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Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc Análisis cinetoestático del mecanismo de palancas plano 1.1.- Datos iniciales: a.- Esquema estructural del mecanismo. ω1 b.- Diagrama de la fuerza de resistencia útil aplicada al eslabón de salida y el valor máximo de dicha fuerza Qmax= 1.5 KN. Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc c.- Dimensiones de los eslabones: lAB=0.15 m; lBC=0.45 m; lCD=lCE=0.33m; a=0.2 m; b=0.35 m d.- Masas de los eslabones: m1=0.5 kg; m2=2 kg; m3=m4= 1.5 kg; m5= 5 kg e.- Momentos de inercia de los eslabones: IS2=0.05 kg m2; IS3=IS4= 0.03 kg m2 f.- Número de revoluciones del eslabón de entrada: n1 = 300 rpm g.- Posición del mecanismo para la cual se realiza el análisis de fuerzas, es este caso, la posición 4, que corresponde a un ángulo del eslabón de entrada φ1 = 450. h.- El coeficiente de rozamiento de deslizamiento: f = 0.1 i.- El radio del muñón de la articulación: rm=40 mm 1.2.- Construcción del esquema cinemático para la posición dada el mecanismo: Se reproduce del primer proyecto con la escala adecuada: Kl= 0.01 m/mm; AB = lAB/ Kl = 0.15/0.01 =15 mm BC = lBC/Kl = 0.45 / 0.01 = 45 mm CD = CE = lCD/Kl = lCE/Kl = 33 mm Análogamente: a = 20 mm; b = 35 mm Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc ω1 Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc 1.3.- Construcción del polígono de velocidades Se reproduce del primer proyecto con la escala adecuada: Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc 1.4.- Construcción del polígono de aceleraciones Se reproduce del primer proyecto con la escala adecuada: Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc 1.5.- Cálculo de las aceleraciones de los centros de masa Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc aS1 = 74 m/s2 aS2 = 117 m/s2 aS3 = 87 m/s2 aS4 = 189 m/s2 aS5 = 237 m/s2 1.6.- Cálculo de los pesos de los eslabones G1 = 0.5 * 9.81 = 4.91 N G2 = 2.0 * 9.81 = 19.6 N G3 = 1.5 * 9.81 = 14.70 N G4 = 1.5 * 9.81 = 14.70 N G5 = 5.0 * 9.81 = 49.1 N 1.7.- Cálculo de las fuerzas de inercia Pin.i = -mi * asi Pin1 = 0.5 kg * 74 m/s2 = 37 N Pin2 = 2.0 kg * 117 m/s2 = 234 N Pin3 = 1.5 kg * 87 m/s2 = 131 N Pin4 = 1.5 kg * 189 m/s2 = 284 N Pin5 = 5.0 kg * 237 m/s2 = 1,185 N 1.8.- Cálculo de los momentos de las fuerzas de inercia Min.i = - Isi * εi Min 1 = Isi * 0 = 0 Min 2 = 0.05 * 413 = 20.7 N.m Min 3 = 0.03 * 191 = 5.73 N.m Min 4 = 0.03 * 191 = 5.73 N.m Min 5 = 0 Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc 1.9.- Cálculo de la fuerza de Resistencia útil Se encuentra basándose en dos diagramas; el diagrama de las fuerzas de resistencia útil y el diagrama de desplazamiento del eslabón de salida que se reproduce del primer proyecto. Supongamos que el cálculo de fuerzas se realiza para la posición 4 del mecanismo como se indicó al inicio: Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc S4 = KS * YS4 además Smax = KS * YSmax Entonces: S4 / Smax = YS4 / YSmax Supongamos que S4 / Smax = 0.75; para este valor corresponde Q / Qmax = 0.86; Q = 0.86 Qmax = 0.86 * 1.5 KN = 1.591 KN = 1290 N 1.10.- Cálculo de las reacciones en los pares cinemáticos que contiene a los eslabones 4 y 5. a.- Representamos dicho grupo estructural con la escala adecuada Kl = 0.005 m/mm y aplicamos a los eslabones todas las fuerzas externas, la fuerza de resistencia útil, los pesos, las fuerzas de inercia y los momentos de inercia: b.- Aplicamos las reacciones buscadas: En C´ las reacciones normal y tangencial con sentidos arbitrarios Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc En el eslabón 5 la reacción por parte del bastidor, la cual estará aplicada en el par cinemático porque las demás fuerzas que actúan sobre el eslabón 5 (peso, fuerza de inercia, fuerza de resistencia útil y la reacción interna entre el eslabón 4 y 5) están aplicadas en el punto E y por lo tanto no producen los momentos respectivos, entonces, dicha reacción no tiene que producir momento respecto a E. c.- Las fuerzas Q, G5 y Pin5 aplicadas al eslabón 5 tienen la misma dirección por lo tanto podemos sustituirlas por una sola resultante: P5 = Q – (G5 + Pin5) P5 = 1290 – (49.1 N + 1185) = 55.9 N. d.- Determinamos la reacción tangencial Rt43. ∑ 𝑀𝐸 = − 𝑅43 𝑡 ∗ 𝑙𝐶𝐸 − 𝑀𝑖𝑛4 − 𝑃𝑖𝑛4 ∗ 𝑏1 ∗ 𝑘𝑙 − 𝐺5 ∗ 𝑏1 ∗ 𝑘𝑙 = 0 Rt43 = -124 N e.- Determinamos la componente normal Rn43 y la reacción R56 por el polígono de fuerzas. ∑ 𝑃𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 = 𝑅43 𝑛 + 𝑅43 𝑡 + 𝑃𝑖𝑛 4 + 𝐺4 + 𝑃5 + 𝑅56 = 0 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-0 Fuerza N Rt 43 Pin 4 G4 P5 124 N 284 N 14.7 N 115 N Kp 3 (N/mm) 41 mm 95 mm 5 mm 38 mm Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc R56 =KP * 5-0 = 33 N R4-3 = KP * 0-2 = 129 N f.- Determinamos la reacción interna en la articulación E. Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc ∑ 𝑃𝐸𝑠𝑙𝑎𝑏𝑜𝑛 5 = 𝑃5 + 𝑅56 + 𝑅54 4-5 5-0 0-4 R54 = KP * 0-4 = 264 N Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc 1.11.- Cálculo de las reacciones en los pares cinemáticos que contiene a los eslabones 2 y 3. a.- Representamos dicho grupo estructural con la escala adecuada Kl = 0.005 m/mm y aplicamos a los eslabones todas las fuerzas externas, los pesos, las fuerzas de inercia y los momentos de inercia: b.- En el punto C al eslabón 3 la aplicamos la reacción conocida R34 con el mismo valor numérico que tiene la reacción R43 del cálculo anterior, pero en sentido contrario. c.- Aplicamos las reacciones buscadas R36 = Rn36 + Rt36 con sentidos arbitrarios a la articulación D y a la articulación B aplicamos las reacciones buscadas R21 = Rn21 + Rt21 también con sentidos arbitrarios. Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc d.- Determinamos las componentes tangenciales Rt21 y Rt36: ∑ 𝑀𝐶 (𝐸𝑠𝑙𝑎𝑏𝑜𝑛 2) = 𝑅21 𝑡 ∗ 𝑙𝐵𝐶 − 𝑃𝑖𝑛2 ∗ 𝑏3 ∗ 𝑘𝑙 + 𝐺2 ∗ 𝑏4 ∗ 𝑘𝑙 − 𝑀𝑖𝑛2 = 0 Rt21 = -81.5 N ∑ 𝑀𝐶 (𝐸𝑠𝑙𝑎𝑏𝑜𝑛 3) = 𝑅36 𝑡 ∗ 𝑙𝐷𝐶 − 𝑃𝑖𝑛3 ∗ 𝑏6 ∗ 𝑘𝑙 + 𝐺3 ∗ 𝑏5 ∗ 𝑘𝑙 + 𝑀𝑖𝑛3 = 0 Rt36 = 3.11 N e.- Determinamos las componentes normales Rn21 y Rn36 y las reacciones totales R21 y R36 mediante el polígono de fuerzas: ∑ 𝑃𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑐𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 = 𝑅21 𝑛 + 𝑅21 𝑡 + 𝑃𝑖𝑛 2 + 𝐺2 + 𝐺3 + 𝑃𝑖𝑛 3 +𝑅34 + 𝑅36 𝑡 + 𝑅36 𝑛 = 0 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-0 Fuerza N Rt21 Pin 2 G2 G3 Pin 3 R34 Rt36 81.5 N 234 N 19.6 N 14.7 N 131 N 129 N 3.11 N Kp 3 (N/mm) 27 mm 78 mm 7 mm 5 mm 43 mm 43 mm 1 mm Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc Observación: Convencionalmente se considera (para el apartado de fuerzas) que, si un vector de polígono de fuerzas resulta igual o menor de 1 mm dicho vector no se traza, por eso en nuestro caso los puntos 7 y 8 coincidirán: f.- Determinamos la reacción interna en C, para lo cual examinamos el equilibrio el eslabón 2: ∑ 𝑃𝐸𝑠𝑙𝑎𝑏𝑜𝑛 2 = 𝑅21 + 𝐺2 + 𝑃𝑖𝑛 2 + 𝑅23R23 = KP * (4-0) = 3 * 78 = 234 N Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc 1.12.- Calculo de las fuerzas del eslabón de entrada: a.- Representamos el eslabón de entrada con el coeficiente de escala adecuado, en este caso Kl = 0.005 m/mm y ubicamos las fuerzas que le corresponden: b.- Determinamos la fuerza equilibrante Peq haciendo momento en A: ∑ 𝑀𝐴 = 𝑃𝑒𝑞 ∗ 𝑙𝐴𝐵 − 𝑅12 ∗ 𝑏7 ∗ 𝑘𝑙 − 𝐺1 ∗ 𝑏8 ∗ 𝑘𝑙 = 0 Peq = 392 N Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc c.- Determinamos R16 ∑ 𝑃 = 𝑃𝑒𝑞 + 𝑃𝑖𝑛 1 + 𝐺1 + 𝑅12 + 𝑅16 Fuerza N Peq Pin 1 G1 R12 392 N 37 N 4.91 N 468 N Kp 5 (N/mm) 78 mm 7 mm 1 mm 94 mm Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc Ponemos todas las reacciones en una tabla: Par Cinemático 6-1 1-2 2-3 3-4 3-6 4-5 5-6 A B C C´ D E E´ Reacción R16 R12 R23 R34 R36 R45 R56 Valor Numérico en N 260 468 234 129 30 264 33 1.13.- Determinación de la fuerza equilibrante mediante la palanca rígida de Zhukovski. a.- Sustituimos los momentos de las fuerzas de inercia por pares de fuerzas: El momento de inercia Min2 por P´2 aplicada en B y P”2 aplicada en C: El momento de inercia Min3 por P´3 aplicada en C y P”3 aplicada en D: Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc El momento de inercia Min4 por P´4 aplicada en C y P”4 aplicada en E: P´4 = P”4 = (Min4) / lCE =(5.73)/(0.33) = 46 N Los momentos de dichos pares deben de coincidir en sentido y valor numérico con los momentos de inercia correspondientes. De esta condición encontramos los valores de estas fuerzas: P´2 * lBC = Min2 P´3 * lCD = Min3 P´2 = P”2 = (Min2) / lBC =(20.7)/(0.45) = 46 N Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc P´3 = P”3 = (Min3) / lCD =(5.73)/(0.33) = 17.4 N b.- Construimos la palanca rígida de Zhukovski. Trasladamos los vectores de todas las fuerzas externas que actúan sobre los eslabones correspondientes de la palanca rígida. Los trasladamos paralelamente así mismos: Al punto S1 la fuerza G1. Al punto S4 las fuerzas G4 y Pin4 Al punto b, la fuerza Peq y P´2 Al punto S3 las fuerzas G3 y Pin3 Al punto S2 las fuerzas G2 y Pin2 Al punto e las fuerzas P5 y P”4 Al punto c las fuerzas P”2, P´4y P´3 P5 Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc P5 En la primera imagen se presenta Zhukovski con los primeros 5 brazos para efectuar momento y en la segunda imagen con los últimos 5 brazos, esto se efectúa para efecto de visualización. c.- Escribimos la ecuación de los momentos de todas las fuerzas con respecto al polo de palanca rígida y la despejamos en cuanto a Peq. Con esto todos los brazos de las fuerzas se miden inmediatamente en la palanca de Zhukovski en milímetros: SMP = G1*h2 – P´2*h1 – Peq*pb + Pin2*h3 – P”2*h6 + P´4*h7 + P´3*pc – G3*h4 + Pin3*h5 – G4*h8 – Pin4*h9 + P”4*h10 + P5*pe = 0 Peq = 416N Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc La diferencia relativa entre el valor numérico de Peq determinado por este método y el determinado por el cálculo de fuerzas no debe de exceder el 10%, en caso contrario el cálculo de fuerzas está mal realizado. 1.14.- Calculo de la potencia consumida por el rozamiento en los pares cinemáticos y cálculo del rendimiento del mecanismo a.- Potencia consumida en los pares: Nroz = NAroz + NBroz + NCroz + NC´roz + NDroz + NEroz + NE´roz Para los pares de rotación tenemos: NAroz = f´* R16 * rm * ω16 ω16 : Es la velocidad angular relativa de rotación del eslabón 1 con respecto al eslabón 6, en nuestro caso ω6 es igual a cero, entonces ω16 = ω1. ω16 = | ω1 ± ω6 | rm : Es el radio del muñón. f´ : Es el coeficiente reducido de rozamiento, en nuestro proyecto es el coeficiente de rozamiento de deslizamiento. 𝑓´ = 4 𝜋 ∗ 𝑓 𝑓´ = 4 𝜋 ∗ 0.1 = 0.127 NAroz = 0.127* 260 * 0.04 * 31.4 = 416 Watts NBroz = f´ * R12 * rm * ω12 = 0.127 * 468 *0.04 * 47.8 = 114 Watts Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc ω12 = ω1 + ω2 = 31.4 + 16.4 = 47.8 s-1 NCroz = f´ * R23 * rm * ω23 = 0.127 * 234 * 0.046 * 6 = 7.15 Watts ω23 = |ω2 – ω3| = 16.4 – 22.4= 47.8 s-1 NC´roz = f´ * R34 * rm * ω34 = 0.127 * 129 * 0.04 * 44.8 = 29.4 Watts ω34 = ω3 + ω4 = 22.4 + 22.4 = 44.8 s-1 Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc NDroz = f´ * R36 * rm * ω36 = 0.127 * 30 * 0.04 * 22.4 = 3.42 Watts Puesto que en nuestro caso ω6 es igual a cero, entonces ω36 = ω3 = 22.4 s-1. NEroz = f´ * R45 * rm * ω45 = 0.127 * 264 * 0.04 * 22.4 = 30.1 Watts Puesto que en nuestro caso ω5 es igual a cero, entonces ω45 = ω4 = 22.4 s-1. Para el par de traslación tenemos: NE´roz = f´ * R56 *VE5E6 = 0.127 *33 * 6.7 m/s = 22.1 Watts Sustituyendo todos los valores en la ecuación para el cálculo de Nroz, tenemos: Nroz = 248 Watts b.- Rendimiento del mecanismo. η = Nru / Ncon Nru es la potencia consumida por el mecanismo para vencer la fuerza de resistencia útil. Nru = Q */ VK, donde VK es la velocidad del punto de aplicación de Q, en nuestro caso VK = VE. Ncon es la potencia consumida por el mecanismo, o sea, la potencia de las fuerzas motrices. Ncon = Nru + Nroz; η = (Q * VE) / (Q * VE + Nroz) = (1350*67) / (1350*67 + 248) = 0.97 1.15.- Contenido de la hoja del dibujo 1.- En la parte superior izquierda de la hoja se representa la tabla de datos iniciales. Debajo de la tabla, el esquema cinemático del mecanismo a escala y en la posición Teoría de Mecanismos y Máquinas Juan Oswaldo Blandino Rayo, MSc para la cual se realiza el cálculo de fuerza. En el esquema cinemático se aplican a los eslabones las fuerzas efectivas. 2.- A la derecha del esquema cinemático se reproducen el polígono de velocidades y el polígono de aceleraciones a escalas adecuadas. 3.- En la parte izquierda central e inferior se representa el diagrama de la fuerza de resistencia útil Q y el diagrama de desplazamiento S = S (φ). 4.- En la parte central se representan los diferentes grupos estructurales y se construyen los polígonos de fuerza para los mismos a escala adecuada. 5.- En la parte derecha se hará el análisis de fuerzas del mecanismo primitivo con su polígono de fuerzas y se construirá la palanca rígida de Zhukovski.
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