Dualidad

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Universidad Nororiental Privada
Gran Mariscal De Ayacucho
Facultad De Ciencias Económicas Y Sociales
Escuela De Administración De Empresas Y Economía
Investigación de Operaciones
Núcleo Cumaná
Dualidad
Profesora:
Sara Salmasi
Alumna:
Lara Barreto Valero
16 De Noviembre Del 2023
Introducción
El objetivo de la programación lineal dual es proporcionar una formulación alternativa de un problema de programación lineal que está estrechamente relacionada con el problema primario. El problema dual se obtiene a partir del problema primario mediante un proceso de transformación.
El problema dual permite establecer relaciones económicas y de optimización entre los problemas primarios y duales. La dualidad en la programación lineal es una herramienta poderosa que permite comprender la estructura y las propiedades del problema primario, así como realizar análisis de sensibilidad y tomar decisiones informadas.
La holgura de una restricción se refiere a la cantidad de "espacio" o margen disponible entre el valor actual de la restricción y su límite. Si la holgura es igual a cero, significa que la restricción está activa y se cumple exactamente. Si la holgura es mayor que cero, significa que la restricción está inactiva y hay margen disponible.
El análisis de sensibilidad o post-optimo busca responder preguntas como: ¿Qué sucedería con la solución óptima si se modifican los coeficientes de las restricciones? ¿Cuál es el rango de variación permitido para los coeficientes sin afectar la solución óptima? ¿Cuál es el impacto en el valor objetivo primario si se cambian los costos de las variables?
El análisis no paramétrico se basa en pruebas estadísticas más flexibles que no requieren supuestos específicos sobre la distribución. De los datos.
¿Qué Es Un Problema Dual?
Es una programación lineal definida en forma directa y sistemática a partir del modelo original de programación lineal. Los dos problemas están relacionados estrechamente que la resolución opima de un problema produce de forma automática la resolución optima del otro. Asociado a cada problema lineal existe otro problema denominado programación dual, que posee importantes propiedades y relaciones notables con respecto al problema lineal original, problema que se denomina como problema primal (PP).
¿Cómo Convertir Un Problema Primal En Dual?
El problema dual requiere expresar el problema primal en forma de ecuaciones, todas las restricciones son ecuaciones, con lado derecho no negativo y todas las variables son no negativo. Este requisito es consistente con el formato de la tabla de inicio simplex. En consecuencia, todo resultado obtenido a partir de la solución primal optima se aplican en forma directa al problema dual asociado.
· Si el modelo primal es maximización, entonces el problema dual es de minimización y viceversa.
· Si las restricciones del primal son de “<”, entonces las del dual son de “>” y viceversa.
· Los recursos del primal pasan a ser los costos de la función objetivo del dual y viceversa
· Cada columna de coeficientes tecnológicos del primal, pasan a ser una restricción (fila) en el dual y viceversa.
· El número de variables del primal, coincide con el número de restricciones de dual y viceversa
¿Cuál Es La Relación Entre Los Valores Objetivos Primal Y Dual?
El valor objetivo primal representa la cantidad que se busca maximizar o minimizar, mientras que el valor objetivo dual representa la cantidad que se busca maximizar o minimizar en el problema dual correspondiente.
En un problema de programación lineal, el objetivo primal busca maximizar o minimizar una función objetivo, mientras que el objetivo dual busca maximizar o minimizar una función objetivo diferente pero relacionada. Estas dos funciones objetivo están relacionadas a través de una serie de restricciones y coeficientes en las ecuaciones del problema.
La relación entre los valores objetivos primal y dual puede expresarse de diferentes maneras, dependiendo del enfoque y la notación utilizada. Por ejemplo, en algunos casos, el valor objetivo primal puede ser menor o igual que el valor objetivo dual, mientras que, en otros casos, el valor objetivo primal puede ser mayor o igual que el valor objetivo dual.
¿Cuál Es La Importancia De La Dualidad En La Programación Lineal?
La dualidad permite realizar interpretaciones económicas importantes de los problemas de programación lineal. Esto significa que podemos comprender cómo cambian las variables y las restricciones en relación con los cambios en los costos y los precios.
Además, la dualidad proporciona las bases teóricas para comprender cómo cambia la solución óptima del problema primario cuando se cambian los parámetros del problema. Esto es especialmente útil en situaciones donde el número de restricciones es mayor que el número de variables, ya que la resolución del problema dual puede ser más sencilla. Otra ventaja de la dualidad es que, dado que el número de restricciones y variables entre el problema dual y el primal es inverso, se pueden resolver gráficamente problemas con dos restricciones sin importar el número de variables. Esto facilita la visualización y comprensión del problema.
¿Qué Es El Precio Dual Y El Costo Reducido?
· Precio dual: se refiere a la tasa de cambio del valor objetivo primordial por unidad de cambio en los coeficientes de las restricciones en el problema dual. En otras palabras, representa el valor marginal de una unidad adicional de recursos o restricción en el problema primario. El precio dual puede ser interpretado como el valor sombra de las restricciones en el problema primario, ya que indica cuánto aumentaría o disminuiría el valor objetivo primario si se relajara o se restringiera una restricción en particular.
· Costo reducido: se refiere a la tasa de cambio del valor objetivo primal por unidad de cambio en el valor de una variable no básica en el problema primal. Indica cuánto cambiaría el valor objetivo primal si se permitiera que una variable no básica tenga un valor positivo en lugar de cero. El costo reducido puede interpretarse como el valor que disminuiría el valor objetivo primario si se permitiera que una variable no básica entre en la solución óptima.
¿Qué Es La Holgura Complementaria?
El teorema de holgura complementaria establece una relación importante entre las holguras de las restricciones y los precios duales. Según este teorema, si una restricción tiene una holgura mayor que cero, entonces el precio dual correspondiente es igual a cero. Del mismo modo, si el precio dual de una restricción es mayor que cero, entonces la holgura de esa restricción es igual a cero.
La importancia de la holgura complementaria radica en que proporciona información sobre la optimización de la solución. Si tanto la holgura como el precio dual son cero para todas las restricciones y variables, respectivamente, entonces se ha encontrado la solución óptima tanto para el problema primal como para el dual.
¿Qué Es El Análisis De Sensibilidad O Post Óptimo?
Se refiere al estudio de cómo cambia la solución óptima y el valor objetivo primordial cuando se realizan cambios en los parámetros del problema, como los coeficientes de las restricciones o los costos de las variables.
Este análisis permite evaluar la estabilidad y robustez de la solución óptima frente a cambios en las condiciones iniciales. El análisis de sensibilidad proporciona información importante para la toma de decisiones, ya que permite identificar las variables y restricciones críticas, así como comprender cómo los cambios en los parámetros afectan la solución óptima y el valor objetivo primario.
Para realizar el análisis de sensibilidad, se utilizan herramientas como el cálculo de los precios sombra (o precios duales) y los costos reducidos. Estos indican cuánto cambiaría el valor objetivo primordial por unidad de cambio en los coeficientes de las medidas de restricción y en los valores de las variables no básicas, respectivamente.
¿Qué Es El Análisis Paramétrico?
Se refiere al estudio de los datos y la realización de pruebasestadísticas basadas en supuestos sobre la distribución de los datos. Estas pruebas se basan en la teoría de la probabilidad y suponen que los datos siguen una distribución específica, como la distribución normal.
En el análisis paramétrico, se utilizan pruebas estadísticas como la prueba t de student, la prueba f de anova (análisis de varianza), y la prueba de clasificación de pearson. Estas pruebas requieren que se cumplan ciertos supuestos, como la normalidad de los datos, la homogeneidad de las variaciones y la independencia de las observaciones.
El análisis paramétrico es útil cuando los datos cumplen con los supuestos requeridos, ya que permite realizar inferencias estadísticas más precisas y obtener resultados más robustos. Sin embargo, si los datos no cumplen con los supuestos, se debe recurrir al análisis no paramétrico.
Conclusiones
· El problema dual es una formulación alternativa de un problema de programación lineal que está estrechamente relacionado con el problema primario
· El problema dual proporciona información valiosa sobre la solución óptima del problema primario y tiene aplicaciones en el análisis de sensibilidad y la toma de decisiones.
· Es importante tener en cuenta que la conversión de un problema primal a un problema dual sigue una serie de reglas y propiedades establecidas en la teoría de la programación lineal.
· Hay que tener en cuenta que la relación entre los valores objetivos primal y dual puede variar según el problema específico y las restricciones involucradas.
· La dualidad en la programación lineal es importante porque nos permite realizar interpretaciones económicas, comprender cómo cambiar la solución óptima y resolver problemas de manera más sencilla.
· El precio dual y el costo reducido son medidas de sensibilidad que nos permiten comprender cómo cambia el valor objetivo primordial en respuesta a cambios en los coeficientes de las restricciones y en los valores de las variables no básicas, respectivamente.
· La holgura complementaria es un concepto que relaciona las holguras de las restricciones en el problema primal con los precios duales en el problema dual.
· La holgura complementaria proporciona información sobre la optimización de la solución y es útil para interpretar los resultados de un problema de programación lineal.
· El análisis de sensibilidad o post óptimo en la programación lineal es una técnica que permite evaluar cómo cambia la solución óptima y el valor objetivo primal ante cambios en los parámetros del problema.
· El análisis de sensibilidad o post óptimo proporciona información valiosa para comprender la estabilidad y robustez de la solución, así como para la toma de decisiones.
· El análisis paramétrico se refiere al estudio de los datos y la realización de pruebas estadísticas basadas en supuestos sobre la distribución de los datos, mientras que el análisis no paramétrico se basa en pruebas estadísticas más flexibles que no requieren supuestos específicos sobre la distribución de los datos.
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