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Lógica Proposicional 2 2022 Implicaciones Lógicas más comunes Modus tollens Modus ponens Esquemas proposicionales en una indeterminada • En Álgebra y Aritmética suele decirse que la siguiente expresión: x + 2 = 5 es una ecuación. Tal expresión no es una proposición, pues no tiene sentido afirmar que sea verdadera o falsa, pero existe algún reemplazo de x por un número de modo tal que se transforma en una proposición. Por ejemplo, si x= 7 + 2 = 5, la cual en este caso es Falsa Esquema Proposicional • Definición: Se llama esquema proposicional en la indeterminada x a toda expresión que contiene a x, y posee la siguiente propiedad: “Existe por lo menos un nombre tal que la expresión obtenida sustituyendo la indeterminada por dicho nombre, es una proposición“. Ejemplos 1. “x es blanca” es esquema pues existe una constante “esta flor” que en lugar de la variable x produce la siguiente proposición: Esta flor es blanca. Convención: Llamaremos simplemente esquema en lugar de “esquema proposicional”. Las indeterminadas suelen llamarse variables o incógnitas. Que esta proposición sea Verdadera o Falsa dependerá de cual sea la flor particular que se está señalando. Vamos a utilizar símbolos tales como P(x), Q (x), para designar esquemas de incógnita x DEFINICIÓN Si P(x) es un esquema en x y a es una constante, se llama valor de P(x) en la constante a a la expresión obtenida de P(x) sustituyendo x por a. El valor de P(x) para a se designa P(a). Ejemplo P(x): x no es un objeto y a es “esta casa” P(a): “Esta casa no es un objeto” Vamos a definir al conjunto de valores de verdad de P, lo simbolizamos con V(P), al conjunto formado por todas las constantes a que hacen verdadera la proposición P(a). Proposición Abierta Una proposición abierta P(x) es un enunciado sobre una variable x que se convierte en una proposición cada vez que a la variable x se sustituye por un valor particular x0 Ejemplo1: 032:)( xxP Es una proposición abierta. Se convierte en proposición para cada número definido x0. En particular P(0) es cierta mientras que P(2) es falsa Ejemplo 2 0:)( 2 xxA Si suponemos que x toma valores reales, claramente A(x0) es falsa para todo x distinto de cero, mientras que A(0) es verdadera Cuantificadores Lógicos Frecuentemente las proposiciones abiertas se utilizan con ciertas expresiones llamadas Cuantificadores, con los cuales se determina el valor de verdad de la proposición resultante. Los siguientes serán los cuantificadores que usaremos. 1. Cuantificador Universal, para todo x, representado simbólicamente por x “Para todo x se verifica p(x)” “Para cualquier x tal que se cumple p(x)” “Para cada x se satisface p(x)” son proposiciones que se escriben como “(∀x)(p(x)) ” Cuantificadores 2. Cuantificador existencial, para algún x, representado simbólicamente por “Para algún x se verifica p(x)” “Existe x tal que se cumple p(x)” “Para al menos un x se satisface p(x)” son proposiciones que se escriben como “(∃x)(p(x)) ” 3. Cuantificador de existencia y unicidad, existe un único x, representado simbólicamente por • Observación 1: la frase ¨para cada x¨ se usa en el mismo sentido que la frase ¨para todo x¨ • Observación 2: Si una propiedad es compartida por todos los elementos de un conjunto C, escribimos: ¨Todo x en C tiene la propiedad P¨, simbólicamente x x! )(, xPCx ¨Algún x en C tiene la propiedad P¨, simbólicamente, Ejemplo 1: )0( 2 xx Es una proposición verdadera Ejemplo 2: Para todo x existe algún y tal que x+y =0, simbólicamente )0)()(( yxyx Esta proposición es verdadera, ya que dado x es arbitrario y=-x Observación 1: la negación de la proposición ¨Todo x en C tiene la propiedad P¨, simbólicamente ))(,( xPCx Es ´existe algún x en C que no tiene propiedad P¨, simbólicamente )(, xPCx Observación 2: la negación de la proposición ¨existe x en C tiene la propiedad P¨, simbólicamente ))(,( xPCx Es ¨para todo x en C, x que no tiene la propiedad P¨, simbólicamente )(, xPCx Todos los hombres son mortales . Su negación es Algún hombre es inmortal )(, xPCx Analiza cuidadosamente el siguiente ejercicio: Escribe en forma simbólica las siguientes proposiciones y decide el valor de verdad de las mismas. r : “Cualquier número satisface x2 - x ≥ 0 o no es mayor que 2” Observa que en “r” hace falta el conjunto universal … ¿Qué ocurre si U está formado por los números reales? ¿Y si a U lo forman los enteros? Ejemplo p: “Todo número real mayor que 2 tiene un cuadrado mayor que él mismo.” 𝑝: ∀𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 > 2 → 𝑥2 > 𝑥 q: “Algunos números reales con cuadrado mayor que 4 son menores que 2.” 𝑞: ∃𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥2 > 4 → 𝑥 < 2 𝑟: ∀𝑥, 𝑥2 − 𝑥 ≥ 0 ∨ 𝑥 ≤ 2 Ejemplo Cuantificadores Alcance de un operador Sea el siguiente ejemplo: (∃x) x es verde ∧ x es rojo (*) Vemos que el operador existencial se refiere únicamente al esquema x es verde y NO a x es rojo, o sea que el alcance del operador llega únicamente al primer esquema, si quisiéramos que alcance a los dos esquemas, tendríamos que poner (∃𝑥) : (∃x es verde ∧ x es rojo ) o sea usaríamos paréntesis. Del ejemplo precedente podemos deducir que: La expresión “x es verde “es el esquema más simple que aparece en (*) inmediatamente después del operador. La expresión “x es verde ∧ x es rojo“, también es un esquema pero no es el más simple. La expresión x es rojo es un esquema también simple pero no aparece después del operador Definición: Se llama alcance de un operador en x al esquema más simple que aparece inmediatamente después del operador, salvo que se presenten paréntesis, en cuyo caso deben aplicarse las reglas habituales referentes al uso de paréntesis Ejemplo cuantificadores Negación de operadores Sea la siguiente proposición: • (∀n)(n es un número primo), la cuál sabemos es Falsa. • Vamos ahora a negarla ¬(∀n)(n es un número primo) En lenguaje corriente esto nos dice que no todos los números son primos con lo cual su sinónima será algunos números no son primos, y simbólicamente • (∃n)(n no es un número primo) cuantificadores • De lo anterior se puede deducir que son expresiones sinónimas De igual manera se obtiene: Por lo tanto, en palabras decimos que: La negación de un cuantificador universal (existencial, respectivamente) es equivalente a la afirmación de un cuantificador existencial (universal) cuyo alcance es la negación del alcance del primero. Equivalencia lógica para proposiciones cuantificadas de una variable Circuitos Lógicos circuitos Ejemplo circuitos simplificación Simplificamos aplicando las equivalencias lógicas De Morgan y absorción Tercero excluido Con esta identidad lógica podemos realizar nuestro circuito lógico, como podemos ver, la disyunción exclusiva se puede expresar como una disyunción inclusiva. Nuestro circuito sería: equivalente ¿Cuál es el circuito equivalente? De Morgan y idem potencia Regla de la implicación 𝑝∆𝑞 ≡ (𝑝 ∧∼ 𝑞) ∨ (𝑞 ∧∼ 𝑝) Simplificaciones Formule y Simplifique el siguiente circuito Simplificaciones ↔ 𝑝 ∨ 𝐶 ∨ ∼ (∼ 𝑡 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟 ∼ 𝑝 ∧ 𝑝 ↔ 𝐶 C es neutro para V Simplificaciones
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