Lógica Proposicional 2

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
MG. ING. VÁSQUEZ DOMÍNGUEZ RIQUELMER APOLINAR
AUTOR:
EDICIÓN WORD :AÑO 2019
EDICIÓN PPT :AÑO 2021
LIMA- PERÚ
CÁLCULO DIFERENCIAL
CONJUNTOS
Definicion.- Es la reunión de cosas o entes abstractos distinguibles entre sí.
 
Notación.-Por lo general se representa con letra mayúscula del abecedario.
 
 	 
,
}
A={
B={ , }
B
A
Ejem.-
CONJUNTOS
Elementos de un conjunto
Son las cosas o entes abstractos que forman el conjunto.
Diagrama de Venn Euler
Es la representación de un conjunto mediante una región del plano limitada por una figura cerrada y en cuyo interior se indican los elementos que forman el conjunto.
Número ordinal 
Nos indica la posición en el orden en que se presentan los elementos de un conjunto.
.m .n
A
Ejemplo:
A={ ; }
 
 N°ordinal N°ordinal
 1 2
Cardinal de un conjunto 
Indica el numero de elementos diferentes que posee el conjunto.
Ejemplo:
D = {	;	; }
.: Cardinal del conjunto D es 3
Notación: n(D)
Se lee: Número de elementos del conjunto D. Ejemplo:
n(D) = 3
Determinación de un conjunto
Consiste en precisar correctamente qué elementos forman parte del conjunto puede hacerse de dos maneras: por extensión y por comprensión.
-Por extensión
Cuando se nombra a todos y cada uno de los elementos. 
Ejemplo:
E = {a, e, i, o, u}
Se observa que se nombra a todos y cada uno de los elementos.
-Por comprensión
Para nombrarlo se usa una característica o definición que solamente lo cumplen los elementos de ese conjunto y no otros.
Ejemplos:
F = { x/x es vocal }
G = { x/x ∈ N ∧ 3 ≤ x ≤ 8 }
Observación:	No	todos	los	conjuntos	pueden	ser	determinados	por comprensión.
Clases de conjuntos
-Conjunto universal
Es el conjunto de todos los elementos.
Observación: Para determinados estudios aparece la necesidad de definir un conjunto universal con mucha utilidad para realizar ese estudio deseado.
- No existe un conjunto universal absoluto.
-Conjunto unitario
Es el conjunto que posee un solo elemento. 
Ejemplo: H = { a }
-Conjunto vacío
Es aquel conjunto que no posee elementos. 
Ejemplo:	∅ = { }
-Conjunto finito
Es el conjunto que posee una cantidad limitada de elementos.
 
Ejemplo: A = { a, e, i, o, u } 
 
Conjunto de vocales
-Conjunto infinito
Es el conjunto en el que al contar sus elementos nunca se terminaría de hacerlo.
Ejemplos:
Z = {...-2, -1, 0, 1, 2…}
 
Conjunto de los números enteros.
Q = { a/b, a∈R ∧ b ∈ Z ∧ b ≠ 0 } 
Conjunto de los números racionales .
N = { 1, 2, 3, …}
Conjunto de los números naturales.
R = { x/x elementos que cumplan con 
 el sistema de los números reales } 
Conjunto de los números reales.
 I = R - Q
Conjunto de los números irracionales. 
C = { a + bi / a ∈ R ∧ b ∈ R ∧ 𝑖 = √−1 } 
Conjunto de los números complejos.
Relaciones entre conjunto
-Relación de pertenencia
Nos indica si un elemento es de un conjunto determinado o no lo es.
Ejemplo:
J = { a, e, i, o, u } ,Entonces se puede afirmar:
a ∈ J
Se lee: a pertenece al conjunto J
z ∉ J
Se lee: z no pertenece al conjunto J
‹#›
Relación de igualdad de conjuntos
Nos dice que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos
Ejemplo:
K = { a, e, i, o, u }
L = { a, e, i, o, u }
Entonces se puede afirmar que los conjuntos K y L son iguales.
Notación:	K = L
Se lee: Los conjuntos K y L son iguales
Relación de inclusión de conjuntos
Nos indica si un conjunto está incluido en otro o no.
Observación: Se dice que un conjunto está incluido en otro cuando todos los elementos de este conjunto son también elementos del otro.
Se observa que N está incluido en M porque todos los elementos de N son también de M.
Notación:	N ⊂ M
Se lee: N está incluido en M.
Ejemplo:
M = { a, e, i, o, u } 
N = { a, e }
 
Conjuntos comparables
Dos conjuntos son comparables cuando solo uno está incluido en el otro. 
Ejemplo:
 
O = { a, e, i, o, u } P = { e }
∴ O y P son conjuntos comparables porque solo P está incluido en O.
Operaciones entre conjuntos
Es un proceso que consiste en obtener un nuevo conjunto a partir de otros conjuntos.
Unión de dos conjuntos
Es una operación en el que los elementos del nuevo conjunto están formados por todos los elementos de los 2 conjuntos.
Ejemplo:
Q= { a, e, i, o, u } R= { 1, 2, 3 }
Q ∪ R = { a, e, i, o, u, 1, 2, 3 }
Se lee: Conjunto Q unión R.
Intersección de dos conjuntos
Es una operación en el que los elementos del nuevo conjunto son los elementos comunes de los 2 conjuntos.
Ejemplo:
S= { a, e, i, o, u } T= { e }
S ∩ T = { e }
Se lee: S intersección T
Diferencia de dos conjuntos
Es una operación en el que los elementos del nuevo conjunto son elementos de uno, pero no lo son del otro.
Ejemplo:
U= { a, e, i, o, u } W= { e, i }
U – W = { a, o, u }
Se lee: Conjunto U menos W
Diferencia simétrica de dos conjuntos
Es una operación en el que los elementos del nuevo conjunto están formados por todos los no comunes.
Ejemplo:
X = { a, b, c, d, e, f }
 X ∆ Z = { a, d, f, i, j }
Z = { b, c, e, i, j } Se lee: Conjunto X diferencia simétrica Z
Complemento de un conjunto
Es una operación que se realiza con un conjunto en el que el nuevo conjunto contiene a todos los elementos que no están en el conjunto inicial.
Ejemplo: 
AC = U – A, donde U es el conjunto universal
Se lee: El complemento de A. Ejemplo: U𝐶 = ∅
Se lee: El complemento del conjunto universal es el vacío.
Observación: Una notación también usada para el complemento de A es A’.
Propiedades
	-Idempotencia
A ∪ A = A
A ∩ A = A
	-Asociativa
(A ∪ B) ∪ C = (A ∪ C) ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C 
(A ∩ B) ∩ C = (A ∩ C) ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C (A ∆ B) ∆ C = A ∆ (B ∆ C) = A ∆ B ∆ C
	-Conmutativa
A ∪ B = B ∪ A 
A ∩ B = B ∩ A
A ∆ B = B ∆ A
	Distributiva
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
	Morgan
(A ∪ B) = A ∩ B
(A ∩ B) = A ∪ B
	Absorción
A ∪ (A ∩ B) = A 
A ∩ (A ∪ B) = A
	Semiabsorción
A ∪ (A ∩ B) = A ∪ B 
A ∩ (A ∪ B) = A ∩ B
	Diferencia
A−B = A ∩ B
c
c
c
c
c
c
c
c
c
	-Diferencia simétrica
A ∆ B = (A−B) ∪ (B−A) 
A ∆ B = (A ∪ B) − (A ∩ B)
	-Universal 
A ∪ U = U A ∩ U = A
A ∪ A = U U = ∅
-Vacío
A ∪ ∅ = A A ∩ ∅ = ∅ 
A ∩ A = ∅ ∅ = U
c
c
c
c
	-Inclusión 
A ⊂ (A ∪ B) (A ∩ B) ⊂ B 
(A ∩ B) ⊂ A
A ⊂ B → A ∩ B = ∅
A ⊂ B → B ⊂ A
A ⊂ B A ∪ B = B 
A ⊂ B A ∩ B = A
c
c
c
Subconjunto
Se dice que un conjunto de A es subconjunto de otro B si A está incluido en B. 
. Ejemplo:
J = {a, e, i, o, u} K = {a, e}
Se observa que K está incluido en J por lo tanto K es subconjunto de J.
Cuantificador
Es aquello que cuantifica.
Cuantificar
Es la acción de contar.
Los cuantificadores más utilizados son:
Cuantificador existencial Símbolo: ∃
Se lee: “Existe al menos un…”
 Cuantificador universal Símbolo: ∀
Se lee: “Para todo”
Para utilizar un cuantificador se necesita de:
•	Un conjunto
•	Una propiedad o condición 
Ejemplo:
A = { 3,-3 } P: x = 9
∀ x ∈ A / x = 9
∃ x ∈ A / x=9
Negación de cuantificadores
Es la negación que se hace a una proposición que contiene un cuantificador. 
Ejemplo:
“Todos los chimbotanos son pescadores” es una proposición que contiene el cuantificador universal, entonces su negación será: “no todos los chimbotanos son pescadores”, en símbolos sería así:
P: ∀ x ∈ A, x es pescador A: {Todos los chimbotanos} ,La negación es:
~P: ∃ x ∈ A / x no es pescador. En general se cumple:
~[ x ∈ A, P(x) ] ≡ ∃ x ∈ A /~ P(x) Similarmente:
~[ ∃ x ∈ A / P(x)] ≡ ∀ x ∈ A: ~ P(x)
 
Conjunto Potencia
El conjunto potencia de A denotado por P(A).
Se	define	como	un	nuevo	conjunto	cuyos	elementos	son	todos	los subconjuntos de A.
Sea:	
A = {a, e, i}
Los subconjuntos de A son:
{a, e, i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a}, {e}, {i} y { }
 Entonces el conjunto potencia de A es:
{{a, e, i}, {a, e}, {a, i}, {e, i }, { a }, { e }, { i }, { }} =2
Observación: Los subconjuntos de A:{ a, e }, { a, i }, { e, i }, { a }, { e }, { i } y { } se denominan subconjuntos propios de A.
3
Propiedades de conjunto potencia
•	P(∅) = { ∅ }
•	a ∈ A { a } ∈ P(A)
•	A ⊂ B A ⊂ P(B)
•	A ⊂ B P(A) ⊂ P(B)
•	A = B P(A) = P(B)
•	P(A∩B) = P(A) ∩ P(B)
•	P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A∪B)
Ejercicios
1.	Usando elementos, demostrar que:
𝐀 ∪ (𝐀 ∩ 𝐁) = 𝐀
 
Demostración
Dos conjuntos se dice que son iguales si solo si uno de ellos está incluido en el otro y el otro también está incluido en él.
Mediante símbolos se expresa así:
M = N ⟷ (M ⊂ N) ∧ (N ⊂ M)
Para nuestro caso:
Queremos demostrar que A ∪ (A ∩ B) = A , entonces debe demostrar que
A ∪ (A ∩ B) ⊂ A	∧	A ⊂ A ∪ (A ∩ B)
•	Sea I = A ∪ (A ∩ B) ⊂ A
•	Sea II = A ⊂ A ∪ (A ∩ B)
Demostración I
x ∈ A ∪ (A ∩ B)	(Aplicamos la definición de unión)
x ∈ A ∨ x ∈ (A ∩ B)	(Aplicamos la definición de intersección)
x ∈ A ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ B)
•	Sea x ∈ A = p , x ∈ B = q
p ∨ (p ∧ q)	(Aplicamos la propiedad de absorción)
p	(Restituyendo)
x ∈ A
Demostración II
x ∈ A
x ∈ A ∧ x ∈ ⋃	(Universal)
x ∈ A ∧ x ∈ (B ∪ Bc)	(Aplicamos la definición de unión)
x ∈ A ∧ (x ∈ Bc ∨ x ∈ B)
•	Sea x ∈ A = p , x ∈ Bc = q , x ∈ B = r
p ∧ (q∨ r)	(Aplicamos la propiedad distributiva)
(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)	(Restituyendo)
(x ∈ A ∧ x ∈ Bc) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ B) (Aplicamos la definición de intersección) 
[x ∈ A ∧ ~(x ∈ B)] ∨ x ∈ (A ∩ B) (Aplicamos la definición de intersección)
x ∈ A ∨ x ∈ (A ∩ B)	(Aplicamos la definición de unión)
𝑥 ∈ 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)
•	De I y II
A ∪ (A ∩ B) = A
 
2.Usando elementos demostrar que: 
(𝐀 ∩ 𝐁) − (𝐀 ∩ 𝐂𝐜) = 𝐀 ∩ (𝐁 − 𝐂𝐜)
 Demostración
•	Sea:
M = (A ∩ B) − (A ∩ Cc) 
N = A ∩ (B − Cc)
•	Queremos demostrar que M = N , entonces debemos demostrar que:
M ⊂ N ∧ N ⊂ M
•	Sea I = M ⊂ N
•	Sea II = N ⊂ M
Demostración I
x ∈ M	(Reemplazando)
x ∈ (A ∩ B) − (A ∩ Cc)	(Aplicamos la propiedad de diferencia)
 
x ∈ (A ∩ B) ∧ ∼ [x ∈ (A ∩ Cc)]	(Aplicamos la definición de intersección)
(x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ ∼ (x ∈ A ∧ x ∈ Cc)
•	Sea x ∈ A = p, x ∈ B = q, x ∈ Cc = r
•	Reemplazando en lo anterior tenemos
(p ∧ q) ∧ ∼ (p ∧ r)	(Aplicamos Morgan)
(p ∧ q) ∧ (∼ p ∨∼ r)	(Aplicamos la propiedad asociativa inversa)
p ∧ q ∧ (∼ p ∨∼ r)	(Aplicamos la propiedad conmutativa)
q ∧ p ∧ (∼ p ∨∼ r)	(Aplicamos la propiedad de semiabsorción)
q ∧ p ∧ ∼ r	(Aplicamos la propiedad conmutativa)
p ∧ q ∧ ∼ r	(Restituyendo)
x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ ∼ (x ∈ Cc)	(Aplicamos la propiedad de diferencia)
x ∈ A ∧ x ∈ (B − Cc)	(Aplicamos la definición de intersección)
x ∈ [A ∩ (B − Cc)]	(Reemplazando por N)
x ∈ N
M ⊂ N
Demostración II
x ∈ N	(Reemplazando)
x ∈ [A ∩ (B − Cc)]	(Aplicamos definición de intersección) 
x ∈ A ∧ x ∈ (B − Cc)	(Aplicamos la definición de diferencia) 
x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ ∼ (x ∈ Cc)
•	Sea x ∈ A = p, x ∈ B = q, x ∈ Cc = r
Remplazando en lo anterior tenemos:
p ∧ q ∧ ∼ r	(Aplicamos la propiedad conmutativa)
 
q ∧ p ∧ ∼ r	(Aplicamos Semiabsorción inversa)
q ∧ p ∧ (∼ p ∨∼ r)	(Aplicamos la propiedad conmutativa)
p ∧ q ∧ (∼ p ∨∼ r)	(Aplicamos Morgan inverso)
p ∧ q ∧ ∼ (p ∧ r)	(Restituyendo)
x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ ∼ (x ∈ A ∧ x ∈ Cc) (Aplicamos la definición de intersección)
x ∈ (A ∩ B) ∧ ∼ [x ∈ (A ∩ Cc)]	(Aplicamos la definición de diferencia)
x ∈ [(A ∩ B) − (A ∩ Cc)]	(Reemplazando por M)
x ∈ M
N ⊂ M
De I y II:
N = M
3.	Sean 𝐀, B y C conjuntos no vacíos.
Simplificar: 𝐌 = {[(𝐂 − 𝐀)′ ∪ 𝐁′] ∪ [𝐀′ ∩ (𝐁 − 𝐂)′]} ∩ (𝐁 ∪ 𝐀)′
Resolución
M = {[(C − A)′ ∪ B′] ∪ [A′ ∩ (B − C)′]} ∩ (B ∪ A)′	(Diferencia)
M = {[(C ∩ A′)′ ∪ B′] ∪ [A′ ∩ (B ∩ C′)′]} ∩ (B ∪ A)′	(Morgan)
M = {[(C′ ∪ A) ∪ B′] ∪ [A′ ∩ (B′ ∪ C)]} ∩ (B′ ∩ A′)	(Agrupando)
M = {C′ ∪ B′ ∪ A ∪ [A′ ∩ (B′ ∪ C)]} ∩ (B′ ∩ A′)	(Semiabsorción)
M = [C′ ∪ B′ ∪ A ∪ (B′ ∪ C)] ∩ (B′ ∩ A′)	(Agrupando)
M = (C′ ∪ C ∪ A ∪ B′ ∪ B′) ∩ (B′ ∩ A′)	(Universal)
M = (U ∪ A ∪ B′) ∩ (B′ ∩ A′)	(Universal)
M = U ∩ (B′ ∩ A′)	(Universal)
M = (B′ ∩ A′)
Simplificar: 𝐏 = {[(𝐀 ∪ 𝐁′) ∩ (𝐀 ∩ 𝐁)] ∪ (𝐀 ∩ 𝐁′)} ∪ (𝐂 − 𝐀)
Resolución
P = {[(A ∪ B′) ∩ (A ∩ B)] ∪ (A ∩ B′)} ∪ (C − A)		(Diferencia) 
P = {[(A ∪ B′) ∩ A ∩ B] ∪ (A ∩ B′)} ∪ (C ∩ A′)	(Absorción) 
P = [(A ∩ B) ∪ (A ∩ B′)] ∪ (C ∩ A′)	(Distributiva)
P = [(A ∪ A) ∩ (A ∪ B′) ∩ (B ∪ A) ∩ (B ∪ B′)] ∪ (C ∩ A′) (Idempotencia)
P = [A ∩ (A ∪ B′) ∩ (B ∪ A) ∩ U] ∪ (C ∩ A′)	(Absorción)
P = [A ∩ (B ∪ A)] ∪ (C ∩ A′)	(Absorción)
P = A ∪ (C ∩ A′)	(Semiabsorción)
P=A ∪ C
5. Demuestre que para todo conjunto C 
(𝐀 − 𝐁) ⊂ (𝐀 − 𝐂) ∪ (𝐂 − 𝐁)
Resolución
Usaremos:	M ∩ N ⊂ M
(A − B) = (A ∩ B′) = (A ∩ B′) ∩ 𝕌 = (A ∩ B′) ∩ (C ∪ C′)
= (A ∩ B′ ∩ C) ∪ (A ∩ B′ ∩ C′) ⊂ (A ∩ C′) ∪ (C ∩ B′) = (A − C) ∪ (C − B)
6. Demostrar:	(𝐀 ∆ 𝐁) ∆ 𝐂 = 𝐀 ∆ (𝐁 ∆ 𝐂)
Resolución
(A ∆ B) ∆ C = [(A − B) ∪ (B − A)] ∆ C = [(A ∩ B′) ∪ (B ∩ A′)] ∆ C (Diferencia)
 
= {[(A ∩ B′) ∪ (B ∩ A′)] − C ∪ C − [(A ∩ B′) ∪ (B ∩ A′)]} (Dif. Simétrica)
= {[(A ∩ B′) ∪ (B ∩ A′)] ∩ C′} ∪ {C ∩ [(A ∩ B′) ∪ (B ∩ A′)]′} (Distributiva)
= [(A ∩ B′) ∩ C′] ∪ [(B ∩ A′) ∩ C′] ∪ {C ∩ [(A ∩ B′)′ ∩ (B ∩ A′)′]}
= (A ∩ B′ ∩ C′) ∪ (B ∩ A′ ∩ C′) ∪ {C ∩ [(A′ ∪ B) ∩ (B′ ∪ A)] } (Distributiva)
= (A ∩ B′ ∩ C′) ∪ (B ∩ A′ ∩ C′) ∪ {C ∩ [((A′ ∪ B) ∩ B′) ∪ ((A′ ∪ B) ∩ A)]} 
(Semiabsorción)
= (A ∩ B′ ∩ C′) ∪ (B ∩ A′ ∩ C′) ∪ {C ∩ [(A′ ∩ B′) ∪ (B ∩ B′) ∪ (A′ ∩ A) ∪ (B ∩ A)]}
(Vacío)
= (A ∩ B′ ∩ C′) ∪ (B ∩ A′ ∩ C′) ∪ {C ∩ [(A′ ∩ B′) ∪ (B ∩ A)]} (Distributiva)
= (A ∩ B′ ∩ C′) ∪ (B ∩ A′ ∩ C′) ∪ (C ∩ A′ ∩ B′) ∪ (B ∩ A ∩ C) (Ordenando)
= [(A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B′ ∩ C′)] ∪ [(A′ ∩ B ∩ C′) ∪ (A′ ∩ B′ ∩ C)] (Distributiva inversa)
= {A ∩ [(B ∩ C) ∪ (B′ ∩ C′)]} ∪ {A′ ∩ [(B ∩ C′) ∪ (B′ ∩ C)]} (Morgan inverso)
= { A ∩ [(B ∩ C) ∪ (B ∪ C)′]} ∪ {A′ ∩ [(B ∩ C′) ∪ (B′ ∩ C)]} (Diferencia simétrica inversa)
= { A ∩ [B∆C]′} ∪ {A′ ∩ [B∆C]} = A∆[B∆C]
= { A ∩ [B∆C]′} ∪ {A′ ∩ [B∆C]} = A∆[B∆C]
7.	Demostrar que, si A y B son conjuntos cualesquiera, entonces:
𝐚) 𝐧(𝐀 ∪ 𝐁) = 𝐧(𝐀) + 𝐧(𝐁),	𝐬𝐢 𝐀 ∩ 𝐁 = 𝚽
𝐛) 𝐧(𝐀 − 𝐁) = 𝐧(𝐀) − 𝐧(𝐀 ∩ 𝐁)
Resolución
a)	Supongamos que: A tiene x elementos ⟹ n(𝐀) = x
B tiene y elementos ⟹ n(𝐁) = y
Sabemos que la intersección es vacía, por lo tanto, no hay elementos comunes a los dos, esto quiere decir que A ∪ B tiene x+y elementos, entonces:
 
n(A ∪ B) = x + y = n(A) + n(B)
b)	Sea M = (A − B) = (A ∩ B′)
 
N = (A ∩ B) , se tiene:
M ∪ N = (A ∩ B′) ∪ (A ∩ B) = A
M ∩ N = (A ∩ B′) ∩ (A ∩ B)	Por asociatividad y conmutatividad de ∩
= A ∩ (B′ ∩ B) ∩ A	Pero como B ∩ B′ = Φ M ∩ N = Φ
Por propiedad (1):
n(A) = n(M ∪ N) = n(M) + n(N) = n(A − B) + n(A ∩ B)
Donde:	n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B)
8.	Demostrar que:
a) 𝐀 ∆ 𝐁′ = 𝐁 → 𝐁 ⊂ 𝐀
b) 𝐀∆𝐁 = ∅ ⟷ 	𝐀 = 𝐁
 
Resolución
A ∆B′ = (A − B′) ∪ (B′ − A) = (A ∩ B) ∪ (B′ ∩ A′)	(Diferencia) 
Pero:
•	A∆B′ = B , entonces:
[ (A ∩ B) ∪ (B′ ∩ A′)] ∩ B = B	…(Distributiva)
(A ∩ B ∩ B) ∪ (B′ ∩ B ∩ A′) = B	…(Idempotencia y Vacío)
(A ∩ B ) ∪ ∅ = B	…(Vacío)
A ∩ B = B	…(1)
(A ∩ B ) ⊂ A	….(2)
Entonces reemplazando 1 en 2
B ⊂ A
9.	Demuestre que:
(𝐀 ∆ 𝐁)′ = (𝐀′∆ 𝐁′)	→	𝐀 = ∅ ˄ 𝐁 = 𝐔
Resolución
A′∆ B′ = (A′ − B′) ∪ (B′ − A′)
 
(A′ − B′) ∪ (B′ − A′) = (A′ ∩ B) ∪ (B′ ∩ A)	 (Diferencia)
(A′ ∩ B) ∪ (B′ ∩ A) = (A − B) ∪ (B − A)	(Diferencia)
(A − B) ∪ (B − A) = A ∆ B
•	Por hipótesis:
(A ∆ B)′ = (A′∆ B′) = A ∆ B
•	Sea M = A ∆ B	→	(M)′ = M
(M)′ = M	→ M	= M ∪ M = M′ ∪ M = U
→ M = M′ = U′ = ∅	→	U = ∅
→ A = ∅	˄	B = ∅ = U
A = ∅ ˄	B = U
10.	Demostrar:
𝐃 ⊂ (𝐀 ∆ 𝐁) → 𝐃 = (𝐀 ∪ 𝐁) − [(𝐀 − 𝐃) ∪ (𝐁 − 𝐃) ∪ (𝐀 ∩ 𝐁)]
Resolución
Utilizaremos las siguientes propiedades:
1) M ⊂ N ⟷ M = M ∩ N
2) M ⊂ N ⟷ M ∩ N′ = ∅
3) (M − N) − P = M − (N ∪ P)
4) (M ∪ N ) − P = (M − P) ∪ (N − P) , así que … De la hipótesis de (2), y de:
A ∆ B = (A ∪ B) − (A ∩ B) ⊂ A … . (I)
D ⊂ (A ∆ B) ∁ A ∪ B	→ (A ∆ B) ∩ (A ∪ B)′ = ∅	… . (II) 
D = (A ∆ B) ∩ D = [(A ∆ B) ∩ D] ∪ ∅
 
D = [(A ∆ B) ∩ D] ∪ [(A∆B) ∩ (A ∪ B)′]
D = (A ∆ B) ∩ [D ∪ ([A ∪ B]′)]
D = (A ∆ B) ∩ [(A ∪ B) ∩ D′]D = [(A ∪ B) − ((A ∩ B)] − [(A ∪ B) − D]
D = (A ∪ B) − [(A ∩ B) ∪ ([A ∪ B] − D)]
D =	 (A ∪ B) − [(A ∩ B) ∪ (A − D) ∪(B − D)] 
Demostrar	𝐀 − (𝐁 ∩ 𝐂) = (𝐀 − 𝐁) ∪ (𝐀 − 𝐂)
Resolución
x ∈ [ A	−	(B ∩ C)	]
x ∈ A	⋀	x ∉ (B ∩ C) x ∈ A	⋀	x ∈ (B ∩ C) C
x ∈ A	⋀	x ∈ (Bc ∪ Cc)
x ∈ A	⋀	(x ∈ Bc	⋁	x ∈ Cc)
(x ∈ A ⋀ x ∈ Bc) ⋁	(x ∈ A ⋀ x ∈ Cc) (x ∈ A ∩ Bc)	⋁	(x ∈ A ∩ Cc)
x ∈ (A ∩ Bc)	⋁	( A ∩ Cc)
∴ x ∈ (A − B) ⋁	( A − C)
Demostrar:	(𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪) − (𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪) ≡ (𝑨∆𝑩) ∪ (𝑩∆𝑪) ∪ (𝑨∆𝑪)
Resolución
Recordar:	𝐴 − 𝐵 ≡ 𝐴 ∩ 𝐵∁	 𝐴∆𝐵 ≡ (𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴)
 
≡ (𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) − (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)
≡ (𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) ∩ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)∁
≡ (𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) ∩ (𝐴∁ ∪ 𝐵∁ ∪ 𝐶∁)	(Morgan)
≡ [(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) ∩ 𝐴∁] ∪ [(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) ∩ 𝐵∁] ∪ [(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) ∩ 𝐶∁] (Distributiva)
≡ [𝐴∁ ∩ (𝐴∁ ∪ 𝐶)] ∪ [𝐵∁ ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)] ∪ [𝐶∁ ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)] (Ley de conjuntos)
≡ (𝐴∁ ∩ 𝐵) ∪ (𝐴∁ ∩ 𝐶) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵∁) ∪ (𝐵∁ ∩ 𝐶) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶∁) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶∁) (Distributiva)
≡ [(𝐴 ∩ 𝐵∁) ∪ (𝐴∁ ∩ 𝐵)] ∪ [(𝐵 ∩ 𝐶∁) ∪ (𝐵∁ ∩ 𝐶)] ∪ [(𝐴 ∩ 𝐶∁) ∪ (𝐴∁ ∩ 𝐶)] (Asociativa)
≡ [(𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴)] ∪ [(𝐵 − 𝐶) ∪ (𝐶 − 𝐵)] ∪ [(𝐴 − 𝐶) ∪ (𝐶 − 𝐴)]
≡ [(𝐴 − 𝐵) ∪ (𝐵 − 𝐴)] ∪ [(𝐵 − 𝐶) ∪ (𝐶 − 𝐵)] ∪ [(𝐴 − 𝐶) ∪ (𝐶 − 𝐴)]
≡ (𝐴∆𝐵) ∪ (𝐵∆𝐶) ∪ (𝐴∆𝐶)
Demostrar:	(𝐀 − 𝐁) ⊂ (𝐁∆𝐂) → (𝐁 ∪ 𝐂)′ ⊂ 𝐀′
Resolución:
Recordar:	M ⊂ N	⟷ 	M ∩ N′ = ∅
 (A ∩ B′) ∩ [(B − C) ∪ (C − B)]′ = ∅
(A ∩ B′) ∩ [(B ∩ C′) ∪ (C ∩ B′)]′ = ∅
(A ∩ B′) ∩ [(B′ ∪ C) ∩ (C′ ∪ B)] = ∅	(Morgan)
A ∩ [B′ ∩ (B′ ∪ C)] ∩ (C′ ∪ B) = ∅	(Asociativa)
A ∩ B′ ∩ (C′ ∩ B) = ∅	(Absorción)
A ∩ [B′ ∩ C′] = ∅	(Ley de conjuntos)
A ∩ (B ∪ C)′ = ∅ (De Morgan)	→ (B ∪ C)′ ⊂ A′
14.	Analice la veracidad de las siguientes proposiciones:
i. 𝐏(𝐀 ∩ 𝐁) ⊂ [𝐏(𝐀) ∩ 𝐏(𝐁)]
ii. 𝐀 ∆ 𝐁′ = 𝐁 ⟷ 𝐁 ⊂ 𝐀
iii. 𝐀 ∆ 𝐁 = ∅ ⟷ 𝐏(𝐀) ⊂ 𝐏(𝐁)
Resolución
i.	P(A ∩ B) ⊂ P(A) ∩ P(B)
∀ {X} ∈ P(A ∩ B) ; {X} ∈ P(A ∩ B) → {X} ⊂ (A ∩ B) 
X	∈ (A ∩ B)
X ∈ A ∧ X ∈ B
{X} ∈ P(A) ∧ {X} ∈ P(B)
{X} ∈ (P(A) ∩ P(B))
P(A ∩ B) ⊂ P(A) ∩ P(B)
ES VERDADERA
ii.	A ∆ B′ = B ⟷ B ⊂ A
(A − B′) ∪ (B′ − A) = B
(A ∩ B) ∪ (B′ ∩ A′) = B
[(A ∩ B) ∪ (B′ ∩ A′)] ∩ B = B ∩ B 
(A ∩ B ∩ B) ∪ (B′ ∩ A′ ∩ B) = B 
A ∩ B ∩ B) ∪ (A′ ∩ B′ ∩ B) = B
•	Pero (A′ ∩ B′ ∩ B) = ∅
(A ∩ B) ∪ (A′ ∩ ∅) = B 
(A ∩ B)	∪	∅ = B
A ∩ B = B	↔	B ⊂ A
 ES VERDADERA
AΔB = ∅ ⟷ P(A) ⊂ P(B) 
(A − B) ∪ (B − A) = ∅
(A ∩ B′) ∪ (B ∩ A′) = ∅ 
A ∩ B′ = ∅ ∧ B ∩ A′ = ∅
A ⊂ B ∧ B ⊂ A	⟷	A = B 
A = B	 ⟷ 	P(A) = P(B)
ES VERDADERA: P(A) ⊂ P(B)