coloquio-de-desarrollo-del-metodo-de-mueller

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C5 MM GRP03 - El presente documento muestra el coloquio
de desarrollo del MÉTODO DE MÜLLER;
Metodos Numericos (Universidad de las Fuerzas Armadas de Ecuador)
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AREA DE CONOCIMIENTO: ANÁLISIS FUNCIONAL 
Ficha de Objeto de 
aprendizaje 1 
Unidad I (Cálculo Científico, Aproximaciones y Errores) Versión 1.0 
GRUPO: 03 
Briceño Josselyne 
Katherine Flores 
Pulupa Andrés 
ASIGNATURA ANÁLISIS NUMÉRICO 
 
1. Tema 
MÉTODO DE MÜLLER 
2. Formulación Matemática 
Este método presentado por primera vez por D. E. Müller en 1956 es una generalización 
del método de la secante. Utiliza una interpolación cuadrática de tres puntos del proceso 
iterativo que busca la solución par, a partir de las raíces de esa interpolación, definir un 
nuevo punto del proceso. (O’Connor, 1997). 
El método de Müller consiste en obtener coeficientes de la parábola utilizando tres 
puntos, dichos coeficientes se sustituyen en la fórmula cuadrática para obtener el valor 
donde la parábola interseca al eje x; es decir, la raíz estimada; la metodología que 
desarrolla procede con el cálculo de los coeficientes de la parábola la cual pasa por los 
tres puntos ya establecidos antes, dichos coeficientes se sustituyen en una fórmula 
cuadrática para obtener, los valores de la parábola que interseca al eje x (Chapra & 
Canale, 2016). ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Para lo cual esta se la define para que pase por tres puntos [ ( )] [ ( )] [ ( )] 
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Con lo que se llega a una aproximación como se ve en la ilustración 1 
 
Fig 1. Aproximación por método de Müller 
Para llegar a esa aproximación en donde se obtiene la raíz que para este caso fue en x=0 
se debe realizar: 
1. Planteamiento de un sistema de ecuaciones para los tres puntos partiendo de la 
ecuación inicial cuadrática (1) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
En donde se obtienen como primer valor de los coeficientes ( ) 
Puesto que se anulan los valores de x2, quedando así dos ecuaciones. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
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Luego se realiza una manipulación algebraica para obtener así los coeficientes a y b 
puesto que ya se encontró el coeficiente c, usando las diferencias (i) y (ii): (i) ( ) ( ) ( ) ( ) (ii) 
Remplazando así los valores (i) y (ii) en las ecuaciones (2) y (3) se obtiene los 
coeficientes a y b y a la par el coeficiente c. 
 ( ) 
Para hallar la raíz aproximada se utiliza la resolución de ecuación de segundo grado por 
medio de la formula √ (4) 
Para hallar la raíz más aproximada se debe realizar varias iteraciones en la cual se va 
aproximando es decir en el siguiente caso x3 actual será x2 y se obtendrá así un nuevo x3 
hasta tener un error mínimo. 
2.1. Requisitos Preliminares 
2.1.1. Método de la Secante 
Este método consiste en aproximar la derivada ( ) de la ecuación ( ) ( ), 
por el cociente: ( ) ( ) (5) 
Formando con los resultados de las iteraciones anteriores , resultando en la 
fórmula ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6) 
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 (Burden & Faires, 1995; Nieves & Domínguez, 2006). 
Para la primera aplicación de la ecuación (6) e iniciar el proceso de iteraciones, se 
requerirán dos valores iniciales: en donde una siguiente iteración , estaría dada 
por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (7) 
Y así sucesivamente hasta que ( ) o que - o también que ( ) (Nieves & Domínguez, 2006). 
 
Fig 2. Demostración gráfica del método de la Secante 
Obsérvese la Fig 1, los dos miembros de la ecuación ( ), se grafican por 
separado, se eligen los puntos y se grafican los puntos de coordenadas A ( ( )) y B ( ( )). Los puntos A y B se unen con una línea recta (Secante a la 
curva y=g(x)) y se sigue por la secante hasta su intersección con la recta y=x, la abscisa 
correspondiente al punto de intersección es siendo la nueva aproximación al x 
buscado. 
Este método no garantiza la convergencia a una raíz, lo cual puede lograrse con ciertas 
modificaciones que dan lugar a los métodos de posición falsa y bisección (Nieves & 
Domínguez, 2006) 
 
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2.1.2. Método de Newton Raphson 
El método de Newton es una de las técnicas numéricas para resolver un problema de 
búsqueda de raíces f(x )= 0 más poderosas y más conocidas. La manera más utilizada es 
mediante gráficas o derivarlo como una técnica que permita lograr una convergencia 
más rápida en comparación a otros métodos de iteración (Burden & Faires, 1995). 
La fórmula general conocida como método de Newton-Raphson de este método es: ( ) ( ) (8) 
Su fundamento se basa esiniciar la iteración con un número inicial xo la cual permitirá 
trazar una tangente desde el punto [xo,f(xo)] de la curva, el punto donde esta tangente 
cruza el eje x representa una aproximación mejorada de la raíz (Burden & Faires, 1995). 
 
Fig 3. Demostración gráfica del método de Newton - Raphson 
El proceso se da con un número de iteraciones hasta cumplirse que: ( ) 
De esta manera se asegura encontrar la raíz utilizada la estimación inicial. Es bastante 
aplicable al dominio de raíces complejas e incluso ecuaciones no lineales simultáneas. 
 
 
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2.1.3. Función signo 
La función signo es una función definida a trozos o función por partes, la cual es 
representada habitualmente por medio de sgn(x). 
La función signo de un número real x, es una función de valor real cuya regla de 
correspondencia viene dada por: 
{ 
Su grafica es la de una función de dos escalones con un salto en . 
 
Fig 4. Función signo 
2.1.4. Ceros reales y complejos 
Los ceros reales de una función polinomial f son las soluciones reales, si las hay, de la 
ecuación ( ) . También son las intersecciones x de f. (Sullivan, 1997) 
Si ( ) ( ) (9) con coeficientes 
numéricos complejos tiene por lo menos un cero complejo. 
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Si el polinomio ( ) de grado tiene coeficientes reales, y si el número complejo , con es un cero complejo de ( ), entonces su conjugado complejo también es un cero de ( ) 
2.1.5 Deflación 
Para calcular (aproximadamente) todos los ceros de un polinomio ( ) se usa el 
siguiente procedimiento llamado deflación. Se encuentra una aproximación a un cero 
del polinomio ( ) y se divide ( ) entre : ( ) ( ) ( ) (10) 
Como es una aproximación a una raíz del polinomio, el valor del residuo es 
pequeño, así que ( ) ( ) ( ) (11) 
En el segundo paso se busca una aproximación a una raíz del polinomio ( ) ( ) se define como el resultado de dividir ( ) entre ( ) etc. 
Es natural suponer que también aproxima a una raíz de ( ). 
2.2. Demostraciones 
Demostración de la ecuación de Muller 
AFIRMACIÓN JUSTIFICACIÓN 
 
Fig 5. Los valores de po, p1 y p2 para el método de Müller y las diferencias y . 
 
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 (I) (III) ( ) ( ) ( ) ( ) 
Definición entre igualdad de variables, 
tomando como base la Fig 5 en la ecuación (1) 
En ( ), 
 (V) 
En ( ), 
 (VI) 
En ( ) ( ) ( ) 
 (VII) 
Cada apunto inicial proporciona una ecuación 
para a, b y c 
 ( ) (VIII) Con la ecuación (VII) cuando , se ha 
determinado entonces el valor de c ( ) ( ) ( ) ( ) (IX) ( ) ( ) ( ) ( ) (X) Reemplazamos (VII) en (V) y en (VI), formando un sistema de dos ecuaciones con dos 
incógnitas: ( ) ( ) ( ) ( ) (XI) Artificio matemático en sumamos y restamos en ( ) , para obtener la relación: ( ) ( ) 
Reemplazando esta relación en (IX) ( ) ( ) ( ) ( ) (XII) Reemplazando (II) en (IV) 
 
 ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) (XIII) 
Despejando en (XII) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (XIV) 
 
Sumamos (XIII.a y XIII.b) para obtener la 
relación (XIV) 
(II) 
(IV) 
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 ( ) ( ) (XV) Reemplazamos (XI) y (XIV) en (IX) 
( ) (XVI) Artificio matemático en sumamos y restamos en ( ) de (X), para obtener la 
relación: ( ) 
 ( ) (XVII) Agrupamos para la relación de y , 
Artificio matemático en sumamos y restamos en (XVI) (( ) ( )) (XVIII) Agrupando (XVII) 
 ( ) (XIX) Reemplazo de (II) en (XVIII) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (XX) Reemplazo de (XIX) en (X) y reordenamos ( ) ( ) ( ) ( ) (XXI) Partiendo de la ecuación “-(XX)”: 
 
 ( ) ( ) (XXII) Reemplazando (XXI) en (XIII.b) 
 (XXIII) Despejando b de (XXII) 
 ( ) ( ) (XV) 
 ( ) ( ) (XXII) 
 (XXIII) 
 
Ecuaciones resultantes 
 
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10 
 
 
 ( ) 
 
Se despejan los coeficientes a partir de (XV), 
(XXII) 
 √ (XXV) A partir de la ecuación general de obtención de 
raíces de ecuaciones de segundo grado (XXV) ( )( ) √( ) [ ] ( ) (XXVI) Reemplazando (XXIV) en (XXV) :. (XXVI) = LLQD 
` 
2.3. Casos Especiales 
En el método de Müller se pueden dar las siguientes consideraciones: 
 Si a = b = 0 
aparece, precisamente, cuando ( ) ( ) ( ), que es un caso que 
exige el cambio de los valores iniciales y por lo tanto no nos interesa considerar. 
 Si , 
Los tres puntos están sobre una misma recta, y se sigue que la única solución es 
 √ 
 Si 
Obtenemos que: 
 √ 
o sea, dos posibilidades para h y por lo tanto para ( ). Elegimos, en este caso, 
 ( ) √ 
(XXIV
) 
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por ser la solución que nos brinda el denominador más grande y nos permite escoger, de 
esta manera, el h más pequeño; es decir el valor de ( ) más próximo a . (Prada, 
2004) 
Con los anteriores elementos el método de Müller queda descrito por: ( ) ( ) 
Siendo 
 ( ) 
{ 
 √ ( ) √ 
 
Y a, b, c definidas como 
 ( ) 
La definición de F nos revela que el valor de puede ser un número complejo, 
aunque los tres términos anteriores o algunos de ellos sean reales, cuando el 
discriminante es menor que cero. Esta propiedad debe verse como una ventaja del 
método de Müller, y no como un inconveniente, ya que su uso permite, determinar 
todos los ceros reales y complejos de un polinomio, partiendo de valores iniciales 
reales. (Prada, 2004) } 
2.4. Teoría de Errores 
El error que se obtiene y se lo usa para realizar la comparación es un error porcentual 
entre la raíz calculada antigua y la raíz calculada nueva dando así: 
 | | 
 
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3. Referencias 
Burden, R., & Faires, D. (1995). Análisis numérico (Séptima edición). Youngstown 
State University. 
Chapra,S. C., & Canale, R. P. (2016). Métodos Numéricos para Engenharia - 7a 
Edição. McGraw Hill Brasil. 
La Función Signo de un Número Real, sgn(x). (n.d.). Retrieved May 21, 2017, from 
https://es.scribd.com/doc/53760829/La-Funcion-Signo-de-un-Numero-Real-sgn-
x 
Nieves, A., & Domínguez, F. (2006). Métodos numéricos aplicados a la Ingeniería 
(Segunda Edición). COMPAÑÍA EDITORIAL CONTINENTAL. 
O’Connor, J. L. de la F. (1997). Técnicas de cálculo para sistemas de ecuaciones, 
programación lineal y programación entera: códigos en FORTRAN y C con 
aplicaciones de sistemas de energía eléctrica. Reverte. 
Prada, I. M. (2004). Análisis numérico. Univ. Nacional de Colombia. 
Sullivan, M. (1997). Precalculo. Pearson Educación. 
 
 
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