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Soluciones a los ejercicios MATEMATICA II UNAJ 
 
Soluciones a los ejercicios 
Cónicas, cuádricas y curvas parametrizadas 
 
23. a. Elipse centro  4;1 , focos  4 5;1  ,  4 5;1  
b. Parábola vértice 
4
;0
3
 
 
 
, foco 
4
; 2
3
 
  
 
, directriz 2y  
c. Hipérbola centro  1;0 , focos  1; 5 
d. Circunferencia centro 
5
1;
2
 
 
 
, radio 
3
2
r  
24. a. 
2( 3) 12( 4)y x   b. 
2 2( 1) ( 1)
1
16 25
x y 
  
c. 
2 2 4x y  d. 
2 2( 3) ( 4) 16x y    
25. Hay dos opciones: con directriz 3y   , la ecuación es  
2
2 5 1y x   . Si la directriz 
es 7y  , la ecuación es  
2
45 18 1y x   . 
26. a. Hiperboloide de una hoja, centro (0;0;0) , eje de simetría y . 
b. Cilindro parabólico paralelo al eje x . 
c. Paraboloide elíptico, vértice , eje de simetría x . 
d. Hiperboloide de dos hojas, centro (0;3;0) , eje de simetría y . 
e. Cilindro circular, radio 1, eje de simetría paralelo al eje z . 
f. Esfera centro ( 2;0;1) , radio 3. 
g. Cono elíptico, centro (0;1;0) , eje de simetría paralelo al eje z . 
h. Cilindro hiperbólico paralelo al eje y . 
i. Paraboloide hiperbólico, vértice (0;0;0) . 
(0;0;0)
Soluciones a los ejercicios MATEMATICA II UNAJ 
 
27. El diámetro de la circunferencia a la altura de 85 metros es de 51,93 metros. 
28. a. Segmento de la recta 2 7x y  , entre los puntos ( 3;5), (5;1) . 
b. Porción de espiral sobre el cilindro 2 2 1x z  , entre los puntos    1;0;0 , 1;3 ;0 
c. Porción de la parábola 
2( 1) 2y x   , entre los puntos  22
1 1
1; 2 , 1; 2e e
e e
 
    
 
 
29. a. La parábola 
21y x  b.  1;0 c. 0;0 
d. Para 
2
t

 , con velocidad 1;0 , y para 
3
2
t

 , con velocidad 1;0 . 
30. a. 
3
0
2
t

  , b. 2 cos( ), 2
2
y t t

    , 
c. 
5
1 2cos(2 ),
2 4
x t t
 
     , d. 
 
 
2
2
1 2cos
2 sen
x t
y t


   

 
 
31. a.    2;7 , 2;7 
b. Para 2t  , (2) 0; 1r   , '(2) 3;0r   ; para 1t  , (1) 2;1r  , '(1) 0; 4r   ; para 
3t  , (3) 2;1r   , '(3) 0;4r  . 
c. En 2 3t   ,  ' 2 3 6; 4 3r    ; en 2 3t   ,  ' 2 3 6;4 3r   . 
32. a. 
15 5 15,4e e m ≅
15 5 15,4e e m . b. 20m. c. 10m. d. 
110 10 23,5e e m ≅
110 10 23,5e e m . 
33. a. 
1
2
L  ; b. 24L  ; c. 2 1L e 