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350353214-Guia-1-Calculo-Diferencial

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Trabajo Integrador
Darwin Cabrera, Jairo Curipoma, Roberto Pacho, Rafael Angamarca, Alex Faican
Universidad Politécnica Salesiana
Cuenca, Ecuador
dcabrerab2@est.ups.edu.ec
jcuripomac@est.ups.edu.ec
jpachom1@est.ups.edu.ec
sangamarcam@est.ups.edu.ec
afaicanj@est.ups.edu.ec
Abstract—The following work will allow us to observe not only a brief
theoretical framework, but additionally the application of knowledge
gained in terms of change and optimization. It contains an introduction,
objectives both general and specific and it seems a theoretical framework
and practical development functions.
Abstract—El siguiente trabajo nos permitirá observar, no solo un
breve marco teórico, sino adicionalmente la aplicación de conocimientos
adquiridos en cuanto a Razones de Cambio y Optimización. Contiene
una introducción, los objetivos tanto el general, como los especı́ficos,
ası́ mismo se pareciera un marco teórico y el desarrollo práctico con
funciones.
Palabras Claves: Razón de Cambio, Optimización.
I. INTRODUCCIÓN
El siguiente artı́culo comprende una breve introducción sobre los Ejer-
cicios de Razón de Cambio y Optimización, previa resolución de varios
ejercicios. Para esto se ha realizado una corto marco o sustento teórico;
especialemente las que nos servirán para resolver determinados ejercicios
planteados como parte de este trabajo.
II. OBJETIVOS
Objetivo General
Adquirir los conocimientos necesarios para resolver problemas que
involucren matrices a través de la aplicación práctica.
Adquirir los conocimientos necesarios para resolver problemas que
involucren problemas de Razón de Cambio y Optimización a través
de la aplicación práctica.
Objetivos Especı́ficos
Reconocer cada problema y aplicar sus fórmulas.
Comprender y manejar el tema.
Solucionar los problemas propuestos basados en el aprendizaje
académico brindado a la fecha.
III. SUSTENTO TEÓRICO
A. Razón de Cambio
Es la tasa es la derivada que tiene que calcularse a partir de conocer la
razón a la cuál cambia alguna otra variable (o quizás varias variables).
B. Función
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto
dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado
codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le correspon-
de único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido,
también llamado rango o ámbito).
C. Optimización
Optimizar algo significa maximizar o minimizar uno de sus aspectos.
¿Cómo se pueden determinar las dimensiones de un rectángulo con
perı́metro fijo y área máxima? ¿Qué forma debe tener una lata
cilı́ndrica para que su producción resulte lo más barata posible? ¿Qué
cantidad de la producción es la más rentable?.
IV. DESARROLLO DE CONTENIDOS
1. Costo del Combustible:
Un automóvil viaja 15000 millas al año y recorre “x” millas por galón.
Suponiendo que el costo promedio del combustible es de $2,76 por galón,
calcular el costo anual C del combustible consumido en función de “x”
y utilizar esta función para completar la tabla:
En primer lugar usaremos la variable “C” que representa la cantidad de
galones utilizados.
Como el automóvil viaja a 15000 millas al año y recorre x millas por
cada galón entonces los galones consumidos en el año serán:
15000 mllas
x
Lo cual serı́a igual a:
C =
15000
x
Para saber el costo anual multiplicamos el costo promedio por la cantidad
de galones consumidos en función de “x” para lo cual tendremos que
sacar la derivada:
C =
15000 ·2,76
x
C =
41400
x
dC
dx
=
41400
x
dC
dx
=
0 · x− (41400 ·1)
x2
=−41400
x2
C =
41400
x
dC
dx
=−41400
x2
Reemplazamos por los valores de la tabla:
C =
41400
10
dC
dx
=−41400
(10)2
=⇒ dC
dx
=−41400
100
C = 4140
dC
dx
=−414
C =
41400
15
dC
dx
=−41400
(15)2
=⇒ dC
dx
=−41400
225
C = 2760
dC
dx
=−184
C =
41400
20
dC
dx
=−41400
(20)2
=⇒ dC
dx
=−41400
400
C = 2070
dC
dx
=−103,5
C =
41400
25
dC
dx
=−41400
(25)2
=⇒ dC
dx
=−41400
625
C = 1656
dC
dx
=−66,24
C =
41400
30
dC
dx
=−41400
(30)2
=⇒ dC
dx
=−41400
900
C = 1380
dC
dx
=−46
C =
41400
35
dC
dx
=−41400
(35)2
=⇒ dC
dx
=−41400
1225
C = 1182,85
dC
dx
=−33,79
C =
41400
40
dC
dx
=−41400
(40)2
=⇒ dC
dx
=−41400
1600
C = 1035
dC
dx
=−25,875
¿Quién se beneficiará más con el aumento en 1 milla por galón en la
eficiencia del vehı́culo: un conductor que obtiene 15 millas por galón o
uno que obtiene 35 millas por galón? Explicar la respuesta.
2. Distancia de Frenado:
Al momento de aplicar los frenos, un vehı́culo viaja a 66 pies/s (45 millas
por hora). La función posición del vehı́culo es s(t) = −8,25t2 + 66t,
donde s se mide en pies y t en segundos. Utilizar esta función para
completar la tabla y encontrar la velocidad media durante cada intervalo.
Reemplazamos la función con los valores de la tabla:
s(0) =−8,25(0)2 +66(0) s(1) =−8,25(1)2 +66(1)
s(0) =−8,25(0)+0 s(1) =−8,25(1)+66
s(0) = 0+0 s(1) =−8,25+66
s(0) = 0 s(1) = 57,75
s(2) =−8,25(2)2 +66(2) s(3) =−8,25(3)2 +66(3)
s(2) =−8,25(4)+132 s(3) =−8,25(9)+198
s(2) =−33+132 s(3) =−74,25+198
s(2) = 99 s(3) = 123,75
s(4) =−8,25(4)2 +66(4)
s(4) =−8,25(16)+264
s(4) =−132+264
s(4) = 132
La primera derivada v(t) equivale a la velocidad y la segunda derivada
a(t) a la aceleración
s(t) =−8,25t2 +66t
s′(t) =−16,5t +66 =⇒ v(t) =−16,5t +66
v(0) =−16,5(0)+66 v(1) =−16,5(1)+66
v(0) = 0+66 v(1) =−16,5+66
v(0) = 66 v(1) = 49,5
v(2) =−16,5(2)+66 v(3) =−16,5(3)+66
v(2) =−33+66 v(3) =−49,5+66
v(2) = 33 v(3) = 16,5
v(4) =−16,5(4)+66
v(4) =−66+66
v(4) = 0
s′(t) =−16,5t +66
s′′(t) =−16,5 =⇒ a(t) =−16,5
3. Resistencias conectadas en paralelo:
Si dos resistencias de R1 y R2 ohms están conectadas en paralelo en un
circuito eléctrico para formar una resistencia de R ohms; el valor de R
se puede encontrar a partir de la ecuación indicada en la figura:
Si R1 decrece a razón de 1 ohm/s y R2 aumenta a razón de 0,5 ohm/s,
a qué razón cambia R cuando R1=75 ohms y R2=50 ohms
R1 = 75π R2 = 50π
1
R
=
1
R1
+
1
R2
1
R
=
R1 +R2
R1 ·R2
R = R1 ·R2
R = R1 +R2
R =
u
v
U = R1 ·R2 V = R1 +R2
dv
dt
=
R2 +R1
dt
+R1
dR
dt
dv
dt
=
dR2
dt
+
dR1
dt
dR
dt
=
du
dt v−
udv
dt
V 2
dR
dt
=
R2+dR1
dt +
R1+dR2
dt (R2 +R1)−
dR2
dt +
dR1
dt (R1 ·R2)
(R2 +R1)2
dr1
dt
=
50(−1)+75(0,5)(50+75)− (0,5−1)(75,50)
(50+75)2
dR1
dt
= 0,02
(
π
s
)
4. Según la ley de Boyle, si la temperatura de un gas confinado se
mantiene fija, entonces el producto de la presión P y el volumen V es
constante. Suponga que, para cierto gas, PV = 800 donde P se mide en
libras por pulgada cuadrada y V en pulgadas cúbicas.
a) Encuentre la razón de cambio promedio de P cuando V se
incrementa de 300 a 350 pulg3.
La razón de presión con respecto al volumen.
Pv = 800
V =
800
V
V ′= 0 ·V − (800 ·1)
V 2
dP
dV
=−800
V 2
Cuando V vale 300 pulg3 reemplazamos en la derivada
dP
dV
=− 800
(300)2
=−0,0089
(
psi
pulg3
)
Cuando V vale 350 pulg3 reemplazamos en la derivada
dP
dV
=−800
350
2
=−00065
(
psi
pulg3
)
Para sacar el promedio ya que V tiene 2 valores estos los sumamos y
dividimos para 2:
−0,0089−00065
2
=−0,0077
(
psi
pulg3
)
b) Exprese V como función de P y demuestre que la razón de cambio
instantáneo de V respecto a P es inversamente proporcional al cuadrado
de esta.
V =
800
P
V ′= 0 · p− (800 ·1)
p2
dP
dV
=−800
p2
c) Utilizar la derivada para demostrar que el ritmo de cambio de la presión
es inversamente proporcional al cuadrado del volumen.
P =
800
V
P′= 0 ·V − (800 ·1)
V 2
dP
dV
=−800
v2
5. Vaciado de un depósito hemisférico:
De un depósito de forma hemisférica de radio 13m, ilustrado de perfil en
la figura 2, el agua fluye a razón de 6 m3/min. Responda las siguientes
preguntas:
Dado que el volumen de agua en el depósito hemisférico de Radio R es
V=( π3 ) y
2(3R− y) cuando el agua tiene “y” metros de profundidad.
a) ¿A qué razón cambia el lı́quido cuando el agua tiene 8 m de
profundidad?
π
3
+ y2(3R− y)2
dy
dt
=
π
3
[2y(3r− y+ y2(−1)]dy
dt
dy
dt
=
[
π
3
(6Ry−3y2)
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