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5- Integrales dobles y triples

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Integrales múltiples: integral doble MATEMATICA II UNAJ 
 
 
1 
 
Integrales dobles 
Iniciaremos este estudio a partir de una situación particular. Supongamos que tenemos una 
función ( , )f x y continua en un rectángulo  2( , ) : ;R x y a x b c y d     , ℝ 2( , ) : ;R x y a x b c y d      y además 
se cumple ( , ) 0f x y  para todos los puntos ( , )x y R . Queremos calcular el volumen del 
sólido  3( , , ) : ( , ) ; 0 ( , )V x y z x y R z f x y    ℝ 3( , , ) : ( , ) ; 0 ( , )V x y z x y R z f x y     , es decir, el sólido encima del 
rectángulo, debajo de la superficie gráfica de ( , )f x y . 
 
 
 
 
 
 
Para conseguir una aproximación del volumen, podemos subdividir al rectángulo R en 
rectángulos más chicos, elegir un punto en cada uno de esos rectángulos, y armar un prisma 
que tenga a este rectángulo como base, y su altura esté dada por el valor de la función f 
evaluada en el punto. Al sumar los volúmenes de todos esos prismas, tendríamos un valor 
aproximado para el volumen del sólido V . 
En la figura se muestra uno de esos prismas. El 
punto elegido en el rectángulo chico es el punto 
medio. Sobre este rectángulo se construyó el 
prisma, cuya altura es igual al valor de f en el 
punto medio del rectángulo base. 
 
Siguiendo este razonamiento, si por ejemplo el número de rectángulos 
en que se subdivide a R es 9, los prismas obtenidos se ven de esta 
manera. 
A medida que la cantidad de rectángulos se haga mayor, la 
aproximación para el volumen de V irá mejorando. 
 
Usaremos una notación más precisa para representar este procedimiento. 
Integrales múltiples: integral doble MATEMATICA II UNAJ 
 
 
2 
 
Subdividimos a R en pequeños rectángulos, usando una red de 
rectas paralelas a los ejes coordenados. Estos rectángulos forman 
una partición de R . Llamamos norma de la partición al número 
 max ,siendo la diagonal del -ésimo rectángulok kP d d k . 
El área de uno de esos rectángulos, de lados x , y es 
A x y    . Si numeramos a cada uno de los rectángulos, sus áreas son 1 2, ,..., nA A A   , 
donde kA es el área del k-ésimo rectángulo. 
Elegimos un punto ( , )k kx y en el k-ésimo rectángulo, evaluamos f en ese punto para obtener 
la altura del prisma. Luego, el volumen del prisma que tiene a ese rectángulo como base es 
( , )k k kf x y A . La suma de los volúmenes de los n prismas se escribe: 
1
( , )
n
n k k k
k
S f x y A

  
Esta suma se conoce como suma de Riemann sobre el rectángulo R . Se puede demostrar que, 
si al aumentar la cantidad de rectángulos la norma de la partición tiende a 0, entonces el 
límite de la suma es igual al volumen del sólido V . Lo notamos: 
1
0 0
lim lim ( , ) ( )
n
n k k k
n n
k
P P
S f x y A Vol V
 

 
   
Cuando existe el límite de las sumas nS , sin importar qué partición se elija para R , se dice 
que la función f es integrable, mientras que al límite se lo conoce como integral doble de f 
sobre R , y se representa como 
( , )
R
f x y dA o ( , )
R
f x y dxdy 
Se puede demostrar que si ( , )f x y es una función continua en R , entonces es integrable; y 
que no hace falta pedir la condición ( , ) 0f x y  (en ese caso, se puede resolver la integral 
doble, pero el resultado no representa un volumen). 
 
Cálculo de la integral doble 
Ya definimos una integral doble, ahora estudiaremos cómo se calculan en la práctica. Primero 
veremos cómo calcular una integral doble cuando la región de integración es un rectángulo, y 
luego integraremos en regiones más complejas. 
Integrales múltiples: integral doble MATEMATICA II UNAJ 
 
 
3 
 
Teorema de Fubini: Si ( , )f x y es continua en la región rectangular : ,R a x b c y d    , 
entonces ( , ) ( , ) ( , )
d b b d
R c a a c
f x y dA f x y dxdy f x y dydx      . 
Es decir que las integrales dobles sobre rectángulos se calculan mediante integrales iteradas 
(integrando respecto de una variable a la vez), y en cualquier orden de integración. 
 
Ejemplo 
Calcular mediante una integral doble, el volumen del sólido 
sobre el rectángulo 0 1, 0 2x y    , debajo del plano de 
ecuación 4 2z x y   . 
Si consideramos como la función a ( , ) 4 2f x y x y   , esta es 
continua, y se puede comprobar que ( , ) 0f x y  para todos los 
puntos del rectángulo 0 1, 0 2x y    . Por lo tanto, el 
volumen se calcula por medio de la integral doble ( , )
R
f x y dA , donde R es el rectángulo. 
Haciendo uso del teorema de Fubini, a esta integral la podemos escribir como 
2 1
0 0
(4 2 )x y dxdy   , o como 
1 2
0 0
(4 2 )x y dydx   . 
Resolvemos la primera integral doble, de la siguiente forma. 
   
2 1 2 2
1
2 2 2
0
0 0 0 0
2
2 2 2 2
0 0
(4 2 ) 4 (4 1 1 1) (4 0 0 0)
2 0
(3 ) 3 3 2 3 0 4
2 2 2
x
x
y
y
x y dxdy x x yx dy y y dy
y
y dy y




               
     
               
     
   

 
El volumen del sólido es igual a 4 (si las variables ,x y estaban dadas en metros) metros 
cúbicos. 
Está claro que el resultado de la integral doble no puede depender del orden en que se integra. 
Dejamos como ejercicio resolver la integral 
1 2
0 0
(4 2 )x y dydx   , y verificar que también es 4. 
Integrales múltiples: integral doble MATEMATICA II UNAJ 
 
 
4 
 
Ejercicios 
1. Evaluar las integrales iteradas: 
a. 
4 4
1 0
2
x
y dxdy
 
 
 
  
b.  
ln 2 ln5
2
0 1
x ye dxdy  
c. 
1 1
0 0
1
y
dxdy
xy
 
 
 
  
d.  
2 2
0 1
sen( )y x dydx


 
2. Graficar el sólido limitado por debajo por el rectángulo 0 1, 0 2x y    , y por 
arriba por la superficie 24z y  ; y calcular su volumen mediante una integral doble. 
 
 
En el caso de que la región en la que se integra no sea un rectángulo, tendremos otra 
estrategia para plantear y calcular la integral doble. Veamos un ejemplo de región no 
rectangular. 
Ejemplo 
Sea R la región triangular acotada por las rectas 1, 0,x y y x   . Completar la 
descripción  2( , ) ,... ..., ... ...R x y x y     ℝ 2( , ) ,... ..., ... ...R x y x y      con límites adecuados para las variables. 
Lo primero que haremos es graficar la región. Lo siguiente es decir 
que la descripción 0 1, 0 1x y    NO ES CORRECTA. Al 
plantearlo así, estaríamos describiendo al cuadrado    0;1 0;1 , no al 
triángulo. 
Lo que sí podemos hacer es describir a una de las dos variables entre dos constantes. Por 
ejemplo, en la región tenemos 0 1x  . Ahora bien, para cada x en ese intervalo, el valor de 
y está entre dos números que dependen de x . 
Gráficamente, tomando un x fijo entre 0 y 1, la recta vertical con esa 
abscisa “entra” a la región R por un punto en la recta 0y  , y “sale” 
por un punto en la recta y x . Por lo tanto, podemos escribir: 
 2( , ) : 0 1, 0R x y x y x     ℝ 2( , ) : 0 1, 0R x y x y x      . 
Integrales múltiples: integral doble MATEMATICA II UNAJ 
 
 
5 
 
También se puede describir a la variable y entre constantes, y a la x entre dos expresiones 
que dependen de y . 
Para un y fijo entre 0 y 1, la recta horizontal con esa ordenada entra y 
sale de la región R por un punto de la recta y x , y otro punto en la 
recta 1x  . Luego, se tiene  2( , ) : 0 1, 1R x y y y x     ℝ 2( , ) : 0 1, 1R x y y y x      como 
otra posible descripción. 
En conclusión, a la región triangular la describimos de dos maneras: 
   2 2( , ) : 0 1, 0 ( , ) : 0 1, 1R x y x y x x y y y x           ℝ   2 2( , ) : 0 1, 0 ( , ) : 0 1, 1R x y x y x x y y y x           ℝ   2 2( , ) : 0 1, 0 ( , ) : 0 1, 1R x y x y x x y y y x            
 
Teorema de Fubini (regiones no rectangulares): Sea ( , )f x y continua en una región R . 
 Si R está definida por 1 2, ( ) ( )a x b g x y g x    , con 1g y 2gcontinuas en  ,a b , 
entonces 
2
1
( )
( )
( , ) ( , )
g xb
R a g x
f x y dA f x y dydx   . 
 Si R está definida por 1 2, ( ) ( )c y d h y x h y    , con 1h y 2h continuas en  ,c d , 
entonces 
2
1
( )
( )
( , ) ( , )
h yd
R c h y
f x y dA f x y dxdy   . 
 
Ejemplo 
Plantear y resolver de dos maneras diferentes la integral 2 2(3 )
R
x y dA  , siendo R la 
región triangular acotada por las rectas 1, 0,x y y x   . En caso de ser posible, 
interpretar geométricamente el resultado. 
La región es la misma que analizamos antes. Vimos que se podía describir como: 
   2 2( , ) : 0 1, 0 ( , ) : 0 1, 1R x y x y x x y y y x            . 
Entonces ya tenemos los límites de integración para plantear el cálculo de la integral doble en 
los dos órdenes. Una posibilidad es 
1
2 2
0 0
(3 )
x
x y dydx   , la otra es 
1 1
2 2
0
(3 )
y
x y dxdy   . 
Integrales múltiples: integral doble MATEMATICA II UNAJ 
 
 
6 
 
Resolvemos de las dos maneras: 
1 1 13 3 3
2 2 2 3 2
0 0 0 00
11
3 2 4
0 0
0
(3 ) 3 3 3 0 0
3 3 3
4 3 1 3 1 9 2 7
3
3 2 3 2 3 6 6
y x
x
y
y x
x y dydx y x y dx x x x dx
x x dx x x


      
                   
      
   
          
   
   

 
1
1 1 1 13 3 3
2 2 2 2 3
0 0 0
1
1 3
2 3 2 4
0 0
1
(3 ) 3 3 1 1 3
3 3 3
8 4 8 3 1 8 1 3 1 8 3 16 9 7
3
3 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 2 6 6
x
y x y
x y
x y dxdy x y x dy y y y dy
y
y y y dy y y y


      
                    
      
   
                 
   
   

 
Por supuesto que por los dos caminos el resultado obtenido es el mismo. ¿Qué representa 
geométricamente? Por lo visto, si se cumple 2 2( , ) 3 0f x y x y    en la región R , la 
integral doble calcula el volumen de un sólido. 
Grafiquemos en la región: 
Como la gráfica de la función queda por encima del plano xy , 
el resultado de la integral doble representa el volumen del 
sólido encima del triángulo R , debajo del paraboloide 
2 23z x y   . 
 Propiedades de la integral doble 
Si ( , )f x y y ( , )g x y son continuas en una región del plano R , se cumple: 
Múltiplo constante: ( , ) ( , )
R R
c f x y dA c f x y dA    para todo cℝ 
Suma y resta:  ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
R R R
f x y g x y dA f x y dA g x y dA     
Dominación: ( , ) ( , )
R R
f x y dA g x y dA  si ( , ) ( , )f x y g x y en R 
Aditividad: 
1 2
( , ) ( , ) ( , )
R R R
f x y dA f x y dA f x y dA    si 1 2R R R  
Integrales múltiples: integral doble MATEMATICA II UNAJ 
 
 
7 
 
No siempre es posible describir a las regiones planas de ambas maneras (con x entre 
constantes e y entre funciones; o con y entre constantes, x entre funciones). Ciertas 
regiones sólo se pueden describir de una de las dos formas; y hay regiones sólo pueden ser 
descritas si se subdividen en varias subregiones. En algunas ocasiones, es más conveniente 
plantear a la integral en uno u otro orden. 
 
Ejemplo 
Dada la integral doble: 
2
2 33
1
( , )
y
y
f x y dxdy


  , graficar la región de integración, y volver a 
plantear cambiando el orden en que se integra. 
La región de integración es 
 2 2( , ) : 1 3, 2 3R x y y y x y       ℝ 2 2( , ) : 1 3, 2 3R x y y y x y        . Su 
representación gráfica muestra que las curvas 
2 , 2 3x y x y   se cortan en los puntos (1; 1) 
y (9;3) . Como los límites para y son 1 y 3, R es 
la región limitada por la parábola 2x y , y la 
recta 2 3x y  . 
Para cambiar el orden de integración, debemos describir a la región R con x entre 
constantes, y con y entre funciones. Del gráfico extraemos que 0 9x  . Veamos por qué 
curvas entra y sale de la región una recta vertical para un x fijo entre 0 y 9.
 
Para un x fijo entre 0 y 1, la recta vertical entra a la 
región por la parábola, y sale también por la parábola. 
Pero para cualquier x fijo entre 1 y 9, una recta vertical 
entra por la recta y sale por la parábola. 
 
 
Entonces para poder describir vamos a dividir la región en dos regiones, como se muestra: 
una es 1R , donde 0 1x  , y la otra es 2R , con 1 9x  . La región original es la unión de 
estas dos subregiones. 
Integrales múltiples: integral doble MATEMATICA II UNAJ 
 
 
8 
 
 
Para un x fijo entre 0 y 1, la recta vertical entra a la región por la rama inferior de la parábola 
2x y , y sale por la rama superior de la misma, entonces x y x   . La descripción para 
la primera subregión es  21 ( , ) : 0 1,R x y x x y x      ℝ 21 ( , ) : 0 1,R x y x x y x       . 
Para un x fijo entre 1 y 9, una recta vertical entra a la región por la recta 2 3x y  , y sale 
por la rama superior de la parábola 2x y , entonces 
3
2
x
y x

  . La descripción para la 
segunda subregión es 22
3
( , ) :1 9,
2
x
R x y x y x
 
      
 
ℝ 22
3
( , ) :1 9,
2
x
R x y x y x
 
      
 
. 
 
Usando la propiedad de aditividad de las integrales dobles, invertimos el orden de integración 
de 
2
2 33
1
( , )
y
y
f x y dxdy


  de la siguiente manera: 
2
2 33 1 9
31 0 1
2
( , ) ( , ) ( , )
y x x
xxy
f x y dxdy f x y dydx f x y dydx

 
       
 
Ejercicios 
3. En las siguientes integrales dobles, trazar las regiones donde están planteadas, y 
evaluar las integrales. 
a. 
2 sen( )
0 0
cos( )
x
y x dydx

  
b. 
4
1 0
x
y
y
e dxdy  
c. 
ln(8) ln( )
1 0
y
x ye dxdy  
d. 
1 2
0
x
x
y dydx

 
Integrales múltiples: integral doble MATEMATICA II UNAJ 
 
 
9 
 
4. Trazar la región de integración y volver a plantear invirtiendo el orden de integración. 
a. 
1
0
( , )
y
y
f x y dxdy  
b. 
1
0 1
( , )
xe
f x y dydx  
c. 
211
0 1
( , )
y
y
f x y dxdy


  
d. 
1 4 2
1 1
( , )
x
x
f x y dydx

 
 
5. Calcular el volumen del sólido limitado por los planos 0x  , 0y  , 2 2x y z   , 
2 4 4x y z   en el primer octante. 
 
6. El sólido graficado está limitado por los planos 
0, 0, 0, 2x y z x y     , y el cilindro 24z x  . 
Calcular su volumen. 
 
7. Graficar el sólido cuyo volumen se calcula con la integral 
2
1 1
0
(1 )
x
y dydx  . Resolver la 
integral. 
 
Área de regiones planas 
En el caso particular de la función constante ( , ) 1f x y  , el 
volumen acotado encima de una región plana R y debajo de la 
gráfica de f se calcularía multiplicando el área de la base del 
sólido por la altura constante del sólido. 
Entonces el área de la región plana R coincide (numéricamente, no 
tiene las mismas unidades) con el volumen del sólido sobre esa 
región y debajo del plano 1z  . Ya sabemos cómo calcular el volumen de ese sólido por medio 
de la integral ( , )
R
f x y dA , que en este caso sería 1
R
dA . Luego, tenemos que: 
( ) 1
R
Area R dA  
Integrales múltiples: integral doble MATEMATICA II UNAJ 
 
 
10 
 
Ejemplo 
Calcular el área de la región plana limitada por las curvas 2x y , 2 3x y  . 
La región es la misma del último ejemplo, en el que 
buscábamos cambiar el orden en que aparecía descrita. 
Podemos usar la descripción de la región 
 2 2( , ) : 1 3, 2 3R x y y y x y       ℝ 2 2( , ) : 1 3, 2 3R x y y y x y        , y también 
 2 2 3( , ) : 0 1, ( , ) :1 9,
2
x
R x y x x y x x y x y x
 
             
 
ℝ 2 2 3( , ) : 0 1, ( , ) :1 9,
2
x
R x y x x y x x y x y x
 
             
 
ℝ 2 2 3( , ) : 0 1, ( , ) :1 9,
2
x
R x y x x y x x y x y x
 
             
 
. 
Es más conveniente plantear la integral usando la primera descripción, dado que no 
tendremos que calcular una suma de dos integrales, y además los límites de integración son 
más sencillos. Luego: 
22 33
1
( ) 1
y
y
Area R dxdy


   . Resolvemos: 
   2
2
32 33 3 3 3
2 3 2 2
1 1 1 1
1 32
1 2 3 3 9 9 9 1 3
3 3 3
y
y
y
y
y
dxdy x dy y y dy y y


   
   
                
  
   
 
El área de la región es igual a 
32
3
 (unidades de longitud al cuadrado). 
 
Ejercicios 
8. Trazar la región limitada por las curvas. Expresar el área de cada región por medio de 
una integral doble, y resolverlas. 
a. La parábola 2x y y  , y la recta y x  . 
b. Las curvas x y , 0x  , 2x y  . 
c. Las rectas 2y x , 2x y , y la hipérbola 
2
y
x
 en el primer cuadrante. 
d. La curva ln( )y x , y las rectas 0y  , x e . 
 
Integrales múltiples: cambio de variables en la integral doble MATEMATICA II UNAJ 
 
 
11 
 
Coordenadas polares 
 
Ya conocemos el sistema de coordenadas cartesianas ( , )x y , con el cual podemos ubicar un 
punto en el plano. Estas dos coordenadas están relacionadas con la distancia del punto a cada 
uno de los ejes coordenados, y el signo de ellas depende de en cuál cuadrante está el punto. 
Pero estas coordenadas no son las únicas que pueden determinar la ubicación de un punto. 
Vamos a definir un nuevo sistema (de coordenadas polares) en el cual los datos serán: la 
distancia del punto al origen, y el ángulo que forma el segmento desde el origen al punto con 
el semieje x positivo, medido en radianes. Estas dos coordenadas son ,r  . La coordenada r 
debe ser mayor o igual a 0, y la coordenada  estará entre 0 y 2 . 
 
Existe una relación entre los dos sistemas de coordenadas. Las relaciones trigonométricas se 
definían usando esta misma construcción: 
cos( )
x
r
  , sen( )
y
r
  . 
Se puede despejar para obtener cos( )x r   , sen( )y r   , y de esa manera pasar del 
sistema de coordenadas polares al sistema de coordenadas cartesianas. 
Si queremos pasar de coordenadas cartesianas a polares, debemos operar con ambas 
igualdades:    
 
 
 
sen
cos , sen
cos
x y y
tg
r r x

  

     (para 0x  ); y usando la 
identidad fundamental trigonométrica: 
     
2 22 2 2 2 2 2cos( ) sen( ) cos ( ) sen ( )x y r r r r           . 
Luego, se tiene: 2 2r x y  , arctg
y
x

 
  
 
. 
 
Integrales múltiples: cambio de variables en la integral doble MATEMATICA II UNAJ 
 
 
12 
 
Ejemplo 
Completar la tabla pasando de un sistema al otro. 
Coordenadas cartesianas Gráfico Coordenadas polares 
Punto  2;3 
Semirrecta y x , con 0x  
Circunferencia 2 2 1x y  
Circunferencia 2 2 2x y y  
Región limitada por las rectas 
0,x y x  , y la 
circunferencia 2 2 1x y  en el 
primer cuadrante. 
 
 
 En este caso 2, 3x y   . Entonces 2 2( 2) 3 13r     , y 
3
arctg 123,7º
2

 
  
 
 ≅123,7° (pues el punto está en el segundo cuadrante). Como el ángulo 
debe darse en radianes, hacemos el pasaje: θ≅123,7°123,7º 0,69 rad
180º

  ≅123,7º 0,69 rad
180º

  . 
 Como y x , arctg =arctg(1) 45º rad
4
x
x


 
   
 
, (pues 0x  ). Además la distancia 
al origen puede ser cualquier número mayor o igual a 0, con lo cual 0r  . 
Integrales múltiples: cambio de variables en la integral doble MATEMATICA II UNAJ 
 
 
13 
 
 Para traducir 2 2 1x y  , reemplazamos:  2 2 2cos ( ) sen ( ) 1 1r r     . Por otro 
lado, el ángulo puede ser cualquiera, entonces 0 2   . 
 La ecuación 2 2 2x y y  es equivalente a 2 2( 1) 1x y   , por lo tanto es una 
circunferencia que tiene centro en (0;1) y radio 1. Para pasarla a polares, usamos la 
ecuación original: 2 2 22 2 sen( ) 2 sen( )x y y r r r         . Por estar todos 
sus puntos en el primer y el segundo cuadrante, 0    . Notar que la coordenada r 
no es constante, sino que depende del valor de  . 
 Las rectas se traducen como 
4

  y 
2

  , la circunferencia como 1r  . Luego, la 
región se describe con 0 1,
4 2
r
 
    . 
Podemos decir que las circunferencias centradas en el origen, las circunferencias que pasan 
por el origen, las semirrectas por el origen, y las regiones circulares, tienen una descripción 
sencilla en el sistema polar. 
Ejemplo 
También hay curvas que no tendrían una ecuación simple en el sistema cartesiano, pero sí la 
tienen en el sistema polar. Si queremos graficar la curva de ecuación 1 sen( )r   , 
podríamos obtener las coordenadas cartesianas de algunos de sus puntos. Para eso 
completamos la siguiente tabla: 
 0
 6

 
4

 
3

 
2

 
2
3

 
3
4

 
5
6

 
 7
6

 
5
4

 
4
3

 
3
2

 
5
3

 
7
4

 
11
6

 
2
 
1 sen( )r  
 
1
 
0
,5
 
0
,2
9
 
0
,1
3
 
0
 
0
,1
3
 
0
,2
9
 
0
,5
 
1
 
1
,5
 
1
,7
1
 
1
,8
7
 
2
 
1
,8
7
 
1
,7
1
 
1
,5
 
1
 
cos( )x r  
 1
 
0
,4
3
 
0
,2
1
 
0
,0
7
 
0
 
-0
,0
7
 
-0
,2
1
 
-0
,4
3
 
-1
 
-1
,3
 
-1
,2
1
 
-0
,9
3
 
0
 
0
,9
3
 
1
,2
1
 
1
,3
 
1
 
sen( )y r  
 0
 
0
,2
5
 
0
,2
1
 
0
,1
2
 
0
 
0
,1
2
 
0
,2
1
 
0
,2
5
 
0
 
-0
,7
5
 
-1
,2
1
 
-1
,6
2
 
-2
 
-1
,6
2
 
-1
,2
1
 
-0
,7
5
 
0
 
 
Después ubicamos los puntos generados. En el gráfico se muestran las semirrectas para los 
valores de  elegidos (sólo está rotulada la que corresponde a 6  ), y los puntos en cada 
una de ellas, considerando el valor del radio hallado. También se puede recurrir a las 
coordenadas cartesianas para ubicar cada punto. Luego se unen los puntos graficados para 
obtener la curva. Esta se llama cardioide. 
Integrales múltiples: cambio de variables en la integral doble MATEMATICA II UNAJ 
 
 
14 
 
Notemos que la “traducción” de la 
ecuación 1 sen( )r   a coordenadas 
cartesianas es 2 2 2 2x y x y y    
(verificarlo). Sería muy difícil hallar los 
puntos de la curva mediante esa 
ecuación. 
 
 
 
Sustituciones en integrales dobles 
Ya conocemos el método de sustitución para integrales simples, en aquel se debía reescribir 
una integral planteada en términos de una variable x, en otra integral donde la nueva variable 
u aparecía sustituyendo mediante una transformación. 
Este método también puede aplicarse en integrales dobles, para transformar una integral 
planteada en las variables ( , )x y , en otra integral doble más sencilla. 
Supongamos que la región G en el plano uv se transforma por medio de las funciones 
continuas ( , )x g u v , ( , )y h u v en la región R del plano xy . Entonces hay una relación 
entre la integral de ( , )f x y en la región R, y la integral de la misma función pero planteada en 
las coordenadas ( , )u v en la región G: 
( , ) ( ( , ), ( , )) ( , )
xy uvR G
f x y dxdy f g u v h u v J u v dudv  
donde el factor ( , )J u v es el jacobiano de la transformación de coordenadas (llamado así en 
honor al matemático alemán Carl Jacobi). 
Definición: El jacobiano de la transformación de coordenadas ( , )x g u v , ( , )y h u v , es 
( , )
x y x y
J u v
u v v u
   
   
   
. 
 
Ejemplo 
Calcular el volumen del sólido limitado por la semiesfera 2 24z x y   y el plano 0z  . 
Integrales múltiples: cambio de variables en la integral doble MATEMATICA II UNAJ 
 
 
15 
 
Ya vimos que se puede calcular el volumen por medio de la integral doble ( , )
R
f x y dA , 
donde R es la región plana que corresponde a la sombra del sólido en el plano xy , y 
( , )z f x y es la superficie que acota por arriba al sólido. 
En este caso, tenemos 2 2( , ) 4f x y x y   , y la región R es un círculo de radio 2, que se 
puede describir como  2 2 2( , ) : 2 2; 4 4R x y x x y x         ℝ 2 2 2( , ) : 2 2; 4 4R x y x x y x          . Por lo tanto, el 
planteo de la integral es: 
2
2
2 4
2 2
2 4
Volumen 4
x
x
x y dydx

  
    . 
Se puede apreciar que la integral que queda tiene unaresolución bastante complicada. Vamos 
a aplicarle una sustitución, y las variables u,v serán las coordenadas polares ,r  . La región 
xyR se describe en polares como  2, ( , ) : 0 2; 0 2rG r r        ℝ 2, ( , ) : 0 2; 0 2rG r r         . 
Por otro lado, el jacobiano de la transformación se obtiene al derivar las funciones 
cos( )x r   , sen( )y r   , y aplicar la definición: 
     2 2( , ) cos( ) cos( ) sen( ) sen( ) cos ( ) sen ( )
x y x y
J r r r r r
r r
      
 
   
             
   
 
Luego,    
2
2
2 4 2 2
2 22 2
2 0 04
4 4 cos( ) sen( )
x
x
x y dydx r r r drd

  

  
           
Esta última integral doble es mucho más sencilla que la primera, y se puede mejorar aún más: 
   
2 2 2 2
2 2 2
0 0 0 0
4 cos( ) sen( ) 4r r r drd r r drd
 
              
Resolvemos: 
 
3
2
2
222 2 2 2
2
0 0 0 0 0
0
4 8 8 16
4
3 3 3 3
r
r r drd d d
  
 
  

     
   
 
El volumen del sólido es de 
16
3

. 
En general, siempre que hagamos un cambio de variables a coordenadas polares, el jacobiano es 
( , )J r r  . No hace falta calcularlo cada vez. 
Integrales múltiples: cambio de variables en la integral doble MATEMATICA II UNAJ 
 
 
16 
 
Ejemplo 
Calcular el área de la región limitada por la cardioide de ecuación polar 1 sen( )r   . 
La curva que limita es la que graficamos antes. Sabemos que encierra una región, por lo cual 
tiene sentido calcular su área. Además sabemos que la integral que calcula el área de una 
región plana R es 1 xy
R
dA . 
Como la descripción de la región por medio de coordenadas cartesianas es complicada, 
aplicaremos un cambio de variables a coordenadas polares, obteniendo: 
1 1
xy r
xy r
R G
dA r dA

   . 
La descripción de la región en coordenadas polares queda: 
 2, ( , ) : 0 1 sen( ); 0 2rG r r          ℝ 2, ( , ) : 0 1 sen( ); 0 2rG r r           . Luego, 
 
 
1 sen( ) 21 sen( )2 2 2 22
2
0 0 0 0 00
22
0 0
1 sen( ) 1
Area 1 2sen( ) sen ( )
2 2 2
1 1 cos(2 ) 1 sen(2 ) 1 3
1 2sen( ) 2cos( ) 2 2 2
2 2 2 2 4 2 2
r
r drd d d d
d
   


     
   
     


      
  
            
 
    

 
Ejercicios 
9. Calcular el volumen del sólido limitado por el semicono 2 2z x y  , y el 
paraboloide 2 22z x y   . 
10. Graficar la curva de ecuación polar 2 cos(2 )r  , y calcular el área que encierra. 
11. Calcular el área interior a la circunferencia 2 2 2x y y  , y exterior a la circunferencia 
2 2 1x y  . 
12. Para cada integral doble, graficar la región de integración y si fuera conveniente, 
volver a plantear haciendo un cambio de variables. Resolverlas. 
a. 
21 1
2 2
1 0
2
1
x
dydx
x y

  
  b.  
221
2 2
0
y
y
x y dxdy

  c. 
22 2
0 0
x x
y dydx

 
Integrales múltiples: Integrales triples MATEMATICA II UNAJ 
 
 
17 
 
Integrales triples 
Supongamos que queremos calcular la masa de un sólido V. Si la densidad fuera una constante 
 , sabemos que la masa se calcula multiplicando  por el volumen del sólido. 
Pero si la densidad es una función ( , , )x y z que toma distintos valores según el punto en el 
que se la evalúa, la masa no puede obtenerse por este método. En este caso, lo que se puede 
hacer es aproximar la masa total, por medio de la suma de las masas de pequeños sólidos. 
Sea V el prisma rectangular  3( , , ) : ; ;V x y z a x b c y d e z f       ℝ 3( , , ) : ; ;V x y z a x b c y d e z f        . 
Subdividimos a V en pequeños prismas, usando una red de planos paralelos a los planos 
coordenados. Estos prismas forman una partición de V . Definimos a la norma de la partición 
como el número  max ,siendo la diagonal del -ésimo prismak kP d d k . 
El volumen de cada uno de esos prismas es V x y z     . Si numeramos a cada uno de los 
prismas, sus volúmenes son 1 2, ,..., nV V V   , donde kV es el área del k-ésimo prisma. 
Elegimos un punto ( , , )k k kx y z en el k-ésimo prisma, evaluamos ( , , )k k kx y z , que es el valor 
de la densidad en ese punto del prisma. Si el prisma es lo suficientemente chico, su masa 
puede aproximarse por medio del producto Mk≅ ( , , )k k k k kM x y z V  . La suma de los valores 
aproximados de las masas de los n prismas se escribe: 
1
( , , )
n
n k k k k
k
S x y z V

  
Esta suma es una suma de Riemann sobre el prisma V . Se puede demostrar que, si al 
aumentar la cantidad de prismas la norma de la partición tiende a 0, entonces el límite de la 
suma es igual a la masa del sólido V . Lo notamos: 
1
0 0
lim lim ( , , ) ( )
n
n k k k k
n n
k
P P
S x y z V Masa V
 

 
   
Cuando existe el límite de las sumas nS , sin importar qué partición se elija para V , se dice 
que la función  es integrable, mientras que al límite se lo conoce como integral triple de  
sobre V , y se representa como 
( , , )
V
x y z dV 
Si la función que se integra no es positiva, pero es continua, la integral triple se puede calcular, 
pero el resultado no representa la masa del sólido V. 
Integrales múltiples: Integrales triples MATEMATICA II UNAJ 
 
 
18 
 
Para evaluar una integral triple, incluso si el sólido V no es un prisma, aplicamos una versión 
tridimensional del teorema de Fubini, para obtenerla por medio de tres iteraciones simples. 
Como en las integrales dobles, existe un procedimiento geométrico para definir los límites de 
integración para cada una de las integrales simples. Este consiste en definir un plano de 
proyección (uno de los planos coordenados), describir a una de las variables entre dos 
funciones de las otras dos variables; y a la región plana de proyección (la “sombra” que 
proyecta el sólido en ese plano) de la manera ya estudiada antes. 
 
Volumen de un sólido 
Al integrar sobre un sólido a la función densidad se obtiene la masa del sólido. En el caso de 
que la densidad sea constante igual a 1, esa masa coincide (numéricamente, no en las mismas 
unidades) con el volumen del sólido, puesto que en ese caso Masa=1 Volumen . Entonces 
tenemos: Volumen( ) 1
V
V dV  . 
Ejemplo 
Calcular la masa y el volumen del sólido limitado por los planos 
0, 0, 0, 2 2, 1x y z y z x z       , si la longitud se mide en cm, y la densidad en cada 
punto está dada por la función 2( , , )x y z y  (en 3/g cm ). 
La masa se calcula por medio de la integral 2
V
y dV , y el volumen mediante 1
V
dV . 
Graficamos el sólido para poder visualizar en qué plano 
convendrá proyectar, es decir, mirar su sombra proyectada 
en uno de los planos coordenados. 
Si proyectamos en el plano xy , hay que describir a la 
variable z entre dos funciones de ,x y . De igual manera, al 
proyectar en el plano yz , hay que describir a la variable x 
entre dos funciones de ,y z ; y si se proyecta en el plano xz , 
se debe describir a la variable y entre dos funciones de ,x z . 
No todos los sólidos son proyectables en los tres planos coordenados. 
En este caso, la sombra del sólido en el plano yz o en el plano xz es un triángulo, mientras 
que en el plano xy se proyecta un rectángulo. 
Integrales múltiples: Integrales triples MATEMATICA II UNAJ 
 
 
19 
 
Si elegimos al plano xy como plano de proyección, deberíamos describir a z entre dos 
funciones que dependan de las variables ,x y . Pero aparece un problema: dependiendo de 
qué punto del rectángulo  2( , ) : 0 1;0 2xyR x y x y     ℝ 2( , ) : 0 1;0 2xyR x y x y      se elija, una recta paralela al 
eje z que pase por ese punto, entrará al sólido por el plano 0z  , y saldrá del sólido por el 
plano 1z x  , o por el plano 1
2
y
z   . Es decir, el sólido tiene dos “techos” diferentes. 
Cuando pasa eso, se dice que el sólido no es proyectable en dichoplano. 
Elijamos alguno de los otros dos planos coordenados. Si por ejemplo, se proyecta en el plano 
yz , la sombra del sólido en ese plano es el triángulo graficado a continuación. 
Para todo punto ( , ) yzy z R , una recta paralela al eje x entra 
al sólido por el plano 0x  , y sale por el plano 1x z  . 
Entonces la primera variable que se describe es 0 1x z   . 
Falta describir a la región de proyección. Ya vimos cómo 
describir una región plana, en este caso se puede hacer así: 
 2( , ) : 0 1, 0 2 2yzR y z z y z      ℝ 2( , ) : 0 1, 0 2 2yzR y z z y z       . 
Ya podemos plantear el cálculo de las dos integrales triples (la que calcula la masa y la que 
calcula el volumen), y resolverlas. 
2 21 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 3
1
2 2 2
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
11 13 4 5
0 0 0
Masa (1 ) (1 )
3
(2 2 ) 8(1 ) 8(1 ) 8
(1 )
3 3 15 15
zz z z z
z y
y dxdydz y x dydz y z dydz z dz
z z z
z dz dz
   

      
  
    

       
 
 
1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1
1 2 2
0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
11 1 3
2
0 0 0
Volumen 1 (1 ) (1 )
2(1 ) 2
(2 2 )(1 ) 2(1 )
3 3
z z z z
z z
dxdydz x dydz z dydz y z dz
z
z z dz z dz
   
 
      

      

       
 
 
La masa del sólido es de 
8
0,53
15
g≅
8
0,53
15
g , y el volumen es 
32 0,67
3
cm≅
32 0,67
3
cm . 
 
Integrales múltiples: Integrales triples MATEMATICA II UNAJ 
 
 
20 
 
Ejemplo 
Describir al sólido limitado por las superficies 20, 0, , 1x z x y y z     , y plantear el 
cálculo de la integral triple ( , , )
V
f x y z dV , de todas las maneras posibles. 
El sólido tiene la siguiente forma: 
(Es la imagen de la portada). Tres de sus caras son planos, y la 
cuarta cara es un cilindro parabólico. 
Para poder describirlo, debemos elegir en cuál plano coordenado 
proyectar. Se puede ver que son posibles las tres proyecciones. 
 Proyectando en el plano xy : 
La sombra está limitada por dos segmentos y una porción de 
parábola. Para todo ( , ) xyx y R , se cumple 0 1z y   . 
El cilindro se proyecta en la parábola 2x y ; la intersección de los 
planos 0, 1z y z   se proyecta en la recta 1y  ; y el plano 
0x  se proyecta en la recta con esa misma ecuación. 
Esta región puede ser descrita de dos maneras: 
 2 2( , ) : 0 1; 0xyR x y y x y     ℝ 2 2( , ) : 0 1; 0xyR x y y x y      ,  2( , ) :0 1; 1xyR x y x x y     ℝ 2( , ) : 0 1; 1xyR x y x x y      . 
Por lo tanto, el planteo de la integral triple es: 
2 11
0 0 0
( , , )
y y
f x y z dzdxdy

   , o 
11 1
0 0
( , , )
y
x
f x y z dzdydx

   . 
 
 Proyectando en el plano yz : 
La sombra es un triángulo, y para todo ( , ) yzy z R , se cumple 
20 x y  . 
El plano 1y z  se proyecta en la recta con esa misma ecuación; 
el plano 0z  se proyecta en la recta con esa misma ecuación; y la 
Integrales múltiples: Integrales triples MATEMATICA II UNAJ 
 
 
21 
 
intersección del cilindro 2x y con el plano 0x  se proyecta en la recta 0y  . 
Esta región puede ser descrita de dos maneras: 
   2 2( , ) : 0 1; 0 1 ( , ) : 0 1; 0 1yzR y z y z y y z z y z             ℝ   2 2( , ) : 0 1; 0 1 ( , ) : 0 1; 0 1yzR y z y z y y z z y z             ℝ   2 2( , ) : 0 1; 0 1 ( , ) : 0 1; 0 1yzR y z y z y y z z y z              . 
Por lo tanto, el planteo de la integral triple es: 
211
0 0 0
( , , )
y y
f x y z dxdzdy

   , o 
2
1 1
0 0 0
( , , )
yz
f x y z dxdydz

   . 
 
 Proyectando en el plano xz : 
La sombra está limitada por dos segmentos y una porción de 
parábola, para todo ( , ) xzx z R , se cumple 1x y z   . 
El plano 0z  se proyecta en la recta con esa misma ecuación, el 
plano 0x  proyecta en la recta con esa misma ecuación, y la 
intersección del cilindro 2x y con el plano 1y z  se proyecta 
en la parábola de ecuación 2(1 )x z  . 
Esta región puede ser descrita de dos maneras: 
   2 2 2( , ) : 0 1; 0 (1 ) ( , ) : 0 1; 0 1xzR x z z x z x z x z x             ℝ   2 2 2( , ) : 0 1; 0 (1 ) ( , ) : 0 1; 0 1xzR x z z x z x z x z x             ℝ   2 2 2( , ) : 0 1; 0 (1 ) ( , ) : 0 1; 0 1xzR x z z x z x z x z x             
Por lo tanto, el planteo de la integral triple es: 
2(1 )1 1
0 0
( , , )
z z
x
f x y z dydxdz
 
   , o 
1 1 1
0 0
( , , )
x z
x
f x y z dydzdx
 
   . 
Finalmente, hay seis maneras equivalentes de plantear el cálculo de la integral triple sobre el 
sólido: 
2 2
2 2
1 1 11 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0
(1 )1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0
( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , ) ( , , )
y y y y y
V x
y zz z x z
x x
f x y z dV f x y z dzdxdy f x y z dzdydx f x y z dxdzdy
f x y z dxdydz f x y z dydxdz f x y z dydzdx
  
   
   
  
         
        
 
Integrales múltiples: Integrales triples MATEMATICA II UNAJ 
 
 
22 
 
 
Ejercicios 
 
13. Calcular la masa del sólido limitado en el primer octante por los planos 
0, 0, 2 2, 2 2 4x y x y z x y z        , si la función densidad es ( , , )x y z x  . 
14. Graficar el sólido cuyo volumen se calcula por medio de la integral 
21 1
0 0 0
x x
dzdydx

   . 
Resolver la integral. 
 
15. El sólido graficado tiene como caras a los planos 
0, 1z x z   , y al cilindro parabólico 2x y . 
Plantear el cálculo de la integral triple 
V
z dV , en 
todos los órdenes posibles de integración. Elegir uno 
de los planteos y resolver la integral. 
 
16. Calcular la masa del sólido limitado por el semicono 2 2z x y  y el plano 1z  , si 
la densidad en cada punto es 2 2( , , )x y z x y   . 
 
17. Graficar el tetraedro de vértices (0;0;0), (1;1;0), (0;2;0), (0;0;2) , y plantear la integral 
triple que calcula su volumen. ¿Se puede proyectar en todos los planos coordenados? 
Resolverla. 
 
18. Calcular el volumen del sólido de caras 
2 2 2 20, 0, 0, 1, 1x y z x y x z       en el primer 
octante.

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