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Aritmética Quinto Año Índice ARITMÉTICA QUINTO AÑO DE SECUNDARIA ● Lógica Proposicional I ..................................... 7 ● Lógica Proposicional II .................................... 14 ● Conjuntos I ...................................................... 21 ● Conjuntos II ..................................................... 28 ● Numeración I: sistema decimal ............................ 35 ● Numeración II ................................................... 41 ● Numeración III ................................................ 47 ● Repaso ............................................................. 51 ● Adición y sustracción ....................................... 55 ● Multiplicación y división .................................. 61 ● Progresión aritmética ........................................ 67 ● Progresión geométrica ...................................... 73 ● Divisibilidad I ................................................... 79 ● Divisibilidad II ................................................. 85 ● Números primos ............................................... 91 ● Repaso ............................................................. 97 Nuevo texto ● MCM y MCD I ................................................ 99 ● MCM y MCD II ............................................... 105 ● Números racionales (Q) ................................... 111 ● Razones y proporciones .................................. 118 ● Reparto proporcional .......................................... 125 ● Magnitudes proporcionaleS ............................ 131 ● Regla de tres .................................................... 138 ● Repaso ............................................................. 145 ● Promedio .......................................................... 147 ● Mezcla ............................................................. 154 ● Porcentajes ....................................................... 161 ● Interés ............................................................. 168 ● Descuento ......................................................... 174 ● Estadística ........................................................ 181 ● Estadística II ..................................................... 190 ● Repaso ............................................................. 200 7 ARITMÉTICA LÓGICA PROPOSICIONAL Es una parte de la lógica que tiene como objeto de estudio la proposición y la relación existente entre ellas, así como la función que tienen las variables proposicionales y los conectivos lógicos. PROPOSICIÓN LÓGICA Es el significado de una expresión aseverativa que se caracteriza por tener un valor veritativo (es decir el significado tiene la posibilidad de ser verdadero o falso pero no los dos a la vez). Las proposiciones lógicas se representaran mediante letras minúsculas del abecedario (…p,q,r,s,…) a los cuales se denominará variables proposicionales. Ejemplos: p: “Lima es una ciudad europea” q: “El rio Amazonas pasa por la selva” r: “(10-3) x 2<18 CLASES DE PROPOSICIONES Proposición Simple o Atómica Es aquella proposición con un solo significado. Carente de conjunciones gramaticales y del adverbio de negación “no”. Ejemplos: “El acero es resistente” “6 y 7 son número consecutivo” Proposición Compuesta Molecular Son aquellos que tienen dos o más significados unidos por conjunciones gramaticales o, en todo caso, contienen el adverbio de negación “no”. Ejemplos: Hoy día es martes y estudiaremos aritmética “no es cierto que el perro ladre” CONECTIVOS LÓGICOS Símbolo Nombre Lenguaje Común ~ Negación No, no es cierto que, no es el caso que, etc. ∧ Conjunción Y, pero, sin embargo, además, aunque, a la vez, etc. ∨ Disyunción inclusiva “o” ∆ Disyunción exclusiva “o”, “o… o…” → Condicional “Si… entonces…”, “… si…”, “… dado que”, “…siempre que…”, “… porque…”, “... por lo tanto ...”, etc. ↔ Bicondicional “… si y solo si …” Proposición Negación Conjunción Disyuncióninclusiva Disyunción exclusiva Condicional Bicondicional p q ~ p ~ q p ∧ q p ∨ q p ∆ q p → q p ↔ q V V F F V F V F F F V V F V F V V F F F V V V F F V V F V F V V V F F V Lógica Proposicional I 5TO AÑO 8 Trabajando en clase Integral 1. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones lógicas? a) 7, 12 y 15 son números en- teros b) Si 3x < 13 entonces X es igual a –4 c) Richard y su hija son pe- ruanos d) ¿Quién es el Presidente del Perú? e) Es la ciudad más bella del Perú. 2. Realiza la tabla de valor de verdad del siguiente esquema molecular. ~(p–q) ↔ ~[(~q) → (~p)] E indica si es tautológico con- tradictorio o contingente. 3. Simboliza las siguientes pro- posiciones. a) O José vendrá porque ha recibido la carta o no está interesado en el nuevo tra- bajo. b) Si no es el caso que Marcos sea comerciante y un prós- pero industrial, entonces es ingeniero o no es co- merciante. PUCP 4. Si la proposición compuesta: (~p ∧ q) → (q ∧ s) Es falsa, determina el valor de verdad de la siguiente proposi- ción: (q ↔ s) ∨ p Resolución: (~p ∧ q) → (q ∧ s) ≡ F (F) (V) (V) (F) 14243 14243 V F (q ↔ s) ∨ p V ↔ F ∨ F 1442443 F ∨ F ≡ F 5. Si la proposición: (~p ∨ q) ∨ (r → s) Es falsa determina el valor de verdad de las siguientes pro- posiciones: a) (~p ∆ q) → r b) (r ↔ q) ∧ (~q ∨ ~p) 6. Si la siguiente proposición lógica compuesta es falsa, de- termina el valor de verdad de cada proposición. Si Orlando trabaja, entonces puede estu- diar o comprarse un televisor nuevo. 7. Si la proposición: ~[p ∧ (q ↔ p)] es falsa. IMPORTANTE Cuando los valores del operador principal son todos verdaderos, se dice que el esquema molecular es tautológico. Se dirá que el esquema molecular es contradictorio si los valores del operador principal son todos falsos. Si los operadores del valor principal tienen por lo menos una verdad y una falsedad, se dice que es contingente o consistente. EVALUACIÓN DE FORMULAS POR LA TABLA DE VERDAD Evaluar una fórmula por la tabla de verdad es obtener los valores del operador principal a partir de los valores de verdad de cada una de las variables proposicionales. El número de valores que se asigna a cada variable es 2n, donde “n” es el número de proposiciones que hay en la fórmula. Determina el valor de verdad en cada caso. a) (p → q) ∨ q b) (q ∨ ~p) ↔ q c) ~[p → (q ∧ p)] UNMSM 8. Si a > 0 y b < 0, determina el valor de verdad de las siguien- tes proposiciones: I) a4 b < ab4 II) |ab3| = ab3 III) ab b a2 =- (UNMSM 2012 – II) Resolución: a ⇒ 1; 2; 3; …; etc. b ⇒ –1; –2; –3; ..; etc. I) a4b < ab4 ….(V) (negativo) (positivo) II) |ab3| = –ab3 ………(F) El valor absoluto siempre es positivo III) ab b a2 =- ………(V) Porque b < 0 por lo tanto negativo 9. Determine el valor de verdad de las siguientes preposicio- nes: I) Si x ≤ 4, entonces x = 8 II) Caral es la ciudad más an- tigua del Perú. III) BID significa Banco Inter- nacional de Desarrollo. 9 ARITMÉTICA 10. Si p = V ; q = V y r = F Los valores de las proposicio- nes siguientes son: a) [(~p → q) ∆ r] ↔ q ......( ) b) (~p ∨ q) → (~r ∧ ~q) ...( ) 11. Sí “a” es par y “b” es impar, de- termina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I) a x b = impar II) b + b = par III) a – b = impar UNI 12. Si la proposición (p ∧ ~q) → (r → ~s), es falsa, El valor de p, q, r, s (en ese or- den) es: (UNI 2012 – I) Resolución: (p ∧ ~q) → (r → ~s) ≡ F (V) (F) (V) (V) 1442443 1442443 V F p = V; q = F; r = V; s = V 13. Si la siguiente proposición es verdadera, determina el valor de p, q, r, s (en ese orden) ~[~(p ∧ q) ∨ (r → ~s)] 14. Indica la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera o falsa. I) Si “m” y “n” son números no divisibles por tres, en- tonces la suma o la dife- rencia de elloses un múl- tiple de tres. II) Si “m” y “n” son múltiples de tres con m > n > 0; en- tonces, el cociente m/n es un múltiple de tres. III) Si “m” y “n” son múltiples de tres con m; n> 0 enton- ces el MCD (m, n) es un múltiplo de tres. (UNI 2010 – I) 5TO AÑO 10 Sigo practicando 19. Si las siguientes proposiciones: (p∨~p) y (q∧ p) son verdadera y falsa, respectivamente, determina los valores de verdad de: I) (q→p)∧~(q→~p) II) (q→~p)→(q→p) III) (~p∧~q)↔(p∨q) a) FVF c) FVV e) VVV b) FFV d) VVF 20. Si la siguiente preposición lógica compuesta es fal- sa, determina el valor de verdad de cada proposi- ción: Si Richard trabaja bien y no comete errores entonces no corregiriamos tantos errores. a) VVF c) FVV e) VVV b) VFV d) FFF 21. Del resultado de la tabla de verdad del siguien- te esquema molecular: (p↔q)→(r∨~p), se tiene que la diferencia entre la cantidad de verdades y falsedades es: a) 1 c) 5 e) 7 b) 3 d) 6 16. ¿Cuántos de los siguientes enunciados son propo- siciones lógicas? a) El Perú cumplió 198 años de fundación. b) María es esposa de José y ama de casa. c) Él es el mejor escritor peruano. d) ¡El mejor equipo del mundo es el Barcelona de España! a) 0 c) 1 e) 4 b) 3 d) 2 17. Realiza la tabla de valor de verdad del siguiente esquema molecular. (p→~q)↔~(~p∆q) e indica que tipo de proposición es. a) Tautológico b) Contradictorio c) No se puede determinar d) Ambiguo e) Contingente 18. Simboliza la siguiente proposición. Ricardo ira a la fiesta, si solo si lo acompaña Ivet y Yenni. a) p q r↔ →( ) b) p q r↔ ∧( ) c) p q r↔ ∨( ) d) p q r↔ ∨ e) p r q↔ ∧ 11 ARITMÉTICA 16. d 17. e 18. b 19. e 20. b 21. b 22. a 23. b 24. c 25. d Claves 22. Los valores de verdad de las siguientes proposiciones: a) (3 + 5 = 8) v (5 – 3 = 4) b) ( ) ( )3 5 8 1 7 6- = → - = c) ( ) ( )3 8 11 7 4 1+ = ∧ - > d) ( ) ( )4 6 9 5 2 4+ = ↔ - = Son respectivamente: a) VVVV c) VVFF e) FFVF b) VVFV d) VFVF 23. Sean las proposiciones: p = 23 + 32 = 17 q = 74 = 2401 r = 32 + 43 > 150 Los valores de verdad de los siguientes esquemas moleculares son respectivamente. • p q r∧ → • ( )p r q→ ∧ • p q r∧ →( ) a) FFV c) VVV e) FFF b) VVF d) FVF 24. Si r = V ; p = V y s = V los valores de las siguientes proposiciones son: a) [(p↔~s)→r] b) (p→~s)∆(r∨s) c) [~r∧~(s↔~p)] a) VVV c) VVF e) FFF b) VFV d) FFV 25. Si “x” es un número impar e “y” es par determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I. y + x = impar II. xy = número negativo III. x.y = par a) VVF c) FVF e) VVV b) VFF d) VFV 5TO AÑO 12 Tarea Integral PUCP 1. ¿Cuántos de los siguientes enunciados son proposicio- nes lógicas? a) ¿Albert Einstein fue el hombre más inteligente del mundo? b) 2×3+1<5 c) El éxito es la recompensa de la persistencia. d) ¡Ella es la mujer más be- lla del mundo! a) 0 b) 3 c) 1 d) 2 e) 4 2. Realiza la tabla de valor de verdad del siguiente es- quema molecular. (-p∧q)∆(-q↔-p) e indica qué tipo de propo- sición es: a) Tautológica b) Contradictoria c) No se puede determinar d) Ambigua e) Contingente 3. Simboliza la siguiente pro- posición. No es el caso que, si Bryan es médico o comerciante, entonces es médico. a) ∼ [( ) ]p q q∨ → b) ∼ ∼( )p q p∨ → c) ∼ ∼[( ) ]p q p∨ → d) ∼ [( ) ]p q p∨ → e) ∼ ∼[( ) ]p q p∨ 4. Si p = V, q y r son dos pro- posiciones cualesquiera. Determinar el valor de ver- dad de: I) ∼ ∼ ∼p p q→ ∨( ) II) [ ) ( )]r p q p r∨ ∧ ∧ →∼ ∼ III) [( ( ))] ( )p p q q p↔ ∨ ↔ ∧ ∼ a) VVF b) VFF c) FVF d) FFF e) VVV 5. Si la siguiente proposición es falsa (F) determina el va- lor de verdad de cada pro- posición. “Si hay lluvias en la sierra y el gobierno distribuye abo- no, entonces la producción agrícola crecerá”. a) VVV b) VFV c) FFV d) FFF e) VVF 6. Si la proposición: ( ) ( )p q r s∧ → →∼ ∼ es falsa, determina el valor de verdad en cada caso. a) ∼ ∼( )p q q∧ ∨ b) [( ) ] [( ) ]r q q q r s→ ∧ ↔ ∨ ∧∼ c) ∼ ∼ ∼[( ) ] ( )p q q p q∨ ∧ → → a) VVV b) FVF c) FFF d) VFV e) VVF 7. Del resultado de la tabla de verdad del siguiente esque- ma molecular: , (p ∆ t) → (q → t) se tie- ne que la diferencia entre la cantidad de verdades y fal- sedades es: a) 1 d) 6 b) 3 e) 7 c) 5 8. Realiza el esquema molecu- lar de la siguiente proposi- ción y determina cuántos valores verdaderos tiene su matriz principal. “No es el caso que si Nao- mi y Andrea son peruanas, entonces Naomi no es pe- ruana” a) 0 b) 1 c) 4 d) 2 e) 3 13 ARITMÉTICA 12. Determinar el valor de ver- dad de las siguientes propo- siciones. a) Si Grau es peruano en- tonces Grau es chileno. b) Los Presidentes del Perú y Brasil son Ollanta Hu- mala y Lula da Silva res- pectivamente. c) José Carlos Mariátegui fue un héroe si solo si José de San Martín es pe- ruano. a) VVV b) VFV c) FFV d) FFF e) VVF Claves 01. d 02. e 03. d 04. a 05. e 06. d 07. c 08. e 09. d 10. d 11. b 12. c 13. d 14. c 15. a UNI UNMSM III) Si a y b son múltiplos de 7 con a; b > 0, enton- ces el MCD (a; b) es un múltiplo de 7. a) FVF b) VVV c) FFV d) FFF e) FVV 15. Dada la proposición: ∼ [( ) ( )]r q r p V∨ → → ≡ Donde se sabe que “q” es una proposición falsa. De- termina el valor de verdad de las siguientes proposi- ciones: I) r p q→ ∨( )∼ ∼ II) [ ( ] ( )r p q q p↔ ∧ ↔ ∧ ∼ a) VV b) FV c) FF d) No se puede determinar e) VF13. Si la proposición: ∼ ∼ ∼[ ( ) ( )]p q r s∨ → → es verdadero el valor de p, q, r, s (en ese orden), es: a) FVFV b) VVVV c) VVFF d) FFVV e) FVVF 14. Indica la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera o falsa. I) Si a y b son enteros di- visibles por 7, entonces la suma y la diferencia de ellos es siempre un múltiplo de tres. II) Si a y b son múltiplos de 5 con a > b > 0, enton- ces el cociente a/b es un múltiplo de cinco. 9. Si p = F ; q = V y s = F los valores de las siguientes proposiciones son: a) [( ) ]p q s→ ∧∼ b) ( ) ( )∼ q s p q∨ ↔ ∅ c) [( ) ]∼ ∼p s q↔ ∨ a) VVV b) VFV c) VVF d) FFV e) FFF 10. Si “m” es un número natural par y “n” es entero positivo, determina el valor de ver- dad de las siguientes propo- siciones. I) m x n = impar II) nm = negativo III) m – n < 0 a) VVF d) FFF b) VFF e) VVV c) FVF 11. Si p = Juan es entrenador. q = Juan es padre de familia. r = Juan es mayor de edad. Escribe la proposición ló- gica del siguiente esquema molecular. ∼ [( ) ]p q r∧ → a) Juan no es entrenador y pa- dre de familia, entonces es mayor de edad. b) No es el caso que Juan es en- trenador y padre de familia, entonces es mayor de edad. c) Nunca Juan fue entrenador ni padre de familia, enton- ces no es mayor de edad. d) Juan no es entrenador ni padre de familia, entonces no es mayor de edad. e) No es el caso que Juan no sea entrenador y padre de familia, entonces es mayor de edad. (p∆q) 5TO AÑO 14 PROPOSICIONES LÓGICA EQUIVA- LENTE Son aquellas que poseen tablas de verdad equivalentes (iguales) siendo posible el uso de una de ellas por la otra. Se denotan p ≡ q Ejemplo: : ( ) : a p q b q p " "+ + Se puede decir también que dos proposiciones son lógicamente equivalentes cuando la proposición bicondicional que las vincula es una tautología, es decir si: ( ) ( )p q p q logLey ica & " / 1 2 344 44 LEYES DE ÁLGEBRA PROPOSICIONAL Son equivalencias lógicas que nos permiten reducir esquemas moleculares complejos y expresarlos en forma más sencilla. Las demostraciones de dichas leyes se hacen construyendo la tabla de verdad en cada caso. PRINCIPALES LEYES a. Ley de idempotencia p p p p p p 0 / / / b. Ley conmutativa p q q p p q q p 0 0 / / / / c. Ley asociativa ( ) ( ) ( ) ( ) p q r p q r p q r p q r 0 0 0 0 / / / / / / d. Ley distributiva ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p q r p q p r p q r p q p r / 0 / 0 / 0 / 0 / 0 / / e. Ley de la doble negación ( )p p+ + / f. Ley de identidad ; ; p V V p F p p V p p F F 0 0 / / / / = = g. Leyes de complemento p p V p p F 0 / + + = = h. Ley de la condicionalp q p q" 0+= i. Ley de la bicondicional ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P q p q q p p q p q p q p q p q ) " " ) ) / / 0 / T / / + + /+ j. Ley de absorción ( ) ( ) ( ) ( ) p p q p p p q p p p q p q p p q p q 0 / / 0 0 / 0 / 0 / + + = = = = k. Leyes de Morgan ( ) ( ) p q p q p q p q 0 / / 0 + + + + + + = = Lógica Proposicional II 15 ARITMÉTICA TRANSPOSICIÓN p q q p" "+ += Ejemplo: Si Pedro toca guitarra, entonces canta. p : Pedro toca guitarra. q : Pedro canta. Simbología: p → q Su equivalente: ~q → ~p Se lee: Si Pedro no canta, entonces no toca guitarra. TRANSITIVIDAD : Si p q y q r entonces p r " " " Ejemplos: Z Si estudias, entonces ingresarás. Z Si ingresas, entonces serás profesional. p: Estudias. q: Ingresarás. r: Serás profesional. Simbología: p → q q → r p → r Conclusión: Se lee: Si estudias, entonces serás profesional. CIRCUITOS LÓGICOS Un circuito conmutador puede estar solamente en dos estados estables: cerrado o abierto, así como una proposición puede ser verdadera o falsa, entonces podemos representar una proposición utilizando un circuito lógico: 1. Circuito serie: Dos interruptores conecta dos en serie represen- tan una conjunción. < > p ∧ q 2. Circuito Paralelo: Dos interruptores conectados en paralelo repre- sentan una disyunción. < > p ∨ q Trabajando en clase Integral 1. Simplifica el siguiente esquema. [ ( ) ]p q p q"0 0+ + + 2. ¿A qué formula molecular equivale el siguiente circuito? 3. Determina el equivalente de: No es el caso que José es ingeniero y no haya estudiado en la uni- versidad. PUCP 4. Simplifica el siguiente esquema: ( ) ( )p q q p" "/+ Resolución: • Ley del condicional ~( ) ( )p q q p p q q p "/ 0 0 0 0 + + + • Ley de idempotencia ( ) ( )p p q q0 0 0+ + S p ∨ ~q • Ley de Morgan ( )p q/+ + 5. Simplifica el siguiente esquema: [( ) ( )]p q s s q"/ / /+ + + 6. Simplifica el esquema. [( ) ( ) ]p q q p r p"/ / / 0+ 7. Realiza el circuito del siguiente esquema molecu- lar [( ) ]p q p q/ 0 0+ + 5TO AÑO 16 UNMSM 8. Señala el equivalente de: Si Miguel va a la fiesta, entonces realizó su tra- bajo. Resolución: p = Miguel va a la fiesta. q = Miguel realizó su trabajo ( )p q p q" 0/+ Miguel no va a la fiesta o realizó su trabajo. 9. Señala el equivalente de: No es el caso que Pilar no sea escritora y no sepa los signos de puntuación. 10. De las siguientes proposiciones: a) Si te esfuerzas, entonces serás titular en el equipo de fútbol. b) Si no eres titular en el equipo de fútbol enton- ces no te esfuerzas. c) No te esfuerzas o serás titular en el equipo de fútbol. ¿Cuáles son equivalentes entre si? 11. La negación de “Hoy es viernes por lo tanto mañana es sábado” es: UNI 12. Señala el circuito equivalente a la proposición [(p → q) → p] ∧ [~p → (~p → q)] Resolución: [(p → q) → p] ∧ [~p → (~p → q)] 14243 [(~p ∨ q) → p] ~(~p) ∨ (~p → q)] 144424443 ~(~p ∨ q) ∨ p p ∨ (~p → q) 144424443 14243 (p ∨ ~q) p ∨ ~(~p) ∨ q 144424443 144424443 p p ∨ (p ∨ q) (p ∨ q) p ∧ (p ∨ q) ≡ p 4 p 4 13. Señala el circuito equivalente a la proposición {~(p ∩ q) ∧ [(p ∧ q) ∨ r]} ∧ ~q 14. Indique la fórmula que representa el siguiente cir- cuito lógico: p q r s t ~r 17 ARITMÉTICA Sigo practicando 16. Simplifica el siguiente esquema [~(p→q)→~(q→p)]∧(~p∨q) a) p c) ~p~q e) p∨q b) q d) p∧q 17. ¿A qué esquema molecular equivale el siguiente circuito? p q p q ~q ~p a) [( ) ( )] ( )p q q p p q∧ ∨ ∨ ∧ ∧∼ ∼ b) [( ) ( )] ( )p q q p p q∨ ∧ ∧ ∧ ∧∼ ∼ c) [( ) ( )] ( )p q q p p q∧ ∨ ∧ ∨ ∨∼ ∼ d) [( ) ( )] ( )p q q p p q∨ ∧ ∨ ∨ ∧∼ ∼ e) [( ) ( )] ( )p q q p p q∨ ∧ ∨ ∧ ∧∼ ∼ 18. Determina el equivalente de: “Es falso que si usted ve un gato negro entonces tendrá mala suerte” a) Ve un gato negro y tiene mala suerte b) No tiene mala suerte si ve un gato negro c) Ve un gato negro y no tienen mala suerte d) Ve un gato negro si tiene mala suerte e) Tiene mala suerte si solo si ve un gato negro 19. Determina el equivalente del siguiente circuito lógico: ~p q− p ~q p q– a) V c) p∧q e) ~ p∨q b) F d) q 20. Simplifica el esquema. [( ) ] [ ( )]~p q q p p q→ ∧ → → ∧ a) ~ ~p q∨ c) p q∧ e) V b) p q→ d) ~p q∧ 21. Realiza el circuito del siguiente esquema molecular. [( ) ] ( )~p q r p r→ ∨ → ∧ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 5TO AÑO 18 16. c 17. d 18. c 19. d 20. e 21. 22. e 23. d 24. d 25. d Claves 22. Indica la negación de: “Si las gallinas son ovíparas, entonces nacen de un huevo”. a) Los ovíparos son gallinas y nacen de un huevo. b) Las gallinas no son ovíparos ni nacen de un huevo. c) Las gallinas no nacen de un huevo, entonces no son ovíparos. d) Las gallinas son ovíparos o no nacen de un huevo. e) Las gallinas no nacen de un huevo y son ovíparos. 23. Simplifica: a) p q∧ c) q e) ~q p∨ b) ~p d) p 24. De las siguientes proposiciones. a) El león no es mamífero. b) No es el caso que el león sea un mamífero. c) El león es mamífero. ¿Cuáles son equivalentes entre sí? a) a; c b) b; c c) a; b y c d) a; b e) No hay equivalencia posible 25. La negación de “Sandra ni es profesora ni es eco- nomista” a) Sandra no es profesora o economista. b) Sandra no es profesora, entonces es econo- mista. c) Sandra es profesora y economista. d) Sandra es profesora o economista. e) Sandra es profesora y no economista. 19 ARITMÉTICA Integral PUCP UNMSM 1. Simplifica el esquema ( ) [ ( )]p q p p q∧ ∨ → ∧ a) p q∧ ∼ b) ∼ p q∨ c) p d) ∼ p e) q 2. ¿A qué fórmula molecular equivale el siguiente cir- cuito? a) p q p q∧ ∧ ∨[( ) ]∼ ∼ b) p q p q∨ ∨ ∨[( ) ]∼ c) p q p q∨ ∧ ∧[( ) ]∼ ∼ d) p q p q∨ ∧ ∨[( ) ]∼ e) p q p q∨ ∧ ∨[( ) ]∼ ∼ 3. Determina el equivalente de: “Si Richard no trabaja en- tonces cobrará”. a) Richard no trabaja y co- bra. b) Richard no trabaja. c) Richard no cobra. d) Richard trabaja o cobra. e) Si trabaja y cobra. 8. Si el costo de cada llave en la instalación del circuito: Es de S/.50; ¿en cuánto se reducirá el costo de la ins- talación si se reemplaza este circuito por su equivalente más simple? a) S/.50 b) S/.150 c) S/.200 d) S/.250 e) S/.300 9. De las siguientes proposi- ciones: a) Es necesario que Juan no estudie en la UNI para que Luis viva en el Rímac. b) No es cierto que Luis viva en el Rímac y que Juan estudie en la UNI. c) Luis no vive en el Rímac y Juan no estudia en la UNI. ¿Cuáles son equivalentes entre si? a) a y c d) a, b y c b) b y c e) a y d c) a y b 4. De los siguientes esquemas moleculares, sus equivalen- tes son: • [( ) ( )]∼ ∼ ∼p q r r q∧ → ∧ ∧ • [( ) ( )] ( )∼ ∼ ∼p q p q p q→ → → ∨ ∧ a) q; ∼ p b) p; ∼ q c) ∼ q ; ∼ ( )p q∧ d) ( );r q p∧ e) ( );p q p∧ 5. Simplifica: [( ) )]p q q p→ ∧ →∼ ∼ a) p d) F b) ∼ p e) p q∨ c) V 6. Realiza el circuito del si- guiente esquema molecular. ( ) ( )∼ p q p q∨ → ∧ 7. ¿Cuál o cuáles de los si- guientes pares de proposi- ciones son equivalentes? I. ( );( )∼ ∼p q q p↔ ↔ II. [( ) ( )];q p p q q∨ ∧ ∨∼ ∼ III.[( ) ]q p∨ ∧ a) I y II b) II c) III d) I y III e) II y III Tarea 5TO AÑO 20 Claves 01. b 02. e 03. d 04. c 05. c 06. 07. d 08. d 09. a 10. d 11. c 12. e 13. d 14. a 15. a 10. La negación de “Si Frances- ca es profesional, entonces es inteligente” a) No es el caso que Frances- ca es profesional y no es inteligente. b) Francesca no es inteligen- te o es profesional. c) Francesca no es profesio- nal, entonces no es inteli- gente. d) Francesca es profesional y no es inteligente. e) Ni Francesca es profesio- nal ni es inteligente. 11. Simplifica: t p q q p q p→ → → ∧ ∧ →{ }[( ) ] [ ( )]∼ a) ∼ q b) ∼ p c) t d) p q∧ e) q t∧ 13. Señale el circuito equivalen- te a la proposición: ∼ ∼ ∼( ) [ ( ) ]p q p q r q∧ ∧ ∧ ∨ ∧ a) p b) p c) q d) q e) p – q p – q 14. Indique la fórmula que re-presenta el siguiente circuito lógico. a) [( ) ( )] ( )p q p q p q∨ ∨ ∧ ∧ ∧∼ ∼ ∼ b) [( ) ( )] ( )p q p q p q∧ ∨ ∨ ∧ ∧∼ c) [( ) ( )] ( )p q p q p q∨ ∨ ∨ ∧ ∧ d) [( ) ( )] ( )p q p q p q∨ ∨ ∨ ∧ ∧ e) [( ) ( )] ( )p q p q p q∨ ∨ ∧ ∨ ∨∼ 15. Simplifica e indica el equiva- lente: a) ∼ ∼p q∨ b) p q∧ ∼ c) p q∨ d) p q∧ e) ∼ p q∨ UNI UNI 12. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son equiva- lencias lógicas? I. ∼ ( );[( ) ]p q p q q→ ∨ ∧ II. ( ); ( )∼ ∼ ∼ ∼p q p q→ ∧ III. [( ) ];( )∼ ∼ ∼p q q q p∧ ∨ ∨ a) I y II b) I y III c) I, II y III d) III e) II y III ( ) ( ) ( )∼ ∼ ∼ ∼ ∼ ∼q p p q p q→ ∧ → ∨ → 21 ARITMÉTICA NOCIÓN DE CONJUNTO Es un ente matemático, por el cual se puede tener una idea subjetiva de ello; como colección, agrupación o reunión de objetos abstractos o concretos denominados elementos. Ejemplo: Z Los días de la semana. Z Los países de América del Sur. Z Los jugadores de un equipo de fútbol. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Consiste en precisar correctamente que elementos forman parte del conjunto. Puede hacerse de dos formas: Por extensión (forma tabular) Cuando se indica generalmente a todos y cada uno de los elementos. Ejemplo: A = {a, e, i, o, u} D = {2, 4, 6, 8} Por comprensión (forma constructiva) Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, de tal manera que cada objeto que goza de la propiedad pertenece al conjunto, y todo elemento del conjunto goza de la propiedad mencionada. Esquema: G = {n/n es una vocal} H = {los números pares menores que 13} J = {n2 – 1/n es entero ∧ 1 ≤ n ≤ 7} RELACIÓN DE PERTENENCIA Se establece esta relación solo de elementos a conjunto y expresa si el elemento indicado forma parte o no del conjunto considerado. “… pertenece a…”; ∈ “… no pertenece a …” ∉ Esto quiere decir que dado un elemento y un conjunto: elemento conjunto " ! RELACIÓN DE INCLUSIÓN (⊂) Se dice que un conjunto está incluido en un segundo conjunto, cuando todos los elementos del primero forman parte del segundo conjunto. ⊂: “incluido o contenido” A ⊂ B: “A está contenido en B” “A es subconjunto en B” “B contiene a A” Ejemplos: I. A = {todos los gatos} B = {todos los mamíferos} ∴ A ⊂ B II. D = {2, 4, 6} E = {1, 2, 3, 5} Se observa que D no está contenido en E, en ese caso se denota: D ⊄ E CARDINAL DE UN CONJUNTO Es el número de elementos que posee el conjunto considerado. Notación: |A| o n(A): Número de elementos de A A = {a, e, i, o, u} |A| = n(A) = 5 P = {2, 2, 3, 3, 3, 6, 7} → n(P) = 4 SUBCONJUNTO Se denomina “subconjunto de A” a cualquier conjunto que este incluido en el mismo “A”. Conjuntos I 5TO AÑO 22 Trabajando en clase Integral 1. Calcula la suma de elementos del conjunto “A” si: (2 3) /2 3 2 5A y Z y! # #= - -$ . 2. Según el conjunto ; ; ;A a b c d= #$ - . ¿Cuántos enunciados son incorrectas? I. ;b c A1# - II. ;b c A!# - III. ;b c A1#$ -. IV. c ∈ A V. a A1" , VI. a A!" , 3. Dados los conjuntos A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} B = {2; 3; 4; 8; 3} Calcula el número de subconjuntos de A más los de B. PUCP 4. Si el subconjunto A es unitario y es igual al con- junto B, calcula: a × b ;A a 5 4= +# - B b 723= +$ . Subconjunto propio Se denomina “subconjunto propio de A” a cualquiera de sus subconjuntos excepto el mismo “A”. CONJUNTO POTENCIA Se denomina “potencia de A”; P(A) al conjunto de los subconjuntos de “A”. Además; sea “n” el número de elementos del conjunto A. : ( ) ( [ ( )] ) Si n A n N desubconjuntosdeA N desubconjuntos propiosdeA N deelementosdeP A n P A 2 2 1 2 o n o n o n = = = - = f p R T S S S S S S S S Ejemplo: Si: {a; b; c} entonces: P(A) = {∅; {a}; {b}; {c}; {a; b}; {a; c}; {b; c}; {a; b; c}} CONJUNTOS NUMÉRICOS Donde: • Números naturales: N = {0; 1; 2; ...} • Números enteros: Z = {...; –2; –1; 0; 1; 2; ...} • Números racionales: Q = ..., 2 3 ; 7 4 ;0; 2 1 ; 2 4 ; ...( 2 • Números irracionales: I = ..., ; ; ; ; ; ...e5 3 3 ≠- -# - • Números reales: R; Q ∪ I Resolución: “A” es un conjunto unitario; por lo tanto, los ele- mentos son iguales 4 11a a5 &+ = = A B &= los elementos son iguales 4b 723 + = b + 72 = 64 b = 15 a × b = 11 × 15 = 165 5. Si los conjuntos A y B son unitarios. Calcula “xy” ;A x 3 23= +$ . ;B y 32x= % / 6. Calcula el cardinal de: ( ) /C x N x2 3 3 51! #= +# - 7. Calcula el cardinal del conjunto B si: /B x x Z x2 2 32 1! #= + -# - UNMSM 8. Calcula: n(A) + n(B) si: /A x N x N x2 3 2 5/! ! # #= +c m) 3 /B y y A3 4 != +) 3 23 ARITMÉTICA Resolución: x 2 3 4 5 x 2 3+ 5/2 3 7/2 4 A = {3; 4} n(A) = 2y 3 4 y 3 4+ 7/3 8/3 n(B) = 2 2 + 2 = 4 9. Calcula: n(R) . n(P) si: /R x N x N x2 2 3 2 /! ! #= +e o* 4 /P y y R2 3 != +d n* 4 10. El número de subconjuntos de un conjunto de n + 2 elementos excede al doble del número de subconjuntos de un conjunto de n – 2 elementos en 224. Calcula el valor de “n”. 11. Si los conjuntos son iguales, calcula 2a + 3b si a y b ∈ Z+ ;A a b8 133 2= + +$ . ;B 7 16= # - PUCP 12. Dados los conjuntos: /A x N x x25 10 1 02!= + + =# - / /C x R x x1 4 4 1 02! #= - +# - Calcula: n(A) + n(C) Resolución: /A x R x x25 10 1 02 1!= + +# - 25x2 + 10x + 1 = (5x + 1)2 < 0 x ∈ N ⇒ A = ∅ / /C x R x x1 4 4 1 02!= - + =# - 4x2 – 4x + 1 = (5x – 1)2 = 0 x = 1/2 C = {2} n(A) + n(C) = 0 + 1 = 1 13. Dados los siguientes conjuntos: n(B) + n(C) cal- cula. /9 6 1 0B x N x x2!= + + =# - / /C x Z x x1 16 8 1 02!= + + =# - 14. Calcula: n(A) / ; ; /A x s r r s Z r y s3 0 3< 1! # #= =( 2 5TO AÑO 24 Sigo practicando 16. Calcula la suma de elementos del conjunto A A x x x= + ∈ ∈ − ″ ″{ }( ) / ,2 2 2 2Ν Ζ a) 9 c) 11 e) 20 b) 17 d) 14 17. Según el conjunto A = { }{ }5 1 2 2 4 7 13”; ; ; ; ;/ ¿cuántos enunciados son incorrectos? I. 1 2;{ }∈A II. 2 ⊂ A III. 7; 2⊂A IV. 1 1{ }{ }⊂; A V. 7 ∈A a) 4 c) 3 e) 1 b) 2 d) 5 18. Dados los conjuntos A C a b a b b a = { } = { } 2 3 4 3 2 4; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Calcula el número de subconjuntos de A con los de C. a) 4 c) 64 e) 12 b) 8 d) 16 19. Si n(A) – n(B) = 3 y n[P(A)] + n[P(B)] = 72, calcula: n(A) + n(B) = a) 9 c) 11 e) 8 b) 4 d) 13 20. Calcula el cardinal del conjunto M M x x= + ∈ − ″ ″{ }( ) /2 2 4 3Ζ a) 10 c) 14 e) 16 b) 13 d) 17 21. Calcula el cardinal del conjunto potencia del con- junto F si: F y y y= + ∈ ∧ − ″ <{ }3 1 3 2/ Ζ a) 32 c) 16 e) 512 b) 256 d) 64 ≥ ≤ ≠ ≤≤ ≤≤ ≤ 25 ARITMÉTICA 16. c 17. c 18. c 19. a 20. d 21. a 22. c 23. d 24. e 25. c Claves 22. Si el conjunto Z es unitario, calcula: (x)y Z y x= − − −{ }3 2 15 8 5 24; ;/ / a) 15 c) 3 e) 2 b) 2/3 d) 8/5 23. Indica la verdad o falsedad de: A = { }{ }3 4 5 6; ; ; 5 6 3 5 6∈ ∉ { }{ }∈A A A; ; ; ; a) VVV c) VFF e) FFV b) FVV d) FVF 24. El número de subconjuntos de un conjunto de n + 3 elementos excede al cuádruple del número de subconjuntos de un conjunto de n – 2 elemen- tos en 224 calcula el valor de “n” a) 6 c) 3 e) 5 b) 2 d) 8 25. Si los conjuntos son iguales, calcula: x + y si x; y ∈ +Ζ M x y= + +{ }122 43 3;( ) N = { }6 343; a) 94 c) 97 e) 30 b) 54 d) 79 5TO AÑO 26 Integral UNMSM 9. El número de subconjun- tos de un conjunto de R + 1 elementos excede al doble del número de subconjun- tos de un conjunto de R-1 elementos en 8. Calcula el valor de “R”. a) 7 b) 6 c) 4 d) 8 e) 3 10. Si los conjuntos son iguales y además x; y. ∈ Z+. Calcula: x2 + 3y B y x C = + −{ } = { } 8 3 1 15 35 2; ; a) 28 b) 35 c) 20 d) 22 e) 30 Tarea 8. Si la suma del número de subconjuntos de A y B es igual a 40, calcula n(A) + n(B) a) 6 d) 5 b) 7 e) 9 c) 8 1. Calcula la suma de elemen- tos del conjunto B B y y= + ∈ ″ − ″{ }( ) /4 2 0 2 1 3� a) 170 b) 120 c) 70 d) 180 e) 210 2. Según el conjunto A = { }{ }1 1 2 3; ; ; Cuántos enunciados son in- correctos. I. 1 1 2; ;{ } ⊂ A II. 1;3 ∈ A III. 1 2;{ } ⊂ A IV. 1 2 3; ;{ }{ }∈ A a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) 4 3. Dados los conjuntos M a a b c c d N = { } = { } ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;0 1 3 5 1 0 Calcula la suma del númerode subconjuntos de M con los de N a) 512 d) 64 b) 128 e) 32 c) 24 ≤ ≤ PUCP 4. Si el conjunto A es singleton, calcula: (a x b) + c A b ca= + + −{ }2 3 3 4 19 62; ; ; a) 20 d) 25 b) 40 e) 27 c) 32 5. Calcula el cardinal de: A x x= + ∈ − ″ <{ }( ) /2 3 2 2� a) 0 b) 2 c) 4 d) 1 e) 3 6. Calcula el cardinal del con- junto potencia del conjunto B: B x x x= + ∈ − ″ <{ }3 2 1 3/ � a) 4 d) 8 b) 16 e) 32 c) 64 7. Cuántos subconjuntos pro- pios tiene C: C x x x= + ∈ ∈ ∧ ″{ }2 4 10� �/ a) 7 d) 3 b) 15 e) 63 c) 31 ≤ ≤ ≤ 27 ARITMÉTICA UNI Claves 01. c 02. e 03. e 04. d 05. e 06. d 07. d 08. c 09. e 10. a 11. c 12. c 13. d 14. d 15. d 11. Dados los siguientes conjun- tos: A x x x B x x A C x x B x = + ∈ ∧ <{ } = ∈{ } = + ∈ ∧ <{ } 3 2 5 4 6 1 35 / / / � Calcula: n(C) a) 2 b) 0 c) 3 d) 1 e) 5 12. Indica V o F: A = { } ϒ{ }3 5 3 5 1 5; ; ; ; ; I. 5∈ A...( ) II. 3 5; ...( ){ }∈ A III. 1 5; ...( ){ } ⊂ A IV. 3 5; ...( )⊂ A a) VFVF b) VVFF c) VVVF d) FFVV e) FVVF 15. Si para 2 conjuntos A y B se cumple que: n(A) + n(B) = 16 n[P(A∪B)] = 4096 ¿Cuántos subconjuntos pro- pios tiene (A∩B)? a) 63 b) 31 c) 127 d) 15 e) 7 13. Dados los conjuntos A x x B n n n = − ∈ ″ ″{ } = − ∈ ∧ ″ ″{ } 1 3 16 625 1 1 3 2 2 � � / / Calcula: n(A) + n(B) a) 8 b) 3 c) 13 d) 11 e) 15 14. Sean los conjuntos ∧O Calcula: [n(A)]n(B) a) 8 b) 16 c) 27 d) 125 e) 81 ≤≤ ≤≤ 5TO AÑO 28 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 1. Unión o reunión Sean los conjuntos A y B Se denota A ∪ B Se define: A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B} Ejemplo: Sean A = {1; 2; 3; 4} y B = {3; 4; 6; 7} Luego: A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} A B A B�A ∪ B 2. Intersección Sean los conjuntos A y B Se denota A ∩ B Se define: A ∩ B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B} Ejemplo: Sean A = {2; 3; 4; 5; 6; 7} y B = {5; 6; 7; 8; 9} Luego: A ∩ B = {5; 6; 7} A B A B�A ∩ B 3. Diferencia Sean los conjuntos A y B Se denota: A – B (en ese orden) Se define: A – B = {x/x ∈ A ∧ x ∉ B} Ejemplo: Sean A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} y B = {5; 6; 7; 8; 9} Luego: A – B = {1; 2; 3; 4} A B A B�A – B 4. Diferencia simétrica Sean los conjuntos A y B Se denota A D B Se define: A D B = {x/x ∈ (A ∪ B) ∨ x ∉ (A ∩ B)} Ejemplo: Sean: A = {1; 2; 3; 4} y B = {3; 4; 5; 6; 7} Luego: A D B = {1; 2; 5; 6; 7} A B A B = (A B) - (A B)� � �A D B 5. Complemento Sea el conjunto A Se denota: A; Ac; A’; CA Se define: Ac = {x/x ∈ ∪ ∧ x ∉ A} Ejemplo: Sean U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} y A = {1; 3 ; 5; 7} Luego: Ac = {2; 4; 6; 8; 9} ∪ A AC � Ac 6. Diagrama de Venn S1 = a + b + c S2 = e + d + f S3 = x S1 + S2 + S3 + g = U Conjuntos II 29 ARITMÉTICA 7. Diagrama de Carroll Se utiliza para conjuntos disjuntos. Peruanos Extranjer so Hombres Mujeres a c b d a = hombres peruanos d = mujeres extranjer so Recuerda Para conjuntos disjuntos utilizar diagrama de Carroll y para conjuntos desiguales diagrama de Venn Trabajando en clase Integral 1. Si n(A ∪ B) = 40; n(A ∩ B) = 10; n(A – B) = 10, determina: n(A) + n(B) 2. De un grupo de amigos, la cuarta parte habla in- glés y de estos la cuarta parte también habla fran- cés. De los que no hablan inglés, la tercera parte no habla francés y los demás sí. La parte de los amigos que habla francés es: 3. El club de “Rímac Lima” consta de 120 personas. De ellos; 62 juegan fútbol, 24 básquet y 18 vóley. Además 8 juegan los 3 deportes y 38 no practican ninguno de los deportes mencionados, ¿cuántas personas practican exactamente un deporte? PUCP 4. Una persona come queso o tocino en su desayuno cada mañana durante el mes de enero. Si come tocino 25 mañanas y queso 18 mañanas, ¿cuántas mañanas comió queso y tocinos? (PUCP 2013 – II) Resolución: queso (18) tocinos (25) 18-x 25-xx U = 31 18 – x + x + 25 – x = 31 43 – x = 31 x = 12 5. En el mes de agosto Orlando va a nadar 22 días y va a correr 16 días ¿cuántos días realizó ambos deportes si descansó 2 domingos? 6. De un grupo de 100 atletas: 54 lanzan jabalinas, 45 lanzan bala, si 28 practican los dos deportes. ¿Cuántos no practican bala ni jabalina? (PUCP 2007 – I) 7. En un control de calidad sobre cierto producto se encontró tres defectos importantes A; B y C. Se analizan 90 productos y se encuentra que: Y 33 artículos tienen el defecto A. Y 44 artículos tienen el defecto B. Y 37 artículos tienen el defecto C. Y 53 artículos tienen exactamente un defecto. Y 7 artículos tienen exactamente tres defectos. ¿Cuántos artículos no tienen ningún defecto? (PUCP 2000 – I) UNMSM 8. Una empresa de transporte urbano dispone de cierto número de vehículos de los cuales 5 están en reparación. Además: Y 42 circulan en la mañana. Y 38 circulan en las tardes. Y 30 circulan en las noches. Y 20 circulan en las mañanas y en las tardes. Y 14 circulan en las tardes y en las noches. Y 16 circulan en las mañanas y noches. ¿Cuántos son en total los vehículos; si además se sabe que son 5 los que trabajan todo el día? Resolución: U = 9 + 15 + 5 + 9 + 11 + 11 + 5 + 5 U = 70 5TO AÑO 30 9. En una encuesta realizada a cierta cantidad de personas sobre la página web de su preferencia; de las cuales 3 personas no conocen ninguna pá- gina se sabe: Y 17 les gusta Youtube. Y 18 les gusta Twitter. Y 19 les gusta Facebook. Y 5 les gusta Youtube y Twitter. Y 10 les gusta Twitter y Facebook. Y 7 les gusta Facebook y Youtube. ¿Cuántas personas en total fueron encuestadas, si además se sabe que a 3 personas que les gustan las tres páginas web? 10. Sean los conjuntos: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} A = {1; 2; 3; 4}; B = {2; 4; 6} y C = {2; 3; 4} hallar el cardinal de R, si: ( ) ’ ( ) ’R A B C B A B, + + ,= -# #- - 11. En una reunión de doctores, de 54 participantes 35 dominan inglés y física, 21 inglés y química y 16 física y química. Si todos dominan por lo me- nos 2 cursos. ¿Cuántos dominan los tres cursos? UNI 12. En un colegio el 60% aprobó aritmética, el 32% aprobó álgebra y los que aprobaron aritmética y álgebra representan el 60% de los que no aproba- ron ninguno de los dos cursos. Si 42 aprobaron aritmética y álgebra, calcula el número de alum- nos del colegio. Resolución: 42 = 60% (8%N + 42) N = 350 13. En un colegio el 58% aprobo Química, el 30% aprobó Física y los que aprobaron Química y Fí- sica representan el 40% de los que no aprobaron ninguno de los dos cursos. Si 12 aprobaron en Química y Física, calcula el número de alumnos del colegio. 14. En una encuesta realizada se observó: Y 55 mujeres tienen casacas. Y 90 personas no tienen guantes ni casacas. Y 40 hombres tienen guantes. Y 35 personas con guantes tienen casaca. Y 75 mujeres no tienen guantes. Y 25 hombres con guantes no tienen casaca. ¿Cuántos hombres que no tienen casaca no tie- nen guantes? 31 ARITMÉTICA Sigo practicando 16. Si n(A)’= 15; n(A∩B)=8 y n(ADB)=13 determina n(B) a) 18 c) 15 e) 12 b) 7 d) 10 17. De un grupo de atletas los 4/9 juegan fútbol y de estos la cuarta parte también practica básquet. De los que no practican fútbol, los 13/20 no juegan básquet ¿cuál es la parte de personas que solo jue- gan básquet? a) 1/4 c) 15/14 e) 7/36 b) 3/2 d) 7/15 18. En una fiesta infantil a l cual asistieron 76 niños. A 28 les gusta el rojo, a 37 les gusta el verde y a 30 les gusta el blanco. Además a 5 les gusta los tres colores y a 11 no les gusta ninguno de ellos ¿a cuántos niños les gusta exactamente un color? a) 35 c) 48 e) 52 b) 40 d) 27 19. En un campamento hay 40 personas, de las cuales 25 prefieren nadar y 20 prefieren correr, ¿cuántos prefieren una actividad solamente? a) 25 c) 35 e) 10 b) 30 d) 20 20. En una empresa textil al realizar la inspección de 110 prendas de vestir se encontraron 3 fallas importantes y se encontró que: • 65 prendas tienen la falla A. • 55 prendas tienen la falla B. • 57 prendas tienen la falla C. • 17 prendas tienen un defecto. • 20 prendas tienen las tres fallas. ¿Cuántas prendas de vestir no tienen ninguna falla? a) 14 c) 30 e) 35 b) 23 d) 12 21. De 58 personas; 50 tienen autoy 38 motocicleta ¿Cuántas personas tienen un solo vehículo? a) 37 c) 28 e) 19 b) 42 d) 25 5TO AÑO 32 16. a 17. e 18. b 19. c 20. b 21. c 22. a 23. b 24. a 25. d Claves 22. De los conjuntos: A ax x= + ∈ − ″ ″{ }( ) /3 3 2Ν B = {2; 4; 6; 8; 10} Calcula: n(A∩B)’ a) 7 c) 4 e) 15 b) 13 d) 3 23. 120 alumnos rindieron una prueba que contiene los cursos A; B y C con el siguiente resultado: • Se anularon 10 pruebas y el resto aprobó por lo menos un curso. • Los que aprobaron A desaprobaron B o C. • Hay 20 alumnos que aprobaron B y C. ¿Cuántos aprobaron un solo curso? a) 80 c) 72 e) 95 b) 90 d) 89 24. Sean los conjuntos: M = {2; 3; 4; 5; 7; 9} N = {0; 1; 2; 3; 4; 7; 8} R = {3; 4; 6; 8; 9; 10} Calcula el cardinal de “A” si: A M N R M N R= ∅ −{ } { }( ) ( )’∪ ∩ ∩ a) 7 c) 9 e) 15 b) 8 d) 10 25. En un salón de clases de 33 alumnos, 14 dominan álgebra y aritmética; 10 álgebra y geometría y 15 aritmética y geometría. Si todos dominan por lo menos 2 cursos. ¿cuántos dominan los tres cursos? a) 11 c) 6 e) 10 b) 13 d) 3 ≤≤ DN 33 ARITMÉTICA Integral PUCP 1. Si: n A B( )∩ =18 ; n A B( )∪ = 24 ; n U( ) = 28 y n A( ) = 19 Determina n(B) + n(B) a) 24 b) 28 c) 18 d) 19 e) 22 2. De un grupo de personas la cuarta parte ve televisión en la mañana y de estos los 3/5 también ven televisión en la noche. De los que no ven televisión en la mañana, los 2/5 no ven televisión. ¿Cuál es la parte de las personas que ven televisión solamente en la noche? a) 3/20 b) 4/3 c) 1 d) 8 e) 7/5 3. Al restaurante “la casita de oro”, asistieron 34 personas. De ellos a 13 les gusta el cebi- che, a 12 el anticucho y a 11 el pollo a la brasa. Además a 2 les gustan los tres platos y a 14 no les gusta ninguno de los tres platos mencionados, ¿cuántas personas les gusta exactamente un plato? Tarea 5. De un grupo de 83 estu- diantes 40 estudian medici- na, 48 estudia ingeniería; si 14 estudian ambas carreras ¿cuántas personas no estu- dian ninguna de las 2 carre- ras mencionadas? a) 10 b) 12 c) 9 d) 13 e) 14 6. Al realizar el control de ca- lidad a 90 computadoras se encontró 3 fallas importan- tes y se encontró que: - 30 tienen la falla A - 40 tienen la falla B - 50 tienen la falla C - 48 tienen exactamente un defecto. - 10 tienen las tres fallas. ¿Cuántas computadoras no tienen ninguna falla? a) 15 b) 3 c) 8 d) 11 e) 19 7. De 21 docentes del colegio encuestados; 20 tienen ser- vicio de Internet y 8 de ca- ble ¿cuántos docentes tienen solo un servicio? a) 20 b) 14 c) 13 d) 7 e) 1 8. De un grupo de 55 personas; a 26 les gusta acampar, a 32 les gusta viajar, a 33 les gusta ir al cine y a 5 las tres activi- dades. ¿A cuántas personas del grupo les gustan dos de estas actividades? a) 40 b) 26 c) 37 d) 35 e) 38 a) 13 d) 5 b) 2 e) 6 c) 10 4. De 120 personas, se sabe que 71 son solteros y 55 son hombres, si son 12 mujeres casadas. ¿Cuántos son los hombres casados? a) 30 b) 48 c) 19 d) 22 e) 37 5TO AÑO 34 UNI Claves 01. b 02. a 03. e 04. e 05. c 06. d 07. b 08. b 09. e 10. b 11. d 12. d 13. a 14. d 15. c 9. Sean los conjuntos: M a c h e N r s c t n P o h e c t n = { } = { } = { } ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 5 Calcula el cardinal de: A = (M∩N∩P)∪(N∪P) (M∪P)’∪(M∪N) a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4 10. En una reunión de 58 de- portistas; 28 practican tenis y lucha, 29 tenis y natación y 31 lucha y natación. Si todos dominan por lo menos 2 de- portes. ¿Cuántos practican los tres deportes? a) 10 b) 15 c) 18 d) 23 e) 31 11. Un club consta de 78 per- sonas. De ellos 50 juegan fútbol, 32 básquet, 22 vóley. Además 6 figuran entre los 3 deportes y 10 no practican ninguno. Si “x” es el total de personas que practican solo un deporte y “y” el total de personas que practican solo 2 deportes, calcula x – y a) 10 b) 31 c) 37 d) 12 e) 25 12. De 150 personas, 104 no postulan a la UNMSM, 109 no postulan a la UPC y 70 no postulan a estas univer- sidades. ¿Cuántas personas postulan a las dos universi- dades? a) 6 b) 9 c) 8 d) 7 e) 10 - A 7 hombres que les gus- ta Brasil no les gusta Ho- landa. - ¿Cuántos hombres que no les gusta Holanda ni Brasil hay? a) 18 b) 7 c) 20 d) 17 e) 24 15. Sean los conjuntos: B = {4; 3; 5; 2; 0} A x x x= ∈ < <{ }/ �;0 9 y C = {1; 3; 5; 7; 9} si; M B A C= −{ }∪ ; calcula n[P(M)] a) 512 b) 128 c) 64 d) 256 e) 32 UNMSM 13. En un instituto el 50% utili- za reloj, el 30% usa lentes y los que utilizan ambos ac- cesorios representan el 50% de los que no utilizan estos accesorios, si 20 utilizan ambos accesorios; calcula el número de alumnos del ins- tituto. a) 100 b) 120 c) 430 d) 80 e) 150 14. En una encuesta realizada se observó: - A 38 mujeres les gusta Holanda. - A 42 personas no les gusta Brasil ni Holanda. - A 20 hombres les gusta Brasil. - A 31 personas que les gusta Brasil también les gusta Holanda. - A 45 mujeres no les gusta Brasil. 35 ARITMÉTICA Numeración Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números. Número: Es un ente matemático que nos permite cuantificar los objetos de la naturaleza. Numeral: Es la representación simbólica o figurativa del número. DEFINICIÓN Es el sistema que utilizamos para representar a los números y se caracteriza por agrupar las unidades de un orden cualquiera de 10 en 10. Así tenemos que: Z 10 unidades forman 1 decena, Z 10 decenas forman una centena, Z 10 centenas forman 1 millar, etc. Veamos el siguiente número: NOTACIÓN Si queremos representar un número cualquiera de 4 cifras, escribiremos: abcd Para denotar un número de la forma señalada, tendremos en cuenta lo siguiente: Z Cada letra representa una cifra. Z Una expresión entre paréntesis representa una sola cifra. Z La cifra de mayor orden (1º cifra) debe ser signi- ficativa (diferente de cero). Z Letras iguales representan cifras iguales. Z Letras diferentes no necesariamente representa cifras diferentes. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA En muchos problemas es útil expresar un número en función de sus cifras, y esto se logra mediante el método de descomposición polinómica. Veamos: 3421 = 3000 + 400 + 20 + 1 = 3 × 1000 + 4 × 100 + 2 × 10 + 1 En general abcde = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e CONTEO DE NÚMEROS CONDICIO- Algunas veces nos piden que hallemos números que cumplan con ciertas condiciones. En este tipo de problemas se aplica, generalmente, el “principio de multiplicación” del análisis combinatorio. Veamos el siguiente ejemplo: ¿Cuántos números impares de dos cifras empiezan en cifra par? Nos piden encontrar los números de la forma que cumplan con las siguientes condiciones: Z “a” debe ser PAR a = 2, 4, 6, 8 (4 valores) Z “b” debe ser IMPAR b = 1, 3, 5, 7, 9 (5 valores) Si por ejemplo a = 2 podemos formar los siguientes números: ; 4; 5# 5# ab y si a ab s s 21 23 25 27 29 41 43 45 47 49 .. .. = _ ` a b b b b bb _ ` a b b b b bb Y como “a” puede tomar 4 valores, podemos formar en total: 4 x 5 = 20 números que cumplen con las condiciones dadas. Numeración I: sistema decimal 5TO AÑO 36 Trabajando en clase Integral 1. Si a un número entero se le agregan 3 ceros a la derecha, dicho número queda aumen- tado en 522477 unidades, ¿cuál es el número? 2. ¿Cuántos números de 3 cifras no tienen ninguna cifra 2? 3. ¿Cuántos números existen mayores que 100 de la siguien- te forma a(2a)b que terminen en cifra par? PUCP 4. Si con dos cifras consecutivas formo la edad actual de Dan- na. ¿Dentro de cuántos años ella tendrá una edad formada por las dos cifras iniciales en orden inverso? Resolución: a(a + 1) + x = (a+1)a 10 1 10 10a a x a a+ + + = + + 1 + x = 10 x = 9 5. Si con dos cifras consecutivos formo la edad actual de Nor- ma ¿dentro de cuantos años ella tendrá una edad formada por dos cifras que son las con- secutivas de la cifras iniciales respectivamente? 6. Un número abc se divide entre el número bc,obteniéndose de cociente 19 y 12 de residuo. El menor valor de la expresión 2a + b + c es: 7. ¿Cuántos números de tres cifras diferentes existen que sean iguales a 13 veces la suma de sus tres cifras? UNMSM 8. Si mnpmn es producto de nú- meros primos consecutivos y “p” es igual a cero, ¿cuál es el mínimo valor de mn? Resolución: mnpmn = mnomn Descomposición polinómica 1000mn + mn 1001mn 1001 = 7 × 11 × 13 × mn 7 × 11 × 13 × mn mn = 17 ⇒ Primos consecutivos 17 9. Si aabb es el producto de 4 números primos consecutivos CANTIDAD DE CIFRAS ¿Cuántas cifras se emplean al escribir todos los números enteros desde el 1 hasta el 324? Del 1 al 324 hay, evidentemente, 324 números, pero no todos tienen la misma cantidad de cifras. Por esto separaremos los números en grupos que tengan igual cantidad de cifras. 12 3, ...,9 10 11, ...,99 100 101, ...,324 9 180 675 864Tota de cifras 9 9 1 9 99 9 90# 90 2 180 324 99 225 225 3 675 nœmeros cifras s cifras & = + + = . . . # # #= - = = - = = 1 2 344 44 1 2 3444 444S calcula la suma de estos núme- ros 10. ¿Cuántos números de 3 cifras utilizan por lo menos una cifra 7 en su escritura? 11. ¿Cuántas cifras se han usado para enumerar un libro de 189 hojas? UNI 12. Si ab2 – ba2 = 3168 calcula el menor valor de a + b Resolución: ab2 – ba2 = (ab – ba) (ab + ba) (10a+b-10b-a)(10a+b+10b+a) (9a-9b)(11a+11b) (a – b) (a + b) = 32 123 123 2 16 4 8 (a + b) menor = 8 13. Si mn2 – nm2 = 1188 calcula el valor de: m + n 14. Si se cumple que: 0, 0, 1,ab ba+ = ! ! ! Calcula el valor de a + b 37 ARITMÉTICA Sigo practicando 16. Si a un número entero se le agrega un cero a la de- recha, dicho número queda aumentado en 3915 unidades. ¿cuál es el producto de las cifras de di- cho número? a) 55 c) 65 e) 70 b) 50 d) 60 17. ¿Cuántos números de 4 cifras no utilizan la cifra 2 y 3 en su escritura? a) 3845 c) 3485 e) 3584 b) 3548 d) 3854 18. ¿Cuántos números existen mayores a 3000 de la siguiente forma? a a b b2 3 ( ) a) 12 c) 15 e) 7 b) 10 d) 8 19. ¿Cuántos números existen que al sumarles 18 uni- dades se obtiene el mismo número escrito con las cifras invertidas? a) 6 c) 8 e) 4 b) 5 d) 7 20. Un número xym se divide entre el número ym, obteniéndose de cociente 15 y 6 de residuo. El menor valor de la expresión 2x + 3y – m es: falla? a) 11 c) 9 e) 7 b) 15 d) 18 21. ¿Cuántos números de tres cifras existen que sean iguales a 11 veces la suma de sus tres cifras? a) 3 c) 0 e) 1 b) 2 d) 4 5TO AÑO 38 16. d 17. e 18. a 19. d 20. a 21. e 22. c 23. a 24. d 25. d 26. e 27. e 28. b 29. c 30. e Claves 22. Si: aobc + ca + ba = 5278 calcula c (a+b) a) 42 c) 72 e) 38 b) 56 d) 75 23. Para enumerar un libro se han empleado 2508 ci- fras ¿cuántas páginas tiene el libro? a) 872 c) 827 e) 877 b) 728 d) 782 24. ¿Cuántos números de 3 cifras utilizan por lo me- nos una cifra 3 en su escritura? a) 625 c) 225 e) 452 b) 635 d) 252 25. Se han empleado 252 cifras para enumerar las páginas de un libro si Ricardo ya ha leído los 5/12 páginas del libro, ¿cuál es la siguiente página que debe leer? a) 42 c) 58 e) 67 b) 36 d) 51 39 ARITMÉTICA Integral PUCP UNMSM 1. Si a un número entero se le agregan dos ceros a la de- recha, dicho número queda aumentado en 3168 unida- des, ¿cuál es la suma de ci- fras de dicho número? a) 3 d) 12 b) 8 e) 15 c) 5 2. ¿Cuántos números de 4 ci- fras no tienen ninguna cifra par? a) 625 d) 325 b) 550 e) 875 c) 750 3. ¿Cuántos números mayores que 200 pero menores que 750 de la siguiente forma existen? a(2a)b a) 600 d) 200 b) 500 e) 550 c) 549 4. Si a un número de 3 cifras se le agrega la suma de sus ci- fras se obtiene 351 ¿cuál es el número? a) 338 b) 342 c) 340 d) 348 e) 326 9. Cuántos números de 4 cifras tienen por lo menos una ci- fra 5 en su escritura? a) 3718 d) 3168 b) 3216 e) 3868 c) 3861 10. Para enumerar un libro de “n” páginas se han utilizado 151 cifras ¿cuántas hojas tie- ne el libro? a) 32 d) 48 b) 52 e) 40 c) 35 11. Si a un número de 3 cifras que empieza en 4 se le supri- me esta cifra se obtiene un número que es los 2/27 del número original, calcula la suma de cifras del número original. a) 12 d) 15 b) 3 e) 6 c) 9 12. Si a un número de 3 cifras que empieza en 4 se le su- prime esta cifra se obtiene un número que es los 3 43 del número original. Calcula la suma de cifras. a) 4 d) 49 b) 9 e) 3 c) 25 Tarea 5. Un número mnp se divide entre el número np, obte- niéndose de cociente 24 y 18 de residuo. Calcula 3m + n – 4p a) 13 b) 14 c) 15 d) 11 e) 18 6. ¿Cuántos números de 3 ci- fras diferentes existen que sean iguales a 15 veces la suma de sus tres cifras? a) 1 d) 4 b) 0 e) 3 c) 2 7. Al producto de dos números enteros positivos consecu- tivos se resta la suma de los mismos y se obtienen 71. El número mayor es: a) 19 d) 18 b) 10 e) 12 c) 11 8. ¿Cuántas cifras se han usa- do para enumerar las pá- ginas de un libro que tiene 235 hojas? a) 650 d) 654 b) 1400 e) 1225 c) 1302 5TO AÑO 40 UNI Claves 01. c 02. a 03. e 04. b 05. d 06. a 07. b 08. c 09. d 10. e 11. c 12. e 13. a 14. d 15. c 13. Si xy yx 2 2 1584− = calcula el valor de x + y a) 8 b) 12 c) 14 d) 5 e) 18 14. Si se cumple que: 0 0 1, ,ab ba � � + = calcula el valor de b + a a) 7 b) 5 c) 4 d) 9 e) 2 15. Si el número aacc es un cua- drado perfecto, entonces la suma de los dígitos de dicho número es: a) 12 b) 18 c) 22 d) 14 e) 26 41 ARITMÉTICA CAMBIOS DE BASE EN LOS SISTE- MAS DE NUMERACIÓN Caso 1: de base diferente de 10 a base 10. Z Método de descomposición polinómica Ejemplo: Pasa 6428 a base 10. 6428 = 6 × 8 2 + 4 × 8 + 2 = 6 × 64 + 32 + 2 = 418 Z Método de Ruffini Ejemplo: Pasa 6428 a base 10. Caso 2: de base 10 a base diferente de 10. Z Método: divisiones sucesivas Ejemplo: Pasa 698 a base 8. Caso 3: de base diferente de 10 a otra base di- ferente de 10. Ejemplo: pasa 4328 a base 9 Paso 1: Pasa 4328 a base 10 4328 = 4 × 8 2 + 3 × 8 + 2 = 256 + 24 + 2 = 282 Paso 2: Pasa 282 a base 9 282 9 12 31 9 3 4 3 ∴ 4328 = 3439 PROPIEDADES 1. Numeral de cifras máximas (n–1) (n–1) (n–1)... (n–1)n = n k – 1 14444444244444443 k cifras 2. Bases sucesivas: a n a b c d1 b1 c1 1dn = + + + + 3. Intervalo en el cual se encuentran los numerales con cierto número de cifras. El intervalo para N(b) de K cifras es: bk-1 ≤ N(b) < b k Trabajando en clase Integral 1. Calcula: 2a + b2; si Si: aab(7) = 213(5) 2. ¿Cuál es la suma de cifras del mayor número de tres cifras en base 6, luego de pasarlo al sistema decimal? 3. ¿En qué sistema de numeración existen 120 nú- meros de tres cifras impares y diferentes entre sí? PUCP 4. Si se cumple que: 3abc = 2ba5 Calcula a + b + c si son cifras significativas. Resolución: 3 2ab ba5c = + Nota: a mayor numeral le corresponde menor base. Numeración II 5TO AÑO 42 3 5 4 c1 1 . 3ab4 = 2ba5 3 4 4 2 5 5 48 4 50 5 3 4 2 2 1 2 1 4 7 a b b a a b b a a b 2 2 # # # #+ + = + + + + = + + - = + + = . . 5. Si se cumple: 4 3xy yx( ) (6)m = Calcula: x + y + m 6. Si mn xxx30x = ( )5 calcula: (m × n) + x 7. Calcula el valor de “a” si: 00 21a a6 = UNMSM 8. Si ab(4) = ba(n) entonces el mayor valor de “n” es: Resolución: ab(4) = ba(n) 4a + b = nb + a 3a = nb – b 3 ( 1) 3 1 9 1 9 10 a b n n n = - - = = . . . 9. Si xy yx(7) ( )n= entonces el mayor valor de “n” es: 10. Si los numerales están correctamente escritos cal- cula: m + n + p 42 ; 43 ; 62 ;300p m n( ) ( ) (7) ( )n p m 11. Un número de cuatro cifras en base 7 se represen- ta en base 10 por 48a calcula el máximo valor de la suma de cifras de dicho número. UNI 12. Indica el valor de x/y. Si 35 450y yx+ = Resolución: . 35 450 300 50 10 450 350 11 450 11 100 9 1 9 1 y yx y y x y x y x y x + = + + + + = + + = + = = . 13. 432 2 5 1 4cba a c b6 (6) (6)+ = + Calcula el máximo valor de a + b + c 14. Sean:1 1 ; 1101 ; 1 24A a B C a a(4) ( ) (5)a= = = Calcula la suma de las cifras de C en base 10. Sa- biendo que C = AB 43 ARITMÉTICA Sigo practicando 16. Calcula: (m+n)n si mmon( )6 8376= a) 9 c) 8 e) 64 b) 25 d) 27 17. Calcula la suma de cifras luego de transformar el menor número de tres cifras diferentes en base 6 al sistema decimal. a) 14 c) 13 e) 11 b) 12 d) 15 18. ¿En qué sistema de numeración existen 840 nú- meros de cuatro cifras impares y diferentes entre sí? a) 11 y 12 c) 13 y 14 e) 10 y 11 b) 14 y 15 d) 14 y 16 19. Calcula x + y si se cumple que: 10 76 8xy xy= a) 13 c) 10 e) 12 b) 11 d) 8 20. Si: m a m a2 1 54 2( ) ( )= calcula x a a) 9 c) 10 e) 7 b) 11 d) 8 21. ¿Cuántos números de tres cifras existen que sean iguales a 11 veces la suma de sus tres cifras? a) 3 c) 0 e) 1 b) 2 d) 4 5TO AÑO 44 16. a 17. e 18. b 19. d 20. a 21. b 22. c 23. b 24. e 25. a Claves 22. Calcula el valor de “x” xoo x8 1 8= a) 4 c) 7 e) 5 b) 2 d) 6 23. Calcula el valor de m + n, si se cumple que: mnnn nm6 85= a) 3 c) 7 e) 8 b) 4 d) 6 24. Si los números están correctamente escritos cal- cula: (a+b) (c+d) aaa c b db d c( ) ( ) ( ) ( ); ; ;21 02 00 5 a) 24 c) 16 e) 21 b) 8 d) 18 25. Si el numeral mnp escrito en base 9 se repre- senta en la base 10 por np4. Calcula la suma de cifras de dicho numeral. a) 14 c) 23 e) 27 b) 17 d) 19 45 ARITMÉTICA Integral PUCP 1. Calcula: a + b, si: aabb( ) ( )4 7505= a) 3 d) 10 b) 9 e) 4 c) 5 2. Calcula la suma de cifras luego de transformar el ma- yor número de tres cifras impares diferentes en base 8 al sistema decimal. a) 14 d) 9 b) 11 e) 13 c) 12 3. ¿en qué sistema de numera- ción existen 180 números de tres cifras pares y diferentes entres sí? a) 13 y 14 b) 16 y 17 c) 13 y 15 d) 14 y 15 e) 15 y 17 4. Si: Calcula x . y a) 15 d) 22 b) 18 e) 36 c) 21 Tarea 5. Si ab nnnn30 6( ) = calcula a + b + n a) 7 d) 18 b) 14 e) 9 c) 13 6. Calcula el valor de “x” x a000 1028( ) = a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 6 7. Siendo: 54 02 1 16 038a bn( ) + = Calcula: a + b + n a) 19 d) 15 b) 17 e) 18 c) 10 8. Determina un número de 4 cifras sabiendo que es igual al número 2024(9). Calcula la suma de cifras de dicho nú- mero. a) 14 b) 13 c) 15 d) 10 e) 19 9. Si los numerales están co- rrectamente escritos, calcu- la: a + b + c 4 6 3 4 73 8 7n a b ca b c( ) ( ) ( ); ; ; a) 17 d) 24 b) 19 e) 12 c) 26 10. Un número de cuatro cifras en base 6 se representa en base 10 por 72a. Calcula el menor valor de la suma de las cifras de dicho número. a) 6 d) 13 b) 17 e) 6 c) 5 11. Calcula el valor de c – d, si se cumple que: ab cd b5 = ( ) , además 2 ≤ a a) 3 d) 5 b) 2 e) 4 c) 1 12. Si el máximo numeral de 5 cifras de base “n” es expre- sado en el sistema decimal como: ( ) ( )n ab n+ −1 1 calcula: a + b + n a) 18 b) 21 c) 20 d) 19 e) 20 15 15 15 15 15 ... xy = 232 39 números UNMSM 5TO AÑO 46 UNI Claves 01. c 02. a 03. a 04. c 05. e 06. d 07. d 08. b 09. d 10. e 11. c 12. c 13. b 14. a 15. d 13. Indica el valor de a/b. si: 84 9004a baa+ =( ) a) 1/4 b) 2/3 c) 1/3 d) 3/2 e) 1/2 14. Sean: M a N P a a = = = 2 2 2010 40 4 5 ( ) Calcula la suma de cifras de P en la base 10, si: P = M + N a) 7 b) 3 c) 8 d) 5 e) 6 15. Si: m m m abcde2 2 1 8 6( )+ = Calcula el valor de la cifra “e” a) 1 b) 0 c) 4 d) 3 e) 2 47 ARITMÉTICA REPRESENTACIÓN LITERAL • Número de 2 cifras = • Número de 4 cifras = abcd • Número de 3 cifras iguales = aaa • Número capicúa de tres cifras = aba • Número capicúa de 4 cifras = abba VALOR ABSOLUTO Y VALOR RELA- TIVO ORDEN Y LUGAR 378921 LUGAR ORDEN DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA Z 3246 = 3000 + 200 + 40 + 6 Z abcd = 1000a + 100b + 10c + d Z aaa = 111a Z a0b = 100a + b Z abab = 101ab Z 273(8) = 2 x 8 2 + 7 x 8 + 3 = 187 Z abcn = a × n 2 + b × n + c Z abab ab xn ab( ) 2n n n= + CAMBIO DE BASE 1er caso De base n a base 10 Convertir 2674(8) al sistema de numeración decimal 2674(8) = 2 × 8 3 + 6 × 82 + 7 × 8 + 4 = 2 × 512 + 6 + 64 + 56 + 4 = 1024 + 384 + 56 + 4 = 1468 2674(8) = 1468 2do caso De base 10 a base m Convertir 936 al sistema de numeración quinario 3er caso De base n a base m Convertir 732(8) al sistema de numeración senario 7328 = 7 × 8 2 + 3 × 8 + 2 = 448 + 24 + 2 = 474 Numeración III 5TO AÑO 48 Trabajando en clase Integral 1. Si: abcd = 37ab + 62cd Calcula: a + b + c + d 2. ¿Cuántos numerales de 3 cifras todos impares existen en el sistema heptal? 3. Si los números están bien escritos: 110(a); aa1(b); c2(5); 21b(c) Calcula a × b × c PUCP 4. Cuántos numerales de la forma siguiente existen? Siendo a, b y c naturales? (2 1)( 2)( )a b a2 9+ - Resolución: ( )( )( )a b a2 1 2 3 9 27 0 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 9 # + - = . . 5. ¿Cuántos numerales de la forma ( )( )( )( )m n p m3 3 2 ( ) 2 12- + existen? Siendo m, n y p naturales 6. Calcula: a + b, si: 7. Calcula a + b, si se cumple: 223aabac c5 7= UNMSM 8. ¿Qué sucede con un número de 4 cifras si a la pri- mera cifra se le agregan 3 unidades, a la cifra de tercer orden se le restan 4 unidades y a su cifra de tercer lugar se le suman 5 unidades? Resolución: Número original: abcd ( )( 4)( 5)a b b c d+ - + Descomposición polinómica 1000a + 3000 + 100b - 400 + 10c + 50 + d 1000a + 100b + 10c + d + 2650 abcd + 2650 Rpta.: el número aumenta en 2650 9. ¿Qué sucede con un número de 3 cifras, si a su cifra de primer orden se les agregan 4 unidades, a la segunda cifra se le agregan 5 unidades y a la cifra de primer lugar se le quitan 2 unidades? 10. Si se cumple que ( 1)32a aba( ) (5)n+ = Calcula: a x b x n 11. ¿Cuántas cifras se han usado para enumerar las páginas de un libro que tiene 128 hojas? UNI 12. En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con tres cifras? Resolución: ; , ... ; , ... , ... ; ... ; ; ; ...; n n n n n n n n sistemas 100 1234 1009 1234 1234 1234 35 10 10 35 11 12 13 35 35 10 25 ( ) ( )n n 2 3 3 1 1 1 1 1 # # # # # = - = 13. ¿En cuántos sistemas de numeración el número 65 se escribe con 2 cifras? 14. Dado el numeral capicúa (2 1)(5 6 ) (7 11)(4 1)b b a c a a (9)+ - - - Calcula el máximo valor de: a + b + c 49 ARITMÉTICA Integral PUCP UNMSM 1. Si: mnpq mn pq= +24 52 calcular: m + n + p + q a) 19 d) 11 b) 21 e) 25 c) 15 2. ¿Cuántos numerales de 4 cifras todas pares y signi- ficativas existen el sistema nonario? a) 365 d) 625 b) 532 e) 456 c) 256 3. ¿Cuántos numerales de la forma ( )( ( )( )a c b b+ −4 2 2 Si a; b y c son naturales? a) 98 b) 44 c) 120 d) 204 e) 85 4. Si los siguientes números están correctamente escri- tos 202 1 1 36( ) ( ); ;a ba b Calcula a x b máximo a) 15 d) 20 b) 18 e) 12 c) 16 9. Si se cumple que: ( )a aban+ =1 54 7 Calcula: (a + b)n máximo a) 36 b) 48 c) 24 d) 42 e) 54 10. Si se han empleado 840 ci- fras para enumerar las pá- ginas de un libro ¿cuántas hojas tiene el libro? a) 178 b) 130 c) 142 d) 158 e) 188 11. Si ( )( )( ) ( )n n n n− − − =1 2 3 313 6 Calcula: n2 a) 9 b) 16 c) 36 d) 49 e) 25 12. A un número de 4 cifras que empieza en 3, se le suprime esta cifra. El número resul- tante es 1/25 del número 5. Calcula “m” si: a) 6 d) 9 b) 7 e) 5 c) 4 6. Calcula el valor de a + b + n, si se cumple: ababn = 407 a) 10 b) 16 c) 12 d) 19 e) 22 7. ¿Cuántos números de 4 ci- fras existen en el sistema de base 11 de cifras impares consecutivas? a) 2 b) 10 c) 8 d) 7 e) 5 8. Si: 5 0 57 2a mnp= Calcula el valor de m + n + p a) 13 d) 4 b) 3 e) 6 c) 7 1m 15 ...m = 130 1m 1m 1m m Tarea 5TO AÑO 50 UNI Claves 01. a 02. c 03. c 04. d 05. e 06. c 07. a 08. c 09. b 10. d 11. e 12. c 13. a 14. e 15. b original, entonces la suma de ci- fras del número original es: a) 9 b) 13 c) 11 d) 8 e) 17 13. ¿En cuántos sistemas de nu- ( )( ) ( )( )a a c b b− − −1 2 1 4 calcula el máximo valor de a + b + c a) 14 b) 10 c) 13 d) 23 e) 20 15. Si: 40 58a bbn= expresa “k” en base 10, da como res- puesta lasuma de cifras, si: a) 4 b) 6 c) 8 d) 7 e) 10 meración el número 423 se escribe con tres cifras? a) 13 b) 10 c) 7 d) 15 e) 19 14. Dado el númeral capicúa 1n 30 numerales 1n 1n (b-1)a (b-1)a (n) ... 51 ARITMÉTICA 1. Si los numerales estan correctamente escrito, de- termina m + n + p + q 34m; 2m4(m); 10n(p) ;4p0(q) ;q3(9) a) 26 c) 27 e) 22 b) 19 d) 24 2. Si xy(8) + yx9 = 1yx7 Determina x + y a) 8 c) 11 e) 14 b) 9 d) 5 3. n = 2135 1n 1n 1n 1n9 Determina "n". a) 4 c) 5 e) 6 b) 8 d) 7 26. Si: abab mn m n4 1 35 7= − −( )( ) Si “m” y”n” son impares, calcula la suma de valo- res que toma a + b + m + n a) 16 c) 12 e) 8 b) 14 d) 10 27. Si: 1 101 51 1 1 9 a aa a a a = Calcula “a” a) 1 c) 3 e) 4 b) 0 d) 2 28. Si: A aa a B C a a = = = 1 11 10001111 310 3 5 ( ) ( ) ( ) Calcula la suma de cifras de B en base 10 si C = a – B a) 8 c) 6 e) 16 b) 9 d) 12 29. Si se cumple que: aba ccb d d7 9 8= = Calcula: a + b + c + d a) 12 c) 11 e) 13 b) 5 d) 15 30. ¿En qué sistema de numeración existen 20 nume- rales de la forma a a b b( ) ( )− +3 3 a) Base 7 c) Base 9 e) Base 5 b) Base 6 d) Base 8 Repaso 5TO AÑO 52 Sigo practicando 1. Si p = V y q = F determina la verdad o falsedad de cada proposición. I. ∼ ( )p q p→ ∧ II. ( )∼ ∼ ∼p q q∧ → III. ( )p q q∧ ∨ a) VVV c) FFV e) VVF b) FVF d) FFF 2. Simplifica [ ( ) ]p p q p∧ → ∨{ }∼ a) ∼ p q→ c) p q→ e) ∼ ( )p q→ b) ∼ ∼p q∨ d) ∼ p q∧ 3. Indica la negación de la siguiente proposición: “No es el caso que si estudias entonces desaprue- bas el examen de aritmética” a) Si estudias no das la prueba. b) Apruebas el examen de aritmética, si no estudias c) Estudias y apruebas el examen de aritmética d) Estudias o no rindes el examen de aritmética e) No estudias ni rindes el examen de aritmética 4. Dado el conjunto P a b a= ∅ { }{ }; ; ¿cuántas proposiciones son ver- daderas? I. ∅⊂ p II. ∅∈p III. a p;∅∈ IV. a a b p; ;{ }{ }⊂ a) 1 c) 2 e) 4 b) 0 d) 3 5. Si el conjunto B es unitario, determina a + x B a x x a= + − +{ }2 3 2 11; ; a) 12 c) 16 e) 10 b) 14 d) 11 6. De un grupo de personas se sabe que: - El 46% conoce Europa. - El 42% conoce Asia. - El 58% conoce Oceanía. - El 8% conoce los tres lugares. - El 5% no conoce ninguno de estos conti- nentes, si 390 personas conocen por lo me- nos dos continentes ¿cuántas personas fue- ron encuestadas? a) 2500 c) 2000 e) 3500 b) 4000 d) 3000 53 ARITMÉTICA 1. a 2. c 3. d 4. a 5. b 6. b 7. c 8. d 9. c 10. e Claves 7. A la fiesta de promoción de quinto año del salón “Pamela” asistieron 65 personas, en determinado momento se observó que 8 hombres y 7 mujeres no bailaban. ¿Cuántas mujeres asistieron a la fies- ta de promoción? a) 28 c) 32 e) 18 b) 22 d) 30 8. ¿Cuántos números de 5 cifras existen en el siste- ma de numeración duodecimal que no utilicen la cifra 2 y 5 en su escritura? a) 83324 c) 87427 e) 90734 b) 83243 d) 90000 9. Cuantos números de 2 cifras son iguales a 4 veces la suma de sus cifras? a) 3 c) 4 e) 1 b) 2 d) 0 10. ¿Cuántas cifras se han usado para enumerar un libro de 100010(2) hojas? a) 96 c) 130 e) 127 b) 74 d) 200 55 ARITMÉTICA Adición y sustracción ADICIÓN Es la operación aritmética que consiste en reunir dos cantidades homogéneas en una sola. A + B = S • A y B son sumandos • S es suma o total Principales sumatorias 1. Suma de los «N» primeros números enteros posi- tivos 1 + 2 + 3 + 4 + … + N = ( )N N2 1+ 2. Suma de los «N» primeros números pares positivos 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2N = N(N + 1) 3. Suma de los «N» primeros números impares po- sitivos 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2N – 1) = N2 Adición en otras bases Calcula la suma de cifras de «M» M = 454(6) + 353(6) Resolución: +1 +1 +1 4 5 4(6)+ 3 5 3(6) 1 2 5 1(6) Cifra de las unidades 4 + 3 = 7 = 6 + 1 1 grupo «base 6» Se coloca 1 y se lleva 1 Cifra de las decenas: 5 + 5 + 1 = 11 = 6 + 5 1 grupo «base 6» Se coloca 5 y se lleva 1 Cifra de las centenas: 4 + 3 + 1 = 8 = 6 + 2 1 grupo «base 6» Se coloca 2 y se lleva 1 Suma de cifras = 1 + 2 + 5 + 1 = 9 SUSTRACCIÓN Es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades: minuendo y sustraendo, obtener una tercera llamada diferencia, que determina la cantidad de unidades en que el minuendo excede al sustraendo. M – S = D • M: minuendo • S: sustraendo • D: diferencia Propiedades 1. La suma de los tres términos de una sustracción es igual al doble del minuendo, es decir: M + S + D = 2M 2. Dado: ab – ba = pq, donde a > b Se cumple que i) p + q = 9 ii) a – b = p + 1 3. Dado: abc – cba = mnp, donde a > c Se cumple que i) n = 9 ii) m + p = 9 iii) a – c = m + 1 Complemento aritmético (CA) El complemento aritmético de un número positivo es lo que le falta a dicho número para ser igual a una unidad de orden inmediato superior. Ejemplos • CA (42) = 100 – 42 = 58 • CA (228) = 1000 – 228 = 772 • CA(4325) = 10 000 – 4325 = 5675 5TO AÑO 56 Trabajando en clase Integral 1. Calcula a + b + c + d, si: a1a + a2a + a3a + … + a9a = bcd4 2. Calcula la suma de 4357; 1647 y 4167 3. Calcula E si abc – cba = xy4 E = 7xy + y6x + xy3 PUCP 4. La diferencia de los cuadrados de dos números impares con- secutivos es 432. ¿Cuál es el mayor? PUCP 2013-II Resolución Sean los números x y (x+2) (x + 2)2 – x2 = 432 x2 + 4x + 4 – x2 = 432 4x + 4 = 432 ⇒ x = 107 Número mayor: 109 5. La suma de los cuadrados de dos números pares consecuti- vos es 1060, ¿cuál es el menor de los números? 6. Calcula la suma de las cifras de la decenas de 10 números consecutivos. La suma de es- tos números es 505. 7. Dos amiga: Danna y Naomi, parten simultáneamente desde sus casas al encuentro una de la otra. Dannna recorre en el primer minuto 50 m y en cada minuto siguiente 2 m más que en el anterior. Por otro lado, Naomi recorre en el primer minuto 40 m y en cada minu- to siguiente 4 m más que en el anterior. ¿Después de cuantos minutos se encuentran si la distancia que están separadas sus casas es de 510 m? UNMSM 8. La suma de tres números im- pares positivos y consecuti- vos excede al mayor de ellos en 28 unidades. Determina el producto de los tres números pares que se encuentran entre ellos UNMSM 2012-II Resolución: Sean los números a; (a + 2) y (a + 4) a + (a + 2) + (a + 4) = (a + 4) + 28 3a + 6 = a + 32 ⇒ a = 13 Nos piden: (13 × 15 × 17) – (14 × 16) = 3091 9. La suma de tres números im- pares consecutivos es igual a 99. Calcula la suma de los dos números mayores. UNMSM 2013-II 10. Sabiendo que abc2 – 2cba = 4275, además b + c = 10, cal- cula el minuendo 11. Calcula a + b + c si se cumple que: CA (abc) = 4(c(b–4)a) + 4 UNI 12. Lorena tiene 20 años menos que Andrea. Si las edades de ambas, suman menos de 86 años, ¿cuál es la máxima edad que podría tener Lorena? UNI 2013-II Resolución Edad de Lorena = x Edad de Andrea = x + 20 x + (x + 20) < 86 x < 33 xmax = 32 Edad de Lorena = 32 13. Bryan tiene 25 años de menos que José y este último tiene 10 años menos que Richard. Si las edades de las tres personas su- man menos de 90 años. ¿Cuál es la máxima edad que podría tener José? 14. La suma de los complementos aritméticos de los números: 1a1, 2a2, 3a3, …, 9a9 es 3915. Determina el valor de «a» En general: CA(N) = 10k – N K → número de cifra de «N» Sustracción en otras bases Calcula: N = 734(8) – 276(8) Resolución: +1 +1 7 3 4(8)– 2 7 6(8) 4 3 6(8) Cifra de las unidades Como no se puede restar, se presta de la cifra de las decenas un grupo de 8 (8 + 4) – 6 = 6 Cifra de las decenas Como no se puede restar, se presta de la cifra de las centenas un grupo de 8 (2 + 8) – 7 = 3 Cifra de las centenas 6 – 2 = 4 57 ARITMÉTICA Sigo practicando 16. Calcula «m + n + p», si se cumpleque: n1m + n2m + n3m + … + n7m = 38p1 a) 6 b) 12 c) 10 d) 11 e) 8 17. Resuelve: 3256 + 4026 – 3556 a) 3126 b) 1246 c) 3326 d) 2226 e) 4326 18. Calcula B si: mnx – xnm = 3ab B = 5ba + a8b + ab7 a) 1252 b) 3052 c) 1732 d) 2522 e) 2618 19. Determina la suma de las cifras del resultado P = (3333…333)2 1442443 40 cifras a) 1089 b) 180 c) 369 d) 360 e) 2000 20. Calcula la suma de las cifras de las decenas de 15 números consecutivos si la suma de estos números es 472. a) 40 b) 34 c) 46 d) 28 e) 38 21. Miguel trabaja en una oficina ubicada en la Av. 28 de julio y su novia Cecilia en otra situada la Av. Huancavelica, y parten simultáneamen- te a encontrarse. Miguel recorre en el primer minuto 30 m y en cada minuto siguiente 3 m más que en el anterior. Por otro lado, Cecilia recorre en el primer minuto 25 m y en cada minuto siguiente 5 m más qie en el anterior. Si se encuentran después de 8 minutos, ¿qué distancia hay entre las Av. 28 de julio y la Av. Huancavelica? a) 324 m b) 340 m c) 458 m d) 508 m e) 664 m 5TO AÑO 58 16. E 17. C 18. D 19. D 20. A 21. E 22. D 23. E 24. D 25. B Claves 22. Considera que todas las personas que estaban en una fiesta se saludaron con un apretón de manos por una vez. Si se realizaron más de 900 saludos, el número mínimo de personas que pudo estar presente en esta fiesta es: a) 46 b) 26 c) 36 d) 44 e) 52 23. La suma de cuatro números enteros positivos y diferentes es 24. La suma de los dos mayores es el doble de los dos menores; la suma del menor con el mayor es igual a la suma de los otros dos números. Si P es el producto de los cuatro nú- meros, la suma de las cifras de P es: a) 16 b) 20 c) 22 d) 15 e) 18 24. Si se sabe que mnp5 – 5pnm = 1908 además b + c = 7, calcula el minuendo a) 3075 b) 5165 c) 6345 d) 7345 e) 2435 25. Calcula a + b + c si CA.(cba) = abc + 2ª a) 11 b) 17 c) 13 d) 8 e) 15 • A + B = S • Sumatorias notables 1 + 2 + 3 + … + n = ( )n n2 1+ 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1) 1 + 3+ 5 + … + (2n – 1) = n2 Esquema formulario Adición Sustracción • M – S = D • Si a b c – c b a 1) n = 9 2) m + p = 9 3) a – c = m +1 m n p • CA(N) = 10k – N «k» cifras 59 ARITMÉTICA Integral PUCP UNMSM 1. Determina el valor de Z + W + T, si se cumple que: TTT + TTT + W = ZWT a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 2. Halla la diferencia de 4325 y 1435 a) 1325 b) 1045 c) 2345 d) 1445 e) 3435 3. Calcula P si: abc – cba = mn2 P = 5nm + n9m + mn4 a) 2388 b) 982 c) 1883 d) 3582 e) 4387 4. Determina la suma de las tres últimas cifras de A A = 8 + 89 + 989 + 8989 + … + 989…98989 14442443 10 cifras a) 15 b) 13 c) 11 d) 5 e) 8 5. Calcula la suma de las cifras de las unidades de la edad de 12 personas, sabiendo que las edades son consecu- tivos y suman 246. a) 32 b) 49 c) 36 d) 56 e) 45 6. María y su hija Francesca parten simultáneamente desde el trabajo y la uni- versidad, respectivamente, al encuentro una de la otra. María recorre en el primer minuto 40 m y en cada mi- nuto siguiente 3 m más que en el anterior. Por otro lado, Francesca recorre en el pri- mer minuto 50 m y en cada minuto siguiente 3 m más que en el anterior. ¿Después de cuántos minutos se en- cuentran si la distancia que las separaba al inicio era de 1026 m? a) 7 b) 12 c) 5 d) 3 e) 9 7. Indica el menor número en- tero, tal que sumado con el triple de su complemento aritmético resulte 22 508. a) 3746 b) 3647 c) 11 524 d) 11 254 e) 3 745 8. Un niño le dice a su padre: «de los 140 soles que me diste, gasté 58 soles más de lo que no gasté». ¿Cuánto no llegó a gastar el niño?. a) 21 b) 25 c) 37 d) 31 e) 41 9. Pedro tiene S/. xyz5 y Ri- chard, S/. 5zyx. Si Pedro tie- ne S/. 3087 más que Richard, además y + z = 7, ¿cuánto di- nero tiene Pedro? a) 3435 b) 5255 c) 6345 d) 8435 e) 4165 10. Calcula la suma de cifras del complemento aritmético del numero N. N = 2 × 10n + 3z10n–2 + 5 × 10n+2 + 7×10n–1 a) 27 b) 29 c) 24 d) 33 e) 31 11. En una escuela, el horario de clases comienza a las 08:00 a. m. en sesiones de 45 minutos con un receso de 5 minutos y un recreo de 15 minutos des- pués de la 3a hora. ¿Qué hora es al término de la 5a hora? a) 12:25 p. m. b) 12:15 p. m. c) 12:30 p. m. d) 12:00 m e) 12:20 p. m. 12. Determina la suma de cifras del número de dos cifras que excede en 27 a 10 veces la ci- fra de las unidades de dicho número. a) 18 b) 11 c) 13 d) 16 e) 9 Tarea 5TO AÑO 60 UNI 13. Claudia tiene S/. 33 soles me- nos que Rafaela. Si las cantida- des que tienen ambas, suman menos de S/. 189, ¿cuál es la máxima cantidad de dinero que podría tener Claudia? a) S/. 101 b) S/. 94 c) S/. 63 d) S/. 86 e) S/. 77 14. Patricia tiene 1a1, 2a2, 3a3, 4a4 y 5a5 canicas de color rojo, verde, amarillo, lila y azul, res- pectivamente. Si la suma de los complementos aritméticos de estas cantidades es 3285. ¿Cuán- tas canicas de color verde y lila tiene Patricia? a) Verde, 252; lila 454 b) Verde, 242; lila 444 c) Verde, 212; lila 414 d) Verde, 232; lila 434 e) Verde, 222; lila 424 15. Calcula «m» si se sabe que es de 2 cifras y la suma de todos los núme- ros de «m» cifras cuyo producto de cifras es 3, termina en 86. a) 24 b) 18 c) 14 d) 28 e) 16 Claves 01. E 02. C 03. A 04. E 05. D 06. E 07. A 08. E 09. D 10. B 11. B 12. D 13. E 14. B 15. A 61 ARITMÉTICA Multiplicación y división MULTIPLICACIÓN Definición Es una operación directa que consiste en reunir dos o más cantidades en una sola. Términos P = a . b = a + a + … + a 144424443 «b» veces Multiplicador Multiplicando Producto DIVISIÓN Definición Es una operación inversa a la multiplicación que consiste en encontrar una cantidad llamada cociente, de manera que al multiplicarse por el divisor, reproduce el dividendo. Términos D = d . q Cociente Divisor Dividendo Advertencia pre El tema de división es la base del tema divisilidad, que es uno de los más evaluados en los exámenes de admisión. Clases de división entera 1. División exacta La división entera es exacta cuando el cociente es entero. Ejemplo: 45 5 -- 9 ∈ Z 2. División inexacta La división entera es inexacta cuando el cociente no es entero. Ejemplo: 37 5 -- 7,4 ∉ Z Clases de división inexacta a) Por defecto D d r q D = d . q + r q: cociente por defecto r: residuo por defecto b) Por exceso D d r’ q + 1 D = d . (q + 1) – r’ q + 1: cociente por exceso r’: residuo por exceso Propiedades de los residuos 1. El residuo es menor que el divisor r < d 2. La suma de los residuos es igual al divisor r + r’ = d 3. El residuo máximo es una unidad menor que el divisor rmáx. = d – 1 5TO AÑO 62 Trabajando en clase Integral 1. Determina los factores de una multiplicación cuya diferencia es 36. Además, si se disminuye en 3 unidades a los términos de la multiplicación, el pro- ducto disminuye en 231. 2. Calcula un número de 3 cifras que dividido entre el número formado por sus dos últimas cifras da como resultado 24 de cociente y 2 de residuo. 3. Si abc × 237 = dd973 calcula «a + b + c + d» PUCP 4. En un gallinero había cierto número de aves. Si cuadru- plico este número y vendo 60, quedan menos de 104. Pero si duplico el número inicial de aves y vendo 10, quedan más de 68; ¿cuántas aves había al principio? PUCP 2010-II Resolución: Número de aves = A 4A – 60 < 104 4A < 104 A < 41 2A – 10 > 68 2A > 78 A > 39 39 < A < 41 \ A = 40 5. En una cochera hay cierta can- tidad de autos. Si triplico esta cantidad y compro 20 autos más, tendría menos de 83 au- tos. Pero si quintuplico el nú- mero inicial de autos y vendo 20, quedarían más de 75 autos. ¿Cuántos autos había al prin- cipio? 6. ¿Cuántos número existen que al ser divididos entre 36 dan- como residuo un número que es el triple del cociente? 7. ¿Cuál es el menor número en- tero que, al multiplicarlo por 1260, da un cuadrado perfec- to? UNMSM 8. Tengo dos bolsas, una roja y otra verde,
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