ACTUALIDAD

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ACTUALIDAD EN 
EDUCACIÓN 
ESTADÍSTICA Y 
PROBABILÍSTICA
BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICO MATEMÁTICAS
Editores
José DionicioZacarias Flores
Hugo Adán Cruz Sosa
Fernando Velasco Luna
Bulmaro Juárez Hernández
Víctor Hugo Vázquez Guevara
Hortensia Josefina Reyes cervantes
Francisco Solano Tajonar Sanabria
Gladys Denisse Salgado Suárez
 
 
ACTUALIDAD EN EDUCACIÓN 
ESTADÍSTICA Y PROBABILÍSTICA 
 
 
José Dionicio Zacarías Flores 
Coordinador 
 
 
 
 
 
 
 
 
BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA 
2019 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Primera edición: 2019 
ISBN: 978-607-525-640-5 
©Benemérita Universidad Autónoma de Puebla 
4 Sur 104, Col. Centro Histórico, Puebla, Pue. CP 72000 
Teléfono: (222) 229 55 00 
www.buap.mx 
 
Dirección General de Publicaciones 
2 Norte 1404, Col. Centro Histórico, Puebla, Pue. CP 72000 
Teléfonos: (222) 246 85 59 y (222) 229 55 00 Ext. 5768 
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Facultad de Ciencias Físico Matemáticas 
Av. San Claudio y 18 Sur, Colonia San Manuel, Puebla, Pue. CP 72570 
Teléfonos: (222) 229 55 00 Ext. 7552 
www.fcfm.buap.mx 
 
 
BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA • Rector José Alfonso Esparza Ortiz 
• Secretario General: José Jaime Vázquez López • Vicerrector de Extensión y Difusión de la Cultura: 
José Carlos Bernal Suárez • Director General de Publicaciones: Hugo Vargas Comsille • Director de 
la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas: Martha Alicia Palomino Ovando 
 
 
 
 
 
Impreso y hecho en México 
Printed and made in México 
http://www.buap.mx/
http://www.fcfm.buap.mx/
 
 
 
PRÓLOGO 
 
El Cuerpo Académico de Probabilidad y Estadística, perteneciente a la Facultad 
de Ciencias Físico Matemáticas de la Benemérita Universidad Autónoma de 
Puebla pone a disposición de todos los interesados la edición del libro 
“Actualidad en Educación Estadística y Probabilística 2019”. Este libro es el 
esfuerzo de investigadores pertenecientes a instituciones educativas tanto a 
nivel nacional como internacional, con la finalidad de aportar una muestra 
representativa de las líneas de investigación que actualmente se abordan a nivel 
internacional, acerca de las problemáticas que se dan en el proceso de la 
enseñanza y aprendizaje de la probabilidad y estadística. El contenido del libro 
está elaborado por trabajos inéditos aportados por los autores, después de haber 
sido sometidos a una rigurosa revisión arbitrada, para ser parte de la edición 
como capítulos de libro. 
 
 
 
Atentamente. 
Los editores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agradecemos a la M. C. Gladys Denisse Salgado Suárez por su participación en el arduo 
trabajo que implicó la edición de este libro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Actualidad en Educación Estadística y Probabilística 
ISBN: 978-607-525-640-5 
 
 
I 
Contenido 
1. El aprendizaje basado en proyectos y el emprendimiento, en las ingenierías ......... 5 
1.1 Introducción ............................................................................................................... 6 
1.2 Metodología ............................................................................................................. 11 
1.3 Resultados ............................................................................................................... 13 
1.4 Conclusiones ........................................................................................................... 19 
Referencias .................................................................................................................... 21 
2. Enseñanza y Comprensión de Estudiantes Normalistas de Matemáticas Al Resolver 
Problemas Sobre Probabilidad Condicional ............................................................. 23 
2.1. Planteamiento del problema ................................................................................... 25 
2.2. Referentes teóricos ................................................................................................. 27 
2.3. Enfoque metodológico............................................................................................ 27 
2.4. Análisis de resultados ............................................................................................. 28 
2.4.1 Descripción de la estrategia de enseñanza y análisis de su intervención ............. 28 
2.4.2 Análisis de resultados con el cuestionario ............................................................ 36 
2.5. A modo de conclusiones ......................................................................................... 42 
3. Asociación entre el uso del formato RSE y el rendimiento académico ................... 47 
3.1 Introducción. ............................................................................................................ 49 
3.2 Metodología. ............................................................................................................ 52 
3.3 Resultados. .............................................................................................................. 55 
3.4 Discusión. ................................................................................................................ 62 
3.5 Conclusiones. .......................................................................................................... 65 
4. Regresión lineal del diámetro normal y la circunferencia con el uso de Geogebra, 
para validar las mediciones de campo dentro del bosque del Instituto Tecnológico 
de Zitácuaro ................................................................................................................. 69 
4.1 Introducción ............................................................................................................. 70 
4.2 Marco teórico .......................................................................................................... 72 
4.3 Metodología ............................................................................................................. 73 
4.4 Resultados. .............................................................................................................. 74 
4.5 Conclusiones ........................................................................................................... 76 
5. La antropometría como recurso didáctico para la enseñanza de la estadística .... 79 
5.1 Introducción ............................................................................................................. 80 
5.2 Materiales y métodos ............................................................................................... 83 
5.3 Análisis y discusión de resultados ........................................................................... 86 
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II 
5.4 Discusión de resultados ........................................................................................... 92 
5.5 Conclusiones ........................................................................................................... 93 
6. Evolución en la comprensión de estudiantes de Telebachillerato de un problema de 
estimación de media y mediana a partir de un gráfico ............................................ 95 
6.1 Introducción ............................................................................................................. 97 
6.2 Marco teórico .......................................................................................................... 97 
6.3 Metodología ............................................................................................................. 99 
6.4 Problema propuesto y método de análisis. ............................................................ 101 
6.5 Resultados .............................................................................................................103 
6.6 Conclusiones ......................................................................................................... 117 
7. Aula virtual para la enseñanza del diseño de experimentos. Experiencias y Avances.
 ……………………………………………………………………………………..123 
7.1 Introducción ........................................................................................................... 124 
7.2 Objetivo ................................................................................................................. 125 
7.3 Justificación ........................................................................................................... 125 
7.4 Material y Método ................................................................................................. 125 
7.5 Resultados ............................................................................................................. 126 
7.5.1 Diseño completamente aleatorizado ................................................................... 126 
7.5.2 Diseño en bloques o con un factor bloque ......................................................... 126 
7.5.3 Diseños con dos o más factores .......................................................................... 127 
7.5.4 Diseños factoriales a dos niveles ........................................................................ 127 
7.6 Discusión ............................................................................................................... 129 
7.7 Conclusion ............................................................................................................. 131 
8. Diseño de secuencia para lo obtención de sumas de cuadrados con el uso de Excel 
para la enseñanza de ANOVA de tres factores en Ingeniería Industrial del Instituto 
Tecnológico de Zitácuaro ......................................................................................... 133 
8.1 Introducción ........................................................................................................... 135 
8.2 Marco contextual ................................................................................................... 137 
8.3 Antecedentes ......................................................................................................... 138 
8.4 Desarrollo de la secuencia ..................................................................................... 143 
8.5 Resultados ............................................................................................................. 149 
8.6 Conclusiones ......................................................................................................... 149 
9. Conocimientos, competencias y rol del Profesor de Probabilidad y Estadística en 
educación a distancia: hacia la idoneidad del proceso de estudio y la efectividad del 
aprendizaje ................................................................................................................. 153 
9.1 Introducción ........................................................................................................... 154 
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III 
9.2 El aprendizaje ........................................................................................................ 154 
9.3 La educación a distancia mediada por tecnologías digitales ................................. 155 
9.4 Conocimiento matemático y competencias para educar ....................................... 156 
9.5 La educación a distancia ........................................................................................ 160 
9.6 Conclusiones ......................................................................................................... 163 
10. Sesgos en la comprensión del concepto de probabilidad condicional: una propuesta 
didáctica mediada por TIC para construir aprendizajes verdaderos .................. 167 
10.1 Introducción ......................................................................................................... 168 
10.2 Marco teórico: el modelo TPACK ...................................................................... 170 
10.3 Propuesta didáctica .............................................................................................. 171 
10.3.1 Extracción de bolillas con y sin reposición de una urna: un ejemplo en Excel 172 
10.3.2 Teorema de Bayes con Geogebra ..................................................................... 173 
10.3.4 Visualización en R para favorecer la comprensión del concepto de probabilidad 
condicional .............................................................................................................. 174 
10.4 Conclusiones y trabajos futuros........................................................................... 176 
11. La conjunción de la estadística y la investigación: Relato de una experiencia 
educativa. .................................................................................................................... 181 
11.1 Introducción ......................................................................................................... 183 
11.2 Filosofía de la EE ................................................................................................ 184 
11.3 Descripción de la EE ........................................................................................... 186 
11.4 Aplicación de la EE ............................................................................................. 188 
11.4.1 Contexto del grupo ........................................................................................... 188 
11.4.2 Eficiencia terminal ........................................................................................... 189 
11.5 Resultados de aprendizaje ................................................................................... 190 
11.6 Conclusiones ....................................................................................................... 192 
Anexos ......................................................................................................................... 194 
 
 
 
 
Actualidad en Educación Estadística y Probabilística 
ISBN: 978-607-525-640-5 
 
 
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1 
 El aprendizaje basado en proyectos y el emprendimiento, en las ingenierías 
Guillermina Sánchez López, José Dionicio Zacarías Flores, Fernando Velasco Luna, Gladys 
Denisse Salgado Suárez. 
guillermina.sanchez@correo.buap.mx, jdzacariasf@gmail.com, fvelasco@fcfm.buap.mx, 
gladys008@hotmail.com 
 
 
 
 
 
Resumen: 
Es fundamental promover, fortalecer y preservar en el estudiante de ingeniería el 
emprendimiento, la investigación y las estrategias que le permitan poner en marcha proyectos 
innovadores que contribuyan a generar empleos e ingresos, así como a tener un panorama 
empresarial cercano a la realidad, clave para el desarrollo del México de hoy y de las nuevas 
generaciones, comprometido con la mejora de las condiciones de vida de la humanidad. 
Todo lo cual promueve en el futuro ingeniero el desarrollo de las habilidades, destrezas, 
aptitudes, actitudes y conocimientos necesarios para lograr la transformación del entorno donde 
se desenvuelve en el ámbito laboral. 
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6 
El Aprendizaje Basado en Proyectos, es una estrategia aprendizaje-enseñanza que permite el 
desarrollo de las competencias en los estudiantes, por lo que se plantea implementarlo en la 
materia Química básica del 2° cuatrimestre, del programa de Técnico Superior Universitario de la 
Universidad Tecnológica de Puebla, utilizando como herramienta estadística el Diseño de 
experimentos, con la finalidad de establecer las condiciones óptimas para la mejora de la calidad 
en el desarrollo de los proyectos realizados por el estudiante. 
Palabras claves: Aprendizaje,´proyectos, competencias, matemáticas. 
Abstract 
Its fundamental to promote, strengthen and to preserve in the Engineering student, the 
entrepreneurship, the research and the strategy’s which allow put in work or start innovators 
projects to contribute at the job creations and get incomes, in the same way have an enterprise 
panorama close to the reality, key to the development of Mexico and the new generations, 
committed with the humanity improvement. 
All of that promote in the future engineer the develop of abilities, aptitudes, skills, attitudes 
and knowledge necessaries to achieve the environment transformation where develop in the job 
environment 
The project – based learning, is an strategy learning – teaching which allow the competitions 
develop in the students, due to propose to implement en the Basic Chemistry subject of the 2° 
cuatrimestre, at the program of Técnico superior universitario of the Universidad Teconológica 
de Puebla, using as sadistic tool of the experiment design, with the purpose of stablish the 
optimal conditions to the improvement in the quality at the development of the projects made by 
the student. 
Key words: Learning, projects, skills, mathematics. 
1.1 Introducción 
Uno de los propósitos que se plantean en los perfiles de egreso a nivel superior es el desarrollo 
de conocimientos, habilidades, destrezas, aptitudes, actitudes y valores, que permitan al egresado 
desarrollarse en el terreno laboral. 
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7 
En el programa de estudios de cada asignatura se hace mención de cómo ésta contribuye al 
perfil de egreso apoyando a los estudiantes a desarrollar estas competencias, por lo que es de 
suma importancia transmitirles no sólo el conocimiento propio del curso, sino el interés de 
plantear e investigar problemas reales, cuyas soluciones sean benéficas a su entorno. 
El lograr que el aprendizaje sea significativo para el estudiante es de suma importancia en el 
desarrollo de todo curso, para lo cual es posible aplicar diversas estrategias enseñanza-
aprendizaje, para alcanzar este fin. 
Un modelo educativo, como varios autores lo afirman], es un planteamiento surgido de la 
necesidad de simbolizar y representar la tarea de la enseñanza- aprendizaje que el docente realiza 
para justificar y entender su práctica profesional, para determinar el conocimiento generado en el 
estudiante y para transformar su práctica según los resultados obtenidos. Esta doble función es la 
que Medina (2003), describe: un modelo de enseñanza adopta la representación mental más 
valiosa y apropiada para mejorar tanto el conocimiento práctico como el teórico. 
Existen diversos modelos educativos los cuales plantean la enseñanza de diversas formas, 
algunas centradas en: 
 La transmisión de la información 
 Los valores 
 En el estímulo respuesta 
 La actividad de los alumnos 
 En los procesos de aplicación 
Vygotsky establece el constructivismo, como un modelo en el que el estudiante sea el que 
mediante procesos cognitivos vaya construyendo sus saberes, es decir, darles un sentido, con la 
dirección del docente, para que , logre un aprendizaje significativo, en este modelo 
constructivista el aprendizaje por descubrimiento juega un papel importante ya que al encontrar 
varias soluciones para un mismo problema, promueve en el estudiante el interés por investigar 
qué es lo correcto, con esto, debe lograrse que los nuevos conocimientos entren a la zona de 
desarrollo próximo, donde el individuo es capaz de recordar y aplicar lo aprendido. 
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Por otro lado, Ausubel, (1980), plantea el cómo relacionar en el estudiante el aprendizaje 
mecánico con el aprendizaje significativo, en el primero no se necesitan conocimientos previos 
del tema en cuestión, en el significativo en cambio, se relacionan todo los conceptos estudiados y 
se realiza la aplicación de ellos, es decir es un “continuum” debiendo unirse ambos aprendizajes, 
en el trabajo con el estudiante, es necesario promover que el conocimiento nuevo se una con el 
conocimiento previo para lograr ese tan proclamado aprendizaje significativo, para esto Ausubel 
propone que se implemente con los estudiantes materiales que ellos puedan relacionar dando un 
significado lógico, que le permita relacionarlo con las ideas que tiene en su estructura cognitiva. 
Si el significado que se adquiere es un contenido cognoscitivo nuevo, diferenciado e 
idiosincrático entonces se convierte como Ausubel decía en un significado psicológico, el cual 
requiere de contenidos teóricos suficientes en el estudiante para poder llegar a ser aplicado, 
Ausubel, lo cual en teoría es excelente, el problema se establece en el momento en el que el 
docente pierde el control del grupo y no logra aterrizar las ideas de los estudiantes, al no dirigir 
correctamente lo investigado y como dice Enkvist, (2011), se convierte la clase en un 
procedimiento, en un método para hacer alguna cosa y se deja a un lado el enfatizar los 
conocimientos, los cuales deben ser la base de toda enseñanza. 
Por esta razón evaluar al estudiante con exámenes estandarizados, o bien, impartir las 
asignaturas de forma expositiva, no dará prueba de la apropiación de conocimientos que tengan, 
en el mejor de los casos saben resolver problemas, pero no saben que significan los resultados 
que están obteniendo; esta situación hace imperativa la búsqueda de planeaciones efectivas que 
permitan construir el conocimiento aprendiendo y aplicando conceptos teóricos. 
Como plantea Ausubel, no basta que el material sea significativo, debe existir también en el 
estudiante la inquietud por interpretar los resultados obtenidos, proceso en el cual el docente es el 
guía del alumno, aplicando las estrategias pertinentes para ello, motivando a que se realice la 
asimilación cognitiva requerida, de manera que se logre alcanzar el aprendizaje combinatorio en 
el cual hay una transferencia efectiva del aprendizaje. 
Como parte importante de los modelos de enseñanza está el aprendizaje basado en proyectos, 
(ABP), el cual es un recurso que es recomendado por algunos investigadores Anderson (1980) y 
Sungur, Batanero, y Díaz (2013), por ofrecer más ventajas que desventajas. 
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El utilizar un aprendizaje con base a proyectos obliga a los estudiantes a plantearse preguntas 
tales como Graham, 2011): ¿Cuál es mi problema? ¿Necesito datos? ¿Cuáles? ¿Cómo puedo 
obtenerlos? ¿Qué significa este resultado en la práctica? 
Así las ventajas de usar ABP como una estrategia a considerar por parte del docente, son de 
acuerdo a diversos autores: Mayorga (2011), Batanero, y Díaz; Ojeda, (2013), Godino (2013): 
 Logran aprender de los errores cometidos 
 Como resultado del tiempo empleado se obtiene un producto tangible 
 Conforme se va avanzando se producen ideas novedosas y eficaces, para solucionar las 
problemáticas que se presentan, ante lo cual los estudiantes aplican un trabajo 
colaborativo necesario para la implementación de estas mejoras encontradas 
 El estudiante es protagonista de su aprendizaje, acentuándose su papel autónomo y activo. 
 El rol del docente es apoyar, recomendar, analizar y dar seguimiento del trabajo a realizar. 
 Se inicia de una situación-problema que es el eje motivacional del trabajo de los 
estudiantes. 
 Permite contextualizar a la asignatura en cuestión y hacerla más relevante. 
 Se aprende a identificar y comprender características de los datos reales (variabilidad, 
precisión, fiabilidad, posibilidad de medición y sesgo). 
 Desarrolla y promueve empatía entre los participantes. 
 Promueve el trabajo disciplinar. 
 Promueve la capacidad de investigación tanto grupal como individual. 
 Provee de unaherramienta y una metodología para aprender cosas nuevas de manera 
eficaz. 
 Fomenta la responsabilidad de cada integrante. 
 Favorece la toma de decisión 
 Favorece la relación; estudiante- entorno, donde él es capaz de determinar la 
responsabilidad como partícipe de la mejora de su entorno. 
El modelo didáctico que más se adecúa a las necesidades actuales es el modelo alternativo en 
el cual como explica Mayorga Fse emplean diferentes estrategias metodológicas con la finalidad 
de trabajar por competencias, lo cual es necesario tanto a nivel superior como medio superior. 
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Si bien el aprendizaje basado en proyectos permite que el estudiante desarrolle sus habilidades 
destrezas y capacidades, aplicando los conocimientos apropiados; es necesario realizar una 
metodología correcta que le permita obtener observaciones precisas y sobre todo que pueda tomar 
decisiones correctas y precisas. 
Estas decisiones pueden ayudar a que una empresa pueda salir adelante, o que la producción 
de algún bien o servicio sea redituable, pero para determinar lo anterior, en todo proceso es 
necesario analizar todas las variables que se encuentra presentes y que causan modificación en 
los resultados. 
Todo lo anterior resulta ser importante en la formación del estudiante ya que se le está 
preparando para formar parte del terreno laboral o bien continuar con una preparación académica 
más especializada. 
En este contexto, este documento da una propuesta de estrategia aprendizaje-enseñanza con la 
finalidad de mejorar la práctica educativa desde una perspectiva de emprendimiento que 
promueva el aprendizaje basado en proyectos en la división de Mecatrónica de la Universidad 
Tecnológica de Puebla. 
Esta propuesta surge como resultado de las auditorías y supervisiones realizadas a la 
Universidad Tecnológica de Puebla UTP, en general y a la división de mecatrónica en particular, 
por organismos como el Consejo de Acreditación de la Enseñanza de la Ingeniería, (CACEI), o el 
programa de Fortalecimiento de la Calidad en Instituciones Educativas (PROOCIE), el programa 
integral de Fortalecimiento Institucional, (PIFI), Programa de fortalecimiento de la calidad 
Educativa (PFCE), los cuales evalúan de una u otra forma la calidad de los servicios que se 
prestan a los estudiantes con la finalidad de que al egresar tengan la seguridad de que lo 
aprendido es pertinente y actualizado, con lo cual sea posible que alcancen mejores herramientas 
para desempeñarse profesionalmente, ya sea local, nacional ó internacionalmente, otro objetivo 
es que tengan más probabilidad de desarrollar su propia empresa. 
Como se mencionó antes entre las recomendaciones que tuvo la división de Mecatrónica por 
parte de CACEI 2014 y la retroalimentación PROFOCIE – PIFI – PROFOE 2014 – 2015, está el 
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11 
impulsar la Participación de estudiantes en proyectos de desarrollo tecnológico en el sector 
productivo. 
Como resultado de esas recomendaciones se realiza en la UTP el Programa de 
Fortalecimiento de los programas educativos 2016-2018, donde se tiene como compromiso el 
alcanzar las metas propuestas estableciendo las estrategias a seguir por la mencionada División 
para el logro de tales objetivos. 
Uno de los objetivos del programa institucional 2016-2018 de la División de Mecatrónica de 
la UTP, es: Implementar la metodología de evaluación por proyectos como estrategia para 
mejorar los índices de retención, aprovechamiento académico, eficiencia terminal y titulación, 
así como la incorporación de estudiantes a proyectos de desarrollo tecnológico con el sector 
productivo. 
Es lo anterior lo que motiva la realización de esta propuesta ya que este objetivo no se 
alcanzará solamente en un cuatrimestre o con una materia sino cada una de las asignaturas que 
forman el mapa curricular de los programas de estudio ofertados por la división. 
¿De qué manera las diferentes materias que forman la curricula escolar, pueden “aportar” a 
lograr este objetivo? ¿Cómo implementar desde las asignaturas la elaboración de proyectos? 
¿Cómo darles seguimiento? ¿Cómo desarrollar el emprendimiento a lo largo de la carrera? 
 Para resolver las preguntas anteriores los autores del presente trabajo se plantean los 
siguientes objetivos 
Objetivo general: Implementar el Aprendizaje basado en Proyectos (ABP), como una 
estrategia de trabajo que desarrolle el emprendimiento en el estudiante de Ingeniería. 
Objetivo específico: Emplear el diseño de experimentos (DOE), como una herramienta 
estadística que permita establecer el orden, la repetibilidad y replicabilidad en el desarrollo de un 
proyecto. 
1.2 Metodología 
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12 
En el segundo cuatrimestre del programa de estudio de Técnico Superior Universitario TSU, 
en automatización, se oferta la materia de “química básica”, cuyo objetivo de aprendizaje es: “El 
alumno interpretará fenómenos químicos con base a las leyes, teorías y técnicas de la química 
para contribuir al desarrollo de los procesos industriales” 
La competencia a desarrollar en la asignatura es: “Plantear y solucionar problemas con base 
en los principios y teorías de física, química y matemáticas, a través del método científico para 
sustentar la toma de decisiones en los ámbitos científico y tecnológico”. 
Para implementar en la asignatura “Química” en 2° cuatrimestre el Aprendizaje Basado en 
Proyectos, es necesario realizar la planeación de las sesiones de clase, empleando como 
herramienta el diseño de experimentos con la finalidad de establecer las condiciones óptimas para 
la mejora de la calidad en el desarrollo de los proyectos realizado por el estudiante. 
La planeación de la sesión de clase es vital en el desarrollo de esta estrategia de aprendizaje- 
enseñanza, ya que el docente debe tomar en cuenta las situaciones que en dado caso puedan 
presentarse en los grupos donde se está trabajando. 
Es importante mencionar que esta estrategia se aplicó en 4 grupos de segundo cuatrimestre de 
la división de mecatrónica de la UTP 
En los grupos de 2° cuatrimestre se formaron 6 equipos para realizar el trabajo por grupo. 
El procedimiento que se utilizó con ellos fue el que se muestra en la Figura 1. 
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13 
 
Figura 1. Metodología 
1.3 Resultados 
Al aplicar el diseño de experimentos los estudiantes establecieron como condiciones del proceso, las mostradas 
en la Figura 2. 
 
Figura 2. Determinación inicial de las variables de control 
La utilización del diseño de experimentos permite establecer de una forma clara las variables 
que se encuentran presentes en el prototipo y como se relacionan entre sí, de manera que se 
determine durante el proceso quienes se vuelven controlables, quienes incontrolables y quienes 
serán las variables de salida, las cuales son las que finalmente permiten determinar la eficiencia 
del proceso. 
Pregunta detonadora
Trabajo colaborativo
Conclusiones
Experimentación
Planteamiento de Hipótesis
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En esta parte es importante que el estudiante observe la utilidad del diagrama 2 y como le 
ayuda a determinar los pasos que ha de seguir para que su observación sea más eficiente. 
Por otro lado, este tratamiento permite observar la repetibilidad y la replicabilidad entre las 
diferentes unidades experimentales, recordando que se les denomina así a los prototipos 
realizados por los diferentes equipos, por otra parte, replicabilidad se refiere a que bajo 
condiciones similares se fabrica otro prototipo, en tanto que la repetibilidad implica las 
mediciones en un mismo prototipo. 
En cuantoa lo anterior se tiene que en este caso las unidades experimentales se consideraron a 
los diferentes tipos de leche con los que se trabajó: Leche Lala, Alpura, Tamariz, Nutrileche, 
Santa Clara, de Soya es necesario indicar que cada de cada una se utilizó la variedad Light, 
Entera y deslactosada todas en reacción con Coca Cola en su presentación de 600 ml. 
El diseño de experimentos, ayuda a investigar los efectos de las variables de entrada, 
sobre una variable de salida, al mismo tiempo. Estos experimentos consisten en una serie 
de corridas, o pruebas, en las que se realizan cambios intencionales en las variables de 
entrada. En cada corrida se recolectan datos. 
El DOE se utiliza para identificar las condiciones del proceso y los componentes del 
producto que afectan la calidad, para luego determinar la configuración de factores que optimiza 
los resultados 
De esta manera el proyecto dio inicio como se muestra en la Figura 3, formando las 
observaciones de las unidades experimentales, cuidando “bloquear variables” y tratando de 
realizar los procedimientos aproximadamente bajo las mismas características de manera que sean 
reproducibles y replicables. 
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15 
 
Figura 3. Creación de las unidades experimentales 
Al realizar las primeras observaciones surgieron algunas preguntas que mediante la guía del 
docente dieron con la siguiente parte experimental. 
Esto no solo fue causa de lo observado, ya que se sugiere realizar una investigación 
documental de manera que se busque que hay reportado sobre la reacción en internet, 
encontrando que la presencia del ácido orto fosfórico es el causante del precipitado observado 
como producto de la reacción al degradar la caseína, proteína de la leche, como se observa en la 
Figura 4. 
 
Figura 4. Mediciones en las unidades experimentales 
Es necesario destacar que hasta esta parte del proyecto los estudiantes “necesitaron” estudiar 
tanto conceptos propios de la materia como otro tipo de conocimientos en este caso empezar a 
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hacer uso de sus conocimientos de estadística para comprender cuales son las bases del diseño de 
experimentos 
Como se menciona anteriormente después de las primeras reacciones, se generaron mediante 
lluvia de ideas varias preguntas que motivaron a los estudiantes a seguir investigando, en este 
momento la dirección y habilidad del docente es necesaria para delimitar las preguntas a las que 
se les tratará de dar respuesta, esto debido a que las preguntas seleccionadas deben ser viables 
considerando tamaño del grupo, insumos materiales con que se cuenta en laboratorios y clases, 
tiempo para llevar a cabo la experimentación, propósitos de la asignatura, etc. 
Teniendo como base lo anterior se decidió trabajar con las preguntas: 
¿Qué es el precipitado que se genera? 
¿Qué componentes son los causantes de la reacción que observamos? 
¿Obtendremos el mismo resultado con otro tipo de refresco? 
¿Todos los refrescos de cola tendrán la misma reacción? 
¿En todos los refrescos de lima-limón se encontrará presente el ácido orto fosfórico? 
 
 
Figura 5.Creación de unidades experimentales para las hipótesis planteadas. 
Obteniéndose como se muestra en la Figura 5 las unidades experimentales nuevamente para 
contrastar su replicabilidad y repetibilidad, la cual está reportada en la tabla 1 
Tabla 1. Repetibilidad y replicabilidad en las unidades experimentales 
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17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Una vez realizadas las mediciones de pH y de cantidad de precipitado obtenido como lo indica 
el diseño de experimentos, DoE los estudiantes realizaron el análisis de sus variables, para lo cual 
fue necesario que aprendieran a utilizar minitab y recordaran algunos conceptos estadísticos 
importantes como lo son la prueba de hipótesis, estadística descriptiva, desviación estándar, 
diagrama caja bigotes, interpretación e inferencia estadística. 
Por lo que este proyecto cumple con ser una actividad que promueve la transversalidad, 
permite que efectivamente le estudiante se dé cuenta la unión entre las matemáticas y las ciencias 
experimentales y como se complementan. 
También es un gran promotor del trabajo colaborativo, cabe destacar que inicialmente el 
trabajo se presentó a cada uno de los 4 grupos donde la autora impartía la materia de química. 
En el aprendizaje basado en proyectos una parte muy importante es el seguimiento constante y 
continuo al estudiante, la tabla 1 de resultados obtenidos no solo se puede interpretar como la 
eficiencia de un determinado prototipo, sino también como el desempeño de los estudiantes 
integrantes de un equipo determinado, 
Como resultado del proyecto se solicitó a los integrantes de los equipos entregaran un informe 
donde fundamentarían y argumentarían lo observado, una vez que lo entregaron se pidió que por 
grupo se entregara un solo documento, es decir, todos los equipos debían compartir el reporte 
 Replicabilidad 
Repetibilidad Unidades 
experimentales 
Leche Santa Clara Leche Lala Leche Tamariz 
Variables Entera Light Deslactosada E L D E L D 
pH antes 7 6.6 14 7 6.2 7 7 6.8 6.6 
pH después 7 6.6 1.5 7 6.2 7 7 6.8 6.6 
Cantidad de 
precipitado 
4 3.4 3.9 3.6 3.8 3.9 3.6 4 3.9 
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entregado y hacer uno que integrara la investigación y observación de todos, recordando que cada 
equipo formaba una unidad experimental ya que cada uno trabajó con una marca de leche 
diferente. 
Cuando el reporte integrador de cada grupo estuvo listo, se pidió que se formara otro equipo 
con un representante de cada grupo y se hiciera la integración de los 4 documentos que hasta ese 
momento existían para dar como resultado un solo reporte que tuviera la replicabilidad y 
repetibilidad de las unidades experimentales. 
Ya que como se mencionó anteriormente en cada uno de los cuatro grupos se trabajó con los 6 
diferentes tipos de leche en sus tres variedades combinándolas cada una con los siguientes 
refrescos: 
COCA-COLA, RED COLA, DR PEPPER, BIG COLA, PEPSI, SEVEN UP, SPRITE, 
CANADA DRY. 
Las conclusiones a las que se llegaron fueron interesantes: 
1.- La coca- cola es el refresco de cola que mayor cantidad de ácido orto fosfórico contiene, 
produciendo por tanto una mayor degradación de la caseína de la leche. 
2.- El ácido ascórbico presente en los refrescos lima- limón también descompone la caseína de 
la leche pero en menor grado. 
3.- La temperatura no influye en esta reacción. 
Pero las conclusiones a las que se llegó en la implementación del diseño de experimentos 
como una herramienta para la realización ordenada de un proyecto son mejores. 
 
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Figura 6. Desempeño en el ABP 
En la Figura 6 podemos observar que el mejor grupo en cuestión de organización y 
cumplimiento fue el 2°O, en tanto que el 2° M fue el de menor rendimiento 
Perspectiva: 
En el siguiente cuatrimestre aplicar esta estrategia nuevamente tratando de cuidar más los detalles 
observados 
1.4 Conclusiones 
La implementación del diseño de experimentos como herramienta en el aprendizaje basado en 
proyectos permite una mejor coherencia y congruencia en el desarrollo del mismo. 
En particular al término del cuatrimestre se observó mediante la evaluación realizada que los 
estudiantes realmente habían logrado la competencia de la asignatura que es: “Plantear y 
solucionar problemas con base en los principios y teorías de física, química y matemáticas, a 
través del método científico para sustentar la toma de decisiones en los ámbitos científico y 
tecnológico”. 
Con los resultados obtenidos eneste proyecto, se plantea por parte del docente realizar un 
seguimiento más cercano con los estudiantes del grupo 2°M, de manera que puedan detectarse el 
tipo de deficiencias que estos alumnos presentan, después de esto se observó que los estudiantes 
habían tenido un bajo desempeño en las otras asignaturas cursadas, por lo que en los siguientes 
0
2
4
6
8
10
12
2° L 2°M 2°N 2° O
Desempeño de los 4 grupos
Entrega de mediciones Reporte completo Trabajo colaborativo
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proyectos se plantea un seguimiento más cercano en todas las fases de sus trabajos, es decir, en la 
investigación, planteamiento, medición, conclusiones. 
El aprendizaje basado en proyectos implementado en las ingenierías es una oportunidad para 
detectar las deficiencias y necesidades del estudiante en la aplicación real de sus conocimientos, 
el proyecto incluye la entrega de un reporte donde los equipos deben redactar tanto su 
investigación documental como los resultados obtenidos, detallando el modelo matemático que 
las mediciones presentan, con la finalidad de realizar el dimensionamiento adecuado que permita 
establecer la presentación de un proyecto a mayor escala. 
 
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2 
 Enseñanza y Comprensión de Estudiantes Normalistas de Matemáticas Al 
Resolver Problemas Sobre Probabilidad Condicional 
Saúl Elizarrarás Baena 
sauleliba@gmail.com 
 
 
 
 
Resumen 
En este estudio de tipo cualitativo (Eisner, 1998) con enfoque metodológico en la etnografía 
educativa y cuyo método fue la observación participante (Woods, 1997), técnicas de la 
videograbación y transcripción e instrumentos como cuestionarios y bitácora a modo de diario de 
campo; se presentan resultados de la instrumentación de sesiones de enseñanza sobre 
probabilidad condicional y de la aplicación de un cuestionario de exploración, a modo de 
examen, compuesto por ocho problemas de pregunta abierta y cuyas situaciones y contextos 
planteados fueron diversos. Los criterios de análisis devinieron de los referentes teóricos e 
incorporaron de modo principal los tres ejes rectores propuestos por Ojeda (2006), a saber: 
epistemológico, cognitivo y social. Derivado de lo anterior, el objetivo principal fue: identificar 
dificultades para la enseñanza y la comprensión de ideas fundamentales de estocásticos con 
estudiantes normalistas de matemáticas mediante la resolución de problemas como estrategia 
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24 
docente. La enseñanza promovió el planteamiento de preguntas guía para orientar a los 
estudiantes hacia la comprensión del tema (Heggen y Kauchak, 2005). 
Los resultados obtenidos muestran las dificultades de comprensión sobre ideas fundamentales 
de estocásticos (Heitele, 1975) y en particular, cuando el tema central trata sobre probabilidad 
condicional, de doce estudiantes normalistas de Matemáticas que cursaron el sexto semestre de la 
Licenciatura en Educación Secundaria con Especialidad en Matemáticas; cabe señalar que desde 
el inicio de las sesiones de enseñanza las dificultades de comprensión sobre ideas fundamentales 
de estocásticos se trataron de modo sistemático para que fueran superadas conforme se avanzó en 
su instrumentación; asimismo, se presentaron dificultades con el uso de tablas de doble entrada o 
con diagramas de Venn, así como con la aplicación y relación de otros conceptos matemáticos 
como fue el caso de razón o el orden y comparación de números decimales. No obstante, en los 
resultados obtenidos con el cuestionario se volvieron a presentar similares dificultades de 
comprensión sobre ideas fundamentales de estocásticos, las cuales se manifestaron en todos los 
estudiantes y en todos los reactivos; aun cuando en algunos reactivos contestaban correctamente, 
en otros había inconsistencias. Con base en lo anterior, se procedió a caracterizar el desempeño 
de los estudiantes conforme a las etapas de subjetividad propuestas por Frawley (1999) sin lograr 
que se ubicaran de forma plena en la metaconciencia, ni siquiera en su previa frontera con la 
conciencia, prevaleciendo en mayor medida la frontera entre el procesamiento no consciente y la 
conciencia. 
Palabras clave: enseñanza, comprensión, estocásticos, dependencia e independencia. 
In this qualitative study (Eisner, 1998) with methodological approach in educational 
ethnography and whose method was participant observation (Woods, 1997), techniques of video 
recording and transcription and instruments as questionnaires and logbook as a field diary; We 
present results of the implementation of teaching sessions on conditional probability and the 
application of an exploratory questionnaire, as an examination, composed of eight open question 
problems and whose situations and contexts were varied. The criteria of analysis were derived 
from the theoretical references and mainly incorporated the three guiding axes proposedby Ojeda 
(2006), namely: epistemological, cognitive and social. Derived from the above, the main 
objective was: to identify difficulties in teaching and understanding basic stochastic ideas with 
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25 
normalistic students of mathematics by solving problems as a teaching strategy. Teaching 
promoted the development of guiding questions to orient students towards understanding the 
subject (Heggen and Kauchak, 2005). 
The results obtained show the difficulties of understanding basic stochastic ideas (Heitele, 
1975) and in particular, when the central theme deals with conditional probability, twelve 
mathematical normalistic students who studied the sixth semester of the Bachelor's Degree in 
Secondary Education with Specialty in Mathematics; It should be noted that since the beginning 
of the teaching sessions the difficulties of understanding fundamental ideas of stochastics were 
systematically addressed so that they could be overcome as progress was made in its execution; 
In addition, difficulties were encountered with the use of double-entry tables or with Venn 
diagrams, as well as with the application and relation of other mathematical concepts such as 
reason or the order and comparison of decimal numbers. However, in the results obtained with 
the questionnaire, similar difficulties of understanding about fundamental ideas of stochastics 
appeared again in all the students and in all the items; Even though in some items they answered 
correctly, in others there were inconsistencies. Based on the above, we proceeded to characterize 
the performance of students according to the stages of subjectivity proposed by Frawley (1999) 
without achieving that they were fully located in the metaconsciousness, not even in their 
previous frontier with the conscience, prevailing to a greater extent the border between non-
conscious processing and consciousness. 
Keywords: teaching, understanding, stochastic, dependence and independence. 
2.1. Planteamiento del problema 
En el presente artículo se dan a conocer las dificultades de comprensión sobre ideas 
fundamentales de estocásticos que presentan estudiantes normalistas de sexto semestre que 
cursan estudios de Licenciatura en Educación Secundaria con Especialidad en Matemáticas. 
En otros espacios se han compartido resultados referidos a la problemática educativa que 
enmarca la enseñanza, los medios y la comprensión de estocásticos durante la formación de 
futuros profesores de Matemáticas para la Educación Secundaria; en particular, se ha contribuido 
a la interpretación de las concepciones concepciones sobre diversos fenómenos aleatorios de los 
estudiantes antes citados y se han analizado las dificultades de comprensión sobre ideas 
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fundamentales de estocásticos acerca de diversos fenómenos aleatorios (Elizarrarás, 2015). A este 
respecto, las dificultades presentadas por los estudiantes normalistas se debieron a la ausencia de 
enseñanza previa sobre temas de probabilidad, por lo que la enseñanza por sí misma no puede 
resolver el problema educativo de forma inmediata, pues la activación de esquemas de 
pensamiento determinista representan un grave impedimento no sólo porque se ha privilegiado la 
formación de los estudiantes exclusivamente para las demás ramas de la Matemáticas en 
detrimento de la comprensión de ideas fundamentales de estocásticos; no obstante, se ha sugerido 
la pertinencia de relacionar de manera suficiente al enfoque frecuencial con el enfoque clásico de 
la probabilidad y viceversa, cuya finalidad es contrastar las frecuencias absolutas con las 
frecuencias esperadas y así, acceder de forma gradual a la comprensión de ideas fundamentales 
tales como: variable aleatoria, muestra y ley de los grandes números. 
Las situaciones y contextos planteados toman como base los estudios reportados por 
Gigerenzer (2008) respecto a las preferencias electorales basadas en cuestiones banales más que 
en razones de cambio y mejora para la ciudadanía o las encuestas de mercadotecnia cuyos 
resultados son utilizados en detrimento de los consumidores y en benefició de los empresarios. 
Por su similitud, se ha considerado el trabajo de investigación realizado por De León (2002) 
cuyo autor reportó que en dos grupos de estudio (uno apriorista y otro frecuentista) la 
comprensión inadecuada la idea de equidistribución y simetría al realizar un número suficiente de 
ensayos de fenómenos aleatorios diversos (Elizarrarás, 2014). De hecho en estudios previos, 
también se encontró el mismo resultado con estudiantes normalistas , cuyo fenómeno aleatorio 
fue la predicción de lluvia, al considerar de forma errónea tres eventos posibles: soleado, nublado 
o lluvioso; de este modo, a cada caso se le asignó la probabilidad de un tercio y se descartó la 
relación que debería considerar con los conceptos de frecuencia absoluta y frecuencia relativa 
(Elizarrarás, en prensa). 
Con base en lo anterior, aquí se han formulado como objetivo principal: 
Identificar dificultades para la enseñanza y la comprensión de estudiantes normalistas de 
Matemáticas sobre ideas fundamentales de estocásticos mediante el diseño de estrategias de 
enseñanza basadas en la resolución de problemas sobre probabilidad condicional e instrumentos 
que permitan la recopilación de información. 
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2.2. Referentes teóricos 
Las preguntas de investigación formuladas se relacionan estrechamente con los referentes 
teóricos que fueron incluidos para acceder a la interpretación y análisis de los resultados 
obtenidos al instrumentar sesiones de enseñanza y aplicar un cuestionario de exploración sobre 
problemas de probabilidad condicional. 
En primer lugar, la perspectiva epistemológica propuesta por Heitele (1975), cuyo autor 
sugiere una lista de diez ideas fundamentales de estocásticos sin un carácter estructuralista, a 
saber: medida de probabilidad, espacio muestra, regla de la adición, regla del producto e 
independencia, equidistribución y simetría, combinatoria, modelo de urna y simulación, variable 
aleatoria, muestra y ley de los grandes números. En segundo lugar, se considera la visión integral 
y unificadora de Frawley (1999) respecto a la mente social y la mente computacional, según el 
autor nada es completamente individual ni totalmente social; para advertir la relación dialéctica 
entre pensamiento y lenguaje, el autor propone tres etapas de subjetividad: procesamiento no 
consciente, conciencia y metaconciencia. En tercer lugar, refiere al triángulo epistemológico 
mediante el cual se puntualiza que el concepto sólo se puede comprender cuando mantiene 
relación directa con el objeto y el signo (Steinbring, 2005). 
La enseñanza previó la erradicación de errores por parte de los estudiantes normalistas; no 
obstante, se deben dejar que aparezcan o incluso provocarlos para tratarlos mejor. El autor 
puntualiza que es menester arriesgarse a errar, pues se tiene que correr el riesgo de cometer 
errores y deben ser considerados como momentos creativos de los alumnos. Asimismo, se 
promovió el trabajo en equipo y la autonomía bajo la perspectiva de Ibarra y Rodríguez (2011). 
También, se tomó en cuenta la propuesta de Hegen y Kauchak (2005) acerca de plantear 
preguntas guía para orientar a los estudiantes hacia la comprensión del tema, así como otras 
habilidades que proponen los autores, tal es el caso de focalizar la atención de los estudiantes, 
comunicación, organización y orden en clase, retroalimentación, monitoreo, revisión y cierre. 
2.3. Enfoque metodológico 
El presente estudio forma parte de una investigación cualitativa bajo la perspectiva de Eisner 
(1998). El autor refiere que la crítica educativa adquiere sentidoen la medida en que se toma 
conciencia de la experiencia sobre los aspectos sutiles y complejos del mundo, dado que estos se 
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deben interpretar en función de lo que conocemos. En este caso, el foco de la crítica es el proceso 
de comprensión de los estudiantes cuando se conjuga docencia e investigación en lo que Ojeda 
(2006) denomina aula normal, toda vez que se presenta una estrecha relación con los modos y los 
medios que el investigador utiliza para guiar la enseñanza del tema de estudio. 
En coincidencia con Eisner (1998) el contexto social impide generalizar resultados obtenidos 
en algunas otras escuelas o en otras épocas en las que los estudiantes tenían otras expectativas, 
necesidades o condiciones diferentes; de esta manera, los alcances aquí presentados son 
delimitados por la interpretación del acto educativo que tiene lugar en el aula concreta con 
estudiantes concretos y cuyo profesor concreto también realiza funciones de investigación. Bajo 
estas condiciones se asume como enfoque metodológico a la Etnografía Educativa, cuya 
recopilación de datos es principalmente mediante el método de observación participante (Woods, 
1997). 
De manera específica, se incorporan incorporaron los tres ejes rectores propuestos por Ojeda 
(2006), a saber: epistemológico, cognitivo y social; en este mismo sentido, se utilizaron como 
instrumentos hojas de control que contenían actividades diseñadas para la enseñanza de la 
probabilidad condicional; también un guion de observación en el que se consideraron los criterios 
de análisis siguientes: ideas fundamentales de estocásticos (Heitele, 1975), etapas de subjetividad 
(Frawley, 1999), términos utilizados que orientan el pensamiento de lo posible; un cuestionario 
de exploración para valorar el impacto de la enseñanza al momento de remontar dificultades de 
comprensión sobre ideas fundamentales de estocásticos y como técnica a la bitácora para registrar 
en forma escrita los acontecimientos más sobresalientes que permitieron responder a las 
preguntas de investigación. 
2.4. Análisis de resultados 
Enseguida, se presentan algunos de los resultados obtenidos con la presente investigación; 
primero, con las sesiones de enseñanza y posteriormente, con el cuestionario de exploración. 
2.4.1 Descripción de la estrategia de enseñanza y análisis de su intervención 
La enseñanza se llevó a cabo en ocho sesiones de dos horas cada una. En principio, se guió a 
los estudiantes hacia la resolución de problemas mediante situaciones que ya eran más o menos 
familiares para los estudiantes conforme a las sesiones iniciales del curso denominado La 
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Predicción y El Azar conforme al Programa de Estudios vigente para la Licenciatura en 
Educación Secundaria con Especialidad en Matemáticas (SEP, 1999). En la Figura 1 se muestra 
la actividad inicial que fue propuesta para introducir a los estudiantes en el tema, como se puede 
observar se formularon preguntas guía para que ellos pudieran enfocarse en la situación central 
del problema. Se pidió a los estudiantes que se reunieran en equipos de tres personas para que 
contestaran las preguntas, transcurridos diez minutos el docente pidió la participación alternada 
de los estudiantes y como se puede identificar en los pasajes siguientes, no hubo mayor problema 
en las primeras dos preguntas, la intervención del docente se dio en la pregunta del inciso c. Se 
utilizó D para representar al docente, E a los estudiantes que son diferenciados por un número 
como subíndice y cuando contestaban de modo simultáneo, se denotó por En. 
D: Vamos a iniciar. E5 por favor lee y contesta la primera pregunta. 
E5: ¿Qué representan las parejas ordenadas de la tabla anterior? Son todas las posibilidades que pueden ocurrir al 
girar las ruletas. 
D: En el equipo de aquí, algo que diferente o algo que quieran especificar. 
E8: Sólo que nosotros escribimos que son todos los posibles resultados que pueden ocurrir. 
D: Bien, estamos de acuerdo todos en la respuesta, solamente les preguntaría: ¿cómo se le llama a todos los 
posibles resultados o posibilidades como en el equipo de acá le llamaron, que quedaron enmarcados en la tabla 
conforme al fenómeno aleatorio de hacer girar las dos ruletas? 
E2: Espacio muestra. 
D: Bien. En el equipo de allá atrás, ¿qué contestaron en el inciso b? 
E7: La pregunta fue ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos en ambas ruletas sea cinco? 
Y contestamos cuatro veinteavos porque solo cuatro parejas cumplen con esa característica 
D: ¿Están de acuerdo los demás? 
En: Síí. 
D: Bien. Ahora, ¿quién contesta la pregunta del inciso c? Alguien que todavía no haya participado. 
E4: Nosotros escribimos que la respuesta es dos veinteavos, porque si la suma obtenida es cinco, sólo hay dos 
posibilidades en las que se detiene en el número tres, la dos tres o la tres dos. 
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E8: Profesor pero allí es donde nos surgió la duda porque si lo que se quiere saber es la probabilidad de que se 
detenga en el número tres, ¿en qué afecta que se haya obtenido como suma cinco puntos? 
D: Alguien que tenga alguna idea de lo que pregunta su compañero. 
E5: Nosotros también contestamos lo mismo. 
D: Haber, ¿cuántas parejas ordenadas conforman la suma cinco? 
E4: Cuatro. 
D: Si consideran esas cuatro posibilidades como espacio muestra, ¿cuál es la probabilidad? 
E8: Dos cuartos. 
D: ¿Qué podemos decir del espacio muestra considerado respecto al de ambas ruletas? 
E4: Ya es menos. Entonces así va a ser siempre. 
D: Sí el espacio muestra se reduce, pero cómo se van a dar cuenta de esto? 
E5: Según el evento que ya podemos saber que ocurrió. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. Actividad inicial para introducir a los estudiantes a la probabilidad condicional. 
1) Se giran simultáneamente dos ruletas que están divididas en cuatro y cinco partes iguales, 
respectivamente; numeradas en cada caso. Completa la tabla siguiente: 
4 
 
3 
 
2 
 
(3, 2) 
 
1 
 
(2, 1) 
 
+ 1 2 3 4 5 
a) ¿Qué representan las parejas ordenadas de la tabla anterior? 
 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos obtenidos en ambas ruletas sea cinco? 
 
c) Al detenerse ambas ruletas, la suma de los puntos obtenidos es cinco. ¿Cuál es la probabilidad de 
que alguna de las ruletas se haya detenido en el número tres? 
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En la Figura 2 se muestra la segunda actividad que fue puesta en práctica en el aula, se 
presenta la tabla completada y la única dificultad fue respecto a la redacción, por lo que la 
enseñanza orientó las preguntas guía para que reconocieran cuál era el evento dependiente y una 
vez que lo reconocieron procedieron a hacer los cálculo correspondientes. Aquí también se 
incluyeron de forma implícita parejas ordenadas como parte del criterio otros conceptos 
matemáticos, las cuales se obtendian con las diferencias de números enteros. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2. Segunda actividad propuesta para tratar el tema de probabilidad condicional. 
A continuación, se presentan los pasajes correspondientes a las actividades realizadas por los 
estudiantes para contestar las preguntas de la tercera situación. Cabe señalar que esta actividad 
también utilizó una tabla de doble entrada para el registro de los casos posibles del fenómenos 
aleatorio y solo la adición con números naturales fue otro de los conceptos matemáticos, las ideas 
fundamentales implicadas fue medida de la probabilidad, espacio muestra, regla de la adición, 
regla del producto e independencia. 
D: La tercera situación planteada es la siguiente: Ahora consideremos el fenómeno aleatorio:“lanzar dos dados 
ordinarios y legales”. En un lapso de cinco minutos, por favor elaboren una tabla en la que puedan reconocer todos 
los casos posibles. 
E2: Se puede en un diagrama de árbol. 
2) Una urna contiene cuatro bolas numeradas del uno al cuatro, sin ver se extrae una bola y se 
regresa a la urna, se vuelve a repetir el mismo proceso. Completa la tabla siguiente: 
4 - 3 - 2 - 1 0 
3 - 2 - 1 0 1 
2 - 1 0 1 2 
1 0 1 2 3 
- 1 2 3 4 
 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera extracción se haya obtenido un dos, dado que la 
diferencia fue negativo uno? 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en la segunda extracción se haya obtenido un cuatro, dado que 
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D: Sí, aunque una vez que termines valora si puedes reconocer fácilmente todas las parejas ordenadas. 
[Transcurrieron diez minutos aproximadamente]. Bien, la pregunta del inciso a es: ¿cuál es la probabilidad de 
obtener en ambos dados una suma de puntos igual a siete? E11, ¿cuál es la respuesta? 
E11: Seis treinta y seisavos. 
D: Tú mismo contesta la siguiente: inciso b, ¿cuál es la probabilidad de obtener una suma igual a siete y que en 
alguno de los dados se obtenga un tres? 
E11: Pues sólo en las parejas tres cuatro y cuatro tres se cumple esa condición, por lo que serían dos posibilidades 
de seis. 
D: ¿Por qué dos posibilidades de seis? 
E11: Porque es como en los otros casos el espacio muestra ahora es más pequeño. 
E6: Pero no hay un evento que se conozca. Yo anoté dos treinta y seisavos porque el evento principal debe 
cumplir con la característica de que sume siete y que salga tres en alguno de los dados. 
D: ¿Qué opinan los demás? 
E5: Entonces, ¿cómo podemos saber cuándo se conoce o no? 
D: La misma redacción del enunciado lo específica. Veamos el inciso c, ¿cuál es la probabilidad de que en alguno 
de los dados se haya obtenido un tres, dado que la suma de los puntos de ambos dados sea siete? E1, dime, ¿cuál es el 
evento que se puede asegurar que ya ocurrió? 
E1: Yo entiendo que es la suma siete. 
D: Ahora tú mismo, dicho de otro modo, ¿de qué depende que se obtenga un tres en alguno de los dados? 
E1: Pues precisamente como en los otros casos de la suma siete que ya conocemos. 
D: Bajo estas condiciones, vamos a formalizar simbólicamente las respuestas de este tipo de problemas. 
La tabla 1 muestra los elementos que utilizó el docente para formalizar la probabilidad 
condicional del evento dependiente en forma simbólica. Cabe señalar que utiliza símbolos 
relacionados con la Lógica y Conjuntos porque se promovió el empleo del Digrama de Venn para 
resolver situaciones con este tipo de contenidos matemáticos. 
 
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Tabla 1. Formalización para el cálculo de la probabilidad condicional del fenómeno aleatorio lanzar dos dados 
ordinarios, cuya variable aleatoria es la suma siete. 
 Definimos los eventos: Probabilidad 
 A: La suma de los puntos fue siete P(A) = 6 / 36 
A∩B: Obtener en alguno de los dos dados un tres y que la suma de los puntos sea siete. P(A∩B) = 2 / 36 
(B / A): En alguno de los dados obtener un tres, dado que la suma fue siete. P(B / A)=2/6 
 
A continuación el docente, preguntó a los estudiantes como estaban relacionadas estás 
probabilidades y hubo algunos estudiantes que señalaron que dos sextos se podían obtener 
dividiendo dos treinta y seisavos entre seis treinta y seisavos. A continuación el docente, procedió 
a expresarlo matemáticamente: P (B / A) = P(A∩B) / P (A) 
Una cuarta situación propuesta fue la expresada en las líneas abajo enunciadas: 
4) El 20% de los habitantes de una determinada población son jubilados y otro 20% son 
estudiantes. La música clásica le gusta al 75% de los jubilados, al 50% de los estudiantes y al 
20% del resto de la población. ¿Cuál es la probabilidad de que elegida al azar una persona sea 
jubilada, dado que le gusta la música clásica? 
Tabla 2. Ejemplo. 
Población 
Gusto por la música 
clásica 
Disgusto por la 
música clásica 
Total 
Jubilados 0.15 
 
0.2 
Estudiantes 
 
Otros 
 
Total 
 
1 
 
En los pasajes siguientes se muestra la intervención de la enseñanza para que pudieran ser 
remontadas las dificultades de comprensión sobre ideas fundamentales como medida de 
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probabilidad, espacio muestra, regla de la adición y regla del producto. También manifestaron 
dificultades con el uso de otros conceptos matemáticos como fue el caso de los porcentajes, 
números decimales y su conversión respectiva. De manera paralela, los estudiantes manifestaron 
desconocimiento para completar la tabla de doble entrada que se les sugirió para orientar el 
pensamiento de lo posible. 
D: ¿Quién puede pasar al pizarrón para completar la tabla? 
E4: Yo no entiendo de donde sale cero punto quince y cero punto dos. 
D: ¿Qué características en común tiene el cero punto quince? [Nadie contesta] ¿En qué columna se encuentra? 
E2: En la de los que les gusta la música clásica? 
D: ¿Y fila? 
E2: En la de los jubilados. 
D: Ahora, ¿qué relación tiene el cero punto quince con el 75% que representa los jubilados? 
E6: Creo que ya entendí. Si calculamos el 75% del 20% que son jubilados lo que obtenemos es cero punto quince. 
E4: A mí no me queda claro, por qué si eran porcentajes ahora es número decimal. 
E6: Ah, es que si expresas los porcentajes en decimal y luego los multiplicas entre sí te queda cero punto setenta y 
cinco por cero punto veinte y el resultado es punto quince. 
E4: Sigo sin entender. 
E7: ¿Cómo sabemos que tenemos que convertirlo a decimal? ¿Y cuándo no? 
D: Miren, supongamos que son cien personas las que conforman la población. ¿Cuántas serían jubiladas? 
E2: Veinte de cien. 
D: ¿Están de acuerdo con su compañero? [Algunos asintieron con la cabeza]. ¿Podremos representarlo como 
fracción? 
E5: Veinte sobre cien. 
D: Ahora, si dividen estas cantidades entre sí qué obtienen. 
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E5: Cero punto dos. 
D: ¿Tendrá relación el cero punto dos con el de la tabla? 
E7: Sí, corresponde a la final de los jubilados y es el veinte por ciento pero en decimal. 
D: Entonces, ¿cómo interpretan el cero punto quince? ¿Qué relación tiene con el setenta y cinco por ciento? 
E7: Son los que les gusta la música clásica. 
D: Bien, ¿cuántas de las veinte que son jubiladas, les gustará la música clásica? 
E5: El setenta y cinco por ciento de veinte serían quince. 
D: Al dividir las quince entre cien, ¿cuánto obtenemos? 
E2: Cero punto quince. 
D: Ahora, terminen de completar la tabla. 
E8: ¿Y cómo le vamos a hacer para las personas que no les gusta la música clásica? 
D: Si al veinte por ciento le gusta la música clásica, ¿Cuál es el porcentaje de los que no les gusta la música 
clásica? 
E2: Ochenta por ciento. 
D: ¿Qué van a hacer con el porcentaje obtenido? 
E2: Hacer lo mismo que antes. 
D: ¿Habrá otra forma más rápida de hacer el cálculo correspondiente? [No contestan]. Vean sí al final de la fila 
de los jubilados nos debe dar cero punto dos, ¿cuánto debemos anotar en la columna de los que no les gusta la 
música clásica? 
E5: Cero punto cinco. 
D: ¿Están de acuerdo los demás? 
E8: No porque sumarían cero punto sesenta y cinco y se pasa. 
E4: Es que debe ser cero punto cero cinco. 
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D: Por favor, verifíquenlo de las dos formas para que puedan corroborar si el procedimiento se aplica en todos los 
casos. 
2.4.2 Análisis de resultados con el cuestionario 
A continuación, se muestran algunos ejemplos de resultados con la aplicación de un 
cuestionario de pregunta abierta compuesto por ocho reactivos, cada unode los cuales presentaba 
situaciones y contextos distintos entre sí. 
Un primer reactivo fue el siguiente: 
2. En una escuela los alumnos que tienen problemas de vista esta en la razón 1 a 4 respecto a 
los que tienen problemas de oído, es decir que, el 20% de los alumnos tiene vista defectuosa y el 
80% tiene oído defectuoso; mientras que el 4% tiene vista y oídos defectuosos. ¿Cuál de los 
eventos siguientes tiene mayor probabilidad de ocurrencia? 
a) Que un niño tenga oído defectuoso si sabemos que tiene vista defectuosa. 
b) Que niño tenga vista defectuosa si sabemos que tiene oído defectuoso. 
En la Figura 3 se muestra una de las respuestas comunes que manifestaron siete de los doce 
estudiantes participantes en este estudio. Como se puede identificar en la respuesta 
correspondiente al inciso b, la estudiante otorgó como resultado el número dos, contraviniendo a 
la idea de medida de probabilidad, la cual debe estar en el intervalo cerrado [0, 1] y de manera 
implícita a la idea de espacio muestra. Aunado a lo anterior, descarta el uso de símbolos propios 
de la probabilidad condicional y representa erróneamente al porcentaje de ochenta por ciento con 
la fracción tres cuartos. Utiliza un diagrama de Venn para representar las personas con problemas 
de oído y vista, pero no reconoce a los que no tienen problemas visuales ni auditivos y que 
también forman parte del universo. Por lo expuesto, este tipo de respuesta corresponde a la 
frontera entre el procesamiento no consciente y la conciencia. 
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Figura 3. Respuesta con dificultad de comprensión sobre idea de medida de la probabilidad. 
En la Figura 4 se muestra una de las cuatro respuestas que realizaron de manera adecuada todo 
el procedimiento sin tener dificultades con las ideas fundamentales de estocásticos implicadas, a 
saber: medida de la probabilidad, espacio muestra, regla del producto e independencia y variable 
aleatoria. No obstante, manifestó dificultades con el orden y comparación de números decimales, 
ya que considero que es mayor cero punto cero cinco que cero punto dos, cuya dificultad también 
fue presentada en el desarrollo de las sesiones de enseñanza mediante la intervención guiada por 
preguntas al resolver problemas sobre probabilidad condicional. En términos de las etapas de 
subjetividad de Frawley (1999) este tipo de respuesta se puede ubicar en la conciencia. 
 
Figura 4. Resolución con procedimiento correcto pero con dificultades con la comparación de números decimales. 
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Otro reactivo propuesto fue el siguiente: 
3. En una empresa se producen dos tipos de bombillas: halógenas y de bajo consumo; en la 
razón 3 a 4, respectivamente. La probabilidad de que una bombilla halógena sea defectuosa es 
0.02 y de que una de bajo consumo sea defectuosa es 0. 09. Se escoge al azar una bombilla y 
resulta no defectuosa: 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea halógena? 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea halógena? 
En la Figura 5 se muestra un ejemplo de respuesta que fue proporcionado por cuatro de los 
estudiantes; en este caso en particular, no se reconoció de manera correcta la razón al momento 
de comparar las bombillas de halógeno con las de bajo consumo y expresar sus resultados en 
números decimales por lo que esto derivó en la falta de identificación apropiada del espacio 
muestra. Si bien es cierto que el procedimiento en lo general es el adecuado, por otro lado, el uso 
de símbolos convencionales es una inconsistencia que fue reflejada por los estudiantes no sólo en 
la aplicación de este instrumento sino también a lo largo de las sesiones. Por lo citado, a este tipo 
de respuesta, se le podría ubicar en la frontera entre el procesamiento no consciente y la 
conciencia, ya que no proporciona argumentos en términos de la lengua natural sino que sólo se 
restringe al uso de expresiones numéricas y cálculos aritméticos correspondientes. 
 
Figura 5. Ejemplo de respuesta con ubicación en la etapa de la conciencia. 
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Otro ejemplo similar al de la Figura anterior es el presentado en la Figura 6, en el cual 
tampoco se representan los tres séptimos o su correspondiente conversión en decimal de las 
bombillas de halógeno ni los cuatro séptimos para las de bajo consumo. No obstante, aquí se 
utilizó de modo más formal el uso de la simbología correspondiente. 
 
Figura 6. Ejemplo de respuesta con empleo de simbología adecuada. 
Un tercer reactivo formulado fue el siguiente: 
7. En una escuela, todos los alumnos están tomando clases de Matemáticas e Inglés. La 
probabilidad de que un alumno escogido al azar repruebe en Matemáticas es 0.15, la probabilidad 
de que un alumno escogido al azar repruebe en Inglés es 0.05 y la probabilidad de que repruebe 
ambas es 0.04. 
a) Si sabemos que un alumno esta reprobado en Matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de 
que repruebe en inglés? 
b) Si sabemos que un alumno está aprobado en Inglés, ¿cuál es la probabilidad de que 
apruebe en Matemáticas? 
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En la Figura 7 se muestra un ejemplo de respuesta común que se presentó al identificar de 
manera correcta el evento conocido, lo cual evoca dificultades con la idea de regla del producto e 
independencia de eventos, en el caso del inciso a, no se reconoce la dependencia de reprobar 
matemáticas respecto a reprobar inglés; mientras que en el inciso b aprobar matemáticas dependía 
de aprobar inglés. Además, en el inciso b, se puede observar como hubo dificultades para 
comprender la idea de medida de probabilidad. De esta manera, este tipo de respuesta puede ser 
situada en la frontera entre el procesamiento no consciente y conciencia. 
 
Figura 7. Respuesta con dificultades sobre la comprensión de la regla del producto e independencia. 
Otro ejemplo de respuesta como el de la figura anterior es el mostrado en la Figura 8. Si bien 
es cierto que contestó correctamente el inciso a, al momento de contestar el inciso b no realizó las 
operaciones sobre Lógica y Conjuntos que estaban implícitas, ya que considero erróneamente 
como igual a la intersección P(M∩I)c con respecto a P (Mc∩Ic) y además, el valor numérico 
sustituido en la expresión escrita en el inciso b, correspondía más bien a la unión de los eventos, 
por lo que el resultado obtenido es mayor que uno y obviamente, esto no fue motivo para 
reflexionar la respuesta, por lo que dejó de manifiesto la dificultad con la idea de medida de 
probabilidad. Para el caso del inciso a, la respuesta se puede ubicar en la conciencia; mientras que 
en lo referente al inciso b, la respuesta se sitúa en la frontera entre el procesamiento no consciente 
y la conciencia. 
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Figura 8. Respuesta con dificultades con la idea de medida de probabilidad y espacio muestra. 
Un último ejemplo de problema que se somete a examinación es el siguiente: 
8. En un grupo de 100 alumnos: 
- 28 aprobaron matemáticas, 30 aprobaron física, 25 aprobaron química. 
- 8 aprobaron matemáticas y física, 9 aprobaron física y química. 
- 7 aprobaron matemáticas y química; 5 aprobaron las tres materias 
a) Al seleccionar al azar a un alumno e este grupo, ¿cuál es la probabilidad de que haya 
aprobado exactamente dos materias o tres materias? 
b) Al seleccionar al azar a un alumno, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado sólo una 
o ninguna materia? 
En la Figura 9, se muestra el ejemplo de una respuesta en la que se puede apreciar que se 
comprenden las ideas fundamentales de la medida de la probabilidad y la regla de la adición, pero 
no así lo correspondiente a la