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Aritmética Quinto Ano

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Aritmética
Quinto Año
Índice
ARITMÉTICA
QUINTO AÑO DE SECUNDARIA
 ● Lógica Proposicional I ..................................... 7
 ● Lógica Proposicional II .................................... 14
 ● Conjuntos I ...................................................... 21
 ● Conjuntos II ..................................................... 28
 ● Numeración I: sistema decimal ............................ 35
 ● Numeración II ................................................... 41
 ● Numeración III ................................................ 47
 ● Repaso ............................................................. 51
 ● Adición y sustracción ....................................... 55
 ● Multiplicación y división .................................. 61
 ● Progresión aritmética ........................................ 67
 ● Progresión geométrica ...................................... 73
 ● Divisibilidad I ................................................... 79
 ● Divisibilidad II ................................................. 85
 ● Números primos ............................................... 91
 ● Repaso ............................................................. 97
Nuevo texto
 ● MCM y MCD I ................................................ 99
 ● MCM y MCD II ............................................... 105
 ● Números racionales (Q) ................................... 111
 ● Razones y proporciones .................................. 118
 ● Reparto proporcional .......................................... 125
 ● Magnitudes proporcionaleS ............................ 131
 ● Regla de tres .................................................... 138
 ● Repaso ............................................................. 145
 ● Promedio .......................................................... 147
 ● Mezcla ............................................................. 154
 ● Porcentajes ....................................................... 161
 ● Interés ............................................................. 168
 ● Descuento ......................................................... 174
 ● Estadística ........................................................ 181
 ● Estadística II ..................................................... 190
 ● Repaso ............................................................. 200
7
 ARITMÉTICA
LÓGICA PROPOSICIONAL
Es una parte de la lógica que tiene como objeto de 
estudio la proposición y la relación existente entre 
ellas, así como la función que tienen las variables 
proposicionales y los conectivos lógicos.
PROPOSICIÓN LÓGICA
Es el significado de una expresión aseverativa que se 
caracteriza por tener un valor veritativo (es decir el 
significado tiene la posibilidad de ser verdadero o 
falso pero no los dos a la vez).
Las proposiciones lógicas se representaran mediante 
letras minúsculas del abecedario (…p,q,r,s,…) a los 
cuales se denominará variables proposicionales.
Ejemplos:
p: “Lima es una ciudad europea”
q: “El rio Amazonas pasa por la selva”
r: “(10-3) x 2<18
CLASES DE PROPOSICIONES
Proposición Simple o Atómica
Es aquella proposición con un solo significado. 
Carente de conjunciones gramaticales y del adverbio 
de negación “no”.
Ejemplos:
“El acero es resistente”
“6 y 7 son número consecutivo”
Proposición Compuesta Molecular
Son aquellos que tienen dos o más significados 
unidos por conjunciones gramaticales o, en todo 
caso, contienen el adverbio de negación “no”.
Ejemplos:
Hoy día es martes y estudiaremos aritmética 
“no es cierto que el perro ladre”
CONECTIVOS LÓGICOS
Símbolo Nombre Lenguaje Común
~ Negación No, no es cierto que, no es el caso que, etc.
∧ Conjunción
Y, pero, sin embargo, 
además, aunque, a la 
vez, etc.
∨ Disyunción inclusiva “o”
∆ Disyunción exclusiva “o”, “o… o…”
→ Condicional
“Si… entonces…”, 
“… si…”, 
“… dado que”, 
“…siempre que…”, 
“… porque…”, 
“... por lo tanto ...”, etc.
↔ Bicondicional “… si y solo si …”
Proposición Negación Conjunción Disyuncióninclusiva
Disyunción
exclusiva Condicional
Bicondicional
p q ~ p ~ q p ∧ q p ∨ q p ∆ q p → q p ↔ q
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
Lógica Proposicional I
5TO AÑO
8
Trabajando en clase
Integral
1. ¿Cuáles de los siguientes 
enunciados son proposiciones 
lógicas?
a) 7, 12 y 15 son números en-
teros
b) Si 3x < 13 entonces X es 
igual a –4
c) Richard y su hija son pe-
ruanos
d) ¿Quién es el Presidente del 
Perú?
e) Es la ciudad más bella del 
Perú.
2. Realiza la tabla de valor de 
verdad del siguiente esquema 
molecular.
~(p–q) ↔ ~[(~q) → (~p)]
 E indica si es tautológico con-
tradictorio o contingente. 
3. Simboliza las siguientes pro-
posiciones.
a) O José vendrá porque ha 
recibido la carta o no está 
interesado en el nuevo tra-
bajo.
b) Si no es el caso que Marcos 
sea comerciante y un prós-
pero industrial, entonces 
es ingeniero o no es co-
merciante.
PUCP
4. Si la proposición compuesta:
(~p ∧ q) → (q ∧ s)
 Es falsa, determina el valor de 
verdad de la siguiente proposi-
ción:
(q ↔ s) ∨ p
Resolución:
(~p ∧ q) → (q ∧ s) ≡ F
 (F) (V) (V) (F)
14243 14243
 V F
(q ↔ s) ∨ p
 V ↔ F ∨ F
1442443
 F ∨ F ≡ F
5. Si la proposición:
(~p ∨ q) ∨ (r → s)
Es falsa determina el valor de 
verdad de las siguientes pro-
posiciones:
a) (~p ∆ q) → r
b) (r ↔ q) ∧ (~q ∨ ~p)
6. Si la siguiente proposición 
lógica compuesta es falsa, de-
termina el valor de verdad de 
cada proposición. Si Orlando 
trabaja, entonces puede estu-
diar o comprarse un televisor 
nuevo.
7. Si la proposición:
~[p ∧ (q ↔ p)] es falsa. 
IMPORTANTE
Cuando los valores del operador principal 
son todos verdaderos, se dice que el esquema 
molecular es tautológico.
Se dirá que el esquema molecular es 
contradictorio si los valores del operador 
principal son todos falsos.
Si los operadores del valor principal tienen por 
lo menos una verdad y una falsedad, se dice 
que es contingente o consistente.
EVALUACIÓN DE FORMULAS POR 
LA TABLA DE VERDAD
Evaluar una fórmula por la tabla de verdad es 
obtener los valores del operador principal a partir 
de los valores de verdad de cada una de las variables 
proposicionales.
El número de valores que se asigna a cada variable es 
2n, donde “n” es el número de proposiciones que hay 
en la fórmula.
Determina el valor de verdad 
en cada caso.
a) (p → q) ∨ q
b) (q ∨ ~p) ↔ q
c) ~[p → (q ∧ p)]
UNMSM
8. Si a > 0 y b < 0, determina el 
valor de verdad de las siguien-
tes proposiciones:
I) a4 b < ab4
II) |ab3| = ab3
III) ab b a2 =-
(UNMSM 2012 – II)
Resolución:
a ⇒ 1; 2; 3; …; etc.
b ⇒ –1; –2; –3; ..; etc.
I) a4b < ab4 ….(V)
 (negativo) (positivo)
II) |ab3| = –ab3 ………(F)
 El valor absoluto siempre 
es positivo
III) ab b a2 =- ………(V)
 Porque b < 0 por lo tanto 
negativo
9. Determine el valor de verdad 
de las siguientes preposicio-
nes:
I) Si x ≤ 4, entonces x = 8
II) Caral es la ciudad más an-
tigua del Perú.
III) BID significa Banco Inter-
nacional de Desarrollo.
9
 ARITMÉTICA
10. Si p = V ; q = V y r = F
Los valores de las proposicio-
nes siguientes son:
a) [(~p → q) ∆ r] ↔ q ......( )
b) (~p ∨ q) → (~r ∧ ~q) ...( )
11. Sí “a” es par y “b” es impar, de-
termina el valor de verdad de 
las siguientes proposiciones:
I) a x b = impar
II) b + b = par
III) a – b = impar
UNI
12. Si la proposición
(p ∧ ~q) → (r → ~s), es falsa, 
El valor de p, q, r, s (en ese or-
den) es:
(UNI 2012 – I)
Resolución:
(p ∧ ~q) → (r → ~s) ≡ F
(V) (F) (V) (V)
1442443 1442443
 V F
p = V; q = F; r = V; s = V
13. Si la siguiente proposición es 
verdadera, determina el valor 
de p, q, r, s (en ese orden)
~[~(p ∧ q) ∨ (r → ~s)]
14. Indica la secuencia correcta 
después de determinar si la 
proposición es verdadera o 
falsa.
I) Si “m” y “n” son números 
no divisibles por tres, en-
tonces la suma o la dife-
rencia de elloses un múl-
tiple de tres.
II) Si “m” y “n” son múltiples 
de tres con m > n > 0; en-
tonces, el cociente m/n es 
un múltiple de tres.
III) Si “m” y “n” son múltiples 
de tres con m; n> 0 enton-
ces el MCD (m, n) es un 
múltiplo de tres. 
(UNI 2010 – I)
5TO AÑO
10
Sigo practicando
19. Si las siguientes proposiciones: (p∨~p) y (q∧ p) 
 son verdadera y falsa, respectivamente, determina
 los valores de verdad de:
 I) (q→p)∧~(q→~p)
 II) (q→~p)→(q→p)
 III) (~p∧~q)↔(p∨q)
a) FVF c) FVV e) VVV
b) FFV d) VVF
20. Si la siguiente preposición lógica compuesta es fal-
sa, determina el valor de verdad de cada proposi-
ción: Si Richard trabaja bien y no comete errores 
entonces no corregiriamos tantos errores.
a) VVF c) FVV e) VVV 
b) VFV d) FFF
21. Del resultado de la tabla de verdad del siguien-
te esquema molecular: (p↔q)→(r∨~p), se tiene 
que la diferencia entre la cantidad de verdades y 
falsedades es: 
a) 1 c) 5 e) 7 
b) 3 d) 6
16. ¿Cuántos de los siguientes enunciados son propo-
siciones lógicas?
 a) El Perú cumplió 198 años de fundación.
 b) María es esposa de José y ama de casa.
 c) Él es el mejor escritor peruano.
 d) ¡El mejor equipo del mundo es el Barcelona 
 de España!
a) 0 c) 1 e) 4
b) 3 d) 2
17. Realiza la tabla de valor de verdad del siguiente 
esquema molecular.
 (p→~q)↔~(~p∆q)
e indica que tipo de proposición es.
 a) Tautológico 
 b) Contradictorio
 c) No se puede determinar
 d) Ambiguo
 e) Contingente
18. Simboliza la siguiente proposición.
 Ricardo ira a la fiesta, si solo si lo acompaña Ivet 
y Yenni.
a) p q r↔ →( ) 
b) p q r↔ ∧( ) 
c) p q r↔ ∨( )
d) p q r↔ ∨
e) p r q↔ ∧ 
11
 ARITMÉTICA
16. d
17. e
18. b
19. e
20. b
21. b
22. a
23. b
24. c
25. d
Claves
22. Los valores de verdad de las siguientes proposiciones: 
 a) (3 + 5 = 8) v (5 – 3 = 4)
 b) ( ) ( )3 5 8 1 7 6- = → - =
 c) ( ) ( )3 8 11 7 4 1+ = ∧ - >
 d) ( ) ( )4 6 9 5 2 4+ = ↔ - =
 Son respectivamente:
a) VVVV c) VVFF e) FFVF 
b) VVFV d) VFVF
23. Sean las proposiciones:
 p = 23 + 32 = 17
 q = 74 = 2401
 r = 32 + 43 > 150
 Los valores de verdad de los siguientes esquemas 
 moleculares son respectivamente. 
 • p q r∧ → 
 • ( )p r q→ ∧ 
 • p q r∧ →( ) 
a) FFV c) VVV e) FFF 
b) VVF d) FVF
24. Si r = V ; p = V y s = V los valores de las siguientes 
proposiciones son: 
 a) [(p↔~s)→r] 
 b) (p→~s)∆(r∨s)
 c) [~r∧~(s↔~p)] 
a) VVV c) VVF e) FFF 
b) VFV d) FFV
25. Si “x” es un número impar e “y” es par determina 
el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
 I. y + x = impar
 II. xy = número negativo
 III. x.y = par
a) VVF c) FVF e) VVV 
b) VFF d) VFV
5TO AÑO
12
Tarea
Integral
PUCP
1. ¿Cuántos de los siguientes 
enunciados son proposicio-
nes lógicas?
a) ¿Albert Einstein fue el 
hombre más inteligente 
del mundo?
b) 2×3+1<5
c) El éxito es la recompensa 
de la persistencia.
d) ¡Ella es la mujer más be-
lla del mundo!
a) 0 
b) 3
c) 1
d) 2
e) 4
2. Realiza la tabla de valor 
de verdad del siguiente es-
quema molecular. 
(-p∧q)∆(-q↔-p) 
 e indica qué tipo de propo-
sición es:
a) Tautológica
b) Contradictoria
c) No se puede determinar
d) Ambigua
e) Contingente
3. Simboliza la siguiente pro-
posición.
 No es el caso que, si Bryan 
es médico o comerciante, 
entonces es médico.
a) ∼ [( ) ]p q q∨ →
b) ∼ ∼( )p q p∨ →
c) ∼ ∼[( ) ]p q p∨ →
d) ∼ [( ) ]p q p∨ →
e) ∼ ∼[( ) ]p q p∨
4. Si p = V, q y r son dos pro-
posiciones cualesquiera. 
Determinar el valor de ver-
dad de:
I) ∼ ∼ ∼p p q→ ∨( )
II) [ ) ( )]r p q p r∨ ∧ ∧ →∼ ∼
III) [( ( ))] ( )p p q q p↔ ∨ ↔ ∧ ∼
a) VVF
b) VFF
c) FVF
d) FFF
e) VVV
5. Si la siguiente proposición 
es falsa (F) determina el va-
lor de verdad de cada pro-
posición.
 “Si hay lluvias en la sierra y 
el gobierno distribuye abo-
no, entonces la producción 
agrícola crecerá”.
a) VVV
b) VFV
c) FFV
d) FFF
e) VVF
6. Si la proposición: 
 ( ) ( )p q r s∧ → →∼ ∼
 es falsa, determina el valor 
de verdad en cada caso.
a) ∼ ∼( )p q q∧ ∨
b) [( ) ] [( ) ]r q q q r s→ ∧ ↔ ∨ ∧∼
c) ∼ ∼ ∼[( ) ] ( )p q q p q∨ ∧ → →
a) VVV
b) FVF
c) FFF
d) VFV
e) VVF
7. Del resultado de la tabla de 
verdad del siguiente esque-
ma molecular:
 , (p ∆ t) → (q → t) se tie-
ne que la diferencia entre la 
cantidad de verdades y fal-
sedades es:
a) 1 d) 6
b) 3 e) 7
c) 5
8. Realiza el esquema molecu-
lar de la siguiente proposi-
ción y determina cuántos 
valores verdaderos tiene su 
matriz principal.
 “No es el caso que si Nao-
mi y Andrea son peruanas, 
entonces Naomi no es pe-
ruana”
a) 0
b) 1
c) 4
d) 2
e) 3
13
 ARITMÉTICA
12. Determinar el valor de ver-
dad de las siguientes propo-
siciones.
a) Si Grau es peruano en-
tonces Grau es chileno.
b) Los Presidentes del Perú 
y Brasil son Ollanta Hu-
mala y Lula da Silva res-
pectivamente.
c) José Carlos Mariátegui 
fue un héroe si solo si 
José de San Martín es pe-
ruano.
a) VVV
b) VFV
c) FFV
d) FFF
e) VVF
Claves
01. d
02. e
03. d
04. a
05. e
06. d
07. c
08. e
09. d
10. d
11. b
12. c
13. d
14. c
15. a
UNI
UNMSM III) Si a y b son múltiplos 
de 7 con a; b > 0, enton-
ces el MCD (a; b) es un 
múltiplo de 7.
a) FVF
b) VVV
c) FFV
d) FFF
e) FVV
15. Dada la proposición:
 ∼ [( ) ( )]r q r p V∨ → → ≡
 Donde se sabe que “q” es 
una proposición falsa. De-
termina el valor de verdad 
de las siguientes proposi-
ciones:
I) r p q→ ∨( )∼ ∼
II) [ ( ] ( )r p q q p↔ ∧ ↔ ∧ ∼
a) VV
b) FV
c) FF
d) No se puede determinar
e) VF13. Si la proposición:
 ∼ ∼ ∼[ ( ) ( )]p q r s∨ → →
 es verdadero el valor de p, q, 
r, s (en ese orden), es:
a) FVFV
b) VVVV
c) VVFF
d) FFVV
e) FVVF
14. Indica la secuencia correcta 
después de determinar si la 
proposición es verdadera o 
falsa.
I) Si a y b son enteros di-
visibles por 7, entonces 
la suma y la diferencia 
de ellos es siempre un 
múltiplo de tres.
II) Si a y b son múltiplos de 
5 con a > b > 0, enton-
ces el cociente a/b es un 
múltiplo de cinco.
9. Si p = F ; q = V y s = F los 
valores de las siguientes 
proposiciones son:
a) [( ) ]p q s→ ∧∼
b) ( ) ( )∼ q s p q∨ ↔ ∅
c) [( ) ]∼ ∼p s q↔ ∨
a) VVV
b) VFV
c) VVF
d) FFV
e) FFF
10. Si “m” es un número natural 
par y “n” es entero positivo, 
determina el valor de ver-
dad de las siguientes propo-
siciones.
I) m x n = impar
II) nm = negativo
III) m – n < 0
a) VVF d) FFF
b) VFF e) VVV
c) FVF
11. Si
 p = Juan es entrenador.
 q = Juan es padre de familia.
 r = Juan es mayor de edad.
 Escribe la proposición ló-
gica del siguiente esquema 
molecular.
 ∼ [( ) ]p q r∧ →
a) Juan no es entrenador y pa-
dre de familia, entonces es 
mayor de edad.
b) No es el caso que Juan es en-
trenador y padre de familia, 
entonces es mayor de edad.
c) Nunca Juan fue entrenador 
ni padre de familia, enton-
ces no es mayor de edad.
d) Juan no es entrenador ni 
padre de familia, entonces 
no es mayor de edad.
e) No es el caso que Juan no 
sea entrenador y padre de 
familia, entonces es mayor 
de edad.
(p∆q)
5TO AÑO
14
PROPOSICIONES LÓGICA EQUIVA-
LENTE
Son aquellas que poseen tablas de verdad equivalentes 
(iguales) siendo posible el uso de una de ellas por la 
otra. Se denotan 
p ≡ q
Ejemplo:
: ( )
:
a p q
b q p
"
"+ +
Se puede decir también que dos proposiciones son 
lógicamente equivalentes cuando la proposición 
bicondicional que las vincula es una tautología, es 
decir si:
( ) ( )p q p q
logLey ica
& " /
1 2 344 44
LEYES DE ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
Son equivalencias lógicas que nos permiten reducir 
esquemas moleculares complejos y expresarlos en 
forma más sencilla. Las demostraciones de dichas 
leyes se hacen construyendo la tabla de verdad en 
cada caso.
PRINCIPALES LEYES
a. Ley de idempotencia
 p p p
p p p
0
/
/
/
b. Ley conmutativa
 p q q p
p q q p
0 0
/ /
/
/
c. Ley asociativa
 ( ) ( )
( ) ( )
p q r p q r
p q r p q r
0 0 0 0
/ / / /
/
/
d. Ley distributiva
 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
p q r p q p r
p q r p q p r
/ 0 / 0 /
0 / 0 / 0
/
/
e. Ley de la doble negación
 ( )p p+ + /
f. Ley de identidad
 ;
;
p V V p F p
p V p p F F
0 0
/ /
/
/
=
=
g. Leyes de complemento
 p p V
p p F
0
/
+
+
=
=
h. Ley de la condicionalp q p q" 0+=
i. Ley de la bicondicional
 
( ) ( )
( ) ( )
( )
P q p q q p
p q p q p q
p q p q
) " "
)
)
/
/ 0 /
T
/
/ + +
/+
j. Ley de absorción
 
( )
( )
( )
( )
p p q p
p p q p
p p q p q
p p q p q
0 /
/ 0
0 / 0
/ 0 /
+
+
=
=
=
=
k. Leyes de Morgan
 ( )
( )
p q p q
p q p q
0 /
/ 0
+ + +
+ + +
=
=
Lógica Proposicional II
15
 ARITMÉTICA
TRANSPOSICIÓN
p q q p" "+ +=
Ejemplo:
Si Pedro toca guitarra, entonces canta.
p : Pedro toca guitarra.
q : Pedro canta.
Simbología: p → q
Su equivalente: ~q → ~p
Se lee: Si Pedro no canta, entonces no toca guitarra.
TRANSITIVIDAD
:
Si p q y q r
entonces p r
" "
"
Ejemplos:
 Z Si estudias, entonces ingresarás.
 Z Si ingresas, entonces serás profesional.
p: Estudias.
q: Ingresarás.
r: Serás profesional.
Simbología: p → q
q → r
p → r
Conclusión:
Se lee: Si estudias, entonces serás profesional.
CIRCUITOS LÓGICOS
Un circuito conmutador puede estar solamente en 
dos estados estables: cerrado o abierto, así como una 
proposición puede ser verdadera o falsa, entonces 
podemos representar una proposición utilizando un 
circuito lógico:
1. Circuito serie: 
 Dos interruptores conecta dos en serie represen-
tan una conjunción.
< > p ∧ q
2. Circuito Paralelo: 
 Dos interruptores conectados en paralelo repre-
sentan una disyunción.
< > p ∨ q
Trabajando en clase
Integral
1. Simplifica el siguiente esquema.
[ ( ) ]p q p q"0 0+ + +
2. ¿A qué formula molecular equivale el siguiente 
circuito?
3. Determina el equivalente de: No es el caso que 
José es ingeniero y no haya estudiado en la uni-
versidad.
PUCP
4. Simplifica el siguiente esquema:
( ) ( )p q q p" "/+
Resolución:
• Ley del condicional
 ~( ) ( )p q q p
p q q p
"/ 0
0 0 0
+
+ +
• Ley de idempotencia
 ( ) ( )p p q q0 0 0+ +
S
 p ∨ ~q
• Ley de Morgan
 ( )p q/+ +
5. Simplifica el siguiente esquema:
[( ) ( )]p q s s q"/ / /+ + +
6. Simplifica el esquema.
[( ) ( ) ]p q q p r p"/ / / 0+
7. Realiza el circuito del siguiente esquema molecu-
lar
[( ) ]p q p q/ 0 0+ +
5TO AÑO
16
UNMSM
8. Señala el equivalente de:
Si Miguel va a la fiesta, entonces realizó su tra-
bajo.
Resolución:
p = Miguel va a la fiesta.
q = Miguel realizó su trabajo
( )p q p q" 0/+
Miguel no va a la fiesta o realizó su trabajo.
9. Señala el equivalente de:
No es el caso que Pilar no sea escritora y no sepa 
los signos de puntuación.
10. De las siguientes proposiciones:
a) Si te esfuerzas, entonces serás titular en el 
equipo de fútbol.
b) Si no eres titular en el equipo de fútbol enton-
ces no te esfuerzas.
c) No te esfuerzas o serás titular en el equipo de 
fútbol.
¿Cuáles son equivalentes entre si?
11. La negación de
“Hoy es viernes por lo tanto mañana es sábado” 
es:
UNI
12. Señala el circuito equivalente a la proposición
[(p → q) → p] ∧ [~p → (~p → q)]
Resolución:
[(p → q) → p] ∧ [~p → (~p → q)]
 14243
[(~p ∨ q) → p] ~(~p) ∨ (~p → q)]
144424443
 ~(~p ∨ q) ∨ p p ∨ (~p → q)
144424443 14243
 (p ∨ ~q) p ∨ ~(~p) ∨ q
144424443 144424443
 p p ∨ (p ∨ q)
 (p ∨ q)
 p ∧ (p ∨ q) ≡ p
 4 p 4
13. Señala el circuito equivalente a la proposición
{~(p ∩ q) ∧ [(p ∧ q) ∨ r]} ∧ ~q
14. Indique la fórmula que representa el siguiente cir-
cuito lógico:
 p 
q 
r 
s t 
 ~r 
17
 ARITMÉTICA
Sigo practicando
16. Simplifica el siguiente esquema
 [~(p→q)→~(q→p)]∧(~p∨q) 
a) p c) ~p~q e) p∨q
b) q d) p∧q
17. ¿A qué esquema molecular equivale el siguiente 
circuito?
 
 p
q
p q
~q
~p
a) [( ) ( )] ( )p q q p p q∧ ∨ ∨ ∧ ∧∼ ∼ 
b) [( ) ( )] ( )p q q p p q∨ ∧ ∧ ∧ ∧∼ ∼ 
c) [( ) ( )] ( )p q q p p q∧ ∨ ∧ ∨ ∨∼ ∼ 
d) [( ) ( )] ( )p q q p p q∨ ∧ ∨ ∨ ∧∼ ∼ 
e) [( ) ( )] ( )p q q p p q∨ ∧ ∨ ∧ ∧∼ ∼ 
18. Determina el equivalente de:
 “Es falso que si usted ve un gato negro entonces 
tendrá mala suerte”
a) Ve un gato negro y tiene mala suerte 
b) No tiene mala suerte si ve un gato negro 
c) Ve un gato negro y no tienen mala suerte 
d) Ve un gato negro si tiene mala suerte
 e) Tiene mala suerte si solo si ve un gato negro
19. Determina el equivalente del siguiente circuito 
lógico: 
 
 ~p q−
p
~q
p q–
 
a) V c) p∧q e) ~ p∨q 
b) F d) q
20. Simplifica el esquema. 
 [( ) ] [ ( )]~p q q p p q→ ∧ → → ∧
a) ~ ~p q∨ c) p q∧ e) V 
b) p q→ d) ~p q∧ 
21. Realiza el circuito del siguiente esquema molecular. 
 [( ) ] ( )~p q r p r→ ∨ → ∧
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
5TO AÑO
18
16. c
17. d
18. c
19. d
20. e
21.
22. e
23. d
24. d
25. d
Claves
22. Indica la negación de:
 “Si las gallinas son ovíparas, entonces nacen de 
un huevo”.
 a) Los ovíparos son gallinas y nacen de un huevo.
 b) Las gallinas no son ovíparos ni nacen de un 
 huevo.
 c) Las gallinas no nacen de un huevo, entonces 
 no son ovíparos.
 d) Las gallinas son ovíparos o no nacen de un 
 huevo.
 e) Las gallinas no nacen de un huevo y son 
 ovíparos.
23. Simplifica: 
 
a) p q∧ c) q e) ~q p∨ 
b) ~p d) p
24. De las siguientes proposiciones.
 a) El león no es mamífero.
 b) No es el caso que el león sea un mamífero.
 c) El león es mamífero.
 ¿Cuáles son equivalentes entre sí?
 a) a; c
 b) b; c
 c) a; b y c
 d) a; b
 e) No hay equivalencia posible
25. La negación de “Sandra ni es profesora ni es eco-
nomista”
 a) Sandra no es profesora o economista.
 b) Sandra no es profesora, entonces es econo-
 mista.
 c) Sandra es profesora y economista.
 d) Sandra es profesora o economista.
 e) Sandra es profesora y no economista.
 
19
 ARITMÉTICA
Integral
PUCP
UNMSM
1. Simplifica el esquema
( ) [ ( )]p q p p q∧ ∨ → ∧
a) p q∧ ∼
b) ∼ p q∨
c) p
d) ∼ p
e) q
2. ¿A qué fórmula molecular 
equivale el siguiente cir-
cuito?
a) p q p q∧ ∧ ∨[( ) ]∼ ∼
b) p q p q∨ ∨ ∨[( ) ]∼
c) p q p q∨ ∧ ∧[( ) ]∼ ∼
d) p q p q∨ ∧ ∨[( ) ]∼
e) p q p q∨ ∧ ∨[( ) ]∼ ∼
3. Determina el equivalente de:
 “Si Richard no trabaja en-
tonces cobrará”.
a) Richard no trabaja y co-
bra.
b) Richard no trabaja.
c) Richard no cobra.
d) Richard trabaja o cobra.
e) Si trabaja y cobra.
8. Si el costo de cada llave en la 
instalación del circuito:
 Es de S/.50; ¿en cuánto se 
reducirá el costo de la ins-
talación si se reemplaza este 
circuito por su equivalente 
más simple?
a) S/.50 
b) S/.150
c) S/.200
d) S/.250
e) S/.300
9. De las siguientes proposi-
ciones:
a) Es necesario que Juan no 
estudie en la UNI para 
que Luis viva en el Rímac.
b) No es cierto que Luis viva 
en el Rímac y que Juan 
estudie en la UNI.
c) Luis no vive en el Rímac 
y Juan no estudia en la 
UNI.
 ¿Cuáles son equivalentes 
entre si?
a) a y c d) a, b y c
b) b y c e) a y d
c) a y b
4. De los siguientes esquemas 
moleculares, sus equivalen-
tes son:
• [( ) ( )]∼ ∼ ∼p q r r q∧ → ∧ ∧
• [( ) ( )] ( )∼ ∼ ∼p q p q p q→ → → ∨ ∧
a) q; ∼ p
b) p; ∼ q
c) ∼ q ; ∼ ( )p q∧ 
d) ( );r q p∧
e) ( );p q p∧
5. Simplifica:
 [( ) )]p q q p→ ∧ →∼ ∼
a) p d) F
b) ∼ p e) p q∨
c) V
6. Realiza el circuito del si-
guiente esquema molecular.
 ( ) ( )∼ p q p q∨ → ∧
7. ¿Cuál o cuáles de los si-
guientes pares de proposi-
ciones son equivalentes?
I. ( );( )∼ ∼p q q p↔ ↔
II. [( ) ( )];q p p q q∨ ∧ ∨∼ ∼
III.[( ) ]q p∨ ∧
a) I y II
b) II
c) III
d) I y III
e) II y III
Tarea
5TO AÑO
20
Claves
01. b
02. e
03. d
04. c
05. c
06.
07. d
08. d
09. a
10. d
11. c
12. e
13. d
14. a
15. a
10. La negación de “Si Frances-
ca es profesional, entonces 
es inteligente”
a) No es el caso que Frances-
ca es profesional y no es 
inteligente.
b) Francesca no es inteligen-
te o es profesional.
c) Francesca no es profesio-
nal, entonces no es inteli-
gente.
d) Francesca es profesional y 
no es inteligente.
e) Ni Francesca es profesio-
nal ni es inteligente.
11. Simplifica:
t p q q p q p→ → → ∧ ∧ →{ }[( ) ] [ ( )]∼
a) ∼ q
b) ∼ p
c)  t
d) p q∧
e) q t∧
13. Señale el circuito equivalen-
te a la proposición:
∼ ∼ ∼( ) [ ( ) ]p q p q r q∧ ∧ ∧ ∨ ∧
a) p 
b)  p 
c) q 
d)  q
e) p – q p – q 
14. Indique la fórmula que re-presenta el siguiente circuito 
lógico.
a) [( ) ( )] ( )p q p q p q∨ ∨ ∧ ∧ ∧∼ ∼ ∼
b) [( ) ( )] ( )p q p q p q∧ ∨ ∨ ∧ ∧∼
c) [( ) ( )] ( )p q p q p q∨ ∨ ∨ ∧ ∧
d) [( ) ( )] ( )p q p q p q∨ ∨ ∨ ∧ ∧
e) [( ) ( )] ( )p q p q p q∨ ∨ ∧ ∨ ∨∼
15. Simplifica e indica el equiva-
lente:
a) ∼ ∼p q∨
b) p q∧ ∼
c) p q∨
d) p q∧
e) ∼ p q∨
UNI
UNI
12. ¿Cuáles de las siguientes 
proposiciones son equiva-
lencias lógicas?
I. ∼ ( );[( ) ]p q p q q→ ∨ ∧
II. ( ); ( )∼ ∼ ∼ ∼p q p q→ ∧
III. [( ) ];( )∼ ∼ ∼p q q q p∧ ∨ ∨
a) I y II
b) I y III
c) I, II y III
d) III
e) II y III
( ) ( ) ( )∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼q p p q p q→ ∧ → ∨ →
21
 ARITMÉTICA
NOCIÓN DE CONJUNTO
Es un ente matemático, por el cual se puede tener una 
idea subjetiva de ello; como colección, agrupación 
o reunión de objetos abstractos o concretos 
denominados elementos.
Ejemplo:
 Z Los días de la semana.
 Z Los países de América del Sur.
 Z Los jugadores de un equipo de fútbol.
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Consiste en precisar correctamente que elementos 
forman parte del conjunto. Puede hacerse de dos 
formas:
Por extensión (forma tabular)
Cuando se indica generalmente a todos y cada uno 
de los elementos.
Ejemplo:
A = {a, e, i, o, u}
D = {2, 4, 6, 8}
Por comprensión (forma constructiva)
Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a 
todos los elementos del conjunto, de tal manera que 
cada objeto que goza de la propiedad pertenece al 
conjunto, y todo elemento del conjunto goza de la 
propiedad mencionada.
Esquema:
G = {n/n es una vocal}
H = {los números pares menores que 13}
J = {n2 – 1/n es entero ∧ 1 ≤ n ≤ 7}
RELACIÓN DE PERTENENCIA
Se establece esta relación solo de elementos a conjunto 
y expresa si el elemento indicado forma parte o no del 
conjunto considerado.
“… pertenece a…”; ∈
“… no pertenece a …” ∉
Esto quiere decir que dado un elemento y un conjunto:
elemento conjunto
"
!
RELACIÓN DE INCLUSIÓN (⊂)
Se dice que un conjunto está incluido en un segundo 
conjunto, cuando todos los elementos del primero 
forman parte del segundo conjunto.
⊂: “incluido o contenido”
A ⊂ B: “A está contenido en B”
 “A es subconjunto en B”
 “B contiene a A”
Ejemplos:
I. A = {todos los gatos}
 B = {todos los mamíferos}
 ∴ A ⊂ B
II. D = {2, 4, 6} E = {1, 2, 3, 5}
 Se observa que D no está contenido en E, en ese 
caso se denota: D ⊄ E
CARDINAL DE UN CONJUNTO
Es el número de elementos que posee el conjunto 
considerado.
Notación:
|A| o n(A): Número de elementos de A
A = {a, e, i, o, u} |A| = n(A) = 5
P = {2, 2, 3, 3, 3, 6, 7} → n(P) = 4
SUBCONJUNTO
Se denomina “subconjunto de A” a cualquier conjunto 
que este incluido en el mismo “A”.
Conjuntos I
5TO AÑO
22
Trabajando en clase
Integral
1. Calcula la suma de elementos del conjunto “A” si:
(2 3) /2 3 2 5A y Z y! # #= - -$ .
2. Según el conjunto
; ; ;A a b c d= #$ - .
¿Cuántos enunciados son incorrectas?
I. ;b c A1# -
II. ;b c A!# -
III. ;b c A1#$ -.
IV. c ∈ A
V. a A1" ,
VI. a A!" ,
3. Dados los conjuntos 
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
B = {2; 3; 4; 8; 3}
Calcula el número de subconjuntos de A más los 
de B.
PUCP
4. Si el subconjunto A es unitario y es igual al con-
junto B, calcula: a × b
;A a 5 4= +# -
B b 723= +$ .
Subconjunto propio
Se denomina “subconjunto propio de A” a cualquiera 
de sus subconjuntos excepto el mismo “A”.
CONJUNTO POTENCIA
Se denomina “potencia de A”; P(A) al conjunto de los 
subconjuntos de “A”.
Además; sea “n” el número de elementos del conjunto A.
: ( )
(
[ ( )]
)
Si n A n
N desubconjuntosdeA
N desubconjuntos
propiosdeA
N deelementosdeP A
n P A
2
2 1
2
o n
o n
o
n
=
=
= -
=
f p
R
T
S
S
S
S
S
S
S
S
Ejemplo:
Si: {a; b; c} entonces:
P(A) = {∅; {a}; {b}; {c}; {a; b}; {a; c}; {b; c}; {a; b; c}}
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Donde:
• Números naturales:
 N = {0; 1; 2; ...}
• Números enteros:
 Z = {...; –2; –1; 0; 1; 2; ...}
• Números racionales:
 Q = ..., 2
3 ; 7
4 ;0; 2
1 ; 2
4 ; ...( 2
• Números irracionales:
 I = ..., ; ; ; ; ; ...e5 3 3 ≠- -# -
• Números reales: 
R; Q ∪ I
Resolución:
“A” es un conjunto unitario; por lo tanto, los ele-
mentos son iguales
4 11a a5 &+ = =
A B &= los elementos son iguales
4b 723 + =
b + 72 = 64
b = 15
a × b = 11 × 15 = 165
5. Si los conjuntos A y B son unitarios. Calcula “xy”
;A x 3 23= +$ .
;B y 32x= % /
6. Calcula el cardinal de:
( ) /C x N x2 3 3 51! #= +# -
7. Calcula el cardinal del conjunto B si:
/B x x Z x2 2 32 1! #= + -# -
UNMSM
8. Calcula: n(A) + n(B) si:
/A x N x N x2
3 2 5/! ! # #= +c m) 3
/B y y A3
4
!= +) 3
23
 ARITMÉTICA
Resolución:
x 2 3 4 5
x
2
3+ 5/2 3 7/2 4
A = {3; 4}
 n(A) = 2y 3 4
y
3
4+ 7/3 8/3
 n(B) = 2
 2 + 2 = 4
9. Calcula: n(R) . n(P) si: 
/R x N x N x2
2 3
2
/! ! #= +e o* 4
/P y y R2
3
!= +d n* 4
10. El número de subconjuntos de un conjunto de 
n + 2 elementos excede al doble del número de 
subconjuntos de un conjunto de n – 2 elementos 
en 224. Calcula el valor de “n”.
11. Si los conjuntos son iguales, calcula 2a + 3b si a y 
b ∈ Z+
;A a b8 133 2= + +$ .
;B 7 16= # -
PUCP
12. Dados los conjuntos:
/A x N x x25 10 1 02!= + + =# -
/ /C x R x x1 4 4 1 02! #= - +# -
Calcula: n(A) + n(C)
Resolución:
/A x R x x25 10 1 02 1!= + +# -
25x2 + 10x + 1 = (5x + 1)2 < 0
x ∈ N ⇒ A = ∅
/ /C x R x x1 4 4 1 02!= - + =# -
4x2 – 4x + 1 = (5x – 1)2 = 0
x = 1/2
C = {2}
n(A) + n(C) = 0 + 1 = 1
13. Dados los siguientes conjuntos: n(B) + n(C) cal-
cula.
/9 6 1 0B x N x x2!= + + =# -
/ /C x Z x x1 16 8 1 02!= + + =# -
14. Calcula: n(A)
/ ; ; /A x s
r r s Z r y s3 0 3< 1! # #= =( 2
5TO AÑO
24
Sigo practicando
16. Calcula la suma de elementos del conjunto A
 A x x x= + ∈ ∈ − ″ ″{ }( ) / ,2 2 2 2Ν Ζ
a) 9 c) 11 e) 20
b) 17 d) 14
17. Según el conjunto
 
A = { }{ }5 1 2 2 4 7 13”; ; ; ; ;/ 
 ¿cuántos enunciados son incorrectos?
I. 1 2;{ }∈A
 II. 2 ⊂ A
 III. 7; 2⊂A
 IV. 1 1{ }{ }⊂; A
 V. 7 ∈A
a) 4 c) 3 e) 1
b) 2 d) 5
18. Dados los conjuntos
 A
C a b a b b a
= { }
= { }
2 3 4 3 2 4; ; ; ; ;
; ; ; ; ;
 Calcula el número de subconjuntos de A con los 
 de C.
a) 4 c) 64 e) 12
b) 8 d) 16
19. Si n(A) – n(B) = 3 y n[P(A)] + n[P(B)] = 72, 
 calcula: n(A) + n(B) = 
a) 9 c) 11 e) 8 
b) 4 d) 13
20. Calcula el cardinal del conjunto M 
 
 M x x= + ∈ − ″ ″{ }( ) /2 2 4 3Ζ
a) 10 c) 14 e) 16 
b) 13 d) 17 
 
21. Calcula el cardinal del conjunto potencia del con-
junto F si: 
 F y y y= + ∈ ∧ − ″ <{ }3 1 3 2/ Ζ
a) 32 c) 16 e) 512
b) 256 d) 64
≥ ≤ ≠
≤≤
≤≤
≤
25
 ARITMÉTICA
16. c
17. c
18. c
19. a
20. d
21. a
22. c
23. d
24. e
25. c
Claves
22. Si el conjunto Z es unitario, calcula: (x)y
 
 
Z y x= − − −{ }3 2 15 8 5 24; ;/ /
a) 15 c) 3 e) 2
b) 2/3 d) 8/5
23. Indica la verdad o falsedad de: 
 A = { }{ }3 4 5 6; ; ;
 5 6 3 5 6∈ ∉ { }{ }∈A A A; ; ; ;
a) VVV c) VFF e) FFV 
b) FVV d) FVF 
24. El número de subconjuntos de un conjunto de 
n + 3 elementos excede al cuádruple del número 
de subconjuntos de un conjunto de n – 2 elemen-
tos en 224 calcula el valor de “n”
a) 6 c) 3 e) 5
b) 2 d) 8
 
25. Si los conjuntos son iguales, calcula: x + y
 si x; y ∈ +Ζ
 
M x y= + +{ }122 43 3;( )
 
N = { }6 343;
a) 94 c) 97 e) 30
b) 54 d) 79
5TO AÑO
26
Integral
UNMSM
9. El número de subconjun-
tos de un conjunto de R + 1 
elementos excede al doble 
del número de subconjun-
tos de un conjunto de R-1 
elementos en 8. Calcula el 
valor de “R”.
a) 7
b) 6
c) 4
d) 8
e) 3
10. Si los conjuntos son iguales 
y además x; y. 
 ∈ Z+. Calcula: x2 + 3y
B y x
C
= + −{ }
= { }
8 3 1
15 35
2;
;
a) 28
b) 35
c) 20
d) 22
e) 30
Tarea
8. Si la suma del número de 
subconjuntos de A y B es 
igual a 40, calcula n(A) + 
n(B)
a) 6 d) 5
b) 7 e) 9
c) 8
1. Calcula la suma de elemen-
tos del conjunto B
B y y= + ∈ ″ − ″{ }( ) /4 2 0 2 1 3�
a) 170
b) 120
c) 70
d) 180
e) 210
2. Según el conjunto
 A = { }{ }1 1 2 3; ; ;
 Cuántos enunciados son in-
correctos.
I. 1 1 2; ;{ } ⊂ A
II. 1;3 ∈ A
III. 1 2;{ } ⊂ A
IV. 1 2 3; ;{ }{ }∈ A
a) 1
b) 2
c) 0
d) 3
e) 4
3. Dados los conjuntos
 
M a a b c c d
N
= { }
= { }
; ; ; ; ;
; ; ; ; ;0 1 3 5 1 0
 Calcula la suma del númerode subconjuntos de M con 
los de N
a) 512 d) 64
b) 128 e) 32
c) 24
≤ ≤
PUCP
4. Si el conjunto A es singleton, 
calcula:
 (a x b) + c
 A b ca= + + −{ }2 3 3 4 19 62; ; ;
a) 20 d) 25
b) 40 e) 27
c) 32
5. Calcula el cardinal de:
A x x= + ∈ − ″ <{ }( ) /2 3 2 2�
a) 0
b) 2
c) 4
d) 1
e) 3
6. Calcula el cardinal del con-
junto potencia del conjunto 
B:
B x x x= + ∈ − ″ <{ }3 2 1 3/ � 
a) 4 d) 8
b) 16 e) 32
c) 64
7. Cuántos subconjuntos pro-
pios tiene C:
C x x x= + ∈ ∈ ∧ ″{ }2 4 10� �/
a) 7 d) 3
b) 15 e) 63
c) 31
≤
≤
≤
27
 ARITMÉTICA
UNI
Claves
01. c
02. e
03. e
04. d
05. e
06. d
07. d
08. c
09. e
10. a
11. c
12. c
13. d
14. d
15. d
11. Dados los siguientes conjun-
tos:
 
A x x x
B x x A
C x x B x
= + ∈ ∧ <{ }
= ∈{ }
= + ∈ ∧ <{ }
3 2 5
4
6 1 35
/
/
/
�
 Calcula: n(C)
a) 2
b) 0
c) 3
d) 1
e) 5
12. Indica V o F:
 A = { } ϒ{ }3 5 3 5 1 5; ; ; ; ;
I. 5∈ A...( )
II. 3 5; ...( ){ }∈ A
III. 1 5; ...( ){ } ⊂ A
IV. 3 5; ...( )⊂ A
a) VFVF
b) VVFF
c) VVVF
d) FFVV
e) FVVF
15. Si para 2 conjuntos A y B se 
cumple que:
 n(A) + n(B) = 16
 n[P(A∪B)] = 4096
 ¿Cuántos subconjuntos pro-
pios tiene (A∩B)?
a) 63
b) 31
c) 127
d) 15
e) 7
13. Dados los conjuntos
A x x
B n n n
= − ∈ ″ ″{ }
= − ∈ ∧ ″ ″{ }
1
3
16 625
1 1 3
2
2
�
�
/
/
 Calcula: n(A) + n(B)
a) 8
b) 3
c) 13
d) 11
e) 15
14. Sean los conjuntos
 
∧O
 Calcula: [n(A)]n(B)
a) 8
b) 16
c) 27
d) 125
e) 81
≤≤
≤≤
5TO AÑO
28
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. Unión o reunión
Sean los conjuntos A y B
Se denota A ∪ B
Se define: A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}
Ejemplo:
Sean A = {1; 2; 3; 4} y B = {3; 4; 6; 7}
Luego: A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
A B
A B�A ∪ B
2. Intersección
Sean los conjuntos A y B
Se denota A ∩ B
Se define: A ∩ B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B}
Ejemplo:
Sean A = {2; 3; 4; 5; 6; 7} y B = {5; 6; 7; 8; 9}
Luego: A ∩ B = {5; 6; 7}
A B
A B�A ∩ B
3. Diferencia
Sean los conjuntos A y B
Se denota: A – B (en ese orden)
Se define: A – B = {x/x ∈ A ∧ x ∉ B}
Ejemplo:
Sean A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} y B = {5; 6; 7; 8; 9}
Luego: A – B = {1; 2; 3; 4}
A B
A B�A – B
4. Diferencia simétrica
Sean los conjuntos A y B
Se denota A D B
Se define: A D B = {x/x ∈ (A ∪ B) ∨ x ∉ (A ∩ B)}
Ejemplo:
Sean: A = {1; 2; 3; 4} y
 B = {3; 4; 5; 6; 7}
Luego: A D B = {1; 2; 5; 6; 7}
A B
A B = (A B) - (A B)� � �A D B
5. Complemento
Sea el conjunto A
Se denota: A; Ac; A’; CA
Se define: Ac = {x/x ∈ ∪ ∧ x ∉ A}
Ejemplo:
Sean U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} y A = {1; 3 ; 5; 7}
Luego: Ac = {2; 4; 6; 8; 9}
 ∪
A
AC
�
Ac
6. Diagrama de Venn
S1 = a + b + c
S2 = e + d + f
S3 = x
S1 + S2 + S3 + g = U
Conjuntos II
29
 ARITMÉTICA
7. Diagrama de Carroll
Se utiliza para conjuntos disjuntos.
Peruanos Extranjer so
Hombres
Mujeres
a
c
b
d
a = hombres peruanos
d = mujeres extranjer so
Recuerda
Para conjuntos disjuntos utilizar 
diagrama de Carroll y para conjuntos 
desiguales diagrama de Venn
Trabajando en clase
Integral
1. Si n(A ∪ B) = 40; n(A ∩ B) = 10; n(A – B) = 10, 
determina: n(A) + n(B)
2. De un grupo de amigos, la cuarta parte habla in-
glés y de estos la cuarta parte también habla fran-
cés. De los que no hablan inglés, la tercera parte 
no habla francés y los demás sí. La parte de los 
amigos que habla francés es:
3. El club de “Rímac Lima” consta de 120 personas. 
De ellos; 62 juegan fútbol, 24 básquet y 18 vóley. 
Además 8 juegan los 3 deportes y 38 no practican 
ninguno de los deportes mencionados, ¿cuántas 
personas practican exactamente un deporte?
PUCP
4. Una persona come queso o tocino en su desayuno 
cada mañana durante el mes de enero. Si come 
tocino 25 mañanas y queso 18 mañanas, ¿cuántas 
mañanas comió queso y tocinos?
(PUCP 2013 – II)
Resolución:
queso
(18)
tocinos
(25)
18-x 25-xx
U = 31
18 – x + x + 25 – x = 31
43 – x = 31
x = 12
5. En el mes de agosto Orlando va a nadar 22 días 
y va a correr 16 días ¿cuántos días realizó ambos 
deportes si descansó 2 domingos?
6. De un grupo de 100 atletas: 54 lanzan jabalinas, 
45 lanzan bala, si 28 practican los dos deportes. 
¿Cuántos no practican bala ni jabalina?
(PUCP 2007 – I)
7. En un control de calidad sobre cierto producto se 
encontró tres defectos importantes A; B y C. Se 
analizan 90 productos y se encuentra que:
 Y 33 artículos tienen el defecto A.
 Y 44 artículos tienen el defecto B.
 Y 37 artículos tienen el defecto C.
 Y 53 artículos tienen exactamente un defecto.
 Y 7 artículos tienen exactamente tres defectos.
¿Cuántos artículos no tienen ningún defecto?
(PUCP 2000 – I)
UNMSM
8. Una empresa de transporte urbano dispone de 
cierto número de vehículos de los cuales 5 están 
en reparación.
Además:
 Y 42 circulan en la mañana.
 Y 38 circulan en las tardes.
 Y 30 circulan en las noches.
 Y 20 circulan en las mañanas y en las tardes.
 Y 14 circulan en las tardes y en las noches.
 Y 16 circulan en las mañanas y noches.
¿Cuántos son en total los vehículos; si además se 
sabe que son 5 los que trabajan todo el día?
Resolución:
U = 9 + 15 + 5 + 9 + 11 + 11 + 5 + 5
U = 70
5TO AÑO
30
9. En una encuesta realizada a cierta cantidad de 
personas sobre la página web de su preferencia; 
de las cuales 3 personas no conocen ninguna pá-
gina se sabe:
 Y 17 les gusta Youtube.
 Y 18 les gusta Twitter.
 Y 19 les gusta Facebook.
 Y 5 les gusta Youtube y Twitter.
 Y 10 les gusta Twitter y Facebook.
 Y 7 les gusta Facebook y Youtube.
¿Cuántas personas en total fueron encuestadas, si 
además se sabe que a 3 personas que les gustan las 
tres páginas web?
10. Sean los conjuntos: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
A = {1; 2; 3; 4}; 
B = {2; 4; 6} y 
C = {2; 3; 4} 
hallar el cardinal de R, si:
( ) ’ ( ) ’R A B C B A B, + + ,= -# #- -
11. En una reunión de doctores, de 54 participantes 
35 dominan inglés y física, 21 inglés y química y 
16 física y química. Si todos dominan por lo me-
nos 2 cursos. ¿Cuántos dominan los tres cursos?
UNI
12. En un colegio el 60% aprobó aritmética, el 32% 
aprobó álgebra y los que aprobaron aritmética y 
álgebra representan el 60% de los que no aproba-
ron ninguno de los dos cursos. Si 42 aprobaron 
aritmética y álgebra, calcula el número de alum-
nos del colegio.
Resolución:
42 = 60% (8%N + 42)
N = 350
13. En un colegio el 58% aprobo Química, el 30% 
aprobó Física y los que aprobaron Química y Fí-
sica representan el 40% de los que no aprobaron 
ninguno de los dos cursos. Si 12 aprobaron en 
Química y Física, calcula el número de alumnos 
del colegio.
14. En una encuesta realizada se observó:
 Y 55 mujeres tienen casacas.
 Y 90 personas no tienen guantes ni casacas.
 Y 40 hombres tienen guantes.
 Y 35 personas con guantes tienen casaca.
 Y 75 mujeres no tienen guantes.
 Y 25 hombres con guantes no tienen casaca.
¿Cuántos hombres que no tienen casaca no tie-
nen guantes?
31
 ARITMÉTICA
Sigo practicando
16. Si n(A)’= 15; n(A∩B)=8 y n(ADB)=13 
determina n(B)
a) 18 c) 15 e) 12
b) 7 d) 10
17. De un grupo de atletas los 4/9 juegan fútbol y de 
estos la cuarta parte también practica básquet. De 
los que no practican fútbol, los 13/20 no juegan 
básquet ¿cuál es la parte de personas que solo jue-
gan básquet?
a) 1/4 c) 15/14 e) 7/36
b) 3/2 d) 7/15
18. En una fiesta infantil a l cual asistieron 76 niños. 
A 28 les gusta el rojo, a 37 les gusta el verde y a 
30 les gusta el blanco. Además a 5 les gusta los 
tres colores y a 11 no les gusta ninguno de ellos ¿a 
cuántos niños les gusta exactamente un color?
a) 35 c) 48 e) 52
b) 40 d) 27
19. En un campamento hay 40 personas, de las cuales 
25 prefieren nadar y 20 prefieren correr, ¿cuántos 
prefieren una actividad solamente? 
a) 25 c) 35 e) 10
b) 30 d) 20
20. En una empresa textil al realizar la inspección 
de 110 prendas de vestir se encontraron 3 fallas 
importantes y se encontró que:
 • 65 prendas tienen la falla A.
 • 55 prendas tienen la falla B.
 • 57 prendas tienen la falla C.
 • 17 prendas tienen un defecto.
 • 20 prendas tienen las tres fallas.
 ¿Cuántas prendas de vestir no tienen ninguna 
falla?
a) 14 c) 30 e) 35
b) 23 d) 12
21. De 58 personas; 50 tienen autoy 38 motocicleta 
¿Cuántas personas tienen un solo vehículo? 
a) 37 c) 28 e) 19
b) 42 d) 25
5TO AÑO
32
16. a
17. e
18. b
19. c
20. b
21. c
22. a
23. b
24. a
25. d
Claves
22. De los conjuntos:
 A ax x= + ∈ − ″ ″{ }( ) /3 3 2Ν
 B = {2; 4; 6; 8; 10}
 Calcula: n(A∩B)’ 
a) 7 c) 4 e) 15
b) 13 d) 3
23. 120 alumnos rindieron una prueba que contiene 
los cursos A; B y C con el siguiente resultado:
 • Se anularon 10 pruebas y el resto aprobó 
 por lo menos un curso.
 • Los que aprobaron A desaprobaron B o C.
 • Hay 20 alumnos que aprobaron B y C.
 ¿Cuántos aprobaron un solo curso?
a) 80 c) 72 e) 95
b) 90 d) 89
24. Sean los conjuntos:
 M = {2; 3; 4; 5; 7; 9}
 N = {0; 1; 2; 3; 4; 7; 8}
 R = {3; 4; 6; 8; 9; 10}
 Calcula el cardinal de “A” si:
 A M N R M N R= ∅ −{ } { }( ) ( )’∪ ∩ ∩
a) 7 c) 9 e) 15
b) 8 d) 10
 
25. En un salón de clases de 33 alumnos, 14 dominan 
álgebra y aritmética; 10 álgebra y geometría y 15 
aritmética y geometría. Si todos dominan por lo 
menos 2 cursos. ¿cuántos dominan los tres cursos?
a) 11 c) 6 e) 10
b) 13 d) 3
≤≤
DN
33
 ARITMÉTICA
Integral
PUCP
1. Si: n A B( )∩ =18 ;
 n A B( )∪ = 24 ; n U( ) = 28 y
 n A( ) = 19 
 Determina n(B) + n(B)
a) 24
b) 28
c) 18
d) 19
e) 22
2. De un grupo de personas la 
cuarta parte ve televisión en 
la mañana y de estos los 3/5 
también ven televisión en 
la noche. De los que no ven 
televisión en la mañana, los 
2/5 no ven televisión. ¿Cuál 
es la parte de las personas 
que ven televisión solamente 
en la noche?
a) 3/20
b) 4/3
c) 1
d) 8
e) 7/5
3. Al restaurante “la casita de 
oro”, asistieron 34 personas. 
De ellos a 13 les gusta el cebi-
che, a 12 el anticucho y a 11 
el pollo a la brasa. Además a 
2 les gustan los tres platos y 
a 14 no les gusta ninguno de 
los tres platos mencionados, 
¿cuántas personas les gusta 
exactamente un plato?
Tarea
5. De un grupo de 83 estu-
diantes 40 estudian medici-
na, 48 estudia ingeniería; si 
14 estudian ambas carreras 
¿cuántas personas no estu-
dian ninguna de las 2 carre-
ras mencionadas?
a) 10
b) 12
c) 9
d) 13
e) 14
6. Al realizar el control de ca-
lidad a 90 computadoras se 
encontró 3 fallas importan-
tes y se encontró que:
- 30 tienen la falla A
- 40 tienen la falla B
- 50 tienen la falla C
- 48 tienen exactamente un 
defecto.
- 10 tienen las tres fallas.
 ¿Cuántas computadoras no 
tienen ninguna falla?
a) 15
b) 3
c) 8
d) 11
e) 19
7. De 21 docentes del colegio 
encuestados; 20 tienen ser-
vicio de Internet y 8 de ca-
ble ¿cuántos docentes tienen 
solo un servicio?
a) 20
b) 14
c) 13
d) 7
e) 1
8. De un grupo de 55 personas; 
a 26 les gusta acampar, a 32 
les gusta viajar, a 33 les gusta 
ir al cine y a 5 las tres activi-
dades. ¿A cuántas personas 
del grupo les gustan dos de 
estas actividades?
a) 40
b) 26
c) 37
d) 35
e) 38
a) 13 d) 5
b) 2 e) 6
c) 10
4. De 120 personas, se sabe 
que 71 son solteros y 55 son 
hombres, si son 12 mujeres 
casadas. ¿Cuántos son los 
hombres casados?
a) 30
b) 48
c) 19
d) 22
e) 37
5TO AÑO
34
UNI
Claves
01. b
02. a
03. e
04. e
05. c
06. d
07. b
08. b
09. e
10. b
11. d
12. d
13. a
14. d
15. c
9. Sean los conjuntos:
 
M a c h e
N r s c t n
P o h e c t n
= { }
= { }
= { }
; ; ; ;
; ; ; ;
; ; ; ; ;
5
 Calcula el cardinal de:
 
 
A = (M∩N∩P)∪(N∪P)
(M∪P)’∪(M∪N)
a) 1
b) 2
c) 3
d) 5
e) 4
10. En una reunión de 58 de-
portistas; 28 practican tenis 
y lucha, 29 tenis y natación y 
31 lucha y natación. Si todos 
dominan por lo menos 2 de-
portes. ¿Cuántos practican 
los tres deportes?
a) 10
b) 15
c) 18
d) 23
e) 31
11. Un club consta de 78 per-
sonas. De ellos 50 juegan 
fútbol, 32 básquet, 22 vóley. 
Además 6 figuran entre los 
3 deportes y 10 no practican 
ninguno. Si “x” es el total de 
personas que practican solo 
un deporte y “y” el total de 
personas que practican solo 
2 deportes, calcula x – y
a) 10
b) 31
c) 37
d) 12
e) 25
12. De 150 personas, 104 no 
postulan a la UNMSM, 109 
no postulan a la UPC y 70 
no postulan a estas univer-
sidades. ¿Cuántas personas 
postulan a las dos universi-
dades?
a) 6
b) 9
c) 8
d) 7
e) 10
- A 7 hombres que les gus-
ta Brasil no les gusta Ho-
landa.
- ¿Cuántos hombres que 
no les gusta Holanda ni 
Brasil hay?
a) 18
b) 7
c) 20
d) 17
e) 24
15. Sean los conjuntos:
 B = {4; 3; 5; 2; 0}
 A x x x= ∈ < <{ }/ �;0 9 y
 C = {1; 3; 5; 7; 9} 
 si; M B A C= −{ }∪ ; 
 calcula n[P(M)]
a) 512
b) 128
c) 64
d) 256
e) 32
UNMSM
13. En un instituto el 50% utili-
za reloj, el 30% usa lentes y 
los que utilizan ambos ac-
cesorios representan el 50% 
de los que no utilizan estos 
accesorios, si 20 utilizan 
ambos accesorios; calcula el 
número de alumnos del ins-
tituto.
a) 100
b) 120
c) 430
d) 80
e) 150
14. En una encuesta realizada se 
observó:
- A 38 mujeres les gusta 
Holanda.
- A 42 personas no les gusta 
Brasil ni Holanda.
- A 20 hombres les gusta 
Brasil.
- A 31 personas que les 
gusta Brasil también les 
gusta Holanda.
- A 45 mujeres no les gusta 
Brasil.
35
 ARITMÉTICA
Numeración
Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio 
de la correcta formación, lectura y escritura de los 
números.
Número:
Es un ente matemático que nos permite cuantificar 
los objetos de la naturaleza.
Numeral:
Es la representación simbólica o figurativa del 
número.
DEFINICIÓN
Es el sistema que utilizamos para representar a los 
números y se caracteriza por agrupar las unidades de 
un orden cualquiera de 10 en 10. Así tenemos que:
 Z 10 unidades forman 1 decena,
 Z 10 decenas forman una centena,
 Z 10 centenas forman 1 millar, etc.
Veamos el siguiente número:
NOTACIÓN
Si queremos representar un número cualquiera de 4 
cifras, escribiremos:
abcd
Para denotar un número de la forma señalada, 
tendremos en cuenta lo siguiente:
 Z Cada letra representa una cifra.
 Z Una expresión entre paréntesis representa una 
sola cifra.
 Z La cifra de mayor orden (1º cifra) debe ser signi-
ficativa (diferente de cero).
 Z Letras iguales representan cifras iguales.
 Z Letras diferentes no necesariamente representa 
cifras diferentes.
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
En muchos problemas es útil expresar un número 
en función de sus cifras, y esto se logra mediante el 
método de descomposición polinómica.
Veamos: 
3421 = 3000 + 400 + 20 + 1
 = 3 × 1000 + 4 × 100 + 2 × 10 + 1
En general 
abcde = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e
CONTEO DE NÚMEROS CONDICIO-
Algunas veces nos piden que hallemos números que 
cumplan con ciertas condiciones. En este tipo de 
problemas se aplica, generalmente, el “principio de 
multiplicación” del análisis combinatorio. Veamos el 
siguiente ejemplo:
¿Cuántos números impares de dos cifras empiezan en 
cifra par?
Nos piden encontrar los números de la forma que 
cumplan con las siguientes condiciones:
 Z “a” debe ser PAR a = 2, 4, 6, 8 (4 valores)
 Z “b” debe ser IMPAR b = 1, 3, 5, 7, 9 (5 valores)
Si por ejemplo a = 2 podemos formar los siguientes 
números:
; 4;
5# 5#
ab y si a ab
s s
21
23
25
27
29
41
43
45
47
49
.. ..
=
_
`
a
b
b
b
b
bb
_
`
a
b
b
b
b
bb
Y como “a” puede tomar 4 valores, podemos formar 
en total: 4 x 5 = 20 números que cumplen con las 
condiciones dadas.
Numeración I: sistema decimal
5TO AÑO
36
Trabajando en clase
Integral
1. Si a un número entero se le 
agregan 3 ceros a la derecha, 
dicho número queda aumen-
tado en 522477 unidades, 
¿cuál es el número?
2. ¿Cuántos números de 3 cifras 
no tienen ninguna cifra 2?
3. ¿Cuántos números existen 
mayores que 100 de la siguien-
te forma a(2a)b que terminen 
en cifra par?
PUCP
4. Si con dos cifras consecutivas 
formo la edad actual de Dan-
na. ¿Dentro de cuántos años 
ella tendrá una edad formada 
por las dos cifras iniciales en 
orden inverso?
Resolución:
a(a + 1) + x = (a+1)a
10 1 10 10a a x a a+ + + = + +
1 + x = 10
 x = 9
5. Si con dos cifras consecutivos 
formo la edad actual de Nor-
ma ¿dentro de cuantos años 
ella tendrá una edad formada 
por dos cifras que son las con-
secutivas de la cifras iniciales 
respectivamente?
6. Un número abc se divide entre 
el número bc,obteniéndose de 
cociente 19 y 12 de residuo. El 
menor valor de la expresión 
2a + b + c es:
7. ¿Cuántos números de tres 
cifras diferentes existen que 
sean iguales a 13 veces la suma 
de sus tres cifras?
UNMSM
8. Si mnpmn es producto de nú-
meros primos consecutivos y 
“p” es igual a cero, ¿cuál es el 
mínimo valor de mn?
Resolución:
mnpmn = mnomn
Descomposición polinómica
1000mn + mn
 1001mn
 1001 = 7 × 11 × 13 × mn
7 × 11 × 13 × mn
mn = 17 ⇒ Primos 
 consecutivos 17
9. Si aabb es el producto de 4 
números primos consecutivos 
CANTIDAD DE CIFRAS
¿Cuántas cifras se emplean al escribir todos los 
números enteros desde el 1 hasta el 324?
Del 1 al 324 hay, evidentemente, 324 números, pero 
no todos tienen la misma cantidad de cifras. Por esto 
separaremos los números en grupos que tengan igual 
cantidad de cifras.
12 3, ...,9 10 11, ...,99 100 101, ...,324
9 180 675 864Tota de cifras
9
9 1 9
99 9 90#
90 2 180
324 99 225
225 3 675
nœmeros
cifras
s
cifras
& = + + =
. . .
# # #=
- =
=
- =
=
1 2 344 44 1 2 3444 444S
calcula la suma de estos núme-
ros
10. ¿Cuántos números de 3 cifras 
utilizan por lo menos una cifra 
7 en su escritura?
11. ¿Cuántas cifras se han usado 
para enumerar un libro de 189 
hojas?
UNI
12. Si ab2 – ba2 = 3168 calcula el 
menor valor de a + b
Resolución:
ab2 – ba2 = (ab – ba) (ab + ba)
(10a+b-10b-a)(10a+b+10b+a)
(9a-9b)(11a+11b)
(a – b) (a + b) = 32
 123 123
 2 16
 4 8
(a + b) menor = 8
13. Si mn2 – nm2 = 1188 calcula el 
valor de: m + n
14. Si se cumple que:
 0, 0, 1,ab ba+ =
! ! !
Calcula el valor de a + b
37
 ARITMÉTICA
Sigo practicando
16. Si a un número entero se le agrega un cero a la de-
recha, dicho número queda aumentado en 3915 
unidades. ¿cuál es el producto de las cifras de di-
cho número?
a) 55 c) 65 e) 70
b) 50 d) 60
17. ¿Cuántos números de 4 cifras no utilizan la cifra 2 
y 3 en su escritura?
a) 3845 c) 3485 e) 3584
b) 3548 d) 3854
18. ¿Cuántos números existen mayores a 3000 de la 
siguiente forma?
 a a b b2 3



 ( )
a) 12 c) 15 e) 7
b) 10 d) 8
19. ¿Cuántos números existen que al sumarles 18 uni-
dades se obtiene el mismo número escrito con las 
cifras invertidas? 
a) 6 c) 8 e) 4
b) 5 d) 7
20. Un número xym se divide entre el número ym, 
obteniéndose de cociente 15 y 6 de residuo. El 
menor valor de la expresión 2x + 3y – m es: falla?
a) 11 c) 9 e) 7
b) 15 d) 18
21. ¿Cuántos números de tres cifras existen que sean 
iguales a 11 veces la suma de sus tres cifras? 
a) 3 c) 0 e) 1
b) 2 d) 4
5TO AÑO
38
16. d
17. e
18. a
19. d
20. a
21. e
22. c
23. a
24. d
25. d
26. e
27. e
28. b
29. c
30. e
Claves
22. Si: aobc + ca + ba = 5278 calcula c (a+b) 
a) 42 c) 72 e) 38
b) 56 d) 75
23. Para enumerar un libro se han empleado 2508 ci-
fras ¿cuántas páginas tiene el libro?
a) 872 c) 827 e) 877
b) 728 d) 782
24. ¿Cuántos números de 3 cifras utilizan por lo me-
nos una cifra 3 en su escritura?
a) 625 c) 225 e) 452
b) 635 d) 252
 
25. Se han empleado 252 cifras para enumerar las 
páginas de un libro si Ricardo ya ha leído los 5/12 
páginas del libro, ¿cuál es la siguiente página que 
debe leer?
a) 42 c) 58 e) 67
b) 36 d) 51
39
 ARITMÉTICA
Integral PUCP UNMSM
1. Si a un número entero se le 
agregan dos ceros a la de-
recha, dicho número queda 
aumentado en 3168 unida-
des, ¿cuál es la suma de ci-
fras de dicho número?
a) 3 d) 12
b) 8 e) 15
c) 5
2. ¿Cuántos números de 4 ci-
fras no tienen ninguna cifra 
par?
a) 625 d) 325
b) 550 e) 875
c) 750
3. ¿Cuántos números mayores 
que 200 pero menores que 
750 de la siguiente forma 
existen?
 a(2a)b
a) 600 d) 200
b) 500 e) 550
c) 549
4. Si a un número de 3 cifras se 
le agrega la suma de sus ci-
fras se obtiene 351 ¿cuál es 
el número?
a) 338
b) 342
c) 340
d) 348
e) 326
9. Cuántos números de 4 cifras 
tienen por lo menos una ci-
fra 5 en su escritura?
a) 3718 d) 3168
b) 3216 e) 3868
c) 3861
10. Para enumerar un libro de 
“n” páginas se han utilizado 
151 cifras ¿cuántas hojas tie-
ne el libro?
a) 32 d) 48
b) 52 e) 40
c) 35
11. Si a un número de 3 cifras 
que empieza en 4 se le supri-
me esta cifra se obtiene un 
número que es los 2/27 del 
número original, calcula la 
suma de cifras del número 
original.
a) 12 d) 15
b) 3 e) 6
c) 9
12. Si a un número de 3 cifras 
que empieza en 4 se le su-
prime esta cifra se obtiene 
un número que es los 3
43
 del 
número original.
 Calcula la suma de cifras.
a) 4 d) 49
b) 9 e) 3
c) 25
Tarea
5. Un número mnp se divide 
entre el número np, obte-
niéndose de cociente 24 y 
18 de residuo. Calcula 3m + 
n – 4p
a) 13
b) 14
c) 15
d) 11
e) 18
6. ¿Cuántos números de 3 ci-
fras diferentes existen que 
sean iguales a 15 veces la 
suma de sus tres cifras?
a) 1 d) 4
b) 0 e) 3
c) 2
7. Al producto de dos números 
enteros positivos consecu-
tivos se resta la suma de los 
mismos y se obtienen 71. El 
número mayor es:
a) 19 d) 18
b) 10 e) 12
c) 11
8. ¿Cuántas cifras se han usa-
do para enumerar las pá-
ginas de un libro que tiene 
235 hojas?
a) 650 d) 654
b) 1400 e) 1225
c) 1302
5TO AÑO
40
UNI Claves
01. c
02. a
03. e
04. b
05. d
06. a
07. b
08. c
09. d
10. e
11. c
12. e
13. a
14. d
15. c
13. Si xy yx
2 2
1584− = calcula 
el valor de x + y
a) 8
b) 12
c) 14
d) 5
e) 18
14. Si se cumple que: 
 0 0 1, ,ab ba
� �
+ =
 calcula el valor de b + a
a) 7
b) 5
c) 4
d) 9
e) 2
15. Si el número aacc es un cua-
drado perfecto, entonces la 
suma de los dígitos de dicho 
número es:
a) 12
b) 18
c) 22
d) 14
e) 26
41
 ARITMÉTICA
CAMBIOS DE BASE EN LOS SISTE-
MAS DE NUMERACIÓN
Caso 1: de base diferente de 10 a base 10.
 Z Método de descomposición polinómica
Ejemplo: Pasa 6428 a base 10.
 6428 = 6 × 8
2 + 4 × 8 + 2
 = 6 × 64 + 32 + 2
 = 418
 Z Método de Ruffini
Ejemplo: Pasa 6428 a base 10.
Caso 2: de base 10 a base diferente de 10.
 Z Método: divisiones sucesivas
Ejemplo: Pasa 698 a base 8.
Caso 3: de base diferente de 10 a otra base di-
ferente de 10.
Ejemplo: pasa 4328 a base 9
Paso 1: Pasa 4328 a base 10
 4328 = 4 × 8
2 + 3 × 8 + 2
 = 256 + 24 + 2
 = 282
Paso 2: Pasa 282 a base 9
282 9
12 31 9
3 4 3 ∴ 4328 = 3439
PROPIEDADES
1. Numeral de cifras máximas
 (n–1) (n–1) (n–1)... (n–1)n = n
k – 1
 14444444244444443
 k cifras
2. Bases sucesivas:
 a n a b c d1 b1 c1 1dn = + + + +
3. Intervalo en el cual se encuentran los numerales 
con cierto número de cifras.
 El intervalo para N(b) de K cifras es:
bk-1 ≤ N(b) < b
k
Trabajando en clase
Integral
1. Calcula: 2a + b2; si 
 Si: aab(7) = 213(5)
2. ¿Cuál es la suma de cifras del mayor número de 
tres cifras en base 6, luego de pasarlo al sistema 
decimal?
3. ¿En qué sistema de numeración existen 120 nú-
meros de tres cifras impares y diferentes entre sí?
PUCP
4. Si se cumple que:
3abc = 2ba5
Calcula a + b + c si son cifras significativas.
Resolución:
3 2ab ba5c =
+
Nota: a mayor numeral le corresponde menor 
base.
Numeración II
5TO AÑO
42
3 5
4
c1 1
.
3ab4 = 2ba5
3 4 4 2 5 5
48 4 50 5
3 4 2
2 1
2 1 4 7
a b b a
a b b a
a b
2 2
# # # #+ + = + +
+ + = + +
- =
+ + =
. .
5. Si se cumple: 4 3xy yx( ) (6)m =
Calcula: x + y + m
6. Si mn xxx30x = ( )5 calcula: (m × n) + x
7. Calcula el valor de “a” si: 00 21a a6 =
UNMSM
8. Si ab(4) = ba(n) entonces el mayor valor de “n” es:
Resolución:
ab(4) = ba(n)
4a + b = nb + a
3a = nb – b
3 ( 1)
3 1 9
1 9
10
a b n
n
n
= -
- =
=
. . .
9. Si xy yx(7) ( )n= entonces el mayor valor de “n” es:
10. Si los numerales están correctamente escritos cal-
cula: m + n + p
 42 ; 43 ; 62 ;300p m n( ) ( ) (7) ( )n p m
11. Un número de cuatro cifras en base 7 se represen-
ta en base 10 por 48a calcula el máximo valor de 
la suma de cifras de dicho número.
UNI
12. Indica el valor de x/y. Si 35 450y yx+ =
Resolución:
.
35 450
300 50 10 450
350 11 450
11 100
9 1
9
1
y yx
y y x
y x
y x
y
x
+ =
+ + + + =
+ + =
+ =
=
.
13. 432 2 5 1 4cba a c b6 (6) (6)+ = +
Calcula el máximo valor de a + b + c
14. Sean:1 1 ; 1101 ; 1 24A a B C a a(4) ( ) (5)a= = =
Calcula la suma de las cifras de C en base 10. Sa-
biendo que C = AB
43
 ARITMÉTICA
Sigo practicando
16. Calcula: (m+n)n si mmon( )6 8376=
a) 9 c) 8 e) 64
b) 25 d) 27
17. Calcula la suma de cifras luego de transformar el 
menor número de tres cifras diferentes en base 6 
al sistema decimal.
a) 14 c) 13 e) 11
b) 12 d) 15
18. ¿En qué sistema de numeración existen 840 nú-
meros de cuatro cifras impares y diferentes entre 
sí?
a) 11 y 12 c) 13 y 14 e) 10 y 11
b) 14 y 15 d) 14 y 16
19. Calcula x + y si se cumple que:
 
 10 76 8xy xy= 
a) 13 c) 10 e) 12
b) 11 d) 8
20. Si: m a m a2 1 54 2( ) ( )= calcula x a
a) 9 c) 10 e) 7
b) 11 d) 8
21. ¿Cuántos números de tres cifras existen que sean 
iguales a 11 veces la suma de sus tres cifras? 
a) 3 c) 0 e) 1
b) 2 d) 4
5TO AÑO
44
16. a
17. e
18. b
19. d
20. a
21. b
22. c
23. b
24. e
25. a
Claves
22. Calcula el valor de “x” xoo x8 1 8= 
a) 4 c) 7 e) 5
b) 2 d) 6
23. Calcula el valor de m + n, si se cumple que:
 mnnn nm6 85=
a) 3 c) 7 e) 8
b) 4 d) 6
24. Si los números están correctamente escritos cal-
cula: (a+b) (c+d)
 aaa c b db d c( ) ( ) ( ) ( ); ; ;21 02 00 5
a) 24 c) 16 e) 21
b) 8 d) 18
 
25. Si el numeral mnp escrito en base 9 se repre-
senta en la base 10 por np4. Calcula la suma de 
cifras de dicho numeral.
a) 14 c) 23 e) 27
b) 17 d) 19
45
 ARITMÉTICA
Integral PUCP
1. Calcula: a + b, si: 
 aabb( ) ( )4 7505=
a) 3 d) 10
b) 9 e) 4
c) 5
2. Calcula la suma de cifras 
luego de transformar el ma-
yor número de tres cifras 
impares diferentes en base 8 
al sistema decimal.
a) 14 d) 9
b) 11 e) 13
c) 12
3. ¿en qué sistema de numera-
ción existen 180 números de 
tres cifras pares y diferentes 
entres sí?
a) 13 y 14
b) 16 y 17
c) 13 y 15
d) 14 y 15
e) 15 y 17
4. Si:
 Calcula x . y
a) 15 d) 22
b) 18 e) 36
c) 21
Tarea
5. Si ab nnnn30 6( ) = calcula 
 a + b + n
a) 7 d) 18
b) 14 e) 9
c) 13
6. Calcula el valor de “x”
 x a000 1028( ) =
a) 1
b) 3
c) 5
d) 2
e) 6
7. Siendo:
 
54 02 1 16 038a bn( ) + =
 Calcula: a + b + n
a) 19 d) 15
b) 17 e) 18
c) 10
8. Determina un número de 4 
cifras sabiendo que es igual 
al número 2024(9). Calcula la 
suma de cifras de dicho nú-
mero.
a) 14
b) 13
c) 15
d) 10
e) 19
9. Si los numerales están co-
rrectamente escritos, calcu-
la: a + b + c
4 6 3 4 73 8 7n a b ca b c( ) ( ) ( ); ; ;
a) 17 d) 24
b) 19 e) 12
c) 26
10. Un número de cuatro cifras 
en base 6 se representa en 
base 10 por 72a. Calcula el 
menor valor de la suma de 
las cifras de dicho número.
a) 6 d) 13
b) 17 e) 6
c) 5
11. Calcula el valor de c – d, si 
se cumple que: ab cd b5 = ( ) , 
además 2 ≤ a
a) 3 d) 5
b) 2 e) 4
c) 1
12. Si el máximo numeral de 5 
cifras de base “n” es expre-
sado en el sistema decimal 
como: ( ) ( )n ab n+ −1 1
 calcula: a + b + n
a) 18
b) 21
c) 20
d) 19
e) 20
15
15
15
15
15
...
xy
= 232
39
números
UNMSM
5TO AÑO
46
UNI Claves
01. c
02. a
03. a
04. c
05. e
06. d
07. d
08. b
09. d
10. e
11. c
12. c
13. b
14. a
15. d
13. Indica el valor de a/b. si: 
84 9004a baa+ =( )
a) 1/4
b) 2/3
c) 1/3
d) 3/2
e) 1/2
14. Sean:
M a
N
P a
a
=
=
=
2 2
2010
40
4
5
( )
 Calcula la suma de cifras de 
P en la base 10, si: P = M + N
a) 7
b) 3
c) 8
d) 5
e) 6
15. Si: m m m abcde2 2 1 8 6( )+ =
 Calcula el valor de la cifra 
“e”
a) 1
b) 0
c) 4
d) 3
e) 2
47
 ARITMÉTICA
REPRESENTACIÓN LITERAL
• Número de 2 cifras =
• Número de 4 cifras = abcd
• Número de 3 cifras iguales = aaa
• Número capicúa de tres cifras = aba
• Número capicúa de 4 cifras = abba
VALOR ABSOLUTO Y VALOR RELA-
TIVO
ORDEN Y LUGAR
378921
LUGAR
ORDEN
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
 Z 3246 = 3000 + 200 + 40 + 6
 Z abcd = 1000a + 100b + 10c + d
 Z aaa = 111a
 Z a0b = 100a + b
 Z abab = 101ab
 Z 273(8) = 2 x 8
2 + 7 x 8 + 3 = 187
 Z abcn = a × n
2 + b × n + c
 Z abab ab xn ab( ) 2n n n= +
CAMBIO DE BASE
1er caso
De base n a base 10
Convertir 2674(8) al sistema de 
numeración decimal
2674(8) = 2 × 8
3 + 6 × 82 + 7 × 8 + 4
 = 2 × 512 + 6 + 64 + 56 + 4
 = 1024 + 384 + 56 + 4
 = 1468
2674(8) = 1468
2do caso
De base 10 a base m
Convertir 936 al sistema de 
numeración quinario
3er caso
De base n a base m
Convertir 732(8) al sistema de 
numeración senario
 7328 = 7 × 8
2 + 3 × 8 + 2
 = 448 + 24 + 2
 = 474
Numeración III
5TO AÑO
48
Trabajando en clase
Integral
1. Si: abcd = 37ab + 62cd
Calcula: a + b + c + d
2. ¿Cuántos numerales de 3 cifras todos impares 
existen en el sistema heptal?
3. Si los números están bien escritos:
110(a); aa1(b); c2(5); 21b(c)
Calcula a × b × c
PUCP
4. Cuántos numerales de la forma siguiente existen? 
Siendo a, b y c naturales?
(2 1)( 2)( )a b a2 9+ -
Resolución:
( )( )( )a b a2 1 2
3 9 27
0
1
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
9
#
+ -
=
. .
5. ¿Cuántos numerales de la forma
( )( )( )( )m n p m3 3 2 ( )
2
12- +
existen? Siendo m, n y p naturales
6. Calcula: a + b, si:
7. Calcula a + b, si se cumple:
223aabac c5 7=
UNMSM
8. ¿Qué sucede con un número de 4 cifras si a la pri-
mera cifra se le agregan 3 unidades, a la cifra de 
tercer orden se le restan 4 unidades y a su cifra de 
tercer lugar se le suman 5 unidades?
Resolución:
Número original: abcd
( )( 4)( 5)a b b c d+ - +
Descomposición polinómica
1000a + 3000 + 100b - 400 + 10c + 50 + d
1000a + 100b + 10c + d + 2650
abcd + 2650
Rpta.: el número aumenta en 2650
9. ¿Qué sucede con un número de 3 cifras, si a su 
cifra de primer orden se les agregan 4 unidades, 
a la segunda cifra se le agregan 5 unidades y a la 
cifra de primer lugar se le quitan 2 unidades?
10. Si se cumple que 
( 1)32a aba( ) (5)n+ =
Calcula: a x b x n
11. ¿Cuántas cifras se han usado para enumerar las 
páginas de un libro que tiene 128 hojas?
UNI
12. En cuántos sistemas de numeración el número 
1234 se escribe con tres cifras?
Resolución:
;
, ... ; , ...
, ... ; ...
; ; ; ...;
n n
n n
n n
n
n
sistemas
100 1234 1009
1234
1234 1234
35 10
10 35
11 12 13 35
35 10 25
( ) ( )n n
2 3
3
1
1
1
1
1
#
#
#
#
#
=
- =
13. ¿En cuántos sistemas de numeración el número 
65 se escribe con 2 cifras?
14. Dado el numeral capicúa
(2 1)(5 6 ) (7 11)(4 1)b b a c a a (9)+ - - -
Calcula el máximo valor de: a + b + c
49
 ARITMÉTICA
Integral PUCP UNMSM
1. Si: mnpq mn pq= +24 52
 calcular: m + n + p + q
a) 19 d) 11
b) 21 e) 25
c) 15
2. ¿Cuántos numerales de 4 
cifras todas pares y signi-
ficativas existen el sistema 
nonario?
a) 365 d) 625
b) 532 e) 456
c) 256
3. ¿Cuántos numerales de la 
forma
 ( )( ( )( )a c b b+ −4 2
2
 Si a; b y c son naturales?
a) 98
b) 44
c) 120
d) 204
e) 85
4. Si los siguientes números 
están correctamente escri-
tos
 202 1 1 36( ) ( ); ;a ba b
 Calcula a x b máximo
a) 15 d) 20
b) 18 e) 12
c) 16
9. Si se cumple que:
 ( )a aban+ =1 54 7
 Calcula: (a + b)n máximo
a) 36
b) 48
c) 24
d) 42
e) 54
10. Si se han empleado 840 ci-
fras para enumerar las pá-
ginas de un libro ¿cuántas 
hojas tiene el libro?
a) 178
b) 130
c) 142
d) 158
e) 188
11. Si 
 ( )( )( ) ( )n n n n− − − =1 2 3 313 6
 Calcula: n2
a) 9
b) 16
c) 36
d) 49
e) 25
12. A un número de 4 cifras que 
empieza en 3, se le suprime 
esta cifra. El número resul-
tante es 1/25 del número 
5. Calcula “m” si:
a) 6 d) 9
b) 7 e) 5
c) 4
6. Calcula el valor de a + b + n, 
si se cumple:
 ababn = 407
a) 10
b) 16
c) 12
d) 19
e) 22
7. ¿Cuántos números de 4 ci-
fras existen en el sistema de 
base 11 de cifras impares 
consecutivas?
a) 2
b) 10
c) 8
d) 7
e) 5
8. Si: 5 0 57 2a mnp=
 Calcula el valor de m + n + p
a) 13 d) 4
b) 3 e) 6
c) 7
1m
15
...m
= 130
1m
1m
1m
m
 
Tarea
5TO AÑO
50
UNI
Claves
01. a
02. c
03. c
04. d
05. e
06. c
07. a
08. c
09. b
10. d
11. e
12. c
13. a
14. e
15. b
original, entonces la suma de ci-
fras del número original es:
a) 9
b) 13
c) 11
d) 8
e) 17
13. ¿En cuántos sistemas de nu-
 
 ( )( ) ( )( )a a c b b− − −1 2 1 4
 calcula el máximo valor de 
 a + b + c
a) 14
b) 10
c) 13
d) 23
e) 20
15. Si: 40 58a bbn= expresa “k” 
en base 10, da como res-
puesta lasuma de cifras, si:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 7
e) 10
meración el número 423 se 
escribe con tres cifras?
a) 13
b) 10
c) 7
d) 15
e) 19
14. Dado el númeral capicúa
1n
30
numerales
1n
1n
(b-1)a
(b-1)a
(n)
...
51
 ARITMÉTICA
1. Si los numerales estan correctamente escrito, de-
termina m + n + p + q
 34m; 2m4(m); 10n(p) ;4p0(q) ;q3(9)
a) 26 c) 27 e) 22
b) 19 d) 24
2. Si xy(8) + yx9 = 1yx7
Determina x + y
a) 8 c) 11 e) 14
b) 9 d) 5
3. 
n
= 2135
1n
1n
1n
1n9





 Determina "n".
a) 4 c) 5 e) 6
b) 8 d) 7
26. Si: abab mn m n4 1 35 7= − −( )( ) 
 Si “m” y”n” son impares, calcula la suma de valo-
res que toma a + b + m + n
a) 16 c) 12 e) 8
b) 14 d) 10
27. Si: 
 1 101 51 1 1 9
a aa a a a =
 
 
Calcula “a” 
a) 1 c) 3 e) 4
b) 0 d) 2
28. Si: 
 
 
A aa a
B
C a
a
=
=
=
1 11
10001111
310
3
5
( )
( )
( )
 Calcula la suma de cifras de B en base 10 si 
 C = a – B
a) 8 c) 6 e) 16
b) 9 d) 12
29. Si se cumple que:
 aba ccb d d7 9 8= =
 Calcula: a + b + c + d
a) 12 c) 11 e) 13
b) 5 d) 15
30. ¿En qué sistema de numeración existen 20 nume-
rales de la forma
 
 a a b b( ) ( )− +3 3
a) Base 7 c) Base 9 e) Base 5
b) Base 6 d) Base 8
Repaso
5TO AÑO
52
Sigo practicando
1. Si p = V y q = F determina la verdad o falsedad de 
cada proposición.
 I. ∼ ( )p q p→ ∧
 II. ( )∼ ∼ ∼p q q∧ →
 III. ( )p q q∧ ∨
a) VVV c) FFV e) VVF
b) FVF d) FFF
2. Simplifica
 [ ( ) ]p p q p∧ → ∨{ }∼
a) ∼ p q→ c) p q→ e) ∼ ( )p q→
b) ∼ ∼p q∨ d) ∼ p q∧
3. Indica la negación de la siguiente proposición:
 “No es el caso que si estudias entonces desaprue-
bas el examen de aritmética”
 a) Si estudias no das la prueba.
 b) Apruebas el examen de aritmética, si no 
 estudias
 c) Estudias y apruebas el examen de aritmética
 d) Estudias o no rindes el examen de aritmética
 e) No estudias ni rindes el examen de aritmética
4. Dado el conjunto
 P a b a= ∅ { }{ }; ; ¿cuántas proposiciones son ver-
daderas?
 I. ∅⊂ p 
 II. ∅∈p 
 III. a p;∅∈ 
 IV. a a b p; ;{ }{ }⊂
a) 1 c) 2 e) 4
b) 0 d) 3
5. Si el conjunto B es unitario, determina a + x
B a x x a= + − +{ }2 3 2 11; ;
a) 12 c) 16 e) 10
b) 14 d) 11
6. De un grupo de personas se sabe que:
 - El 46% conoce Europa.
 - El 42% conoce Asia.
 - El 58% conoce Oceanía.
 - El 8% conoce los tres lugares.
 - El 5% no conoce ninguno de estos conti- 
 nentes, si 390 personas conocen por lo me- 
 nos dos continentes ¿cuántas personas fue- 
 ron encuestadas?
a) 2500 c) 2000 e) 3500
b) 4000 d) 3000
53
 ARITMÉTICA
1. a
2. c
3. d
4. a
5. b
6. b
7. c
8. d
9. c
10. e
Claves
7. A la fiesta de promoción de quinto año del salón 
“Pamela” asistieron 65 personas, en determinado 
momento se observó que 8 hombres y 7 mujeres 
no bailaban. ¿Cuántas mujeres asistieron a la fies-
ta de promoción?
a) 28 c) 32 e) 18
b) 22 d) 30
8. ¿Cuántos números de 5 cifras existen en el siste-
ma de numeración duodecimal que no utilicen la 
cifra 2 y 5 en su escritura?
a) 83324 c) 87427 e) 90734
b) 83243 d) 90000
9. Cuantos números de 2 cifras son iguales a 4 veces 
la suma de sus cifras?
a) 3 c) 4 e) 1
b) 2 d) 0
10. ¿Cuántas cifras se han usado para enumerar un 
libro de 100010(2) hojas?
a) 96 c) 130 e) 127
b) 74 d) 200
55
 ARITMÉTICA
Adición y sustracción
ADICIÓN
Es la operación aritmética que consiste en reunir dos 
cantidades homogéneas en una sola.
A + B = S
• A y B son sumandos
• S es suma o total
Principales sumatorias
1. Suma de los «N» primeros números enteros posi-
tivos
1 + 2 + 3 + 4 + … + N = ( )N N2
1+
2. Suma de los «N» primeros números pares positivos
2 + 4 + 6 + 8 + … + 2N = N(N + 1)
3. Suma de los «N» primeros números impares po-
sitivos
1 + 3 + 5 + 7 + … + (2N – 1) = N2
Adición en otras bases
Calcula la suma de cifras de «M»
M = 454(6) + 353(6)
Resolución:
 +1 +1 +1 
 4 5 4(6)+
 3 5 3(6)
1 2 5 1(6)
Cifra de las unidades
4 + 3 = 7 = 6 + 1
 1 grupo «base 6»
Se coloca 1 y se lleva 1
Cifra de las decenas:
5 + 5 + 1 = 11 = 6 + 5
 1 grupo «base 6»
Se coloca 5 y se lleva 1
Cifra de las centenas:
4 + 3 + 1 = 8 = 6 + 2
 1 grupo «base 6»
Se coloca 2 y se lleva 1
Suma de cifras = 1 + 2 + 5 + 1 = 9
SUSTRACCIÓN
Es una operación que tiene por objeto, dadas dos 
cantidades: minuendo y sustraendo, obtener una 
tercera llamada diferencia, que determina la cantidad 
de unidades en que el minuendo excede al sustraendo.
M – S = D
• M: minuendo 
• S: sustraendo 
• D: diferencia
Propiedades
1. La suma de los tres términos de una sustracción 
es igual al doble del minuendo, es decir:
M + S + D = 2M
2. Dado: ab – ba = pq, donde a > b
 Se cumple que i) p + q = 9
 ii) a – b = p + 1
3. Dado: abc – cba = mnp, donde a > c
 Se cumple que i) n = 9
 ii) m + p = 9
 iii) a – c = m + 1
Complemento aritmético (CA)
El complemento aritmético de un número positivo es 
lo que le falta a dicho número para ser igual a una 
unidad de orden inmediato superior.
Ejemplos
• CA (42) = 100 – 42 = 58
• CA (228) = 1000 – 228 = 772
• CA(4325) = 10 000 – 4325 = 5675
5TO AÑO
56
Trabajando en clase
Integral
1. Calcula a + b + c + d, si:
a1a + a2a + a3a + … + a9a = bcd4
2. Calcula la suma de 4357; 1647 y 
4167
3. Calcula E si abc – cba = xy4
E = 7xy + y6x + xy3
PUCP
4. La diferencia de los cuadrados 
de dos números impares con-
secutivos es 432. ¿Cuál es el 
mayor?
PUCP 2013-II
Resolución
Sean los números x y (x+2)
(x + 2)2 – x2 = 432
x2 + 4x + 4 – x2 = 432
4x + 4 = 432 ⇒ x = 107
Número mayor: 109
5. La suma de los cuadrados de 
dos números pares consecuti-
vos es 1060, ¿cuál es el menor 
de los números?
6. Calcula la suma de las cifras 
de la decenas de 10 números 
consecutivos. La suma de es-
tos números es 505.
7. Dos amiga: Danna y Naomi, 
parten simultáneamente desde 
sus casas al encuentro una de 
la otra. Dannna recorre en el 
primer minuto 50 m y en cada 
minuto siguiente 2 m más que 
en el anterior. Por otro lado, 
Naomi recorre en el primer 
minuto 40 m y en cada minu-
to siguiente 4 m más que en el 
anterior. ¿Después de cuantos 
minutos se encuentran si la 
distancia que están separadas 
sus casas es de 510 m?
UNMSM
8. La suma de tres números im-
pares positivos y consecuti-
vos excede al mayor de ellos 
en 28 unidades. Determina el 
producto de los tres números 
pares que se encuentran entre 
ellos
UNMSM 2012-II
Resolución:
Sean los números 
a; (a + 2) y (a + 4)
a + (a + 2) + (a + 4) = (a + 4) + 28
3a + 6 = a + 32 ⇒ a = 13
Nos piden:
(13 × 15 × 17) – (14 × 16) = 3091
9. La suma de tres números im-
pares consecutivos es igual a 
99. Calcula la suma de los dos 
números mayores.
UNMSM 2013-II
10. Sabiendo que abc2 – 2cba = 
4275, además b + c = 10, cal-
cula el minuendo
11. Calcula a + b + c si se cumple 
que:
 CA (abc) = 4(c(b–4)a) + 4
UNI
12. Lorena tiene 20 años menos 
que Andrea. Si las edades de 
ambas, suman menos de 86 
años, ¿cuál es la máxima edad 
que podría tener Lorena?
UNI 2013-II
Resolución
Edad de Lorena = x
Edad de Andrea = x + 20
x + (x + 20) < 86
x < 33
xmax = 32
Edad de Lorena = 32
13. Bryan tiene 25 años de menos 
que José y este último tiene 10 
años menos que Richard. Si las 
edades de las tres personas su-
man menos de 90 años. ¿Cuál 
es la máxima edad que podría 
tener José?
14. La suma de los complementos 
aritméticos de los números: 
1a1, 2a2, 3a3, …, 9a9 es 3915.
 Determina el valor de «a»
En general:
CA(N) = 10k – N
K → número de cifra de «N»
Sustracción en otras bases
Calcula: N = 734(8) – 276(8)
Resolución:
 +1 +1 
 7 3 4(8)–
 2 7 6(8)
 4 3 6(8)
Cifra de las unidades
Como no se puede restar, se presta de la cifra de las 
decenas un grupo de 8
(8 + 4) – 6 = 6
Cifra de las decenas
Como no se puede restar, se presta de la cifra de las 
centenas un grupo de 8
(2 + 8) – 7 = 3
Cifra de las centenas
6 – 2 = 4
57
 ARITMÉTICA
Sigo practicando
16. Calcula «m + n + p», si se cumpleque:
 n1m + n2m + n3m + … + n7m = 38p1
a) 6 b) 12
c) 10 d) 11
e) 8
17. Resuelve:
 3256 + 4026 – 3556
a) 3126 b) 1246
c) 3326 d) 2226
e) 4326
18. Calcula B si: 
 mnx – xnm = 3ab
 B = 5ba + a8b + ab7
a) 1252 b) 3052
c) 1732 d) 2522 
e) 2618
19. Determina la suma de las cifras del resultado
 P = (3333…333)2
	 	 1442443
 40 cifras
a) 1089 b) 180
c) 369 d) 360
e) 2000
20. Calcula la suma de las cifras de las decenas de 
15 números consecutivos si la suma de estos 
números es 472.
a) 40 b) 34
c) 46 d) 28
e) 38
21. Miguel trabaja en una oficina ubicada en la Av. 
28 de julio y su novia Cecilia en otra situada 
la Av. Huancavelica, y parten simultáneamen-
te a encontrarse. Miguel recorre en el primer 
minuto 30 m y en cada minuto siguiente 3 m 
más que en el anterior. Por otro lado, Cecilia 
recorre en el primer minuto 25 m y en cada 
minuto siguiente 5 m más qie en el anterior. 
Si se encuentran después de 8 minutos, ¿qué 
distancia hay entre las Av. 28 de julio y la Av. 
Huancavelica?
a) 324 m b) 340 m
c) 458 m d) 508 m
e) 664 m
5TO AÑO
58
16. E
17. C
18. D
19. D
20. A
21. E
22. D
23. E
24. D
25. B
Claves
22. Considera que todas las personas que estaban 
en una fiesta se saludaron con un apretón de 
manos por una vez. Si se realizaron más de 900 
saludos, el número mínimo de personas que 
pudo estar presente en esta fiesta es:
a) 46 b) 26
c) 36 d) 44
e) 52
23. La suma de cuatro números enteros positivos y 
diferentes es 24. La suma de los dos mayores es 
el doble de los dos menores; la suma del menor 
con el mayor es igual a la suma de los otros dos 
números. Si P es el producto de los cuatro nú-
meros, la suma de las cifras de P es:
a) 16 b) 20
c) 22 d) 15
e) 18
24. Si se sabe que mnp5 – 5pnm = 1908 además b 
+ c = 7, calcula el minuendo
a) 3075 b) 5165
c) 6345 d) 7345
e) 2435
25. Calcula a + b + c si CA.(cba) = abc + 2ª
a) 11 b) 17 c) 13
d) 8 e) 15
• A + B = S
• Sumatorias notables
 1 + 2 + 3 + … + n = ( )n n2
1+
 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)
 1 + 3+ 5 + … + (2n – 1) = n2
Esquema formulario
Adición Sustracción
• M – S = D
• Si 
 a b c – 
 c b a 
1) n = 9
2) m + p = 9
3) a – c = m +1 m n p
• CA(N) = 10k – N
 «k» cifras
59
 ARITMÉTICA
Integral
PUCP
UNMSM
1. Determina el valor de 
Z + W + T, si se cumple que: 
TTT + TTT + W = ZWT
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
2. Halla la diferencia de 4325 y 
1435
a) 1325 b) 1045
c) 2345 d) 1445
e) 3435
3. Calcula P si: abc – cba = 
mn2
 P = 5nm + n9m + mn4
a) 2388 b) 982
c) 1883 d) 3582
e) 4387
4. Determina la suma de las 
tres últimas cifras de A
 A = 8 + 89 + 989 + 8989 + 
… + 989…98989 14442443
 10 cifras
a) 15 b) 13 c) 11
d) 5 e) 8
5. Calcula la suma de las cifras 
de las unidades de la edad 
de 12 personas, sabiendo 
que las edades son consecu-
tivos y suman 246.
a) 32 b) 49 c) 36
d) 56 e) 45
6. María y su hija Francesca 
parten simultáneamente 
desde el trabajo y la uni-
versidad, respectivamente, 
al encuentro una de la otra. 
María recorre en el primer 
minuto 40 m y en cada mi-
nuto siguiente 3 m más que 
en el anterior. Por otro lado, 
Francesca recorre en el pri-
mer minuto 50 m y en cada 
minuto siguiente 3 m más 
que en el anterior. ¿Después 
de cuántos minutos se en-
cuentran si la distancia que 
las separaba al inicio era de 
1026 m?
a) 7 b) 12 c) 5
d) 3 e) 9
7. Indica el menor número en-
tero, tal que sumado con el 
triple de su complemento 
aritmético resulte 22 508.
a) 3746 b) 3647
c) 11 524 d) 11 254
e) 3 745
8. Un niño le dice a su padre: 
«de los 140 soles que me 
diste, gasté 58 soles más de 
lo que no gasté». ¿Cuánto 
no llegó a gastar el niño?.
a) 21 b) 25 c) 37
d) 31 e) 41
9. Pedro tiene S/. xyz5 y Ri-
chard, S/. 5zyx. Si Pedro tie-
ne S/. 3087 más que Richard, 
además y + z = 7, ¿cuánto di-
nero tiene Pedro?
a) 3435 b) 5255
c) 6345 d) 8435
e) 4165
10. Calcula la suma de cifras del 
complemento aritmético del 
numero N.
N = 2 × 10n + 3z10n–2 + 5 × 10n+2 
+ 7×10n–1
a) 27 b) 29 c) 24
d) 33 e) 31
11. En una escuela, el horario de 
clases comienza a las 08:00 a. 
m. en sesiones de 45 minutos 
con un receso de 5 minutos y 
un recreo de 15 minutos des-
pués de la 3a hora. ¿Qué hora 
es al término de la 5a hora?
a) 12:25 p. m.
b) 12:15 p. m. 
c) 12:30 p. m.
d) 12:00 m
e) 12:20 p. m.
12. Determina la suma de cifras 
del número de dos cifras que 
excede en 27 a 10 veces la ci-
fra de las unidades de dicho 
número.
a) 18 b) 11 c) 13
d) 16 e) 9
Tarea
5TO AÑO
60
UNI
13. Claudia tiene S/. 33 soles me-
nos que Rafaela. Si las cantida-
des que tienen ambas, suman 
menos de S/. 189, ¿cuál es la 
máxima cantidad de dinero 
que podría tener Claudia?
a) S/. 101 b) S/. 94 c) S/. 63
d) S/. 86 e) S/. 77
14. Patricia tiene 1a1, 2a2, 3a3, 
4a4 y 5a5 canicas de color rojo, 
verde, amarillo, lila y azul, res-
pectivamente. Si la suma de los 
complementos aritméticos de 
estas cantidades es 3285. ¿Cuán-
tas canicas de color verde y lila 
tiene Patricia?
a) Verde, 252; lila 454
b) Verde, 242; lila 444
c) Verde, 212; lila 414
d) Verde, 232; lila 434
e) Verde, 222; lila 424
15. Calcula «m» si se sabe que es de 2 
cifras y la suma de todos los núme-
ros de «m» cifras cuyo producto de 
cifras es 3, termina en 86.
a) 24 b) 18 c) 14
d) 28 e) 16
Claves
01. E
02. C
03. A
04. E
05. D
06. E
07. A
08. E
09. D
10. B
11. B
12. D
13. E
14. B
15. A
61
 ARITMÉTICA
Multiplicación y división
MULTIPLICACIÓN
Definición
Es una operación directa que consiste en reunir dos o 
más cantidades en una sola.
Términos
P = a . b = a + a + … + a
 144424443
 «b» veces
Multiplicador
Multiplicando
Producto
DIVISIÓN
Definición
Es una operación inversa a la multiplicación que 
consiste en encontrar una cantidad llamada cociente, 
de manera que al multiplicarse por el divisor, 
reproduce el dividendo.
Términos
 D = d . q 
Cociente
Divisor
Dividendo
Advertencia pre
El tema de división es la base del tema 
divisilidad, que es uno de los más 
evaluados en los exámenes de admisión.
Clases de división entera
1. División exacta
 La división entera es exacta cuando el cociente es 
entero.
 Ejemplo:
45 5
-- 9 ∈ Z
 
2. División inexacta
 La división entera es inexacta cuando el cociente 
no es entero.
 Ejemplo:
37 5
-- 7,4 ∉ Z
Clases de división inexacta
a) Por defecto
 
D d
r q 
D = d . q + r
 q: cociente por defecto
 r: residuo por defecto
b) Por exceso
 
D d
r’ q + 1 
D = d . (q + 1) – r’
 q + 1: cociente por exceso
 r’: residuo por exceso
Propiedades de los residuos
1. El residuo es menor que el divisor
r < d
2. La suma de los residuos es igual al divisor
r + r’ = d
3. El residuo máximo es una unidad menor que el 
divisor
rmáx. = d – 1
5TO AÑO
62
Trabajando en clase
Integral
1. Determina los factores de una 
multiplicación cuya diferencia 
es 36. Además, si se disminuye 
en 3 unidades a los términos 
de la multiplicación, el pro-
ducto disminuye en 231.
2. Calcula un número de 3 cifras 
que dividido entre el número 
formado por sus dos últimas 
cifras da como resultado 24 de 
cociente y 2 de residuo.
3. Si abc × 237 = dd973
 calcula «a + b + c + d»
PUCP
4. En un gallinero había cierto 
número de aves. Si cuadru-
plico este número y vendo 60, 
quedan menos de 104. Pero si 
duplico el número inicial de 
aves y vendo 10, quedan más 
de 68; ¿cuántas aves había al 
principio?
PUCP 2010-II
Resolución:
Número de aves = A
4A – 60 < 104
4A < 104
A < 41
2A – 10 > 68
2A > 78
A > 39
39 < A < 41 \ A = 40
5. En una cochera hay cierta can-
tidad de autos. Si triplico esta 
cantidad y compro 20 autos 
más, tendría menos de 83 au-
tos. Pero si quintuplico el nú-
mero inicial de autos y vendo 
20, quedarían más de 75 autos. 
¿Cuántos autos había al prin-
cipio?
6. ¿Cuántos número existen que 
al ser divididos entre 36 dan-
como residuo un número que 
es el triple del cociente?
7. ¿Cuál es el menor número en-
tero que, al multiplicarlo por 
1260, da un cuadrado perfec-
to?
UNMSM
8. Tengo dos bolsas, una roja y 
otra verde,

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