2011-marzo, 6to Fis_mat, mat I, IAVA

Vista previa del material en texto

EXAMÉN 3FM – MATEMÁTICA I 
1. A) Demostrar que ( ) 1sen x x tiene alguna solución en . Enunciar el o los teoremas utilizados 
B) E.A y R.G de 2( ) 2x xf x L e e x 
2. A) Investigar si existen valores de a y b para que la siguiente función sea derivable en R 
2
( ) si 1
( ) 
 si 1
sen t x
f x
ax bx x
 
B) Definir función continua y derivable en a. Demostrar el teorema utilizado en la parte anterior. 
 
3. A) Dada Indicar para que valores de a cumple con las Hipótesis de Rolle en [0,1]. 
Hallar el c mencionado en el teorema de Rolle. 
B) Enunciar y demostrar el Teorema de Rolle 
 
4. A) Demostrar que si f y g son derivables en a entonces el producto es derivable y 
( . ) '( ) '( ). ( ) ( ). '( )f g a f a g a f a g a 
 B) Sea Determinar el valor de a para que el área comprendida entre el gráfico de la 
 función el eje y las rectas x=0 y x=1 sea 
 
 
 
CATEGORÍA B : Elegir 2 EJERCICIOS 
CATEGORÍA C Y D: ELEGIR 4 EJERCICIOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ORALES: 
1) Definir función decreciente en a. Demostrar que si f es derivable en a y f’(a)<0 entonces f es decreciente 
en a 
 Calcular: 
0
( )
2lim
(cos( ))x
artg x
L x
 
 Calcular el área entre 
2
( )
4
f x
x
, el eje ox y las rectas x=0 y x=3 
 
Definir función creciente en a. Demostrar que si f es derivable en a y f´(a)>0 entonces f es creciente en a 
 
Calcular: 
1
0
lim(cos( ) 1) xx
x
x xe 
 
Considere la función . Sabiendo que: 
 
* para todo 
* para todo 
* f(1)=f(5)=0 
 ¿Se cumple que existe siempre por lo menos un / f’(c)=0? Enuncie y demuestre el 
teorema aplicado 
 
Calcular: lim ( )
2x
x artg x 
1
0
1
x
x
 
 Considere la función 
¿cumple g las hipótesis del Teorema de Weierstrass para algún en el intervalo [0,4]? Justifique. 
Calcular: 
1
e
Lt 
Sea 
2
2 2
 si 2
4
( )
 si 2
cos( 2)
x
x
x
f x
ax
x
x
¿ Existe algún valor de a para que f cumpla las hipótesis de Darboux en 
[-4,0]? Demostrar el teorema de Darboux 
Calcular: 
4
2
2
2
1
x
x