GUIA MAAP -CALCULO II (1)

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CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
 
CÁLCULO II 
 
Edición: 1 Año: 2019 
 
 
 
 
 
 
Modalidad Presencial 
 
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CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
 
Misión de UTEPSA: 
 
“Lograr que cada estudiante desarrolle una 
experiencia académica de calidad, excelencia, 
con valores, responsabilidad social, innovación, 
competitividad, y habilidades emprendedoras 
durante su formación integral para satisfacer las 
demandas de un mercado globalizado.” 
 
Esto se sintetiza en: 
 
“Educar para emprender y servir” 
 
 
Visión de UTEPSA: 
 
 “Ser una universidad referente y reconocida por 
su calidad académica, investigación y 
compromiso con la comunidad, en la formación 
de profesionales íntegros, emprendedores e 
innovadores, según parámetros y normativas 
nacionales e internacionales”.” 
 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 
 
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CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
¿Qué es la Guía MAAP? 
 
 
Es un documento que marca los objetivos de cada asignatura y que a través de actividades y otros contenidos, 
orienta los esfuerzos del estudiante para garantizar un exitoso desempeño y el máximo aprovechamiento. 
 
Esta herramienta, otorga independencia en el aprendizaje mediante trabajos, lecturas, casos, y otras 
actividades que son monitoreadas por el profesor permitiendo a los participantes de la clase desarrollar 
diferentes competencias. 
 
 
I. Recordatorios y Recomendaciones 
 
 
 
 
Comportamiento en clases 
 
Los estudiantes y los docentes, bajo ninguna 
circunstancia comen o beben dentro 
el aula y tampoco organizan festejos 
u otro tipo de agasajos en estos espacios, 
para este fin está el Patio de Comidas. 
 
Toda la comunidad estudiantil, debe respetar los 
espacios identificados para fumadores. 
 
También se debe evitar la desconcentración o 
interrupciones molestas por el uso indebido de 
equipos electrónicos como teléfonos y tablets. 
 
Cualquier falta de respeto a los compañeros, al 
docente, al personal de apoyo o al personal 
administrativo, será sancionada de acuerdo al 
Reglamento de la Universidad. 
 
 
 
 
 
 
A su servicio 
 
Aunque las normas generales están claramente 
establecidas, si a usted se le presenta una situación 
particular o si tiene algún problema en el aula, o en 
otra instancia de la Universidad, el Gabinete 
Psicopedagógico y su Jefatura de Carrera, están para 
ayudarlo. 
 
 
Asistencia y puntualidad 
 
Su asistencia es importante en TODAS las clases. 
Por si surgiera un caso de fuerza mayor, en el 
Reglamento de la Universidad se contemplan tres 
faltas por módulo (Art. 13 Inc. b y c del 
Reglamento Estudiantil UPTESA). Si usted 
sobrepasa esta cantidad de faltas REPROBARÁ LA 
ASIGNATURA. 
 
Se considera “asistencia” estar al inicio, durante 
y al final de la clase. Si llega más de 10 minutos 
tarde o si se retira de la clase antes de que esta 
termine, no se considera que haya asistido a 
clases. Tenga especial cuidado con la asistencia y 
la puntualidad los días de evaluación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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II. Orientaciones para el aprendizaje 
La Guía MAAP, contiene diferentes actividades de aprendizaje que han sido clasificadas y marcadas con algunos 
símbolos. 
 
La tabla a continuación, le permitirá comprender y familiarizarse con cada una de estas actividades: 
 
 
 
Símbolo Actividad Descripción 
 
 
Preguntas 
A través de cuestionarios, se repasan las bases 
teóricas generales para una mejor 
comprensión de los temas. 
 
Prácticos y/o 
Laboratorios 
 
 
Los prácticos permiten una experiencia activa; 
a través, de la puesta en práctica de lo 
aprendido las cuales, según la carrera, pueden 
desarrollarse en laboratorios. 
 
Casos de Estudio 
y ABP 
Son planteamientos de situaciones reales, en 
los que se aplica los conocimientos adquiridos 
de manera analítica y propositiva. 
 
Investigación 
Las actividades de investigación, generan 
nuevos conocimientos y aportes a lo 
aprendido. 
 
Innovación y/o 
Emprendimiento 
A través de esta actividad, se agrega una 
novedad a lo aprendido, con el fin de 
desarrollar habilidades emprendedoras. 
 
Aplicación 
Al final de cada unidad y después de haber 
concluido con todas las actividades, se debe 
indicar, cómo los nuevos conocimientos se 
pueden aplicar y utilizar a la vida profesional y 
a las actividades cotidianas. 
 
Ética 
Responsabilidad 
Social 
Formación 
Internacional 
Idioma Ingles 
Serán actividades transversales que pueden ser 
definidas en cualquiera de las anteriores 
actividades. 
 
 
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CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
III. Datos generales 
 
ASIGNATURA: CÁLCULO II 
SIGLA: BMS-302 
PRERREQUISITO: BMS-301 CÁLCULO I 
 
APORTE DE LA ASIGNATURA AL PERFIL PROFESIONAL: 
El estudiante podrá conocer y aplicar los conceptos de Series numéricas y funcionales, cálculo 
diferencial en n variable e integrales múltiples. El énfasis en el desarrollo de la materia está en las 
interpretaciones geométricas, conducentes a que el estudiante adquiera habilidad para plantear y 
resolver problemas de aplicación, para utilizarlo como herramienta en cursos de especialidad y en su 
desarrollo profesional. 
 
OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA: 
 
Al finalizar el curso el estudiante será capaz de: 
1. Resuelve problemas del campo vectorial espacial. 
2. Resolver problemas específicos de aplicación a la geometría analítica. 
3. Realizar el cálculo de integrales dobles y triples. 
4. Realizar el cálculo de integrales en línea. 
 
ESTRUCTURA TEMÁTICA 
 
Unidad 1 
Tema: Campos vectoriales 
 
Objetivos de aprendizaje: 
 Definir el concepto de un vector 
 Resolver ejercicios aplicando el método gráfico y el método analítico. 
 Resolver ejercicios aplicando el producto escalar, vectorial y triple. 
Contenidos 
1. Modulo, dirección y sentido 
2. Método analítico y gráfico de sumas y restas de vectores 
3. Método del paralelogramo 
4. Distancia entre dos puntos 
5. Producto escalar 
6. Producto vectorial 
7. Producto triple 
Unidad 2 
Tema: Geometría analítica del espacio 
 
Objetivos de aprendizaje: 
 Definir el concepto de superficie. 
 Identificar las superficies planteadas matemáticamente. 
 Graficar las superficies planteadas matemáticamente. 
 Resolver problemas específicos de aplicación de geometría analítica 
 
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Contenido: 
1. Coordenadas rectangulares y vectores tridimensionales. 
2. Producto vectorial de dos vectores. 
3. Rectas y planos en el espacio. 
4. Curvas y movimiento en el espacio. 
5. Cilindros y superficies cuadráticas. 
6. Coordenadas cilíndricas y esféricas. 
 
Unidad 3 
Tema: Derivadas parciales 
 
Objetivos de aprendizaje: 
 Aplicar la definición para hallar la primera derivada. 
 Aplicarlas reglas de derivación y hallar las derivadas de las funciones de varias 
variables propuestas. 
 Calcular los puntos máximos y/o mínimos de las funciones de varias variables propuestas. 
 Aplicar los conceptos básicos de derivadas, resolver los problemas de aplicación relacionados 
a los cálculos tecnológicos e industriales. 
Contenido: 
1. Funciones de varias variables. 
2. Límite y continuidad. 
3. Máximo y mínimo de funciones de varias variables. 
4. Derivadas direccionales y vector gradiente. 
5. Multiplicadores de Lagrange y problemas de máximo y mínimo con restricciones. 
6. Criterio de la segunda derivada, para funciones de dos variables. 
 
Unidad 4 
Tema: Integrales dobles 
 
Objetivos de aprendizaje: 
 Realizar el cálculo de integrales dobles. 
 Realizarel grafico de regiones y aplicar en ellas integrales dobles para el cálculo de áreas o 
volúmenes. 
Contenido: 
1. Integrales dobles sobre regiones más generales. 
2. Área y volumen mediante integración doble. 
 
Unidad 5 
Tema: Integrales dobles en coordenadas polares 
Objetivos de aprendizaje: 
 Realizar el cálculo de integrales dobles. 
 Realizar el grafico de regiones y aplicar en ellas integrales dobles para el cálculo de áreas o 
volúmenes. 
Contenido: 
1. Aplicaciones de las integrales dobles. 
 
 
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Unidad 6 
Tema: Integrales triples 
 
Objetivos de aprendizaje: 
 Realizar el cálculo de integrales triples. 
 Realizar el grafico de regiones y aplicar en ellas integrales triples para el cálculo de áreas o 
volúmenes. 
Contenido: 
1. Integración en coordenadas cilíndricas y esféricas. 
2. Área de una superficie. 
3. Cambio de variables en integración múltiple. 
 
Unidad 7 
Tema: Integrales en Línea 
 
Objetivos de aprendizaje: 
 Definir los conceptos referentes a cantidad escalar y vectorial. 
 Realizar operaciones de suma, resta, multiplicación escalar, vectorial y triple con vectores. 
 Resolver problemas específicos de aplicación de las operaciones estudiadas. 
Contenido: 
1. Campos vectoriales. 
2. Integrales de línea. 
3. Independencia de la trayectoria. 
4. Teorema de Green. 
5. Integrales de superficie. 
6. Teorema de la divergencia. 
7. Teorema de Stokes. 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 
 YANQUI MURRILLO. “El cálculo 2 con Geometría analítica” 
 CHUNGARA CASTRO VICTORN “Calculo II” 
 CHUMACERO MARIO DANTE “Calculo II” 
 LOUIS LEITHOLD. “El cálculo 2 con Geometría analítica” 
COMPLEMENTARIA 
 
 HOWARD ANTON - BIVENS IRL-DAVIS STEPHEN, 
(2009). Cálculo Multivariable. Mexico: Limusa S.A. 
 JAMES STEWART, (2008). Cálculo de varias variables: trascendentes 
tempranas. México: Cengage learning. 
 LARSON, R; HOSTETLER,R.(2006). Cálculo y Geometría Analítica. Colombia: Mac-Graw Hill. 
 William. (2013). Solucionario de Calculo diferencial e integral. 2017, de El rincón de los libros 
book.blogspot.com 
 
 
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PÁGINAS WEB 
Se sugiere visitar las siguientes páginas: 
 
- http://www.utepsa.edu/v2 
- http:// manfredohurtado.jimdo.com 
- Solucionario: http://elrincondeloslibrosebook.blogspot.com/2013/12/calculo-
diferencial-e-integral-william.html 
- Libros PDF: http://www.librospdf.net/demidovich,-calculo-diferencial-e-integral-
matematicas/1/ 
- Videos: http://julioprofe.net/courses_group/calculo/ 
 
IV. Sistema de Evaluación 
 
A continuación, se presenta el sistema de evaluación sugerido para la asignatura: 
NÚM. 
TIPO DE 
EVALUACIÓN 
UNIDADES A EVALUAR PUNTOS SOBRE 100 
1 PRUEBA PARCIAL Unidades 1, 2, 3 y 4 15 
2 PRUEBA PARCIAL Unidades 5, 6 y 7 15 
3 
TRABAJOS 
PRÁCTICOS 
(PROBLEMAS ABP-
EJERCICIOS) 
Ejercicios propuestos en 
la guía MAAP, Problemas 
ABP. Realizados en clases 
y en su domicilio. 
20 
4 EVALUACIÓN FINAL 
Todos los temas de 
forma integral desde 
la Unidades 1 a 7 
 50 
 
Descripción de las características generales de las evaluaciones: 
 
PRUEBA 
PARCIAL 1 
La primera evaluación está referida a ejercicios prácticos y problemas 
ABP de Funciones y Límites. 
PRUEBA 
PARCIAL 2 
La segunda evaluación está referida a ejercicios y problemas ABP de 
aplicación de las Derivadas. 
TRABAJOS 
PRÁCTICOS 
Esta evaluación corresponde a las actividades de aprendizaje como el 
Trabajo Final de aplicación de Calculo I, que los estudiantes realizarán 
durante la materia, ya sea en forma individual o grupal. 
EVALUACIÓN 
FINAL 
La evaluación final tiene 2 opciones: La primera opción está dada por el 
50 puntos directa a través de ejercicios y problemas ABP. Del total del 
avance. 
La segunda opción está dada por 40 puntos en una evaluación final 
escrita, y los 10 puntos restantes se evaluara a través de un trabajo 
final de aplicación referente al contenido de la materia. 
 
 
file:///D:/GUSTAVO/Guias%20MAAP%20Calidad%20academica/http
file:///D:/GUSTAVO/Guias%20MAAP%20Calidad%20academica/http
http://elrincondeloslibrosebook.blogspot.com/2013/12/calculo-diferencial-e-integral-william.html
http://elrincondeloslibrosebook.blogspot.com/2013/12/calculo-diferencial-e-integral-william.html
http://www.librospdf.net/demidovich,-calculo-diferencial-e-integral-matematicas/1/
http://www.librospdf.net/demidovich,-calculo-diferencial-e-integral-matematicas/1/
http://julioprofe.net/courses_group/calculo/
 
 
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V. Guía para el Trabajo Final 
INSTRUCCIONES 
Se indica los pasos y procedimientos a seguir para la realización del trabajo final. 
El trabajo deberá presentarse impreso con las siguientes características: 
 Hoja de papel bond tamaño carta. 
 Margen superior de 3 cm. Inferior de 3 cm. derecho de 4 cm. e inferior 2.5 cm. 
 Letra Arial 12, Interlineado de 1,5. 
OBJETIVOS DEL TRABAJO FINAL: 
Llevar a la práctica los conocimientos adquiridos en la materia de Calculo II, referente a la 
aplicación en la práctica de uno de los temas del contenido de la materia (Campos vectoriales, 
Graficas cuadráticas, Derivadas Parciales, cálculo de área y /o volumen utilizando Integrales doble 
o triples) en un caso real. 
 
ESTRUCTURA DEL TRABAJO FINAL: 
i) CARÁTULA 
 Nombre de la Universidad 
 Nombre de la Facultad a la que pertenece 
 Nombre de la Carrera 
 Nombre de la Materia 
 Nombre del Docente 
 Nombre de los Integrantes del grupo 
 Fecha y año 
ii) CONTENIDO INTERNO 
ÍNDICE 
I. INTRODUCCIÓN 
 Antecedentes. Breve descripción de la organización objeto de estudio. 
II. OBJETIVOS 
2.1. Objetivo general 
 Que se quiere lograr o donde se quiere llegar con la realización del trabajo 
2.2. Objetivos específicos 
 Pasos a seguir para llegar al objetivo general 
III. FUNDAMENTOS TEORICOS 
 Realizar mínimo 15 conceptos teóricos de las unidades de donde se realiza el trabajo. 
IV. TABULACION DE DATOS 
4.1. Formulas, Cálculos 
4.2. Gráficos e interpretaciones 
V. CONCLUSIONES 
 Conclusión general del grupo sobre resultados obtenidos en el trabajo. 
 
 
 
 
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VI. Objetivos y Actividades de cada Unidad 
Unidad No 1 
CAMPOS VECTORIALES 
 
Objetivos de aprendizaje: 
 Conocer y aplicar conceptos de campos vectoriales 
 Definir los conceptos referentes a cantidad escalar y vectores 
 
Definir los conceptos referentes a cantidad escalar y vectores. 
Un vector tiene: una dirección un sentido y un módulo. 
 Magnitud vectorial 
 Magnitud escalares 
Gráfico de un vector 
La longitud es la magnitud (m.e.d.) 
 
 
 La inclinación es la dirección 
 La flecha indica el destino 
 
 
Sistema de coordenadas en el espacio vectores en el espacio 
Sistema de coordenadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema de coordenadas en el espacio: Un sistema de coordenadas en el espacio es la 
intersección de tres ejes coordenados: eje de las X , eje de las Y y el eje de las Z. Estos ejes 
determinan los tres planos coordenados. 
 
 
 
 
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Puntos de espacio 
 
 
𝑃1 = (𝑎1; 𝑎2; 𝑎3) 
𝑃1 = (1; 2; 3) 
 
 
 
Representación de Vectores: representación analítica de un vector 
 
𝐴 = 𝑎𝑖 + 𝑎𝑗 + 𝑎𝑘 𝑜 𝐴 = (𝑎𝑥; 𝑎𝑦; 𝑎𝑧) 
Representación gráfica del vector 
 
𝐴 = (2,6,4) 
Modulo del Vector 
|𝐴| = √𝑎𝑖 + 𝑎𝑗 + 𝑎𝑘 
Hallar el modulo del vector 𝐴 
 
[𝐴] = √22 + 62 + 32 = ±7 
Dirección del vector; El mismo que está dado por los cosenos directores 
Cosenos directores 
 
cos 𝛼 =
𝑎𝑥
|𝐴|
 
cos 𝛽 =
𝑎𝑦
|𝐴|
 
cos 𝛾 =
𝑎𝑧
|𝐴|
 
 
 
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Encontrar las direcciones del vector 𝐴 
 
cos 𝛼 =
2
7
→ 𝛼 = cos−1
2
7
= 73° 23′54,42" 
cos 𝛽 =
6
7
→ 𝛽 = cos−1
6
7
= 31° 0′9,79" 
cos 𝜑 =
3
7
→ 𝜑 = cos−1
3
7
= 64° 37′23,04" 
 
Sentido 
El sentido del vector está representado por donde indica la orientación de la flecha del 
mismo. 
 
Vector unitario 
 
𝑖 = 𝑖̂ = (1,0,0) 𝑗 = 𝑗̂ = (0,1,0) 𝑘 = �̂� = (0,0,1) 
𝐴�̂� =
𝐴
[𝐴]⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
 
Hallar el vector unitario del vector 𝐴 
 
𝐴�̂�
̂ =
(2,6,3)
± 7
= {
𝐴 =
(2,6,3)
7
=
2
7
𝑖̂ +
6
7
𝑗̂ +
3
7
�̂�
𝐴 =
(2,6,3)
−7
= −
2
7
𝑖̂ −
6
7
𝑗̂ −
3
7
�̂�
 
Prueba 
|𝐴�̂�| = 
2
7
𝑖̂ +
6
7
𝑗̂ +
3
7
�̂� = √(
2
7
)
2
+ (
6
7
)
2
+ (
3
7
)
2
 
|𝐴�̂�| = √
4
49
+
36
49
+
9
49
 
|𝐴�̂�| = √
49
49
= 1 
Algebra de Vectores 
Suma y resta: Se puede realizar por el método analítico o gráfico. 
Método analítico 
 
𝐴 + �⃗⃗� = (𝑎1 + 𝑏1; 𝑎2 + 𝑏2; 𝑎3 + 𝑏3) 
𝐴 − �⃗⃗� = (𝑎1 − 𝑏1; 𝑎2 − 𝑏2; 𝑎3 − 𝑏3) 
 
 
13 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
Método gráfico: A través del Método del paralelogramo 
Hallar gráficamente la suma de los vectores 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ (-5, 2, 3) y 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ (2, 3, -1) 
 
Método analítico: 
Hallar por el método analítico la suma de los vectores 𝐴 ⃗⃗⃗ ⃗ (-5, 2, 3) y 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ (2, 3, -1) 
 
Opción I: 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ + 𝐵 ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (-5, 2, 3) + (2, 3, -1) = (-3, 5, 2) 
Opción II: 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ + 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = (-5i +2i+3k) + (2i +3i-1k)= -3i+5j+2k 
 
Distancia entre puntos: 
 
𝑝1 = 𝑥1; 𝑦1; 𝑧1 
𝑝2 = 𝑥2; 𝑦2; 𝑧2 
 
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)
2 + (𝑦2 − 𝑦1)
2 + (𝑧2 − 𝑧1)
2 
 
Calcular la distancia entre dos puntos 
 
𝑝1 = −5𝑖 + 2𝑗 + 3𝑘 
𝑝2 = 2𝑖 + 3𝑗 − 1𝑘 
 
𝑝2 − 𝑝1 = (−7,−1, 4) 
 
𝑑 = √(−7)2 + (−1)2 + (4)2 
𝑑 = √49 + 1 + 16 
 
 
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CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
𝑑 = √66 = 8.1 
 
Producto Escalar: Da como resultado una cantidad escalar 
 
𝐴 ∗ �⃗⃗� = |𝐴| . |�⃗⃗�| cos 𝐴𝐵 
𝐴 ∗ �⃗⃗� = (𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3) 
Ejemplo: Hallar el producto escalar 
 𝐴 = (3,− 4, 6) �⃗⃗� = (−6 , 0,−9) 
𝐴 ∗ �⃗⃗� = −18 + 0 − 54 = −72 
Hallar el ángulo entre los vectores 
 
𝐴 = −5𝑖 − 2𝑗 + 3𝑘 y 𝐵 = 2𝑖 + 3𝑗 − 𝐾 
 
𝐴 ∗ �⃗⃗� = (𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3) = |𝐴|. |�⃗⃗�| cos 𝐴𝐵 
 
cos ∝ =
𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3
|𝐴|. |�⃗⃗�|
 
 
∝= cos−1 [
−10 − 6 − 3
√25 + 4 + 9 . √4 + 9 + 1
] 
 
= cos−1 [
−19
√38 . √14
] 
 
∝= 145°27′44,7 
 
Producto Vectorial: Da como resultado un tercer vector perpendicular a los anteriores 
 
𝐴𝑥�⃗⃗� = |𝐴|. |�⃗⃗�|. sin ∅ 
 
 
𝐴𝑥𝐵 = |
 𝑖 𝑗 𝑘
𝑎𝑥𝑎𝑦𝑎𝑧
𝑏𝑥𝑏𝑦𝑏𝑧
| 
 
 
 
 
 
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CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
Hallar el producto vectorial entre 
 
 𝐴 = −5𝑖 − 2𝑗 + 3𝑘 𝐵 = 2𝑖 + 3𝑗 − 𝑘 
 
𝐴𝑥�⃗⃗� = |
 𝑖 𝑗 𝑘
−5 − 2 3
 2 3 − 1
| = 𝑖 |
−2 3
 3 − 1
| − 𝑗 |
−5 3
 2 − 1
| + 𝑘 |
−5 − 2
 2 3
| 
 
𝐴𝑥�⃗⃗� = (2 − 9)𝑖 − (5 − 6)𝑗 + (−15 + 4)𝑘 = −7𝑖 + 𝑗 − 11𝑘) 
 
Calculo del área del paralelogramo: Para hallar el área se calcula el producto vectorial entre las 
vectores dadas y luego el modulo del vector resultante 
 
Hallar el área del paralelogramo de los vectores 
 
𝐴𝑥�⃗⃗� = −7𝑖 − 𝑗 − 11𝑘 
 
|𝐴𝑥�⃗⃗�| = √49 + 1 + 121 = √171 = 13.08 𝑚2 
 
Para hallar el área de uno de los triángulos que forma el 
paralelogramo de los vectores se tiene: 
 
𝐴 ∗ �⃗⃗� = −7𝑖 − 𝑗 − 11𝑘 
 
𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 
|�⃗�𝑥�⃗⃗�|
2
=
√171
2
=
13.08 𝑚2
2
= 6.54𝑚2 
 
 
 
 
Producto triple 
 
Deben tener el mismo punto de origen el resultado del producto da 
como resultado o 0 indica que los vectores son coplanarios, es decir, 
que los 3 esta, en un mismo plano. 
 
 
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CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
Hallar el producto triple de 
 
𝐴 = −5𝑖 − 2𝑗 + 3𝑘 𝐵 = 2𝑖 + 3𝑗 − 𝑘 𝐶 = 4𝑖 − 2𝑗 + 3𝑘 
 
|𝐴 ∗ �⃗⃗� ∗ 𝐶| = |
−5 − 2 3
 2 3 − 1
 4 − 2 3
| = −5 |
 3 − 1
−2 3
| − (−2) |
2 − 1
4 3
| + 3 |
2 3
4 − 2
| 
 
|𝐴 ∗ �⃗⃗� ∗ 𝐶| = −5 (9 − 2 ) + 2(6 + 4) + 3 (−4 − 12) = −35 + 20 − 48 = −63 
 
Verificar analíticamente si los vectores A,B y C son coplanarios 
 
 𝐴(3 , 2, 1) �⃗⃗�(5 , −3,−4) 𝐶(8 , −1,−3) 
 
|𝐴 ∗ �⃗⃗� ∗ 𝐶| = |
3 2 1
 5 − 3 − 4
 8 − 2 − 3
| = 3 |
−3 − 4
−1 − 3
| − 2 |
5 − 4
8 − 3
| + 1 |
5 − 3
8 − 1
| 
 
|𝐴 ∗ �⃗⃗� ∗ 𝐶| = 3(9 − 4) − 2(−15 + 32) + 1 (−5 + 24) = 15 − 34 + 29 = 0 
 
 Si son, entonces todos están en el mismo plano. 
 
PRÁCTICO Nº 1 
 
 
1. Dado el vector �⃗⃗⃗� = 2i - 2j + k 
a) Calcular el modulo la dirección, el sentido y graficar el vector. 
2. Dados los vectores 
�⃗⃗⃗� = 3𝑖 − 5𝑗 + 1𝑘 �⃗⃗⃗� = 4𝑖 − 2𝑗 − 3𝑘 
 a) Calcular el área de los paralelogramos que forman estos vectores, 
b) Calcular el área del triángulo que forma el paralelogramo. 
c) Calcular el Angulo que forman estos dos vectores. 
d) Determinar la distancia que existe entre las cabezas de estos dos vectores. 
3. Hallar el producto triple, verificando si estos vectores son coplanarios 
 
�⃗⃗⃗� = 5𝑖 + 7𝑗 − 5𝑘 �⃗⃗⃗� = −8𝑖 + 3𝑗 − 𝑘 �⃗⃗⃗� = 7𝑖 − 3𝑗 + 3𝑘 
4. Calcule el producto escalar de 2i + 3j + 4k con 4i + 9j - 3k. 
5. Determine el ángulo entre 2i + j - 2k y 3i – 4j 
 
 
17 
 
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6. Realizar las siguientes operaciones: 
Dado lo vectores: 
𝐴 = (1, 2, 3) 
𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = (3,−1, 2) 
a) 𝐴 ∗ �⃗⃗� = 
b) Angulo entre = 𝐴 𝑦 𝐵⃗⃗⃗⃗ 
c) 𝐴 + �⃗⃗� = 
d) 𝐴 − �⃗⃗� = 
e) |𝐴𝑥�⃗⃗�| = 
f) 𝐴𝑥�⃗⃗� = 
 
7. ¿Cuáles son los cosenos directores del vector 2i - 2j + k? 
8. Hallar el producto vectorial entre = 𝐴 = 3𝑖 − 5𝑗 + 1𝑘 𝐵 = 4𝑖 − 2𝑗 − 3𝑘 
9. Hallar el producto triple de 
 
𝐴 = 3𝑖 + 1𝑗 − 5𝑘 𝐵 = −4𝑖 + 2𝑗 − 𝑘 𝐶 = 7𝑖 − 3𝑗 + 3𝑘 
 
10. Sean los vectores: 
)0.3,1(y)2,0,3(),3,1,2(  cba

 
 
Determinar 
 
 a) cba

32  b) )2(3)3(2 bcba

 
 
11. Encuentre el área del triángulo que tiene los vértices en los siguientes puntos: 
 
a) )0.3,1(y)2,0,3(),3,1,2(  CBA 
 
b) )30,1(y)2,3,0(),0,1,2(  CBA 
 
 
Investigación 
 
 
Investigar algunas aplicaciones del cálculo vectorial a la mecánica de fluidos. 
 
 
 
 
 
 
18 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
Unidad 2 
GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACIO 
 
Objetivos de aprendizaje: 
 
 Análisis de figuras geométricas dentro de los sistemas de coordenadas. 
 Deducir y manejar las ecuaciones y las propiedades de las curvas o superficies más utilizadas 
en la matemática. 
 
Geometría Analítica del espacio: Es la rama de la matemática que analiza las figuras 
geométricas utilizando el método de coordenadas lo que permite resolver problemas geométricos 
por medios algebraicos. 
 
La recta: Se quiere construir una recta que pase por las puntas 
 
𝑅𝑂=(𝑋0, 𝑌0, 𝑍0) y 𝑅=(𝑋, 𝑌, 𝑍) y que sea paralela al vector 
 𝑉 = (𝑉𝑋 , 𝑉𝑌 , 𝑉𝑍) 
 
La ecuación de la recta se convierte en: 
 
 R – Ro = tv 
Donde 
t= parámetro 
 
Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A (1 , 2, 1) cuyo vector director 
es V (4, 5, -1) 
𝑹 − 𝑹𝟎 = 𝒕𝒗 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) − (1, 2, 1) = 𝑡(4, 5,−1) 
(𝑥 − 1; 𝑦 − 2; 𝑧 − 1) = (4𝑡, 5𝑡,−𝑡) 
 
Ecuaciones paramétricas de la recta 
 
{
𝑥 − 1 = 4𝑡
𝑦 − 2 = 5𝑡
𝑧 − 1 = −𝑡
 = {
𝑥 = 4𝑡 + 1
𝑦 = 5𝑡 + 2
𝑧 = 1 − 𝑡
 
 
Ecuaciones no paramétricas de una recta 
{
 
 
 
 𝑡 =
𝑥 − 1
4
𝑡 =
𝑦 − 2
5
𝑡 = 1 − 𝑧
 
 
 
 
19 
 
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Ecuaciones reducidas de una recta 
 
{
𝑥 − 1 = 4 (1 − 𝑍)
𝑦 − 2 = 5 (1 − 𝑍){
𝑥 + 4𝑍 = 5
𝑦 − 2 = 7
 
Halla la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos 
 
 P(1,2,3) Y Q (-1,0,2) 
�⃗⃗� = �⃗⃗� − �⃗⃗� = (2, 2, 1) 
 
Se puede elegir cualquier vector: Usaremos Q 
 
(
𝑋
𝑌
𝑍
) = (
−1
0
2
) + 𝑡 (
2
2
1
) (
𝑋
𝑌
𝑍
) = 𝑄 + 𝑡𝑃 
 
Ecuación Paramétrica 
 
{
𝑥 = −1 + 2𝑡
 𝑦 = 0 + 2𝑡 
𝑧 = 2 + 𝑡 
 
 
Ecuación no paramétrica 
 
{
 
 
 
 𝑡 =
𝑥 + 1
2
𝑡 =
𝑦
2
 
𝑡 = 𝑧 − 2
 
 
Reducidas 
 
{
𝑥 = −1 + 2 (𝑧 − 2)
𝑦 = 2 (𝑧 − 2) 
 {
𝑥 − 2𝑧 = 5
𝑦 − 2𝑧 = −4
 
 
El plano 
 
Se quiere construir un plano que pase por el punto 𝑅0(𝑋0, 𝑌0, 𝑍0) y R (x, 
y, z) y que sea perpendicular al vector 𝑁(𝑁𝑋 , 𝑁𝑌, 𝑁𝑍) 
 
 
(𝑹 − 𝑹𝟎)𝑵 = 𝟎 
 
 
 
20 
 
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Ejemplo hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A (1, 2, 1) y que es 
perpendicular al vector N (4, 5-1) 
 
(𝑹 − 𝑹𝟎).𝑵 = 𝟎 
[(𝑥, 𝑦, 𝑧) − (1,2,1)](4, 5,−1) = 0 
(𝑥 − 1, 𝑦 − 2, 𝑧 − 1, 𝑧 − 1)(4, 5,−1) = 0 
4(𝑥 − 1) + 5(𝑦 − 2) + (−1)(𝑧 − 1) = 0 
 
𝟒𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝒛 = 𝟏𝟑 (Ecuación del plano) 
 
Distancia de un punto a un plano 
 
Dados: 
 
𝑃 = (𝑝1, 𝑝2, 𝑝3) 
𝑅 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 
 
𝑑 =
|𝐴𝑝1 + 𝐵𝑝2 + 𝐶𝑝3 + 𝐷|
√𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2
 
 
Calcula la distancia entre 𝑃𝑒(2, 6, 9) y el plano 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 − 8 = 0 
Terminar el punto 𝑃0 del plano 
 
{
𝑥 = 0 
𝑦 = 0 
= 𝑍 = 4 𝑃0(0, 0, 4) �⃗⃗⃗�(1, 2, 1) 
 
𝑑 =
[(1 ∗ 2) + (2 ∗ 6) + (2 ∗ 9)] − 8
√12 + 22 + 22
 
 
𝑑 =
24
√9
=
24
3
= 8 Unidades. 
 
Distancia entre dos planos paralelos 
Hallar la distancia entre dos puntos 
 
∝:2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 + 5 = 0 
𝛽: 4𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 + 15 = 0 
 
 
 
21 
 
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Para aprobar =
∝
𝛽
 deben ser iguales la división entre ellos 
 
2
4
=
−1
−2
=
−2
−4
≠
5
15
 
 
Hallar el 𝑃𝛽 
 
{
𝑥 = 0 
𝑦 = 0 
= 𝑍 =
15
4
 𝑃0(0, 0,
15
4
) �⃗⃗⃗�(2, −1, −2) ∝ : 2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 + 5 = 0 
 
 
𝑑 =
[(0 ∗ 2) + (0 ∗ (−1)) + ((−2) ∗
15
4
)] + 5
√22 + (−1)2 + (−2)2
 
 
𝑑 =
|−
5
2
|
√9
 = 
5
2
3
1
 =
5
6
 Unidades. 
 
 Calcular un plano paralelo a otro plano 
Si ∝: 2x+ y+ 2z- 9 = 0; hallar otro plano 𝛽 paralelo distante 6 unidades 
Determino un punto en el plano y. �⃗⃗⃗� 
 
{
𝑥 = 0 
𝑦 = 0 
= 𝑦 = 9 𝑃0(0, 9, 0) �⃗⃗⃗�(2, 1, 2) 
 
Ecuación reducida 
 
𝒙 − 𝒙𝟎
𝑨
+
𝒚 + 𝒚𝟎
𝑩
+
𝒛 − 𝒛𝟎
𝑪
= 𝟏 
 
Ecuación Paramétrica: P(0, 9, 0) 
 
𝑋 − 0
2
=
𝑌 − 9
1
=
𝑍 − 0
2
= 𝑡 = {
𝑥 = 2𝑡 
 𝑦 = 𝑡 + 9 
𝑧 = 2𝑡 
 
 
𝒅 = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)
𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)
𝟐 + (𝒛𝟐 − 𝒛𝟏)
𝟐 
 
𝑑 = √(2𝑡 − 0)2 + (𝑡 + 9 − 9)2 + (2𝑡 − 0)2 = 6 
 
= √4𝑡2 + 𝑡2 + 4𝑡2 = 6 = √9𝑡2 = 6 = 3𝑡 = 6 = 𝑡 =
6
3
= 𝑡 = 2 
 
𝑡 = 2 𝑥 = 4, 𝑦 = 11, 𝑧 = 4 
 
 
22 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
 
�⃗⃗⃗�(2, 1, 2) 
 
𝜷 = 𝑨(𝒙 − 𝒙𝟎) + 𝑩(𝒚 − 𝒚𝟎) + 𝑪(𝒛 − 𝒛𝟎) = 𝟎 
 
𝛽: 2(𝑥 − 4) + (𝑦 − 11) + 2(𝑧 − 4) = 0 
 
𝛽: 2𝑥 − 8 + 𝑦 − 11 + 2𝑧 − 8 = 0 
 
𝜷: 𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 − 𝟐𝟕 = 𝟎 (Ecuación del plano paralelo al plano ∝) 
 
SUPERFICIES CUADRÁTICAS: 
 
Ecuación general de las superficies cuadráticas 
 
A𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑧2 + 𝐷𝑋 + 𝐸𝑌 + 𝐹𝑍 + 𝐺 = 0 
 
La esfera: Para que una superficie sea esfera debe cumplir 3 
condiciones: 
1. Las tres variables tienen que estar elevadas al cuadrado. 
2. Los signos de las variables al cuadrado son iguales. 
3. Los coeficientes de las variables elevadas al cuadrado son 
iguales. 
 
Ecuación general: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 𝐷𝑋 + 𝐸𝑌 + 𝐹𝑍 + 𝐺 = 0 
Ecuación canónica: 
 
 (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 + (𝑧 − 𝑙)2 = 𝑟2 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑐(ℎ, 𝑘, 𝑙) 
 
𝑠𝑖 𝑐(0, 0, 0) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑟2 
 
Ejemplo: Identificar y graficar la siguiente superficie 
 
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟏 = 𝟎 
 
𝑥2 − 2𝑥 + (
2
2
)
2
+ 𝑦2 + 4𝑦 + (
4
2
)
2
+ 𝑧2 = 1 + 1 + 4 
 
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 + (𝑧 − 0)2 = 22 
 
h=1; k=-2; 1=0 
𝑐(1, −2,0) R = 2 
 
 
 
23 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
𝑥 = 1
(𝑦 + 2)2 + (𝑧 − 0)2 = 22
 
Traslación 
 
 
 
 
 
 
 
Elipsoide: Para que una superficie sea elipsoide debe cumplir 3 
condiciones 
1. Las tres variables estas elevadas al cuadrado. 
2. Los signos de los variables al cuadrado son distintos. 
3. Los coeficientes de las variables al cuadrado son distintos. 
 
Ecuación general: 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑧2 + 𝐷𝑋 + 𝐸𝑌 + 𝐹𝑍 + 𝐺 = 0 
 
Ecuación canónica: 
(𝑥−ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦−𝑘)2
𝑏2
+
(𝑧−𝑙)2
𝑐2
= 1 
 
𝑆𝐼 𝑐(0, 0, 0) 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
+
𝑧2
𝑐2
= 1 
Ejemplo 
 
𝟑𝟔𝒙𝟐 + 𝟗𝒚𝟐 + 𝟏𝟔𝒛𝟐 − 𝟕𝟐𝒙 − 𝟓𝟒𝒚 − 𝟔𝟒𝒛 + 𝟑𝟕 = 𝟎 
 
36𝑥2 − 72𝑥 + 9𝑦2 − 54𝑦 + 16𝑧2 − 64𝑧 = −37 
 
36 [𝑥2 − 2 + (
2
2
)
2
] + 9 [𝑦2 − 6𝑦 + (
6
2
)
2
] + 16 [𝑧2 − 4𝑧 + (
4
2
)
2
] 
 
= −37 + 36 + 81 + 64 
 
36(𝑥 − 1)2 + 9(𝑦 − 3)2 + 16(𝑧 − 2)2 = 144 (÷ 144) 
 
(𝑥 − 1)2
4
+
(𝑦 − 3)2
16
+
(𝑧 − 2)2
9
= 1 
 
=
(𝑥 − 1)2
22
+
(𝑦 − 3)2
42
+
(𝑧 − 2)2
32
= 1 
 
c (1, 3, 2) 
 
 
24 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
Trazos 
 
Plano xy z=0 
Plano yz x=0 
Plano xz y=0 
 
Si x=1 
(𝑦 − 3)2
42
+
(𝑧 − 2)2
32
= 1 
Si y=3 
(𝑥 − 1)2
22
+
(𝑧 − 2)2
32
= 1 
Si z=2 
(𝑥 − 1)2
22
+
(𝑦 − 3)2
42
= 1 
 
Hiperboloide de una hoja: Para que una superficie sea hiperboloide de una 
hoja debe cumplir dos condiciones 
1. Las 3 variables tienen que estar elevados al cuadrado 
2. Una de las variables al cuadrado tiene signo negativo. 
 
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
−
(𝑧 − 𝑙)2
𝑐2
= 1 
Ejemplo 
 
𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 − 𝟗𝒛𝟐 = 𝟑𝟔 (÷ 𝟑𝟔) 
 
𝑥2
36
+
4𝑦2
36
−
9𝑧2
36
=
36
36
 
 
𝑥2
62
+
𝑦2
32
−
𝑧2
22
= 1 
 
(𝑥 − 0)2
62
+
(𝑦 − 0)2
32
−
(𝑧 − 0)2
22
= 1 
 
𝑐(0, 0, 0) 
Si x = 0 
 
(𝑦 − 0)2
32
−
(𝑧 − 0)2
22
= 1 
 
 
 
 
25 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
−
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
+
𝑧2
𝑐2
= 1 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
+
𝑧2
𝑐2
= 1 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
−
𝑧2
𝑐2
= 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Traslación 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hiperboloide de dos hojas: Para que una superficie sea hiperboloide de 
dos hojas deben cumplir dos condiciones 
 
1. Las tres variables deben estar, elevadas al cuadrado. 
2. Dos de las variables al cuadrado tienen signo negativo. 
 
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
−
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
−
(𝑧 − 𝑙)2
𝑐2
= 1 
 
 
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
−
𝑧2
𝑐2
= 1 −
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
−
𝑧2
𝑐2
= 1 −
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
+
𝑧2
𝑐2
= 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
Ejemplo identificar y graficar la superficie 
 
𝒛𝟐 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒚𝟐 = 𝟏 
 
𝑧2
22
−
𝑥2
(√2)
2 −
𝑦2
(√2)
2 = 1 
(𝑧 − 0)2
22
−
(𝑥 − 0)
(√2)
2 −
(𝑦 − 0)2
(√2)
2 = 1 
𝑐(0, 0, 0) 
Si x = 0 Si y = 0 
 
(𝑧−0)2
22
−
(𝑦−0)2
(√2)
2 = 1 
(𝑧−0)2
22
−
(𝑥−0)
(√2)
2 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Traslación 
 
 
 
 
 
 
Paraboloide elíptico: Para que una superficie sea paraboloide elíptico 
 
1. Participar las tres variables. 
2. Dos variables deben estar elevadas al cuadrado. 
3. Los signos de las variables al cuadrado deben ser iguales. 
 
 
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
−
(𝑧 − 𝑙)
𝑐
= 1 
 
 
 
 
 
27 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
𝑧 = 𝑎𝑦2 + 𝑏𝑧2 𝑧 = −𝑎𝑦2 − 𝑏𝑧2 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥2 
 
 
 
 
 
𝑦 = −𝑎𝑥2 − 𝑏𝑥2 𝑥 = 𝑎𝑥2 − 𝑏𝑦2 𝑥 = −𝑎𝑥2 − 𝑏𝑦2 
 
 
 
𝑧 = −𝑎𝑦2 − 𝑏𝑧2 𝑥 = 𝑎𝑦2 + 𝑏𝑧2 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑧2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo: identificar y graficar la superficie 
 
𝐲 = 𝒙𝟐 + 𝒛𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 
 
𝑦 − 3 + 1= 𝑥2 + 𝑧2 − 2𝑧 + (1)2 
(𝑦 − 2) = (𝑥 − 0)2 + (𝑧 − 1)2 
C(0, 2, 1) 
 
Paraboloide hiperbólico: Para que sea paraboloide 
hiperbólico una superficie debe cumplir tres condiciones. 
 
1. Participan las tres variables. 
2. Dos variables deben estar elevadas al cuadrado. 
3. Los signos de las variables elevados al cuadrado deben 
ser distintos. 
 
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
−
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
− (𝑧 − 𝑙) = 1 
 
 
 
 
 
28 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
Ejemplo: identificar y graficar la superficie 
 
𝑧 = 𝑥2−𝑦2 𝑦 = 0 𝑧 = 0 𝑧 < 0;−1 = 𝑥2 − 𝑦2 
 
𝑥 = 0 𝑧 = 𝑥2 𝑧 > 0; 1 = 𝑥2 − 𝑦2 −𝑧 = 𝑥2 − 𝑦2 
 
 𝑧 = 𝑥2 − 𝑦2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Traslación 
z y z 𝑥2 
0 0 0 0 
-1 (-1) 4 2 
-1 1 1 -1 
Para practicar en clase 
 
1. −𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑧2 = 0 
2. −𝑥2 + 4𝑦2 − 𝑧2 = 0 
3. y = 2𝑥2 + 𝑧2 
4. y = 𝑥2 − 𝑧2 
 
Cono: Para que una superficie sea cono debe cumplir tres condiciones. 
 
1. Las tres variables deben estar elevados al cuadrado. 
2. Una o dos de ellas llevan signo negativo. 
3. La ecuación es igual a 0. 
 
 
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
−
(𝑧 − 𝑙)
𝑐
= 0 
 
 
 
 
 
 
29 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 − 𝑐𝑧2 = 0 −𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 − 𝑐𝑧2 = 0 𝑎𝑥2 − 𝑏𝑦2 − 𝑐𝑧2 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo identificar y graficar la superficie 
 
𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝒚𝟐𝟐𝒚 − 𝒛𝟐 + 𝟓 = 𝟎 
 
𝑥2 − 4𝑥 + (
4
2
)
2
+ 𝑦2−2𝑦 + (
2
2
)
2
− 𝑧2 = −5 + 4 + 1 
 
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 2)2 − (𝑧 − 2)2 = 0 
 
𝑐(𝑧, 1, 0) [𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒] 
Si 𝑥 = 𝑧 
(𝑦 − 1)2 − (𝑧 − 2)2 = 0 
[(𝑦 − 1) − (𝑧)][(𝑦 − 1) + (𝑧)] = 0) 
(𝑦 − 1 − 𝑧)(𝑦 − 1 + 𝑧) = 0 
 
Trasladación 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cilindro: Para que una superficie sea cilindro debe cumplir tres condiciones. 
 
1. Solo participan dos variables 
2. Ambas variables deben estar elevadas al cuadrado. 
3. Los signos de las variables elevadas al cuadrado deben ser iguales. 
 
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2
+
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2
= 1 
 
 
30 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
Ejemplo 
Identificar y graficar la superficie 
 
𝑥2 + 𝑦2 = 5 + 4𝑦 
𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑦 + (2)2 = 5 + 4 
𝑥2 + (𝑦 − 2)2 = 9 
(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 2)2 = 32 
𝑐(0, 2) 𝑅 = 3 
 
 
Trasladación 𝑎 𝑥2 + 𝑏𝑧2 = 1 𝑎 𝑦2 + 𝑏𝑧2 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥2 − 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 + 2 = 0 
 
 
PRÁCTICO Nº 2 
Recta y Plano 
 
1. Encontrar los tres tipos de ecuaciones de la recta que forman y que pasan por los puntos 
P1 = ( -2, - 3, 1 ), y P2 = (- 1, 3, - 4 ). 
2. Hallar la ecuación de un plano que pase por el punto M = (2, 1, - 3 ) y que el vector 
perpendicular es �⃗⃗� = 5 i – 3j – 2k 
3. Calcular la distancia entre el punto A = (3; - 1; - 2) y el plano X + 3Y – 3Z – 12= 0 
4. Calcular la distancia entre los planos A y B, verificar si estos son paralelos, 
5. A: 3X + 9Y – 9Z – 9 = 0 y el plano B : X + 3Y – 3Z = 12 
6. Encontrar los tres tipos de ecuaciones de la recta que forman y que pasan por los puntos 
P1 = ( 2, - 3, 5 ), y P2 = (- 1, 2, - 4 ). 
7. Hallar la ecuación de un plano que pase por el punto M = (5, 1, - 7 ) y que el vector 
perpendicular es �⃗⃗� = 9i – 3j – 1k 
8. Si el plano ∝: 2x+ 3y+ 2z = 12; hallar otro plano 𝛽 paralelo distante 8 unidades uno de otro. 
9. Calcular la distancia entre el punto A = (2; - 1; 3) y el plano X + 2Y – 3Z – 18 = 0 
10. Obtenga las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos (3, 4,5) y (3, 4,7). 
𝑎 𝑥2 + 𝑏𝑦2 = 1 
 
 
31 
 
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11. Encuentre una ecuación del plano perpendicular al vector D y que pase por el punto P, donde 
D = 10i – 10j + 5k y P es (1,1,-3). 
12. Obtenga un plano que pase por (1, 3, 3), paralelo al plano 3x + y - z = 8. 
13. Obtenga una ecuación del plano que pasa por el punto (-2, 4, 8) y es perpendicular al vector 
�⃗⃗� = 2i - 8j + 2k. 
14. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A (1 , -2, 3) cuyo vector director es 
�⃗� (4, -5, -1) 
II: Graficas Cuadráticas 
 
1. Determinar la ecuación de la Elipsoide. Cuyo centro es C = (- 4; 2; - 3 ) y los valores son: a = 2; 
b = 4; c = 2 y graficar. 
2. Determinar la ecuación de la Esfera. Cuyo centro es C = (- 2; -1; 4 ) y tiene un radio de 2 
unidades, y graficar. 
3. Determinar la ecuación de la Hiperboloide de una hoja abierta sobre el eje Z. Cuyo centro es C 
= (0; 2; - 3 ) y los valores son: a = 2; b = 2; c = 3 y graficar. 
4. Determinar la ecuación del cono sobre el eje Y. Cuyo centro es C = (- 3; 1 ; 0) y los valores son: 
a = 2; b = 3; c = 1 y graficar. 
2. Determinar la ecuación del cilindro sobre el eje Y. Cuyo centro es C = (- 3; 1 ; - 5) y los valores 
son: a = 3; c = 2 y graficar. 
3. Determinar la ecuación dela paraboloide sobre el eje Z negativo. Cuyo centro es C = (3; 
0; - 2 ) y los valores son: a = 1; b = 2; c = 4 y graficar. 
4. Hallar la ecuación de la hiperboloide de dos hojas abierta sobre el eje “Y”, cuyo centro es (2; - 
3; 0) y a = 2, b = 5, c = 2. Graficar. 
5. Hallar la ecuación de la paraboloide elíptica abierta sobre el eje “Y”, positivo, cuyo centro es (-
2; 0; 3) donde a = 2; b= 5 y c= 2. Graficar. 
6. Hallar la ecuación del cono elíptico sobre el eje “Y”, cuyo centro es (0; 4; -1) donde a = 1; b = 4 
y c= 2. Graficar. 
7. Determinar la ecuación de la Hiperboloide de una hoja abierta sobre el eje Z. Cuyo centro es 
8. C = (0; 2; - 1 ) y los valores son: a = 2; b = 1; c = 3 y graficar. 
9. Determinar la ecuación del cono sobre el eje Y. Cuyo centro es C = (- 3; 2 ; 0) y los valores son: 
a = 1; b = 3; c = 2 y graficar. 
10. Determinar la ecuación de la Esfera. Cuyo centro es C = (4; -3; 2 ) y tiene un diámetro de 6 
unidades, y graficar. 
11. Determinar la ecuación dela paraboloide sobre el eje Z positivo. Cuyo centro es C = (1; 0; - 2 ) y 
los valores son: a = 1; b = 2; c = 3 y graficar. 
 
I. Identificar a qué tipo de superficies cuadráticas corresponden las siguientes ecuaciones, y 
graficar las superficies: 
 
1. 𝑥2 − 𝑦2 + 𝑧2 − 4𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 + 4 = 0 
2. 4𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑧2 − 4𝑦 − 24𝑧 + 36 = 0 
3. 4𝑥2 − 𝑦 + 2𝑧2 = 0 
4. 𝑥2 + 2𝑦 − 2𝑧2 = 0 
 
 
32 
 
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5. 𝑦2 − 𝑥 + 4𝑧2 = 0 
6. 9𝑥2 − 𝑦2 + 𝑧2 = 0 
7. 𝑥2 + 2𝑧2 = 1 
8. 𝑥2 − 6𝑥 + 4𝑦2 − 𝑧 = 0 
9. 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 8𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 + 1 = 0 
10. 9𝑥2 + 4𝑦2 + 𝑧2 = 1 
 
2. Clasificar y graficar las siguientes superficies, indicando cortes, trazas y simetrías: 
 
a) 1 – x2 – 4y2 – 9z2 = 0 
b) x2 + y2 = 4 
c) z = x2 + y2 
d) 4x2 + 9z2 = 3y 
1 Investigación 
2 
3 Investigar algunas aplicaciones de la geometría analítica del espacio en la astronomía. 
 
Unidad 3 
DERIVADAS PARCIALES 
 
Objetivos de aprendizaje: 
 
 Conocer y manejar el concepto de derivada parcial. 
 Conocer y manejar el concepto de derivada de orden superior. 
 Conocer y manejar el concepto de límites y continuidad. 
 
Derivadas parciales 
 
En términos generales las funcione pueden clasificarse entre 
I. Funciones escalares de variable escalar (𝑦 = 𝑓(𝑥)) 
II. Funciones escalares de variable vectorial (𝑓 = 𝑓(𝑓)) 
III. Funciones vectoriales de variable escalar (�⃗� = 𝐹(𝑡)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗) 
IV. Funciones vectoriales de variable vectorial (�⃗� = 𝐹(𝑓)⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ) 
Se llaman funciones de varias variables a aquellas funciones que poseen un número n de variables 
independientes, son de especial importancia los casos de 𝑛 = 2 ; 3 
Las funciones de varias variables pueden ser: funciones escalares de variable vectorial o funciones 
vectoriales de variable vectorial. 
 
 
 
 
 
33 
 
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Funciones vectorial 
 
3.1. Definición. 
Una función vectorial de variableescalar es una función que transforma a una variable real t en un 
vector. Se denota como R(t) =f(t)i + g(t)j + h(t)k, donde f(t) , g(t) y h(t) son funciones de la variable 
real t. 
Cuando t varía es posible imaginar que la curva C está siendo trazada por la punta móvil R(t) 
Al conjunto de valores que toma la variable independiente t, se le denomina dominio y al conjunto 
de valores que toma R se le llama imagen o recorrido. 
Las funciones vectoriales se conocen también como campos vectoriales. 
Ejemplo. Graficar la función F(t)= (2t+1)i + 3tj +(t-3)k 
 
Dando valores a t se obtiene: 
 
t x=2t+1 y=3t z=t-3 F=(x,y.z) 
0 2(0)+1=1 3(0)=0 (0)-3=-3 (1,0,-3) 
1 2(1)+1=3 3(1)=3 (1)-3=-2 (3,3,-2) 
2 2(2)+1=5 3(2)=6 (2)-3=-1 (5,6,-1) 
3 2(6)+1=7 3(3)=9 (3)-3=0 (7,9,0) 
4 2(4)+1=9 3(4)=12 (4)-3=1 (9,12,1) 
 
La grafica de la función será: 
 
 
Dominio: El dominio de una función vectorial es la intersección de los dominios de las funciones 
componentes: D = D1 DD3 
 
 Hallar el dominio de la función: 𝑅= [
𝑡
𝑡−1
, ln(𝑡 + 2) ,√3 − 𝑡)] 
 
𝑥: 𝑡 − 1 ≠ 0 𝑦: 𝑡 + 2 > 0 𝑍: 3 − 𝑡 ≥ 0 
 
𝑡 ≠ 1 𝑡 > −2 𝑡 ≤ 3 
 
 
 
34 
 
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El dominio de R será la intersección de los tres dominios: 
 
Límites de funciones vectoriales: El límite de una función vectorial se determina en términos de 
los límites de las funciones componentes: lim R(t) = [ lim f(t); lim g(t); lim h(t) ], se resuelve cada 
limites por separado de cada uno de los componentes del vector. 
Resolver los siguientes límites vectoriales: 
 
lim
𝑡→2
[2𝑡 ; (3𝑡 − 1) ; 𝑡2] 
 
lim
𝑡→2
= −4𝑖 + 5𝑗 + 4𝑘 
 
Derivadas de una función vectorial: Para efectuar la derivada se derivan cada una de las 
componentes de las funciones vectoriales: 
 
𝑑 𝐹 (𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑 𝑓
𝑥
(𝑡)
𝑑𝑡
𝑖 +
𝑑 𝑓𝑦 (𝑡)
𝑑𝑡
𝑗 +
𝑑 𝑓𝑧 (𝑡)
𝑑𝑡
𝑘 
Hallar la derivada de la función: 𝐹= [ln(𝑡) ; e𝑡; 𝑡2] 
 
=
1
𝑡
 𝑖 + 𝑒𝑡 𝑗 + 2𝑡 𝑘 
 
Integrales de una función vectorial: Para realizar este tipo de integración, se procede a resolver 
cada una de las integrales de las componentes de la función vectorial individualmente. 
 
∫𝐹(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫𝑓(𝑡)𝑥 𝑑𝑡𝑖 + ∫𝑓(𝑡)𝑦 𝑑𝑡𝑗 + ∫𝑓(𝑡)𝑧 𝑑𝑡𝑘 
Resolver la siguiente integral vectorial: 
∫(2𝑡𝑖 + (3𝑡 − 1)𝑗 + 𝑡2) 𝑑𝑡 
= 𝑡2 𝑖 + (
3
2
𝑡2 − 𝑡) 𝑗 + 
𝑡3
3
 𝑘 
 
 
 
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Función de varias variables: Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada 
par ordenado (x, y) de D le corresponde un número real f(x,y), entonces se dice que f es función de 
x e y. El conjunto D es el dominio de f , y el correspondiente conjunto de valores f(x,y) es el 
recorrido, imagen o rango de f. 
Para la función dada por), z = f( x,y), llamamos variables independientes a x y y, siendo z la 
variable dependiente. Al igual que con las funciones de una variable, generalmente se usan 
ecuaciones para describir funciones de varias variables. 
A menos que se restrinja en otro sentido, se supone que el dominio es el conjunto de todos los 
puntos para los que la ecuación está definida. 
 
Curvas de nivel. Otra forma de visualizar una función de dos variables es como un campo escalar 
que asigna al punto (x,y) el escalar z donde resulta que z=f(x,y). 
Un campo escalar se puede caracterizar por sus curvas de nivel o líneas de contorno a lo largo de 
las cuales el valor de f(x,y) es constante. Por ejemplo, en los mapas meteorológicos las curvas de 
nivel representan puntos de igual temperatura se llaman isotermas. 
Ejemplo: Para la función 𝑓(𝑥, 𝑦) = √64 − 𝑥2 − 𝑦2 dibujar un mapa de contorno, curva 
de nivel, correspondientes a c= 0,1,2,….8. 
 
Solución 
La función representa al hemisferio superior (raíz positiva) de una esfera: 
 
 
Límites: Para una adecuada definición de los Límites de Funciones Escalares de Variable Vectorial, 
se deben considerar los siguientes conceptos. 
Calcular los siguientes Límites de Funciones de varias Variables: 
 
Lim
(𝑥,𝑦)−(3,2)
(5𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦2) = 5 ∙ 3 + 3 ∙ 22 + 5 ∙ 1 
 
Lim
(𝑥,𝑦,𝑧)−(1,2,3)
(𝑥2𝑦 + 𝑦2𝑧) = 12 ∙ 2 + 22 ∙ 3 = 14 
 
 
 
36 
 
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Lim
(𝑥,𝑦,𝑧)−(1,2,3)
 
 𝑥 − 𝑦
𝑥 + 𝑦
 =
0
0
 
 
= Lim
 𝑦−0
 [Lim 
 𝑥−0
𝑥 − 𝑦
𝑥 + 𝑦
] = Lim
 𝑦−0
 [−1] = −1 
 
= Lim
 𝑥−0
 [Lim 
 𝑦−0
𝑥 − 𝑦
𝑥 + 𝑦
] = Lim
 𝑥−0
 [1] = −1 
 
Lim
(𝑥,𝑦,)−(0,0)
 
 𝑥𝑦
𝑥2 + 𝑦2
 =
0
0
 
 
= Lim
 𝑦−0
 [Lim 
 𝑥−0
 𝑥𝑦
𝑥2 + 𝑦2
] = Lim
 𝑦−0
 [0] = 0 
 
= Lim
 𝑥−0
 [Lim 
 𝑦−0
 𝑥𝑦
𝑥2 + 𝑦2
] = Lim
 𝑥−0
 [0] = 0 
 
= Lim
 𝑥−0
 
𝑥(𝑚𝑥)
𝑥2+(𝑚𝑥)2
= Lim
 𝑥−0
 
𝑚
1+𝑚2
=
𝑚
1+𝑚2
 
 
Continuidad 
 
Concepto.- Este análisis se practica en aquellos puntos donde el dominio las restringe y para 
verificar la continuidad de estos puntos deberán someterse a las siguientes condiciones: 
Sea z = f (x, y) una superficie, (a, b) un punto restringido por su dominio, el punto será continuo 
si cumple las siguientes tres condiciones: 
Primera condición.- El valor numérico del punto restringido debe ser real. 
F(a, b)= debe ser real 
Segunda condición.- El resultado del límite de la función z = f(x, y) debe ser real, cuando sus 
variables independientes tienden al punto restringido. 
Lim
𝑥→𝑎
𝑥→𝑏
𝑓(𝑥, 𝑦) = 
Debe ser real 
Tercera condición.- El valor del límite de z = f(x, y) debe ser igual al valor numérico del punto 
restringido f(a, b). 
Lim
𝑥→𝑎
𝑥→𝑏
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑎, 𝑏) 
Discontinuidad.- Si una de las dos primeras condiciones no se cumple, el punto restringido (a, b) 
es discontinuo, debiendo verificarse si la discontinuidad es evitable o no evitable. 
Discontinuidad evitable.- Este caso se presenta cuando no se cumple la primera condición, pero sí 
la segunda. 
Primera condición.- El valor numérico de f(a, b) no existe f (a, b) = no es real 
Segunda condición.- Ei límite de la función f(x, y) no existe Lim𝑥→𝑎
𝑥→𝑏
𝑓(𝑥, 𝑦) = Es real 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo Práctico 
 
 
Ejecutar el análisis de continuidad de las siguientes funciones: 
 
𝑧 = 𝐼𝑛(𝑥 + 𝑦 − 1) 
 
𝑤 = √𝑥𝑦 𝑡𝑔𝑧 
 
𝑧 =
𝑥2 + 𝑦2
𝐼𝑛(𝑥2 + 𝑦2)
 
 
𝑧 =
𝑥𝑦
𝑥2 + 𝑦2
 
 
𝑧 = √𝑥 𝑒√1−𝑦
2
 
 
𝑧 =
𝑠𝑒𝑛(2𝑥2 + 𝑦2)
𝑥2 + 𝑦2
 
𝑤 =
1
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
 
 
𝑧 =
4𝜋𝑦
𝑥(𝜋2𝑦2 + 8)
 
 
𝑧 =
𝑥3 − 𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦 − 𝑦2
𝑥2 − 𝑦2
 
 
Máximos y mínimos 
Sea una función f con derivadas parciales primeras y segundas continuas en una región, al realizar 
𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 0 y 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 0 hallar 𝑥0, 𝑦0 y 𝑓(𝑥0, 𝑦0) 
Para determinar si es máximo o mínimo se define: 
 
𝑑 = |
𝐹𝑥𝑥 𝐹𝑥𝑦 
𝐹𝑦𝑥 𝐹𝑦𝑦 
| 
Entonces 
Si: 𝑑 > 0 𝑦 𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦0) > 0, entonces (𝑥0, 𝑦0) es un minimo. 
Si: 𝑑 > 0 𝑦 𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦0) < 0, entonces (𝑥0, 𝑦0) es un máximo. 
Si: 𝑑 < 0, entonces 𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦0) es el punto de una silla. 
Si: 𝑑 = 0, este criterio no da información. 
 
 
 
 
 
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Hallar los extremos de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥𝑦 − 3𝑥 − 6𝑦 + 1 
 
Solución 
Hallar fx y fy e igualar a cero 
 
𝑓𝑥 = 2𝑥 + 𝑦 − 3 𝑓𝑦 = 2𝑦 + 𝑥 − 6 
 2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 2𝑦 + 𝑥 − 6 = 0 
 
Hallar el valor de la función conociendo los puntos x, y 𝑧 = (0)2 + (3)2 + (0)(3) − 3(0) − 6(3) +
1 = −8 
 
Hallar 𝑓𝑥𝑥, 𝑓𝑥𝑥, 𝑓𝑥𝑦 , 𝑓𝑦𝑥, y determinar d. 
𝑓𝑥𝑥 = 2 𝑓𝑥𝑥 = 2 
𝑓𝑥𝑦 = 1 𝑓𝑦𝑥 = 1 
 
𝑑 = |
2 1
1 2
| = 4 −1 = 3 
 
𝑑 > 0 𝑦 𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦0) > 0 Entonces es el mínimo 
 
Ejemplo de aplicación 
 
 
El beneficio que se obtiene produciendo x unidades del modelo A y unidades del modelo B se 
aproxima mediante el modelo 𝑃(𝑥, 𝑦) = 8𝑥 + 10𝑦 − 0.001(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2) − 10.000 
 
¿Cómo es ese beneficio? 
 
𝑃𝑥 − 8 − 0,001(2𝑥 + 𝑦) 
𝑃𝑦 = 10 − 0.001(2𝑦 + 𝑥) 
𝑃𝑥 = 0 
8 − 0,001(2𝑥 + 𝑦) = 0 
2𝑥 + 𝑦 = 8000 
𝑃𝑦 = 0 
0.001(2𝑦 + 𝑥) 
 
Sistema de ecuación 
 
1 2𝑥 + 𝑦 = 8.000 (−2) 
2 𝑥 + 2𝑦 = 10.000 
−4𝑥 − 2𝑦 = −16.000 
𝑥 + 2𝑦 = 10.000 
−3𝑥 = −6000 
𝑥 =
−6000
−3
= 2000 
 
 
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Remplazar x en 1 
 
2(2000) + 𝑦 = 8000 
𝑦 = 8000 − 4000 
𝑦 = 4000 
 
Hallar el 2 ° derivada 
𝑃𝑥𝑥 = −0,001(2) = −0.002
𝑃𝑥𝑦 = −0,001(1) = −0.001
| = (0,000004 − 0,000001) = 0000003 
 
𝑠𝑖 𝑑 > 0 𝑦 𝑃𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦0) < 0 Entonces es máximo 
El beneficio es máximo cuando se produzcan 2000 ART. “X” Y 4000 ART “Y” 
 
Derivadas parciales 
 
Por definición: Si: ƒ(�⃗⃗�) es una Función Escalar de Variable vectorial, llamada también función de 
varias variables, donde la variable es el vector �⃗⃗� =(x, y).entonces se podrá escribir ƒ(𝒙,𝒚) 
entendiéndola como una Función de dos Variables Reales. 
Se entienden como derivadas parciales de: ƒ(𝑥,𝑦) a los siguientes símbolos: 
 
 
əƒ(𝑥,𝑦)
əx
=
əƒ
əx
= ƒ𝑥 
əƒ(𝑥,𝑦)
əy
=
əƒ
əy
= ƒ𝑥 
 
Estas derivadas de: ƒ(𝑥,𝑦) se definen respectivamente como: 
 
əƒ
əx
= Lim
 ℎ−0
ƒ(x+h,y) − ƒ(𝑥,𝑦)
ℎ
 
əƒ
əy
 = Lim
 𝑘−0
ƒ(x,y+k) − ƒ(𝑥,𝑦)
𝑘
 
 
La existencia respectivo límite, determina la existencia de la derivada parcial, aunque no 
necesariamente la función sea continua. En la definición de la derivada parcial, respecto de una 
variable, la otra variable permanece inalterable, comportándose como una constante. 
Propiamente la derivada parcial de una función de varias variables es otra función también de 
varias variables. 
Ejemplo 
 
əƒ
əx
= Lim
 ℎ−0
ƒ(x+h,y)− ƒ(𝑥,𝑦)
ℎ
 
 
 = Lim
 ℎ−0
[(x+h)2]−[𝑥2+3𝑦]
ℎ
 
 
 = Lim
 ℎ−0
𝑥22𝑥ℎ+ℎ2+3𝑦−𝑥2−3𝑦
ℎ
 
Derivada parcial de 
ƒ(𝑥,𝑦)respecto de x 
 
Derivada parcial de 
ƒ(𝑥,𝑦)respecto de y 
 
 
 
40 
 
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 = Lim
 ℎ−0
2𝑥ℎ+ℎ2
ℎ
= Lim
 ℎ−0
(2𝑥 + ℎ) = 2𝑥 
 
əƒ
əx
= Lim
 𝑘−0
ƒ(x,y+k) − ƒ(𝑥,𝑦)
𝑘
 
 
 = Lim
 ℎ−0
[𝑥2+3(y+k)]−[𝑥2+3𝑦]
ℎ
 
 
 = Lim
 ℎ−0
𝑥2+3𝑦+3𝑘−𝑥2−3𝑦
ℎ
 
 
 = Lim
 𝑘−0
3𝑘
𝑘
= Lim
 𝑘−0
 3 
 
En forma general si: ƒ(𝑟)= ƒ(𝑥1,𝑥2……..𝑥𝑖…….𝑥𝑚) la derivada parcial se define como: 
 
əƒ
əx
= Lim
 ∆,𝑥−0
ƒ(𝑥1,𝑥2……..𝑥𝑖…….𝑥𝑚) − ƒ(𝑥1,𝑥2……..𝑥𝑖…….𝑥𝑚)
∆, 𝑥
 
Derivadas parciales por tabla: 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 − 𝑥2𝑦2 + 2𝑥3𝑦 
 
𝑑𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑥
= 3 − 2𝑥𝑦2 + 6𝑥2𝑦 
 
𝑑𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑑𝑦
= = −2𝑥2𝑦 + 2𝑥3 
 
Derivadas de orden superior 
 
Una segunda derivada parcial es la derivada parcial de una primera derivada parcial y así 
sucesivamente. 
La siguiente notación se aplica sobre segundas derivadas parciales; si ƒ(𝑥,𝑦) 
 
ə
əx
(
əƒ
əx
) =
ə2ƒ
əx2
= ƒ𝑥𝑥 
 
ə
əy
(
əƒ
əy
) =
ə2ƒ
əy2
= ƒ𝑦𝑦 
 
ə
əy
(
əƒ
əx
) =
ə2ƒ
əy əx
= ƒ𝑥𝑦 
 
 
 
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CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
ə
əx
(
əƒ
əy
) =
ə2ƒ
əx əy
= ƒ𝑦𝑥 
 
Analíticamente si existen las primeras derivadas parciales, pueden existir también las segundas 
derivadas parciales. 
Se demuestra luego que sí: ƒ𝑥𝑦 ; ƒ𝑦𝑥 son continuas, entonces son iguales entre si lo que significa 
que la secuencia en que se deriva, no afecta al resultado. Las derivadas parciales de orden 
superior, de funciones de dos o más variables, siguen lineamientos equivalentes. 
Resolver las siguientes derivadas parciales de orden superior 
 
ƒ(𝒙𝒚) = 𝒙
𝟔 + 𝒙𝟐𝒚𝟒 + 𝒚𝟖 Función de dos variables 
ƒ𝑥 = 6𝑥
5 + 2𝑥𝑦4 Primera derivada parcial respecto de: x 
ƒ𝑥𝑥 = 30𝑥
4 + 2𝑦4 Derivando respecto de la primera, se obtiene la 
 segunda derivada parcial, respecto de: x dos veces. 
 
ƒ𝑦 = 4𝑥
2𝑦3 + 8𝑦7 Primera derivada parcial respecto de: y 
ƒ𝑦𝑦 = 12𝑥
2𝑦2 + 56𝑦6 Derivando la primera, se obtiene la segunda derivada 
 parcial, respecto de: y, dos veces. 
 
ƒ𝑥𝑦 = 8𝑥𝑦
3 Segunda derivada parcial. Donde la priora derivada 
 parcial respecto x; luego se deriva respecto de y. se 
 llama derivada cruzada. 
 
ƒ𝑦𝑥 = 8𝑥𝑦
3 Segunda derivada derivando la primera respecto de y; 
 luego respecto de x. 
 
ƒ𝑥𝑥𝑥 = 120𝑥
3 Tercera derivada parcial, respecto de x tres veces. Se la 
 obtiene, derivando para x la segunda derivada respecto 
 de x dos veces. 
 
Regla de la cadena: La regla de la cadena, es una regla que permite derivar funciones que 
poseen variables que a su vez dependen de otras variables. 
 
Si: ƒ = ƒ(𝑥𝑦) ; 
 𝑥 = 𝑥(𝑡)
𝑦 = 𝑦(𝑡)
son funciones derivables, entonces:
𝑑𝑓
 𝑑𝑡
=
əƒ
əx
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
əƒ
əy
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
 
Note que la variable de la cual depende la función finalmente es: t 
 
ƒ = ƒ(𝑥𝑦) ; 𝑥 = 𝑥(𝑡) ; 𝑦 = 𝑦(𝑡) 
 
∆ƒ = ƒ𝑥∆𝑥 + ƒ𝑦∆𝑦 + Φ2∆𝑦 
 
𝑑𝑓
 𝑑𝑡
= Lim
 ∆,𝑥−0
(ƒ𝑥
∆𝑥
∆𝑡
+ ƒ𝑦
∆𝑦
∆𝑡
+ Φ𝑡
∆𝑥
∆𝑡
+ Φ𝑡
∆𝑦
 ∆𝑡
) 
 
 
42 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
𝑑𝑓
 𝑑𝑥
= ƒ𝑥
𝑑𝑥
 𝑑𝑡
 + ƒ𝑦
𝑑𝑦
 𝑑𝑡
=
əƒ
əx
 
𝑑𝑥
 𝑑𝑡
+
əƒ
əy
𝑑𝑥
 𝑑𝑡
 
 
De similar modo si: 
 
ƒ = ƒ(𝑥𝑦) ; 𝑥 = 𝑥(1,5) ; 𝑦 = 𝑦(1,5) Se obtiene 
 
əƒ
ət
=
əƒ
əx
 
əƒ
əx
+
əƒ
əy
əy
ət
;
əƒ
əs
=
əƒ
əx
 
əx
əs
+
�̂�ƒ
əy
 
əy
əs
 
 
Estas mismas expresiones pueden generalizarse a mas variables 
 
Si: ƒ(𝑥𝑦) = 𝑥
2 + 5𝑥𝑦 ; 𝑥 = 𝑥(𝑡) = 𝑡
2 − 4𝑡 ; 𝑦 = 𝑦(𝑡) = 𝑡
3 
 
𝑑𝑓
 𝑑𝑥
= ƒ𝑥
𝑑𝑥
 𝑑𝑡
 + ƒ𝑦
𝑑𝑦
 𝑑𝑡
= (2𝑥 − 5𝑦)(2𝑡 − 4) + (5𝑥)(3𝑡2) 
 
 = [2(𝑡2 − 4𝑡) + 5(𝑡3)](2𝑡 − 4) + [5(𝑡2 − 4𝑡)]3𝑡2 
 
 = 25𝑡4 − 76𝑡3 − 24𝑡2 + 32𝑡 
 
Jacobianos: El Jacobiano de dos funciones ƒ = ƒ(𝒙𝒚); = ɡ = ɡ(𝒙𝒚) ; que posee derívales parciales 
se denota y define: 
 
𝐽(
ƒ, ɡ
𝑥, 𝑦
) =
ə(ƒ, ɡ)
ə(𝑥, 𝑦)
= |
ƒ𝑥 ƒ𝑦
ɡx ɡy
| 
 
Si ƒ = ƒ(𝑥,𝑦,𝑧); ɡ = ɡ(𝑥,𝑦,𝑧); ℎ = ℎ(𝑥,𝑦,𝑧) el Jacobiano se define como: 
De la misma manera se generaliza el Jacobiano para funciones de más variables. 
 
𝐽(
ƒ, ɡ, h
𝑥, 𝑦, 𝑧
) =
ə(ƒ, ɡ, h)
ə(𝑥, 𝑦, 𝑧)
= |
ƒ𝑥 ƒ𝑦 ƒ𝑧
ɡx ɡy ɡ𝑧
ℎ𝑥 ℎ𝑦 ℎ𝑧
| 
 
La notación como determinante del Jacobiano permite la simplificación en el cálculo de derivadas 
parciales de funciones implícitas y en la transformación de integrales múltiples. 
 
ƒ(𝑥𝑦) = 𝑥
3 + 𝑦3 ; ɡ(𝑥𝑦) = 𝑥
2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 
 
𝐽 (
ƒ, ɡ
𝑥, 𝑦
) =
ə(ƒ, ɡ)
ə(𝑥, 𝑦)
= |
ƒ𝑥 ƒ𝑦
ɡx ɡy
| = |
3𝑥2 3𝑦2
2x − y − x + 2y
| 
 
= 3𝑥2(−𝑥 + 2𝑦) − 3𝑦2(2𝑥 − 𝑦) = −3𝑥3 + 6𝑥2𝑦 − 6𝑥𝑦2 + 3𝑦3 
 
 
 
 
 
43 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
Derivada direccional por el gradiente: Otra aplicación del gradiente se verifica en el cálculo de 
derivadas direccionales. 
Si: ƒ(𝑟) es una Función Escalar de Variable vectorial, su derivada direccional en la dirección de:𝑢 ⃗⃗⃗⃗ 
puede calcularse como: 
 
ƒ𝑟 = Lim
(ℎ−0)
 
ƒ(𝑟−h�⃗⃗⃗�) − ƒ(𝑟)
ℎ
 ; 𝑟 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 
 
= Lim
(ℎ−0)
 
ƒ(x−h𝑢1,𝑦+h𝑢2,𝑧−ℎ𝑢3) − ƒ(x,y,z)
ℎ𝑢1
 
 
= Lim
(ℎ−0)
 
ƒ(x−h𝑢1,𝑦+h𝑢2,𝑧−ℎ𝑢3) − ƒ(xy+h𝑢2,ℎ+ℎ𝑢3)
ℎ𝑢1
𝑢1 +
ƒ(xy+h𝑢2,ℎ+ℎ𝑢3) − ƒ(x,y,z+ℎ𝑢3)
ℎ𝑢2
𝑢2 
 
+
ƒ(x,y,z+ℎ𝑢3) − ƒ(x,y,z)
ℎ𝑢3
 
 
 =
əƒ
əx
𝑢1 +
əƒ
əy
𝑢2 +
əƒ
əz
𝑢3 = ∇⃗⃗⃗ ƒ ° �⃗⃗� 
 
En la práctica para hallar derivadas direccionales, se usa el gradiente en la forma indicada (el 
resultado es válido también para funciones de dos variables) 
 
ƒ𝑟 = ƒ(x,y,z) = 𝑦
2 − 𝑥𝑧 ; �⃗⃗�=
2
3
,
1
3
,
2
3
 
 
ƒ𝑟 = ∇⃗⃗⃗ ƒ ° �⃗⃗� 
 
= (−𝑧𝑖 + 2𝑦𝑗 − 𝑥�⃗⃗�)° (
2
3
𝑖 +
1
3
𝑗 +
2
3
�⃗⃗�) = −
2
3
𝑧 +
2
3
𝑦 −
2
3
𝑥 
 
La máxima variación o máxima razón de cambio de la función: ƒ = ƒ(𝑟) es igual a |∇ƒ⃗⃗⃗⃗ | en la 
dirección de: ∇ƒ⃗⃗⃗⃗ (entonces el mayor valor que puede tomar la derivada direccional será; |∇ƒ⃗⃗⃗⃗ |) 
 
ƒ = ƒ(𝑟); ƒ�⃗⃗⃗� = ∇⃗⃗⃗ ° �⃗⃗� 
 
|ƒ�⃗⃗⃗�| = |∇⃗⃗⃗ ° �⃗⃗�| = |∇ƒ⃗⃗⃗⃗ | | �⃗⃗�| cos 𝑎 
 
|ƒ�⃗⃗⃗�|𝑚𝑎𝑥 = |∇ƒ⃗⃗⃗⃗ | 
 
Derivadas Implícitas: Una función implícita se caracteriza por que no tienen despejada ninguna de 
las variables que se pretende derivar. Para derivar una función implícita de varias variables se 
deriva respecto a dos variables identificando cual será la variable dependiente y cuál será la 
variable independiente. Una de las variables se deriva normalmente y la otra se deriva de forma 
implícita para luego despejar la derivada parcial. 
 
 
 
44 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
Derivar de forma implícita la variable Z respecto a la variable X : 𝑧𝑥 
 
𝑧2 − 5𝑥𝑦 + 3𝑧 + 1 = 0 
 
 𝑧𝑥: 2𝑧 𝑧𝑥 − 5𝑦 + 3 𝑧𝑥 = 0 
 
 𝑧𝑥 = 
5𝑦
2𝑧 + 3
 
 
Derivar de forma implícita la variable Z respecto a la variable X : 𝑧𝑦 
 
 𝑧𝑦: 2𝑧 𝑧𝑦 − 5𝑥 + 3 𝑧𝑦 = 0 
 
 𝑧𝑦 = 
5𝑥
2𝑧 + 3
 
 
Diferencial de una función: el diferencial de una función se obtiene derivando parcialmente 
respecto a una variable, la misma que dará el diferencial de dicha variable. La suma de las 
derivaciones parciales de cada una de las variables da como resultado el diferencial de la función. 
 
𝑑𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑓𝑥𝑑𝑥 + 𝑓𝑦𝑑𝑦 + 𝑓𝑧𝑑𝑧 
 
 
Determinar el diferencial de la siguiente función: 
 
𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥
4 + 3𝑥𝑦2 
 
𝑑𝑓 = (4𝑥3 + 3𝑦2) 𝑑𝑥 + 6𝑥𝑦 𝑑𝑦 
 
OPERADORES DIFERENCIALES 
 
Operador Gradiente (∇) ∶ Se obtiene de una función escalar de variables vectorial de tres 
dimensiones, derivando parcialmente respecto a cada una de las componentes del vector. Da 
como resultado un vector - vector gradiente. 
 
∇ 𝑓 = 𝑖𝑓𝑥 + 𝑗𝑓𝑦 + 𝑘𝑓𝑧 = 𝑓𝑥 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑗 + 𝑓𝑧 𝑘 
Calcular el gradiente de la función escalar de variables vectoriales: 
 
𝑓(𝑥,𝑦,𝑧) = 𝑥
2 + 3𝑦𝑧2 + 𝑥𝑧 
 
∇ 𝑓 = (2𝑥 + 𝑧)𝑖 + 3𝑧2 𝑗 + (6𝑦𝑧 + 𝑥)𝑘 
 
Operador Divergencia (
∇
→) : Se obtiene derivando parcialmente una función vectorial de variables 
vectorial, se deriva parcialmente respecto a cada una de los componentes del vector. Da como 
resultado una función escalar de varias variables. 
 
 
 
45 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
∇
→ 𝑓 = 𝑖𝑓𝑥 + 𝑗𝑓𝑦 + 𝑘𝑓𝑧 = 𝑓1𝑥 + 𝑓2𝑦 + 𝑓3𝑧 
 
Calcular la divergencia de la función vectorial de variables vectorial: 
 
𝑘
→ = 3𝑥2𝑦2𝑖 + 4𝑦𝑧𝑗 + (2𝑥 + 𝑧2)𝑘 
 
∇
→𝑘 = 6𝑥𝑦2 + 4𝑧 + 2𝑧 = 6𝑥𝑦 + 6𝑧 
 
 
PRÁCTICO Nº 3 
 
1. Graficar la siguiente función vectorial 
 
a) 𝑓(𝑡) = (2𝑡 − 1)𝑖 + 3𝑡𝑗 − 2𝑡2𝑘 
Cuya imagen es 𝐼 = [−2; 3] 
 
b) 𝑓(𝑡) = (2𝑡 + 3)𝑖 + 2𝑡2𝑗 − 4𝑡3𝑘 
 
Cuya imagen es 𝐼 = [−3; 3] 
 
c) 














 k
t
jti
t
B
2
3
)2(
9
42 2
 
Cuya imagen es 𝐼 = [−2; 3] 
 
2. Hallar el límite de las siguientes funciones vectoriales 
 
a) 
2t
Lim [
𝑡3−2𝑡2−4𝑡+8
3𝑡2+3𝑡−6
𝑖 −
2𝑡+3
3√2𝑡
𝑗 +
√2+3𝑡
𝑡+2
𝑘 ] 
 
b) 
2t
Lim [
2𝑡2−4𝑡+2
𝑡2+3𝑡−2
𝑖 +
4𝑡+6
3√2𝑡
𝑗 −
√2+4𝑡
2𝑡+5
𝑘 ] 
 
c) lim𝑡→1 [
𝑡3−1
𝑡2−1
𝑖 +
4𝑡+6
3√2𝑡
𝑗 −
√2+4𝑡
2𝑡+5
𝑘] 
 
d) lim𝑡→2 [
𝑡2−4
𝑡−2
𝑖 +
𝑡+6
√5𝑡3
𝑗 −
2+3𝑡
2𝑡3+2
𝑘] 
 
 
 
46 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
e) lim𝑡→3 [
√𝑡−√3
𝑡−3
𝑖 +
𝑡2−2𝑡
5𝑡
𝑗 −
2𝑡+3𝑡3
2𝑡2+2𝑡
𝑘] 
 
f) lim𝑡→∞ [
𝑡2−3𝑡
𝑡2−3
𝑖 +
4𝑡2−2𝑡
2𝑡
𝑗 −
𝑡+5𝑡3
2𝑡2−2𝑡
𝑘] 
 
g) lim𝑡→∞ [
𝑡3−3𝑡+5𝑡2
𝑡2−3𝑡
𝑖 +
4𝑡2−5𝑡
5𝑡4
𝑗 −
8𝑡+5𝑡3
6𝑡2+3𝑡
𝑘] 
 
3. Hallar la derivada de la siguiente función vectorial 
 
a) 















 k
tt
t
jtttti
t
A
32
3
)56)(72(
7
2
3
2
253
3
 
 
b) 𝐹(𝑡) = [(
6𝑡4+3𝑡+4
5𝑡
2
3
) 𝑖 + (
8𝑡3𝑒𝑡
2𝑡2
) 𝑗 − (
2 𝑡2
9√𝑡3
) 𝑘] 
 
c) 𝐹(𝑡) = [(
𝑠𝑒𝑛(𝑡2+6𝑡+7)
5
2
𝑡
2
3
) 𝑖 + (
8𝑡3𝑒𝑡
6𝑡3
) 𝑗 − (
3log (2𝑡− 𝑡2)
4
) 𝑘] 
 
d) 𝐺(𝑡) = [(
𝑙𝑛(9𝑡2+2𝑡)
3
) 𝑖 + (
(4𝑡3+2𝑡)52𝑡
5
) 𝑗 − (
3 (2𝑡− 𝑡2)
4𝑡+ 5𝑡2
) 𝑘] 
 
4. Hallar la integral de la siguiente función vectorial 
 
a) ∫ [((
3𝑡4+3𝑡−5
4𝑡
) 𝑖 + (
3𝑡𝑒𝑡
2𝑡
) 𝑗 − (
5 𝑡2
3√𝑡3
) 𝑘)] 𝑑𝑡 
 
b) ∫ [((
3𝑡2+5𝑡−2
3
2
𝑡3
) 𝑖 + (
2𝑒𝑡
3
) 𝑗 − (
2 𝑡4
4√𝑡3
) 𝑘)]𝑑𝑡 
 
 
 
 
47 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
c) ∫ [((
7𝑡2+5𝑡
2
3−6
8
) 𝑖 + (
8𝑡𝑒(𝑡
2−6)
2
) 𝑗 − (
5 𝑡
2
5
3√𝑡3
)𝑘)]𝑑𝑡 
 
d) ∫ [((
6√𝑡2−2𝑡
3𝑡
2
3
) 𝑖 + (
7𝑡−6𝑡3+4
3
) 𝑗 − (
2 √𝑡4
3
4√𝑡3
) 𝑘)]𝑑𝑡 
 
e) ∫ [((
3𝑡√3𝑡2−2
5
) 𝑖 + (
𝑡−5
2𝑡
) 𝑗 − (
5 𝑡2
3√𝑡3−3
) 𝑘)] 𝑑𝑡 
 
f) ∫ [((
7𝑡4
(3𝑡5−2)9
) 𝑖 + (
𝑡−5
2𝑡
) 𝑗 − (
 𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑡2
3𝑐𝑜𝑠𝑡2
) 𝑘)] 𝑑𝑡 
 
5. Hallar el vector gradiente de la siguiente función 
 
a) H (x, y, z) = 
3x2+3y−2z
3y3
+
7y2x2
4𝑥
+
3z2
5
− 4y
1
3 
 
b) f (x, y, z) = 
5x4+3y−5z+1
2y3
+
7y2x3
2
+
3z
2
−5
4
− 2y
−2
3 
 
c) f (x, y, z) =
6x
1
3
5 √𝑦
3 − 2𝑥𝑧 + 3𝑦𝑧
2
5 + 7𝑦 
 
6. Calcular la divergencia del siguiente vector 
 
1) A⃗⃗ = (
2x4+3y−7
3y3
) i + (
3y2x3
7
+ 2𝑦−3) j + (
3z3
4
−
4𝑥𝑦−4
7
) 𝑘 
 
2) B⃗⃗ = 
3𝑥3−2𝑥𝑦2+8
3𝑦2
𝑖 −
2𝑥+3𝑦
3√2𝑡𝑦
𝑗 +
√𝑧+3𝑦
4𝑧
𝑘 
 
3) C⃗ = (
2x4
9y3
) i + (
3y2x3
6𝑧
+ 3𝑦−2) j + (
4z3
3x
−
5𝑥𝑦−1
7𝑦𝑧
)𝑘 
 
 
 
48 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 UTEPSA – Guía MAAP 
 
Hallar las derivadas parciales, por definición en las funciones 
 
a. 𝑓 = 𝐿𝑛𝑥 + 𝑒𝑦 
b. 𝑓 = 𝑥𝑦 + 1 
c. 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑥2
, + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥 
d. 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑥𝑦
2𝑧3 
e. 𝑓 = cos(𝑥2 − 𝑦𝑧) 
 
Hallar las derivadas parciales: 𝒇𝒙 ; 𝒇𝒚 ; 𝒇𝟐 si corresponde de las siguientes funciones: 
 
a. 𝑓 = 𝑥𝑒𝑦 + 𝑦𝑒𝑥 + 𝑒 
b. 𝑓 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 
c. 𝑓 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥8 + 𝑦5) 
d. 𝑓 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2) 
e. 𝑓 = 𝑒2𝑥+𝑦
3
+ 𝑒𝑥𝑦 + 𝑒2 
f. 𝑓 =
𝑥
𝑦
+
𝑦
𝑥
 
g. 𝑓 =
𝑥2−𝑦2
𝑥2−𝑦2
 
h. 𝑓 = 𝑦𝑥 − 1 
i. 𝑓(𝑥𝑦) = 𝐿𝑛(1 + 𝑥𝑦) 
j. 𝑓(𝑥𝑦) = 𝐿𝑛(𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑒
𝑦) − cos 𝜋 
k. 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑥
5 + 5𝑦 + 𝑠𝑒𝑛𝑧 − 𝑥𝑦𝑧 
l. 𝑓(𝑥𝑦) = 𝑧
𝑥𝑦 + 𝑥𝑦
𝑧
 
m. 𝑓(𝑥𝑦𝑧) = 𝑧
𝑥𝑦 + 𝑥𝑦
𝑧
n. 
K(x,y) = 
7x3
3
−
5𝑥2𝑦−4
2 √𝑥2
3 +
10𝑥𝑦
−
2
3
5𝑦−2
+
5𝑦−3
3
− 2 
o. f (x, y) = 
5x4+3y−5
2y3
+
7y2x3
2
+
3x
2
−5
4
− 2y
−2
3 
p. f (x, y, z) = (5x−3y
2
3 −
3yz−2
3√𝑥5
)
7
 
q. G(x,y)= 





 
x
xyyxx
x
3
5
1025
3
7 2/1423
4
 
Hallar las derivadas parciales de orden superior indicadas 
 
a. 𝑓 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑦𝐿𝑛𝑥; 𝑓𝑥𝑥 ; 𝑓𝑥𝑦 
b. 𝑓 = 𝑒𝑥𝑦 − 1; 𝑓𝑥𝑦 ; 𝑓𝑥𝑥𝑦 
c. 𝑓 = 𝑒𝑥
2−𝑠𝑒𝑛 𝑦; 𝑓𝑥𝑦 ; 𝑓𝑥𝑥𝑦 
d. 𝑓 = 𝑥𝑦 − 1; 𝑓𝑦𝑦 ; 𝑓𝑥𝑦 
e. 𝑓 = 𝑥𝑦𝑧 + 1; 𝑓𝑦𝑧 ; 𝑓𝑥𝑥 
f. 𝑓 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) + 𝐿𝑛(1 + 𝑥2𝑦4); 𝑓𝑥𝑥 ; 𝑓𝑥𝑦 𝑓𝑦𝑦 
g. 𝑓 = 𝑒3𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(2𝑦) + 𝐿𝑛(7𝑧); 𝑓𝑥𝑥𝑥𝑥 ; 𝑓𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑓𝑧𝑧𝑧𝑧
En cada uno de los siguientes ejercicios, hallar las derivadas parciales de segundo orden 
 
),(y),(),,(),,( yxfyxfyxfyxf yyyxxyxx 
 
1. a) 
yexyxxyyxf  233 32),( b) 5ln)12(2),( 32  xyxyxf 
2. a) 52
3
),( 
xy
y
x
x
y
yxf b) xy
x
y
y
x
yxf 2
2
13
3
12
),( 





 
 
 
49 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 
UTEPSA – Guía MAAP 
3. a) 53)2(2),( 23  yyxxyxf b) xyyeyxf
y
xx 32),(
2
22 

 
4. a) 3)32ln(2),( 12
12



y
x
xyyxf b) 3)3(2),(
2
23 


y
yx
yxxyxf 
5. 
𝑘(𝑥, 𝑦) =
7x3
3
−
5𝑥2𝑦−4
2 √𝑥2
3 +
10𝑥𝑦
−2
3
5𝑦−2
+
5𝑦−3
3
− 2 
Hallar el diferencial de las funciones indicadas. 
1. a) 5ln32),(  yxyxyxf b) 5ln32),( 2  xyxeyxf y 
2. a) 3),,(  yzxzxyzyxf b) xzzyexzyxf y cos3ln2),,( 2   
3. f (x, y) = 
7y2x5
2
+
3x
3
5
3
− 2y
4
3 
 
4. f(x, y) = 
5x3+3xy−8y
3xy2
+ −2y
−2
3 
 
5. f (x, y; z) = 3x2 y3 − 5y4 z5 + 7 
 
6. D (x, y) = 
5x3+2y+3
3y3
+
7y2x3
2𝑥
+ 5y
1
3 − 5𝑥 
Aplicando la regla de la cadena, calcular las derivadas indicadas. 
1. 7. 12),(
32
 xyyxyxf ; 1)(,12)(
2
 ttyttx ; hallar ft. 
2. 8. 323),(
32
 yxyxyxf ; 
22
),(,32),( rtrtyrtrtx  ; hallar ft y fr. 
3. 9. yxyxyxyxf 
22
3),( ;  rsenryrrx  ),(,cos),( ; hallar fr y f. 
Calcular las siguientes derivadas implícitas. 
 
1. 3
333
 xyzzyx ; hallar zx y zy. 
2. 1
22


yxxyze
z
; hallar zx y zy. 
3. 0lncos  senyxxze
yz
; hallar zx y zy. 
4. 3
333
 zyx ; hallar zxx, zxy, zyx y zyy. 
5. 12  zxye
z
; hallar zxx, zxy, zyx y zyy. 
 
 
50 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 
UTEPSA – Guía MAAP 
Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie dada. 
1. 21. 0232
22
 zyx , en P(-1,2,7) 
2. 22. 16532
222
 zyx , en P(2,-1,1) 
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES 
Hallar máximos o mínimos de las siguientes funciones. 
 
1. a) 35121232),( 22  yxyxyxf b) 25321212),( 22  yxyxyxf 
2. a) 2051233),(
22
 yxxyyxyxf b) 531253),(
22
 yxyxxyyxf 
3. a) 722),(
23
 yxxyyxyxf b) 522),(
32
 yxxyyxyxf 
4. a) 25287),,(
222  zyxxyzyxzyxf 
Resolver los siguientes problemas de aplicación práctica de los máximos y mínimos. 
 
5. Hallar las dimensiones de una caja rectangular sin tapa superior de volumen 32 cm3, de 
 Manera que su superficie sea mínimo. 
6. Hallar el máximo volumen de una caja rectangular sin tapa superior, de manera que su 
 Superficie es de 48 cm2. 
7. Dadas las funciones de costo y de ingreso: 30163 21
2
221
2
1  qqqqqqC 
 25316
2
221
2
121
 qqqqqqI . Hallar el costo mín., ingreso máx. y utilidad máx. 
 
 
Investigación 
 
 
Iinvestigar algunas aplicaciones de las derivadas parciales en los procesos térmicos y en la 
ingeniería. 
 
Unidad 4: 
INTEGRALES DOBLES 
 
Objetivos de aprendizaje: 
 Conocer y manejar los métodos de integración. 
 Calcular, usando integrales dobles, áreas de superficies planas y revolución de volúmenes. 
4 
Integrales dobles: La definición de una integral doble es análoga simple definida. 
Si: R es una región cerrada (superficie que incluye a su curva limitadora); situada en el plano xy; R 
se subdivide mediante rectas paralelas a los ejes coordenados: x, y en: n rectángulos: 
𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, … , 𝐴𝑛. 
 
 
51 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 
UTEPSA – Guía MAAP 
 
Al conjunto de los n rectángulos, se llamara subdivisión |∆| de R. 
 
Se llamara norma de subdivisión (|∆|) a la longitud de la diagonal 
del mayor de los rectángulos (los que no necesariamente 
son iguales entre sí). 
 
Si la función de dos variables; ƒ(x,y) está definida para todo (xy) 
de la región: R se elige (xy) un punto de cada rectángulo 𝑅𝐼. 
 
Conformado la suma integral: 
 
𝑆 = ƒ(𝑋1,𝑌1)𝐴1 + ƒ(𝑋2,𝑌2)𝐴2 + ƒ(𝑋3,𝑌3)𝐴3 + ⋯+ ƒ(𝑋𝑛,𝑌𝑛)𝐴𝑛 = ∑ƒ(𝑋𝑖,𝑌𝑖)𝐴𝑖
n
i=1
 
A medida que crezca: n disminuirá el valor de la norma de subdivisión (|∆|). La suma integral 
define a la integral doble de: ƒ(x,y) sobre la región R en el milite se obtiene: 
Lim
|∆|−0
∑ƒ(𝑋𝑖,𝑌𝑖)𝐴𝑖
n
i=1
= ∬𝑅ƒ(x,y) 𝑑𝐴 
Para asegurar la existencia de la integral doble, de acuerdo a las anteriores condiciones, se tiene 
el siguiente teorema: 
Si: ƒ(x,y) es una función continua en R, el límite de la suma integral, existirá cuando |∆| → 0, 
mientras 𝑛 → ∞; este límite será siempre el mismo, para cualquier modo de división de R; o para 
cualquier de (x, y) dentro de cada rectángulo. 
Recordando que una función de varias variables, es también una función escalar de variable 
vectorial, entonces una integral doble puede expresarse también como: 
 
∬ ƒ(x,y)𝑑𝐴
𝑅
= ∬𝑅ƒ(𝑟) 𝑑𝐴; 𝑟 = (x, y) 
Se evaluara por iteración, las siguientes integrales 
 
∬6𝑥4𝑦2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 
 
∫[6𝑦2 ∫𝑥4 𝑑𝑥 ] 𝑑𝑦 
∫[6𝑦2
𝑥5
5
] 𝑑𝑦 
 
6
5
𝑥5 ∫𝑦2 𝑑𝑦 
 
= 
6
15
𝑥5𝑦3 + 𝑐 
 
 
52 
 
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UTEPSA – Guía MAAP 
 
Se evaluara por iteración, las siguientes integrales 
 
∫ ∫ 6𝑥4𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥
4
0
3
1
 
 
= ∫ [∫ 6𝑥4𝑦2 𝑑𝑦
4
0
]
3
1
𝑑𝑥 = ∫ [6𝑥4
𝑦3
3
|
4
0
]
3
1
𝑑𝑥 
 
= ∫ 6𝑥4
43
3
− 6𝑥4
43
3
= ∫ 128𝑥4𝑑𝑥
3
1
3
1
 
 
= 128
𝑥5
5
|
3
1
= 128
33
5
− 128
13
5
=
30976
5
 
 
∫ ∫
𝑦2
𝑥4
 𝑑𝑦 𝑑𝑥
2𝑥
0
𝑐
1
 
 
= ∫ ∫
1
𝑥4
 (𝑦2)𝑑𝑦 𝑑𝑥
2𝑥
0
𝑐
1
= ∫
1
𝑥4
(
𝑦3
3
)
𝑐
1
|
2𝑥
0
𝑑𝑥 
 
= ∫
1
𝑥4
[
(2𝑥)3
3
−
03
3
] 𝑑𝑥 =
8
3
𝑐
1
∫
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑐
1
 
 
=
8
3
𝐿𝑛𝑥 |
𝑐
1
=
8
3
(𝐿𝑛𝑒 − 𝐿𝑛1) =
8
3
 
 
Integrales dobles volumen 
 
Evalúe ∬𝑅 (𝑥 + 𝑧𝑦)𝑑𝐴 , donde R es la región acotada parábolas y = 2𝑥2 y 
y =1+1𝑥2 
 
𝑅 ∫ ∫ (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
1+𝑥2
2𝑥2
1
−1
∫ {𝑥𝑦 +
2𝑦2
2
∫
1+𝑥2
2𝑥2
} 𝑑𝑥 
1
−1
 
 
𝑅 ∫ [𝑥(1 + 𝑥2) + (1 − 𝑥2)2]
1
−1
− [𝑥(2𝑥2) + (2𝑥2)2]𝑑𝑥 
 
𝑅 ∫ [𝑥 + 𝑥3 + 1 + 2𝑥2 + 𝑥4 − 2𝑥3 − 4𝑥4]𝑑𝑥
1
−1
 
 
 
53 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 
UTEPSA – Guía MAAP 
𝑅 ∫ (−3𝑥4 − 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 + 1)𝑑𝑥 =
2
2
𝑥5 −
𝑥4
4
+
2
3
𝑥3 +
𝑥2
2
+ 𝑥
1
−1
 
 
[−
3
5
(1)5 −
(1)4
4
+
2
3
(1)3 +
(1)2
2
(1)] 
 
−[−
3
5
(−1)5 −
(−1)4
4
+
2
3
(−1)3 +
(−1)2
2
(−1)] 
 
𝑅 [
79
60
] − [−
49
60
] = 
79
60
+
49
60
=
128
60
=
32
15
 
 
Área y volumen por integración doble 
 
Calcular las siguientes integrales dobles sobre las regiones: R indicadas 
 
∬ (3𝑥2 + 4𝑦3)𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅 R: x = 1 ; y = 0 
 x =3 ; y = 2 
La región R indicada en la gráfica es un cuadrado 
 en el plano, de extremos constantes, integrando por iteración: 
 
∬ (3𝑥2 + 4𝑦3)𝑑𝑦 𝑑𝑥 ∫ ∫ (3𝑥2 + 4𝑦3) 𝑑𝑦 𝑑𝑥
2
0
3
1𝑅
 
 
= ∫ (3𝑥2𝑦 + 𝑦4) |
2
0
 𝑑𝑥
3
1
= ∫ (6𝑥2 + 16)𝑑𝑥 = (2𝑥3 + 16) |
3
1
= 34
3
1
 
 
R está limitado superiormente por la parábola: y = 𝑥2 inferiormente por el eje x (y = 0); 
lateralmente por el eje x (y = 0); lateralmente por x = 0; x = 2 
 
∬ 3𝑥𝑦2𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∫ ∫ 3𝑥𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑥2
0
2
0𝑅
 
 
∫ 𝑥𝑦3 |𝑥
2
0
𝑑𝑥 = 
2
0
∫ 𝑥7𝑑𝑥 =
𝑥8
8
|
2
0
= 32
2
0
 
 
 
PRÁCTICO Nº 4 
 
Hallar las siguientes integrales dobles indefinidas 
 
 
1. a) 
dxdyyxyx  )2543(
42
 b) 
dxdyyyxx

 )32(
43
 
 
 
 
54 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 
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2. a) 
dxdy
xyy
x
x
y
  )
2
(
 b) 
dxdy
x
y
y
x
  )11
2
2
3
(
 
 
3. a) 
dxdyyx 
7
)54(
 b) 
dxdyxy 32 
 
Calcular las siguientes integrales dobles definidas 
 
4. a) 
  
2
1
1
0
)3( dxdyyxyx
 b) 
  
2
1
2
0
22
)12( dxdyyxyx
 
 
5. a) 
  
2
1
1
0
)3( dydxyxyx
 b) 
  
2
1
2
0
22
)12( dydxyxyx
 
 
6. a) 
  
2
0 0
)1(
y
dxdyyx
 b) 
  
3
1 1
)32(
x
dydxxy
 
 
7. Colocar los límites de las siguientes integrales, si región es la que se muestra 
 a) 
dxdyyxf
R
 ),(
 b) 

R
dydxyxf ),(
 
 y y = x + 2 
 
y = x2 – x –1 
 
 2x + 3y = 6 
 
 
 
 -3 x- 2 x 
 
Aplicando coordenadas cilíndricas o esféricas, calcular el volumen de las regiones indicadas. 
 
1. R: 






22
222
yxz
yxz
 
 
2. R: 






1
16
222
222
zyx
zyx
 
 
 
55 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 
UTEPSA – Guía MAAP 
 
3. R: 






0;
9
222
222
zyxz
zyx
 
 
4. R: 






4
64
222
z
zyx
 
Pasar el punto dado de coordenadas esféricas a rectangulares, de esféricas a cilíndricas: 
 
a) 






4
,
6
,4

, b) 






9
,
4
3
,12

, c) 








,
4
,9
, d) 






4
3
,
4
,5

 
 
V Escribir una ecuación de la superficie dada en, coordenadas esféricas 
 
6. 16
222  zyx
 
1. 02
222  zzyx
 
2.  
2224 zyx 
 
3. zyx 
22
 
4. 9
22  yx 
 
5. yyx 4
22 
 
Aplicando el método de integración correspondiente, calcular las siguientes integrales dobles 
 
∫ ∫
𝑥𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥
√1 + 𝑥2
3
1
0
1
0
 
 
Dada la región R plantear los límites de la integral doble de: ƒ(x,y) en sus dos órdenes posibles: 
 
1. ∫ ∫ ƒ(x,y)𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
6
2𝑋
3
0 ∫ ∫ ƒ(x,y)𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑦/2
0
6
0
 
 
R: 
X = 0 
X = 3 
Y = 2X 
Y = 6 
 
2. ∫ ∫ ƒ(x,y)𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
𝑥
𝑥2
1
0 ∫ ∫ ƒ(x,y)𝑑𝑥 𝑑𝑦
1
√𝑦
1
0
 
R: 
X = 0 
X = 1 
Y = x 
Y = 𝑥2 
 
 
56 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 
UTEPSA – Guía MAAP 
 
3. ∫ ∫ ƒ(x,y)𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥2
𝜋/2
0 ∫ ∫ ƒ(x,y)𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝜋/2
𝐴𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑦
1
0
 
 
R: 
X = 0 
X = π/2 
Y = 0 
Y = Sen x 
 
4. ∫ ∫ ƒ(x,y)𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
𝑐𝑥
𝑥2
1
0 ∫ ∫ ƒ(x,y)𝑑𝑥 𝑑𝑦
1
𝐿𝑛 𝑦
𝑐
0
 
 
R: 
X = 1 
X = 1 
Y = 𝑒𝑥 
 
Calcular las siguientes integrales 
 
1. ∬3𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅: 𝑦 = 2𝑥 ; 𝑦 = 4 
𝑦 = 𝑥 
2. ∬𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅: 𝑦 = 𝑥 ; 𝑦 = 0 
𝑦 = 6 − 𝑥 
3. ∬𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅: 𝑦 = 𝑥 − 2 
𝑦2 = 𝑥 
4. ∬𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅: 𝑦 = 2 − 𝑥; 𝑦 = 𝑥2 
𝑦 = 𝑥 + 2 
5. ∫ ∫ 6𝑥𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥
4
1
5
0
 
6. ∫ ∫ 𝑥3 cos 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝜋 2⁄
1
2
0
 
7. ∫ ∫ 5𝑥3 𝑑𝑦 𝑑𝑥
1
0
2
0
 
8. ∫ ∫ (𝑥2 + 3𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥
2
0
3
0
 
9. ∫ ∫ 9𝑥3 𝑦2 𝑑𝑥 𝑑𝑦
2
0
4
0
 
10. ∫ ∫ 𝑥𝑦3 𝑑𝑦 𝑑𝑥
2𝑥
0
2
1
 
 
 
57 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 
UTEPSA – Guía MAAP 
11. ∫ ∫ 2𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
√𝑥
𝑥2
1 2⁄
0
 
12. ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2)
𝑦4
0
1
0
𝑑𝑥 𝑑𝑦 
13. ∫ ∫ 𝑒𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑥
0
1
0
 
 
14. ∬𝑥𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅: 𝑥 = 2 ; 𝑦 = 0 
𝑥 = 6 ; 𝑦 = 𝑥 
15. ∬5𝑥3𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅: 𝑥 = 0 ; 𝑦 = 0 
𝑥 = 6 ; 𝑦 = 𝑥 
16. ∬(3𝑥 + 𝑦2) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅: 𝑥 = 2 ; 𝑦 = 4 
𝑥 = 0 ; 𝑦 = 𝑥2 
17. ∬(𝑦 − 𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅: 𝑦 = 2𝑥 ; 𝑥 = 2 
𝑦 = 𝑥 2⁄ 
18. ∬𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑅: 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 5 
𝑦 = 5 − 𝑥 
5 Investigación 
6 
7 Investigar algunas aplicaciones de las integrales dobles en la ingeniería civil y la ingeniería 
ambiental 
 
Unidad 5: 
INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES 
 
Objetivos de aprendizaje: 
 
 Conocer y manejar conceptos de integrales dobles en coordenadas polares. 
 Aplicar el jacobiano de la transformación de cartesianas a polares. 
 
Integrales dobles en coordenadas polares: En coordenadas 
polares un punto del plano se expresa por 𝑃(𝑟, 𝜃); 𝑟 es el radio; 
𝜃 es el ángulo las relaciones entre las coordenadas cartesianas 
de: (x, y) con las polares y el respectivo jacobiano son: 
 
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑦
𝑥
 
 
 
58 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 
UTEPSA – Guía MAAP 
𝐽 (
x, y, z
𝑟, 𝜃
) |
𝑥𝑟 𝑥𝑦
𝑦𝑟 𝑦𝜃
| = |
cos 𝜃 − 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟 cos 𝜃
| = 𝑟 
 
 
Se calculara usando coordenadas polares, con la transformación: 
x = r cos 𝜃; 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃. 
∬ √𝑥2 + 𝑦2
𝑅
= 𝑑𝑦 𝑑𝑥 
R: 𝑥2 + 𝑦2 = 32 
 𝑥2 + 𝑦2 = 22 
Transformando previamente la región: R en 𝑅, (un anillo circular 
en un rectángulo) 
 
Si R: 𝑥2 + 𝑦2 = 32 𝑅, 𝑟 = 3 donde 
 𝑥2 + 𝑦2 = 22 𝑟 = 2 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 
 
Por el teorema de transformación de integrales dobles 
 
∬ ƒ(x,y)𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
𝑅
∬ ɡ(r,θ) |𝐽(
𝑥, 𝑦
r, θ
)| =
𝑅
𝑑𝑟 𝑑𝜃 
∬ √𝑥2 + 𝑦2
𝑅
𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ∬ 𝑟𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 = ∫ ∫ 𝑟2𝑑𝑟 𝑑𝜃
3
2
2𝑥
0𝑅
 
 
= ∫
𝑟3
3
|
3
2
 𝑑𝜃 = ∫
19
3
 𝑑𝜃 =
19
3
𝜃 |
2𝜋
0
=
38𝜋
3
2𝜋
0
2𝑥
0
 
 
El jacobiano de la transformación de cartesianas a polares es: r, esta expresión debe emplearse en 
toda integral que se transforma a polares. 
 
Calcular el área limitada por 𝑥2 + 𝑦2 = 4; 𝑥2 + 𝑦2 = 9 
 
Si lo hacemos por el método cartesiano será moroso por tanto se hará por polares 
 
Polares 
 
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 
𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 
𝑑𝐴 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 
 
𝐴𝑇 = 4∫ ∫ 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 = 4∫ ∫
𝑟2
2
3
2
∫ 𝑑𝜃
3
2
𝜋
2
0
3
2
𝜋
2
0
 
 
𝐴𝑇 = 4∫ [
(3)2
2
−
(2)2
2
] 𝑑𝜃 = 4∫
5
2
𝑑𝜃
𝜋
2
0
𝜋
2
0
 
 
 
 
59 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 
UTEPSA – Guía MAAP 
𝐴𝑇 = 10𝜃 ∫ = 10 (
𝜋
2
)
𝜋
2
0
 
𝐴𝑇 = 5𝜋 
 
 
PRÁCTICO Nº 5 
 
 
1.-Por transformaciones a polares calcular las áreas de las regiones R: 
𝑟 = 5 𝑠𝑒𝑛 2𝜗 
 
Calcular: 
A=8∫ ∫ 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜗
5 𝑠𝑒𝑛 2𝜗
0
𝜋 4⁄
0
 
 
2.-Por transformaciones a polares calcular las áreas de las regiones R: 
𝑟 = 4 − 2𝑐𝑜𝑠𝜗 
 
Calcular: 
A=2∫ ∫ 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜗
4−2𝑐𝑜𝑠𝜗
0
𝜋
0
 
 
3.-Por transformaciones a polares calcular las áreas de las regiones R: 
𝑟 = 2 − 4𝑐𝑜𝑠𝜗 
 
Calcular: 
A=2∫ ∫ 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜗
2−4𝑐𝑜𝑠𝜗
0
𝜋
𝜋 3⁄
 
 
 
4.-Por transformaciones a polares calcular las áreas de las regiones R: 
𝑟 = 4 cos 5𝜗 
 
Calcular: 
A=10∫ ∫ 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜗
4 cos5𝜗
0
𝜋/10
0
 
 
Calcular las siguientes integrales dobles, sobre las regiones R indicadas (transformar a 
coordenadas polares) 
 
8. 
 
R
dAyx )(
22
 R: 






1
9
22
22
yx
yx
 
 
9. 
 
R
dAyx
22
 R: 






0;0
9
22
yx
yx
 
 
 
 
60 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 
UTEPSA – Guía MAAP 
10. 
 
R
dAyx )(
22
 R: 






xyyx
xyyx
3;1
3;9
22
22
 
 
11. 
 
R
dA
yx 22
)
2
()
3
(1
 R: 
1)
2
()
3
(
22

yx
 
 
 
8 Investigación 
9 
10 Investigar algunas aplicaciones de las integrales dobles en coordenadas polares en la 
mecánica 
 
Unidad 6: 
INTEGRALES TRIPLES 
 
Objetivos de aprendizaje: 
 Conocer y manejar conceptos de integrales triples. 
 Conocer y manejar conceptos de transformaciones en integrales triples. 
 Conocer y manejar conceptos de integración en coordenadas cilíndricas y esféricas 
Integrales triples: La definición de una integral triple es 
análoga a la de una integral doble. 
Si: R es una región cerrada (volumen que incluye a su 
superficie limitadora); situada en el espacio: XYZ; R puede 
subdividirse mediante planos paralelos a los planos 
coordenados en n cubos:𝑅1,𝑅2, …𝑅𝑛 de volúmenes: 
𝑉1,𝑉2, … 𝑉3 
El conjunto de la n subregiones (cubos) se denomina 
subdivisión |∆| de R. 
Se Llamara norma de la subdivisión |∆| a la longitud de diagonal del mayor de los cubos, los que 
necesariamente son iguales. 
Si la función de tres variables: ƒ(𝑋𝑖,𝑌𝑖𝑍𝐼) está definido, para todo (x, y, z) de R se elige un punto (x, 
y, z) dentro de cada cubo. 
Conformando la suma, llamada suma integral 
𝑆 = ƒ(𝑥𝑖𝑥𝑖𝑥𝑖)𝑉1 + ƒ(𝑥2𝑥2𝑥2)𝑉2 + ⋯+ ƒ(𝑥𝑛𝑥𝑛𝑥𝑛)𝑉𝑛 ∑ƒ(𝑋𝑖,𝑌𝑖𝑍𝐼)𝑉𝑖 =
n
i=1
 
A medida que crece: n disminuirá el valor de:|∆| , la suma integral define a la integral triple de 
ƒ(𝑋𝑖,𝑌𝑖𝑍𝐼) sobre la región: R; en el límite: 
Lim
|∆|−0
∑ƒ(𝑋𝑖,𝑌𝑖𝑍𝐼)𝑉𝑖 = ∭ ƒ(𝑋𝑖,𝑌𝑖𝑍𝐼)
𝑅
𝑑𝑣
n
i=1
 
 
 
61 
 
CODIGO: PO-PRE-102-1 - VER: 3 - VIGENTE: 19-05-2016 
UTEPSA – Guía MAAP 
Calcular la siguiente