Álgebra Lineal Mora (131)

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Álgebra lineal
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 34. Sea A � (aij) una matriz n � n con entradas reales que satisface:
 i) aij � 0 para i � j.
 ii) ai1 	 ai2 	 · · · 	 ain 
 0 para todo i � 1, ..., n.
 Demuestre que A tiene inversa. Sugerencia: Si A no tiene inversa, el sistema AX � 0 
tiene una solución diferente de cero. Sea X � 
x1 
x2 
xn 
· · ·
 tal solución.
 Si xk es la componente de X que satisface |xk| � xi para todo i, multiplicando por 
�1 podemos suponer que xk es positivo. La hipótesis sobre las entradas de la 
matriz implica akjxj � akjxk para todo j � k. Use esto, ii) y ak1x1 	 · · · 	 akkxk 	 · · · 
	 aknxn � 0 para llegar a una contradicción.
 35. Supongamos que A es la matriz aumentada de un sistema de n ecuaciones en n 
variables. Demuestre que el sistema representado por A tiene solución única ⇔ 
el rango de A es n.