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Algebra Lineal II. Victor Osorio Vidal
LAZARO LLAVE VALERIO
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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
(Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA)
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
NOTAS DE CLASE
ÁLGEBRA LINEAL II
Profesor: Víctor G. Osorio Vidal
2012-II
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
i
ÍNDICE GENERAL
Prólogo
1. Matriz asociada a una transformación lineal 1
Coordenadas o componentes de un vector ………………………………… 1
Matriz asociada a una transformación lineal ……………………………... 2
Matriz cambio de base ……………………………………………………. 14
Fórmulas de transformación de coordenadas ……………………………… 17
Matrices semejantes ……………………………………………………….. 21
Ejercicios ………………………………………………………………….. 23
2. Espacios cociente 28
Espacios cocientes ………………………………………………………… 28
Propiedad universal del cociente …………………………………………. 36
Subespacios invariantes …………………………………………………… 43
Ejercicios ………………………………………………………………….. 46
3. Valores y vectores propios 52
Valores y vectores propios de una transformación lineal ………………… 52
Espectro y espacio propio de una transformación lineal …………………. 53
Valores y vectores propios de una matriz ………………………………..... 56
Polinomio característico …………………………………………………… 63
Ejercicios …………………………………………………………………. 68
4. Diagonalización 71
Diagonalización …………………………………………………………. 71
Descomposición espectral ………………………………………………… 80
Ejercicios ………………………………………………………………… 84
Triangulación de transformaciones lineales y matrices …………………... 86
Teorema de Cayley-Hamilton …………………………………………….. 88
Ejercicios ………………………………………………………………….. 91
5. El complejificado de un espacio vectorial real ( CV ) 93
El complejificado de un espacio vectorial ………………………………… 93
El complejificado de un operador lineal …………………………………… 94
Transformaciones en espacios reales con valores propios complejos ……. 98
Ejercicios …………………………………………………………………… 108
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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ii
6. Transformaciones lineales con valores propios repetidos 111
Transformaciones lineales con un solo valor propio ………………...……. 111
Transformaciones lineales nilpotentes …………………………………...... 112
Formas canónicas de transformaciones nilpotentes ………………...…...…. 116
Ejercicios …………………………………………………………………… 125
7. El teorema de la descomposición primaria 129
Teorema de la descomposición primaria …………………………………… 132
8. La forma canónica de Jordan 136
La forma canónica de Jordan ……………………………………………… 136
Forma canónica de Jordan real ……………………………………………. 140
9. Operadores lineales en espacios con producto interno 144
Operador adjunto …………………………………………………………... 146
Operadores autoadjuntos …………………………………………………... 148
Criterio para determinar si un operador es autoadjunto ……………………. 148
10. Formas bilineales y cuadráticas 153
Propiedades de las formas bilineales ………………………………………. 153
Matriz asociada a una forma bilineal ……………………………………….. 155
Matriz asociada y cambio de base ………………………………………….. 156
Formas bilineales simétricas y antisimétricas ……………………………… 157
Criterio para determinar si una forma bilineal es simétrica
o antisimétrica a partir de su representación matricial …………………….. 157
Formas cuadráticas ………………………………………………………… 158
Propiedades de las formas cuadráticas …………………………………….. 159
Forma polar asociada a una forma cuadrática ……………………………... 160
Matriz asociada a una forma cuadrática …………………………………… 162
Clasificación de formas cuadráticas reales ………………………………… 164
Signatura de una forma cuadrática ………………………………………… 167
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
iii
Prólogo
El Álgebra Lineal es un curso básico en la formación de los estudiantes de ciencias,
ingenierías, economía y ciencias administrativas.
El material que pongo a disposición de los estudiantes que cursan la asignatura de
Álgebra Lineal corresponde a las Notas de Clase entregadas a mis alumnos de la
Facultad de Ciencias Matemáticas y Facultad de Educación (Especialidad de
Matemática y Física) de la Universidad Nacional de San Marcos a través de Chamilo
que es una solución de software libre, licenciada bajo la GNU/GPLv3, de gestión del
E-learning o aprendizaje electrónico, desarrollada con el objetivo de mejorar el acceso a
la educación y el conocimiento globalmente. La dirección es
http://campus.chamilo.org/.
Para finalizar agradeceré a mis colegas y alumnos por las sugerencias y críticas que
tengan a bien hacer llegar a la siguiente dirección vosoriov@unmsm.edu.pe.
EL AUTOR
http://campus.chamilo.org/
mailto:vosoriov@unmsm.edu.pe
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
1
MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Coordenadas o componentes de un vector
Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y consideremos una base ordenada
},,,{ 21 nvvv B . Luego, todo vector Vv se puede expresar de una única forma
como combinación lineal de los elementos de B. Es decir existen Kai , ni ,,2,1
tal que:
n
i
iinn vavavavav
1
2211 (1)
de tal forma que el vector Vv se puede caracterizar únicamente por los escalares
Kai , ni ,,2,1 correspondientes a la combinación lineal (1); esto es, por la n-upla
de elementos de K que expresamos como un vector columna y denotamos por:
na
a
a
v
2
1
][ B (2)
DEFINICIÓN.- La relación (2) se denomina vector de coordenadas de v relativo a la
base B, a los escalares ia se les llaman coordenadas o componentes del vector Vv
respecto a la base B. Nótese que la transformación lineal B][vv determinada por la
base ordenada B es un isomorfismo de V en 1nK ; es decir a todo vector Vv se le
puede asociar de forma única un vector columna cuyas componentes o coordenadas son
los escalares Kai , ni ,,2,1 correspondientes a la combinación (1) con respecto a
la base B.
Nota.- En lo que se sigue de esta sección supondremos que el K-espacio vectorial es de
dimensión finita y la base considerada B es ordenada.
Ejemplo.-Sea })1,1,1(),0,1,1(),0,0,1({B una base ordenada del espacio vectorial
3R sobre R. Hallar el vector coordenado de )1,3,2( v relativo a la base B .
Solución
)1,1,1()0,1,1()0,0,1()1,3,2( 321 aaa
)1,1,1(1)0,1,1(4)0,0,1(1)1,3,2(
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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2
1
4
1
][ Bv
Observación.- Si B es la base canónica de ),,,( KK n y ),,,( 21 nxxxv
cualquier vector de nK .
nx
x
x
v
2
1
][ B y denotaremos ][][ vv B
MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimensiones finitas, con bases ordenadas
},,,{ 21 nvvv B y },,,{' 21 mwww B , respectivamente. Si WVT : es una
transformación lineal, entonces por el teorema fundamental de las transformaciones
lineales, T está unívocamente determinado por los valores que toma T en los vectores de
B . Es decir, como WVT : , entonces WvT j )( , donde:
KawavT ij
m
i
iijj
,)(
1
(3)
para nj ,,1 ; escribiendo en forma explícita:
mm wawawavT 12211111 )(
mm wawawavT 22221122 )(
mmnnnn wawawavT 2211)(
entonces construimos una matriz que tenga como columnas los vectores de coordenadas
de )(,),(),( 21 nvTvTvT la cual denotaremos por:
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
(4)
Definición.- La matriz A obtenida en la relación (2) es llamada matriz asociada a la
transformación lineal T respecto a las bases B y 'B de V y W respectivamentey la
denotaremos como:
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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3
'][ BBTA (5)
Nota.- La matriz '][ BBTA definida en la relación (5) también es frecuente denotar
como
'][][ '' BBBBBB TTTA ,
Ejemplo.- Sea 43: RRT tal que ),0,,(),,( 321321 xxxxxxT . Hallar la matriz
asociada a la transformación lineal T.
a) Respecto a la bases canónicas de 3R y 4R respectivamente.
b) Si )}1,1,1(),0,1,1(),0,0,1{(B es la base para 3R y
)}1,1,1,1(),0,1,1,1(),0,0,1,1(),0,0,0,1{('B es la base para 4R
Solución
a) Respecto a las bases canónicas
)}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{( de 3R
)}1,0,0,0(),0,1,0,0(),0,0,1,0(),0,0,0,1{( de 4R
)1,0,0,0(0)0,1,0,0(0)0,0,1,0(0)0,0,0,1(1)0,0,0,1()0,0,1( T
)1,0,0,0(0)0,1,0,0(0)0,0,1,0(1)0,0,0,1(0)0,0,1,0()0,1,0( T
)1,0,0,0(1)0,1,0,0(0)0,0,1,0(0)0,0,0,1(0)1,0,0,0()1,0,0( T
luego
34
100
000
010
001
][
T
b) Respecto a las bases
)}1,1,1(),0,1,1(),0,0,1{(B de 3R
)}1,1,1,1(),0,1,1,1(),0,0,1,1(),0,0,0,1{('B de 4R
)1,1,1,1(0)0,1,1,1(0)0,0,1,1(0)0,0,0,1(1)0,0,0,1()0,0,1( T
)1,1,1,1(0)0,1,1,1(0)0,0,1,1(1)0,0,0,1(0)0,0,1,1()0,1,1( T
)1,1,1,1(1)0,1,1,1(1)0,0,1,1(1)0,0,0,1(0)1,0,1,1()1,1,1( T
luego
34
'
100
100
110
001
][
BBT
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
4
Ejemplo.- Dados los espacios vectoriales .),,,( RR , .),,,( 2 RR y la
transformación lineal 2: RRT definida como
)2,()( xxxT
Hallar la matriz asociada a T respecto a las bases }1{B , })1,1(),0,1{('B
Solución
)1,1(2)0,1(1)2,1()1( T
12
'
2
1
][
BBT
Ejemplo.- Sea V un espacio vectorial sobre K de dimensión n y VVF : una
transformación lineal definida como
vvF 2)(
Hallar la matriz asociada de F respecto a ala base: },,,{' 21 nvvv BB
Solución
nvvvvF 002)( 211
nvvvvF 020)( 212
nn vvvvF 200)( 21
nn
F
200
020
002
][
B
B
Ejemplo.- Dados los espacios vectoriales
}/),,{( 31 yxRzyxW y }/){(
22
222 jiijij aaRaW
se define la transformación lineal 21: WWG como
0
),,(
x
xz
zyxG
Hallar la matriz asociada de G respecto a las bases:
)}1,0,0(),0,1,1{(B de 1W y
01
10
,
10
00
,
00
01
'B de 2W .
Solución
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
5
01
10
1
10
00
0
00
01
0
01
10
)0,1,1(G
01
10
0
10
00
0
00
01
1
00
01
)1,0,0(G
23
'
01
00
10
][
BBG
Proposición.- Sean WVT : una transformación lineal, },,,{ 21 nvvv B y
},,,{' 21 mwww B bases ordenadas de V y W respectivamente.
Si '][ BBTA es la matriz asociada a la transformación lineal T respecto a las bases B y
'B , Vv y
nc
c
c
vC
2
1
][ B las coordenadas de v respecto a la base B, entonces
ACvT ')]([ B son las coordenadas de T(v) en la base de 'B .
Prueba
Si '][ BBTA es la matriz asociada a la transformación lineal T, entonces:
m
i
iijj wavT
1
)( , nj ,,1 (1)
como
nc
c
c
vC
2
1
][ B son las coordenadas de v respecto a la base de B, entonces:
n
j
jjvcv
1
(2)
ahora
n
j
jjvcTvT
1
)(
n
j
jj vTc
1
)(
n
j
m
i
iijj wac
1 1
de (1)
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
6
i
m
i
n
j
jij wca
1 1
(3)
Escribiendo explícitamente la relación (3) se tiene
n
n
j
jnj
n
j
jj
n
j
jj wcawcawcavT
1
2
1
21
1
1)( (4)
Luego de (4)
n
j
jmj
n
j
jj
n
j
jj
ca
ca
ca
vT
1
1
2
1
1
')(
B
nmnnn
nn
nn
cacaca
cacaca
cacaca
2211
2222121
1212111
nmnnm
n
n
c
c
c
aaa
aaa
aaa
2
1
21
22221
11211
AC
Finalmente, tomando extremos se obtiene ACvT ')]([ B .
Ejemplo.- Sea 32: RRT una transformación lineal definida como
),,2(),( yxyxxyxT .
Considererando: )}2,1(),1,1{(B una base de 2R y
)}0,1,1(),1,0,1(),1,1,1{(' B una base de 3R
i) Hallar '][ BBT .
ii) Si )3,2( v , hallar las coordenadas de )(vT .
Solución
i) )0,1,1(2)1,0,1(0)1,1,1(0)0,2,2()1,1( T
)0,1,1(3)1,0,1(1)1,1,1(0)1,3,2()2,1( T
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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7
32
'
32
10
00
][
BBT
ii) )2,1(5)1,1(7)3,2( v
luego
5
7
][ Bv
1
5
0
5
7
32
10
00
)( 'BvT
Ejemplo.- Sea 23: RRT una transformación lineal, consideremos las bases:
)}0,1,0(),1,0,0(),1,1,1{( B de 3R
)}1,1(),1,1{(' B de 2R
Sabiendo que
2/32/12
2/32/11'B
BT
i) Hallar )2,0,3(T
ii) Hallar ),,( zyxT
Solución
i) )0,1,0(3)1,0,0(1)1,1,1(3)2,0,3( v luego
3
1
3
][ Bv
hallando las coordenadas de )2,0,3(T tenemos:
10
7
3
1
3
2/32/12
2/32/11
)( 'BvT
)1,1(10)1,1(7)2,0,3( T
)3,17(
ii) Sea )0,1,0)(()1,0,0)(()1,1,1(),,( yxxzxzyxv luego
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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8
yx
xz
x
v B][
Hallando las coordenadas de ),,( zyxT :
yx
xz
x
zyxT
2/32/12
2/32/11
),,( 'B
zyx
zyx
2
1
2
3
3
2
1
2
3
2
)1,1()
2
1
2
3
x3()1,1()
2
1
2
3
2(),,( zyzyxzyxT
),35(),,( xzyxzyxT
Proposición.- Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimensión finita con bases
ordenadas },,,{ 21 nvvv B y },,,{ 21 mwww B , respectivamente. Si
WVST :, son dos transformaciones lineales y Kba , , entonces
BBBBBB SbTabSaT
Prueba
Sean ijaT BB y ijbS BB las matrices asociadas de T y S con respecto a las
bases ordenadas },,,{ 21 nvvv B de V y },,,{ 21 mwww B de W.
Se tiene
njvbSvaTvbSaT jjj ,,1;)()())((
njwbbwaa
m
i
iij
m
i
iij ,,1;
11
njwbbwaa
m
i
iij
m
i
iij ,,1;)()(
11
njwbbaa
m
i
iijij ,,1;)(
1
De este modo,
ijij bbaabSaT BB ; njmi ,,1,,,1
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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9
ijij bbaa ; njmi ,,1,,,1
ijij bbaa ; njmi ,,1,,,1
BBBB SbTa
Ejercicio.- Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimensión finita con bases
ordenadas },,,{ 21 nvvv B y },,,{ 21 mwww B , respectivamente. La
transformación lineal WVT : es nula si y solo si 0BBT .
Prueba
) Asumiendo que la transformación lineal WVT : es nula.
Sean },,,{ 21 nvvv B y },,,{ 21 mwww B las bases ordenadas deV y
W respectivamente, entonces
njwavT
m
i
iijj ,,1;)(
1
njwawawawww mmjjjm ,,1;000 221121
njmiaij ,,1,,,1;0
por ser },,,{ 21 mwww B una base para W, luego
0
00
00
B
BT
) Ahora asumiendo que 0BBT .
Sea Vv , por ser },,,{ 21 nvvv B base de V, se tiene que
nc
c
c
v
2
1
][ B , luego por una proposición demostrada anteriormente se tiene que
0
0
0
)]([
0
0
0
00
00
)]([][ 2
1
BBB
B
B vT
c
c
c
vTvT
n
Entonces, VvwwwvT m ,0000)( 21 . En consecuencia la
transformación lineal T es nula.
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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10
Teorema.- Sean V, W dos K-espacios vectoriales de dimensiones n y m
respectivamente. Para cada par de bases },,,{ 21 nvvv B de V y },,,{' 21 mwww B
de W se tiene que:
nmKWVL ),(
Prueba
Definimos:
'][)(
),(:
B
BTTT
KWVL nm
Afirmación 1. - es una transformación lineal. En efecto:
Sean ),(, WVLST y Kba , tal que:
AaTT nmij ][][)(
'B
B
BbSS nmij ][][)(
'B
B
Se tiene
'][)( BBbSaTbSaT Por definición de .
'' ][][ BB
B
B SbTa Por la proposición anterior.
)()( SbTa Sustitución
Con lo cual se verifica la afirmación 1.
Afirmación 2.- es un isomorfismo. En efecto:
i) es inyectiva
}0)(/),({)( TWVLTNu
}0][/),({ ' BBTWVLT
}0/),({ TWVLT Por el ejercicio anterior.
luego }0{)( Nu
es inyectiva
ii) es sobre
nmKnmWVL dim),(dim , por la parte (i) es inyectiva se tiene que es
sobre.
Luego de (i) y (ii) es un isomorfismo.
nmKWVL ),(
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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11
Proposición .-Dados V, W, U espacios vectoriales de dimensión finita sobre el campo K
y sean WVT : y UWS : transformaciones lineales. Si B , B y B son las
bases ordenadas de los espacios vectoriales V, W y U respectivamente, entonces:
B
B
B
B
B
B
][][][ TSTS
Prueba
Consideremos: },,,{},,,,{ 2121 mn wwwvvv BB y },,,{ 21 ruuu B las
bases ordenadas para V, W y U respectivamente.
B
B
][)( TaA nmij tal que
m
i
iijj wavT
1
)( , nj ,,2,1
B
B
][)( SbB mrkl tal que
r
k
kkll ubwS
1
)( , ml ,,2,1
)())(( jj vTSvTS ; para cualquier j, nj 1
m
i
iij waS
1
m
i
iij wSa
1
)(
m
i
r
k
kkiij uba
1 1
k
r
k
m
i
ijki uab
1 1
luego:
k
r
k
jk
m
i
ijkij u
c
abvTS
1 1
))((
k
r
k
jk uc
1
nj 1
entonces: nrjkcTS
][][ BB
pero jkc es el ),( jk término del producto de las matrices BA.
En consecuencia, finalmente tenemos que:
B
B
B
B
B
B
][][][ TSTS
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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12
Ejemplo.- Sean las transformaciones lineales
),(),,(
: 23
xzyxzyx
RRT
yxyx
RRS
2),(
: 2
y consideremos las bases:
)}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{(B de 3R ,
)}1,2(),3,1{(B de 2R y
}1{B de R.
Hallar:
i) BB
][ TS
ii) ),,)(( zyxTS
iii) )4,1,2)(( TS
Solución
i) )1,2(
5
6
)3,1(
5
2
)0,2()1,1,1( T
)1,2(
5
7
)3,1(
5
4
)1,2()0,1,1( T
)1,2(
5
4
)3,1(
5
3
)1,1()0,0,1( T
32
5/45/75/6
5/35/45/2
][
BBT
)1(55)3,1( S
)1(55)1,2( S
2155][ BBS
5/45/75/6
5/35/45/2
55][ BBTS
134
ii) ),,)(( zyxTS
Hallemos B)],,[( zyx
)0,0,1()0,1,1()1,1,1(),,( cbazyx
calculando se tiene que yxczybza ,, . Luego:
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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13
)0,0,1)(()0,1,1)(()1,1,1(),,( yxzyzzyx
yx
zy
z
zyx B)],,[(
B
B
BB )],,[(][)],,)([( zyxTSzyxTS
yx
zy
z
134
)()(34 yxzyz
zyx 2
zyxzyxTS 2),,)((
iii) 4)4,1,2)(( TS
Ejemplo.- Sean las transformaciones lineales:
)0,,2(),(
}2/),,{(: 32
yyyx
yxRzyxWRT
y
xz
yx
zyx
RWF
),,(
: 22
y las bases:
)}0,1(),1,1{(B de 2R
)}1,0,0(),0,1,2{(B de W
10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
B de 22R .
Hallar:
i) BB
][T y BB
][F
ii) BB
][ TF
Solución
i) )1,0,0(0)0,1,2(1)0,1,2()1,1( T
)1,0,0(0)0,1,2(0)0,0,0()0,1( T
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
14
00
01
][ BBT
10
00
2
01
00
0
00
10
1
00
01
2
20
12
)0,1,2(F
10
00
0
01
00
1
00
10
0
00
01
0
01
00
)1,0,0(F
02
10
01
02
][ BBF
ii) BB
B
B
B
B
][][][ TFTF
00
01
02
10
01
02
02
00
01
02
Corolario.- Sean V, W espacios vectoriales de dimensión finita con bases ordenadas
B y B respectivamente y WVT : una transformación lineal. T es un isomorfismo
si y solo si BB
][T es inversible.
Prueba.- Ejercicio.
Matriz cambio de base
Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, consideramos },,,{ 21 nvvv B y
}',,','{ 21 nvvv B dos bases ordenadas para V.
i) Para hallar la matriz cambio de base de B a B .
Se considera el endomorfismo identidad
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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15
VVI : tal que njvvI jj ,,2,1,)( ,
luego expresando jv como una combinación lineal de los elementos de B se
tiene
n
i
iijjj vpvvI
1
)( , nj ,,2,1 (1)
escribiendo (1) explícitamente se obtiene:
nn vpvpvpvvI 122111111 )(
nn vpvpvpvvI 222211222 )(
nnnnnnn vpvpvpvvI 2211)(
la matriz asociada al endomorfismo I respecto a las bases B y B que
denotamos por:
nnnn
n
n
ppp
ppp
ppp
IP
21
22221
11211
][ BB
es llamada matriz cambio de base de B a B .
ii) Para hallar la matriz cambio de base de B a B
Se considera el endomorfismo identidad
VVI : tal que njvvI jj ,,2,1,)(
luego expresando jv como una combinación lineal de los elementos de B se
tiene
n
i
iijjj vqvvI
1
)( , nj ,,2,1 (2)
y escribiendo (2) explícitamente se tiene:
nn vqvqvqvvI 122111111 )(
nn vqvqvqvvI 222211222 )(
nnnnnnn vqvqvqvvI 2211)(
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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16
la matriz asociada al endomorfismo I respecto a las bases B y B que
denotamos por:
nnnn
n
n
qqq
qqq
qqq
IQ
21
22221
11211
][ BB
es llamada matriz cambio de base de B a B.
Observación.-También es usual denotar la matriz P cambio de base de B a B por
'B
BM o 'BBM y la matriz Q cambio de base de B a B por
B
B 'Mo BB M' .
Ejercicio.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita n e VVI : el
endomorfismo identidad, entonces nII
B
B][ donde nI es la matriz identidad de orden n
y B una base cualesquiera de V.
Proposición.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, },,,{ 21 nvvv B y
}',,','{ 21 nvvv B dos bases ordenadas para V. Entonces las matrices de cambio de
bases P de B a B y Q de B a B son inversas entre sí.
Prueba
En efecto,
B
B
B
B '
' ][][ IIPQ Por definición de P y Q.
'
'][
B
BII Por propiedad demostrada.
'
'][
B
BI Pues III .
nI Por el ejercicio anterior.
Análogamente se demuestra que nIQP .
Luego, nIPQ y nIQP lo que demuestra que P y Q son inversas entre si.
Ejemplo.- Sean )}0,1(),1,1{(B y )}1,2(),0,1{(B dos bases de 2R .
Hallar la matriz cambio de base:
i) P de la base B a la base B .
ii) Q la base B a la base B.
iii) Verifique que P y Q son inversas entre si
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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17
Solución
i) )1,2(1)0,1(1)1,1(
)1,2(0)0,1(1)0,1(
01
11
P
ii) )0,1(1)1,1(0)0,1(
)0,1(1)1,1(1)1,2(
11
10
Q
iii)
10
01
01
11
11
10
PQ
Proposición.- (Fórmulas de transformación de coordenadas)
Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita con bases ordenadas
},,,{ 21 nvvv B y }',,','{ 21 nvvv B . Si P es la matriz cambio de base de B a
B y Q la matriz cambio de base de B a B, entonces para todo Vv se tiene que
BB ][][ vvP
y BB ][][ vvQ
Prueba
Sean:
na
a
a
v
2
1
][ B y
na
a
a
v
'
'
'
][ 2
1
B
las coordenadas del vector Vv con respecto a las bases B y B .
Probaremos que BB ][][ vvP
Entonces
n
j
jjvav
1
n
j
n
i
iijj vpa
1 1
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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18
i
n
i
n
j
ijj vpa
1 1
(1)
Por otro lado tenemos que:
n
i
iivav
1
(2)
De (1) y (2) por la unicidad de la combinación lineal, ya que B es una base tenemos
niapa
n
j
jiji ,,2,1,
1
(3)
es decir, explícitamente:
nnapapapa 12121111
nnapapapa 22221212
nnnnnn apapapa 2211
nnnnn
n
n
n a
a
a
ppp
ppp
ppp
a
a
a
2
1
21
22221
11211
2
1
BB ][][ vPv (4)
Ahora como P y Q son inversas entre sí, tenemos que:
BB ][][ vPQvQ
B])[( vQP
B][v pues IQP
BB ][][ vvQ (5)
Las expresiones (4) y (5) se denominan fórmulas de transformación de coordenadas.
Proposición.- Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimensión finita con bases
ordenadas B y C respectivamente. Si WVT : es una transformación lineal
inversible y siendo 1T dicha inversa, entonces
11 )]([ CBBC TT
Prueba
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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19
Sea WVn dimdim , considerando las bases B y C en V y W respectivamente,
se tiene
nIITTTT CCCCBCCB ][][][ 11
Donde nI es la matriz identidad de orden n.
Análogamente,
nIITTTT BBBBCBBC ][][][ 11
Por consiguiente,
11 )]([ CBBC TT
Proposición .- Sean V, W dos K-espacios vectoriales de dimensión finita con bases B
y C respectivamente, entonces la transformación lineal WVT : es un isomorfismo
si y solo si CB][T posee inversa.
Prueba
) Asumiendo que T es un isomorfismo.
WVT : posee inversa VWT :1 , luego por la proposición anterior
B
C
C
B ][)]([
11 TT .
) Ahora asumiendo que CB][T posee inversa.
Se tiene que WTran dim)( , luego solo resta probar que T es una
transformación lineal inyectiva.
Si )(vT , entonces
0)]([)]([][ 1 C
C
BB vTTv
Como todas las coordenadas de v son iguales a cero, se tiene que v , luego
}{)( TNu y en consecuencia T es inyectiva.
Ejemplo.- Sea ][1 RP es el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual
que uno sobre el campo de los reales R y la transformación lineal ][: 1
2 RR PT
definida como xbaabaT )(),( , demuestre que T es un isomorfismo y calcule la
inversa de T.
Solución
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
20
Considerando las bases canónicas de B y C en 2R y ][1 RP respectivamente se
tiene que
xT 11)0,1(
xT 10)1,0(
Luego,
11
01
][ CBT
La matriz CB][T es inversible y
11
01
)]([ 1CBT ; en consecuencia T es un
isomorfismo.
Para calcular la inversa de T
ba
a
b
a
bxaTbxaT C 11
01
][][)]([ 11 BC
)1,0)(()0,1()(1 baabxaT
),()(1 baabxaT
Proposición.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, B y C dos bases
ordenadas para V y VVT : un endomorfismo, entonces
PTQT CC
B
B ][][
donde P es la matriz cambio de base de B a C y Q la matriz cambio de base de C
a B.
Prueba
Como CB][ IP y
B
C][ IQ se tiene
B
B
B
B
C
B
B
C
C
B
B
C
C
B
B
B
B
C
C
C ][][][][][][][][][][ TTITIITIITIPTQ
Tomando extremos se obtiene,
PTQT CC
B
B ][][
con lo cual queda demostrada la proposición.
La proposición anterior se puede interpretar mediante el siguiente gráfico
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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21
Matrices semejantes
Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y VVT : un endomorfismo. Se
consideran B y B dos bases ordenadas de V. Si se denotan por BBTA ,
BB TB , P la matriz cambio de base de B a B y 1P la matriz cambio de base
de B a B por la proposición anterior se tiene que BPPA 1 . Las matrices
nnKBA , que representan al mismo endomorfismo respecto a las bases B y B
son llamadas semejantes.
Estoes, diremos que A es semejante a B si y solo si existe una matriz P no singular
tal que BPPA 1 .
La proposición anterior se extiende para el caso de una transformación lineal
WVT : donde V y W son K-espacios vectoriales de dimensiones n y m
respectivamente. Si B y B son bases para V; C y C bases para W con matrices
asociadas CB][TA ,
C
B
][TB y matrices cambio de base P de B a B y Q de
C y C se cumple que BPQA 1 .
Es decir, dada la transformación lineal WVT : donde V y W son dos K-espacios
vectoriales de dimensiones n y m respectivamente, diremos que las matrices
nnKBA , representan a la misma transformación lineal T existen matrices
nnKP y mmKQ no singulares tales que BPQA 1 .
El siguiente gráfico, ilustra la situación antes descrita.
P
C,V
QP
B
B][T
C
C][T
C,V
B,V B,V
Q
B,V
Q -1P
B
A
C ,W
B,V C,W
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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22
Ejemplo.- Sea 23: RRT tal que )2,(),,( xzyxzyxT .
i) Si B es la base canónica de 3R y C es la base canónica de 2R . Hallar la
matriz de T respecto a las bases B y C.
ii) Calcular las matrices de cambio de base de las bases dadas en (i) a las bases:
)}0,0,1(),1,1,1(),1,0,1{( B de 3R y )}0,1(),1,0{(C de 2R
iii) Calcular la matriz de T respecto a las bases dadas en (ii).
Solución
i) Hallemos CB][T
)1,0(1)0,1(1)1,1()0,0,1( T
)1,0(0)0,1(1)0,1()0,1,0( T
)1,0(2)0,1(0)2,0()1,0,0(T
201
011
][ CBTA
ii)
Calcularemos las matrices de cambio de base de las bases dadas
De )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(B a )}0,0,1(),1,1,1(),1,0,1{( B
)0,0,1(1)1,1,1(0)1,0,1(0)0,0,1(
)0,0,1(2)1,1,1(1)1,0,1(1)0,1,0(
)0,0,1(1)1,1,1(0)1,0,1(1)1,0,0(
121
010
110
P ,
011
010
111
1P
Q
B,3R
P -1
P
B
A
C ,2R
B,3R C,2R
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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23
De )}1,0(),0,1{(C a )}0,1(),1,0{(C
)0,1(1)1,0(0)0,1(
)0,1(0)1,0(1)1,0(
01
10
Q
iii) Calcular la matriz de T respecto a las bases dadas (ii).
1 QAPB
011
010
111
201
011
01
10
121
113
Ejercicios
1. Una transformación lineal 23: RRT está definida por
),2(),,( zyzxzyxT
a) Hallar la matriz asociada A de T, respecto a las bases:
})0,0,3(),0,2,2(),1,1,1({ en 3R y }2,0(),0,2({ en 2R
b) Mediante A, determinar la imagen de 3)2,2,2( R .
c) Determinar la matriz B de T, respecto a las bases canónicas en ambos
espacios.
d) Obtener la matriz C de T, respecto a la base canónica de 3R y la base dada
para 2R en la parte a).
2. Hallar la matriz de la transformación lineal 43: RRS , donde S está definida
como:
),,,3(),,( zyxzyyxyxzyxS
en las bases que se indican a continuación
a) En las bases canónicas.
b) })3,4,1(),4,1,5(),4,2,3({ base de 3R y
)}1,1,1,1(),1,5,4,0(),1,1,0,3(),4,2,0,0{( base de 4R .
c) La base canónica de 3R y para 4R la base dada en b)
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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24
3. Sea la transformación lineal 32: RRf definida por
)2,,(),( yxyxyxyxf
a) Determinar el Nu(f), Im(f), una base para cada uno y sus respectivas
dimensiones.
b) Hallar la matriz asociada de f respecto a las bases:
})0,2(),2,1({ en 2R y })3,0,0(),0,2,0(),0,0,1({ en 3R
4. La matriz asociada de la transformación lineal 33: RRf respecto de la base
canónica es
242
333
111
A
Determinar el Nu(f), Im(f) y sus dimensiones.
5. Sea T el operador lineal sobre 2C definido por )0,(),( 121 zzzT . Sea B la
base ordenada canónica de 2C y sea })2,(,),1({ ii B .
a) ¿Cuál es la matriz asociada de T respecto al par de bases B y B ?.
b) ¿Cuál es la matriz asociada de T respecto al par de bases B y B ?.
c) ¿Cuál es la matriz asociada de T en la base })2,(,),1({ ii B ?.
6. Si },,/{ 2 RcbacbxaxV y 2: RVT es una transformación lineal
definida por )23,2()( 2 accbcbxaxT , determine la matriz asociada a T
respecto a las bases }1,1,1{ 2
1
xxx B de V y )}3,2(),2,3({
2
B de 2R .
7. Dada la transformación lineal 322: RRf definida por
),,( dcbdbacba
dc
ba
f
a) Obtener la matriz de f respecto de las bases:
11
10
,
10
00
,
01
01
,
11
11
y })1,1,0(),1,0,2(),1,2,0({
c) Utilizando la matriz hallada, obtener la imagen de
22
31
.
8. Determinar la transformación lineal 23: RRf , tal que respecto de las bases
})0,1,1(),1,0,1(),1,1,1({ en 3R y })1,2(),2,1({ en 2R su matriz asociada sea
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
25
110
001
.
9. Hallar la matriz de la transformación lineal fg respecto de las bases
})1,0(),1,1({ en el dominio, })2,2(),0,2({ en el codominio donde
),,(),(/: 32 yyxxyxfRRf ),(),,(/: 23 zyxzyxgRRg .
10. Sea la transformación lineal 22: RRf representada por la matriz
cos
cos
sen
sen
respecto de la base canónica.
Demostrar que si y son números reales cualesquiera, entonces
fff y
ff 1 .
11. El endomorfismo 33: RRT está definido por
),,(),,( zyxyxxzyxT
En caso de ser posible, halle la matriz asociada a 1T con respecto a la base
})1,1,1(),0,1,1(),0,0,1({B .
12. Sea 23: RRf definida por ),(),,( yxzyxzyxf
a) Hallar la matriz de f respecto a las bases canónicas de 3R y 2R
respectivamente.
b) Obtener las matrices de cambio de base, de las bases anteriores a las bases
})1,1,1(),2,1,1(),1,1,0({ , })2,0(),3,1({ .
c) Calcular la matriz B de f, respecto al nuevo par de bases.
13. Hallar las matrices de cambio de base en cada uno de los siguientes casos:
a) })2,3(),3,2({ y })2,4(),4,1({ bases de 2R .
b) }12,1,{ 2 xxxx y },12,1{ 22 xxx bases del espacio vectorial
},,/{ 2 KcbacxbxaV
c) Dado el espacio }0/),,,({ 4 wzyxRwzyxU y dos bases
)}1,1,1,1(),1,1,1,1(),3,1,1,1{( B y
)}1,0,0,1(),0,0,1,1(),0,1,0,1{( B
14. Dados el espacio vectorial 2R con las bases })2,3(),1,1({B y
})1,2(),0,1({ B , el espacio vectorial 3R con las bases
)}2,4,1(),1,4,2(),3,2,2{( C y )}2,1,2(),1,2,1(),0,1,1{( C .
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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26
Sea 32: RRT una transformación lineal que tenga en las bases B y C la
matriz asociada
13
12
21
, se pide
a) Hallar la matriz P cambio de base de B a B . Análogamente, hallar la
matriz Q cambio de base de C a C .
b) Hallar 1P y 1Q para las matrices correspondientes a la parte a).
c) Hallar la matriz asociada de la transformación lineal T, respecto a las
bases B y C .
15. En el espacio vectorial 2R fijando R , se considera la base
)}cos,(),,(cos{ sensen C .
a) Hallar la matriz cambio de base de C a la base canónica de 2R .
b) Determine las coordenadas del vector ),( bav con respecto a la base
C.
16. Sean },,{ 321 vvvB y },,{ 321 uuuC bases ordenadas de un R-espacio
vectorial V relacionados de la siguiente forma
323
3211
311
32
3
vvu
vvvu
vvu
a) Hallar la matriz cambio de base de B a C.
b) Si
3
1
2
][ Bv , halle C][v .
c) Si
2
3
1
][ Cv , halle B][v .
17. Considere el siguiente subespacio de )(2 RM ;
0);(2 zyxRMtz
yx
W
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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27
y sean
10
00
,
01
01
,
00
11
B ,
10
00
,
01
10
,
01
01
C dos
bases de W.
a) Halle las matrices cambio de base de B a C y de C a B.
b) Encuentre una base D de W, tal que la matriz
021
103
100
P sea la
matriz cambio de base de D a B.
18. Sea el endomorfismo )( 3RLT , cuya matriz asociada respecto a la base
},,{ 321 vvvB es
134
012
123
Se pide:
a) Probar que })(),(,{ 3
2
33 vTvTvB es también base de
3R .
b) Hallar la matriz asociada de T con respecto a la base
})(),(,{ 3
2
33 vTvTvB .
19. Sean ][2 xP y ][3 xP los espacios vectoriales de los polinomios de grado menor
igual a dos y menor o igual a tres, respectivamente, y sea ][][: 32 xPxPT la
transformación lineal definida por T( p(x)) = x p(x).
a) Determinar la matriz asociada a T con respecto a las bases canónicas de
][2 xP y ][3 xP , respectivamente.
b) Obtener la matriz asociada de T con respecto a las bases :
}445,231,1{ 222 xxxxx B de ][2 xP y
},,,1{ 32 xxxB' de ][3 xP .
c) Haciendo uso de las matrices obtenidasen a) y b) calcular la imagen del
vector 231 xx .
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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28
ESPACIOS COCIENTES
Para abordar el estudio de espacio cociente, primero recordemos el concepto de relación
de equivalencia.
Dado un conjunto cualesquiera M diremos que R es una relación de equivalencia
sobre M si satisface las siguientes propiedades:
1. R ),(: xxMx (reflexividad)
2. RR ),(),(:, xyyxMyx (simetría)
3. RRR ),(]),(),[(:,, zxzyyxMzyx (transitiva)
Cuando una relación R es de equivalencia sobre M, en lugar de escribir R),( yx se
escribe yx ~ . Luego, usando la última notación si R es una relación de equivalencia
sobre M escribiremos:
1’. xxMx ~:
2’. xyyxMyx ~~:,
3’. zxzyyxMzyx ~]~~[:,,
Dada una relación de equivalencia sobre M, definida por yx ~ , la clase de
equivalencia Mx denotada por xK es el conjunto }~/{ yxMyK x , el
elemento x es el representante de la clase de equivalencia.
El conjunto M, se puede expresar como unión de una familia de subconjuntos disjuntos
donde cada uno de ellos es una clase de equivalencia para algún elemento de M. Es
decir si MxxK es una familia de clases de equivalencia, entonces
Mx
xKM
.
Cada clase de equivalencia xK pues xKx ya que por la condición 1’) xx ~ .
Si yx KK , entonces yx KK . En efecto,
sea yxyx KzKzKKz por definición de intersección.
yzxz ~~ por definición de clase de equivalencia.
yzzx ~~ por 2’)
yx ~ por 3’)
yx KK
El conjunto formado por todas las clases de equivalencia denotamos por ~/M , esto es
}/{~/ MxKM x es llamado conjunto cociente; la aplicación ~/: MM tal
que xKx )( es llamada proyección natural y es suryectiva de M sobre ~/M .
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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29
Para la definición de espacio vectorial cociente, consideramos un K-espacio vectorial V
y un subespacio propio W. Se define sobre V una relación de la siguiente manera.
Diremos que Vvu , son congruentes módulo W si y solo si Wvu y escribimos
Wvu mod .
Proposición.- La relación "" definida anteriormente es de equivalencia sobre V, es
decir verifica las siguientes condiciones:
1. VuWuu ,mod (reflexiva)
2. WuvWvu modmod (simétrica)
3. WwuWwvWvu mod)modmod( (transitiva)
Prueba
1. Wuu mod , pues Wuu por ser W subespacio.
2. WvuWvu mod por definición de ""
Wvu )( por ser W subespacio
Wuv
Wuv mod
3. )()modmod( WwvWvuWwvWvu por definición de ""
Wwuwvvu )()(
Wwu mod
Luego, la relación "" es de equivalencia. La relación de equivalencia "" induce sobre
V una partición donde denotaremos cada clase de equivalencia del elemento v por
}mod/{][ WvuVuv . Al elemento Vv se le llama representante de la clase de
equivalencia.
Proposición.- Se verifica
][][mod vuWvu
Prueba
) Demostrando que ][][ vu
Sea Wuwuw mod][
Wuw (1)
Por otra parte como
WvuWvu mod (2)
De (1) y (2)
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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30
Wvwvuuw )()(
Wvw mod por definición de ""
][vw
Luego ][][ vu y análogamente de demuestra que ][][ uv . Por consiguiente,
queda demostrado que ][][ vu .
) Ejercicio.
Con la finalidad de contar con una notación apropiada para operar clases de
equivalencia definimos el conjunto }/{ WwwvWv .
Proposición.- Sea V un K –espacio vectorial y W un subespacio propio de V. Se verifica
que
Wvv ][
Prueba
i) Probaremos que Wvv ][
Sea Wvuvu mod][
wvuWvu para algún valor de W
Wwwvu ,
Wvu
Wvv ][
ii) Falta probar que ][vWv
Sea wvuWvu para algún Ww .
Wwwvu ,
][mod vuWvu
][vWv
Finalmente, de i) y ii) se demuestra la afirmación de la proposición.
Recapitulando, se tiene V un K-espacio vectorial y W un subespacio propio de V; sobre
V se definió una relación de equivalencia "" que a su vez induce sobre el espacio
vectorial V una partición formada por las clases de equivalencia. El conjunto formado
por todas las clases de equivalencia se denota por
}/{ VvWvW
V
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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31
Para dotarle al conjunto W
V de una estructura de espacio vectorial sobre K es
necesario definir las operaciones de adición y multiplicación por escalares. Dados
WuWv , y Ka ; definimos
Adición : WuvWuWv )()()(
Multiplicación por escalares: WavWva )(
Ahora es necesario probar la buena definición de las operaciones; es decir, como se
están trabajando con clases de equivalencia se requiere demostrar que las operaciones
no dependen de los representantes de las clases de equivalencia.
Prueba de la buena definición de las operaciones
Para la adición
Sea WvvWvvWvWv 212121 mod (1)
WuuWuuWuWu 212121 mod (2)
De (1) y (2)
WuvuvWuuvv )()()()( 22112121
WuvWuvWuvuv )()(mod)()( 22112211
)()()()( 2211 WuWvWuWv
Para la multiplicación por escalares
Sea Ka
WuvWuWv mod
Wuv
Wuva )(
Wauav
WauWav
)()( WuaWva
Definimos el cero de WV / por WW y se cumple
WvWvWWWv )()()()(
El conjunto W
V con las operaciones anteriormente definidas es un espacio vectorial
llamado espacio vectorial cociente.
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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32
Ejemplo.- Consideremos el R-espacio vectorial 2RV y el subespacio )}1,1{(LW ,
entonces el espacio cociente de 2R por W es
}),(/),({ 2
2
RbaWbaW
R
Donde cada clase de equivalencia es el conjunto
}/)1,1(),({),( RttbaWba
El cual para ),( ba un punto fijo del plano representa una recta de pendiente 1 o
dirección el vector )1,1( paralela a la recta )}1,1{(LW . Es decir, W
R 2 es el
conjunto formado por todas las rectas del plano paralelas a la recta W.
Ejemplo.- Sea el R-espacio vectorial 3RV y
}0/),,({)}1,0,0(),0,1,0({ 3 xRzyxW
(W es el plano YZ o 0x ), entonces el espacio cociente de 3R sobre W es
}),,(/),,({ 3
3
RcbaWcbaW
R
Donde cada clase de equivalencia es el conjunto
},/)1,0,0()0,1,0(),,{(),,( RrtrtcbaWcba
Interpretando geométricamente W
R 3 es el conjunto formado por todos los planos
paralelos de 3R paralelos a W es decir todos los planos paralelos al plano 0x .
R
W
v+W
u+W
RO
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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33
Proposición.- Sea V un K-espacio vectorial, W un subespacio propio de V y W
V el
espacio cociente de V sobre W. La aplicación W
VV : definida como
Wvv )( es lineal, suryectiva y WNu )( . La aplicación es llamada
proyección canónica (también se le llama proyección natural o proyección cociente).
Prueba
a) La aplicación es lineal. En efecto, dados Vvu , y Kba , se tiene que
Wbvaubvau )()( por la definición de
)()( WbvWau definición de “+” en W
V
)()( WvbWua definición de “.” en W
V
)()( vbua por la definición de
Luego, es una aplicación lineal.
b) La aplicación es sobre. En efecto,
}/)({)Im( Vvv
}/{ VvWv
W
V
Luego, como W
V)Im( , la aplicación lineal es sobre.
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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34
c) La aplicación no inyectiva. En efecto, calculando su núcleo se tiene
})(/{)( WWvVvNu
}/{ WWvVv
}mod/{ WvVv
}/{ WvVv
W
Luego, WNu )( y en consecuencia, la aplicación no es inyectiva.
Teorema.- Sea V un K-espacio vectorial, W un subespacio de V, W
VV : la
proyección canónica de V sobre W
V y U un subespacio de V. Luego, se verifica que
UWV si y solo si la restricción de a U es un isomorfismo de U sobre W
V .
Prueba
) Se tiene por hipótesis que UWV y hay que probar que W
VU : es un
isomorfismo.
i) Primero hay que probar que U es inyectiva.
})(/{ WuUuNu UU
}/{ WWWuUu
}mod/{ WuUu
}/{ WuUu
}/{ WuUu
}}{)(/{ WUuu
}{
Luego, U es inyectiva.
ii) Ahora probemos que U es suryectiva
Sea W
Vz , entonces Wvz para algún Vv .
Por hipótesis UWV , entonces existen Ww y Uu únicos tal
que uwv , luego
)()()()()()( uuWuwuwvWvz
Es decir, dado UuW
Vz , tal que zu )(
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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35
U es suryectiva
En consecuencia de i) y ii) U es un isomorfismo.
) Asumiendo ahora que W
VU : es un isomorfismo, hay que demostrar que
UWV .
i) Primero probemos que UWV .
Sea W
VWvVv . Luego, por hipótesis existe Uu tal que
Wvu )( , es decir
WvuWvWu mod
WwWuv tal que
UuWwuwvuvw ,;
En consecuencia, todo Vv siempre se puede expresar como uwv
donde Ww y Uu ; es decir UWV .
ii) Resta probar que }{UW .
Sea UvWvUWv . Como Wvv se tiene que
WWvWv mod y como Uv , , esto equivale a
)()( UU v y puesto que U es inyectiva se tiene que v , con
lo cual se ha probado que }{UW .
En consecuencia de i) y ii) UWV .
Observación.- Del teorema se tiene que
U
W
UW
y W
U
UW
En los siguientes ejemplos veremos las aplicaciones del teorema.
Ejemplo.- En el R-espacio vectorial 2R , se consideran los siguientes subespacios
)}1,1({LW y )}1,1({ LU
Que son dos rectas de 2R que pasan por el origen con vectores dirección )1,1( y
)1,1( respectivamente. UWR 2 , luego aplicando el teorema anterior resulta que
UW
R
2
y WU
R
2
.
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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36
Ejemplo.- Sea nnRV el R-espacio vectorial de todas las matrices con entradas reales
de orden nn . Consideremos los subespacios
}/{ Tnn AARAW y }/{ Tnn AARAU
De las matrices simétricas y antisimétricas, respectivamente. De demuestra que
UWR nn , luego por el teorema anterior se tiene que
UW
R nn
y WU
R nn
Teorema Fundamental
En el siguiente teorema probaremos que toda transformación lineal UVT : tal que
el subespacio W de V está contenido en el núcleo de T, induce una única transformación
lineal UW
VT :ˆ tal que TT ˆ .
Teorema .-(Propiedad universal del cociente)
Sean V, U K-espacios vectoriales y W un subespacio de V. Si UVT : es una
transformación lineal tal que )(TNuW , entonces existe una única transformación
lineal UW
VT :ˆ que hace comutativo el siguiente diagrama.
Prueba
Definimos la aplicación UW
VT :ˆ tal que VvvTWvT );()(:ˆ .
Primero, hay que garantizar que T̂ está bien definida; es decir que la definición no
depende del representante de la clase de equivalencia. En efecto,
WvvWvWv mod
Wvv por def. de “”
wvvWw /
V
T
U
T̂
W
V
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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37
Wwwvv ;
)()( wvTvT
)()()( wTvTvT por ser T transformación lineal
)()( vTvT pues )(TNuW
)()( vTvT
)(ˆ)(ˆ WvTWvT por def. de T̂
Luego, )(ˆ)(ˆ WvTWvTWvWv , lo cual prueba la buena definición
de T̂ . Ahora probemos que hace conmutativo el diagrama, esto es TT ˆ . Sea
W
VWv , luego ))(ˆ())((ˆ)(ˆ)( vTvTWvTvT . En consecuencia, se ha
probado que TT ˆ .
Ahora probaremos que la aplicación T̂ es lineal. En efecto, dados W
VWvWv ',
y Kba , se tiene
))'()((ˆ))'()((ˆ WbvWavTWvbWvaT
))'((ˆ WbvavT
)'( bvavT por definición de Tˆ
)'()( vbTvaT por ser T transformación lineal
)'(ˆ)(ˆ WvTbWvTa por definición de T̂
Luego, la aplicación T̂ es lineal.
Falta probar la unicidad de T̂ . Supongamos que exista otra transformación lineal
UW
VT : que cumpla las mismas condiciones de T̂ es decir TT , luego para
Vv se tiene
)(ˆ))((ˆ))(ˆ()())(())(()( WvTvTvTvTvTvTWvT
tomando extremos se tiene que
VvWvTWvT ,)(ˆ)(
Luego, TT ˆ y en consecuencia T̂ es única.
Observaciones
(1) Si T̂ es la transformación lineal del teorema anterior, ))(()ˆ( TNuTNu e
)()ˆIm( VTT . En efecto, hagamos la verificación.
Verificando que ))(()ˆ( TNuTNu
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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38
})(ˆ/{)ˆ( WvTW
VWvTNu
})(/{ vTW
VWv
})(/{ TNuvW
VWv
})(/)({ TNuvW
Vv
))(( TNu
Luego ))(()ˆ( TNuTNu
Verificando que )()ˆIm( VTT
)(ˆ)ˆIm( W
VTT
}/)(ˆ{ VvWvT
}/)({ VvvT
)Im(T
)(VT
Luego, )()ˆIm( VTT
(2) La construcción del espacio cociente nos permite afirmar que dado un espacio
vectorial V y un subespacio VW arbitrario, existe una transformación lineal
UVL : de V en algún espacio vectorial U de modo que WLNu )( . Esto es,
todo subespacio es el núcleo de alguna transformación lineal. En efecto, basta
tomar W
VVL : la proyección canónica.
Teorema .-Existe una correspondencia biyectiva entre los subespacios de W
V y los
subespacios de V que contienen a W. Esa correspondencia está dada de la siguiente
forma
VSW
VS )(1 ; W
VUW
UVUW )(
Prueba
Las funciones definidas arriba envían subespacios en subespacios. En efecto, sea S un
subespacio de W
V , se tiene que probar que )(1 S es un subespacio de V. Sean
)(, 1 Svu y Kba , , entonces Svu )(),( ; como S es un subespacio
Svbua )()( y como es la aplicación canónica se tiene que
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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39
)()( 1 SvbauSvbau ; luego, )(1 S es un subespacio de V. Si U es un
subespacio de V, como es lineal, entonces )(U es un subespacio de W
V . De otra
parte, ambas funciones son una inversa de la otra. En efecto, tomemos un subespacio U
de V tal que VUW , probaremos que UW
U )(1 .
Sea )()( 1 W
UuW
UuWuUu . Luego, )(1 W
UU . Ahora
probemos el otro contenido, por definición de imagen inversa se tiene
})(/{)(1 W
UuUuW
V
Sea WuvUuW
UWvvW
Vv /)()(1
wuvUu / , para algún Ww .
Luego, wuv con Ww ; como UW entonces Uv , o sea que
UW
U )(1 .
Por consiguiente, UW
U )(1 .
Teorema.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita. Si W es un subespacio
propio de V, entonces
WVW
V dimdim)dim(
PRUEBA
Sea nV dim y mW dim , con nm . Consideremos },,{ 1 mvv B una base
para W, entonces por el teorema de completación de bases, extendemos dicha base para
V. Es decir existen, Vvv nm ,,1 tal que },,,,,{ 11 nmm vvvv B' es una
base de V. Con los vectores utilizados para completar la base formamos el subconjunto
},,{ 1 WvWv nm B de W
V .
Afirmación.- },,{ 1 WvWv nm B es una base para W
V .
Prueba de la afirmación
i) El conjunto },,{ 1 WvWv nm B es linealmente independiente.
Sea WWWvaWva nnmm )()( 11 (W esel cero de W
V )
WWvaWva nnmm )()( 11 (def. de · en W
V )
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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40
WWvava nnmm )( 11 (def. de + en W
V )
Wvava nnmm )( 11
mmnnmm vavavava 1111 (por ser },,{ 1 mvv base para W)
mmnnmm vavavava 1111
011 nmm aaaa se tiene que },,{ 1 WvWv nm B
es l.i.
ii) El conjunto },,{ 1 WvWv nm B genera W
V esto es )(BLW
V .
Sea W
VWv . Como Vv se puede expresar como combinación lineal de
los elementos de B' , esto es
n
mi
ii
m
i
ii
n
i
ii vavavav
111
WvavaWv
n
mi
ii
m
i
ii
11
WvaWva
n
mi
ii
m
i
ii
11
WvaW
n
mi
ii
1
pues Wva
m
i
ii
1
Wva
n
mi
ii
1
ya que W es el cero de W
V
)()( 11 WvaWva nnmm
)()( 11 WvaWva nnmm
Luego, para todo W
VWv , se tiene que
)()( 11 WvaWvaWv nnmm
De lo que resulta, W
VWvWvL nm },,{ 1 .
De i) y ii) la afirmación queda probada.
De la afirmación se tiene que
WVmnWV KKK dimdim)/(dim
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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41
Observación.- El teorema anterior nos describe un procedimiento para encontrar una
base del espacio cociente W
V cuyos representantes son los vectores utilizados para
completar una base de V a partir de una base de W.
Ejemplo.- En el espacio vectorial 3R sobre R se considera el subespacio
}0,0/),,({ 3 zyxzyxRzyxW
Se pide:
a) Hallar una base para W
R3 .
b) Determinar el vector de coordenadas de W )3,1,2( con respecto a la base
hallada en a).
Solución
a) Hallando una base para W
R3 .
Se tiene que }0,0/),,({ 3 zyxzyxRzyxW
}0/),,({ 3 yxRzyx
}/),,({ 3 xyRzyx
}/)0,,({ Rxxx
})0,1,1({ LW
El conjunto })0,1,1({ es una base para W, y por el teorema de completamiento de
bases, existen 3)1,0,0(),0,1,0( R tal que })0,1,0(),1,0,0(),0,1,1({ es una
base de 3R . Luego por el teorema })1,0,0(,)0,1,0({ WW B es una base para
W
R3 .
b) Determinando el vector de coordenadas de W )3,1,2( con respecto a la
base B .
WWbWa )3,1,2())1,0,0(())0,1,0((
WWbWa )3,1,2()),0,0(())0,,0((
WWba )3,1,2()),,0(
)0,,()3,1,2()0,1,1()3,1,2(),,0( ttbatba
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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42
3
1
2
03
1
2
b
a
t
b
ta
t
Luego, WWW )3,1,2())1,0,0((3))0,1,0((1 , y en consecuencia
3
1
])3,1,2[( BW
Corolario.- Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y VW un subespacio
vectorial . Entonces, W
VWV .
Prueba
Siguiendo el procedimiento del teorema, consideramos una base B para W y luego
completamos una base B para V. Si se considera BBB , entonces )(B es
una base de W
V . Consideramos la inclusión VWi : y la transformación lineal
VW
VT : inducida por B vvvT ,))(( . Entonces, T es inyectiva e i, T
inducen una transformación lineal biyectiva VW
VW .
Ejercicio.- Sean U y W subespacios del K-espacio vectorial V. Probar que
W
WUUT )(: tal que WuuT )( es un epimorfismo.
Solución
Primero probemos que la aplicación T es una transformación lineal. Sean Uvu , y
Kba , .
WbvaubvauT )()(
)()( WbvWau
)()( WvbWua
)()( vbTuaT
Ahora hay que probar que T es suryectiva.
Sea W
WUz )( , entonces Wwuz )( para algún Uu y para algún
Ww ; entonces
)()()()( uTWuWWuWwWuz
Esto prueba que T es suryectiva. Por tanto, T es un epimorfismo.
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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43
Definición..- Sea VVT : una transformación lineal y sea VW un subespacio. Se
dice que W es invariante con respecto a T ( o un subespacio invarante por T) si
WWT )( .
Teorema.- Sea VVT : una transformación lineal y W un subespacio invariante por
T. Entonces, existe una única transformación lineal W
V
W
VT :
~
que hace
conmutativo el siguiente diagrama
Prueba
Consideremos la transformación lineal W
VVT : y probemos que
)( TNuW . En efecto, sea Ww entonces como W es invariante por T,
WwT )( y como WNu )( entonces )())(( TNuwWwT . Con lo que
se ha probado que )( TNuW .
Ahora, usando la propiedad universal del cociente ( teorema demostrado) existe una
única transformación lineal W
V
W
VT :
~
Tal que TT ~ ; con lo que queda demostrado el teorema.
V
T
V
W
V
W
V
T~
V
W
V
W
V
T
T~
V
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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44
Observación.- El teorema anterior puede generalizarse de la siguiente forma:
Sea VVT : una transformación lineal y VWVW , subespacios tales que
WWT )( . Entonces, existe una única transformación lineal W
V
W
VT
:~ tal
que TT ~ .
En efecto, consideremos la transformación lineal W
VVT
: . Sea Ww
entonces WwT )( pues WWT )( y como WNu )( entonces
WwT ))(( , es decir )( TNuW , luego por la propiedad universal del
cociente existe una única transformación lineal W
V
W
VT
:~ tal que
TT ~ .
Corolario.- (Isomorfismo inducido por una transformación lineal)
Sean V, U K- espacios vectoriales y UVT : una transformación lineal, entonces
existe una única transformación lineal )()(:
ˆ VTTNu
VT inducida por T que es un
isomorfismo.
Prueba
De acuerdo a las condiciones del corolario, construimos el siguiente diagrama.
Consideremos la transformación lineal )(: VTVT , como )(TNu es un subespacio
de V y obviamente está contenido en sí mismo, existe una única transformación lineal
)()(:
ˆ VTTNu
VT tal que TT ˆ en virtud de la propiedad universal del cociente.
V
T
T̂
)(TNu
V
UVT )(
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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45
Probaremos que T̂ es inyectiva.
}))((ˆ/)({)ˆ( TNuvTTNuvTNu
}))((ˆ/)({ vTTNuv
}))(ˆ(/)({ vTTNuv
})(/)({ vTTNuv
})({ TNu
})({)ˆ( TNuTNu y en consecuencia T̂ es inyectiva.
Ahora probaremos que T̂ es suryectiva, para ello calculamos
}/))((ˆ{)ˆIm( VvTNuvTT
}/))((ˆ{ VvvT
}/))(ˆ({ VvvT
}/)({ VvvT
)(VT
Luego, T̂ es suryectiva.
Finalmente, al ser T̂ inyectiva y suryectiva concluimos que T̂ es un isomorfismo y por
consiguiente )()(/ VTTNuV .
El siguiente teorema establece una relación entre BT la matriz asociada a un
endomorfismo VVT : con respecto a una base ordenada B de V y BT~ la matriz
asociada al endomorfismo inducido por T en el cociente W
V , donde W es un
subespacio invariante por T.
Teorema.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, VVT : una
transformación lineal y W un subespacio de V invariante por T. Denotemos con
WWT W : la transformación lineal obtenida mediante la restricción de T a W.
Consideremos W
V
W
VT :~ la transformación lineal inducida por T en el cociente
y las bases },,,{ 21 rvvv C , },,,,,,{ 121 nrr vvvvv B ,
},,{ 1 WvWv nr B bases de W, V y W
V respectivamente. Entonces
B
C
B
T
T
T W ~
0
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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Prueba
Observemos que los vectores rjWvT j ,,1;)( ; desde que W es invariante por
T, de aquí cada rjvT j ,,1;)( se escribe como combinación lineal de los
elementos de la base },,,{ 21 rvvv C , los escalares correspondientes a esta
combinación lineal son exactamente las entradas de la matriz asociada CWT . Esto
prueba que las primeras r columnas de la matriz BT son como se enuncia en el
teorema.
De otro lado VvT jr )( para rnj ,,1 , pueden escribirse como combinación
lineal de los elementos de la base B de V; esto es existen escalares
jrnjrrjrrjrjr aaaaa ,,1,,2,1 ,,,,,, en K tal que
n
ri
ijri
r
i
ijrijr vavavT
1
,
1
,)( , para rnj ,,1
Tomando la clase de equivalencia
)()()(
1
,
1
, WvaWvaWvT
n
ri
ijri
r
i
ijrijr
, para rnj ,,1
Esto es
)()(~
1
, WvaWvT
n
ri
ijrijr
, para rnj ,,1
lo que implica que los elementos de la columna jr (para rnj ,,2,1 ) de
BT ubicados en las filas nrr ,,2,1 forman exactamente el j-ésimo vector
columna de la matriz BT~ con lo que el teorema queda demostrado.
Ejercicios
1. Sea V un K-espacio vectorial y W un subespacio de V. Se dice que Vvu, son
congruentes módulo W si y solo si Wvu , lo que se denota como Wvu mod .
Demostrar que la relación “ ” es de equivalencia.
2. Sea V un K-espacio vectorial y W un subespacio de V. Para Vv , se define el
conjunto }/{ WuuvWv . Demuestre que Wvv ][ .
3. Sea }02/),{( 2 yxRyxW subespacio de 2R . Describir las clases de
equivalencia módulo W de los siguientes vectores: )2,2(),2,3( vu y
)3,4( w .
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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47
4. Sea el espacio vectorial 2R sobre R y el subespacio }3/),{( 2 xyRyxW .
¿Cuáles de la siguientes de las siguientes expresiones son verdaderas?.
a) )]7,2([)],([ bbaba
b) WbabWba )42,(),(
c) WbabWbba )43,()7,2(
5. Sea })2,3({LW un subespacio de R2. Averigüe si se cumple:
a) WabbaWbba )2,(),2( , donde Rba , .
b) Wa
b
abWbba )
3
,(),2( , donde Rba , .
6. Sea }0/),,({ 3 zRzyxW subespacio de 3R . Describir las clases de
equivalencia módulo W de los siguientes vectores: )2,1,0(),1,0,0( vu y
)4,1,4( w en R3.
7. Sea }02/),,{( 3 zyxRzyxW subespacio de 3R . Demuestre que que la
clase de equivalencia módulo W del vector 3),,( Rcbav es el conjunto
}22/),,({ 3 cbazyxRzyx .
8. Sea Kn un K-espacio vectorial y W el espacio solución de la ecuación lineal
Kaxaxaxa inn ,02211 y sea
n
n Kbbbv ),,,( 21 . Demuestre que
la clase Wv de W en Kn es el conjunto solución de la ecuación lineal
bxaxaxa nn 2211 donde nnbababab 2211 .
9. Considere el espacio vectorial real de todos los polinomios con coeficientes en R e
indeterminada x, V=R[x]. Si })(/)1)(({ 2 VxqxxqW se pide:
a) Demuestre que },/][{/ RbabaxWV .
b) Dados 12)( 234 xxxxxp , ][23223)( 234 xRVxxxxxs ,
averigüe si )]([)]([ xsxp .
10. Considere el espacio vectorial real de todos los polinomios con coeficientes en R e
indeterminada x, V=R[x]. Si })(/)1)(({ 3 VxqxxxqW se pide:
a) Demostrar que },,/{/ 2 RcbacbxaxWV .
b) Dados 232)( 234 xxxxxp y 122)( 234 xxxxxs de
V=R[x], averiguar si )()( xsxp .
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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48
11. Sea la transformación lineal VVT : . Demuestre que los siguientes subespacios
son invariantes por T:
a) }{ b) )(TNu c) )Im(T
12. Sea V un K-espacio vectorial y W un subespacio. Supongamos que el conjunto de
clases },,,{ 21 WvWvWv n es linealmente independiente en V/W.
Demostrar que el conjunto de vectores },,,{ 21 nvvv también es linealmente
independiente en V.
13. Sea V un K-espacio vectorial y W un subespacio. Supongamos que el conjunto de
vectores },,,{ 21 nuuu en V es linealmente independiente y que
}{)( WuL i . Demostrar que el conjunto de clases
},,,{ 21 WuWuWu n en V/W también es linealmente independiente.
14. Sea V un K-espacio vectorial, U y W subespacios tal que WUV y
},,,{ 21 nuuu una base de U. Demostrar que },,,{ 21 WuWuWu n es una
base del espacio cociente V/W.
15. Sea el R-espacio vectorial 3R y }02,02/),,({ 3 xzyxRzyxW .
a) Determine una base B de WR /3 .
b) Si )0,1,1(v , halle el vector coordenado de Wv respecto a la base B .
c) Si )4,3,2( v , halle el vector coordenado de Wv respecto a la base B .
16. En el espacio vectorial 4R sobre R, se consideran los subespacios:
}02/),,,({ 4 tzyxRtzyxU ,
}02,0/),,,({ 4 tzytyxRtzyxW y
}0,0,0/),,,({ 4 tzzxyxRtzyxS
Se pide hallar una base y su dimensión correspondiente para los espacios cocientes:
WRUR /,/ 44 y SR /4 .
17. Sea V el R-espacio vectorial de los polinomios con coeficientes en R e
indeterminada en x. Si W es el subespacio de los polinomios divisibles por 5x , esto
es de la forma nn xaxaxa 5
6
1
5
0 . Mostrar que el espacio cociente WV / es de
dimensión 5.
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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49
18. Determine la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
a) Todo subespacio es el núcleo de alguna transformación lineal.
b) Dado un subespacio W de un espacio vectorial V, existe una transformación
lineal VUT : para algún subespacio U de modo que .)( WUT
19. Sea }2/),({ 2 xyRyxU subespacio de R2. Pruebe que cada clase en
UR /2 posee un único representante en el eje Y. Use este hecho para definir un
isomorfismo entre UR /2 y el eje Y.
20. Sea }0/),,({ 3 zRzyxW subespacio de 3R . Pruebe que cada elemento de
WR /3 posee un único representante en la recta }/)1,1,1({ RttL . Use este
hecho para definir un isomorfismo entre WR /3 y la recta L.
21. Sea ][2 xPV el espacio vectorial de los polinomios de grado 2 y
},/{ 2 RbabaxW un subespacio de V. Establesca un isomorfismo entre el
espacio cociente WV / y la recta }0,0/),,({ 3 zyxzyxRzyxL .
22. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y W un subespacio de V. Probar
que
WVWV dimdim)/dim( .
23. En el R-espacio vectorial R3 se considera el subespacio
}0,0/),,({ 3 zyxzyxRzyxW
Determinar una base para WR /3 e indicar su dimensión.
24. Sean 22R el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 22 se
considera el conjunto
02/22 cb
dc
ba
W R .
Determine una base y la dimensión para W/22R .
25. Sea ][3 xPV el R-espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que
3, con coeficientes en R e indeterminada x y }0)1()0(/][)({ 3 ppxPxpW
un subespacio de V. Determinar una base B de WV / y calcular el vector de
coordenadas de Wxxx )132( 23 .
26. En el espacio vectorial 3R sobre R se considera el subespacio )}1,1,1{(LW . Si
la aplicación lineal 33 /:ˆ RWRT se define como
),,()),,((ˆ bccabaWcbaT .
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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50
Hallar la matriz asociada a T̂ con respecto a las bases
})1,1,0(,)0,1,0({ WW B de WR /3 y
)}1,0,1(),0,1,1(),0,1,1({ B de 3R .
27. En el espacio vectorial 3R sobre R, se considera el subespacio )}1,1,1{( LW y
WRRT /: 33 tal que WcbcabacbaT ),,(),,( . Hallar la matriz
asociada de T con respecto a las bases )}0,1,1(),1,1,1(),1,0,1({ B de 3R
y })1,1,0(,)1,1,0({ WW B de WR /3 .
28. En el espacio vectorial 3R sobre R, se considera el subespacio
}0,02/),,{( 3 zyxyxRzyxW, })1,0,0(,)1,1,0({ WW B
base de WR /3 y )}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1({B base de 3R .
Si 33 /: RWRT es una transformación lineal tal que la matriz asociada a T
respecto de estas bases es
01
10
10
B
BT , hallar )),,(( WzyxT .
29. Sea 33: RRT una transformación lineal definida por
)32,2,(),,( zyzyzyxzyxT
Si })4,2,2({LW , demuestre que W es T-invariante.
30. En el espacio vectorial 3R sobre R, se considera el subespacio )}1,1,1({LW y
)0,,(),,(/)( 3 cbcacbaTRLT . Si la transformación lineal
)(/:ˆ 33 RTWRT está definida como )0,,()),,((ˆ cbcaWcbaT , hallar
1ˆ T en caso de ser posible.
31. Sean V y W dos K-espacios vectoriales y WVT : una transformación lineal. Si
la dimensión de V es finita, demostrar que VTNu )( y WVT )( tienen
dimensión finita y además se cumple que )(dim())(dim(dim VTTNuV .
32. Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, U y W subespacios de V.
Demuestre: a)
WU
U
W
WU
)(
b) )dim(dimdim)dim( WUWUWU
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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51
33. Sean V un K-espacio vectorial de dimensión finita, )(VLT , W un subespacio
invariante por T y WWT
W
: la transformación lineal obtenida mediante la
restricción de T a W. Considerando WVWVT //:~ la transformación lineal
asociada a T en el cociente y siendo },,,{ 21 twww C ,
},,,,,,{ 121 ntt vvwww B y },,{ 1 WvWv nt B bases de W, V y
V/W respectivamente. Demostrar que
B
C
B T
T
T W ~0
*
34. Sean V un K-espacio vectorial de dimensión finita, )(VLT , 1W y 2W subespacios
T-invariantes verificándose que 21 WWV . Si 1B y 2B son bases de 1W y
2W respectivamente tal que 21 BBB , demostrar que
2
1
0
0
B
B
B T
T
T
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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VALORES Y VECTORES PROPIOS
1. VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
DEFINICIÓN 1.1.- Dado V un K-espacio espacio vectorial y un endomorfismo
VVT : , diremos que K es un valor propio de T si y solo si existe un vector no
nulo Vv tal que
vvT )( (1)
El vector no nulo que satisface la relación (1) se denomina vector propio de T asociado
al valor propio .
NOTA.- También se utilizan las expresiones de auto valor y valor característico para
denominar al valor propio y el de auto vector y vector característico para el vector
propio.
EJEMPLO 1.1.1.- Sea ),,,( KV un espacio vectorial, consideremos el endomorfismo
identidad
VvvvI ;)(
1 es un valor propio de I.
EJEMPLO 1.1.2.- En el espacio vectorial 2R sobre R definimos el endomorfismo
)43,2(),(/: 22 yxyxyxTRRT
Hallar los valores y vectores propios de T.
SOLUCIÓN
Hay que hallar R tal que ),(),( yxyxT
),()43,2( yxyxyx
0)4(3
0)2(
43
2
yx
yx
yyx
xyx
(1)
el sistema homogéneo (1) tendrá soluciones distintas de la trivial (que son las que nos
interesan, por ser los vectores propios vectores no nulos) si el determinante de la matriz
asociada al sistema es igual a cero; esto es
0
43
12
056
43
12
2
5,10)5)(1(056 21
2
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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53
Luego, los valores propios de T son: 11 y 52 .
Ahora calculando los vectores propios
i) Hallando el vector propio 1v asociado al valor propio 11
Reemplazando el valor de 11 en la ecuación (1) se tiene
033
0
yx
yx
nótese que las dos ecuaciones son equivalentes, entonces trabajando con la primera
ecuación se tiene
xyyx 0
la variable y depende de x, entonces )1,1(),(1 xxxv , x puede tomar
cualquier valor con excepción de cero, para 1x se tiene )1,1(1 v
y verifica
)1,1(1)1,1()1,1( T
ii) Hallando el vector propio 2v asociado al valor propio 52
Procediendo de manera análoga que en la parte i) reemplazamos el valor de
52 en la ecuación (1) se tiene
03
03
yx
yx
como en la parte i) las dos ecuaciones son equivalentes, entonces trabajando con la
primera ecuación se tiene
xyyx 303
la variable y depende de x, entonces , para 1x se tiene )3,1(2 v y y verifica
)3,1(5)15,5()3,1( T
NOTA.- Dados V un K-espacio vectorial, VVT : un endomorfismo y K un
valor propio de T. El conjunto }/{)( TdepropiovalorunesKT es
llamado espectro de T y })(/{),( vvTVvTE es un subespacio de V, y se
denomina espacio propio o auto espacio de T asociado al valor propio . En
referencia al ejemplo anterior se tiene
}5,1{)( T
)}1,1({})(/{)1,( 2 LvvTRvTE y
)}3,1({}5)(/{)5,( 2 LvvTRvTE
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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54
EJEMPLO 1.1.3.- Sea 2C el espacio vectorial sobre C y la transformación lineal
22: CCT definida como
),2(),( yxyxyxT
Hallar los valores y vectores propios de T.
SOLUCIÓN
Hay que hallar C tal que ),(),( yxyxT
),(),2( yxyxyx
0)1(
02)1(2
yx
yx
yyx
xyx
(1)
el sistema homogéneo (1) tendrá soluciones distintas de la trivial (que son las que nos
interesan, por ser los valores propios vectores no nulos) si el determinante de la matriz
asociada al sistema es igual a cero; esto es
0
)1(1
21
012)1)(1(
)1(1
21
2
i 012
Luego, los valores propios de T son: i1 y i2 .
Ahora hallando los vectores propios
i) Hallando el vector propio 1v asociado al valor propio i1
Reemplazando el valor de i1 en la ecuación (1) se tiene
0)1(
02)1(
yix
yxi
las dos ecuaciones son equivalentes, entonces trabajando con la primera ecuación
se tiene
xiyyxi )1(
2
1
02)1(
la variable y depende de x, entonces ))1(
2
1
,1())1(
2
1
,(1 ixixv , para 2x
se tiene )1,2(1 iv
y verifica
)1,2()1,2( iiiT
Notas de clase de Álgebra Lineal II Víctor G. Osorio Vidal
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55
en efecto
)1,2()1,2())1(2),1(22()1,2( iiiiiiiT
ii) Hallando el vector propio 2v asociado al valor propio i2
Reemplazando el valor de i2 en la ecuación (1) se tiene
0)1(
02)1(
yix
yxi
nótese que las dos ecuaciones son equivalentes, entonces trabajando con la primera
ecuación se tiene
xiyyxi )1(
2
1
02)1(
la variable y depende de x, entonces ))1(
2
1
,1())1(
2
1
,(2 ixxixv , para 2x
se tiene iy 1 y en consecuencia
)1,2(2 iv
y verifica
)1,2()1,2( iiiT
en efecto
)1,2()1,2())1(2),1(22()1,2( iiiiiiiT
OBSERVACIONES 1.2
(1) La existencia de valores propios de un endomorfismo depende del campo de
escalares sobre el cual está definido el espacio vectorial, pues si consideramos el
espacio vectorial ),,,( 2 RC y la transformación lineal 22: CCT definida en el
ejemplo 1.1.3
),2(),( yxyxyxT
no tiene valores propios en R ya que:
012 , R
(2) Sean V un espacio vectorial sobre K de dimensión finita,Materiales relacionados
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