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ÁLGEBRA
TEMA 6
11 ÁLGEBRA TEMA 6SAN MARCOS SEMESTRAL 2021 – III
PRODUCTOS NOTABLES
ESQUEMA - FORMULARIO
PRODUCTOS NOTABLES
Polinomio al cuadrado Polinomio al cubo
(∑ A)2 = ∑ A2 + 2∑AB (∑ A)3 = ∑ A3 + 3∑A2B + 6∑ABC
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a – b)2 = a2 + b2 – 2ab
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac)
a2 + b2 + c2 = – 2(ab + bc + ac)
a3 + b3 + c3 = 3abc
(ab + bc + ac)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ac)2
a4 + b4 + c4 = 1
2
 (a2 + b2 + c2)2
a5 + b5 + c5 = – 5abc(ab + bc + ac)
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab(a – b)
(a + b)4 – (a – b)4 = 8ab(a2 + b2)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2(b + c) +
3b2(a + c) + 3c2(a + b) + 6a
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c)
(a + b)(a – b) = a2 – b2
(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3
(a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3
Identidades
de Legendre
Si: a + b + c = 0
(a2 + a + 1)(a2 – a + 1) = a4 + a2 + 1
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)
Identidad de Argand
Identidad de Gauss
Suma y
diferencia
de cubos
Diferencia de
cuadrados
PRODUCTOS NOTABLES
22ÁLGEBRATEMA 6 SAN MARCOS SEMESTRAL 2021 – III
NIVEL 1
1. Sabiendo que: a + b = 5 ∧ ab = 2, calcular 
el valor de R = 
a2 + b2
a3 + b3 + 10
.
A) 0,2 B) 0,5 
C) 0,4 D) 0,1 
2. Si: (a + b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d), 
calcular:
 M = a – cd – b + 
b – c
d – a
A) 1 B) 0
C) 2 D) 3 
3. Si: x = 2 + 1 ∧ y = 2 – 1, entonces el 
valor de M = 
(x5y4 + 1)(x6y7 + 1)
(x4y5 + 1)(x8y7 + 1)
, es:
A) 0 B) –1 
C) 2 D) 1
4. Si: x + y + z = 0. Calcular:
 A = (3x + y)
3 + (3y + z)3 + (3z + x)3
(3x + y)(3y + z)(3z + x)
A) 0 B) 3 
C) –3 D) 81
 
NIVEL 2
5. Simplificar:
 S = (x + a)(x – a)(x2 – ax + a2)(x2 + ax 
+ a2)(x6 + a6)(x12 + a12) + a24
A) x24 B) a48
C) x12 D) a24
6. Si: x2 + x + 1 = 0, calcular el valor de:
 E = x18 + x–18.
A) 5 B) 2018 
C) 1 D) 2 
7. Sean los siguientes datos:
 
a + b = 5
x + y = 2
ab = 2
xy = 3







 Calcular el valor de:
 M = (ax + by)2 + (ay – bx)2
A) 7
3
 B) 38
 
C) 5 23 D) –42
8. Si: (a + b) = 14p ∧ ab = 5
4
p.
 Calcular el valor de: K = a2 – b2; a > b.
A) 3,14p B) 3 14p 
C) p
2
 D) p 
9. Si: a + b + c = 0 ∧ abc = 1
4
, dar el valor de:
 M=ab(a+b–c)4+bc(b+c–a)4+ac(c+a–b)4
A) 1 B) –2 
C) 3 D) 81 
10. ¿Cuál es el valor que asume la expresión
 V = 4m
2 + p2
2pm + 
2m + 2p
4m + 
2p
2m + 3p ?
 Si: 12m + 
1
p = 
4
p + 2m
A) 4 B) 1 
C) 3 D) 0 
PROBLEMAS PROPUESTOS
PRODUCTOS NOTABLES
PRODUCTOS NOTABLES
33 ÁLGEBRA TEMA 6SAN MARCOS SEMESTRAL 2021 – III
NIVEL 3
11. Efectuar:
(x+y+z)3+2(x3+y3+z3)–3(x+y+z)(x2+y2+z2)
A) 27xyz B) 9xyz 
C) 6xyz D) 0 
12. Si: {x;y;z} ⊂ R. Además:
 x2 + 2y2 + 2z2 = 2xz + 2xy
 Hallar: z
x
 + x
y
A) 1/5 B) 1/3 
C) 5/2 D) 2/5
13. Si:
A=(x–1)(x+1)(x+2)(x+4)+2x(x+3)–x2(x+3)2
 B = ab + bc + ac; donde:
 a + b + c = 5 ∧ a2 + b2 + c2 = 11
 Calcular: A + B.
A) 7 B) –8 
C) 1 D) –1