A3-ALINEAL-RAÚL ANDRÉS GUILLÉN RANGEL-IMKT-MARZO-JULIO 2021

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Raúl Andrés Guillén Rangel 20030941 
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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CELAYA 
INGENIERÍA MECATRÓNICA 
GRUPO C 
ÁLGEBRA LINEAL 
SARA MARCELA ARELLANO DÍAZ 
RAÚL ANDRÉS GUILLÉN RANGEL 
No. De Control 20030941 
SUBESPACIOS VECTORIALES 
Raúl Andrés Guillén Rangel 20030941 
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1. Determine si cada vector puede expresarse como combinación lineal de los 
vectores en 𝑆: 
𝑆 = {(2, −1, 3), (5, 0, 4)} 
a. 𝒛 = (−1, −2, 2) 
(−1, −2, 2) = 𝑐1(2, −1, 3) + 𝑐2(5, 0, 4) 
= (2𝑐1 + 5𝑐2, −𝑐1, 3𝑐1 + 4𝑐2) 
2𝑐1 + 5𝑐2 = −1
−𝑐1 + 0 = −2
3𝑐1 + 4𝑐2 = 2
 
 
𝒛 = 2𝑣1 − 𝑣2 
 
b. 𝒗 = (8, −
1
4
,
27
4
) 
(8, −
1
4
,
27
4
) = 𝑐1(2, −1, 3) + 𝑐2(5, 0, 4) 
= (2𝑐1 + 5𝑐2, −𝑐1, 3𝑐1 + 4𝑐2) 
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2𝑐1 + 5𝑐2 = 8
−𝑐1 + 0 = −
1
4
3𝑐1 + 4𝑐2 =
27
4
 
 
𝒗 =
𝑣1
4
+
3𝑣2
2
 
 
c. 𝒘 = (1, −8, 12) 
(1, −8, 12) = 𝑐1(2, −1, 3) + 𝑐2(5, 0, 4) 
= (2𝑐1 + 5𝑐2, −𝑐1, 3𝑐1 + 4𝑐2) 
2𝑐1 + 5𝑐2 = 1
−𝑐1 + 0 = −8
3𝑐1 + 4𝑐2 = 12
 
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𝒘 = 8𝑣1 − 3𝑣2 
 
d. 𝒖 = (1, 1, −1) 
(1, 1, −1) = 𝑐1(2, −1, 3) + 𝑐2(5, 0, 4) 
= (2𝑐1 + 5𝑐2, −𝑐1, 3𝑐1 + 4𝑐2) 
2𝑐1 + 5𝑐2 = 1
−𝑐1 + 0 = 1
3𝑐1 + 4𝑐2 = −1
 
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𝐸𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝒖 𝑛𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑣1 𝑦 𝑣2 
 
2. Determine cuáles de las siguientes son combinaciones lineales de 𝐴 y 𝐵: 
𝐴 = [
2 −3
4 1
] 
𝐵 = [
0 5
1 −2
] 
a. [
6 −19
10 7
] 
[
6 −19
10 7
] = 𝑐1 [
2 −3
4 1
] + 𝑐2 [
0 5
1 −2
] 
= (2𝑐1, −3𝑐1 + 5𝑐2, 4𝑐1 + 𝑐2, 𝑐1 − 2𝑐2) 
2 + 0 = 6
−3 + 5 = −19
4 +
1 +
1 =
−2 =
10
7
 
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𝑣3 = 3𝑣1 − 2𝑣2 
 
b. [
6 2
9 11
] 
[
6 2
9 11
] = 𝑐1 [
2 −3
4 1
] + 𝑐2 [
0 5
1 −2
] 
= (2𝑐1, −3𝑐1 + 5𝑐2, 4𝑐1 + 𝑐2, 𝑐1 − 2𝑐2) 
2 + 0 = 6
−3 + 5 = 2
4 +
1 +
1 =
−2 =
9
11
 
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𝐸𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑣3 𝑛𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑣1 𝑦 𝑣2 
 
3. Determine si el conjunto 𝑆 genera a 𝑅2 . En caso negativo, proporcione una 
descripción geométrica del subespacio generado por 𝑆: 
a. 𝑆 = {(2, 1), (−1, 2)} 
(𝑢1, 𝑢2) = 𝑐1(2,1) + 𝑐2(−1, 2) 
= (2𝑐1 − 𝑐2, 𝑐1 + 2𝑐2) 
2 + −1 = 𝑢1
1 + 2 = 𝑢2
 
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𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 0, 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑅2 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 
𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑆 
 
b. 𝑆 = {(1, .1), (2, 1)} 
(𝑢1, 𝑢2) = 𝑐1(1,1) + 𝑐2(2, 1) 
= (𝑐1 + 2𝑐2, 𝑐1 + 𝑐2) 
1 + 2 = 𝑢1
1 + 1 = 𝑢2
 
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𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 0, 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑅2 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 
𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑆 
 
4. Determine si el conjunto 𝑆 genera a 𝑅3 . En caso negativo, proporcione una 
descripción geométrica del subespacio generado por 𝑆: 
a. 𝑆 = {(4, 7, 3), (−1, 2, 6), (2, −3, 5)} 
(𝑢1, 𝑢2, 𝑢3) = 𝑐1(4,7, 3) + 𝑐2(−1, 2, 6) + 𝑐3(2, −3, 5) 
= (4𝑐1 − 𝑐2 + 2𝑐3, 7𝑐1 + 2𝑐2 − 3𝑐3, 3𝑐1 + 6𝑐2 + 5𝑐3) 
4 − 1 + 2 = 𝑢1
7 + 2 − 3 = 𝑢2
3 + 6 + 5 = 𝑢3
 
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𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 0, 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑦𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑅3 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 
𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑆 
 
5. Determine si el conjunto 𝑆 es linealmente dependiente o independiente: 
a. 𝑆 = {(−2, 2), (3, 5)} 
𝑐1𝑣1 + 𝑐2𝑣2 = 0 
𝑐1(−2, 2) + 𝑐2(3, 5) = (0, 0) 
(−2𝑐1 + 3𝑐2, 2𝑐1 + 5𝑐2) = 
−2 + 3 = 0
2 + 5 = 0
 
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𝑐1 = 𝑐2 = 0 
𝑆 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
b. 𝑆 = {(−4, −3, 4), (1, −2, 3), (6, 0, 0)} 
𝑐1𝑣1 + 𝑐2𝑣2 + 𝑐3𝑣3 = 0 
𝑐1(4, −3, 4) + 𝑐2(1, −2, 3) + 𝑐3(6, 0, 0) = (0, 0, 0) 
(4𝑐1 + 𝑐2 + 6𝑐3, −3𝑐1 − 2𝑐2, 4𝑐1 + 3𝑐2) = 
4 + 1 + 6 = 0
−3 − 2 + 0 = 0
4 + 3 + 0 = 0
 
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𝑐1 = 𝑐2 = 𝑐3 = 0 
𝑆 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
c. 𝑆 = {(1, 0, 0), (0, 4, 0), (0, 0, −6), (1, 5, −3)} 
𝑐1𝑣1 + 𝑐2𝑣2 + 𝑐3𝑣3 + 𝑐4𝑣4 = 0 
𝑐1(1, 0, 0) + 𝑐2(0, 4, 0) + 𝑐3(0, 0, −6) + 𝑐4(1, 5, −3) = (0, 0, 0) 
(𝑐1 + 𝑐4, 4𝑐2 + 5𝑐4, −6𝑐3 − 3𝑐4) = 
1 + 0 + 0 + 1 = 0
0 + 4 + 0 + 5 = 0
0 + 0 + −6 + −3 = 0
 
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𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 
𝑆 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
6. Determine cuáles de los siguientes conjuntos en 𝑃2 son linealmente 
independientes: 
a. 𝑆 = {2 − 𝑥, 2𝑥 − 𝑥2, 6 − 5𝑥 + 𝑥2} 
𝑐1(2 − 𝑥) + 𝑐2(2𝑥 − 𝑥
2) + 𝑐3(6 − 5𝑥 + 𝑥
2) = 0 + 0𝑥 + 0𝑥2 
(𝑐1 + 6𝑐3, −𝑐1 + 2𝑐2 − 5𝑐3, −𝑐2 + 𝑐3) 
1 + 0 + 6 = 0
−1 +2 + −5 = 0
0 + −1 + 1 = 0
 
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𝑐1 = 𝑐2 = 𝑐3 = 0 
𝑆 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
b. 𝑆 = {𝑥2 + 3𝑥 + 1, 2𝑥2 + 𝑥 − 1, 4𝑥} 
𝑐1(𝑥
2 + 3𝑥 + 1) + 𝑐2(2𝑥
2 + 𝑥 − 1) + 𝑐3(4𝑥) = 0𝑥
2 + 0𝑥 + 0 
(𝑐1 + 2𝑐2, 3𝑐1 + 𝑐2 + 4𝑐3, 𝑐1 − 𝑐2) 
1 + 2 + 0 = 0
3 + 1 + 4 = 0
1 + −1 + 0 = 0
 
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𝑐1 = 𝑐2 = 𝑐3 = 0 
𝑆 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
7. Determine si las siguientes matrices forman un conjunto linealmente 
independiente: 
a. 𝐴 = [
1 0
0 −2
] , 𝐵 = [
0 1
1 0
] , 𝐶 = [
−2 1
1 4
] 
𝑐1𝑣1 + 𝑐2𝑣2 + 𝑐3𝑣3 = [
0 0
0 0
] 
𝑐1 [
1 0
0 −2
] + 𝑐2 [
0 1
1 0
] + 𝑐3 [
−2 1
1 4
] = 
(𝑐1 − 2𝑐3, 𝑐2 + 𝑐3, 𝑐2 + 𝑐3, −2𝑐1 + 4𝑐3) = 
1 + 0 + −2 = 0
0 + 1 + 1 = 0
0 +
−2 +
1 +
0 +
1 = 0
4 = 0
 
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𝐸𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 
𝑆 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
b. 𝐴 = [
1 −1
4 5
] , 𝐵 = [
4 3
−2 3
] , 𝐶 = [
1 −8
22 23
] 
𝑐1𝑣1 + 𝑐2𝑣2 + 𝑐3𝑣3 = [
0 0
0 0
] 
𝑐1 [
1 −1
4 5
] + 𝑐2 [
4 3
−2 3
] + 𝑐3 [
1 −8
22 23
] = 
(𝑐1 + 4𝑐2 + 𝑐3, −𝑐1 + 3𝑐2 − 8𝑐3, 4𝑐1 − 2𝑐2 + 22𝑐3, 5𝑐1 + 3𝑐2 + 23𝑐3) = 
1 + 4 + 1= 0
−1 + 3 + 8 = 0
4 −
5 +
2 +
3 +
22 = 0
23 = 0
 
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𝑐1 = 𝑐2 = 𝑐3 = 0 
𝑆 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒