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MÉTODOS NUMÉRICOS AVANZADOS 
Actividad de aprendizaje 1. Compendio de ejercicios de la unidad I. Solución numérica de 
ecuaciones diferenciales ordinarias y diferenciales parciales 
 
TEMA I. Problemas de valor inicial 
1. El movimiento de un sistema acoplado masa resorte (véase la figura 1) está descrito por la 
ecuación diferencial ordinaria que sigue: 
 
 
 
Resultado de 
aprendizaje 
Resuelve problemas de ingeniería que involucren encontrar la solución 
numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias con valores iniciales o 
valores en la frontera de ecuaciones diferenciales parciales, utilizando 
herramientas computacionales. 
Equipos La actividad se realizará en equipos de 2 estudiantes 
Metodología A partir de la información brindada por el profesor, recursos de la 
plataforma TEAMS y consulta de la bibliografía pertinente. 
Recursos A continuación, se presentan algunos recursos que se pueden consultar: 
-Mathews JH, Kurtis DF. (2007). Métodos numéricos con MATLAB. 
Madrid: Pearson Educación. 
- Chapra SC, Canale RP. (2007). Métodos numéricos para ingenieros. 5ª 
ed. México: McGraw-Hill. 
-Nakamura, S.(1992). Métodos numéricos aplicados con software. 
México. Prentice-Hall Hispanoamericana. 
Formato El trabajo deberá contener los siguientes apartados: 
-Presentación 
-Índice 
-Antecedentes (Referente a los métodos utilizados) 
-Metodología (Código de Matlab con breve explicación de que es lo que 
hace, detalle de funciones de Matlab que utilice) 
-Resultados y comentarios de cada ejercicio (Tablas, gráficas, etc.) 
-Conclusiones del trabajo (a partir de los resultados obtenidos) 
-Referencias Bibliográficas 
Formato Word o PDF. 
Fecha de Entrega Lunes 09 de noviembre de 2020 (4:00 pm) 
Criterios de 
evaluación 
- Contenido, código Matlab y resultados y conclusiones 
-Se evaluará en una escala de 0 100. Trabajos duplicados, serán 
cancelados para ambos equipos. 
-Las entregas posteriores a la fecha de entrega tienen una penalización 
de 5% por día de atraso. 
 
 
 
donde x = desplazamiento desde la posición de equilibrio (m), t = tiempo (s), m = 20 kg masa, y c = 
coeficiente de amortiguamiento (N · s/m). El coeficiente de amortiguamiento c adopta tres valores, 
5 (sub amortiguado), 40 (amortiguamiento crítico), y 200 (sobre amortiguado). La constante del 
resorte es k = 20 N/m. La velocidad inicial es de cero y el desplazamiento inicial es x = 1 m. Resuelva 
esta ecuación con el uso de un método numérico durante el periodo de tiempo 0 ≤ t ≤ 15 s. Grafique 
el desplazamiento versus el tiempo para cada uno de los tres valores del coeficiente de 
amortiguamiento sobre la misma curva. 
 
2. La siguiente es una ecuación diferencial de segundo orden con valor inicial: 
 
 
 
Observe que w = 1. Descomponga la ecuación en dos ecuaciones diferenciales de primer orden. 
Después de la descomposición, resuelva el sistema de t = 0 a 15, y grafique sus resultados. 
 
3. Resuelva en forma analítica el problema de valores iniciales siguiente, en el intervalo de x = 0 
a 2 
 
 
donde y(0) = 1. Grafique la solución. 
 
a) Utilice el método de Euler con h = 0.5 y 0.25, para resolver el problema anterior. Grafique los 
resultados en la misma gráfica para comparar en forma visual la exactitud de los dos tamaños de 
paso. 
b) Emplee el método de Heun con h = 0.5 para resolver el problema anterior. Itere el corrector hasta 
que error = 1%. 
c) Use el método de RK clásico de cuarto orden con h = 0.5 para resolver el problema 25.1. 
 
 
 
 
Figura 1. Sistema 
masa-resorte 
 
4. Suponga que la siguiente reacción química se lleva a cabo en un reactor agitado continuo 
(CSTR): 
 
Donde las constantes de velocidad son las siguientes: 
 
k1 = 1 min−1, k2 = 0 min−1, k3 = 2 min−1, k4 = 3 min−1 
 
Las condiciones iniciales en el reactor son (mol/L): 
 
CA0 = 1 CB0 = 0 CC0 = 0 
 
Un balance de masa en estado inestable en cada componente conduce al siguiente conjunto de 
EDO: 
 
 
a) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Euler para un valor de 
h=0.01 
b) Por el método de Runge-kutta 4 orden 
 
 
5. Método de newton para sistemas no lineales. Considere que las siguientes reacciones: 
 
A + B →C 
A + B → D 
 
que se llevan a cabo en un reactor CSTR, con las siguientes condiciones(Tabla 2.4). Las leyes de 
velocidad para las reacciones son: 
 
 
 
 
Las ecuaciones derivadas de los balances por componentes, para el reactor CSTR, en el estado 
estacionario son: 
 
 
 
 
 
6. La temperatura de distribución en una placa es descrita por la siguiente ecuación 
diferencial ordinaria: 
 
 
Las condiciones fronteras son T(x=0)=300 K y T(x=10)=400 K. La constante h’=0.05m2 es la constante 
de transferencia de calor que representa las perdidas por conducción/convección y σ’=2.7x109 K-3 
es la constante que considera las perdidas por radiación/convección. La temperatura ambiente(Ta) 
es de 200 K. Resuelva por el método del disparo(ecuación no lineal) y por el método de diferencias 
finitas(Δx=0.5) para un sistema de ecuaciones no lineales(usando el método de Newton). Puede 
emplear recursos de Matlab como ode45, fzero, etc. 
 
 
7. Utilice diferencias finitas para resolver la ecuación diferencial ordinaria con valores en la frontera 
 
 
 
con condiciones de frontera u(0) = 10 y u(2) = 1. Grafique los resultados de u versus x. Utilice Δx = 
0.1. 
 
 
 
 
 
 
 
8. Utilice el método del disparo para solucionar 
 
 
 
Obtenga una solución para las condiciones de frontera: T(0) = 200 y T(0.5) = 100. 
 
 
 
 
9. Con el método de Crank-Nicholson calcule la distribución de temperatura en una barra larga y 
delgada que tiene una longitud de 10 cm y los siguientes valores: k′ = 0.49 cal/(s * cm * °C), Δx 
= 2 cm y Δt = 0.1 s. En t = 0, la temperatura de la barra es cero, y las condiciones de frontera se 
fijan para todos los tiempos en T(0)= 100°C y T(10) = 50°C. Considere que la barra es de aluminio 
con C = 0.2174 cal/(g * °C) y r = 2.7 g/cm3. Por lo tanto, k = 0.49/(2.7 * 0.2174) = 0.835 cm2/s y 
λ = 0.835(0.1)/(2)2 = 0.020875 
 
 
 
 
 
 
 
Resuelva en un rango de t= [0,12] y grafique los puntos específicos para los tiempos de t=[3, 6, 9, 
12] 
 
 
 
 
10. La forma no dimensional para la conducción de calor transitiva en una barra aislada 
(ecuación 1) se escribe como donde el espacio, tiempo y temperatura no dimensionales, se 
definen como 
 
donde el espacio, tiempo y temperatura no dimensionales, se definen como: 
 
 
donde L = longitud de la barra, k = conductividad térmica del material de la barra, r = densidad, 
C = calor específico, T0 = temperatura en x = 0, y TL = temperatura en x = L. Esto opera para las 
siguientes condiciones iniciales y de frontera: 
 
Resuelva esta ecuación no dimensional para la distribución de la temperatura con el método de 
Crank-Nicholson con una formulación exacta de segundo orden, para integrar en el tiempo. 
 
Escriba un programa de cómputo para obtener la solución. Incremente el valor de Δt- en 10% para 
cada paso de tiempo para obtener con más rapidez la solución de estado estable, y seleccione 
valores de Δx– y Δt- para una exactitud buena. Grafique la temperatura no dimensional versus la 
longitud no dimensional para distintos valores de tiempos no dimensionales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. Resuelva el siguiente ejercicio utilizando los métodos de Euler, Heun y Runge Kutta.

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