M1 2

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Formación para la Investigación Escuela de Física, Facultad de Ciencias
Universidad Industrial de Santander
ESTUDIO DE OSCILACIONES DEL SISTEMA MASA RESORTE Y ANÁLISIS DE OSCILACIONES AMORTIGUADAS EN UN PÉNDULO SIMPLE CON SIMULADORES PHET
Autores:
· Betty Dayana Lancheros Ayala 2192376
· Juan Camilo Barajas Gonzalez 2192042.
· Cesar Nicolas Rodriguez Pinzon 2182101
RESUMEN
Cuando decimos movimiento armónico simple, se refiere al movimiento de las partículas que lo rodean bajo la acción de la fuerza restauradora proporcional a la distancia desde el origen, dando como resultado un fenómeno ondulatorio. Por tanto, es necesario comprender los principios físicos del problema y la naturaleza de la fuerza que genera este movimiento para poder descomponer los casos cinemáticos más comunes, entre ellos: sistema masa-resorte, que es una combinación de cuerpos elásticos con una masa de adherencia. La importancia de su investigación radica en el estudio en profundidad de la dinámica de partículas en condiciones específicas, lo que puede ampliar la teoría y la práctica, siendo esta una de las ramas importantes de la física y la cinemática. Además, el sistema del péndulo está formado por la masa adherida a la varilla o al hilo y se ve afectado por la gravedad, y al ser utilizado en objetos comunes como los siguientes, metrónomo y reloj, su aplicación juega un papel importante en la vida diaria.
INTRUDUCCIÓN
La física es una de las asignaturas más difíciles de entender para los estudiantes, esta dificultad se refleja en el bajo índice de reconocimiento de la asignatura en los diferentes niveles educativos; en los centros de preparación universitaria y colegios, también se puede verificar que esta tendencia es el proyecto con la menor respuesta de los estudiantes (Picquart, 2008).
Al observar la naturaleza, nos damos cuenta de que muchos procesos físicos son eventos repetitivos que ocurren cíclicamente después de un intervalo de tiempo fijo. Un caso interesante de movimiento periódico ocurre cuando un sistema oscila alrededor de una posición de equilibrio estable. El sistema realiza la misma trayectoria, primero en una y luego en la dirección opuesta, invirtiendo la dirección de su movimiento en ambos extremos de la trayectoria. Un ciclo completo consiste en que el pase por la posición dos veces. La masa adherida al final de un péndulo o a son algunos ejemplos de este fenómeno físico.
Para comprender la naturaleza del fenómeno de oscilación, es necesario analizar El caso más simple: movimiento armónico simple (MAS) de un sistema de resorte de masa. Este hecho nos hace preguntarnos qué parámetros físicos están involucrados en la descripción. La resonancia del sistema de resorte de masa. Para responder a esta pregunta, En este proyecto de investigación, estudie el período de oscilación como Acoplamiento al cambio de masa del resorte. Por otro lado, el análisis de cambios de amplitud Estudiará las oscilaciones utilizando un péndulo simple. Simulador interactivo.
MARCO TEÓRICO
Oscilador armónico
Se dice que un sistema cualquiera, mecánico, eléctrico, neumático, etc., es un oscilador armónico si, cuando se deja en libertad fuera de su posición de equilibrio, vuelve hacia ella describiendo oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales amortiguadas en torno a dicha posición estable.
Figura 1. Toma de datos en el simulador de masa y resorte
El ejemplo es el de una masa colgada a un resorte. Cuando se aleja la masa de su posición de reposo, el resorte ejerce sobre la masa una fuerza que es proporcional al desequilibrio (distancia a la posición de reposo) y que está dirigida hacia la posición de equilibrio. Si se suelta la masa, la fuerza del resorte acelera la masa hacia la posición de equilibrio. A medida que la masa se acerca a la posición de equilibrio y que aumenta su velocidad, la energía potencial elástica del resorte se transforma en energía cinética de la masa. Cuando la masa llega a su posición de equilibrio, la fuerza será cero, pero como la masa está en movimiento, continuará y pasará del otro lado. La fuerza se invierte y comienza a frenar la masa. La energía cinética de la masa va transformándose ahora en energía potencial del resorte hasta que la masa se para. Entonces este proceso vuelve a producirse en dirección opuesta completando una oscilación.
Si toda la energía cinética se transformase en energía potencial y viceversa, la oscilación seguiría eternamente con la misma amplitud. En la realidad, siempre hay una parte de la energía que se transforma en otra forma, debido a la viscosidad del aire o porque el resorte no es perfectamente elástico. Así pues, la amplitud del movimiento disminuirá más o menos lentamente con el paso del tiempo. Se empezará tratando el caso ideal, en el cual no hay pérdidas. Se analizará el caso unidimensional de un único oscilador (para la situación con varios osciladores, véase movimiento armónico complejo).
Oscilador armónico sin pérdidas
Para el análisis de un movimiento oscilatorio en condiciones ideales, un modelo muy 
sencillo es el formado por el sistema masa-resorte. Cuando un cuerpo está unido a un resorte y el resorte es deformado una distancia x de su posición de equilibrio, el resorte ejerce una fuerza de magnitud igual a la fuerza que generó su deformación, pero de sentido contrario, pues trata de volver el resorte a la posición de equilibrio. Esta fuerza está dada por la ley de Hooke
𝑭⃗→ = −𝑲𝒚⃗→ (1)
Donde, K es la constante restauradora del resorte dada en [N/m] y F es la fuerza recuperadora en [N] ejercida por el resorte, de naturaleza lineal, proporcional a la deformación. Si un sistema está sometido a una fuerza recuperadora, su movimiento es armónico simple y aplicando la segunda ley de Newton se obtiene la ecuación (2)
𝒎𝒂⃗→ = −𝑲𝒚⃗→ (2)
Si la frecuencia del sistema es 𝜔^2 = 𝐾𝑚 podemos escribir la ecuación de la forma,
𝒅𝟐𝒚⃗→ = −𝝎𝟐 𝒚⃗→ (𝟑)
𝒅𝒕𝟐
La función y(t) que satisface la ecuación diferencial de segundo orden es
y(t) = Acos (ωt + φ) (4)
Siendo A es la amplitud del movimiento oscilatorio, ω la frecuencia dada en [rad/s] y φ es del desfase. La posición en [m] de la masa m acoplada al resorte en cada momento con respecto al punto de equilibrio, que realiza el movimiento oscilatorio es la elongación y. El tiempo en hacer una oscilación completa es el período que está dado por la ecuación (5).
𝑻 = 𝟐𝝅√𝒎/𝑲
Ecuaciones del movimiento
Figura 2. Péndulo simple
Si la partícula se desplaza a una posición θ0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.
El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. 
Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal
Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos
· el peso mg
· La tensión T del hilo
Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, 𝑚𝑔 · 𝑠𝑖𝑛𝜃 en la dirección tangencial y 𝒎𝒈 · 𝒄𝒐𝒔𝜽 en la dirección radial. Ecuación del movimiento en la dirección radial La aceleración de la partícula es 𝒂⃗→𝒏 = 𝒗𝟐/𝒍 dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular. La segunda ley de Newton se escribe
𝒎𝒂⃗→𝒏 = 𝑻 − 𝒎𝒈· 𝒄𝒐𝒔𝜽
Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular θ determinamos la tensión T del hilo, (véase el apartado conservación de la energía)
La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio, 𝑇 = 𝑚𝑔 + 𝑚𝑣2/𝑙
Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, 𝑻 = 𝒎𝒈𝒄𝒐𝒔𝜽𝟎 Ecuación del movimiento en la dirección tangencial La aceleración de la partícula es 𝒂⃗→𝒕 = 𝒅𝒗/𝒅𝒕. La segunda ley de Newton se escribe
𝒎𝒂⃗→𝒕 = −𝒎𝒈· 𝒔𝒊𝒏𝜽
La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular α es at=α·l. La ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial
𝒅𝟐𝜽𝒅𝒕𝟐 + 𝒈𝒍𝒔𝒊𝒏𝜽 = 𝟎
DESARROLLO
Para la realización de la practica propuesta se utilizó el simulador Phet Masas y resortes,coneste será posible verificar la dependencia del período de oscilación de un sistema masa-resorte al
variar la masa y la constante elástica del resorte y de este mismo modo con los datos obtenidos también analizar el amortiguamiento en un péndulo simple a través del cambio de su
amplitud. Dicho proyecto se realizó en tres Partes.
Parte 1: Toma de datos
Con el simulador Phet Masas y Resortes se tomaron las medidas correspondientes en para llenar las tablas 1 y 2, con ayuda de las herramientas como el cronometro, regla, transportador, el botón para ralentizar el tiempo, etc, como se puede ver a continuación.
1.1 Sistema masa y resorte:
Figura 3. Toma de datos en el simulador de masa y resorte
Para el sistema de masas y resorte se tomaron 10 masas diferentes las cuales cada una seria probadas por 3 valores de resorte; R1 siendo el menor, R2 con un valor intermedio y por último R3, con un valor máximo de resorte. Tomando tres valores veces el tiempo para disminuir el margen de error y de esta manera poder observar el comportamiento de dicho resorte como se muestra en la tabla 1.
	
	
	M1=0,075kg
	M2=0,1kg
	M3=0,125kg
	M4=0,15kg
	M5 =0,175kg
	M6 =0,2kg
	M7 =0,225kg
	M8 =0,25kg
	M9 =0,275kg
	M10=0,3kg
	R1
	T1 (s)
	0,96
	1,19
	1,31
	1,46
	1,59
	1,65
	1,75
	1,81
	1,89
	2,08
	
	T2 (s)
	0,99
	1,15
	1,32
	1,43
	1,55
	1,64
	1,76
	1,80
	1,91
	2,05
	
	T3 (s)
	0,98
	1,18
	1,30
	1,45
	1,57
	1,62
	1,77
	1,83
	1,92
	2,04
	R2
	T1(S)
	0,66
	0,75
	0,89
	0,95
	1,03
	1,07
	1,12
	1,23
	1,28
	1,33
	
	T2(s)
	0,65
	0,75
	0,87
	0,94
	1,01
	1,06
	1,13
	1,22
	1,26
	1,34
	
	T3(s)
	0,64
	0,75
	0,89
	0,93
	1,02
	1,06
	1,14
	1,19
	1,25
	1,34
	R3
	T1(s)
	0,50
	0,58
	0,64
	0,70
	0,76
	0,84
	0,89
	0,95
	0,98
	1,03
	
	T2(s)
	0,51
	0,58
	0,65
	0,70
	0,78
	0,85
	0,90
	0,95
	0,98
	1,04
	
	T3(s)
	0,50
	0,59
	0,64
	0,70
	0,78
	0,84
	0,89
	0,94
	0,98
	1,02
Tabla 1. Datos tomados de los diferentes valeros de resortes
1.2 Péndulo 
Figura 4. Toma de datos en el simulador del péndulo
Para el péndulo se escogió una longitud de cuerda (0,80m), rozamiento (Por encima de la media) y ángulo inicial (45°) desde el cual se soltaría la masa del péndulo fijos, para luego seleccionar 3 valores de masa distintos (0,5kg, 1kg y 1,5kg), y ver como esta se relacionaba con la disminución del ángulo con respecto al tiempo como se mostrará a continuación en la tabla 2.
 
	M1= 0,5 Kg
	M2= 1kg
	M3= 1,5Kg
	θ (grados)
	T (s)
	θ (grados)
	T (s)
	θ (grados)
	T (s)
	45
	0
	45
	0
	45
	0
	30
	1,9
	34
	1,88
	35
	1,86
	20
	3,7
	25
	3,68
	28
	3,7
	15
	5,58
	18
	7,35
	24
	5,54
	12
	7,41
	15
	9,13
	20
	7,32
	10
	9,9
	12
	11,45
	17
	9,16
	8
	10,9
	10
	12,68
	14
	10,94
	5
	12,68
	8
	14,58
	12
	12,74
Tabla 2. Datos tomados del péndulo.
Parte 2: Análisis gráfico.
En esta parte se graficaron los resultados, analizamos y comparamos los datos obtenidos; en el sistema masa resorte comparando como cambian los resultados cuando se varía el valor del resorte y en el caso del péndulo a que ritmo el ángulo disminuye cuando se varía la masa en un sistema abierto con fricción.
2.1 SISTEMA MASA Y RESORTE
2.1.1. Graficas de la tabla de datos y análisis del sistema de masa y resorte. 
	R1
	M(Kg)
	0,075
	0,1
	0,125
	0,15
	0,175
	0,2
	0,225
	0,25
	0,275
	0,3
	Tp(s)
	0,97666667
	1,17333333
	1,31
	1,44666667
	1,57
	1,63666667
	1,76
	1,81333333
	1,90666667
	2,05666667
	Tabla 3. Masa y tiempo promedio de R1.	
	R2
	M (Kg)
	0,075
	0,1
	0,125
	0,15
	0,175
	0,2
	0,225
	0,25
	0,275
	0,3
	Tp (s)
	0,65
	0,75
	0,88333333
	0,94
	1,02
	1,06333333
	1,13
	1,21333333
	1,26333333
	1,33666667
Tabla 4. Masa y tiempo promedio de R2.
	R3
	M
	0,075
	0,1
	0,125
	0,15
	0,175
	0,2
	0,225
	0,25
	0,275
	0,3
	Tp(s)
	0,50333333
	0,58333333
	0,64333333
	0,7
	0,77333333
	0,84333333
	0,89333333
	0,94666667
	0,98
	1,03
Tabla 5. Masa y tiempo promedio de R3.
Grafica 1. Comportamiento de R1. Grafica 2. Comportamiento de R2
Grafica 3. Comportamiento de R3.
Análisis: Con las gráficas y las tablas se pudo observar que las curvas dadas por los datos son similares, sin embargo, cuando se revisó el tiempo se llegó a la conclusión de que mientras el resorte fuera más grande este tardaría menos en dar una oscilación completa.
2.1.2. Gráficas, tablas y análisis cuando está Tp2 
	
	
	
	
	
	R1
	
	
	
	
	
	M (Kg)
	0,075
	0,1
	0,125
	0,15
	0,175
	0,2
	0,225
	0,25
	0,275
	0,3
	Tp2 (s)
	0,95387778
	1,377
	1,7161
	2,09284444
	2,4649
	2,67867778
	3,0976
	3,28817778
	3,63537778
	4,22987778
Tabla 6. Masa y tiempo2 promedio de R1.
	R2
	M (Kg)
	0,075
	0,1
	0,125
	0,15
	0,175
	0,2
	0,225
	0,25
	0,275
	0,3
	Tp2(s)
	0,4225
	0,5625
	0,78027778
	0,8836
	1,0404
	1,13067778
	1,2769
	1,47217778
	1,59601111
	1,78667778
Tabla 7. Masa y tiempo2 promedio de R2.
	R3
	M(Kg)
	0,075
	0,1
	0,125
	0,15
	0,175
	0,2
	0,225
	0,25
	0,275
	0,3
	Tp2(s)
	0,25334444
	0,34027778
	0,41387778
	0,49
	0,59804444
	0,71121111
	0,79804444
	0,89617778
	0,9604
	1,0609
Tabla 8. Masa y tiempo2 promedio de R3
Grafica 4. Comportamiento de R1 con T2. Grafica 5. Comportamiento de R2 con T2. 
Grafica 6. Comportamiento de R3 con T2.
Análisis: se pude notar como su pendiente se aumenta con respecto a las gráficas anteriormente observada donde el tiempo no estaba elevado al cuadrado.
2.2 PENDULO 
2.2.1. Graficas de la tabla de datos y análisis del péndulo. 
	M2= 1kg
	θ (°)
	T (s)
	45
	0
	34
	1,88
	25
	3,68
	18
	7,35
	15
	9,13
	12
	11,45
	10
	12,68
	8
	14,58
	M1= 0.5 Kg
	θ (°)
	T (s)
	 45
	0
	30
	1,9
	20
	3,7
	15
	5,58
	12
	7,41
	10
	9,9
	8
	10,9
	5
	12,68
	M3= 1.5Kg
	θ (°)
	T (s)
	45
	0
	35
	1,86
	28
	3,7
	24
	5,54
	20
	7,32
	17
	9,16
	14
	10,94
	12
	12,74
Tabla 10. Cambio de grados con respecto al M2
Tabla 11. Cambio de grados con respecto al M3
Tabla 9. Cambio de grados con respecto al M1
Gráfica 8. Cambio del ángulo cuando la masa es M1
Gráfica 7. Cambio del ángulo cuando la masa es M1
Gráfica 7. Cambio de ángulo cuando la masa es M1
 Grafica 9. Cambio de ángulo cuando la masa es M3
Análisis: Ya graficados los datos podemos observar que a medida que pasa el tiempo el ángulo disminuye, debido a que ya sabemos con anterioridad que el sistema es un sistema cerrado podríamos acreditarle esta disminución a la fricción.
Comparando las gráficas podemos percatarnos que se podría decir que di hay una masa con gran valor en el péndulo este demorará más en detenerse en comparación con uno péndulo con masa inferior.
2.2.2. Gráficas, tablas y análisis cuando está se cambie el ángulo por IN(θ/θ0) 
	M2= 1kg
	IN(θ/θ0)
	T (s)
	0
	0
	-0,280301965
	1,88
	-0,587786665
	3,68
	-0,916290732
	7,35
	-1,098612289
	9,13
	-1,32175584
	11,45
	-1,504077397
	12,68
	-1,727220948
	14,58
	M3= 1.5Kg
	IN(θ/θ0)
	T (s)
	0
	0
	-0,251314428
	1,86
	-0,47445798
	3,7
	-0,628608659
	5,54
	-0,810930216
	7,32
	-0,973449146
	9,16
	-1,16760516
	10,94
	-1,32175584
	12,74
	M1= 0.5 Kg
	IN(θ/θ0)
	T (s)
	0
	0
	-0,405465108
	1,9
	-0,810930216
	3,7
	-1,098612289
	5,58
	-1,32175584
	7,41
	-1,504077397
	9,9
	-1,727220948
	10,9
	-2,197224577
	12,68
Tabla 14. IN(θ/θ0) respecto al tiempo en M3 
Gráfica 10. Comportamiento de M1 con IN(θ/θ0) en el eje Y 
Tabla 12. IN(θ/θ0) respecto al tiempo en M1 
Tabla 13. IN(θ/θ0) respecto al tiempo en M2 
Gráfica 11. Comportamiento de M2 con IN(θ/θ0) en el eje Y 
 
Gráfica 12. Comportamiento de M3 con IN(θ/θ0) en el eje Y
Análisis: En comparación con las gráficas 9, 8 y 7 es sencillo ver que ahora la gráfica se encuentra en el cuadrante IV aunque sigues siendo descendiente y que mientras más pequeña sea la masa se obtendrán valores más pequeños de IN(θ/θ0)
Parte 3: Análisis matemático. 
En esta sección realizó una linealización de las gráficas y halló la ecuación de la gráfica,de esta manera pudiendo obtener una ecuación experimental y compararla con la teórica, este procedimiento tiene como objetivo encontrar los distintos valores de la constante K del resorte y los valores correspondientes a la fricción que tiene el péndulo en su sistema abierto, todo esto a partir de datos experimentales anteriormente trabajados.
3.1 Sistema masa y resorteGráfica 14. Linealización de R2 
 Gráfica 13. Linealización de R1 
 
Gráfica 13. Linealización de R3 
Al linealizar se obtuvieron las ecuaciones experimentales de la forma (1) en términos de la masa y el tiempo:
 (1)
Luego, se escogió la ecuación teórica (2) y se acomodó de forma que fuera más cómoda para ver las similitudes con las ecuaciones experimentales.
 (2)
Comparándolas, se pudo hallar los valores de a y b correspondientes a cada R.
a = (3), b = 0 (4)
Reemplazando cada valor de a obtenido en las linealizaciones en la ecuación (3) y así calcular los 3 valores experimentales de K.
· R1
13,669 , K1= 0,919 (N/m)
· R2
 5,8768 , K2=2,138 (N/m)
· R3
 3,6503 , K3 =3,442 (N/m)
Análisis: Comparando los valores obtenidos de K podemos corroborar la diferencia y afirmar que K1˂ K2 ˂ K3, también se puede decir que mientras la constante elástica K sea más grande menor va a ser el tiempo en el que la masa sujetada al resorte realiza una oscilación.
3.2 Péndulo 
Gráfica 16. Linealización de M1 
Gráfica 17. Linealización de M2 
Gráfica 18. Linealización de M3 
Del mismo modo que con el sistema masa y resorte, con la linealización de las gráficas del péndulo se encontró una ecuación con la forma (1), Luego, se buscó una educación teórica que relacione los valores obtenidos y la fricción, para por último acomodarla de modo que sea más sencillo ver las similitudes entre estas (5). 
)
θo 
 (5)
Comparándolas, se pudo hallar los valores de a y b correspondientes a cada M.
a= -α (6), b=0 (7)
Y utilizando la ecuación (6) se reemplaza los valores de a correspondientes cada M, para hallar la variable relacionada con fricción α.
· M1
-0,1568 = -α, α1 = 0,1568
· M2
-0,1132 = -α2 α2 = 0,1132
· M3
-0,1016 = -α3 α3 = 0,1016
Análisis: 
Al comparar los resultados y analizarlos se nota que no varía mucho, Por lo que se podría decir que los resultados de la variable relacionada con la fricción (α)se mantiene alrededor de 0,1 independientemente de la magnitud de la masa.
CONCLUSIONES
· El simulador PhET sirve de herramienta para estudiar el movimiento oscilatorio amortiguado, al tener entre sus funciones detener la simulación en un instante de tiempo para analizar el comportamiento a detalle.
· Mediante el simulador se concluye que la tensión en la cuerda es directamente proporcional a la longitud para la aparición de los armónicos.
· La masa también es directamente proporcional al tiempo que se demora en completar una oscilación.
· Al aumentar el número de armónicos en la cuerda se pudo observar que el crecimiento era lineal, debido a que la cuerda presentaba máximos y mínimos para la creación de cada armónico.
REFERENCIAS
[1] - Stewart I. Gauss. Investigación y Ciencia, nº 12, septiembre 1977, págs. 96-107
[2] – Io. Interpretación de variables en un experimento (PDF). R/. Aula virtual Universidad Industrial de Santander. (https://tic.uis.edu.co/ava/course/view.php?id=12590&section=3)
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[4] - PhET. INTERACTIVE SIMULATIONS. Masa resorte. R/. https://phet.colorado.edu/sims/html/masses- and-springs- basics/latest/masses-and-springs-basics_es.html.
[5] -PhET. INTERACTIVE SIMULATIONS. Lab de péndulo. R/ https://phet.colorado.edu/sims/html/pendulum- lab/latest/pendulum-lab_es.html
R2	7.4999999999999997E-2	0.1	0.125	0.1	5	0.17499999999999999	0.2	0.22500000000000001	0.25	0.27500000000000002	0.3	0.65	0.75	0.8833333333333333	0.94	1.02	1.0633333333333332	1.1299999999999999	1.2133333333333334	1.2633333333333334	1.3366666666666667	Masa(s)
Tiempo (s)
R1
R1	7.4999999999999997E-2	0.1	0.125	0.15	0.17499999999999999	0.2	0.22500000000000001	0.25	0.27500000000000002	0.3	0.97666666666666657	1.1733333333333331	1.3099999999999998	1.4466666666666665	1.57	1.6366666666666667	1.7599999999999998	1.8133333333333335	1.9066666666666665	2.0566666666666666	Masa(s)
Tiempo (s)
R3	7.4999999999999997E-2	0.1	0.125	0.15	0.17	499999999999999	0.2	0.22500000000000001	0.25	0.27500000000000002	0.3	0.5033333333333333	0.58333333333333337	0.64333333333333342	0.69999999999999984	0.77333333333333343	0.84333333333333327	0.89333333333333342	0.94666666666666666	0.98	1.03	Masa(s)
Tiempo (s)
R 1
M 1.2	7.4999999999999997E-2	0.1	0.125	0.15	0.17499999999999999	0.2	0.22500000000000001	0.25	0.27500000000000002	0.3	0.9538777777777776	1.3767111111111106	1.7160999999999995	2.0928444444444443	2.4649000000000001	2.6786777777777777	3.0975999999999995	3.2881777777777783	3.6353777777777774	4.2298777777777774	Masa(Kg)
Tiempo(s)
R 2
R 2.2	7.4999999999999997E-2	0.1	0.125	0.15	0.17499999999999999	0.2	0.22500000000000001	0.25	0.27500000000000002	0.3	0.42250000000000004	0.5625	0.78027777777777774	0.88359999999999994	1.0404	1.1306777777777777	1.2768999999999997	1.4721777777777778	1.5960111111111113	1.7866777777777778	Masa(Kg)
Tiempo (s)
R 3
R 3.2	7.4999999999999997E-2	0.1	0.125	0.15	0.17499999999999999	0.2	0.22500000000000001	0.25	0.27500000000000002	0.3	0.25334444444444443	0.34027777777777785	0.4138777777777779	0.48999999999999977	0.5980444444444446	0.71121111111111102	0.79804444444444456	0.89617777777777774	0.96039999999999992	1.0609	Masa(Kg)
TIempo (s)
M2= 1kg	0	1.88	3.68	7.35	9.1300000000000008	11.45	12.68	14.58	45	34	25	18	15	12	10	8	Tiempo (s)
Angulo(°)
M3= 1.5Kg	0	1.86	3.7	5.54	7.32	9.16	10.94	12.74	45	35	28	24	20	17	14	12	Tiempo (s)
Angulo(°)
M1= 0.5 Kg	0	1.9	3.7	5.58	7.41	9.9	10.9	12.68	45	30	20	15	12	10	8	5	Tiempo (s)
Angulo(°)
M2= 1kg	0	1.88	3.68	7.35	9.1300000000000008	11.45	12.68	14.58	0	-0.28030196515415839	-0.58778666490211895	-0.916290731874155	-1.0986122886681098	-1.3217558399823195	-1.5040773967762742	-1.7272209480904839	Tiempo (s)
IN(θ/θ0)
M1= 0.5 Kg	0	1.9	3.7	5.58	7.41	9.9	10.9	12.68	0	-0.40546510810816444	-0.81093021621632877	-1.0986122886681098	-1.3217558399823195	-1.5040773967762742	-1.7272209480904839	-2.1972245773362196	Tiempo (s)
IN(θ/θ0)
M3= 1.5Kg	0	1.86	3.7	5.54	7.32	9.16	10.94	12.74	0	-0.25131442828090605	-0.47445797959511582	-0.62860865942237421	-0.81093021621632877	-0.97344914571410368	-1.1676051601550612	-1.3217558399823195	Tiempo (s)
IN(θ/θ0)
R 2
R 2.2	y = 5,8768x - 0,0067
R² = 0,9957
7.4999999999999997E-2	0.1	0.125	0.15	0.17499999999999999	0.2	0.22500000000000001	0.25	0.27500000000000002	0.3	0.42250000000000004	0.5625	0.78027777777777774	0.88359999999999994	1.0404	1.1306777777777777	1.2768999999999997	1.4721777777777778	1.5960111111111113	1.7866777777777778	Masa(Kg)
Tiempo(s)
R 1
M 1.2	y = 13,669x - 0,0095
R² = 0,9934
7.4999999999999997E-2	0.1	0.125	0.15	0.17499999999999999	0.2	0.22500000000000001	0.25	0.27500000000000002	0.3	0.9538777777777776	1.3767111111111106	1.7160999999999995	2.0928444444444443	2.4649000000000001	2.6786777777777777	3.0975999999999995	3.2881	777777777783	3.6353777777777774	4.2298777777777774	Masa(kg)
Tiempo(s)
R 3
R 3.2	y = 3,6503x - 0,0322
R² = 0,9976
7.4999999999999997E-2	0.1	0.125	0.15	0.17499999999999999	0.2	0.22500000000000001	0.25	0.27500000000000002	0.3	0.25334444444444443	0.34027777777777785	0.4138777777777779	0.48999999999999977	0.5980444444444446	0.71121111111111102	0.798044444444444560.89617777777777774	0.96039999999999992	1.0609	Masa(kg)
TIempo (s)
M2= 1kg	y = -0,1132x - 0,0696
R² = 0,9932
0	1.88	3.68	7.35	9.1300000000000008	11.45	12.68	14.58	0	-0.28030196515415839	-0.58778666490211895	-0.916290731874155	-1.0986122886681098	-1.3217558399823195	-1.5040773967762742	-1.7272209480904839	Tiempo(s)
IN(θ/θ0)
M1= 0.5 Kg	y = -0,1568x - 0,1127
R² = 0,9761
0	1.9	3.7	5.58	7.41	9.9	10.9	12.68	0	-0.40546510810816444	-0.81093021621632877	-1.0986122886681098	-1.3217558399823195	-1.5040773967762742	-1.7272209480904839	-2.1972245773362196	Tiempo (s)
IN(θ/θ0)
M3= 1.5Kg	y = -0,1016x - 0,0525
R² = 0,9958
0	1.86	3.7	5.54	7.32	9.16	10.94	12.74	0	-0.25131442828090605	-0.47445797959511582	-0.62860865942237421	-0.81093021621632877	-0.97344914571410368	-1.1676051601550612	-1.3217558399823195	Tiempo(s)
IN(θ/θ0)