecuación de la hipérbola con centro 𝐶 = (ℎ, 𝑘) y eje focal paralelo al eje 𝑌. La ecuación de la hipérbola es: (𝑥 − ℎ)2 𝑎2 − (𝑦 − 𝑘)2 𝑏2 = 1 HIPERBOLAS CONJUGADAS Cuando las hipérbolas 𝐻1 y 𝐻2 tienen las mismas asíntotas (𝐴1 y 𝐴2) y tienen intercambiadas el eje transverso y el eje conjugado, entonces las hipérbolas se llaman conjugadas. Las ecuaciones: 𝐻1 : 𝑥′2 𝑎2 − 𝑦′ 2 𝑏2 = 1 y 𝐻2 : 𝑦′2 𝑏2 − 𝑥′ 2 𝑎2 = 1 Corresponden a un par de hipérbolas conjugadas. ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A UNA HIPÉRBOLA EN EL PUNTO 𝑃0 = (𝑋0, 𝑌0) ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 𝑥0𝑥 𝑎2 − 𝑦0𝑦 𝑏2 = 1 𝑦2 𝑎2 − 𝑥2 𝑏2 = 1 𝑦0𝑦 𝑎2 − 𝑥0𝑥 𝑏2 = 1 (𝑥 − ℎ)2 𝑎2 − (𝑦 − 𝑘)2 𝑏2 = 1 (𝑥0 − ℎ)(𝑥 − ℎ) 𝑎2 − (𝑦0 − ℎ)(𝑦 − ℎ) 𝑏2 = 1 (𝑦 − ℎ)2 𝑎2 − (𝑥 − 𝑘)2 𝑏2 = 1 (𝑦0 − ℎ)(𝑦 − ℎ) 𝑎2 − (𝑥0 − ℎ)(𝑥 − ℎ) 𝑏2 = 1 Y X PROPIEDADES PROPIEDADES 1: La recta tangente 𝐿𝑇 en cualquier punto 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0) es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores (o vectores focales) de dicho punto de la hipérbola. PROPIEDAD 2: 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1 PROPIEDAD 3: ⇒ 𝑇 es punto medio de 𝑄𝑅̅̅ ̅̅ ⇒ área ∆𝐹0𝑅𝑄 = 𝑎𝑏 𝐿𝑇: 𝑥𝑥0 𝑎2 − 𝑦𝑦0 𝑏2 = 1 PROPIEDAD 4: ⇒ d(𝐹1, 𝐴1) = d(𝐹2, 𝐴1) = b 𝐴2 𝐴1 𝐴𝑇 PROPIEDAD 5: ⇒ ‖𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ‖‖𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ‖ = 𝑏2 𝑒2 PROPIEDAD 6: → ‖(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )‖‖(𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )‖ = 𝑏2 PROPIEDAD 7: → ‖𝐿1𝑅1‖ = ‖𝐿2𝑅2‖ = 2𝑏2 𝑎 (lado recto) → 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑒 = 𝑐 𝑎 𝐴2 𝐴1 B C 𝑅2 PROPIEDAD 8: → d(𝐹1, 𝐿𝑇). d(𝐹2, 𝐿𝑇) = 𝑏 2 Problema 1 Sea H es una hipérbola con focos 𝐹1 y 𝐹2, 𝐶𝑂𝑀𝑃(1,0)𝐹1𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ > 0 y excentricidad 𝑒 = 2. La recta 𝐿: 𝑥 + 𝑦 − 6 = 0 es tangente a 𝐻 en el punto 𝑃 e intersecta el eje focal de 𝐻 en el punto 𝑀 = ( 13 2 , − 1 2 ) , |𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅| = 3√10 , |𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅||𝑀𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ | = 75. Hallar la ecuación vectorial de 𝐻. Solución: Por propiedad de hipérbola, L es bisectriz del ángulo 𝐹1𝑃𝐹2. ⇒ ‖𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅‖ ‖𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅‖ = ‖𝐹1𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ ‖𝑀𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ ⇒ ‖𝐹1𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ = 5√10 2 Por definición de hipérbola: ‖𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅‖ − ‖𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅‖ = 2𝑎 ( del gráfico ‖𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅‖ > ‖𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅‖) Además: ‖𝐹1𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ + ‖𝑀𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ = 2𝑐 Por dato: 𝑒 = ‖𝐹1𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖+‖𝑀𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ ‖𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅‖−‖𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅‖ = 2 Operando: ‖𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅‖ = 5√10 y ‖𝑀𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ = 3√10 2 Propiedad de la bisectriz interior: ‖𝑀𝑃̅̅̅̅̅‖2 = ‖𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅‖‖𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅‖ − ‖𝐹1𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖‖𝑀𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ ‖𝑀𝑃̅̅̅̅̅‖ = 15 √2 Calculando en ángulo 𝜃. ‖𝑀𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ 2 = ‖𝑀𝑃̅̅̅̅̅‖2 + ‖𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅‖ 2 − 2‖𝑀𝑃̅̅̅̅̅‖‖𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅‖𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 2 √5 Hallando 𝑚𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅: tan 𝜃 = −1 − 𝑚𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅ 1 − 𝑚𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅ = 1 2 −2 − 2𝑚𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅ = 1 − 𝑚𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅ 𝑚𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅ = −3 ⇒ 𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗//(−1,3) Se tiene: 𝑃 = 𝑀 + 15 √2 (1,−1) √2 = ( 13 2 ,− 1 2 ) + ( 15 2 ,− 15 2 ) = (14,−8) Además: 𝑃𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ‖𝑃𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖�⃗� 𝑃𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝑃𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 3√10 (−1,3) √10 𝐹2 = 𝑃 + (3,−9) = (14,−8) + (−3,9) = (11,1) Además: tan 𝜃 = 1 + 𝑚𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅ 1 − 𝑚𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅ = 1 2 𝑚𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅ = − 1 3 ⇒ �⃗� 𝑃𝐹1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (−3,1) √10 Luego: 𝑃𝐹1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = ‖𝑃𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖�⃗� 𝑃𝐹1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 𝐹1 = 𝑃 + 5√10 (−3,1) √10 𝐹1 = (14,−8) + (−15,5) 𝐹1 = (−1,−5) Entonces: 𝐹0 = 𝐹1+𝐹2 2 = (−1,−3)+(11,1) 2 = (5,−1) (centro de la hipérbola) Además: ‖𝐹1𝐹2̅̅ ̅̅ ̅̅ ‖ = 2𝑐 = 4√10 𝑐 = 2√10 𝑐2 = 40 Por la definición de la hipérbola: ‖𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅‖ − ‖𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅‖ = 2𝑎 2𝑎 = 2√10 → 𝑎 = √10 → 𝑎2 = 10 Luego: 𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2 = 40 − 10 = 30 𝐹1𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐹2 − 𝐹1 = (11,1) − (−1,−3) = (12,4) = 4(3,1) �⃗� 𝑥′ = (3,1) √10 ⇒ �⃗� ⊥ = (−1,3) √10 La ecuación de la hipérbola es: 𝐻: {𝑃 = (5,−1) + 𝑥′ (3,1) √10 + 𝑦′ (−1,3) √10 / 𝑥′ 2 10 − 𝑦′ 2 30 = 1} Problema 2 𝐻 es una hipérbola con focos 𝐹1 y 𝐹2 un punto de 𝑋 +. 𝐿 = {(3,0) + 𝑡(−1,9)} es una recta tangente a 𝐻 en el punto 𝑇.( 𝑇 ∈ 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒), 𝐿 corta a una asíntota 𝐿1 en 𝑀 y al eje conjugado en 𝑁 que es un punto del cuarto cuadrante 𝐹2𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ = (−3,9), 𝐹1𝑁̅̅ ̅̅ ̅ = √82 . Si el centro de 𝐻 es un punto de 𝑌− y su distancia al eje 𝑋 es mayor que 4. Hallar la ecuación vectorial de 𝐻. Solución: 𝐹2𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑀 − 𝐹2 = (2,9) − (5,0) = (−3,9) 𝐹2𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (−3,9) 𝑀 ∈ 𝐿 ∶ 𝑀 = (3 − 𝑡, 9𝑡) 𝐹2 = (𝑓2, 0) 𝐹2𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (−3,9) 𝐹2𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑀 − 𝐹2 = (3 − 𝑡, 9𝑡) − (𝑓2, 0) 𝐹2𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = (3 − 𝑡 − 𝑓2, 9𝑡) = (−3,9) 9𝑡 = 9 ⇒ 𝑡 = 1 3 − 1 − 𝑓2 = −3 2 − 𝑓2 = −3 ⇒ 𝑓2 = 5 ⇒ 𝐹2 = (5,0) 𝑦 𝑀 = (2,9) Por otro lado: |𝐹1𝑁⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = |𝐹2𝑁⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| Como 𝑁 ∈ 𝐿, entonces: 𝑁 = (3 − 𝛾, 9𝛾) Ahora: 𝐹2𝑁⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (−2 − 𝛾, 9𝛾) Pero: ‖𝐹2𝑁⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖ = √82 → 𝛾 = 1 ∴ 𝑁 = (−4,−9) Tenemos: 𝐹0𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑦 𝐹0𝑁⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⊥ son paralelos → (5, −𝐹) = 𝑟(9 + 𝑓, 4) De donde 𝑓 = −5 ∴ 𝐹0 = (0,−5) Además: 𝐿, 𝐹0𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑦 (1,1) son paralelos, y 𝑙𝐹 , 𝐹0𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 𝑦 (1,1) son paralelos Luego, por propiedad de 𝐻(∗): 𝑡𝑔 𝛼 = (7) − (1) 1 + (7)(1) = 3 4 = 𝑏 𝑎 ⋯(1) Pero: |𝐹0𝐹2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | = 𝑐 = 5√2 y 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 ⋯(2) (1) 𝑒𝑛 (2): ∴ 𝑎 = 4√2 y 𝑏 = 3√2 Entonces: 𝐻: {𝑃 = (0,−5) + 𝑥′ (1,1) √2 + 𝑦′ (−1,1) √2 𝑥′2 32 − 𝑦′ 2 18 = 1⁄ }
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