14 4 Planos Tangentes y Aproximaciones lineales-Unidad 3

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CÁLCULO 2 - 2021
LICENCIATURA EN CIENCIAS DE LA ATMÓSFERA Y 
METEOROLOGIA APLICADA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 
AMBIENTALES Y GESTION DEL AGUA
DOCENTES: Prof. Emilce Barrozo
Lic. Juan Ignacio López Ortiz
PLANOS TANGENTES Y 
APROXIMACIONES LINEALES
Material realizado con apuntes extraídos del libro “Cálculo de varias 
variables trascendentes tempranas (7ª ed.)” Autor: Stewart, J. (2012) 
Sección 14.4
Recordemos de Cálculo 1 que si tenemos una función f(x) derivable en un punto (a,f(a)) podemos hallar la 
recta tangente a la curva en ese punto mediante la ecuación
¿Qué significa esto?
Que en los alrededores del punto x=a la función se 
asemeja a una recta, es decir que puedo aproximar el 
valor de la función en un punto cercano a a, usando la 
recta
Recta Tangente a una curva
Planos tangentes a superficies
Recordemos de Álgebra, la ecuación de un plano que pasa por el punto
es de la forma 
operando
Esta es la ecuación del plano tangente 
a la gráfica de f(x,y) en el punto (1,1,3)
Aproximaciones Lineales
El plano tangente nos da una función lineal en dos variables
En puntos cercanos a (1,1) la superficie y el plano se aproximan bastante
Linealización de f en (1,1)
Hablamos de plano tangente, suponiendo que las derivadas parciales existen y son continuas. Si esto no sucede, 
la linealización ya no nos sirve
Funciones diferenciables de dos variables
Esto me está diciendo que una 
función es diferenciable si la 
aproximación lineal es una 
buena aproximación cuando 
tomamos (x,y) cerca de (a,b)
En otras palabras, el plano 
tangente se aproxima mucho a 
la gráfica de f, cerca del punto 
de tangencia
En general, trabajar con la definición de función diferenciable no es fácil. 
Recurriremos al siguiente Teorema
Diferenciales