350353214-Guia-1-Calculo-Diferencial

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Trabajo Integrador
Darwin Cabrera, Jairo Curipoma, Roberto Pacho, Rafael Angamarca, Alex Faican
Universidad Politécnica Salesiana
Cuenca, Ecuador
dcabrerab2@est.ups.edu.ec
jcuripomac@est.ups.edu.ec
jpachom1@est.ups.edu.ec
sangamarcam@est.ups.edu.ec
afaicanj@est.ups.edu.ec
Abstract—The following work will allow us to observe not only a brief
theoretical framework, but additionally the application of knowledge
gained in terms of change and optimization. It contains an introduction,
objectives both general and specific and it seems a theoretical framework
and practical development functions.
Abstract—El siguiente trabajo nos permitirá observar, no solo un
breve marco teórico, sino adicionalmente la aplicación de conocimientos
adquiridos en cuanto a Razones de Cambio y Optimización. Contiene
una introducción, los objetivos tanto el general, como los especı́ficos,
ası́ mismo se pareciera un marco teórico y el desarrollo práctico con
funciones.
Palabras Claves: Razón de Cambio, Optimización.
I. INTRODUCCIÓN
El siguiente artı́culo comprende una breve introducción sobre los Ejer-
cicios de Razón de Cambio y Optimización, previa resolución de varios
ejercicios. Para esto se ha realizado una corto marco o sustento teórico;
especialemente las que nos servirán para resolver determinados ejercicios
planteados como parte de este trabajo.
II. OBJETIVOS
Objetivo General
Adquirir los conocimientos necesarios para resolver problemas que
involucren matrices a través de la aplicación práctica.
Adquirir los conocimientos necesarios para resolver problemas que
involucren problemas de Razón de Cambio y Optimización a través
de la aplicación práctica.
Objetivos Especı́ficos
Reconocer cada problema y aplicar sus fórmulas.
Comprender y manejar el tema.
Solucionar los problemas propuestos basados en el aprendizaje
académico brindado a la fecha.
III. SUSTENTO TEÓRICO
A. Razón de Cambio
Es la tasa es la derivada que tiene que calcularse a partir de conocer la
razón a la cuál cambia alguna otra variable (o quizás varias variables).
B. Función
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto
dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado
codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le correspon-
de único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido,
también llamado rango o ámbito).
C. Optimización
Optimizar algo significa maximizar o minimizar uno de sus aspectos.
¿Cómo se pueden determinar las dimensiones de un rectángulo con
perı́metro fijo y área máxima? ¿Qué forma debe tener una lata
cilı́ndrica para que su producción resulte lo más barata posible? ¿Qué
cantidad de la producción es la más rentable?.
IV. DESARROLLO DE CONTENIDOS
1. Costo del Combustible:
Un automóvil viaja 15000 millas al año y recorre “x” millas por galón.
Suponiendo que el costo promedio del combustible es de $2,76 por galón,
calcular el costo anual C del combustible consumido en función de “x”
y utilizar esta función para completar la tabla:
En primer lugar usaremos la variable “C” que representa la cantidad de
galones utilizados.
Como el automóvil viaja a 15000 millas al año y recorre x millas por
cada galón entonces los galones consumidos en el año serán:
15000 mllas
x
Lo cual serı́a igual a:
C =
15000
x
Para saber el costo anual multiplicamos el costo promedio por la cantidad
de galones consumidos en función de “x” para lo cual tendremos que
sacar la derivada:
C =
15000 ·2,76
x
C =
41400
x
dC
dx
=
41400
x
dC
dx
=
0 · x− (41400 ·1)
x2
=−41400
x2
C =
41400
x
dC
dx
=−41400
x2
Reemplazamos por los valores de la tabla:
C =
41400
10
dC
dx
=−41400
(10)2
=⇒ dC
dx
=−41400
100
C = 4140
dC
dx
=−414
C =
41400
15
dC
dx
=−41400
(15)2
=⇒ dC
dx
=−41400
225
C = 2760
dC
dx
=−184
C =
41400
20
dC
dx
=−41400
(20)2
=⇒ dC
dx
=−41400
400
C = 2070
dC
dx
=−103,5
C =
41400
25
dC
dx
=−41400
(25)2
=⇒ dC
dx
=−41400
625
C = 1656
dC
dx
=−66,24
C =
41400
30
dC
dx
=−41400
(30)2
=⇒ dC
dx
=−41400
900
C = 1380
dC
dx
=−46
C =
41400
35
dC
dx
=−41400
(35)2
=⇒ dC
dx
=−41400
1225
C = 1182,85
dC
dx
=−33,79
C =
41400
40
dC
dx
=−41400
(40)2
=⇒ dC
dx
=−41400
1600
C = 1035
dC
dx
=−25,875
¿Quién se beneficiará más con el aumento en 1 milla por galón en la
eficiencia del vehı́culo: un conductor que obtiene 15 millas por galón o
uno que obtiene 35 millas por galón? Explicar la respuesta.
2. Distancia de Frenado:
Al momento de aplicar los frenos, un vehı́culo viaja a 66 pies/s (45 millas
por hora). La función posición del vehı́culo es s(t) = −8,25t2 + 66t,
donde s se mide en pies y t en segundos. Utilizar esta función para
completar la tabla y encontrar la velocidad media durante cada intervalo.
Reemplazamos la función con los valores de la tabla:
s(0) =−8,25(0)2 +66(0) s(1) =−8,25(1)2 +66(1)
s(0) =−8,25(0)+0 s(1) =−8,25(1)+66
s(0) = 0+0 s(1) =−8,25+66
s(0) = 0 s(1) = 57,75
s(2) =−8,25(2)2 +66(2) s(3) =−8,25(3)2 +66(3)
s(2) =−8,25(4)+132 s(3) =−8,25(9)+198
s(2) =−33+132 s(3) =−74,25+198
s(2) = 99 s(3) = 123,75
s(4) =−8,25(4)2 +66(4)
s(4) =−8,25(16)+264
s(4) =−132+264
s(4) = 132
La primera derivada v(t) equivale a la velocidad y la segunda derivada
a(t) a la aceleración
s(t) =−8,25t2 +66t
s′(t) =−16,5t +66 =⇒ v(t) =−16,5t +66
v(0) =−16,5(0)+66 v(1) =−16,5(1)+66
v(0) = 0+66 v(1) =−16,5+66
v(0) = 66 v(1) = 49,5
v(2) =−16,5(2)+66 v(3) =−16,5(3)+66
v(2) =−33+66 v(3) =−49,5+66
v(2) = 33 v(3) = 16,5
v(4) =−16,5(4)+66
v(4) =−66+66
v(4) = 0
s′(t) =−16,5t +66
s′′(t) =−16,5 =⇒ a(t) =−16,5
3. Resistencias conectadas en paralelo:
Si dos resistencias de R1 y R2 ohms están conectadas en paralelo en un
circuito eléctrico para formar una resistencia de R ohms; el valor de R
se puede encontrar a partir de la ecuación indicada en la figura:
Si R1 decrece a razón de 1 ohm/s y R2 aumenta a razón de 0,5 ohm/s,
a qué razón cambia R cuando R1=75 ohms y R2=50 ohms
R1 = 75π R2 = 50π
1
R
=
1
R1
+
1
R2
1
R
=
R1 +R2
R1 ·R2
R = R1 ·R2
R = R1 +R2
R =
u
v
U = R1 ·R2 V = R1 +R2
dv
dt
=
R2 +R1
dt
+R1
dR
dt
dv
dt
=
dR2
dt
+
dR1
dt
dR
dt
=
du
dt v−
udv
dt
V 2
dR
dt
=
R2+dR1
dt +
R1+dR2
dt (R2 +R1)−
dR2
dt +
dR1
dt (R1 ·R2)
(R2 +R1)2
dr1
dt
=
50(−1)+75(0,5)(50+75)− (0,5−1)(75,50)
(50+75)2
dR1
dt
= 0,02
(
π
s
)
4. Según la ley de Boyle, si la temperatura de un gas confinado se
mantiene fija, entonces el producto de la presión P y el volumen V es
constante. Suponga que, para cierto gas, PV = 800 donde P se mide en
libras por pulgada cuadrada y V en pulgadas cúbicas.
a) Encuentre la razón de cambio promedio de P cuando V se
incrementa de 300 a 350 pulg3.
La razón de presión con respecto al volumen.
Pv = 800
V =
800
V
V ′= 0 ·V − (800 ·1)
V 2
dP
dV
=−800
V 2
Cuando V vale 300 pulg3 reemplazamos en la derivada
dP
dV
=− 800
(300)2
=−0,0089
(
psi
pulg3
)
Cuando V vale 350 pulg3 reemplazamos en la derivada
dP
dV
=−800
350
2
=−00065
(
psi
pulg3
)
Para sacar el promedio ya que V tiene 2 valores estos los sumamos y
dividimos para 2:
−0,0089−00065
2
=−0,0077
(
psi
pulg3
)
b) Exprese V como función de P y demuestre que la razón de cambio
instantáneo de V respecto a P es inversamente proporcional al cuadrado
de esta.
V =
800
P
V ′= 0 · p− (800 ·1)
p2
dP
dV
=−800
p2
c) Utilizar la derivada para demostrar que el ritmo de cambio de la presión
es inversamente proporcional al cuadrado del volumen.
P =
800
V
P′= 0 ·V − (800 ·1)
V 2
dP
dV
=−800
v2
5. Vaciado de un depósito hemisférico:
De un depósito de forma hemisférica de radio 13m, ilustrado de perfil en
la figura 2, el agua fluye a razón de 6 m3/min. Responda las siguientes
preguntas:
Dado que el volumen de agua en el depósito hemisférico de Radio R es
V=( π3 ) y
2(3R− y) cuando el agua tiene “y” metros de profundidad.
a) ¿A qué razón cambia el lı́quido cuando el agua tiene 8 m de
profundidad?
π
3
+ y2(3R− y)2
dy
dt
=
π
3
[2y(3r− y+ y2(−1)]dy
dt
dy
dt
=
[
π
3
(6Ry−3y2)](−1)
dy
dt
=
1
144π
(−6)
dy
dt
=
1
24π
m/min
dy
dt
= 0,013
b) ¿Cuál es el radio r de la superficie del agua cuando ésta tiene y m de
profundidad?
r2 +(13− y)2
r2 = 169− y2
r =
√
26y− y2m
r = (26y− y2)1/2
dr
dt
=
1
2
(26y− y2)−1/2 · (26−2y)dy
dt
dr
dt
=
13− y√
26y− y2
(
dy
dt
)
dr
dt
=⇒ y = 8 =⇒ 13−8√
26(8)− (8)2(
− 1
24π
)
5
12
(
− 1
24π
)
=⇒ 5
12
(
− 1
24π
)
=− 5
288π
=−5,52×10−3
c) ¿A qué razón cambia el radio r cuando el agua tiene 8 m de
profundidad?
6. Preparación de café:
El café está pasando a través de un filtro cónico hasta una cafetera
cilı́ndrica (figura 3), a una razón de de 10 plg3min .
a) ¿Qué tan rápido sube el nivel del lı́quido en la cafetera cuando el café
del cono tiene 5 plg de profundidad?
V = πr2h
V = πrx2y
Damos proporciones
6
3
=
y
x
x =
y
2
Reemplazamos x
V = πx2y
= π(
y
2
)2y
V =
y3π
4
Derivamos
V ′ =
8y2π
16
=
y2π
2
dv
dt
=
10plg3
min
dv
dt
=
y2π
2
∗ dy
dt
10 =
y2π
2
∗ dy
dt
10
y2π
2
=
dy
dt
Reemplazamos los 5 pulgs de profundidad
dy
dt
=
10
(5)2π
2
dy
dt
= 0,2546
plg
min
b) ¿Qué tan rápido disminuye el nivel del cono en ese momento?
r =
h
2
h = y
y
2
v =
1
3
π(3)2 ·h
v = 12π ∗h
dv
dt
= 12π ∗ dh
dt
10 = 12π ∗ dhdt
dh
d f
=
10
12π
= 0,26u3
dh
d f
= 0,26u3
Primero tenemos que la rapidez que disminuye es de
r =
h
2
V =
1
3
π(3)2h
V =
1
3
π
(
h
2
)2
h
V =
1
3
π
(
h2
4h
)
7. En cada una de las siguientes figuras se genera una ilusión óptica por
intersecciones de rectas con una familia de curvas. En todos los casos,
las rectas parecen ser curvas. Encontrar el valor de dydx para los valores
de x y y.
a) Circunferencia: x2 + y2 =C2
x = 3, y = 4, C = 5
x2 + y2 =C2
y2
dy
dx
r2
dr
dx
− x2 dx
dx
=⇒ r CONSTANTE
2y
dy
dx
=−2x =⇒ dy
dx
=− x
y
dy
dx
=−3
4
Ecuación de la Circunferencia
x2 + y2 =C2 =⇒ x2 + y2 = r2
b) Curvas Coseno:
y =C cos(x)
x =
π
3
, y =
π
3
, C =
π
3
y =C cos(x) =⇒C = Constante
dy
dx
=−π
3
sin(x)
dy
dx
=−π
3
sin
(
π
3
)
dy
dx
=−51,96
EJERCICIOS DE OPTIMIZACIÓN
1. Se desea transportar un cargamento de computadoras por valor de U
$50000 desde el puerto de Manta hacia Cuenca. Se supone que el viaje
se hará a velocidad constante v en Km/h. Las normas de circulación
establecen que: 40 Km/h ≤ v ≤ 75 Km/h.
El consumo de combustible viene expresado por la relación:
G0 = 10+
v2
250
· lt/h
El conductor cobra un salario de 12 U$ /h y se supone que no infringe
las normas de velocidad. Si el combustible que necesita el camión vale
1.037 U$ S/ galón te pedimos:
a) Calcula el costo de combustible CC en U$S/Km.
=
(
10+
v2
250
)
H
h
·
(
0,27
v$
h
)
=
(
10+
v2
250
)
· (0,27) v$
h
b) Calcula el costo de salario en U$S/Km y el costo total en U$S/Km
en función de v.
(10+ v
2
250 ) · (0,27)
v$
h
v( v$Km )
=
(
10
v
+
v
250
)
(0,27)
v$
h
c) Determina cuál es la velocidad más económica para la empresa y el
costo del viaje si la distancia recorrida fue de 400 Km.
g(40) =
(
10
40
+
40
250
)
0,27+
12
40
g(40) = 0,41
(
v$
Km
)
g(75) =
(
10
75
+
75
250
)
0,27+
12
75
g(75) = 0,28
(
v$
h
)
d) ¿Cuánto se gastó en salario y cuánto en combustible?
Costo de combustible =
(10+ v
2
250 )(0,27)
v$
k
v( kmh )
Costo de combustible =(
10
v
+
v2
250
)
(0,27)
v$
Km
e) Si el chofer se acompaña con otra persona que cobra 2 U$ S/h,
vuelve a resolver los ı́tems c) y d).
f) Obtenga las respectivas gráficas de las funciones e identifique sus
respuestas sobre las gráficas.
2. Una empresa cuencana que se dedica a la producción de tarjetas
electrónicas recibe un pedido de 800000 unidades de cierto tipo de
tarjeta con una complejidad media para el ensamblaje de dispositivos
electrónicos.
La fábrica posee 10 máquinas, cada una de las cuales puede producir
10000 tarjetas del tipo solicitado por hora. El costo de poner en
funcionamiento las máquinas es de U$S 250 por máquina.
Una vez puestas en funcionamiento la operación está completamente
automatizada de forma que sólo necesita de dos supervisores de
producción cuyo salario es de 4.80 U$S por hora.
a) ¿Cuántas máquinas deberı́an ponerse en funcionamiento para que el
costo de producción sea mı́nimo?
f (x) =
80
x
g(x) = 250x
s(x) = 9,6x
h(x) =
9,6 ·80
x
+250x
768
x
+250x
h(x) =
250x2 +768
x
h′(x) =
500x · x−250x2−768
x2
h′(x) =
500x2−250x2−768
x2
h′(x) =
250x2−768
x2
250x2−768 = 0
250x2 = 768
x2 =
768
250
x =±
√
768
250
x =±1,75
x =±2
b) ¿Cuántas horas trabajarán las máquinas para cumplir con el pedido y
cuánto ganará el supervisor?
Reemplazamos:
f (2) =
80
2
= 40
El mı́nimo es horas de fabricación
Segunda Derivada:
h′′(x) =
520x2−768
x2
h′′(x) =
500x · x2[250x2−768]2x
x2
h′′(x) =
500x3− (500x3−1563x)
x4
h′′(x) =
500x3−500x3 +1563x
x4
h′′(x) =
1563x
x3
c) ¿Cuál es el costo de puesta en funcionamiento del número óptimo de
máquinas?
Costo por máquina:
m(x) = 250(x)
m(2) = 250(2) = 500
Resultado = 500
d) ¿Usted como gerente de esta empresa debe asignar un precio por la
venta de cada tarjeta, cuál serı́a el porcentaje de utilidad que elegirı́a?
Explique su respuesta.
Sueldo de cada supervisor:
s(x) = 9,6(x)
s(40) = 9,6(40) = 384
Resultado:
384
2
= 192
Mı́nimos:876.35
Máximo:-876.35
Concavidad:
h′′(1,75) =
1563
(1,75)3
=±286,60
Vamos a cobrar el 35% porque eso representa una ganancia de 309.4
dólares extra. Lo que nos representa una ganancia de 1193.4 dólares
Lo que queremos decir es que vamos a recuperar los 884 dólares
invertidos más una ganancia de 35%. Para calcular ese porcentaje
usamos la fórmula:
g · p = t
Lo mismo que 884 ·35 = 30940/100 = 309,4 es el porcentaje de
ganancia.
e) Obtenga las respectivas gráficas de las funciones e identifique sus
respuestas sobre las gráficas.
Gráficas:
3. Doblado de Papel:
Se coloca una hoja de papel de 8,5 por 11 pulgadas sobre una superficie
plana. Una de las esquinas se coloca sobre el lado opuesto más largo,
como se muestra en la figura 4, y se mantiene ahı́ conforme se aplana el
papel suavemente. El problema es hacer la longitud del pliegue tan pequea
como sea posible. Llamamos L a la longitud. Inténtelo con papel.
a) Demuestre que L2 = 2x
3
2x−8,5
L2 =
2x3
2x−8,5
2L′ =
6x(2x−8,5)−4x3
(2x+8,5)2
L′ =
12x2−51x−4x3
2(2x−8,5)2
12x2−51x−4x3
2(2x−8,5)2
= 0
4x3−12x+51x = 0
x(4x2−12x+51) = 0
x =
12±
√
122− (4 ·4 ·51)
2 ·4
x1 =
51
8
x2 = 0
b) ¿Qué valor de x minimiza L2?
L2 =
2(51/8)3
2(51/8)−8,5
L2 =
(132651/256)
34/8
L2 =
1061208
8704
L2 = 121,92
L = 11,04 Pulgadas
c) ¿Cuál es el valor mı́nimo de L?
DESARROLLO
1) Creamos un punto al cual le daremos el nombre de H
Datos:
AP = x
PB = x
AB = 8.5
RH = 8.5
AD = 11
AR = 11−
√
L2− x2
PB = 8.5-x
HQ = 11-QB-HC
QB =
√
x2− (8,5− x)2
HQ = 11[11−
√
L2− x2 +
√
X2− (8,5− x)2]
HQ =
√
L2− x2−
√
x2− (8,5− x)2
RQ2 = RH2 +HQ2
RQ = [(8,5)
2
]1/2 +[(
√
L2− x2)−
√
X2− (8,5− x)2]1/2
RQ = 8,5+
√
L2− x2−
√
x2− (8,5− x)2
RP2 = PQ2 +RQ2
L2 = x2 +(8,5+
√
L2− x2−
√
L2− x2)
L2 = x2 +(8,5)2 +(
√
L2− x2−
√
x2− (8,5− x)2)2
L2 = x2− (8,5)2 +(
√
L2− x2−
√
17x− (8,5)2)2
L2 = x2 +(8,5)2L2− x2−2(
√
L2− x2)(
√
17x− (8,5)2)2 +17x− (8,5)2
17x = 2(
√
L2− x2)(
√
17x− (8,5)2)
(17x)2 = [2(
√
L2− x2)(
√
17x− (8,5)2)]2
172x2
4
= (L2− x2)(17x− (8,5)2)
172x2
4(17x−72,25)
= L2− x2
L2 =
172x2
4(17x−72,25)
+ x2
L2 =
289x2−68x3−289x2
(68x−289)
L2 =
68x3
(68x−289)
L2 =
2x3
2x−8,5
4. La cantidad de iluminación de una superficie es proporcional a la
intensidad de la fuente luminosa, inversamente proporcional al cuadrado
de la distancia desde la fuente luminosa, y proporcional a sen (θ ), donde θ
es el ángulo al cual la luz incide sobre la superficie. Un cuarto rectangular
mide 10 por 24 pies, con un techo de 10 pies.
a) Determinar una función que permita calcular la cantidad de luz en
función de la altura (x) de la fuente luminosa.
EU = I·cos
2 ·sin0
h2
= (600)·(cos(0,23))
2·sin(0,23)
h2
I = φW =
1380
0,23
= 6000cd =
24,08
h2
= h = x
f (h) =
24,08x2
I = Intensidad luminosa
φ = Flujo luminoso
2vz incandescente = 1380 lm
W = Ángulo entre dos puntos que forma la luz
r = 6.5 pies
W =
S
r2
=
10pies
(6,5)2
= 0,23◦
b) Determinar la altura a la cual la luz debe ubicarse para permitir que
las esquinas del piso reciban la mayor cantidad posible de luz.
tan =
OP
ady
=
x
13
tan(0,23) =
x
13
0,004 =
x
13
x = 0,004,13
x = 0,05 = f (h) =
24,08
x2
f (h) =
24,08
0,05
f (h) = 9,63pies
c) Si se cuenta con una lámpara incandescente de 100W que proporciona
una intensidad luminosa de 130cd y una lámpara fluorescente (“Foco
Ahorrador”) de 40W que mantiene una intensidad luminosa de 200cd,
¿Cuál serı́a su selección para colocar en el cuarto descrito en el problema?
Justifique su respuesta de acuerdo con la información obtenida en el
punto anterior y grafique la función de cantidad lumı́nica para cada tipo
de lámpara.
1) 100w = P1 = h
EH =
I · [cosφ ]2 ∗ senφ
h2
EH =
130 · [cos(0,23)]2 ∗ sin(0,23)
H2
EH =
130 · [cos(0,23)]2 ∗ sin(0,23)
(040)2
EH = 3,26 PIES.
Respuesta
tanφ =
op
ad
tan(0,23) =
x
100
tan(0,23) ·100 = x
x = 0,40 pies
2)
40W = P
200 cd = I
I · (cosφ)2 · sinφ
H2
=
200− (cos(0,23))2 · sin(0,23)
h2
=
200 · [cos(0,23)]2 · sin(0,23)
x2
Eh = 31,36 ft
tan(φ) =
op
ad
tan(0,23) =
x
40
x = tan(0,23) ·40
x = 0.16
Conclución:
Utilizarı́a
De 40W y 200cd
5. Diseño de una maleta:
Se dobla en dos una hoja de cartulina de 24 por 36 pulgadas para formar
un rectángulo de 24 por 18 pulgadas, como se muestra en la figura
siguiente. Después se cortan, de las esquinas del rectángulo doblado,
cuatro cuadrados congruentes de longitud x por lado. Se desdobla la
hoja y las seis cejas se doblan hacia arriba para formar una caja con
lados y una tapa.
a) Escriba una fórmula para el volumen V(x) de la caja.
h = 24−2x
b = 18−2x
p = 2x
b) Encuentre el dominio de V para la situación del problema, y grafique
V en su dominio.
V = b · p
V = 2x(24−2x)(18−2x)
V = 2x(432−84x+4x2)
V = 864x−168x2 +8x3 =⇒V = 8x3−168x2 +864x
0 = x3−21x2 +108x3
x = 0 x = 9 x = 12
c) Use un método gráfico para encontrar el volumen máximo y el valor
de x que lo da.
V = x3−21x2 +108x
V ′ = 3x2−42x+108
0 = 3x2−42x+108
0 = x2−14x+36
x1 =
14±
√
52
2
x2 =
14−
√
52
2
x1 = 10,6 x2 = 3,39
d) Confirme analı́ticamente el resultado que obtuvo en el inciso (c).
Este valor es reemplazado en la ecuación original y obtenemos el valor
(y). El cuál es igual a 1309.95 in3, este nos dice el m áximo valor en el
punto de la ecuación.
V = 8x3−168x2 +864x
1120 = 8x3−168x2 +864x
8x3−168x2 +864x−1120 = 0
x3−21x2 +108x−140 = 0
e) Encuentre el valor de x que da un volumen de 1120 plg3.
Para poder resolver esta ecuación cúbica aplicamos el llamado método
de Ruffini para poder encontrar los valores de x
x = 14 x = 2 x = 5
f) Escriba un párrafo describiendo los temas que surgieron en el inciso
(b).
En la ecuación de V(x) la gráfica nos muestra que valores puede tomar
x siempre y cuando sean mayores a cero y X menores a 9.
6. El comedero de la figura 7 se debe hacer con las dimensiones que se
muestran. Solamente se puede variar en el ángulo θ . ¿Qué valor de θ
maximizará el volumen del comedero?
A(θ) = b×h
A(θ) = cosθ + sinθxcosθ
A =−sinθ + cos2 θ − sin2 θ
A =−sinθ +1− sin2 θ − sin2 θ
A =−2sin2 θ + sinθ +1
0 = 2sin2 θ + sinθ −1
x =
−1±3
4
x1 =
1
2
= 0,5 x2 =−1
7. El mecanismo de pistón y cigüeñal de un vehı́culo se modela como
se observa en la figura 8
El cigüeñal está girando con velocidad angular constante de θ=150 rad/s.
Determinar la:
a) Ecuación de velocidad del pistón
b2 = a2 + c2 · cosθ
(0,75)2 = (0,2)2 + x2−2(0,2)x · cosθ
0 = 2x+0,04
b) Velocidad del pistón P en el instante θ=300
b2 = a2 + c2 · cosθ
(0,75)2 = (0,2)2 + x2−2(0,2)x · cos300
0,5625 = 0,004+ x2−0,4(x) 12
0,004+ x2−0,4(x) 12 −0,5625 = 0
x2−0,2x−0,5625 = 0
x = −b±
√
b2−4ac
2a
x = −(−0,2)±
√
(0,2)2−4(1)(−0,5625)
2(1)
x = 0,2±
√
0,004−4(−0,5625)
2
x = 0,2±
√
0,004+2,25
2
x = 0,2±
√
2,254
2
x1 =
0,2±1,50
2 x2 =
0,2−1,50
2
x1 =
1,7
2 x2 =
−1,3
2
x1 = 0,85 x2 =−0,65
c) Posición del pistón en θ=450
b2 = a2 + c2−2accosθ
(075)2 = (0,2)2 + x2−2(0,2)x · cos450
0,56 = 0,4+ x2−0,4(x)0
= 0,4+ x2−0,4(x)0−0,56 = 0
x2−0,16 = 0
d) Trace la gráfica de la velocidad del pistón
e) Haga una descripción del comportamiento de la gráfica de velocidad
La gráfica dependerá fundamentalmente del ángulo
f) En qué posición del pistón la velocidad es cero, en qué posición del
pistón la velocidad es máxima y/o mı́nima.
La velocidad es cero en dos casos: si llega al punto muerto superior o
si llega al punto muerto inferior
8. Una ventana tiene forma de rectángulo como lo indica la figura 9,
y está coronada con un semicı́rculo. El rectángulo es de vidrio claro,
mientras que el semicı́rculo es de vidrio de color, y transmite solamente
la mitad de luz por unidad de área en comparación con el vidrio claro.
El perı́metro total es fijo. Encuentre las proporciones de la ventana que
admitan la mayor cantidad de luz. Desprecie el espesor del marco.
A) Perı́metro del semicı́rculo:
Psc = πr
B) Perı́metro del Rectángulo:
Pr = 2b+2h
C) Perı́metro Total:
PT = 2R+2x+πr
D) Despejamos para sacar el valor de x:
2r+2x+πr = PT
2x =−2r−πr+PT
x =
−2r−πr+PT
2
E) Área del Rectángulo:
Ar = b×h
Ar = 2r× x
F) Área del Semicı́rculo:
Asc =
π× r2
2
E) Área Total:
AT = Ar+Asc
H) Reemplazamos Áreas:
AT = 2rx+
πr2
4
AT = 2r
(
−2r−πr+PT
2
)
+
πr2
4
AT =−2r2−πr2 +PTr+ πr
2
4
AT =
−8r2−4πr24PTr+πr2
4
I) Derivamos:
AT ′ =
−8r2−4πr24PTr+πr2
4
AT ′ =
(−16r−8πr+4PT +2πr)(4)
16
=
−64r−32πr+16PT +8πr
16
=
−8r−4πr+2PT +πr
2
J) Igualamos a 0:
−8r−4πr+2PT +πr = 0
−8r−3πr+2PT = 0
2PT = 8r+3πr
r =
2PT
8+3π
F) Reemplazamos en la ecuación del Perı́metro:
PT = 2r+2x+πr
PT = 2
(
2PT
8+3π
)
+2x+π
(
2PT
8+3π
)
PT =
(
4PT
8+3π
)
+2x+
(
2PT π
8+3π
)
2x =
8+3πPT −4PT −2πPT
8+3π
x =
4PT +πPT
2(8+3π)
2x =
8+3πPT −4PT −2πPT
8+3π
x =
PT (4+π)
16+16π
x = h
V. CONCLUSIONES
Es necesario el uso de un software matemático para tener un mejor
entendimiento de los problemas planteados.
Mediante este proyecto aprendimos nuevas fórmulas y mejoramos
nuestro nivel de conocimientos.
Mediante estos ejercicios propuestos de optimización reforzamos lo
aprendido en clases.
VI. REFERENCIAS
FUENTE:THOMAS, JR.,GEORGE B, Aplicaciones de la Derivada,
“Ejercicios de Optimización”, Diciembre 2014.
Stewart J. “CÁLCULO DE UNA VARIABLE 4/E CONCEPTOS
Y CONTEXTOS”. Ao 2010.
José M. Mazón Ruiz. “CÁLCULO DIFERENCIAL: TEORÍA Y
PROBLEMAS”. Ao 2010
http://es.wikipedia.org/wiki/Optimización (matemática)
http://definicion.de/razon-de-cambio/
http://www.youtube.com/watch?v=wtvlyFDx6
http://www.youtube.com/watch?v=NpURFBaJI