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Formación para la Investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander Construimos Futuro OSCILACIONES FORZADAS Y RESONANCIA EN UN CIRCUITO RLC SERIE EN MULTISIMLIVE Resumen La experiencia se enfoca en determinar la frecuencia de resonancia a partir de los valores nominales de inductancia y capacitancia presentes en el circuito, a continuación, siguiendo el tutorial para el uso de MultisimLive se debe construir un circuito RLC serie al cual se le debe medir las amplitudes de corriente y voltaje en cada uno de los elementos. Por otra parte, la fuente de corriente alterna trabajará como la perturbación externa, en el que se debe ajustar una amplitud de voltaje y una frecuencia cercana a la de resonancia, para luego iniciar la medición de las señales. El software MultisimLive permite que el estudiante visualice un gráfico en el dominio del tiempo, de la corriente y el voltaje (según en el elemento en que se esté midiendo) además del desfase entre las señales senoidales de corriente y voltaje. Finalmente se debe ajustar la fuente de voltaje de corriente alterna a diferentes frecuencias tanto por debajo como por arriba de la frecuencia de resonancia, También se recomienda replicar los experimentos de las fases anteriores para diferentes valores de resistencias. Planteamiento del problema Un circuito RLC serie es la excusa perfecta para estudiar oscilaciones forzadas, además de ser la base para numerosas aplicaciones, desde filtrado en líneas de alto voltaje hasta osciladores para circuitos electrónicos. El circuito está compuesto de un resistor, un condensador y un inductor, donde los dos últimos elementos son modelados matemáticamente por derivadas respecto al tiempo. En este proyecto se propone acoplar los tres elementos en serie y perturbarlos con un voltaje en alterna, para construir un sistema análogo a un oscilador mecánico forzado. La estructura matemática de la ecuación diferencial que describe el oscilador RLC es similar a la del oscilador mecánico, salvo los parámetros R, L y C, que definen la frecuencia de resonancia del sistema y el cambio de fase entre el voltaje aplicado y la corriente medida. Por tanto, ¿cuál es la respuesta en corriente del circuito según la frecuencia de la perturbación externa? ¿Cuándo dicha respuesta es máxima? Objetivo general Estudiar la respuesta forzada de un circuito RLC serie ante voltajes sinusoidales de igual amplitud, a diferentes frecuencias. Formación para la Investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander Construimos Futuro Objetivos específicos Medir las señales de voltaje y corriente en cada uno de los elementos de un circuito RLC serie conectado a una fuente de voltaje senoidal. Estudiar los cambios de fase en las señales de voltaje de capacitor e inductor en un circuito RLC serie. Obtener la amplitud de la corriente y la impedancia en función de la frecuencia de la fuente de voltaje senoidal. Marco teórico Un circuito RLC serie está compuesto de un resistor (su símbolo es y de denota con "𝑅"), elemento que se opone al flujo de carga; un capacitor (su símbolo es y de denota con "𝐶"), elemento que almacena carga y energía en forma de campo eléctrico; y un inductor (su símbolos es y se denota con "𝐿"), elemento que también almacena energía en forma de campo magnético. Los tres elementos se encuentran en una configuración conocida como serie, es decir todos los elementos están en secuencia y no comparten un único par de nodos. En la figura 1 se presenta un circuito RLC serie construido a partir de sus símbolos. Figura 1. Representación del circuito RLC serie. En su estado natural o de equilibrio el circuito RLC serie no cumple ninguna función, a menos que se le conecte una fuente de alimentación externa. En términos físicos el Formación para la Investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander Construimos Futuro sistema se encontraría en un estado forzado debido una perturbación externa. Luego, al alimentar el circuito RLC serie con una fuerte de voltaje variable 𝑉(𝑡), este responderá con una corriente eléctrica 𝐼(𝑡) también variable en el tiempo. A esta corriente se le conoce como respuesta forzada y será la misma para todos los elementos del circuito RLC serie. Figura 2. Circuito RLC alimentado por una fuente de voltaje variable en el tiempo. En la figura 2 se presenta una fuente de voltaje variable en el tiempo o de corriente alterna (CA). Según el análisis de voltajes de Kirchhoff en este circuito serie el voltaje se distribuirá entre sus elementos. El voltaje en el resistor cumple con la ley de Ohm (ver ecuación 1), siendo 𝑞 la carga, 𝐼 la corriente y 𝑅 la resistencia eléctrica. 𝑉𝑅 = 𝑅𝐼 = 𝑅 𝑑𝑞 𝑑𝑡 (1) El voltaje en el capacitor cumple con la relación entre carga y voltaje en un capacitor (ver ecuación 2), siendo 𝐶 la capacitancia. 𝑉𝐶 = 𝐶𝑞 (2) El voltaje en el inductor cumple con la ley de inducción de Faraday-Lenz (ver ecuación 3), siendo 𝐿 la inductancia. 𝑉𝐿 = 𝐿 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝐿 𝑑2𝑞 𝑑𝑡2 (3) Sumando los voltajes de las ecuaciones (1), (2) y (3) se plantea el modelo fisicomatemático que describe el circuito RLC serie alimentado por una fuente de voltaje en CA (ver ecuación 1). Formación para la Investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander Construimos Futuro 𝑑2𝑞(𝑡) 𝑑𝑡2 + 𝑅 𝐿 𝑑𝑞(𝑡) 𝑑𝑡 + 1 𝐿𝐶 𝑞(𝑡) = 𝑉(𝑡) (4) La ecuación (4) tiene la misma estructura matemática que describe un oscilador mecánico amortiguado con una perturbación externa 𝐹(𝑡). En el caso del circuito RLC serie el término del amortiguamiento depende del resistor y el inductor; el término de la frecuencia natural del oscilador depende del inductor y el capacitor; y la perturbación externa depende de la fuente de alimentación 𝑉(𝑡) = 𝑉0𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑓𝑡), donde 𝑉0 es el voltaje pico y 𝜔𝑓 la frecuencia angular. Una posible solución para la ecuación (4) se presenta en la ecuación (5). 𝑞(𝑡) = 𝐴1𝑒 𝑠𝑡 + 𝐴1 ∗𝑒−𝑠 ∗𝑡⏟ 𝑅𝑒𝑔𝑖𝑚𝑒𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡𝑜𝑟𝑖𝑜 + 𝐵1𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑓𝑡 + 𝜙)⏟ 𝑅𝑒𝑔𝑖𝑚𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 (5) 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔 = −𝛽 + 𝑗√𝜔0 2 − 𝛽2 (6) Para obtener la corriente se deriva la carga (𝐼 = 𝑑𝑞 𝑑𝑡 ). Por otra parte, 𝐴1, 𝐴1 ∗ y 𝐵1 son constantes (pueden ser números complejos) con unidad de carga, 𝜙 es la fase del régimen estacionario, 𝜔 es la frecuencia que prevalece durante el régimen transitorio y depende del amortiguamiento dado por 𝛽 = 𝑅 2𝐿 y la frecuencia natural del circuito RLC serie 𝜔0 = √ 1 𝐿𝐶 (ver ecuación 6). Entonces, dependiendo de los valores que tomen 𝜔0 y 𝛽 el transitorio podría ser: sobreamortiguado 𝜔0 > 𝛽, críticamente amortiguado 𝜔0 < 𝛽, subamortiguado 𝜔0 = 𝛽. Finalmente, el término del régimen estacionario en la ecuación (5) prevalece a lo largo del tiempo y es la parte de la respuesta que se puede medir con un osciloscopio. Por lo tanto, para transitorios cortos, la respuesta en términos de la corriente se puede aproximar a la ecuación (7). 𝐼(𝑡) = 𝐼0𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑓𝑡 + 𝜙) (7) La fase 𝜙 y la amplitud de corriente 𝐼0 dependerán de los elementos RLC y la frecuencia de la fuente de CA. En un diagrama de fasores es posible representar la amplitud y la fase de la señal. En las figuras 3(a) y 3(b) se muestra la amplitud 𝑉0 de una señal de voltaje 𝑉(𝑡) y su fase 𝜙 a 0º, mientras en la figura 3(a) la corriente de amplitud 𝐼0 se encuentra con fase 𝜙 a 45º indicando predominancia de la componente capacitiva. En la figura 3(b) la corriente de amplitud 𝐼0 tiene fase 𝜙 a -45º indicando predominancia de la componente inductiva. https://es.khanacademy.org/science/electrical-engineering/ee-circuit-analysis-topic/ee-natural-and-forced-response/a/ee-rlc-natural-response-variationshttp://info.ee.surrey.ac.uk/Teaching/Courses/ee1.cct/circuit-theory/section7/dampedcases.html https://www.intmath.com/differential-equations/8-2nd-order-de-damping-rlc.php Formación para la Investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander Construimos Futuro (a) (b) Figura 3. Representación fasorial de la corriente y el voltaje en un circuito RLC con (a) predominancia de la componente capacitiva y (b) predominancia de la componente inductiva. La fase 𝜙 se puede determinar a partir de los voltajes de resistor 𝑉𝑅, capacitor 𝑉𝐶 e inductor 𝑉𝐿 como se muestra en la ecuación (8). 𝜙(𝜔𝑓) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ( 𝑉𝐿(𝜔𝑓)−𝑉𝐶(𝜔𝑓) 𝑉𝑅(𝜔𝑓) ) (8) Y la magnitud de la impedancia 𝑍0 se puede determinar a partir de las amplitudes de voltaje 𝑉0 y corriente 𝐼0, como se muestra en la ecuación (9). 𝑍0(𝜔𝑓) = 𝑉0(𝜔𝑓) 𝐼0(𝜔𝑓) (9) Tanto la fase 𝜙 como la impedancia 𝑍0 dependen de la frecuencia de la fuente de alimentación. Metodología Este proyecto de investigación se divide en cinco fases metodológicas. En la fase 1 se introducirá al uso del simulador online MultisimLive construyendo el circuito RLC serie. Durante la fase 2 se determinará la frecuencia de resonancia de tres circuitos RLC con diferentes resistores, capacitores e inductores. A continuación en la fase 3 se seleccionará una de las configuraciones RLC medidas en la tabla 1 y se medirán los voltajes y corriente en los elementos para 10 frecuencias por encima, y 10 frecuencias por debajo de la frecuencia de resonancia (las frecuencias se cambiarán en la fuente de alimentación CA). Luego, en la fase 4 se determinará la fase y la magnitud de la impedancia en función de la frecuencia usando los datos de la fase 3. Finalmente, durante la fase 5 se realizará el reporte de la investigación donde se debe evidenciar la dependencia que tienen corriente e impedancia de la frecuencia. https://www.multisim.com/ Formación para la Investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander Construimos Futuro Fase 1. Para ingresar al simulador debe crear una cuenta MultisimLive dando click al botón en el centro de la ventana de presentación de MultisimLive o con un click sobre el botón que se encuentra en la parte superior derecha de la ventana de presentación de MultisimLive. A continuación, el estudiante debe crear una cuenta de usuario (ver figura 4). Figura 4. Pantalla MultisimLive para crear una cuenta de usuario (sitio web visitado 05-06-2020). Luego de crear la cuenta y realizar la validación a través del correo electrónico el estudiante debe ingresar a su cuenta en MultisimLive. Una vez hecho el ingreso, dando click en el botón que se encuentra en la parte superior derecha de la ventana ¡habrá ingresado a la zona de trabajo de ! (ver figura 5). https://www.multisim.com/ https://www.multisim.com/ https://www.multisim.com/ https://www.multisim.com/ https://lumen.ni.com/nicif/US/WEB_MULTISIM/content.xhtml?du=https%3A%2F%2Flumen.ni.com%2Fidp%2Fprofile%2FSAML2%2FUnsolicited%2FSSO%3FproviderId%3Dhttps%253A%252F%252Fwww.multisim.com%252Fsaml2%252Fmetadata%252F&action=create https://www.multisim.com/ Formación para la Investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander Construimos Futuro Figura 5. Ventana de trabajo MultisimLive. En la ventana de trabajo de la figura 5 se procede a construir el circuito RLC serie, a la izquierda de la ventana se observa el panel de selección de componentes. En la figura 5 se ha señalado donde extraer los componentes relevantes para desarrollar este proyecto. De tal manera que seleccionando y arrastrando con el cursor del ratón es posible arrastrar los componentes al esquemático. Al ubicar el cursor sobre los extremos de los componentes aparece un carrete . Dando click sobre el extremo del componente aparece un conductor, el cual se llevará hasta el extremo del otro componente para completar la conexión con un nuevo click. Para el simulador es importante que se conecte la tierra , de no hacerlo al momento de ejecutar la simulación aparecerá un mensaje de error “ ”, de tal manera que el circuito RLC serie debe verse semejante al de la figura 6. Antes de ubicar las puntas de prueba de voltaje en el resistor, el capacitor e inductor es importante tener en cuenta la referencia de voltaje . Sí no se usa referencia de voltaje la punta de prueba de voltaje tomará por defecto como referencia la tierra . Antes de configurar y ubicar las puntas de prueba de voltaje y corriente en el circuito RLC serie se recomienda ver este video. https://www.multisim.com/ https://drive.google.com/file/d/1zi_3JrMdAQ7Gd9GRxzD9U-D5hEwzSx4z/view?usp=sharing Formación para la Investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander Construimos Futuro Figura 6. Esquemático circuito RLC serie en MultisimLive. Fase 2. Luego de construir el circuito RLC serie con su fuente de alimentación 𝑉(𝑡), a criterio del docente el estudiante seleccionará valores diferentes de resistencia, capacitancia e inductancia. Luego, tomará tres medidas de frecuencia de resonancia. Los datos se consignarán en la tabla 1 de la hoja de trabajo. Las recomendaciones para la selección de los componentes RLC son: a) No se recomienda que el resistor tenga valores superiores a 1 kΩ (con doble click derecho sobre el valor de resistencia actual del elemento se puede modificar dicho valor) de manera que en el graficador se alcance a notar la amplitud de las señales de voltaje del capacitor y el inductor en comparación con el voltaje del resistor. b) Seleccionar valores de capacitancia e inductancia (al igual que con el resistor, con doble click sobre el valor actual este puede ser modificado) de tal manera que la frecuencia natural no alcance valores superiores a 1 MHz. Aunque en el panel de configuración la selección de va desde hasta . Se recomiendan valores de inductancia entre 1 mH y 100 mH y valores de capacitancia entre 1 uF y 1000uF, estos son valores que se ajustan a la realidad del experimento. Formación para la Investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander Construimos Futuro La simulación se inicia con el botón ; una vez iniciada, se pausa con el botón y se detiene con el botón . La medida de la frecuencia de resonancia puede hacerse de varias formas: a) Variando la frecuencia de la fuente de alimentación hasta obtener la máxima amplitud de corriente. Dando click sobre la pestaña se pueden visualizar tanto el esquemático como el graficador. De manera que el usuario puede modificar la frecuencia de la fuente con doble click sobre el valor actual (por ejemplo ) y al mismo tiempo visualizar la señal de corriente en el graficador. b) Variando la frecuencia de la fuente de alimentación hasta que las señales de voltaje en el inductor y capacitor se superpongan. Para esto sería necesario visualizar las señales de voltaje de capacitor e inductor en el graficador. Fase 3. En esta fase se seleccionará una de las configuraciones RLC consignadas en la tabla 1 y se medirán los voltajes pico en cada uno de los elementos y la corriente para 10 frecuencias por encima y 10 por debajo de la frecuencia de resonancia. Los valores serán consignados en la tabla 2. Los voltajes picos y la corriente pico se puede medir en el graficador ubicando el cursor sobre el máximo de la señal y dando click derecho (ver figura 7). A continuación aparece una etiqueta con las coordenadas en tiempo y amplitud (sea la amplitud de una señal de voltaje o de corriente). Figura 7. Medida de la corriente pico. Formación para la Investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias UniversidadIndustrial de Santander Construimos Futuro Fase 4. A partir de las medidas consignadas en la tabla 2 y el marco teórico en este proyecto de investigación. El grupo de trabajo deberá determinar la fase y la impedancia en función de la frecuencia. Luego realizarán gráficos de corriente, impedancia y fase contra frecuencia. En los gráficos se puede observar la dependencia que tiene estas cantidades físicas de la frecuencia de la fuente de voltaje y las consecuencias que tiene la frecuencia de resonancia en dichas cantidades físicas. Fase 5. Finalmente, se realizará el reporte de la investigación con base en el análisis de las medidas consignadas en las tablas 1 y 2 e interpretación de los gráficos realizados. Los usuarios del simulador MultisimLive pueden exportar los datos de las señales en un archivo con extensión “.CVS”. Presionando la etiqueta y en la opción . Estos datos pueden ser analizados en otra herramienta software. Resultados Esperados Para este proyecto de investigación se espera que los estudiantes encuentren la frecuencia de resonancia a partir de medidas de corriente para diferentes valores de resistencia, capacitancia e inductancia en un circuito RLC serie, interprete los resultados de corriente eléctrica a diferentes frecuencias en una fuente de voltaje en CA. También se espera que se cuestione sobre ¿qué relación tiene la frecuencia de resonancia con los parámetros que definen el circuito RLC serie? ¿qué significado físico tiene el gráfico de corriente contra frecuencia? ¿qué sucede con el gráfico de corriente contra frecuencia si se decide representar la frecuencia en escala logarítmica? ¿Cómo determinar la impedancia a partir de las señales de voltaje y corriente a diferentes frecuencias en la fuente de alimentación? ¿Por qué la fase puede tomar valores positivos y negativos y de que depende? Bibliografía Simulador online MultisimLive de National instruments https://www.multisim.com/ (visitada 08-06-2020). https://es.khanacademy.org/science/electrical-engineering/ee-circuit-analysis- topic/ee-natural-and-forced-response/a/ee-rlc-natural-response-variations (visitada 08-06-2020). http://info.ee.surrey.ac.uk/Teaching/Courses/ee1.cct/circuit- theory/section7/dampedcases.html (visitada 08-06-2020). https://www.multisim.com/ https://www.multisim.com/ https://es.khanacademy.org/science/electrical-engineering/ee-circuit-analysis-topic/ee-natural-and-forced-response/a/ee-rlc-natural-response-variations https://es.khanacademy.org/science/electrical-engineering/ee-circuit-analysis-topic/ee-natural-and-forced-response/a/ee-rlc-natural-response-variations http://info.ee.surrey.ac.uk/Teaching/Courses/ee1.cct/circuit-theory/section7/dampedcases.html http://info.ee.surrey.ac.uk/Teaching/Courses/ee1.cct/circuit-theory/section7/dampedcases.html Formación para la Investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander Construimos Futuro https://www.intmath.com/differential-equations/8-2nd-order-de-damping- rlc.php (visitada 08-06-2020). Serway, R. A., Jewett, J. W (2010). Física para ciencias e ingeniería. Ed. 8, Brooks/Cole, 20 Davis Drive, Belmont CA 94002-3098, USA. Este material fue desarrollado por: Ana M. Forero Pinto, Daniel A. Triana Camacho, Karen L. Cristiano Rodríguez, Melba J. Sánchez Soledad, Yuber A. Galeano; con el apoyo de: David A. Miranda Mercado, Jorge H. Quintero Orozco, Raúl F. Valdivieso Bohorquez, Rogelio Ospina Ospina; las autoriades académicas: Hernán Porras Díaz (Rector), Orlando Pardo Martínez (Vicerrector Académico), Jose David Sanabria Gómez (Decano de la Facultad de Ciencias) y Jorge Humberto Martínez Téllez (Director de la Escuela de Física). Un agradecimiento especial a la Universidad Industrial de Santander. Mayo 15 de 2020. https://www.intmath.com/differential-equations/8-2nd-order-de-damping-rlc.php https://www.intmath.com/differential-equations/8-2nd-order-de-damping-rlc.php
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