Ejercicios modelo estáticamente indeterminados

Vista previa del material en texto

1. Un cilindro de acero S está encerrado o arropado en un tubo de cobre C. El cilindro y el tubo se 
comprimen entre las placas rígidas de una máquina de prueba mediante fuerzas de compresión 
P. El cilindro de acero tiene un área de sección transversal As y un módulo de elasticidad Es, el 
tubo de cobre tiene un área Ac y un módulo Ec, y ambas partes tienen una longitud L. 
 
Determine: 
(a) Las fuerzas de compresión Ps en el cilindro de acero y Pc en el tubo de cobre 
(b) Los esfuerzos de compresión correspondientes σs y σc 
(c) El acortamiento δ del conjunto. 
 
Para dar solución de realiza el diagrama de cuerpo libre de la placa rígida. 
 
Ecuación de equilibrio: 
𝐹𝑦 = 0 
PS + PC – P = 0 
P = PS + PC 
Ecuación de compatibilidad: 
La carga de compresión P es transmitida a través de la placa rígida, la cual, se traslada sin 
deformarse. Es decir, la placa rígida hace los elementos concéntricos (tubo y cilindro) experimenten 
deformaciones unitarias iguales. 
εS = εC 
𝛿
𝐿
=
𝛿
𝐿
 
𝛿 = 𝛿 
Ecuación constitutiva: 
Considerando un comportamiento lineal elástico, la ley de Hooke en condición uniaxial aplica 
perfectamente. 
 
𝜎 = 𝐸 ∗ 𝜀 
 
𝛿
𝐿
=
𝜎
𝐸
 
 
𝛿 =
𝜎
𝐸
∗ 𝐿 
 
𝛿 =
𝜎
𝐸
∗ 𝐿 
 
𝛿 =
𝜎
𝐸
∗ 𝐿 
 
Resolviendo el sistema de ecuaciones: 
𝛿 = 𝛿 
𝜎
𝐸
∗ 𝐿 =
𝜎
𝐸
∗ 𝐿 
 
𝜎 = 𝜎 ∗
𝐸
𝐸
 
𝜎 =
𝑃
𝐴
∗
𝐸
𝐸
 
 
𝑃
𝐴
=
(𝑃 − 𝑃 )
𝐴
∗
𝐸
𝐸
 
 
𝑃
𝐴 ∗ 𝐸
𝐴 ∗ 𝐸
+ 1 = 𝑃 
 
Fuerza a compresión que se desarrolla en el cilindro de acero: 
𝑃 = 𝑃 ∗
𝐴 ∗ 𝐸
𝐴 ∗ 𝐸 + 𝐴 ∗ 𝐸
 
Esfuerzo a compresión que se desarrolla en el cilindro de acero, se obtiene dividiendo la expresión 
anterior entre AS : 
𝜎 = 𝑃 ∗
𝐸
𝐴 ∗ 𝐸 + 𝐴 ∗ 𝐸
 
 
Fuerza a compresión que se desarrolla en el tubo de cobre: 
P = PS + PC 
PC = P - PS 
𝑃 = 𝑃 − 𝑃 ∗
𝐴 ∗ 𝐸
𝐴 ∗ 𝐸 + 𝐴 ∗ 𝐸
 
 
𝑃 = 𝑃 ∗
𝐴 ∗ 𝐸 + 𝐴 ∗ 𝐸 − 𝐴 ∗ 𝐸
𝐴 ∗ 𝐸 + 𝐴 ∗ 𝐸
 
 
𝑃 = 𝑃 ∗
𝐴 ∗ 𝐸
𝐴 ∗ 𝐸 + 𝐴 ∗ 𝐸
 
 
Esfuerzo a compresión que se desarrolla en el tubo de cobre, se obtiene dividiendo la expresión 
anterior entre AC : 
𝜎 = 𝑃 ∗
𝐸
𝐴 ∗ 𝐸 + 𝐴 ∗ 𝐸
 
P = PS + PC 
 
𝛿 = 𝛿 = δ 
 
𝑃 = 𝛿
𝐴 𝐸
𝐿
+ 𝛿
𝐴 𝐸
𝐿
 
 
Despejando la deformación o el acortamiento del conjunto, se obtiene: 
 
𝛿 =
𝑃 ∗ 𝐿
𝐴 𝐸 + 𝐴 𝐸
 
 
2. La barra de acero está libre de esfuerzos antes de que se apliquen cargas axiales P1 = 150 kN y 
P2 = 90 kN a la barra. Suponiendo que las paredes son rígidas, calcule la fuerza axial en cada 
segmento después de que se aplican las cargas. Utilice E = 200 GPa 
 
 
Para dar solución de realiza el diagrama de cuerpo libre del sistema de barras. 
 
 
 
 
Ecuación de equilibrio: 
𝐹𝑥 = 0 
RA – P1 + P2 + RD = 0 
 
Ecuación de compatibilidad: 
El cambio de longitud de todo el sistema será igual a la sumatoria de las deformaciones en cada 
segmento prismático de barra e igual a cero, debido a que las paredes en los puntos A y D son rígidas 
lo que se traduce en desplazamientos iguales a cero. 
 
𝛿 / = 𝛿 − 𝛿 = 𝛿 + 𝛿 + 𝛿 
 
0 = 𝛿 + 𝛿 + 𝛿 
 
Ecuación constitutiva: 
Considerando un comportamiento lineal elástico, la ley de Hooke en condición uniaxial aplica 
perfectamente. 
 
𝜎 = 𝐸 ∗ 𝜀 
 
𝛿
𝐿
=
𝜎
𝐸
 
 
𝛿 =
𝜎
𝐸
∗ 𝐿 
 
𝛿 =
𝑃𝐿
𝐴𝐸
 
 
 
 
 
Determinación de fuerza interna en cada tramo de barra prismático, lo cual, se requiere para 
determinar la deformación en cada tramo y luego reemplazar en la ecuación de compatibilidad. 
 
 
 
𝐹𝑥 = 0 
RA + FAB = 0 
RA = - FAB 
𝛿 =
−𝑅 𝐿
𝐴 𝐸
 
 
 
𝐹𝑥 = 0 
RA – P1+ FBC = 0 
FBC = P1 - RA 
𝛿 =
(𝑃 − 𝑅 )𝐿
𝐴 𝐸
 
 
 
𝐹𝑥 = 0 
RA – P1 – P2 + FCD = 0 
FCD = P1 + P2 - RA 
𝛿 =
(𝑃 + 𝑃 − 𝑅 )𝐿
𝐴 𝐸
 
 
 
Reemplazando en la ecuación de compatibilidad, las expresiones de la deformación de cada tramo 
de barra: 
 
0 = 𝛿 + 𝛿 + 𝛿 
 
0 =
−𝑅 𝐿
𝐴 𝐸
+
(𝑃 − 𝑅 )𝐿
𝐴 𝐸
+
(𝑃 + 𝑃 − 𝑅 )𝐿
𝐴 𝐸
 
 
0 =
−𝑅 𝐿
𝐴 𝐸
+
𝑃 𝐿
𝐴 𝐸
−
𝑅 𝐿
𝐴 𝐸
+
(𝑃 + 𝑃 )𝐿
𝐴 𝐸
−
𝑅 𝐿
𝐴 𝐸
 
 
𝑅 𝐿
𝐴 𝐸
+
𝑅 𝐿
𝐴 𝐸
+
𝑅 𝐿
𝐴 𝐸
=
𝑃 𝐿
𝐴 𝐸
+
(𝑃 + 𝑃 )𝐿
𝐴 𝐸
 
 
 
 
Al conocer RA, se puede determinar las fuerzas internas en cada tramo de barra: 
-RA = FAB 
FBC = P1 - RA 
FCD = P1 + P2 - RA 
 
2. Las dos barras verticales unidas a la barra rígida son idénticas, excepto por su longitud. Antes 
de fijar el peso de 6600 lb, la barra era horizontal. Determine la fuerza axial en cada barra 
causada por la aplicación del peso. No tener en cuenta el peso de la barra. 
 
 
Para dar solución de realiza el diagrama de cuerpo libre del sistema de barras. 
 
 
Ecuación de equilibrio: 
𝐹𝑦 = 0 
-AY + FA + FB - W = 0 (1) 
∑ 𝑀 = 0 , SAH Positivo 
-W(10ft) +FB(8ft) + FA(4ft) = 0 (2) 
Se observa, que de la evaluación de las condiciones de equilibrio se obtuvo dos ecuaciones y tres 
incógnitas, lo cual, indica que el sistema es estáticamente indeterminado de grado 1. 
 
Ecuación de compatibilidad: 
La barra rígida AC a la cual, están conectadas las barras A y B, por efecto de la colocación del peso y 
las condiciones de apoyo en el punto O (articulación), solo podrá rotar. El desplazamiento angular 
de todos los puntos de la barra, es decir, el cambio de posición de todos los puntos contenidos en 
la barra realmente estará descrito por una trayectoria tipo longitud de arco, pero al considerarse 
pequeña la trayectoria se puede simplificar suponiéndola recta, y de esta manera, igualar al 
alargamiento que experimenta las barras A y B producto del peso W, Ya que están conectadas a la 
barra. 
Diagrama de desplazamientos: 
 
 
 
𝛿 = 𝛿 ´ = 𝐴´𝐴" 
𝛿 = 𝛿 ¨ = 𝐵´𝐵" 
𝛿 = 𝐶´𝐶" 
Por relación de triangulo, se obtiene: 
𝛿
10𝑓𝑡
=
𝛿 ¨
8𝑓𝑡
=
𝛿 ´
4𝑓𝑡
 
 
Ecuación constitutiva: 
Considerando un comportamiento lineal elástico, la ley de Hooke en condición uniaxial aplica 
perfectamente. 
 
𝜎 = 𝐸 ∗ 𝜀 
 
𝛿
𝐿
=
𝜎
𝐸
 
 
𝛿 =
𝜎
𝐸
∗ 𝐿 
 
𝛿 =
𝑃𝐿
𝐴𝐸
 
 
𝛿 = 𝛿 ´ =
𝐹 𝐿
𝐴 𝐸
 
𝛿 = 𝛿 ´ =
𝐹 𝐿
𝐴 𝐸
 
 
Reemplazando en la ecuación de compatibilidad, las expresiones de la deformación de cada tramo 
de barra: 
 
𝛿
10𝑓𝑡
=
𝛿 ¨
8𝑓𝑡
=
𝛿 ´
4𝑓𝑡
 
 
𝛿 ¨
8𝑓𝑡
=
𝛿 ´
4𝑓𝑡
 
 
𝛿 ¨ = 2 ∗ 𝛿 ´ 
 
𝐹 𝐿
𝐴 𝐸
= 2 ∗
𝐹 𝐿
𝐴 𝐸
 
 
𝐹 = 2 ∗ 𝐹 ∗
𝐿
𝐿
 
 
𝐹 = ∗ 𝐹 
Con la ecuación anterior y las dos ecuaciones de equilibrio se pues resolver el sistema, y de esta 
manera, encontrar las fuerzas que se desarrollan en cada barra ( A y B). 
 
-AY + FA + FB - W = 0 (1) 
 
-W(10ft) +FB(8ft) + FA(4ft) = 0 (2) 
 
𝐹 = ∗ 𝐹 (3)