Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
Eduardo Espinoza Ram Graduado y Titulado en Matemát Catedrático de las principales Universidades de la Capital □ B R A S P U B L I C A D A S J ■— —i . ! Ilk$r' "(Vil U B E J m 1 r■ T:W -~*VW / T (X) * V ► Variable Compleja y sus Aplicaciones ► Solucionarlo de Análisis Matemático por Deminovich tomo I, II, III ► Solucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II, III ► Solucionarlo de Matemática Aplicada a la Administración y Economía por E.WEBER. ► Solucionado de Leithold 2da. Parte. ► Geometría Vectorial en R2 ► Geometría Vectorial en R3 SOLUCION ARIO DE B. MAKARENKO EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS *■'"> e> £ Í+ -« .m Y=*(» E d u a rd o (Espinoza Ram os L im a - P e rú http://www.Solucionarios.net EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS SOLUCIONARIO A. KI SEL ION - M. Krsnov - G. MAKARENKO EDUARDO ESPINOZA RAMOS LIMA - PERÚ IMPRESO EN EL PERU Fecha de publicación Ejemplares impresos Númáfo de edición Autor* 0 9 - 0 2 - 2 0 1 0 1 0 0 0 libros 3a EDICIÓN Eduardo*Espinoza Ramos Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo ■ los sistemas de fotocopia, registros magnéiicos o de alimentación de datos, sin expreso consentimiento del autor y editor. DERECHOS RESERVADOS D.L. N° 822 Derechos copyright Edukperu © 2009 reservados RUC N° 20520372122 Ley de Derechos del Autor N° 13714 Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú con el número N° 2007-12593 PROLOGO La presente obra intitulada “ Ejercicios y Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Solucionario ” del libro de Makarenko y otros autores, en su 3ra. Edición, se ha revisado cuidadosamente y ampliado, abarcando los conceptos fundamentales, las ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado, así como sus aplicaciones, las ecuaciones diferenciales lineales de orden n homogénea y no homogéneas, las ecuaciones diferenciales de Euler, las ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes variables, solución de ecuaciones diferenciales por series de potencias, sistemas de ecuaciones diferenciales, solución de ecuaciones diferenciales lineales por medio de Transformada de Laplace, sistemas de ecuaciones diferenciales resueltas por medio de Transformada de Laplace. El objetivo fundamental de la presente obra es servir en la formación de los futuros profesionales en las áreas de ciencia e ingeniería, tanto en los aspectos científicos, como técnicos relacionadas con la impresión. Deseo expresar mi más profundo agradecimiento a mis colegas del área de matemática de las diversas universidades, quienes con sus sugerencias y apoyo han contribuido para mejorar éste trabajo. También mi reconocimiento especial al Doctor Pedro Contreras Chamorro, quien en todo momento está contribuyendo en mis trabajos, a fin que el beneficiado sea el estudiantado. Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a cada una de mis publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellas una ayuda para su avance y desarrollo intelectual. Eduardo Espinoza Ramos IN D IC E Pag. 1. Conceptos Fundamentales. i 2. Ejercicios de Verificación. 2 3. Ecuación con Variable separable y ecuaciones reducibles a ellas 14 4. Ecuaciones Homogéneas y Reducibles a ellas 48 5. Ecuaciones lineales de primer orden y Ecuación de Bemoulli 72 6. Ecuaciones Diferenciales Exactas, factor integrante 100 7. Ecuaciones Diferenciales de primer orden no resueltas con respecto a la derivada. 130 8. Ecuación de Lagrange y Clairout 143 9. Composición de las Ecuaciones Diferenciales de las familias de curvas, problemas de Trayectorias. 154 10. Soluciones Singulares 166 11. Diversos Problemas 175 12. Ecuación Diferencial de orden superior, Reducción del orden de la ecuación. 196 13. reducción del orden de la Ecuación 210 14. Ecuaciones Diferenciales Lineales de orden n 245 15. Ecuaciones Lineales Homogéneas de coeficientes constantes 16. Ecuaciones Lineales no Homogéneas de coeficientes Constantes 17. Ecuación de Euler 18. Ecuaciones Diferenciales lineales de Coeficientes Variables 19. Composición de la Ecuación Diferencial dado el Sistema Fundamental de Soluciones 20. Integración de las Ecuaciones Diferenciales mediante series 21. Sistemas de Ecuación Diferencial de coeficientes constantes 22. Reducción de un sistemas a una Ecuación Diferencial de orden n 23. Método Operacional y su aplicación para la resolución de Ecuación Diferencial 24. Propiedades de Transformada De Laplace 25. Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Constantes (con Transformada de Laplace). 26. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales lineales con Transformada de Laplace 27. Apéndice í j nói38U33 «i 3b ksé 260 272 333 345 394 396 430 431 454 455 470 489 510 ICONCEPTOS FUNDAMENTALES! Una ecuación diferencial es aquella que relaciona la variable independiente x, la función incógnita y = y(x) y sus derivadas; y^n): es decir: es una ecuación de la forma. Si la función incógnita y = y(x) depende de una sola variable independiente x, la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial ordinaria. El orden de una ecuación diferencial es el de la derivada de mayor orden que figura en la ecuación. Se llama solución de la ecuación diferencial a una función y = \|/(x), determinada en el intervalo (a, b), junto con sus derivadas sucesivas hasta el orden n inclusive tal que al hacer la sustitución y = \|/(x) en la ecuación diferencial, esta se convierte en una identidad con respecto a x en el intervalo (a, b). La gráfica de una solución de la ecuación diferencial se denomina curva integral de la ecuación. La forma general de una ecuación de primer orden es: F ( x , y ; f ) = 0 Si en la ecuación (1) es posible despejar y ' , resulta; . . . (2) Que representa una ecuación de primer orden, resuelta con respecto a la derivada. 1 Verificar, en los ejercicios que se dan a continuación, que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas. sen* 11.- y = -------, xy'+y = eos* x Solución y - scn£ y'= x cos* se.n.£ 9 reemplazando en la ecuación dada. jc eos jc-sen* sen* x 2 co sx -x sen x sen* 2 y v2X * * senx senx = eos X---------+ ------- -- eos X X X .*. xy'-Hy = cosx 12. - >> = ce“2jr+ — , y + 2j = e* Solución _ c e ~2jr + £ _ => y = - 2c e _2jr + — , reemplazando en la ecuación dada. i "\lp fii- X ex y'+2y = -2ce~lx +— + 2ce~Zr +2 — = e x 3 3 y'+2y = e x 13.- >> = 2 + c V l- x 2 , ( l - j c 2)y+xy = 2x Solución y = 2 + cV i- * 2 => y= -ex 2 ( l - j r 2).y'+jrv = - ( l - x 2)— ^ = r + x(2 + cV l-x 2) = - V l- x 2cc + VT V l-J ’-x2 (1 - j t 2)j '̂+jcv = 2jc 14.- j = x V l - x 2", >y’= x - 2 x 3 Solución .y = W l - * 2 => / = V l - x 2 — í ------= —T 2* V i- * 2 V i- * 2 r. 5". 1 —2jc ,= W l - s (■ ,----- - ) = s - 2 x 3 >y' = JC-2:c3 15.- , = , x /= > ;tg (ln j;) Solución aresenexj; = ^aresener ^ l = 'Jl -(cx)2 X c e « * m c x x c y xy - r - ■- = ̂ = tg(ln_v).^ V1 ~ ( c x ) 2 -Jl-(cx)2 x} = J'tg(lny) donde: sen(lny) = cx => lny = arc.sen ex => tg(lny) = — v h ^ F f* 2 16.- ^ = e J0 dt+ceX > y ' - y = e - x 2cx + 2x 3 Solución y = e * J * e ' 1 d t + c e * = > y ' = e x £ e ' 2 d t + e * . e * ' + c e * , reemplazando y ’- y = e x J X e , 2 d t + e * . e * 2 - + c e * - e * j o e ' d t - c e * = e *~* .e*1 y ' - y = ex+j;2 f * sen t 17.- y = x \ — ~ d t , x y = y + Jo t xsenx Solución ex Sen t Cx sen i sen x r > sen t . v —x l ------ dt ^ y' = I dt + x - I dt + sen x y J0 t 7 Jo t X Jo t r* sen t r*sení xy’= x ( ------ <* + senx) = x -------dr + xsenx * Jo t Jo t xy '= y + x senx t e *18.. v = x( — dx + c), xy '-y = xe J x Solución X m ¿>X y _ J dx + c)=> / = J — dx + c + e* \ reemplazando en la ecuación dada. x f €* xy'-y = x( í — dx + x + ex) - x ( | — dx + c) J xJ x Í e x f e x— dx •+■ xc + xc — x I ——- dx — xc — xc X J X x y '-y = xex 4 X = COSÍ 19.- L x+ yy' = 0 y = sen / 20. - Soiución , _ / (O _ eos/ cosí * '(0 sen í ^ sen/ , , eos/* + = cos/ + sen/(---------) = c o s /-c o s / = 0 sen/ JC + J> /= 0 x = í e t y = e (l + xy)y'+y2 =0 Solución ... y\ - e "y = —r = —--------------7 =>y '= —-, reemplazando en la ecuación ' - ' e (1+ t) _ -/ (l + xy)/+j>2 = (l + í)(-----------) + e~2' = - e “2' + e 2' = 0 e' 0 + 0 (1 + xy)y'+y2 =0 x = e »rctg(f) 21.- L y + xy’= 0^ = e -arctg(,)r* jx = esrctg<') | y = e-««8(0 ^ I eX = — x t Solución arctg(/) 1 + r > != - e -arctg(/) 1 + / 2 5 22 . - 23.- y ' = — = e ‘ 2arct8(' ) = > / = _ e - 2arct8(') y + jcy’= É -arc,8(,) + earct*<')(_e-2arctg(,)) = e arct8(,) - e arctg(,) = 0 y + xy' = 0 x = t ln í y’ 2 f> y in — = 4x y = í (21n í + l)j 4 Solución jt = / ln / => jcJ = ln f+ 1 y = f2(21n/ + l) => y} = 2f(21n / + l) + 2f = 4í(ln/ + l) y [= 4 r ( ln / + l ) =4¿ ^ y,= 4, ' x1 ln í+ 1 y i n — = 4í ln(— ) = 4í ln t = 4x 4 4 jc = ln / + sen í y = r(l + senO + cosíJ y' ln— = 4x 4 , x = ln v’+ sen j'’ Solución , 1 1+/COS/ x = iní + sen t=>x\ = - + cos / = ----- ------ y = /(l + sení) + cosí ^ .V/ = 1 + sen l + t eo s /— sen / = l + f eos/ 6 , >>} 1 +íeosr = - ---------- = t=>y'=t r ‘ 1 + ícosí_____ _ l n y + s e n /= ln í + sení = . x = ln y + sen y ’ x = t + aresen í , x = y + a re s e n / x = í + aresení x; = 1 + Solución 1 1 í(l+ / . i - 1 + 1 = t=>y'=t y'+ aresen y' = t + aresen r = x x = y '+ aresen / x = t 2 +er 2 í 3 y = — + ( r - i y y +ey' = x Solución x = t 2 +e' x\ = 2 t + e'3 s * y = * - + ( , - l ) e ‘ y'(t) = 2t2 +e' + ( í- l )e ' =t( 2t + e‘) , y\ t(2 t+ e') , ,y = - —---- — - = / = > / = í x\ 2t + e ‘ y ’2+ey' = t 2 +el = x y '2+ey = x Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de diferenciales indicadas. las ecuaciones 26.- y = -------, y '- tg x .y = 0 cosx Solución y ------- y'' = c sec x. tg x , reemplazando en la ecuación cosx Q y '- tg x .y = c sec x . tg x - tg x .------ = c .secx .tg x -csecx .tg .t = 0 cosx y - t g x .^ = 0 27.- = y '= 3 y 2 3x + c Solución y = - / = i 3x + c 3 y = (3x + c) = 3(——— ) 2 = 3 ( - y )2 = 3 y2 (3x + c) 3 x + c ••• y '= 3 y 2 8 28.- y = ln(c+ex) , y '= e x~y Solución y - ln(c+ex)=t> y ’= -------- , además y= ln(c + ex)=>c + ex = ey c+ ex e x e xy'-.---------- -- ---- = e ' - ' => y ’= ex~y c+ e x ey 29.- y = -Jx2 - e x , (x2 + y 2)d x - 2 x y d y - 0 Solución y = 4 * 2 - ex => dy = — rl : . c dx x 1 - e x (2 x -c )d x -2 ^ J x 2 -cxd y = 0 , dedonde (2x2 -x c )d x -2 x y d y = 0 (x 2 - x c + x 2)d x -2 x y d y = 0 entonces ( y 2 + x 2)dx -2xydy = 0 30.- j = x(c-ln |j:|) , (x - y) dx + x dy = 0 Solución y = x ( c —lnjxj) => dy = (c -\v \x \)dx-dx x d y = x ( c - \n \ j f y d x - x d x , como y - x{c - lnjx|) entonces: xdy = y d x - x d x => ( x - y ) d x + xdy = 0 31) x = y e * * \ / = x ( ln x - ln ^ ) Solución 9 x - y e <y+1 => \ n x - \ n y = cy + \ => ln — = cy + \ , dedonde x = y e V +l => e ^ 1 = - jc = <y e^ 1 => l = / ^ +1+ o ^ +V = ̂ ( 1 + 0 0 / = ~ ( in x - ln .y )y 1 = —(ln jc - ln y ) / entonces: y '= - ^ x (ln x - ln y ) 32) * = >>lncy, / ( * + >>) = .V Solución x e yx = yhicy => — = lncy => — = c , derivando se tiene: y y y e h * ^ f ) - ¿ y ' y y _ x y ' ------------------------- = 0 simplificando - ----- — - / = 0 => y -x y '-y y '= 0 y y ' ( x + y ) y '= y La relación 4>(x, y, c) = 0 que se obtiene en forma implícita determina la solución general que se llama integral general de la ecuación diferencial de primer orden. La relación que se obtiene en la integral general al atribuir a la constante c un valor determinado, se llama integral particular de la ecuación diferencial. El problema de resolución o de integración de una ecuación diferencial consiste en hallar la solución general o la integral de la ecuación diferencial considerada, si además, se ha dado alguna condición inicial, se pide también hallar la solución particular o la integral particular que satisface a la condición inicial considerada. Como geométricamente las coordenadas x e y son equipotentes, además de la ecuación — = f ( x , y ) se considera también la ecuación — = - * dx dy f ( x , y ) 10 ( omprobar si las relaciones dadas son integrales de las ecuaciones diferenciales indicadas o no lo son (c = constante). 33) e~y - e x = 1, jty'+l = ey Solución e~y - 1e y - ex - 1 => ---------= c derivando x -x e ~yy'-(e~y - \ ) n _v , _v . „ ------------ ------------= 0 => - x e y y - e y +1 = 0 x x y '+ l-e y = 0 => xy'+l = ey , a\ 3 1 c 2 j 3 f dx*4) y , xy dy + y dx = — X X ó X Solución >>3 = — + —r- => x 3y 3 - x 2 = c , diferenciando se tiene: x x 3 3x2y 3dx + 3x3y 2d y - 2 x d x = 0 => xy2dx + x 2yd y = 3 y Luego no es integral de la ecuación. 35) x 3 - 4 x 2y + 2 x y 2 - y 3 = 0 , (3x2 -8xy + 2 y 2) d x - ( 4 x 2 - 4 x y + 3 y2)dy = 0 Solución x 3 — 4 x 2y + 2xy2 —y 3 = 0 , diferenciando se tiene: 3x2 dx - Sxydx - 4x 2 dy+ 2 y 2 dx+ 4xydy - 3 y 2 dy - 0 11 (3x2 - i x y + 2 y 2) d x - ^ x 2 -4 x y + 3y2)dy = O Si es integral de la ecuación diferencial. 36) y 2 + 2cx - c 2 y yy '2 +2xy'=x +1 Solución y 2 + 2cx = c 2 => c = x ± tJx 2 + y 2 derivando se tiene: 0 = 1±—̂ M = => <Jx2 + y 2 = ±(x + yy') J x 2 + y 2 x 2 + y 2 = x 2 +2xyy'+y2y '2 de donde y 2 = 2xyy'+y2y '2 No es integral de la ecuación diferencial. 37) arctg—- \n (cJx2 + y 2 ) = 0 , (x + y )d x ~ (x - y )d y = 0 x Solución a rc tg ~ - ln c J x 2 + y 2 = 0 , diferenciando se tiene: x xdy - ydx x 2 c.(xdx + ydy) ̂ | y 2 J x 2 + y 2 . c .J x 2 +y x 2 xdy - ydx xdx + ydy = 0 , simplificando x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 0 de donde xd y -y d x - x d x -y d y = 0 (x - y)dy - (x + y)dx = 0 entonces (x + ̂ ) á r - ( x - <y)rfy = Si es integral de la ecuación diferencial. = 2xy'+yy'2 0 12 38) x = yj^ sen t2d t , ^ = Ay'+y2 senjc2 Solución x = y ¡ sen í2dt => f sen t 2dt = — , de donde »0 Jo y x = yj0 sen 12 ̂ * = y' JQ sen r 2 dt + y sen x 2 , reemplazando se tiene: l = / y + .y s e n x 2 => y = xy'+y2 senx2 Si es integral de la ecuación diferencial. Cx sen t 39) —-—d í - y \ n y , xy'+xiny = x senx + y ln y Solución f*senr f*senr y ln v x \ —— dt = y \ n y => ------ di = ------— t Jo t X cx sen t cx sen t J x Jo —-— dt = y ln y => — — tfí + sen x = v ln y + y , reemplazando se tiene: y ln y — ----hsenx - (lny + l)y' => y \ n y + xsenx = x(\ny + l)y' No es integral de la ecuación diferencial. 13 ECUACIONES CON VARIABLE SEPARABLE Y ECUACIONES REDUCIBLES A ELLAS dy Si en una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer grado — = g (x , y ) dx se reduce a la forma: donde M es una función solo d conoce con el nombre de “Ecm solución general se obtiene por M(x)dx + N(y)dy = 0 le x, y N es una funci' ición Diferencial Ordin integración directa, es c ón sola de y, a esta ecuación sé aria de Variable Separable” y la lecir: j M (x)dx + J[ N(y)dy = c Donde c es una constante cualquiera. La ecuación diferencial de la forma: — = f ( a x + by + c) dx donde a, b, c son constantes, se reduce a una ecuación con variable separable haciendo la sustitución z = ax + by + c. Integrar las ecuaciones: 81) (\ + y 2)dx + {\ + x 2)dy = 0 Solución (1 + y 2)dx + (1 + x 2)dy = 0 , separando la variable dx dy „ . , ------ r- + ------ — = 0 integrando 1 + x 1 + y 2 14 f dx f dy J 7 7 7 r + J 7 7 ^ J = C arctgx + arctg.v = c Nota.- tg (A + B) = x + y = c ( l - x y ) tgA + tgB 1-tgA.tgB 82) (l + y 2)dx+xydy = 0 Solución (1 + y )dx + xydy = 0. Separando la variable. dx y dy \ ? — + ------- = 0 integrando lnx + —ln(l+ v ) = A: X l + y 2 ° 2 21nx + ln(l + >'2) =2k de donde ln x 2(l + y 2)=¿ 83) ( y 2 +xy2)y ’+x2 - y x 2 = 0 Solución ( y 2 + xy2)y'+x2 - y x 2 = 0 , agrupandoy 1 (\ + x ) - ~ + x 2( l - y ) = 0. Separando la variable. ^ -+ — ~ = 0 , integrando: f ¿ ± + í ^ í , c 1 - y 1 + x j 1 - y i 1 + X ( x + y ) ( x - y - 2) + 21n- y l + x 1 - y = c => x(l + y 2) = c . De donde se tiene: 15 84) (1 + y 2)dx = xdy Solución (1 + y 2 )dx = x d y separando las variables dx dy — = ------ y , integrando ln xk = arctg y x 1 + y y = tg(ln(fcc)) 85) x j l + 'y2 + yy'yfl + x 2 = 0 Solución x ^ l + y 2 + y^ l + x 2 ^ = 0 . Separando las variables. xdx ydy r + -jrr-r = 0 , integrando Vl + * 2 + y 2 r _ x d x _ + ( _ y ^ y _ = c dedonde + - c 86) x - J l - y 2dx + y j l - x 2dy = 0 , ^ x=0 = 1 Solución X i j l - y 2 dx + y j l - x 2dy = 0, separando las variables ydy r xdx c ydyxdx ydy c xdx c yd - = = = + - = = = 0 , integrando — a/Tv ^ 7 J VT^r J VTT dé donde, -\fl-x2 + ^ l - y 2 = k , para x = 0, y = 1 > 2 • = c 16 V i- * 2 + V i- .v 2 = i 87) < r '( l + / ) = l Solución e - * ( i + / ) = i => i + y = ^ => y = ^ - i v r ^ + v n = * => * = i — = - 1, separando las variables, - — -- = d: dx ey -1 t dy c c e ydy i ~ l = i dx+c => J T 7 7 7 ^ +A: l n ( l - e ^ ) = x+A: => l - e -* » ^ * - e V =¡ /. ex = £(1 - 0 88) >>ln.y<& + ;r¿íy = 0 , ^ x=1 = 1 Solución y ln y dx + x dy = O, separando las variables dx dy . . c dx r dy ---- 1-------- = O, integrando I ----- v I ------- = k x y \ n y * x J y in y ln(x ln(>>)) = k => x ln y = c de donde ln y = - para x = 1, y = 1 => l = e c => c = O x ln y = O => lny = O => y = 1 , integrando se tiene: e * = - L ( l - e -y ) e => lnx + ln(lny) = k => => y = e x 89) y '= a x+y(a > O, a * \ ) Solución dy + — = a x y = a x .ay separando las variables dx a~yd y - a xdx => a xd x - a ydy = 0 integrando Ja xd x - Ja~ydy = k a x +a~y =c 90) e y (\ + x 2)d y -2 x ( \ + ey )dx = 0 Solución e y (1 + x 2 )dy - 2x(l + ey )dx - 0 . Separando las variables. eydy 2xdx f eydy r 2xdx ----------------- — = 0 , integrando ------7 - ------7 = k , l + ey 1 + x 2 J l + ey J 1 + x 2 ln(l + ey ) - ln ( l + x 2) = k . l + e y , l + ey ln ------T = k => ------ t~ — c 1 + x 1 + x l + ey =c(l + x 2) 91) (l + ex )yy '= ey , y\x=0 = 0 Solución dy(1 + e x )y — = ey , separando las variables dx dx r _v , c dx - + c de donde: ye ydy = ------ - integrando f ye ydy = í - l + e x J J 1 de donde (1 + y)e~y = ln( * ) + 1 - x 18 Solución (1 + >>2 )(e2xdx - eydy) - (1 + y)dy = 0 , separando 92) (1 + y 2 )(e2xdx - ey dy) - (1 + y)dy = 0 e 2xdx - dy = 0 , integrando l + >>2 j e2xdx-jeyd y - j Y ^ T dy = c e 2x ^ - e y -a rc tg y - ln ^ l + y 2 = c 93) (xv2 - y 2 +x- l)dx + (x2y - 2xy + x 2 + 2y - 2x + 2)dy = 0 Solución (xry2 - y 2 + x - l ) ¿ * + (x2jy - 2;*7 + x 2 + 2y - 2x + 2)¿/y = 0 , agrupando [y1 ( * - ] ) +(x-V¡\dx+[y(x2 - 2x + 2) + (x2 - 2 x + 2)]dy = 0 , factorizando (y 2 + l)(x - l)dr + (y + l)(x 2 - 2x + 2).dy = 0 , separando la variable ( x - 1 )dx y + 1 ,-------------- + -------- dy - o , integrando x 2 ~ 2x + 2 y 2 + l f ( x - 1 )dx f 7 + 1 I — I-------------------------------------------- + ~~í----dy = k de donde J x - 2x + 2 J y +1 1 9 1 ?~-ln(x + 2x + 2) + — ln(j/ + 1) + arctg y = k ln(x2 - 2 x + 2){y2 + l) = - 2 arctgy + k=>(x2 - 2 x + 2)(y2 +1 ) = e -2tICX*y+k entonces: (x 2 - 2 x + 2)(y2 + l)e2arct8y = c 19 94) y = sen (x -j> ) Solución _ dz ( , . . dzSea z = x - y => — = 1 - y entonces y = 1----- dx dx Como y = se n ( jc -y ) reemplazando se tiene: \ - — = senz => 1- senz = — , separando las variables: dx dx dz dz— = 1 - sen z => ---------- = d x , integrando dx 1 - sen z í — —— = [dx + c=> f(sec2 z + tgz.secz)¿/z = x + c entonces J 1- s e n z J J tgz + secz = x + c => tg(jc-y) + sec(jc-y) = x + c 95) y' = ax + by + c , a,b,c constantes Solución Sea z = ax + by + c => — = a + by’ dx y - i . - a) reemplazando en y'= ax + by + c entonces b dx - ( — - a ) = z => — - a =bz => — = a+bz separando la variable b dx dx dx = dx integrando í ---- --- = f dx + k , de donde a + Z>z J 0 + ¿?z J ~ln(a+Z>z) = * + /: => ln(a + bz) = bx + bk => a+bz = cebx b + c) + a = 20 96) (x + y ) 2y' = a 2 Solución dz S e a z = x + y => — = 1 + y' entonces: dx dz "y / = — - 1, reemplazando en ( x + y ) y ' = a entonces 2 dz 2 z (— - 1) = a separando las variables: dx z Z — — dz = dx integrando z - a. arctg(—) = x + k a +z a y simplificando x + y = a . tg(— + c) 2 97) ( l - y ) ey y '+ ^ — = 0 x \n x Solución (1 - y )ey — + — — = 0 separando las variables dx x ln x ( l - y ) e y d x . ------ ----- d y + ---------- 0 , integrando y L x l n x r ( l - y ) e y r d x r ( y - l ) e y ------ ----- dy+ —— = c=> - ------ -----dx + ln(lnx ) - c j y ¿ J x l n x J y 2 r e y e y - J d (— ) + ln(ln x ) = c, de donde: - — + ln(ln x) = c ey ln(lnx) = — + c y 21 Solución (1 - y 2 )dx = (y - J l + y 2 )(1 + x 2)% dy separando las variables 98) ( l - y 2)dx = (y - -J \ + y 2)(l + x 2)'/ idy dx y - y i + y 2 ------- = ---------------- ñ---- dy integrando ( 1 + X 2 ) A l + y 2 f dx , ------- —rr = ----------^— dy + c entoncesJ (1 + *2)X J l + y 2 I rf(7 = r ) =I {r h - ~ r =̂ )dy+cv i+x 1+^ V1+^ * - l n 'l + y 2 J \ + x 2 _y + -\jU y 2 _ + c ioo) jty2(V + > O = 0 2 Solución dz x ----- z2" Sea z = xy => y = — => y ' = — — Como x y 2 (xy' + y) = a 2, reemplazando se tiene z X dz z X ------- ZH----- dx x = a , simplificando z 2dz = a 2xd x , integrando se tiene: 22 Z3 Q2X2 ~ 3 3 >% 2 2 i— = -------- + c=> 2x y =3a x +k 3 2 ' 100) (x 2y 2 +l)dx + 2 x 2dy = 0 Solución 0 z , xdz - zdxSea z = xy => y = — => dy = ------ ------ x x 2 (x2y 2 +1 )dx + 2x2dy = 0 , reemplazando (z2 +l)dx + 2x2(*-Z y ^ ) =0 => (z2 + \)dx + 2xdz — 2z¿/z = 0 x ( z 2 - 2 z + V)dx + 2xdz = 0 => — + — - Z—- = 0 , integrando 2x (Z- l )2 1— m x --------- = c 2 x y - 1 101) (1 + x y )y + ( x y - l ) xy'=0 Solución dzx ----- z Sea z = xy => / = —— — , reemplazando x dz x ---- z (1 + z 2) — + (z - 1)2 x(— — ) = 0 , simplificando * x 2 (1 + z 2 )z + (z - 1)2 x — - (z - 1)2 z = 0 entonces dx 23 ( z - l ) 2xdz + 2 z 2dx = O => —— + dz = O integrando x z ¿ 2 \n x + z - 2 \ n z ~ — = k => - 21n y = — - x v + k => Z JCJ> lncy2 = * y - — => cy1 ^ e gr xl. 3ty *y 102) ( * y + y + j t - 2)dx + (jt3>'2 +;c)rfv = 0 Solución dz x ------z Sea z = xy => / = — — entonces 2 3 3 2* y + j> + jc- 2 + (jc y + jc)— = 0 , reemplazando se tiene: dx dz 3 JC--------Z Z Z 1 d x— + — + x - 2 + (xz +*)(- — ) = 0 , simplificando X X x 2 dz 3 Z --------Z — + — + x - 2 + (z2 + 1)(——----- ) = 0 entonces X X X ( z 2 + l ) - + x - 2 = 0 dedonde (x -2 )d x + ( z 2 +l)dz = 0 dx integrando - - + z + - - 2 x = c 3 x2 - l 2 + 2 x 3y 3 +6xy = c 24 103) (x6 - 2 x 5 + 2x4 - y 3 +4x 2y)dx+(xy2 - 4 x 3)dy = 0 Solución Sea y = tx => dy = tdx + x d t entonces reemplazando se tiene: (x6 - 2 x 5 + 2x4 - f V + 4txi )dx + (x i í 2 - 4jc3){tdx + xdt) x 3(jc3 - 2 x 2 + 2x - t * + 4t)dx+x3(t2 -4){tdx+xdt) = 0 (jc3 - 2 x 2 + 2 x - t i + 4 t+ íi - 4 í)dx+(/2 - 4 )xdt = 0, simplificando (x3 - 2x + 2)dx+ (t2 - 4)dt = 0 , integrando X3 2 f3------x +2x-\------- 4t = c por lo tanto: 3 3 * 3 - y 3 4 y------x + 2 x+ — ,------— = c 3 3x x 104) y + i= (x + ^ (x+.>>)'’ + (*+ > ')'’ (c Solución Sea z = x + y => y = _ i . Reemplazando en la ecuación diferencial dx dz z n z n + z p(— - 1) +1 = ---------- simplificando ------------d z - d x , integrando z " + z * z m r z n + z ' rJ ------— dz = j d x + c , de donde = x + c , n m * -1, p - m ^-1 n - m + 1 / 7-/W + 1 25 105) (ln x + y 3 )d x -3 x y 2dy = 0 tí Solución i dz 1 ^ 2 . Sea z = ln x + y => — = — + 3y y dx x 3x y 2y % = - 1 reemplazando en la ecuación diferencial: dx lnx + y 3 - 3 x y 2 — = 0 => z - ( x ^ - l ) = 0 áx ¿x ln|z + l j - ln x = lnc => l n ^ - ^ = lnc => z + l = x c de donde y 3 - e x - ln x -1 106) (xy+ 2xyln2 y + y ln y )d r + (2x 2 \n y + x)dy =0 Solución Sea xlny = t => lnj> = — => y = etlx x Reemplazando en la ecuación diferencial dada: , tlx 2e‘lxt 2 íet/x w ^ # . tl xd í- íd x(xe 1 x + ---------- + ------- )dx + (2xí + x)e (-r— ) = 0 x x x simplificando 26 / r x d t - td x _ ^(x + -----------------------+ —)¿¿t + (2/ + 1)(------ ) = 0 x x x ( x 2 + 2 t2 + t)dx + (2t+l)(xdt-tdx) = 0 => x 2dx + (2t+ l)xdt = Q x 2 ,xá* + (2/ + l)rfí = 0 integrando +1 + 1 = Cj entonces: 2x2 + 4/ 2 + 4í + l = c => 2x2 + (2/ + 1) 2 = c por lo tanto: /. 2x 2 + (2x ln y + 1)2 - c 107) y - x y ' = a(\ + x 2y') Solución y - x y ' = a + ax2y' => y - a = (x + ax2)-^- separando las variables dx — Y ~— = —^— integrando f ( - -----— t )dx= — lnc entonces ax + x y - a J x ax + l J y - a xc 1 . . ex= y - a por lo tanto y = a + ax + \ ax + l I0K) (a2 + y 2)dx + 2x^Jax-x2 dy = 0, } \x=a = 0 Solución Separando las variables de la ecuación diferencial se tiene: dx dy + —------ - = 0 integrando 2 x ^ a x - x 2 a 2 + y dx r dyf dx r dy 27 Sea x = - => dx = — , reemplazando en la integral f * . - f . 2x^ox--x^ dt 'J a t - l * - 1 -2 J l y fa t - l a reemplazando (2 ) en (1 ) - (2) - - 1 .y i y — — + — arctg — = c, x = a , y = 0 entonces a a a 0 + 0 = c => c = 0, Luego - —----- + —arctg(—) = 0 a a a * - 1 a a => y = a. tg --1 109) y %+ sen (“ “ ) = sen(^y^) Solución — + sen(—) cos(—) + s e n A c o s ¿ ) = sen(^) c o s Ä - sen(^) c o s¿ ) dx 2 2 2 2 2 2 2 1 2 sen(^) cos(™) separando las variables ^ = - 2 cos(—)dx integrando ln | tg(—) | = - 2 sen(—)+c y 2 4 2 sen — 2 28 110) Hallar una curva que pase por el punto (0,-2) de modo que el coeficiente angular de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del mismo punto, aumentada tres veces. Solución El coeficiente angular de la tangente en cualquier punto = — ,,y de acuerdo a dx las condiciones del problema se tiene: dy dy 's = 3y => — = 3dx integrando ln y = 3x + c entonces y = ke comodx pasa por (0,-2) => -2 = k por lo tanto y = -2e 3 x II I) Hallar la curva para la cual el área Q, limitada por la curva, el eje OX y las dos ordenadas x = 0, x = x, sea una función dada de Y. Q = a 2 ln — a Solución y = f(x) Q = = a 2 ln(—) , derivando se tiene: a dy J a 1 a 1 y - — •— , entonces d x ---- - dy = 0 integrando se tiene: x + — = c ay dx y y de donde : y = - c - x (hipérbola) 29 112) Un punto material de masa igual a lgr. se mueve en línea recta debido a la ecuación de una fiierza que es directamente proporcional al tiempo, calculado desde el instante t = 0, e inversamente proporcional a la velocitiad del punto. En el instante t = 10 seg. la velocidad era igual a 50 cm/seg. y la fuerza igual a 4 dinas. ¿Que velocidad tendrá el punto al cabo de un minuto del comienzo del movimiento?. Solución t 2 Como F = ma = k — donde Q = 4 cm/seg v t = 10 seg. v = 50 cm/seg. 1 . 4 = Ar— => k = 20 y m ^ - = 2 0 - => 50 dt v v2 = 2012 + c , para t = 10 seg. , v = 50 cm/seg. 502 =20(10) 2 +c => c = 500 entonces v 2 = 2 0 í 2 +500 x _, para t = 60 seg. v = ? de donde: v = -^20(60)^+500 = a/725ÓÓ cm / seg k \ '' t -Vv> \ \ *v v ' ^ , * ‘ ^ 113) Demostrar que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales pasan por un punto constante es una circunferencia. Solución Sea Ln : y = b x , de donde mLN =b Además mL, = — , y como LNI X , , entonces: dx 1 d* A hmLN = ---------= — - , es decir que £> = - — N mL, dy dy 30 X b , l = ,Como y = bx x x Separando las variables se tiene: dy y dx + x dx = 0, integrando se tiene: x 2 + y 2 - k 114) Una bala se introduce en una tabla de h = 10 cm. de espesor con la velocidad VQ = 200 m /seg traspasándole con la velocidad Vx = 80 m / seg. suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad, hallar el tiempo del movimiento de la bala por la tabla. Solución F = ma = m dv dt condición del problema: d^ . 2m — = kv dt integrando: m dv ----- T = dt k v m rvi dv _ r' k Jvf2 V -r*Jo k vj v0 * V, 31 k v0v. ... (1) dv además m — = m dt d 2x dt2 2 dv dv dx entonces: kv = m — = m —r •" dt dt dx r dv dx dv kv2 = m — = mv- dx dt dx m dv dx = — .— k v * 1» A > v0 reemplazando (2) en (1) . . . (2) j _ ^ (Zl__^2.) f reemplazando el valor de t es. ln(— ) v0 V0V1 í = 40 ln(2.5) seg. 115) Un barco se retrasa su movimiento por la acción de la re s is te n c ia del a g ^ que es proporcional a la velocidad del barco. La velocidad inicial del barco es, 10 m/seg. después de cuanto tiempo la velocidad se hara 1 m. seg. Solución La descripción m ,Km idc, c. f - * > ' * dt'”d' al resolver '* “ tiene: V = Ae -kt Para t = 0, v = 10m/seg., se tiene 10 - Ae° => A 10 =>V 10e para t = 5 se g ., v = 8 m/seg. se tiene 8 = 10e F = 10eí/5,n(8/10) = 10. ( ^ y /5 -5 k 1 8k = — ln(— ) entonces: 5 10 32 Demostrar que la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es proporcional a la abscisa del punto de contacto, es una parábola. Solución Se conoce que: mLt = - j - , y además por la condición del problema se tiene mLt = k x . Luego ~ = entonces: dy = kx dx integrando y = ~ x 2 + c , que es una parábola. Según la ley de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia entre la temperatura T del cuerpo y la temperatura T0 del aire. Si la temperatura del aire es de 20°C y el cuerpo se enfría en 20 minutos desde 100°C hasta 60°C. Dentro de cuanto tiempo su temperatura descenderá hasta 30°C. Solución Sean T = temperatura del cuerpo. Tm = temperatura del aire = 20°C. T0 = temperatura inicial. La descripción matemática es: dT — = ~k(T - T m ) , de donde la solución es: T = Tm + ( r0 - T m )e~kt para t = 20’, r = r 0 =60°C entonces: 60 = 20 + (100-20)éT2°* 40 = 80e 20A => k = ^-^- por lo tanto: T = 20 + 80e~(ln2/20)í r = 20 + 80.2 '//2° para t = ? , T = 30°C 30 = 20+ 80.2”' 720 entonces I = 2~'/20 => t = 60’ 8 118) Hallar la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es n veces mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas. Solución dx te 0 = n tg a entonces: — = n(—) => dy = n(—)dx , de donde dx x x — = — dx integrando; ln y = n ln x + ln c => In y — ln x nc , por lo tanto: y x y - e x 119) Determinar el camino s recorrido por un cuerpo durante el tiempo t, si su velocidad es proporcional al trayecto, sabiendo que en 10 seg. el cuerpo P recorre lOOm. y en 15 seg., 200m. Solución 34 Sean s = el camino recorrido t = el tiempo en seg. v = ~ = velocidad del cuerpo ds la descripción matemática es: — = k s , de donde la solución general es: dt s = Aeh , para t = 10 seg. , s= 100m . => 100 = Áei0k de donde = . . . ( 1) e para t= 15 seg. , s = 200 m. => 200 = ,4e15* de donde se tiene : A = ... (2)15Ae a / n 1 0 0 2 0 0 i l n 2comparando (1) y (2) se tiene: ^ = —¡̂ 7- => k = - e reemplazando en (1) se tiene: A = 25 por lo tanto el camino recorrido será: s = 25.2r,s 120) El fondo de un deposito de 300 litros de capacidad, esta cubierto de sal. Suponiendo que la velocidad con que se disuelve la sal es proporcional a la diferencia entre la concentración en el instante dado y la concentración de la disolución saturada (1 kg. de sal para 3 litros de agua) y que la cantidad de agua pura dada se disuelve 1/3 de kg. de sal por minuto hallar la cantidad de sal que contendrá la disolución al cabo de una hora. Solución Sea x = cantidad de sal que concentre la disolución, la concentración en el instante dado es: 1/3 kg. Por litro de agua. x La concentración de la disolución saturada = -----; 300 35 — = velocidad con que se disuelve la sal, la descripción matemática es: dt — - - k l - — — ) k factor de proporcionalidad resolviendo la ecuación dt 3 300 diferencial se tiene: jc = 100( -A e k,' m ), encontraremos la constante A p ara t = 0, x = 0 => A =100,luego x = 100-100e*'/30° , para determinar la constante k, para 1 1 299 t= lm in . , x = - k g . se tiene - = 100-100«* '300 => fc = 3001n(——) 3 3 3UU x = 100 - 100e 'ln(299/300) = 100 - 100(299)' para t = 60 min, x = ?, x = 100(1- ( ^ J 60) «18.1542 ¿g. porlotanto: x = 18.1542 kg. 121) Cierta cantidad de una substancia indisoluble contiene en sus poros 10 kg. de sal, actuando con 90 litros de agua se observo que durante 1 hora, se disolvió la mitad de la sal contenida. ¿Cuánta sal se disolvería durante el mismo tiempo si se duplicase la cantidad de agua? La velocidad de disolución es proporcional a la cantidad de sal no disuelta y a la diferencia entre la concentración en el instante dado y la concentración de la disolución saturada (1 kg. para 3 litros). Solución Sea x = cantidad de sal que concentra la disolución — = velocidad con que se disuelve la sal; de acuerdo a las condiciones del dt dx 1 0 -x 1 problema la descripción matematica es: — = De donde resolviendo la ecuación diferencial y reemplazando los datos dados se tiene que: x = 5.2 kg. 36 122) Hallar la curva que tiene la propiedad de que el segmento de la tangente a la curva comprendido entre los ejes coordenados se divide por la mitad en el punto de contacto. Solución 2 y Como mLt = -------= ----- , entre los puntos P y A x x ----- X 2 Además ~~ = mL, => — = - ^ de donde — + — = 0 dx dx x y x Integrando se tiene: ln y + ln x = ln c => xy = c 123) Cierta cantidad de substancia, que contenía 3 kg. de humedad, se colocó en una habitación de 100 m i de volumen donde el aire tenia al principio el 25% de humedad. El aire saturado, a esta temperatura, contiene 0.12 kg. de humedad por l « 3. Si durante el primer día la substancia perdió la mitad de su humedad, ¿qué cantidad de humedad quedara al finalizar el segundo día? Solución Sea s = cantidad de humedad que contiene la substancia (3 — s + 3) = cantidad de humedad que contiene el aire. 37 12 = humedad del aire saturado para 100 m 3 ds La descripción matemática es: — = -k s(-s + 6-12) = ks(s + 6) de donde resolviendo se tiene: — = Ae6kt s + 6 para t = 0, s = 3 => A = para t — 1, s — 1.5 entonces: k = - ln(— ) = -0.0851, para t = 2 entonces s = 0.82kg. 6 7.5 Cierta cantidad de una substancia indisoluble que contiene en sus poros 2 kg. de sal se somete a la acción de 30 litros de agua, después de 5 minutos se disuelve 1 kg., de sal. Dentro de cuanto tiempo se disolverá el 99% de la cantidad inicial de sal. Solución Sea s = cantidad de sal por disolverse. ds La descripción matemática es: — = As, donde k es el factor de la proporcionalidad, la solución de la ecuación diferencial es: s = Aekt, determinaremos A, para t = 0, s = 2 kg. => A = 2 Luego s = 2ekt, determinaremos k. Para t = 5 m in., s = lk g . => k = - l n — Por lo tanto: s = 2e (í/5)lnl/ 2 => s = 2(~ )r/5 Para determinar t, se tiene que buscar el 99% de 5 es decir s = 1.98 kg., entonces: 1.98 = 2( - ) ' /5 => 0.99 = ( - )v/5 luego: t = 1 M ? ’99) mirL 2 2 1 ln — 2 125) Una pared de ladrillos tiene 30 cm. de espesor. Hallar la dependencia de la temperatura de la distancia del punto hasta el borde exterior de la pared, si la temperatura en la superficie interior de la misma es igual a 20° y en el exterior a 0o. Hallar también la cantidad de calor expedida por la pared (por 1 m 2 ) al exterior durante un día. Solución Según la ley de Newton, la velocidad Q de propagadón del calor a través de una superficie A, perpendicular al eje OX, es: de donde k es el coeficiente de conductibilidad térmico, T la temperatura; t el tiempo y s el área de la superficie A, (k = 0.0015). dT OLuego la descripción matemática es: — = - — , donde Q constante dx kA Resolviendo la ecuación diferencial y usando los datos dados se tiene: 2 T = —x ; 864000 cal/día. 3 126) Demostrar que la ecuación — con la condición inicial vi _n = 0 tiene dx x 1 •r_u ’ infinitas soluciones de la forma y = ex. Esta misma ecuación con la condición inicial jyj x=0 — y 0 ^ 0 no tiene solución alguna. Trazar las curvas integrales. Solución dy y dy dx . J t — — ~ => — - — integrando ln y = ln ex => y = ex dx x y x 39 para y = O, x = O se tendrá infinitas soluciones; para cualquier valor de c, se satisface la ecuación así si c = 6, y = 6x satisface _yj = ® Y Para }\ x=o = * 0 => = 0 > cua ̂contradice por lo tanto: cuando x = 0, y = y 0 * 0 no tiene solución alguna. Demostrar que el problema ~~ = y a , y\ x=o — 0 , tiene al menos dos soluciones para 0 < ct < 1 y una para a = 1 trazar las curvas integrales para Solución . i-« — = y a => y~ady = dx integrando ------ = x + c dx 1 -a gl-a si x = 0, y = 0 ------ = c solo si 1 - a > 0 3 1- a ósea si a < 1 luego al tomar a valores entre 0 y 1 hay infinitas soluciones. Si a = 1 => — = dx => ln y = x + c y De donde y = kex para x = 0, y = 0, se tiene y = 0 es la única solución. 128) Hallar la solución de la ecuación — = y \ \ n y \ a , (a>0) que satisface a la dx condición inicial >'j x=0 = 0 , para qué valores de a tiene solución única. Solución ~~ ~ y I ln y |° => — —— = dx integrando dx | ln |a | ln v |1_a i , — --------= x + c => y = 0 , x = 0 => -------1 ln v | “ = 0 + c 1- a I - « ln y —>oo, así - a + l > 0 => a < l entonces y 0 El primer miembro se haría cero, así c = 0, lo que significa una solución única. 129) Demostrar que las tangentes a todas las curvas integrales de la ecuación diferencial y ’+ y tg x = x tg + 1, en los puntos de sus intersecciones con el eje O Y son paralelas entre si. Determinar el ángulo bajo el cual se cortan las curvas integrales con el eje OY. Solución -Stgxdx r ftgjratr y = e [ J e (x tg x +1 )dx + c ] , por ser ecuación lineal. y = e ln (tg x sec x+sec x d̂ x + ̂ efectuancj0 ia integral, y = eos x[x sec x + c] = x + c eos x entonces: y = x + c. eos x , interceptando con el eje Y, para x = 0 , y = c => P(0,c) = (1 - e s e n x)\p = 1 => mL, = 1 L, : y - c = l (x -0 ) de donde L, : x - y + c = 0 41 mL, = — ' dx Integrar las siguientes ecuaciones diferenciales. 130) cosyf = 0 Solución K Como y eos y ' = 0 => / = arccosO = — (2n + l) — = —(2« + l) => dy = — (2n + l)dx, integrando. dx 2 2 y = ^ (2n + l)x + c, n e Z. 131) ey = l Solución dyey =1 => y'= 0 => = 0 => y = c dx donde c es constante. 132) s e n / = x Solución s e n /= J t => /= a rc se n jt + fl7r entonces: — = arcsenjt +w;r de donde ¿y = (arcsenx + w7r)¿/x dx integrando J dy = J (aresen x + n n)dx + c y = jta rc se n x -V l- * 2 +mx+c donde n = 0,± l ,± 2,. 133) l n / = x Solución ln y '= x => y '= ex dy = exdx => j dy = J e xdx => y = ex +c 134) t g / = 0 Solución t g / = 0 => y ’= arctgO = nn dy — = nn=> dy = nn dx integrando y = nrc + c 135) =jc Solución e ~ x ^ y =\nx de donde dy = l n x d x , ahora integrando j d y = J lnxdx => y = x l n x - x + c 136) tgy '= x Solución tgy ' = x => y'= aictgx+nn , n = 0, ± 1, ±2,... dy = (aiclgx+nn)dx integrando se tiene y = ^{ t tc tgx + njz)dx+c entonces: y = x2 x c tg x -^ \n ( \ + x 2) + njtx + c 43 En los siguientes ejercicios hay que hallar las soluciones de las ecuaciones diferenciales con las condiciones indicadas para x ->+oo. , 16 137) x y 'eos>> + 1 = 0 , y - > — n => x-»+°o Solución x 2 v’co sy + l = 0 => cos>'.>'’+ - 1r- = 0 , separando la variable x dx 1eos ydy H— r- = 0 , integrando sen>>— + c x x 16 16» . 1 l6n cuando y - * — n parax->+oo => c = sen —— luego sen . y - — -se n ^ 10 138) x 2 /+ c o s 2 ^ = l , y-+ — n => x->+*> Solución x 2/ + c o s 2y = 1 => x 2y = l - e o s 2>', separando la variable ___= — => — — = —j integrando l - c o s 2 >' x 2 2 sen y x f ——— = l —̂ r~ c de donde c tg y = — + c J sen2 y x x 10 1 cuando y - * — n , x —H-ao => c - —j~ 2 1 2 1 Luego c tg y = —+—j ^ => y - arct^¡T+ ^J'* 44 139) jr3y -s e n y = 1, y -* 5 i t => x-H-oo Solución x 3y ~ sen v = 1 => x 3 -^ = 1 + sen y , separandola variable dx dy dx r dy r dx --------- = —r integrando -— ----- = — + c 1 +sen.y x * l+senj> J x para y-+ 5n , x -H-oo => c = 1 por lo tanto y = 2 arctg(l — i—) 2x 140) (l + x2)y - |c o s 22y = 0 , y ~ ^~ ti , x->-oo Solución (l + x2)y - -c o s2 2 ̂= 0 , separando la variable se tiene: dy dx = 0 integrando = k eos 2y 2 (1 + x ) 2 2 y tg 2 y - arc.tg x = c cuando y -» — n , x ->-oc¡ => c = — 2 2 tg 2y - arctg x = — => tg 2y = —- + arctg x => y = — arctg(— + arctg x) 2 ¿ 2 2 141) ey =e4y y'+1, y es acotada para x —>+oo Solución 45 eAydv e y = e 4yy '+ l ; e 4yy'= ey -1 entonces --------= dx ey -1 r e4y fintegrando J —---- dy = J dx + c entonces: í ̂ y + e 2y + ey + — -— )dy = x + c y calculando la integral J e y -1 e3y e2-----+ — + ey + ln(l + e y) = x + c , 3 2 como y es acotado y x ->oo entonces y = 0. (x + \)y' = y - \ , y es acotada para x —>+oo Solución (x + 1) / = y - 1 ; (x + \)dy = ( y - 1 )dx separando la variable dy _ dx y - \ Jt + 1 integrando se tiene: ln(y — 1) - ln(x + 1) + ln c i i y - iln ------= ln c => -------= c y + 1 x +1 cuando x —>oo entonces —— — > 0 por lo tanto c = 0 JC+ 1 t í . o =» y . 1 * + 1 y ' — 2x(n + y ) , y es acotada para x-H-oo Solución y'= 2x(n +y) => - — = 2xdx integrando y + n Í y + n = J ent°nces ln (y+n) = x 2 +c entonces: jr2y + n =ke , y es acotado para x —>00 entonces k = 0 Luego y + n = 0 => y = -n 2 11144) x y'+ sen 2y = 1, y - * — rc => x-M-oo 4 Solución 2 • 5 x / + sen 2 ^ = 1 => x dy = l -sen2ydx separando la variable dy dx => integrando se tiene:1 - sen 2y x 2 f dy (• dx 2 y sec2 v 1 J l ^ 2 7 = J ^ ' C => t g - - - — — + ci2 y J x 2 2 2 cuando y —> — ;r , x —>+oc se tiene que: y = arctg(— x) X 47 [ECUACIONES HOMOGENEAS Y REDUCIBLES A ELLAS| A la función f(x,y) llamaremos función homogénea de grado n si se cumple la identidad. Una ecuaciónión diferencial de la forma — = f ( x , y ) , se denomina homogénea si f(x,y)dx es una función homogénea de grado cero. La ecuación diferencial homogénea siempre se puede representar en la forma: H dx x ... (1) Introduciendo una nueva variable incógnita u = ~ , la ecuación (1) se reduce a la ecuación con variable separable: du , x x - — = \¡/(u)-u dx Observación.- Al resolver las ecuaciones homogéneas no es indispensable reducirlas a la forma (1). Se puede hacer inmediatamente la sustitución y = ux. Las ecuaciones diferenciales de la forma: dy _ ^ axx-\-bxy + c l ̂ dx a 2x + b2y + c2 . . . (2) se reduce a homogénea trasladando el origen de coordenadas al punto (x0,y 0) de intersección de las rectas: axx + bxy + c, = 0 y a 2x + b2y + c 2 = 0 ; y esto se consigi| haciendo la sustitución de las variables x = z. + x0 , y = w + y 48 El método indicado no es aplicable cuando las rectas a¡x + b{y + cx = 0 y a 2x + b2y + c2 = 0 son p puede escribir en la forma: a 2x + b2y + c2 = 0 son paralelas, en este caso — = ^ - = A a la ecuación (2) se ax bx dy _ axx + bxy + cx x ^ f x — ~ ------- r -------) = F(axx + bxy) dx Á(axx + bxy) + c2 ... (3) que ha sido estudiado en las ecuaciones redjucibles a variable separable. Si la ecuación diferencial viene expresada en la forma: P(x,y)dx + Q(x.,y)dy = 0 Será homogénea, si P(x,y) y Q(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado. A veces, la ecuación se puede reducir a homogénea mediante la sustitución de la variable y = z a , esto ocurre cuando todo los términos de la ecuación son de un mismo grado, atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a a la variable y; y el grado a - 1 a la derivada — . dx Integrar las Ecuaciones: 145) 4* - 3y + y' (2y - 3x) = 0 Solución Observamos que la ecuación es homogénea, entonces: Sea y = ux => dy = u dx + x du, a la ecuación diferencial escribiremos así: (4x - 3y)dx + (2y - 3x)dy=0, ahora reemplazando se tiene: (4x - 3ux) dx + (2ux - 3x)(udx + xdu) = 0, simplificando (4 - 3u) dx + (2u - 3)(u dx + x du) = 0, agrupando 49 (2u 2 - 6 u+4)dx + x(2u - 3)du = O , separando la variable dx 2 u -3 , , „ f dx f , 2 « -3 NJ2 -----1-—-----------du= 0 , integrando 2 ----- 1-1 (—=---------- )du = c x u -3 u + 2 J x J u -3 u + 2 entonces: 21nx + ln(w2 -3w 4 2) = c => \n x 2(u2 -3 u + 2) = c , levantando el logaritmo se tiene: .\ y 2 - 3 xy + 2x2 =k 146) xy' = y + -yjy 2 - x 2 Solución A la ecuación escribiremos así: xdy = (y + ̂ 2 - x " ) d x , es homogénea. Sea y = ux entonces dy = u dx + x du => x(udx + xdu) = (ux + J u 2x 2 - x 2 )d x , simplificando xdu = J u 2 - \d x separando las variables ------- V« 2 -1 integrando se tiene: ln | u+ Vu2 - 11= lnx + ln c entonces: du dx 9 X ln ÍÜ Í— -----12 = ln c , levantando el logaritmo x u + ^Ju2 -1 - e x => y + ̂ y 2 - x 2 - e x 2 de donde /. 2cy = c 2x 2 +1 147) 4x2 - x y + y 2 + / ( x 2 - x y + 4 y 2) =0 Solución La ecuación diferencial (4x2 - xy + y 2 )dx + (x2 - x y + 4 y 2 )dy = 0 , es homogénea sea y = x => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación. (4x2 - u x 2 + u2x 2)dx + (x2 - u x 2 + 4u2x 2)(udx + xdu) = 0 50 simplificando (4u 3 + 4)dx 4 x(4u 2 - u 4 \)du = 0 , separando las variables dx 4u 2 —u + 1 . c dx c 4u2 — u + \ 4 — 4*------------- du = 0 , integrando: 4 — 4- -— -------- d u = c entonces: X u 3 + 1 J X J u 3 +1 41nx4- í (—— + —~ 1 )du = c J u+ l u - u + \ lnx4 4-21n(w4l)4ln| u 2 - u + l\=c => ln x4 (w4 l )2 (u2 - u 4 l) = c x*(u + l)(u3 + \ ) = k donde w= — por lo tanto: (x 4 y )(x 3 + y 3) = k 148) 4x2 + x y - 3 y 2 + y '( -5 x 2 +2xy + y 2) = 0 Solución (4x + x y—3 y 2)dx + {—5x2 +2xy + y 2)dy = 0, es homogénea entonces: y = ux => dy = u dx 4 x du, reemplazando en la ecuación (4x2 4 x 2w —3x2u 2)dx4 (—5x2 + 2x2w4xV)(wrf*4xrfw) = 0, simplificando: (u3 - u 2 - 4u 4 4)dx 4 (w2 +2u — 5)xdu = 0 , separando las variables se tiene: dx u 2 + 2 u - 5 J ^ . + —̂----- 1-----------du = 0 , integrando * W -W -4W4-4 c dx f u 2 + 2 u - 5 " + -----5----------- d u = c , integrando por fracciones parciales se tiene; J x J u - u - 4^ 4-4 ••• ( y - x ) * ( y - 2 x f = c(y + 2x)5 51 Solución 9 2'Ixydx - (3jc - y )dy = 0, es homogénea entonces: y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación 2x2udx-(3x2 - x 2u2)(udx + xdu) = 0 => (u3 -u)dx + (u2 -3)xdu = 0 separando las variables — + —— - du = 0 , integrando í — + í — - du x u 3 - u J x J u 3 ~u f — + f (—---- ---------— )du = c, efectuando la integral se tiene: c(y2 - x 2) J x J u u - 1 w+ 1 150) 2xy'(x2 + y 2) = y ( y 2 +2x2) Solución 2x(x2 + y 2)dy = y (y2 -h2x2)dx , es homogénea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación 2x(x2 + x 2u2)(udx + xdu) =ux(u2x 2 + x 2)dx 2(1 + w 2 )(m¿x; + x¿/w) = u(u2 +1 )dx f simplificando (u3 + w)rfx + 2(1 + u 2)xdu = 0 , separando las variables dx 2 (u 2 + l ) , . c dx c 2 (u2 + 1) _ r dx du- + ¿(i* + 1) , _ . , f dx C2{u + 1) . ftfx—--------du = 0 9 integrando — + — ------- d u - c => — + 2 — u 3+u J x J u3 +u J x J u 2 y 2entonces: ln x + 21n w = c => lnx.w =c => x — = c porlo tanto: y x 151) x y '= j y 2 - x 2 Solución xdy = ̂ y 2 - x 2 d x , es homogénea y = ux => dy = u dx + x du ux(udx + xdu) = *Jü2x 2 - x 2 dx , simplificando udx+xdu = ¡u 2 -1 dx , separando la variable ¿/w <¿x f du C dx integrando ..¡— ..........= — + c J J..2 1 _ J x^|li2 - l - U x ^Ju1 - l - u - J (-y/w2 -1 + u)du = lnx + c , calculando la integral se tiene: y + ̂ y 2 - x 2 = cx3e y(y+Jy2~x2) 152) ax2 +2bxy + cy2 + y (fox2 + 2cxy + f y 2) = 0 Solución (ax2 + 2bxy + cy2)dx + (bx2 +2cxy + f y 2)dy = 0, es homogénea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación (ax2 +2bx2u+cx2u 2)dx+(bx2 +2c2u+ f x 2u2 )(udx+xdu) = 0 , simplificando (a + 2ftw + cu2)dx + (b + 2cu + f u 2)(udx + xdu) = 0 , separando la variable dx b + 2cu + fu 2 , ---- 1--------------- —--------— d u - 0 , integrando * <2 + 3¿w + 3ck + yi* 53 r dx C b + leu + f u 1 — + 1 ---------------- --------- du = c entonces J x J a + 3bu + 3cu + fufu i 2 3 y\nx+ — \n \a + 3bu + 3cu + fu |= c , donde para u = — se tiene: 3 x f y 3 +3cxy2 + 3bx2 y + ax3 - c 153) ( y 4 - 3 x 2)dy = -xydx Solución y = z a => dy - a za ld z , reemplazando en (y 4 - 3 x 2)dy = - xydx (z4a - 3 x 2)aza~1dz = - x z adx => (z5a~l - 3 x 2 z a l )odz = - x z adx para que sea homogénea debe cumplir: 1 2 2 5 a - l = c t+ l = a + l => a = — => (z —3jc )¿/z = - I x z d z , es homogénea x = uz => dx = u dz + z du entonces: (z 2 - 3u 2 z 2 )dz = -2 z 2 u(udz + zdu) => (1-3w2)¿/z-2m(w¿/z + z¿/w) (w 2 -l)rfz = 2wz¿/w separando la variable — = —- integrando * w2 - l * ¿z r 2u 54 f — = \ — ^— du + c => lnz = ln(w2 - l ) + cJ ̂ J w2- i para w = — , z = y 2 por lo tanto: x 2 = y 4 +c:y6 z 154) y 3dx + 2(x2 - x y 2)dy = 0 Solución Sea y = z a => rfy = aza-1, reemplazando en la ecuación z 3a¿¿r + 2(x2 - x r 2a )aza_1¿/z = 0 , agrupando z 3adx + 2(x2z a l - x z 3a~l )a dz = 0 , para que sea homogénea debe cumplir: 1 2 23 a = a + l = 3 a => a = — r=> z~dx + (x - x )d z = 0 , es homogénea, x = uz => dz = u dz + z du, simplificando zdu + u2dz = 0 , separando la variable + — = 0 u 2 z 1 X 2integrando — + lnz = c de donde para u= — , z - y se tiene w z 1 2 1 reemplazando en - — + ln z = c por lo tanto: y = x ln ky u 155) ( y -xy ' )2 =x2 + y 2 Solución ( y - x y ' ) 2 = x 2 + y 2 => y - x y '= ^ j x 2 + y 2 , es homogénea y = ux entonces dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación (mx- -y/x2 + w2x 2 )dx- x(udx + xdu) = 0 entonces: (u - ^ | l - - u 2 )dx- udx-xdu = 0 , simplificando r T , dx du -V l + w dx - xdu = 0 => — + — - ■___ : = 0 , integrando -Y Vl + t/ 2 55 í — + í —=.ÍU = c => lnx + ln|w + Vl + w2 |-c J * J x(u + 4\~+u2 ) = k , para w = — se tiene: y + J x 2 + v2 = & x v 156) 3* + >,- 2 + j>,( j t - l ) = O Soiución Z1 :3x + ̂ - 2 = 0l Sean ̂ LX̂ L 2 entonces existe un punto L2 :x - \ J />(*o>J o ) G A n ¿2 Y Para encontrar el P(x0, y {)) se resuelve el sistema: 3 x + y -2 = Oj x 0 =1 x _ 1 = 0 j - y 0 = - l ’ Lueg° = P(1’~ l) Sean x = z + 1 , y = w - 1 => (3x + y -2 )d x + (x - l)dy = 0 (3z + w)dz + z dw = 0, es homogénea sea w = uz => dw = udz + zdu (3z + uz)dz + z(u dz + z du) = 0, simplificando (2u + 3)dz + z du = 0, separando la variable: dz du „ . r dz r dudz du . r dz r — + --------= 0 , integrando — + - z 2u + 3 J z J 2u +3 entonces: (x - l)(3x + 2y - 1) = k 157) 2x + 2 y - l + / ( j t + y - 2 ) = 0 Solución = c (2x + 2y — l)dx + (x + y — 2)dy = 0 ==> sea u = x + y entonces: 56 dy = du - dx => (2u - 1 )dx + (u - 2)(du - dx) = 0 entonces (u + 1 )dx + (u - 2)du = 0 => dx + — du = 0 integrando u -1 u 2 2x+y Jdx + J - — - d u - c => x + y + l = ce 3 (3y - 7x + 7)dx - (3x - 7y - 3)dy = 0 Solución Lx : 3 y - l x + l = 0l Sean > => entonces L2 : 3 x - l y - 3 = 0 ¡ 1 2 3v-7jc + 7 = 0l Xq — \ 3 P(xü, y a)&Lx a ! 2 de donde: ' . n => n 3 x -7 > '-3 = 0 J J>0 =0 x = z + l , y = w entonces reemplazando en: (3x—7y+7)dx —(3x—7y—3)dy (3w— 7z)dz - (3z - 7w)dw = 0, es una ecuación homogénea, w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación (3uz - 7z)dz - (3z - 7uz)(u dz + z du) = 0, simplificando: (7w2 - l ) d z + (lu - 3)zdu = 0 , separando la variable: _ dz l u - 3 . . , _ f dz c l u - 3 . 7 — + ——— du = 0 , integrando 7 — + I —----du = c Z U2 - i J Z J u 2 + 1 dedonde: .\ (x + y - \ ) 6( x - y - l ) 2 - c (y + y ^ 2y 4 + l)dx + 2xdy = 0 Solución c z , xdz - zdxaea xy - z => y = — => dy = ------ ----- , reemplazando en la ecuación x x 2 (— + — J —T- + l)dx + 2x(— Z ZĈX) = 0 9 simplificando X x \ j x 2 * 2 , Z Z [~~4 2 x ^ (xdz - zdx) (— + —y ^ z +x )dx + 2 -------------- = 0 entonces: X X2 X z(Vz4 + x 2 -x)dx-\-2x2dz = 0 sea x = u 2 => dx = 2udu z(y]z4 + u 4 - u 2 )2udu + 2u4dz = 0 , simplificando z(*J~z^ +u 2 -u )du + u}dz = 0 , es homogénea sea u = zw => du = z dw + w dz, reemplazando en la ecuación z(>/z4 + z 4w2 - z 2w2 )(zchi’+ wdz) + z 3w3dz = 0 wyjl + w4 dz -i- z(s/l + vv4 - w2 = 0 , separando la variable dz 4 l + w 4 - w 2 r dz f 1 w---- h---- ..... — dw = 0 integrando — + I (---------=====?) dw = c Z W l + VV4 Z W ̂ /1+w4 lnz + ln w — ln \w 2 + ^ l + w 4 \=c => ln z w - — \n \w 2 + ^ l + w4 |=< 2 2 para w = ^ , u = v x ,z = xy, se tiene: .\ ^ x 2̂ 4 =cy2x 2 - \ 4xy2dx + (3jc2 jk -l)dy = 0 Solución Sea y = z a => dy = ctza d z , reemplazando en la ecuación 4xz2adx + (3x2z a - \ ) a z a~ldz = 0 , agrupando 4jcz2of ¿£c + (3jc 2 z 2a_1 - z a~l )adz = 0 para que sea homogénea debe cumplir: 2a + 1 = 2a + 1 = a — 1 => a = -2, reemplazando en la ecuación 4xz~4dx + (3x2z~5 - z~3)(-2rfz) = 0, simplificando 2jcz dtc - (3jc 2 - z 2 )tfz = 0 , es homogénea sea x = uz => dz = u dz + z du, reemplazando en la ecuación 2uz2(udz + zd u )-(3u2z 2 - z 2)dz = 0, simplificando (-u 2 +1 )dz + 2wz¿fw = 0 => — ---- du = 0 y integrando z u -1 ■ dz C 2u í — - í du = c => ln z - ln(u 2 - 1) = c J Z J w2 -1 Jlf 1 ̂ 2 de donde para w= —, z = - p r se tiene: .\ y (x ^ y - l) = £ 161) (jc + y 3)¿£t+ (3.y5 - 3 y 2x)dy = 0 Solución y = za dy = a za~ld z , , reemplazando en la ecuación (x + z 3a )¿£c + (3z5° -3z21)oza_1¿/z = 0 , agrupando (x + z3a )dx+(3z6a~1 - 3 z 3a~1x)a dz = 0 para que sea homogénea debe cu nplir: 59 1 - 3a - 6a — l = 3 a => a = \ ' reemPlazan<̂ ° en *a ecuación (x + z)dz + (z — x)dz = O, es homogénea sea x = uz => dz = u dz + z du (uz + z)(u dz + z du) + (z - uz)dz = 0, simplificando (u + l)(u dz + z du) + (1 - u)dz = 0, agrupando (u 2 + 1 )dz + z(u + \)du = 0 , separando las variables dz u + 1 z ~ Y ~ ~ du = 0 , integrando f — + í — du = c U2 + 1 J z J u 2 + 1 1 2 x lnz + — ln(w + 1) + arctgu = c , para u = — , z = y 3 2 z y 3 1 ? ¿ se tiene: arctg-— = — ln(x + y ) + k x 2 162) 2(x2y + ^ \ + x 4y 2 )dx + x 3dy = 0 Solución Sea z = x 2y => x 2dy=dz—2xrydx. Reemplazando en la ecuación diferencial: 2(z +Vl + z 2 )dx + x(dz - 2zdx) - 0, simplificando 2 {z+ 4 ü -z2 )dx + xí/z - 2z¿/x = 0 de donde 2^1 + z 2 dx + xdz = 0, separando las variables dx dz _2 — + —= ■■■■■ ■■■■, = 0, integrando * Vi + z 2 J 2 — + f — = lnc => x 2(x2y + ̂ l + x 4y 2) = c x Vl + z 2 60 163) (2x - 4y)dx + (x + y - 3)dy = 0 Solución Lx : 2 x -4 y = 0 1 Sean > => Lx4 fL 2 => 3 P(xQ, y 0) e L x n L 2 de donde L2 : x + y - 3 = 0J 2x - 4y = 0 | * o = 2 sea x = z + 2 , y = w + 1, reemplazando en : x + ̂ - 3 = 0j Jo =1 (2x-4y)¿fy + (x + y-3)rfy = 0 (2x - 4w)dz + (z + w)dw = 0, es homogénea sea w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación (2z + 4uz)dz + (z + uz)(u dz + z du) = 0, simplificando se tiene: (w 2 - 3« + 2)dz + (m + 1 )zdu = 0, separando la variable — 4- . “ + *---- du = c => ( j ; - 2 x + 3)3 = c ( y - x + l ) 2 z t/ - 3w + 2 164) (x — 2y — l)dx + (3x - 6y + 2)dy = 0 Solución Sea z = x — 2y => dx = dz + 2dy, reemplazando en la ecuación (x - 2y — l)dx + (3x — 6y + 2)dy = 0, se tiene: (z - l)(dz + 2dy) + (3z + 2)dy = 0, agrupando (z — l)dz + 5z dy = 0 , separando las variables (1 - — )dz + 5dy = 0 ; integrando z z - ln z + 5 y - c , como z = x - 2 y entonces: x + 3 y - ln |x - 2y| = c 61 165) ( x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0 Solución Lj : x - y + 3=0 1 L2 - 3x+y+l = 0\ ^ ^ Ll entonces 3 ^ o J o ) g £ i n ¿ 2 de donde x - y + 3 = 0 ] x0 = - l -» 1 * r =* ̂ » sea x = z — 1 , y = w + 2 3x + y + l= 0 J .Vo =2 (x — y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0 (z — w)dz + (3z + w)dw = 0 , es homogénea w = uz => dw = u dz + z du, reemplazando en la ecuación (z - uz)dz + (3z + uz)(u dz - z du) = 0, simplificando (1 — u)dz + (3 + u)(u dz + z du) = 0, agrupando (w 2 + 2w + Y)dz + (u + 3)zdu = 0 separando las variables dz u — 3 r dz r u — 1 — + ~ 2— ------du= 0 , integrando — + —----------- ¿w = c z w + 2w + l J z J u 2 + 2w + l 2 2 ln z + ln(w + 1) -------= c entonces ln z(u +1) ------ — = c donde «+1 «+1 2x+2w y - 2 ------ w = — = ------ setiene y = 1 - x + ce r+>’ z x + 1 166) (x+ y)dx + (x + y - l)dy = 0 Solución Sea z = x + y dy = dz — dx, reemplazando en la ecuación 62 z dx + (z — l)(dz — dx) = 0, separando la variable dx + (z— l)dz = 0 , integrando J dx + J ( z - \)dz = c entonces 2 x + - - ~ - - = c porlotanto: 2x + (x + y - l ) 2 =k 167) y cosx dx + (2y — sen x)dy = 0 Solución Sea z = sen x => dz = eos x dx, reemplazando en la ecuación y eos x dx + (2y - sen x)dy = 0, se tiene: y dz + (2y - z)dy = 0, es homogénea sea y = uz dy u dz + z du, reemplazando en la ecuación uz dz + (2uz — z)(u dz — z du) = 0, simplificando u dz + (2u - 1 )(u dz + z du) = 0, agrupando dz 2u - \ J , r dz c 2u - 1 , , , ---- h---- -— du = 0 , integrando — + — du■ = c de donde z 2u2 J z J 2u 2y ln y + sen x = 2cy y y168) ((x -y )co s — )¿/x + xcos — dy = 0 x x Solución y Sea u = — => y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación x (x — ux eos u)dx + x eos u(u dx + x du) = 0 63 (1 — u eos u)dx + u eos u dx + x eos u du = 0, simplificando dx + x eos u du = 0, separando las variables — + eos udu = 0 , integrando f — + f eos udu = c x J x J V VIn x + sen u = c, como u = — => ln x + sen — = c x x por lo tanto x = ke~SQnylx y 3dy + 3y2xdx + 2x3dx = 0 Solución y = ux dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación w3x 3(udx + xdu) + (3x3m2 + 2x3)dx = 0, simplificando u3 (udx + xdu) + (3u2 + 2)dx = 0, agrupando (u 4 + 3u2 + 2)dx + u 3xdu = 0, separando las variables dx u3 ,---- 1_ —__—— -----du - 0 , integrando x u 4 +3u2 +2 — U— -----du = c de donde c J x 2 + y 2 = y 2 + J x J u 4 +3u +2 ydx + (2 ^Jxy - x)dy = 0 Solución y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación udx + (2Vux2 - x)(udx + xdw) =* 0 , simplificando 2u^füdx + x(2Vw - l)rfw = 0 , separando las variables 2dx 2a/w -1 , . . , c dx c du f du -----h------- j=—du = 0 , integrando I — + ------— — = c X u^lu J x J u J u 3 2 2 [x21n x + 21ni/H—j=r = c de donde ln y - c - — entonces Vw v y y = entonces y e = k 171) Hallar la curva que teíiga la propiedad de que la magnitud de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la tangente sea igual a la abscisa del punto de contacto. Solución Por dato del problema d = x0 Además mLt | = y' (x0) y la ecuación de la tangente es: Lt : y - y o = mLt ( x - x 0) 65 Lt : xy' (x0) - y + y0 - yx0y ' (*o) = O por distancia de punto a recta d ( 0 , L , ) J ^ = VO’( por condición del problema se tiene: ¿/(O, Lt ) = x 0 \y<t>xo/(xoÍ J F"" ■ = xo generalizando en cualquier punto se tiene: - M * o))2+i y 2 - 2xKy'+x2/ 2 = x 2 + jc2/ \ simplificando >’2 ~ * 2 — 2xv;v' = 0 de donde ( y 2 — x 2 )<¿v—Ixydy = 0 , es homogénea sea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación (u2x~ —x ‘’)dx — 2 x 2u(udx + xdu) = 0> simplificando (u -1 )dx — 2u(udx + xdu) = 0 , agrupando — (u ~ + l)¿¿r — 2uxdu = 0 , separando las variables. 2w ^ a • * ̂ f ,— + ---- du = 0 , integrando — + ------- ¿fa= lnc * u 2 +l i x J u 2 + 1 lnx+ln£/2 -+1) = lnc => x(u2 + 1) =c* de donde u = — por lo tanto: x2 + y 2 =cjc x Hallar la curva para la cual la razón del segmento interceptado por la tangente en el eje O Y, el radio vector es una cantidad constante. Solución o /(* o )| o))2 + l La ecuación de la recta tangente es: Lt \ y - y0 = m (x - x0), de donde Lt : y = y '(x0) x - y ' ( x 0Kx0) + y 0 parax = 0, se tiene d 1 = y Q- y ' ( x 0)(x0) r r 7 Vn ~ y'(^o)(xn) además = V*o “ .Vo » lueg° :--1— =*==— = generalizando se tiene: 4 xo + y ¡ v - y ' x , rr~ rj =C => y - x y =c^Jx + y i * 2 +jV2 (c-jx1 + y 2 - y)dx + xdy = 0 , es homogénea sea y = ux dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación (c\Jx2 + x 2u - yx)dx + x(udx + xdu) = 0 , simplificando , (c^l + u 2 -u )dx + udx + xdu = 0 , agrupando 67 c^l + u2 dx + xdu = O, separando las variables = 0 , integrando c ln x + ln(w + •\/l+M2 ) = ln&dx duc--4- - ^ ^ * é + u2 x c (u + *K+u2 ) =k dedonde y + ̂ Jx2 + y 2 - k x l c x 2 + y 2 = k 2x 2̂ ~c>i -2kyxl~c +y2, dedonde . 1 / 1 —(T 1 1+C.. y = — k v ----x 2 * k 173) Empleando coordenadas rectangulares, hallar la forma del espejo si los rayos que parten de un punto dado, al reflejarse, son paralelas a una dirección dada. Solución dy , Á t a O - * ) + 4 7 2 + ( i - * ) 2— = tg^ = c tg 0 = ----------- 2----------------- dx y ydy-( l-x)dx _ . „ r ~5 “ 7 --p— ■. ... = dx integrando ^ y + ( l - j t )~ = j t + c , parax = y = 0, 1 = < 4 y 2 +( l - x ) 2 y = 4 cjc 68 174) Hallar la curva para la cual la longitud del segmento interceptado en el eje de ordenadas por la normal cualquiera de sus puntos, es igual a la distancia desde este punto al origen de coordenadas. Solución Dato del problema dx = d 2, la ecuación de la tangente es: L, : y - y 0 = ^óí^oX^-^o) ecuación de la normal: LN : y - y 0 = ------ — (x - x 0) y \ x o) J J X *0de donde y = ----------- + ---------- 1- y 0 / ( * 0) / ( * » ) parax = 0, dx =—̂ - — + y 0 además d2 =Jxo + y'(x 0) y l como dx = d2 => ——— +y 0 =Jxo +.Vo » generalizando + y = - jx2 + y \ * 0) ' dy xdx + (y- -Jx2 + y2 )dy = 0 , es homogénea y = ux => dy = u dx + x du , simplificando (1 + w2 - u ^ l + u2 )dx + x (u -^ \ + u2 )du = 0 69 dx U -V l + M2 x 1 + u 2 -u V l + Ŵ du= O, integrando y reemplazando y 1 / 2 Ku = — se tiene: y = — (cx — ) x 2 c 175) Hallar la curva para la cual el producto de la abscisa de cualquiera de sus puntos por la magnitud de sus puntos por la magnitud del segmento interceptado en el eje OY por la normal, es igual al duplo del cuadrado de la distancia desde este punto al origen de coordenadas. Solución Condición del problema x {)d\ = 2 d \ , la ecuación de la recta tangente es: Ly - y - y o = y \ x 0) ( x - x 0) ecuación de la normal es: LN : y - y 0 = — 7 7 — ( x - x 0) / ( * o ) x *o l n '■ y = — 77— y (Xfí) y (*0) para x = 0 => d, = ——— i- y 0, d2 =-Jx¡j + Jo P°r 1° tanto: y'(x0) 70 x0d 1 = 2d \ => x n( -X° + y (i) = 2(Jx¿ + y l )2 , generalizando v (jc0 ) 2 dx „ , 2 2\x — +xy = 2(x + y ) dy x 2dx + ( x y - 2 x 2 - 2 y 2)dy = 0, es homogénea sea y = ux => dy = u dx + x du, reemplazando en la ecuación x 2dx + (x2u - 2 x 2 - 2 x 2u2)(udx + xdu) = 0 , simplificando dx + ( u - 2 - u 2)(udx + xdu) = 0 , agrupando (u 2 - 2u - u3 + \)dx + x(u - 2 - u2 )du = 0 , separando la variable dx u - 2 - u 2 „ . A t , y— + —---------- -----du = 0 , integrando y reemplazando para u = — se tiene: * u 2 - 2 u- u3+\ x 71 ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN: ECUACIONES DE BERNOULLI La ecuación diferencial de la forma: ^ - + P(x)y = Q(x) dx donde P(x) y Q(x) son funciones continuas de x, se llama ecuación diferencial lineal de primer orden. Si Q(x) = 0, la ecuación (1) se llama ecuación diferencial lineal homogénea, y es de variable separable y su solución es dada por: - f p(x)dx y = ce J si Q(x) * 0, la ecuación (1) se llama ecuación diferencial lineal no homogénea, y su solución es dada por la expresión. Ecuación de Bernoulli. La ecuación diferencial de Bernoulli es de la forma: ^ + p(x)y = Q(x)yn dx ..(2) donde n ^ 0,1, para resolver esta ecuación se transforma en una ecuación diferencial lineal, mediante la sustitución. i-« 72 Resolver las Ecuaciones Diferenciales siguientes: 176) y ’+2y = x 2 +2x Solución La solución es: y = e ^p{x]d\ ^ e ^ pix)dxQ(x)dx + c] . . . ( 1) donde P(x) = 2 y Q(x) = x 2 +2x ... (2) luego reemplazando (2) en (1) se tiene: - í 2 dx r ' f 2 dx 2 y = e J [ \ eJ (x +2x)dx + c] , efectuando la integral y = e~2x[ j e 2x(x2 + 2x)dx + c] y = e~2x[—— —- e 2x +—- 1-c] por lo tanto: 2 4 2x2 + 2x V= 4 177) {x2 + 2 x - \)y ' - { x + \)y = x - \ Solución / 2 n , / , x + l JC —1(x¿ + 2x-l)y '- (x + l)y = x - \ => y '— ---------- = —---------- x + 2 x - l x + 2 x - - \p(x)dx r (p(x)dx y = e J [ \ e J Q(x)dx + c] -2 v— + ce - la solución es: 1 73 donde P(x) = ---- + *— y O(x) = - - 1— , reemplazando se tiene: x + 2 x - l x 2 + 2x - \ - \ - — ^ ± — dx , - x - \ y = e } x +2x-l r \ e' x +2x-l f _ J ----rfX + C] J x + 2 x - l iln(*2+2j-l) (• -iln(A:2+2.t~l) x ~l , .. y = e2 [ \ e “i-------¿fo + c] x + 2x -1 y = V*2 + 2 * - l [ f <X ^ ..y y dx + c] J (x2 + 2x-l) y = *Jx2 + 2x - l [ | ¿ ( X ; = ) + c ] , integrando j ^ x 2 + 2x - l y = a/ t 2 -4- ? r -1 (— *. —- + <") por lo tanto: y = x + c ^ x 2 + 2 x - l 4 x 2 + 2 x - l 178) x ln xy '-y = x 3 (3 ln x - 1) Solución , 1 x 2(3 1nx-l) x lnx .y '-y = x (3 1 n x -l) => y ---------v = ------- ---------- x ln x mx p(x)dx f [p(x)dx T i j como la solución es: y = e J [I eJ Q(x)ax + c] donde: 1 x 3(31n x -l) P(x) = — -— y Q(x) = x ln x ln x dx r dx x '( : Inx _f— - f— x 2(31nx- l ) reemplazando se tiene: y = e xlnx [J e AlnA ^— dx + c] 74 y = e mnx)[ j e -‘n(ln *> jr2(31nx U dx + c] y = lnx[fí/(-^--) + c] => y = lnx(-^— + c) J lnx lnx por lo tanto: y = x 3 -f-clnx (a2 - x 2)y'+xy- a 2 Solución / 2 2 ̂ » 2 . * # ̂(a -jc Xy+xy = a- => y + —------ y = a 2 _ x 2 como la solución es: y = e ^ P!> [ J e ^ * g(x)í/x + c] x a2 donde p(x) = — ----- — y Q(x) = — -----—, reemplazando se tiene: a - x 2 a2 - x 2 - J - r - i* f ~2y = e a x r 1 *[ I V *2- ' 2 - - — dx + c] J a - x Un(a2-x2) r y = e 2 [ \ e 2 — - -dx + c] J a - x y = ^ja2 - x 2 [a2 f — -—— — + c] entonces J (a2 - x 2)3/2 y = 4 a 2^ x 2 ([ d ( ^ L = ) + c) => y = V «2 - x 2 ( ^ j L - ^ +c) Va - x -\la~ - x por lo tanto: y = x + c ^ a 2 - x 2 180) 2xy'-y = 3x2 Solución ̂ , -» 2 , 12xv - y = 3x => v ------y = — 2 x ' 2 como la solución es: y = e ^ H * Q(x)dx + c] 1 3x donde P(x) = ------y (?(jc) = — , reemplazando se tiene: 2x 2 f dx r dx = e 2x[ j e 2x — dx + c\ 1 ,— ln x ^ — ln x r— j r r—• y = e 2 [J e 2 xdx + c] => y = ^Jx(—j ^ x d x + c) y = -Jx(x*/2 + c) => y = x 2 +c*Jx 181) (x + \)dy-[2y + {x + \)*]dx = ti Solución (x + \)dy ~[2y + (x + \)A ]dx - 0 dy 2 dx Jt + l V = (jc-h l)3, como la solución es: ’ = e ~ ^ x)Jx[ \ J P̂ dxQ(x)dx + c] donde P(x) = — — y Q(x) = (.v + 1)3 x + 1 76 f 2</r r 2¿r reemplazando se tiene: y = e x+l[ je x+l (x + l)3dx+c] y = e2ÍBix+l)[ je -mx+l)(x+l)i dx+c] y = (x+ 1)2 [J (x+\)dx+c] = (x+1)2 + c) , (x + 1)^ t por lo tanto: y = — ■— +c(x + l)2 182) / = ---------- L ----- xsen>> + 2sen 2y Solución 1 dy 1y = ---------------------------- n> J L = ----------------------------- x sen y + 2 sen 2y dx x sen y + 2 sen 2^ - ¿/je— = x + sen>> + 2sen2y = > ---------------- (sen y)x = 2sen 2v «V úfv la solución es: x = e de donde P(x) = -seny , Q(y) = 2sen2y, reemplazando se tiene: f sen v’rfv f f sen yrfy x = e J [ J e J 2 sen 2ydy + c] x = e cos>'[4j ecos>’ sen y co sy d v + c] x = í T cos>[ ( 4 - 4 c o s \e * * y + c ] => x = 4 ( l - e o s >■) + « > -cos v por lo tanto: x = ü n 2 -- + cí> C0S1' 77 183) y'-2xy = 2xe*2 Solución y = e - ^ x)dx[ ¡ J pMJxq(x)dx + c] donde p(x) = -2x y q(x) = 2xex - f - 2 xdx r i-2.xdx JJ.2 reemplazando se tiene: y - e J [ \e i 2xe dx + c] y = exl [^2xdx + c] = e * \ x 2 + c) por lo tanto: y - (x2 +c)ex 2 x 3 —2 184) x(x3 + l)y'+(2x3 - l ) y = -------- Solución x 2 — 2x(x3 + l ) /+ ( 2x 3 + l)y = -------- dividiendo entre x(x3 + 1) entonces: y'+ — -r— — y = , ecuación lineal en y, la solución es: x(x +1) X (x +1) y = e \ p<x)d* d e\ p{x)dxq(x)dx+c] donde />(x)=-^y— y ?(*) = 2 3 J x(x + 1) x (x + 1) f 2.v3- l ^ f 2 / - 1 ^ 3 reemplazando se tiene: y = e +1) [ f e r(< " * • ^— dx + c] J x 2(x3 +l) y = e , jr3+l . , * 3+l . , 3 -ln------- r ln(-------) (x - 2) , [ i e x ~ 2— í----- dx + c] J x 2(x3 + l) 78 * r f X ~ 2 j n x , 1y = - 3 — - [ I -------— ¿ X + c ] = - y — (x + — + C ) x J +l J x 3 x 3 +l x 2 expor lo tanto: y = —— - + — x +1 X 185) y'+y eos x = sen x eos x , y\ x_0 = 1 Solución y = e /p(vWr[Je^p(x)d'q(x)dx + c] donde: p(x) = cosx y q(x) = sen x eos x . . . - I eos xdx f í eos xdx reemplazando se tiene: y = e J [ \ e J senx eosxdx + c] y = e~ *enx [ J esen x sen x eos xdx + c] y = e~'senA[senxesen v - esenA + c] y = s e n x - l + céTsenK para x = 0 , y = l = > 1 = 0 — 1 + c entonces c = 2, por lo tanto: y = 2e~scnx + s e n x - l 186) x ln * / - ( l + ln x)y + ^ ~Jx (2 + ln x) = 0 Solución x lnx.y'-(\+ lnx)y+~ (2 +lnx) = 0 , dividiendo entre x l nx entonces se tiene: 1 + lnx (2 + lnx) .. i iy _ — -----v = --------¡==----- , ecuación lineal en y, la solucion es: x l nx ' 2^¡xlnx 79 y = e ^p{x)<L\ \ e ^ P(X)dXq(x)dx+c] donde: p(x) = y q(x) = - — J x \nx 2-Jxlnx r l+ln.v f 1 + ln.r_j — d.x r I —— dx 2 + lnx reemplazando se tiene: v = e ' ln t [ - e vln x — j=-----J 2Vxlnx y = eln(vln-*,[ - f e [n{xAnx) .dx+c] J 2^1 x In x ^ = x.ln x[- f —^ ̂ n X-— dx + c] = x. In x[ f d (—=------ ) + c] J 2 V x x ln x J 4 x \ n x y = x. In x(-jJ-- + c) por lo tanto: y - Jx + ex ln x -v/x ln* 187) 3xy'~2y = — y Solución x 3 , 2 x 2 y 3xy'-2 y = — => y '----- y = — r- ecuación de Bernoulli •2 3 x 3 v ¿/v 2 x 2 _2 w. r , , 2—--------y = — y multiplicidad por y dx 3 x ' 3 2 __3 = * 2 dx 3 x ’ 3 sea z = v 3 => — = 3v2 , reemplazando se tiene: ' dx dx L _ JL ^ = í => — - -- z = x 2, ecuación lineal . 3 dx 3x 3 dx x 1 dz 2 x dz 2 _ i dx + c] 80 - f - -d x c f -dx cuya solación es: z - e x [ \ e x x~dx + c] entonces: '[ J íf r + c]z = e 2lnx[ \ dx+c] => v 3 = x y +cx2 188) 8 xy '-y = - 1 yl)x + \ Solución o . i dy i i , ^8x y - y = --- ■■p=̂ L_1 entonces —-------- v = ----------y^— , ecuación de Bernoulli y^Jx + 1 títe 8x %xy\lx + l multiplicando por y 3 se tiene: y 3— - — v 4 = - - * dx 8x ‘ 8xa/x+T s e a z = y 4 entonces — = 4^ 3 — , reemplazando en la ecuación se tiene: ¿/x ' dx \ dz \ 1 dz 1 1 ., .. — —— — z = ------7= = - ~ => —--------z =- 7= , ecuación lineal 4 ¿x 8x 8x v x + 1 dx 2x 2xVx + l f ^ f ¿r ^ cuya solución es: z = e 2* [ - 1 e 2* ----- ........+ c] J 2xvx + l — lmr /• ln.r z - e 1 [ - \ e 2 ----- - + c] entonces J 2xVx+l z = V x [ - f— j J ^ j = + c] => Z = -Vx[frf(^ ^ ) + c] J 2V*W* + 1 J V* ’ = V^(—7=~ + c) = por lo tanto: v4 =4x + \ + c^fx Vx 81 189) (Jty + x 2y 3)y '= l Solución (xy + x 2y 3)y '= l => (xy + x 2y 3) ~ = \ dy 1 dx 2 3— = --------—— entonces — = xy + x y dx xy + x y dv - xy = x 2y 3 multiplicidad por x-------- -> dy -2 dx - 1 3 -1 v-2 dxx ----- yjc = y , sea z = x => — = -x — dy dy dy — - vz = v3 => — +yz = - y 3, la solución es: dy ŷ r f , zi ^ = e- í ^ [ - J e ^ V ^ + c] = e ' 2 [ - J e V ^ + c l => _zl ¿ ¿ z = c 2 [ - y 2e 2 + 2 e 2 + c] por lo tanto: 190) / - y = 2*e*+x2 1 2 "T— = 2 - y + ce 2 Solución Como y = e /̂(r)í/r[ | e ^ (v)í/X̂ (jc)dx + c] donde p(x) = -1 y #(x) = 2xe* Reemplazando se tiene: y = e ̂ [Je^ 2xev+v dx + c] 82 y = ex[ j2 x e x dx+c] entonces y = ex (ex +c) por lo tanto: y = ex x + ce 191) xy' = y + x 2 senx Solución 2 dy 1 .,xy = y + x sen x => —----- y = x sen x , ecuación lineal dx x la solución es: y = e r dx r dx y - e x [ f e x xsenxdx + c] y = e lnx[ j e~lnx x sen x dx + c] = x(- eos x + c) por lo tanto: y = -x eos x + ex 192) x 2y'+2x3y = y 2(l + 2x2) Solución x 2y'+2x3y = y 2 (1+2jc2 ) entonces y'+2xy = y 2 - , ecuación de Bemoulli x multiplicando por y~2 se tiene: y~2y'+2xy~x x 2 sea z = y 1 => — = -y 2y' reemplazando dx +2xz=— -— => -----2xz=-------— , ecuación lineal donde la solución es: dx x2 dx x2 83 - f - 2 xdx f [ -2 xdx (l + 2 x 2 ) Z — e J I — I p j ------ 4---- r r \ -2xdx (l + 2x~) , _ [ - U J ----- - d x + c] J X = ^ [ - j dx + c] = e"2 [ J r f ( ^ - ) + c] 1 1 *2 por lo tanto: — + — + ce y * 2 2 2 x - y - a Solución 2xy dx x 2 - v 2 - a 2 ̂ ̂ ¿ dx 1 __ y 2 +a2 , y —-------- ------- — = ---------------- de d o n d e --------- x = ----- ----- x x 2 - y 1 - a 1 dy 2xv dy 2y 2y . . dx \ 2 v2 + ¿z2multiplicando por x se tiene: x —— — x = ------ ----- y dy 2 y 2 y 0 dz dx . \ dz \ y 2 + # 2 , A A sea z - x => — = 2x — , reemplazando — —— —— z = ----- ----- de donde dy dy 2 dy 2 y2y 1 cuya solución es: J « y'*«, )dy+c] donde dy y y J 1 2 + a 2p (y ) = ---- y q(y) = -----a reemplazando se tiene: r J v y + a[ - le y - -------- dy + c] J v 2 2 2 : = e ln;l'[-1 —- —- dv + c] = y ( - y + — + c) entonces J y 2 ' ' y 84 z = - y 2 + a2 +cy porlotanto: x 2 + y 2 - a 2 =cy 194) 2 senx.y'+y eosx = y 3 ( x eosx - sen jc) Solución 2 sen x ./+ y eos x = y 3 (jc eos x - sen x) de donde dy c tg x 3, x e o s* -se n * .. , — + —-— y = y (----------------- ), ecuación de Bernoulli dx 2 2 sen* multiplicando por y 3 se tiene: y 3 — + c ^ x y 2 — j [cosx_senx dx 2 2 sen x sea z = >,-2 =* — = -2y~3 — reemplazando - 1 ^ +£ÍM ÍZ=£ £ £ ? Í Z ^ dx dx 2 dx 2 2senx dz —— c tg x.z = -(xc tg x - 1) ecuación lineal cuya solución es: dx -\-cX%xdx f f-rtgjr dx z - e f J e (xctgx — X)dx+ c] _ lnsenjc«- f - ln se n jr / . nz - e [- \ e (x c tg x -l)ax + c] _2 r fx c o s x -s e n x ,y = sen x[ - 1 --------- -------- dx + c] entonces: J sen x — 2 X Xy = sen x[¿/(--------------------------------------) + c] = sen x(------h c) por lo tanto: sen x sen x l — = x + c sen x 85 Solución 3x2 dx x3+y + l , , ,y'=----------- => — = -------— de donde x3 + y +1 dy 3x - — x = - +— x 2, ecuación de Bernoulli dy 3 3 2 . 2 <̂X 1 2 V +1 multiplicando por x se tiene: .v ^ " 3 * = — 2 dz . 2 dx . , 1 dz 1 V + lsea z = x => — = 3x — reemplazando - - - z = —— tfy dy 3 dv 3 3 de donde----- z = y +1, ecuación lineal cuya solución es: dy z = e ̂ dy[je^ dy (y + l)dy + c] z = ey[je y(y + l)dy + c] => x 3 =e-'[~e v(y + l ) - e y +c] por lo tanto: x 3 = - y - 2 + cey ■ X+ 2 _ d - * V ^ je2 H-a:-I-1 (x2+Jf + l)3/2 Solución Multiplicando por y 2 se tiene: •* + — /t 2 \ y“V + ^ — — y ~ l = — — * 3/2 —d) JC + *+1 (JC + * + l)3 2 1 sea z = y 1 => — = - y 2y V reemplazando en (1) dx dz 2x + \ l - x 2 dx 2 ( jc 2 + jc + 1) ( x 2 + jc + 1) dz 2x + l x 2 -1 3/2 ̂= —i— ------ ttt , ecuación lineal cuya solución es: dx 2(x2 +x + l) (x2 +x + l)3/2 r 2x+\ c 2x+\ z. (*2 -D ^ +c] J (x2 + * + i )3/2 — lníjc-+jc+l) f I„C*2+.v+1) (x2 - l) z — e * [\e —i----------ttv dx + c] J (x2 + x + d 3/2 2 z ^ - J x 2 + jc + l [ f —— ----^-— dx + c] = ^lx2^ x + l [ [ - d (———-----) + c] J (x2 +* + l)3/2 J JC2 +JC + 1 Z = 4 x 2 + JC + 1(----- ----- + C) = ----j-..* +Ca/x2 + JC + 1 jc + jc + 1 V*2 +x + l -i x ny = — p- 7 + c^x +jc + 1 ^ x 2 +x + l m 3 y ^ ^ L - - L ^ - f > X(x~ — ci^) y 2 x — a~ Solución 87 , 2 . x2 +a2 1 *(3jc2 - g 2) Multiplicando por y ¿ se tiene: 3 y y + ^ >' “ ^2 _ a 2 sea z = y 3 => — = 3 y 2 y \ al reemplazar se tiene: djc ffe , ■y2 +fl2 - _ ecuación lineal cuya solución es: _r_£±5l_rf, , f x?fl ~<fa vnvJ - f lJl ■ í *(**-*) [ f e ^ -^ - d x + c] j JC - f l ln_ ^ f f ln¿±íl) ^3,2- fl2) z = e ¿ - ' [ W / 'dx + c]J x - ax “ - a z = - ^ [ \ O x 2 - a 2)dx + c) = ^ - T [xi - a 2x + c] x 2 - a 2 3 x - a 2 2 CX por lo tanto: y - x + _ fl2 198) (l + x 2)y' = xy + x 2y 2 Solución 2 —2 , x —1 X y__ £ _ y =— y2 multiplicando por y se tiene: y y - ^ r ~ i y— y — — — _ y u i u n i p u v a u u u p v i j o w i , v u v . y . / 2 J 1 . y 2 1+JC2 1+x2 1 * 2 sea z = y - ' =* — = - y _2y' entonces ---- ^ z = ^ , ecuación lineal. dx d* l+x l+x - [ - 1 —d x , f - A r * v;2 z = e ¡ ,+x2 [ f e 1+jr (------- T)dx + c] j 1 + JC 88 z = e 2 —— ln(l-f-Ar2 > r i ln ( l+ ^ 2) ~ 2 M e 2 ---- 7¿* + c] J 1 + jc2 1 r jc2 = .-■■■■■■. [- dx + c] por lo tanto: 4i+ 7 J i i ( - — Vl + x 2 + — ln[x + Vl + x 2 ] + c A f - ±<*+»V 1 + jc 2 Solución _2 2 y 1 ? Multiplicando por y se tiene: y " v'+ —— = — (jc +1) 1 + jc 2 sea z = y “1 => — = - y ”2y ', reemplazando en la ecuación: dx — = - - ( x + l ) 3 => — — — = - ( x + l ) 3 , ecuación lineal cuya solución e ¿/jc 1 + jc 2 ¿ jc 1 + jc 2 ¿x c dxr dx f dx z = e J l+x[ j e J ,+x ~ ( x + l)3dx + c] z = e ,n(,+*)[ fe - ' n(,+x>± (l + x )3 dx + c] z = (1 + x)[ J + ̂ dx + c] por lo tanto: 1 +— = — —— + c(l + x) V O 200) 201) (x 2 + y 2 +1 )dy + xydx = 0 Solución xy — + x 2 + y2 +l = 0 =» — + — x = - x 1, ecuación de Bernoulli dy dy y y dx 1 2 y +1 multiplicando por x se tiene: x — + — x = ----- ---- dy y y sea z = x 2 =» — = 2x — , reemplazando en la ecuación dy dy 1 dz 1 y2 + 1 dz 2 a v i i - ^-----+__Z==_Z------ ^ — 4— z = _2(i------ ), ecuación lineal cuya solucion es: 2 ¿y y y dy y . y ¿/y+ c] z = e - ^ y [_2 ¡ e m y ( ^ - — )dy + c] => x 2 = - ^ f " 2^ + + c]J v v 4 2 por lo tanto: / = 2y lny + y- j c Solución ¿/;t _ 2x ln y + y - x dy x — + L x = 2 \ny + l , ecuación lineal cuya solución es:¡ dy y 90 - J - f J - z = e v fj e y (21n y + \)dy + c] entonces: ,z ~ e ln) [ J e lnv(21n y + Vfdy + c] =$ x = — [J (2y ln y + y)dy + c] Q por lo tanto: x = y ln y + — 202) x(x - l)y ’+y = x 2 (2x - 1) Solución 1 (2jc - 1) ̂+ ~ (--ñ ̂ =---r x ’ ecuaci°n üneal cuya solución es: — 1J X ~ X r dx r dx y = e 4*4) [ í j ^ ) x< ^ I ± )d x + c] J x - l 1 / x X , JC—1 jc-T r f T / 2 x ~ l w y = e x 1 [ j e x x(— — )dx + c] J x - l y = - ^ — [ \ (2 x - l )d x + c] => y = - ^ —(x2 - x + c) X - l J x - l por lo tanto: y = x 2 +- x - l .2 , CX x - l •*W) y ' - y tgx = sec;c, y|^=o= 0 Solución - f - t g xdx f f - tg jxdx y = e \ \ e J sec xdx + c] 91 204) 205) eos X y = e Ulc:>s;c[J e lnsec* secxdx + c] entonces: C sec xy = L .x x ( ------ dx + c) =secx(x + c ) , parax = 0 setienec = 0 l sec x X por lo tanto: y = sec x (x + 0) => y = - y' eos y + sen y = x + 1 Solución Sea z = sen y => — = eos y.y ' , reemplazando en la ecuación: dx + z = x + 1, ecuación lineal cuya solución es: dx z - e ̂ [ je^ (x + l)dx + c] => z - e * [Je* (x + l)dx + c] por lo tanto: sen y = x + ce' y'+ sen y + x eos y + x = 0 -x Solución y y 2 y 2 ySea sen y = 2 sen — eos — , eos y = eos — - sen — 2 2 2 2 y y i y 2 y ^y '+2 sen — eos — + x e o s ----xsen — + x = 0 2 2 2 2 y'+2 sen—eos —+ x eos 2 —- x ( l - e o s 2 —) + x = 0 , simplificando 2 2 2 2 92 / + 2 sen —^os —+ 2xcos2 — = 0 2 2 2 2 y ysec “ — y1’+2 tg — + 2x = 0 entonces: 2 2 sea z = 2 tg — => — = sec2 — .y', reemplazando en la ecuación: 2 dx 2 dz— + z = - 2x , ecuación lineal cuya solución es: dx z - e [ -2 ^ e^‘lXxdx + c] => z = e~x[-2(xex - e x ) + c] 2 tg 2' = ^ + * entonces ig~- = ke x - x + l 206) / - - ^ = é>*(l + x)'1 x + l Solución - f ——<¿r /• f ——dx y = e ' x+l [I e x+l ex (l + x )ndx + c] y = e -ninu+DeX(i + Jc)»í¿c + c] entonces: >- = (x + l)"(c-t +c) ’07) |V(ctt)¿/a = ny/(x) Jo Solución 93 J ii/(ax)da = nilf(x) reemplazando = n\¡/(x), derivando: 1 ex 1 f x V ( x ) , / x — \\ir{z)dz = n\¡f{x) => — •lf(z)dz + ny /(x ) x Jo X Jo x como f y/(z)da=nxyf'(x) entonces — ^(nxy/(x)) + ^ - ^ - ny/'(x) Jo X2 (1- « ) , y / ' ( x ) _ \ - n ¥ { x )L - - = n ¥ {x) entonces: — integrando ln(y/tx)) = ln x. (-— ) + In c n i-n ln y/(x) = ln c.x " entonces: y/(x) = c.x n - x 2 2y'+xsen2y = xe eos y Solución 2 y'+xsen 2y = xe~x' eos2 y => sec2 y.y’+2xtg y = xe~x sea z = tg v => — = sec1 x y .y \ reemplazando se tiene J - + 2xz = dy “X z = e~i2xáx\ j J 2xdxXe~x~dx + c\ entonces tg y = e~x [Jxdx + c] xe~x - x 1 por lo tanto: tg y = —- — + ce En los problemas que se dan a continuación hay que hallar las soluciones de las ecuaciones que satisface a las condiciones indicadas. 209) y'-2xy = eos x - 2x sen x , y es una función acotada cuando x ->oo Solución -f-2xdx f f-2xdt v = e J [I e J (eosx-2xsenx)dx + c] y = e A [Je~x (eosx - 2 x senx)dx+c] entonces: y - e x [Jd(d~x senx) + c] => y = e x (e x senx + c) . x2 y = 3 sen x + ce como sen x varia entre -1 y 1 además y es acotada cuando x —>qo => c = 0 , por lo tanto: y = sen x 210) i j x y ' - y = - sen V* - eos V* , y es acotada cuando x ->oo Solución , 1 senV *+cosV * ., ..y ----- t= y = -------------7=-------- , ecuación lineal cuya solución es: 2v * 2V* _ e~^TJ7{ f sen^x+cos^xy = e f , l^ ~ V £ ± c o w «
Compartir