04.DiscretizaciondeControladoresyPlantas

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Control Automático
Discretización de reguladores y plantas
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Contenido
◼ Discretización a partir de la función de transferencia en 
tiempo continuo
◼ Por respuesta invariante al impulso
◼ Por retenedor de orden cero (ZOH)
◼ Por Tustin o transformación bilineal
◼ Por mapeo de polos (solo para SISO)
◼ Ejemplos
◼ Ejercicios
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Esquema de un control digital
Computador
y(t)
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Escogencia del periodo de muestreo
◼ El periodo de muestreo Ts debe ser escogido para que sea 
menor que una décima parte de la constante de tiempo 
dominante, del sistema que se espera en lazo cerrado
.
10
1
doms TT 
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Escogencia del periodo de muestreo
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Condiciones de la conversión
◼ Dos funciones continuas son discretizadas y se encuentran en cascada
◼ Dos funciones continuas en cascada son discretizadas; G(s) = 
G1(s)G2(s)
G1(s) G2(s)
T T
x(t)
X(s)
x*(t)
X(z)
v(t)
V(s)
y(t)
Y(s)
y*(t)
Y(z)
G1(s) G2(s)
TT TT
x(t)
X(s)
x*(t)
X(z)
v(t)
V(s)
y(t)
Y(s)
y*(t)
Y(z)
   )()()(
)(
)(
)( 21 sGsGsG
zX
zY
zG ===
   )(Ζ)(Ζ)()(
)(
)(
)( 2121 sGsGzGzG
zX
zY
zG ===
G1(s) G2(s)
T T
x(t)
X(s)
x*(t)
X(z)
v(t)
V(s)
y(t)
Y(s)
y*(t)
Y(z)T
v*(t)
V*(s)
G1(s) G2(s)
TT TT
x(t)
X(s)
x*(t)
X(z)
v(t)
V(s)
y(t)
Y(s)
y*(t)
Y(z)TTT
v*(t)
V*(s)V(z)
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Condiciones de la conversión
◼ Procedimiento:
◼ Combinar todos los elementos continuos que se encuentren 
directamente conectados en cascada en una única función G(s)
◼ Considerar como si la función G(s), tiene además, paralelamente 
a su salida continua, una salida muestreada. G(z) = Y(z)/U(z)
G1(s) G2(s)
T
x(t)
X(s)
x*(t)
X(z)
K(z) G(s)
TT
x(t)
X(s)
x*(t)
X(z) T
u*(t)
U (z)TT
T
y(t)
Y(s)
y*(t)
Y(z)TT
y(t)
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
El sistema híbrido de control
G1(s) G2(s)
T
x*(t)
X(z)
K(z) G(s)
TT T
u*(t)
U (z)TT
T
y(t)
Y(s)
y*(t)
Y(z)TT
y(t)
H(s)
-
+
R(s)
r(t)
 
 )()()(1
)()(
)()(1
)()(
)(
)(
)(
sHsGzK
sGzK
zGHzK
zGzK
zR
zY
zT
+

=
+
==
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Transformación por respuesta invariante al 
impulso
◼ Combinar todos los elementos continuos que se encuentren 
directamente conectados en cascada en una única función G(s)
◼ Representar G(s) en fracciones parciales
◼ Convertir cada fracción parcial a su forma en Z usando la transformada 
Z de la función exponencial muestreada y con ayuda de tablas.
Ζ 𝑒−𝑎𝑡 = Ζ 𝑒−𝑎𝑘𝑇 =
1
1 − 𝑒−𝑎𝑇𝑧−1
𝐿 𝑒−𝑎𝑡 =
1
(𝑠 + 𝑎)
Tiene problemas de 
aliasing
dependiente de T
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
◼ Para raíces simples
Donde: 𝑅𝑖 = residuo del polo i-ésimo; 𝑝𝑖 = polo i-ésimo; 
T = periodo de muestreo
◼ Para raíces repetidas
Donde: 𝑅𝑖𝑙 = residuo de la repetición l del polo i-ésimo; 𝑝𝑖 = polo i-ésimo; T = periodo de 
muestreo
mi = número de veces que la raíz pi está repetida
j = número de raíces diferentes
Respuesta invariante al impulso
𝐺(𝑧) = 𝑇෍
𝑖=1
𝑛
𝑅𝑖
(1 − 𝑒−𝑝𝑖𝑇𝑧−1)
𝐺(𝑧) = 𝑇෍
𝑖=1
𝑗
෍
𝑙=1
𝑚𝑖
(−1)𝑙−1𝑅𝑖𝑙
(𝑙 − 1)!
𝜕𝑙−1
𝜕𝑝𝑖
𝑙−1
1
(1 − 𝑒−𝑝𝑖𝑇𝑧−1)
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejemplo 1: Discretización de una planta 
por respuesta invariante al impulso 
◼ Encuentre el modelo en tiempo discreto para la planta P(s) 
mostrada, con T = 0.1s
◼ Evaluando los residuos para los polos
◼ P = [ -4 -1]
◼ R = [-4/3 4/3]
𝑃(𝑠) =
4
(𝑠 + 1)(𝑠 + 4)
=
𝑅1
(𝑠 + 4)
+
𝑅2
(𝑠 + 1)
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejemplo 1: cont.
◼ Evaluando
; T= 0.1s
𝑃(𝑧) = 0.1 ∗෍
𝑖=1
2
𝑅𝑖
(1 − 𝑒−𝑝𝑖𝑇𝑧−1)
= 0.1 ∗
−4/3
(1 − 𝑒−4∗0.1𝑧−1)
+
4/3
(1 − 𝑒−1∗0.1𝑧−1)
𝑃(𝑧) = 0.1 ∗
−4/3 ∗ 𝑧
(𝑧 − 0.6703)
+
4/3 ∗ 𝑧
(𝑧 − 0.9048)
𝑃(𝑧) =
0.031269𝑧
(𝑧 − 0.6703)(𝑧 − 0.9048)
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejercicio 1
◼ Convierta con T = 0.1s
◼ Evaluando los residuos para los polos
◼ P = [ -2 -2]
◼ R = [0 3]
𝑃(𝑧) =
0.024562 𝑧
(𝑧 − 0.8187)2
2)2(
3
)(
+
=
s
sP
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
◼ Se combina la función de transferencia del retenedor de orden 
cero con la de la planta.
◼ El resultado se descompone en fracciones parciales y cada 
fracción se transforma a Z.
Por retenedor de orden cero






−=





 − −
−
s
sG
ZzsG
s
e
Z
sT )(
*)1()(*
1 1
y(k)
G(s)ZOH
u(k)
y(t)
u*(t)
Método preferible 
para sistemas con 
tiempo muerto
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejemplo 2: Discretización de una planta 
por ZOH
◼ Encuentre el modelo en tiempo discreto para la planta P(s) 
mostrada, con T = 0.1s
◼ Descomponiendo en fracciones parciales P(s)/s los residuos y 
polos son: 
◼ R = [ 0.3333 -1.3333 1.0000]
◼ P = [-4 -1 0]
)4)(1(
4
)(
++
=
ss
sP
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejemplo 2: cont.
◼ Después de transformar cada fracción parcial aplicando el 
periodo de muestreo T = 0.1s
◼ Se suma y aplica el factor (1 - z-1), se factoriza y se simplifica:
sT
.z-.z-
.z+ .
zP 1.0,
)67030)(90480(
)84660(016990
)( ==
𝑃(𝑧) = (1 − 𝑧−1)
0.33
(1 − 𝑒(−4∗0.1)𝑧−1)
−
1.33
(1 − 𝑒(−1∗0.1)𝑧−1)
+
1
(1 − 𝑒0𝑧−1)
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Por el método de Tustin o 
transformación bilineal
◼ Se parte de la relación de definición de z
◼ Se despeja s y se desarrolla la serie de potencias del 
logaritmo
◼ Finalmente se aproxima la serie al primer término
sTez =
z
T
s ln
1
=
+
+
−
+
+
−
+
+
−
=
5
5
3
3
)1(
)1(
5
2
)1(
)1(
3
2
)1(
)1(2
z
z
Tz
z
Tz
z
T
s
)1(
)1(2
+
−

z
z
T
s
No tiene problemas 
de aliasing
dependiente de T
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejemplo 2: Discretización de una planta 
por Tustin
◼ Encuentre el modelo en tiempo discreto para la planta P(s) 
mostrada, con T = 0.1s
◼ Sustituyendo
)4)(1(
4
)(
++
=
ss
sP
)4
)1(
)1(
1.0
2
)(1
)1(
)1(
1.0
2
(
4
)(
+
+
−
+
+
−
=
z
z
z
z
zP
)9048.0)(6667.0(
)1(0079365.0
)(
2
−−
+
=
zz
z
zP
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
PmatchedPor mapeo de polos y ceros
Solo para sistemas SISO. Se sustituye cada polo de la forma (s - pi) 
por ( z – epiT ) y cada cero de la forma (s - zi) por ( z – e
ziT ). 
Finalmente se ajusta la ganancia K’ para una respuesta igual, 
típicamente a frecuencia cero.


=
=
−
−
=
n
i
i
q
i
i
ps
zs
KsG
1
1
)(
)(
)(
10
)()(
==
=
zs
zGsG


=
=−−
−
−
+=
n
i
i
q
i
i
qn
Tp
Tz
e
e
z
z
zKzG
1
1)1(1
)(
)(
)1()(
n > q
 =  en dom. 
analógico   = ½ s
en el dom. discreto.
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Por mapeo de polos y ceros
La ganancia K’ se calcula como
Se satisface exactamente la relación 
11
)1(
11
)()1(
)(
==
−−
=


−+
−
=
z
Tz
Tp
q
i
iqn
n
i
i
B
e
e
zz
z
KK


=
=
=
−
−
==
n
i
i
q
i
i
B
p
z
KsGK
s
1
1
0
)(
sTez =
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejemplo 4: Discretización de una planta 
por mapeo z = esT
◼ Encuentre el modelo en tiempo discreto para la planta P(s) 
mostrada, con T = 0.1s
◼ Los datos del sistema continuo son: 
◼ P = [-4 -1 ]
◼ n = 2; q = 0
◼ KB = P(0) = 1
)4)(1(
4
)(
++
=
ss
sP
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejemplo 4: cont.
◼ Se evalúa las fórmulas
)e)(zez
z
zP
.*-.*-
--
101104
)102(
(
)1(
)(ˆ
−−
+
=
)(ˆ*)( 1 zPKzP =
0.1sT,
)90480)(67030(
)1(0156870
)( ==
.z-.z-
z+.
zP
7486.63)1(ˆ =P 7486.63/1
1 =K
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Respuesta al impulso
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (seconds)
A
m
p
li
tu
d
e
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
 
 
Step Response
Time (seconds)
A
m
p
li
tu
d
e
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Respuesta al escalón
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Respuesta ante rampa
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
 
 
Respuesta ante rampa
Time (seconds)
A
m
p
li
tu
d
e
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Respuesta de frecuencia
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
M
a
g
n
it
u
d
e
 (
d
B
)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-450
-405
-360
-315
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
 
 
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejemplo 5: Discretización del regulador 
PID
◼ El PID ideal se puede discretizar por los métodos de: 
◼ La aproximaciones varias a la integral y a la derivada 
(Euler, Trapezoidal)
◼ Transformación bilineal o método de Tustin (s → z → kT)
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejemplo 5: Discretización del regulador 
PID
Aproximaciones a la integral 
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Discretización del PID por aproximaciones 
a la I y D
◼ Se parte de la expresión para el PID ideal en el dominio 
del tiempo continuo
◼ Se obtiene la forma posicional del algoritmo del PID
 
0.
)1()(
2
)1()((
)()( m
T
keke
KInt
Tkeke
KkeKkm
s
dprev
s
iP +
−−
+





+
−+
+=
0
0
)()()()( mte
dt
d
KdeKteKtm D
t
IP +++=  
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Discretización del PID por transformación 
bilineal
◼ Se parte de la expresión para el PID en el dominio de la 
frecuencia compleja
◼ Se sustituye
y se obtiene la forma de velocidad del algoritmo del PID
   )2()1(2)()()1()()1()( −+−−++−−+−= kekeke
T
TK
ke
T
TK
kekeKkmkm
s
dP
i
sP
P
dP
i
P
PPID TKs
sT
K
KsK ++=)(
)1(
)1(2
+
−

z
z
T
s
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
La forma de velocidad del PID discreto
◼ La forma de velocidad del PID se puede simplificar a
donde las constantes A, B y C dependen de KP, Ti, Td y del 
tiempo de muestreo TS
◼ También se puede llegar a esta forma si se resta la forma 
posicional del PID evaluada en k y en (k-1)
◼ Esta forma es menos propensa al windup
)2()1()()1()( −+−++−= keCkeBkeAkmkm
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Ejercicios adicionales
◼ Obtenga y compare los modelos discretos, con el periodo de 
muestreo T dado para las funciones G(s), F(s) y H(s); por los 
cuatro métodos vistos en clase.
0.05s T ;
)9(
)3)(4.0(
)( =
+
++
=
ss
ss
sF
0.1s T ;
)1(
)3(
)(
2
=
+
+
=
ss
s
sH
0.2s T ;
)2)(1(
*3
)(
4.0*
=
++
=
−
ss
e
sG
s
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
M2
M1
K1
K2 B1
r(t) = entrada
q(t)
y(t) = salidaChasis de
automóvil
Llanta
Ejercicios adicionales (2)
NF
mNK
kgM
msNB
mNK
kgMM
ent 544
/17855
10
/357
/3571
2254/
.
1
1
1
2
2
=
=
=
=
=
==
Fent es producida 
por el 
desplazamiento r(t)
𝑀1 ሷ𝑞 + 𝐵1( ሶ𝑞 − ሶ𝑦) + 𝐾2(𝑞 − 𝑦) + 𝐾1𝑞 = 𝐾1𝑟
𝑀2 ሷ𝑦 + 𝐵1( ሶ𝑦 − ሶ𝑞) + 𝐾2(𝑦 − 𝑞) = 0
Escriba el modelo en 
variables de estado en 
tiempo continuo y luego 
encuentre el modelo en 
tiempo discreto utilizando 
un periodo de muestreo 
que sea aprox. 20 veces 
más pequeño que un 
periodo de la oscilación del 
chasis. Simule y compare 
ambos modelos. Use este 
vector de estado:
ሶ𝐱𝑇 𝑦 𝑞 ሶ𝑦 ሶ𝑞
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Preguntas adicionales
◼ ¿Cómo se transforma un PID paralelo?
◼ ¿Cómo es un PID real?
◼ ¿Qué es un filtro derivativo para PID?
◼ ¿Cuáles son las aproximaciones backward Euler y forward
Euler a la integral y la derivada? ¿Ventajas y desventajas, 
cuál es más recomendable?
◼ ¿Encuentre las ecuaciones de diferencia de un PID ideal en 
paralelo? a) con forward Euler; b) con backward Euler; c) con 
Tustin.
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
 
 
Impulse Response
Time (sec)
A
m
pl
itu
de
P
Pimp
Pzoh
Ptustin
Pmatched
Referencias
◼ Bollinger, John G., Duffie, Neil A.. “Computer Control of Machines and Processes”, 
Addison-Wesley, USA, 1988.
◼ Kuo, Benjamin C.. „Sistemas de Control Automático“, Ed. 7, Prentice Hall, 1996, 
México.
◼ http://www.ie.itcr.ac.cr/einteriano/control/clase/3.0SistemasdeControlenTiempoDiscreto
.pdf
◼ http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/control/manipmod/f2-
3161.html
http://www.ie.itcr.ac.cr/einteriano/control/clase/3.0SistemasdeControlenTiempoDiscreto.pdf
http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/control/manipmod/f2-3161.html