Física 1-Aplicaciones 5.5

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Física 1
Aplicaciones V
Trabajo Mecánico
1) Una partícula se encuentra sometida a dos fuerza 𝐹1 = 2 Ƹ𝑗 −
5෠𝑘 y 𝐹2 = −4 Ƹ𝑖 + 3 Ƹ𝑗 y logran desplazarlo desde la posición
𝑟1 = Ƹ𝑖 + Ƹ𝑗 − ෠𝑘 a la posición 𝑟2 = 2 Ƹ𝑖 − 6 Ƹ𝑗 + 2෠𝑘 .
a) Calcule el trabajo realizado por la fuerza 𝐹1 y la fuerza 𝐹2
b) Calcule el trabajo realizado por la fuerza total.
2)Una fuerza, que actúa sobre una partícula móvil en una 
dimensión, varia con la posición como se muestra en la figura. 
Calcule el trabajo realizado por dicha fuerza en los siguientes 
tramos a) x0 = 0 a xf = 3 m, b) x0 = 3 m a xf = 6 m y c) x0 = 6 m a 
xf = 9 m.
3) La fuerza 𝐹𝑥 que actúa sobre un cuerpo
esta descrita según se muestra en la Fig.
Si el trabajo total realizado por 𝐹𝑥 fue de 4
500 J determine el valor de 𝐹0
Trabajo Mecánico
1) Una partícula se encuentra sometida a dos fuerza 𝐹1 = 2 Ƹ𝑗 − 5෠𝑘 y 𝐹2 = −4 Ƹ𝑖 + 3 Ƹ𝑗 y logran desplazarlo desde la
posición 𝑟1 = Ƹ𝑖 + Ƹ𝑗 − ෠𝑘 a la posición 𝑟2 = 2 Ƹ𝑖 − 6 Ƹ𝑗 + 2෠𝑘 .
a) Calcule el trabajo realizado por la fuerza 𝐹1 y la fuerza 𝐹2
b) Calcule el trabajo realizado por la fuerza total.
𝐹1 𝐹2
𝑟1
𝑟2
∆Ԧ𝑟
∆Ԧ𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 = 2 Ƹ𝑖 − 6 Ƹ𝑗 + 2෠𝑘 − Ƹ𝑖 + Ƹ𝑗 − ෠𝑘 = Ƹ𝑖 − 7 Ƹ𝑗 + 3෠𝑘
𝐹𝑅 = 𝐹1+ 𝐹2= 2 Ƹ𝑗 − 5෠𝑘 +(−4 Ƹ𝑖 + 3 Ƹ𝑗)= −4 Ƹ𝑖+ 5 Ƹ𝑗 −5෠𝑘
a) Trabajo realizado por cada fuerza si es que realizan el mismo recorrido:
𝑊 = 𝐹𝑅. ∆𝑟 = −4 − 35 − 15 = −54 𝐽
𝑊1 = 0 − 14 − 15 = −29𝐽 𝑊2 = −4 − 21 + 0 = −25𝐽
∆Ԧ𝑟 = Ƹ𝑖 − 7 Ƹ𝑗 + 3෠𝑘𝐹1 = 2 Ƹ𝑗 − 5෠𝑘 𝐹2 = −4 Ƹ𝑖 + 3 Ƹ𝑗
b) Calcule el trabajo realizado por la fuerza total.
Trabajo Mecánico
2)Una fuerza, que actúa sobre una partícula móvil en una dimensión, varia con la posición como se muestra en la 
figura. Calcule el trabajo realizado por dicha fuerza en los siguientes tramos a) x0 = 0 a xf = 3 m, b) x0 = 3 m a xf = 6 
m y c) x0 = 6 m a xf = 9 m. a) x0 = 0 a xf = 3 m
𝐴1 = 1 ∗ 2 = 2
𝐴1
𝐴2 = (1 ∗ 3)/2 = 3/2
𝐴2
𝐴3 = (2 ∗ 5)/2 = 5
𝐴3
𝑊𝑇 = 2 +
3
2
+ 5 = 8.5 𝐽
b) x0 = 3 m a xf = 6 m
𝐴4
𝐴5
𝐴4 =
2 ∗ −2
2
= −2
𝐴5 =
1 ∗ 2
2
= 1
𝑊𝑇 = −2 + 1 = −1 𝐽
c) x0 = 6 m a xf = 9 m
𝐴6
𝐴6 = 3 ∗ 2 = 6
𝑊𝑇 = 𝐴6 = 6 𝐽
𝑊𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 8.5 − 1 + 6 = 13.5𝐽
Trabajo Mecánico
3) La fuerza 𝐹𝑥 que actúa sobre un cuerpo esta descrita según se muestra en la Fig. Si el
trabajo total realizado por 𝐹𝑥 fue de 4 500 J determine el valor de 𝐹0
𝐴1
𝐴2
𝐴3
𝐴4
𝑊𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 + 𝐴4 = 4500𝐽
𝐴1 = 20 ∗ 100 = 2000
0
𝐴2 = 20 ∗ 𝐹0 = 20𝐹0
𝐴3 =
20 ∗ 100 − 𝐹0
2
= 1000 − 10𝐹0
𝐴4 = 20 ∗ 𝐹0 = 20𝐹0
𝑊𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2000 + 20𝐹0 + 1000 − 10𝐹0 + 20𝐹0 = 4500𝐽
𝑊𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 3000 + 30𝐹0 = 4500𝐽
30𝐹0 = 4500 − 3000
30𝐹0 = 1500
𝐹0 = 50 𝑁
Aplicación:
• Un objeto de 3,00 kg en reposo se deja libre a una
altura de 5,00 m sobre una rampa curva y sin
rozamiento. Al pie de la rampa hay un muelle cuya
constante es k = 400 N/m. El objeto se desliza por la
rampa y choca contra el muelle, comprimiéndolo
una distancia x antes de alcanzar momentáneamente
el reposo. (a) Determinar x (b) Que ocurre con el
objeto después de alcanzar el reposo.
𝐸1
𝐸2 𝐸3
𝐸1 = 𝑚𝑔ℎ = 3 9.81 5 = 147.15 𝐽
𝐸2 = 147.15𝐽 = 𝐸𝑐2 + 𝐸𝑔2
𝐸2 = 147.15𝐽 =
1
2
𝑚𝑣2 + 0
𝑣 = 2 ∗
147.15
3
= 9.9
𝑚
𝑠
𝑣
𝐸3 = 𝐸𝑐3 + 𝐸𝑔3 + 𝐸𝑘3
𝑣3 = 0
ℎ = 0
𝐸3 = 0 + 0 +
1
2
𝑘𝑥2 = 147.15 𝐽
𝐸3 =
1
2
(400)𝑥2 = 147.15 𝐽
𝑥 =
2 ∗ 147.15
400
= 0.86 𝑚
Que ocurre con el objeto 
después de alcanzar el 
reposo, pues regresa al 
punto original de su 
inicio en E1.
• Un automóvil que viaja a 15 m/s es llevado hasta el reposo en una distancia de 2,0 m al
estrellarse contra un montículo de tierra. ¿Cuál es la fuerza promedio que ejerce el cinturón
de seguridad sobre un pasajero de 90 kg en el automóvil cuando es detenido?
Trabajo Mecánico y Energía
• El collar de peso W se desliza sin fricción sobre un arco circular de radio R.
El resorte ideal esta fijo al collar y tiene una longitud sin deformar de L0
= R y rigidez K. Cuando el collar se desliza desde A hasta B, calcule (a) el
trabajo hecho por el resorte; y (b) el trabajo hecho por el peso.
• Derive la expresión para el trabajo hecho por el resorte ideal
sobre el deslizador cuando este se mueve desde A a B. Asuma
que la longitud del resorte sin deformar es (a) L0 = b; y (b) L0 =
0,8 b.
Aplicación:
• Un automóvil que viaja a 15 m/s es llevado hasta el reposo en una distancia de 2,0 m al
estrellarse contra un montículo de tierra. ¿Cuál es la fuerza promedio que ejerce el cinturón
de seguridad sobre un pasajero de 90 kg en el automóvil cuando es detenido?
𝑣 = 15 𝑚/𝑠
𝐸1
𝑣 = 0 𝑚/𝑠
𝐸𝑓 = 0𝐸2
𝑊𝑓𝑟𝑒𝑛𝑜
2 𝑚
𝐸1 =
1
2
𝑚𝑣2
𝐸1 =
1
2
𝑚𝑣𝑒ℎ(15)
2
𝐸1 = 112.5𝑚𝑣𝑒ℎ
𝐸2 = 112.5𝑚𝑣𝑒ℎ
𝑊𝑓𝑟𝑒𝑛𝑜 = 𝐸𝑓 − 𝐸2
𝑊𝑓𝑟𝑒𝑛𝑜 = 0 − 112.5𝑚𝑣𝑒ℎ
𝑊𝑓𝑟𝑒𝑛𝑜 = −112.5𝑚𝑣𝑒ℎ
𝑊𝑓𝑟𝑒𝑛𝑜 = 𝐹 ∗ 𝑑 = −112.5𝑚𝑣𝑒ℎ
𝑊𝑓𝑟𝑒𝑛𝑜 = 𝑚𝑣𝑒ℎ ∗ 𝑎 ∗ 𝑑 = −112.5𝑚𝑣𝑒ℎ
𝑚𝑣𝑒ℎ ∗ 𝑎 ∗ (2) = −112.5𝑚𝑣𝑒ℎ
𝑎 = −
112.5
2
= −56.25 𝑚/𝑠2
Para la persona dentro
del vehículo su
aceleración es la misma
del carro:
La fuerza de la persona
sobre el cinturón y
viceversa es:
𝐹𝑝𝑒𝑟 = 𝑚𝑝𝑒𝑟 ∗ 𝑎
𝐹𝑝𝑒𝑟 = (90) ∗ (56.25)
𝐹𝑝𝑒𝑟 = 5062.5 𝑁
Trabajo Mecánico
1. El collar de peso W se desliza sin fricción sobre un arco circular de radio R. El resorte ideal esta fijo al collar y tiene
una longitud sin deformar de L0 = R y rigidez K. Cuando el collar se desliza desde A hasta B, calcule (a) el trabajo
hecho por el resorte; y (b) el trabajo hecho por el peso.
𝑅
𝑅𝑅
𝑅 2
(b) el trabajo hecho por el peso
𝑊 = ∆𝐸𝑃𝐺
𝑊 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ𝑓 −𝑚 ∗ 𝑔 ∗ ℎ𝑜
𝑊 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 0 − 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝑅 = 0 −𝑚𝑔𝑅
ℎ𝑓
ℎ𝑜
𝑊 = −𝑚𝑔𝑅
(a) el trabajo hecho por el resorte
𝑊 = ∆𝐸𝑃𝐸
𝑊 =
1
2
∗ 𝑘 ∗ 𝑥𝑓
2 −
1
2
∗ 𝑘 ∗ 𝑥𝑜
2
𝑥𝑓 = 𝐿𝐵 − 𝐿𝑜 = 2𝑅 − 𝑅 = 𝑅
𝑥𝑜 = 𝐿𝐴 − 𝐿𝑜 = 𝑅 2 − 𝑅 = 𝑅 2 − 1
𝑊 =
1
2
∗ 𝑘 ∗ 𝑅 2 −
1
2
∗ 𝑘 ∗ 𝑅 2 − 1
2
𝑊 =
1
2
∗ 𝑘 ∗ 𝑅 2 −
1
2
∗ 𝑘 ∗ 𝑅 2 ∗ 2 − 1
2
𝑊 = 𝑘 ∗ 𝑅 2
1
2
−
1
2
∗ 2 − 1
2
= 0.4142𝑘𝑅2
Trabajo Mecánico
2. Derive la expresión para el trabajo hecho por el resorte ideal sobre el deslizador cuando este se mueve desde A
a B. Asuma que la longitud del resorte sin deformar es caso (a) L0 = b; y caso (b) L0 = 0,8 b.
𝑊 = ∆𝐸𝑃𝐸
𝑊 =
1
2
∗ 𝑘 ∗ 𝑥𝑓
2 −
1
2
∗ 𝑘 ∗ 𝑥𝑜
2
𝑥𝑓 = 𝐿𝐵 − 𝐿𝑜
𝑥𝑜 = 𝐿𝐴 − 𝐿𝑜
𝑏 2
(a) L0 = b :
𝑥𝑓 = 𝐿𝐵 − 𝐿𝑜 = 𝑏 2 − 𝑏 = 𝑏 2 − 1
𝑥𝑜 = 𝐿𝐴 − 𝐿𝑜 = 𝑏 − 𝑏 = 0
𝑊 =
1
2
∗ 𝑘 ∗ 𝑏 2 − 1
2
−
1
2
∗ 𝑘 ∗ 0 2 =
1
2
𝑘𝑏2 0.1716
(b) L0 = 0,8 b:
𝑥𝑓 = 𝐿𝐵 − 𝐿𝑜 = 𝑏 2 − 0.8𝑏 = 𝑏 2 − 0.8
𝑥𝑜 = 𝐿𝐴 − 𝐿𝑜 = 𝑏 − 0.8𝑏 = 0.2𝑏
𝑊 =
1
2
∗ 𝑘 ∗ 𝑏 2 − 0.8
2
−
1
2
∗ 𝑘 ∗ 0.2𝑏 2 =
1
2
𝑘𝑏2 2 − 0.8
2
− 0.22
𝑊 = 𝑘𝑏2
2 − 0.8
2
− 0.22
2
= 𝑘𝑏2(0.17)
𝑊 = 𝑘𝑏2(0.0858)
PROBLEMA N°05
Solución 
Nos piden: 𝑊𝐹 , 𝜃 =
Se tiene: 𝑊𝐹 = Ԧ𝐹. Ԧ𝑑
𝑾𝑭 = 𝟑𝟎 Ƹ𝒊 + 𝟒𝟎 Ƹ𝒋 . 𝟔 Ƹ𝒊 − 𝟐 Ƹ𝒋 = 𝟏𝟎𝟎 𝐉
Asimismo se sabe que:
𝑊𝐹 = Ԧ𝐹 Ԧ𝑑 cos 𝜃
Donde: 
Ԧ𝐹 = 30 Ƹ𝑖 + 40 Ƹ𝑗 N → Ԧ𝐹 = (30)2+(40)2= 50 N
Ԧ𝑑 = 6 Ƹ𝑖 − 2 Ƹ𝑗 m → Ԧ𝑑 = (6)2+(−2)2= 40m
Reemplazando datos: 
100 = 50 40 cosθ
→ cosθ =
1
10
→ θ = arccos
1
10
∴ 𝛉 = 𝟕𝟏, 𝟓𝟔𝟓°
• Una fuerza Ԧ𝐹 = 30 Ƹi + 40 Ƹj N
actúa sobre partícula que
experimenta un
desplazamiento Ԧ𝑑 =
6 Ƹi − 2 Ƹj m . Determine el
trabajo realizado por la fuerza
Ԧ𝐹 sobre la partícula y el
ángulo formado entre Ԧ𝐹 y Ԧ𝑑.
θ
𝑑
Un granjero engancha su tractor a
un trineo cargado con leña y lo
arrastra 20 m sobre la superficie
horizontal, si el peso total del
trineo y la carga es de 10 000 N y
el tractor ejerce una fuerza
constante de 5 000 N a 37° sobre
la horizontal, asimismo sobre el
trineo actúa una fuerza de fricción
cuyo módulo es 500 N. Determine
el trabajo neto para dicho tramo.
PROBLEMA N°06
Solución
Nos piden 𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 =
Primera forma:
Realizamos su DCL
Segunda forma: 𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝐹𝑅 . 𝑑
→ 𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = (𝐹. cos37° − 𝑓𝑘).𝑑
→ 𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = 5000.
4
5
− 500 . 20
∴ 𝑾𝒏𝒆𝒕𝒐 = 𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐉
𝐹𝑔 𝐹
𝑓𝑁
𝑓𝑘
37°𝐹cos37°
𝐹sen37°
𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝑊𝐹 +𝑊𝑓𝑘 +𝑊𝑓𝑁 +𝑊𝐹𝑔
𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = 𝐹 cos 37°𝑑 − 𝑓𝑘𝑑
𝑊𝑛𝑒𝑡𝑜 = 5000 cos 37° 20 − 500 20
∴ 𝑾𝒏𝒆𝒕𝒐 = 𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎 𝐉
Un piano de 330 kg se desliza
3,6 m hacia abajo de un plano
inclinado de 28 ° y un hombre
que empuja sobre él, paralelo
al plano, evita que acelere, si
el coeficiente de rozamiento
cinético es 0,40 . Calcule el
módulo de la fuerza ejercida
por el hombre, el trabajo
realizado por la fuerza de
fricción y el trabajo neto
realizado sobre el piano.
Como: 𝑎 = 0 → 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒 → 𝐹𝑅 = 0
Del equilibrio en el plano inclinado
𝐹 + 𝑓𝑘 = mgsen28°
𝐹 + 𝜇𝐾𝑚gcos28° = mgsen28°
𝐹 + 1143,346 = 1519,820
→ 𝑭 = 𝟑𝟕𝟔, 𝟒𝟕𝟒 𝐍
Asimismo: 𝑊𝑓𝑘 = −𝑓𝑘 × 𝑑 = −𝟒𝟏𝟏𝟔, 𝟎𝟒𝟕 𝐉
Finalmente: 𝑾𝑵𝑬𝑻𝑶 = 𝑭𝑹𝒅 = 𝟎
PROBLEMA N°10
Solución
Nos pide: 𝐹,𝑊𝑓𝑘 ,𝑊𝑁𝐸𝑇𝑂 =
28°
Fgcos28°
Fgsen28°
𝑓𝑁 𝑓𝑘
𝐹𝑔
28°
28°
𝐹
La gráfica muestra la acción
de una fuerza que actúa
sobre un objeto a lo largo del
eje x, el cual varía como
indica la gráfica. Estime el
trabajo efectuado por esta
fuerza para mover al objeto
desde 𝑥 = 0,0 m hasta 𝑥 =
15,0 m .
PROBLEMA N°08
𝐹( N)
𝑥( m)
Solución
Nos pide: 𝑊𝐹 =
Matemáticamente se verifica:
𝑊𝐹 = 𝐴1 − 𝐴2
Donde: 𝑊𝐹 =
(𝐵0 + 𝑏0)
2
ℎ0 −
𝐵 + 𝑏
2
ℎ
𝑊𝐹 =
(10 + 4)
2
400 −
5 + 1
2
200
∴ 𝑾𝑭= 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝐉
𝐴1
𝐴2
𝐹( N)
𝑥( m)
𝟑 𝟕
𝟏𝟐 𝟏𝟑
Una fuerza Ԧ𝐹 paralela al eje x,
que actúa sobre una partícula,
varía tal como se muestra en la
gráfica (𝐹 − 𝑥). Si la cantidad de
trabajo realizado por dicha fuerza
cuando la partícula se mueve en
la dirección x, desde 𝑥0 = 0
hasta 𝑥𝐹 es 70 J. Determine 𝑥𝐹
PROBLEMA N°09
𝐹 (N)
𝑥 (m)5 10
20
𝑥𝐹
-10
Matemáticamente se verifica:
𝑊𝐹 = 𝐴1 − 𝐴2
Donde: 
𝑊𝐹 =
(𝐵0 × ℎ0)
2
−
𝐵 × ℎ
2
70 =
(10 × 20)
2
−
(𝑥𝐹 − 10) × 10
2
Solución
Nos pide:𝑥𝐹 =
𝐴1
𝐴2
∴ 𝒙𝑭 = 𝟏𝟔𝐦
Un elevador vacío tiene masa de
600 kg y está diseñado para subir
con rapidez constante una distancia
vertical de 20,0 m (5 pisos) en
16,0 s. Es impulsado por un motor
capaz de suministrar 40 hp al
elevador. Estime cuántos pasajeros
como máximo pueden subir en el
elevador. Suponga una masa de
65,0 kg por pasajero.
Reemplazando datos:
40 hp ×
746 W
1hp
= 600 + 65𝑛 9,81
20
16
W
Operando: 𝑛 = 28,206
Pero como se trata de personas, debe 
ser un número entero. 
→ 𝒏 = 𝟐𝟖 𝐩𝐚𝐬𝐚𝐣𝐞𝐫𝐨𝐬
PROBLEMA N°12
Solución
Nos piden:𝑛 =
Como realiza un MRU, se tiene: 
𝑃 = 𝐹𝑀𝑂𝑇𝑂𝑅 × 𝑣 = 𝐹𝑔(𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙) ×
𝑑
𝑡
𝑃 = 𝑚𝑐𝑎𝑏𝑖𝑛𝑎 + 𝑛 ×𝑚𝑝𝑎𝑠𝑎𝑗𝑒𝑟𝑜 × 𝑔 ×
𝑑
𝑡
𝟐𝟎 𝐦
𝐹𝑔
𝑇
𝑣
El corazón humano es una
bomba potente y muy
confiable; cada día admite y
descarga unos 7500 L de
sangre. Suponga que el trabajo
que realiza el corazón es igual
al requerido para levantar esa
cantidad de sangre a la altura
media de una mujer (1,63 m).
La densidad (masa por unidad
de volumen) de la sangre es de
1,05 × 103 Τkg m3. Determine
cuánto trabajo realiza el
corazón en un día y qué
potencia desarrolla en watts.
Luego : 𝑊𝐹 = 𝑚 × 𝑔 × ℎ = 𝜌𝑉𝑔ℎ
Reemplazando datos:
𝑊𝐹 = 1,05.103
kg
m3
. 7500 L .9,81 × 1,63 ×
10−3m3
1L
𝑾𝑭 = 𝟏𝟐𝟓𝟗𝟐𝟑, 𝟔𝟏𝟐 𝐉
Asimismo se tiene:
𝑃 =
𝑊𝐹
𝑡
=
125923,612 J
864 00 s
→ 𝑷 = 𝟏, 𝟒𝟔𝐖
PROBLEMA N°15
Solución
Nos piden:𝑊𝐹 , 𝑃 =
𝟏, 𝟔𝟑 𝐦
𝐹𝑔
𝐹
Se tiene: 𝑾𝑭=𝑭 × 𝒉
Pero como el
desplazamiento de la
sangre es lento,
entonces: 𝑭 = 𝑭𝒈
• Encontrar el momento resultante que se produce en el empotramiento 
de la tubería mostrada debido a las fuerzas aplicadas.
EJEMPLO 
𝑀𝑜 = 𝑀𝑜
𝐹1 +𝑀𝑜
𝐹2 +𝑀𝑜
𝐹3
𝑀𝑜 = 1253.55𝑁𝑚
𝑀𝑜
𝐹1 = − 1.00 600 = −600𝑁𝑚
𝑀𝑜
𝐹2 = − 2.50𝑠𝑒𝑛45 300 = −530.33𝑁𝑚
𝑀𝑜
𝐹3 = + 1 + 2 + 2.5𝑐𝑜𝑠45 500 = +2383.88𝑁𝑚
• Determinar el momento resultante producido por las tensiones 
mostradas sobre el apoyo O.
EJEMPLO
𝑀𝑜
𝐹1𝑥 = − 0.25 500𝑐𝑜𝑠37 = −99.83𝑁𝑚
𝑀𝑜
𝐹1𝑦
= + 0.425 500𝑠𝑒𝑛37 = 127.89𝑁𝑚
𝑀𝑜
𝐹2𝑥 = − 0.25 600𝑐𝑜𝑠60 = −75𝑁𝑚
𝑀𝑜
𝐹2𝑦
= − 0.425 600𝑠𝑒𝑛60 = −220.84𝑁𝑚
𝑀𝑜 = 𝑀𝑜
𝐹1𝑥 +𝑀𝑜
𝐹1𝑦
+𝑀𝑜
𝐹2𝑥 +𝑀𝑜
𝐹2𝑦
𝑀𝑜 = −267.78𝑁𝑚
Determine las reacciones en los apoyos A y F de la armadura mostrada.
EJEMPLO 7
PCE
SCE
Determine las reacciones en el empotramiento O de la viga mostrada en la
figura.
EJEMPLO 8
Momento de Fuerza o Torque
Momento de Fuerza o Torque
Ԧ𝜏 = Ԧ𝑟𝑥 Ԧ𝐹
Ԧ𝑟 = 2 Ƹ𝑖 − 2 Ƹ𝑗
𝐹1 = 4 Ƹ𝑖 + 7 Ƹ𝑗 − 2෠𝑘
𝐹2 = 3 Ƹ𝑖 + 0 Ƹ𝑗 + 2෠𝑘
𝐹3 = 3 Ƹ𝑖 − 4 Ƹ𝑗 − 2෠𝑘
Ԧ𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3
Ԧ𝐹 = 10 Ƹ𝑖 + 3 Ƹ𝑗 − 2෠𝑘
Ԧ𝐹 = 10 Ƹ𝑖 + 3 Ƹ𝑗 − 2෠𝑘
Ԧ𝑟 = 2 Ƹ𝑖 − 2 Ƹ𝑗 + 0෠𝑘
Ԧ𝜏 =
Ƹ𝑖 Ƹ𝑗 ෠𝑘
2 −2 0
10 3 −2
Ԧ𝜏 = Ƹ𝑖 4 − Ƹ𝑗 −4 + ෠𝑘(26)
Ԧ𝜏 = 4 Ƹ𝑖 + 4 Ƹ𝑗 + 26෠𝑘
Momento de Fuerza o Torque
Ԧ𝜏 = Ԧ𝑟𝑥 Ԧ𝐹
Ԧ𝐹 = 120 Ƹ𝑖 + 120 Ƹ𝑗 − 1080෠𝑘
Ԧ𝑟 = 0 Ƹ𝑖 + 0 Ƹ𝑗 + 6෠𝑘
𝑟𝐶 = 2 Ƹ𝑖 − 3 Ƹ𝑗 + 0෠𝑘
𝑟𝐵 = 0 Ƹ𝑖 + 2.5 Ƹ𝑗 + 0෠𝑘
𝑟𝐴 = 0 Ƹ𝑖 + 0 Ƹ𝑗 + 6෠𝑘
𝑟𝐴𝐶 = 2 Ƹ𝑖 − 3 Ƹ𝑗 − 6෠𝑘
𝑟𝐴𝐵 = 0 Ƹ𝑖 + 2.5 Ƹ𝑗 − 6෠𝑘
𝑟𝐴𝐶 = 7
𝑟𝐴𝐵 = 6.5
ෟ𝑢𝑟𝐴𝐶 =
2
7
Ƹ𝑖 −
3
7
Ƹ𝑗 −
6
7
෠𝑘
ෟ𝑢𝑟𝐴𝐵 =
0
6.5
Ƹ𝑖 +
2.5
6.5
Ƹ𝑗 −
6
6.5
෠𝑘
𝐹𝐶 = 420 ∗
2
7
Ƹ𝑖 −
3
7
Ƹ𝑗 −
6
7
෠𝑘
𝐹𝐵 = 780 ∗
0
6.5
Ƹ𝑖 +
2.5
6.5
Ƹ𝑗 −
6
6.5
෠𝑘
𝐹𝐶 = 120 Ƹ𝑖 − 180 Ƹ𝑗 − 360෠𝑘
𝐹𝐵 = 0 Ƹ𝑖 + 300 Ƹ𝑗 − 720෠𝑘
Ԧ𝜏 =
Ƹ𝑖 Ƹ𝑗 ෠𝑘
0 0 6
120 120 −1080
Ԧ𝜏 = Ƹ𝑖 −720 − Ƹ𝑗 −720 + ෠𝑘(0)
Ԧ𝜏 = −720 Ƹ𝑖 + 720 Ƹ𝑗 + 0෠𝑘
𝑟𝐴𝐶
𝑟𝐴𝐵
Momento de Fuerza o Torque
𝐹1 = 20𝑁
𝐹2 = 30𝑁
𝐹4 = 15𝑁
𝜏1 = 𝑑1 ∗ 𝐹1 = 0 ∗ 20 = 0 𝑁𝑚
𝜏2 = 𝑑2 ∗ 𝐹2 = 0.6 ∗ 30 = 18 𝑁𝑚
𝜏3 = 𝑑3 ∗ 𝐹3 = 0.8 ∗ 𝐹3 = 0.8𝐹3 𝑁𝑚
𝜏4 = 𝑑4 ∗ 𝐹4 = 1.0 ∗ 15 = 15 𝑁𝑚
෍𝜏 = 0
−𝜏1 − 𝜏2 + 𝜏3 − 𝜏4 = 0
+𝜏3 = +𝜏1 + 𝜏2 + 𝜏4
0.8𝐹3 = +0 + 18 + 15
𝐹3 =
33
0.8
= 41.25 𝑁