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En el aula
editado por
JCE DigiDemos: demostraciones probadas Ed Vitz
Universidad de Kutztown
Kutztown, PA 19530
Cuerdas de guitarra como ondas estacionarias: una demostración
presentado por: Michael Davis
Departamento de Ciencias Físicas, Harold Washington College, Chicago, IL 60601; mdavis@ccc.edu
Revisado por: Todd P. Silverstein
Departamento de Química de la Universidadglésia, Salem, OR 97301-3922
Dean J. Campbell
Departamento de Química, Bradley University, Peoria, IL 61625-0208
La discusión de la estructura electrónica de los átomos es uno de 
los temas más fascinantes en una clase de química general. Pasar del 
espectro de emisión de hidrógeno al modelo del átomo de Bohr, al 
modelo cuántico moderno, generalmente implica una breve mención 
de las ondas estacionarias y su relación con las propiedades de onda 
de los electrones. La mayoría de los libros de texto de química general 
utilizan cuerdas de guitarra y violín como ejemplos familiares de ondas 
estacionarias unidimensionales.(1-3). En esto
diario, Vitz y Binning han mostrado ondas estacionarias unidimensionales y 
bidimensionales utilizando dispositivos comúnmente disponibles o 
fácilmente construidos (4).
La siguiente demostración muestra cómo se pueden inducir 
ondas estacionarias unidimensionales en una guitarra para 
proporcionar un tono único. Estos "armónicos naturales", como se les 
llama, son omnipresentes en la música popular. Esta demostración 
ilustrará cómo el concepto de ondas estacionarias en mecánica 
cuántica se expresa de forma audible en un contexto ya familiar para 
los estudiantes. La acción de producir una vibración armónica en una 
cuerda de guitarra demuestra cómo una vibración normalmente 
compleja se compone de una serie de vibraciones simples y discretas 
y, por lo tanto, es análoga al modelo atómico actual.
Mientras que un guitarrista necesita cierta habilidad para incorporar 
armónicos en una canción, un profesor de química solo necesita poder 
sostener una guitarra para demostrar audiblemente el principio de las 
ondas estacionarias. Como se muestra en estediario, la conexión entre la 
música y la ciencia puede ser emocionante e instructiva (5).
La cuerda en una guitarra es constante, un número creciente de nodos en una 
onda estacionaria corresponde a una longitud de onda más pequeña. Dado que la 
longitud de onda y la frecuencia son inversamente proporcionales, más nodos 
producen una onda de frecuencia más alta, es decir, una con un tono más alto.
r
λ
ν = (2)
Generalmente, los guitarristas puntean o rasguean cuerdas que 
están completamente presionadas con un dedo o que se dejan 
abiertas. La vibración resultante no es armónica y es una 
superposición compleja de ondas estacionarias (Figura 1). Sin 
embargo, si la cuerda se toca muy ligeramente en un lugar que 
corresponde a un nodo, la presión del dedo amortiguará todas las 
ondas con amplitudes distintas de cero en esa posición. Las ondas con 
nodos en esa posición no se ven afectadas y seguirán sonando. Estas 
ondas vibran con una frecuencia discernible audiblemente, que se 
conoce como un armónico(7). Los guitarristas los incorporan a las 
canciones colocando suavemente un dedo sobre las seis cuerdas y 
rasgueando. El resultado es un tono musical dramático, pero el efecto 
es la eliminación de vibraciones sin un nodo en ese traste en particular.
(8). Por lo tanto, la vibración cuantificada de una cuerda de guitarra 
puede mostrarse y relacionarse con la cuantificación como se ve en los 
átomos.
Ondas estacionarias
La analogía estándar del “mundo real” para las ondas estacionarias 
involucra cuerdas de guitarra o violín. La característica única de estas 
cuerdas en particular son sus extremos inmóviles sujetos, lo que impone un 
conjunto de condiciones de frontera en esas ondas.(6). Como resultado, las 
ondas estacionarias tienen longitudes de onda discretas (λ), que dependen 
de la longitud de la cuerda (L):
2L
norte
λ = (1)
Aquí norte puede ser cualquier número entero y se refiere al número de 
medias longitudes de onda que encajarán en la cuerda con la longitud L. A 
lo largo de esta onda, habrá nodos, que son lugares de desplazamiento cero 
(Figura 1). Estos ocurren en puntos específicos a lo largo de la longitud de la 
cuerda y en los extremos sujetos. Dado que la longitud del
Figura 1. Ondas estacionarias en una cuerda de guitarra. Todas las ondas estacionarias (
norte = 1–5) también más alto norte los valores contribuyen a una forma de onda 
compleja.
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Figura 2. La colocación adecuada de los dedos elimina ciertas ondas estacionarias y permite ondas con un nodo en un lugar específico, produciendo un tono armónico: (A) El 
duodécimo traste para inducir un nodo a la mitad de la cuerda (norte = 2); (B) el séptimo traste para dos nodos cada un tercio del camino a lo largo de la cuerda (norte = 3); 
y (C) el quinto traste para tres nodos cada uno de un cuarto del camino a lo largo de la cuerda (norte = 4). Estas son las formas de ondas estacionarias permitidas en una 
cuerda de guitarra y los armónicos correspondientes en una guitarra.
Realización de la demostración 2 3 puntos. Esta onda tiene tres medias longitudes de onda, por lo tanto
norte = 3, y L = 3λ 2.
El quinto traste es un cuarto del camino a lo largo de la longitud de una 
cuerda de guitarra y colocando un dedo allí selecciona la onda con tres nodos 
espaciados uniformemente y cuatro medias longitudes de onda (norte
= 4; L = 2λ). Este es el tercer armónico.
Tenga en cuenta que al pasar del primero al segundo al tercer 
armónico (trastes 12, 7 y 5, respectivamente), la longitud de onda de la 
onda estacionaria disminuye progresivamente desde L a (2 3)L
a (1/2)L. En esta progresión de armónicos, la frecuencia de la onda 
estacionaria aumenta y el tono se vuelve más alto. Esto parece 
contradictorio porque para las cuerdas completamente deprimidas 
ocurre lo contrario: números de traste más bajos, cuerda vibrante más 
larga, tono más bajo. Los armónicos de onda estacionaria representan 
un sistema que es sustancialmente diferente de las ondas de sonido 
que emanan de una cuerda de guitarra completamente deprimida. Es 
igualmente interesante observar que las vibraciones armónicas 
persisten una vez que se quita el dedo de las cuerdas amortiguadas.
Si se usa la misma técnica para intentar generar una vibración 
armónica en otro traste, como el décimo, sonará como una tarjeta de 
béisbol que atraviesa los radios de una bicicleta. Esta ubicación en una 
cuerda no corresponde a un nodo en ninguna onda estacionaria con 
las condiciones de contorno de la cuerda de la guitarra, y
En esta demostración se puede utilizar cualquier guitarra 
acústica o eléctrica. Las guitarras acústicas funcionan bien porque se 
pueden escuchar en la mayoría de las aulas y no requieren un 
amplificador. La demostración de una vibración armónica se puede 
hacer fácilmente en tres lugares del mástil de la guitarra, en los trastes 
12, 7 y 5. Para lograr una vibración armónica, coloque ligeramente un 
dedo sobre las seis cuerdas directamente sobre la tira de metal del 
traste como se muestra (Figura 2). Dejando el dedo ahí, rasguea con la 
otra mano o con un pico. Si se hace correctamente, se puede escuchar 
un tono distintivo y encantador y se puede quitar el dedo de las 
cuerdas sin interrumpir el tono.
El traste 12 es el punto medio a lo largo de toda la cuerda de 
la guitarra. Recuerde de la ecuación 1 que la onda 
correspondiente tiene dos medias longitudes de onda que cubren 
la longitud de la cuerda. Por lo tantonorte = 2, y L = 2 (λ 2) = λ. Esta 
onda en particular tiene un solo nodo en el medio dela longitud 
de la cuerda y representa el primer armónico.
El séptimo traste es un tercio de la longitud de una 
cuerda de guitarra. La onda estacionaria que vibra cuando se 
amortigua este traste, el segundo armónico, tiene dos nodos 
espaciados uniformemente a lo largo de la cuerda en el 1 3 y
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por tanto, todas las olas se amortiguarán. Como resultado, no se escuchará 
ningún tono.
Observe que la vibración armónica que corresponde a una 
sola media longitud de onda (norte = 1; L = λ 2) tiene nodos solo 
en los puntos de anclaje para la cuerda de la guitarra, y no se 
puede aislar con las técnicas mencionadas anteriormente. Inducir 
una vibración armónica en cualquier otro lugar de la cuerda 
siempre elimina este armónico fundamental, que generalmente 
hace una gran contribución al tono de cualquier cuerda pulsada al 
azar. Esto explica por qué el primer, segundo y tercer armónico 
suenan como matices musicales silenciosos.(7).
dom, la vibración no armónica se puede deconstruir en un conjunto de 
vibraciones armónicas, que están todas simultáneamente presentes en 
alguna proporción. Lo mismo ocurre con los átomos. Los estados complejos 
no estacionarios son la superposición de varios estados estacionarios 
discretos. Como resultado, cualquier movimiento complejo (ya sea 
electrónico o vibratorio) se puede deconstruir en un conjunto de estados 
cuantificados discretos con frecuencias específicas.
Conclusión
He descubierto que a los estudiantes les gusta escuchar una onda 
estacionaria demostrada de manera audible. En primer lugar, un profesor 
de química frente a la clase con una guitarra acústica es lo suficientemente 
inusual como para captar la atención de un estudiante, incluso por unos 
pocos minutos. La comparación de la diferencia entre tonos armónicos y 
cuerdas completamente deprimidas demuestra la importancia de las 
condiciones de contorno para los fenómenos cuantificados.
Además, esta demostración ilustra de manera audible un 
principio que es difícil de visualizar mientras se usa el mismo 
ejemplo de guitarra del libro de texto. Al conectar el concepto 
relativamente desconocido de cuantos con su aplicación familiar 
en la guitarra, es posible mostrar cómo los efectos de tipo 
cuántico están presentes en situaciones del mundo real. Por 
último, la acción de tocar un armónico es sencilla y fácil de realizar 
sin ser realmente competente en el instrumento.
Sin embargo, si el demostrador está tan inclinado, las 
canciones fácilmente reconocibles con armónicos incluyen 
"Jeremy" de Pearl Jam, "She Talks To Angels" de los Black Crowes y 
"Nowhere Man" de los Beatles.
Aplicación al átomo
El punteo aleatorio de una cuerda de guitarra produce una 
vibración no armónica. Sin embargo, esa forma de onda se compone 
de una serie de vibraciones armónicas que están presentes en alguna 
proporción. Dependiendo de la longitud, tensión y grosor de las 
cuerdas, estos armónicos producen una nota con tono (del armónico 
fundamentalnorte = 1) y timbre (de armónicos o sobretonos más altos 
norte > 1). Golpear un armónico en la guitarra elimina el armónico 
fundamental y expone matices específicos. Sin embargo, todos estos 
armónicos están presentes en una cuerda de guitarra que vibra 
aleatoriamente. Usar un dedo para amortiguar ciertas vibraciones 
demuestra que la vibración compleja de una cuerda de guitarra se 
puede deconstruir en un número discreto de vibraciones armónicas, 
cada una con una frecuencia única.
Por analogía, las condiciones de contorno inherentes a los 
átomos constituyen un conjunto similar de estados vibracionales 
armónicos o estacionarios. Los estados complejos no estacionarios 
pueden describirse simplemente como una superposición de esos 
estados estacionarios discretos. Como resultado, los electrones 
pueden tener múltiples valores de energía; sin embargo, cuando se 
miden, solo se encuentran energías estacionarias discretas. Esto era 
parte del misterio del espectro del hidrógeno. El resplandor violáceo 
del hidrógeno gaseoso eléctricamente excitado, cuando se 
deconstruye con una rejilla de difracción o un prisma, muestra líneas 
con longitudes de onda específicas. Bohr describió este fenómeno con 
estados estacionarios discretos. Su modelo del átomo postulaba que 
había distintas órbitas permitidas en las que pueden existir electrones, 
con un número integral de nodos (0, 1, 2,…), similar a las ondas 
estacionarias unidimensionales en una cuerda de guitarra. Si bien este 
modelo no pudo predecir los espectros de línea de los átomos de 
múltiples electrones, el principio de energías discretas se convirtió en 
la piedra angular del modelo atómico actual. El conocido modelo del 
átomo de Bohr es generalmente la primera exposición de un 
estudiante a la estructura atómica y un punto de partida para los 
efectos cuánticos como se ven en los átomos.
Esta demostración de armónicos de guitarra ilustra efectos 
cuantificados como se ve en una onda estacionaria unidimensional, que es 
un punto de entrada para fenómenos de onda más complejos. Una cuerda 
de guitarra que vibra normalmente se compone de una serie de vibraciones 
discretas con frecuencias bien definidas. Cualquier ran-
Expresiones de gratitud
Me gustaría agradecer a Edward Vitz y al revisor y al 
revisor por sus valiosos comentarios. Además, me gustaría 
agradecer a Timothy Marin y su banda, Rhonda's Basement, 
por convertirme en un guitarrista más competente.
Literatura citada
1. Zumdahl, Steven S .; Zumdahl, Susan A.Química, 6ª ed .; 
Houghton Mifflin: Boston, 2003; p 305.
2. Silberberg, Martin S. Química La naturaleza molecular de la 
materia y el cambio, 4ª ed .; McGraw Hill: Nueva York, 2006; pag
271.
3. Chang, Raymond. Química, 8ª ed .; McGraw Hill: Nueva York, 
2006; pág 273.
4. Vitz, E .; Binning, R.J. Chem. Educ.1996, 73, 171.
5. Pye, Cory C. J. Chem. Educ.2004, 81, 507.
6. Serway, RA Principios de Física; Publicaciones de Harcourt 
Brace: Fort Worth, TX, 1994; págs. 665–673.
7. Benade, AH Cuernos, cuerdas y armonía; Dover Publications, 
Inc .: Nueva York, 1992; págs. 47–66.
8. Hughes, JR Coll. Matemáticas. diario2000, 31, 300–303.
www.JCE.DivCHED.org • Vol. 84 No. 8 de agosto de 2007 • Revista de educación química1289
http://www.jce.divched.org/
http://www.jce.divched.org/Journal/Issues/2007/
http://www.jce.divched.org/Journal/
http://www.jce.divched.org/Journal/Issues/1996/Feb/abs171.html
http://www.jce.divched.org/Journal/Issues/2004/Apr/abs507.html