Aritmética - Índice de Temas

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ÍNDICE GENERAL
Razones ............................................................................................... 1
Proporciones ........................................................................................ 3
Magnitudes proporcionales ............................................................... 5
Aplicaciones con magnitudes proporcionales ............................... 9
Tanto por ciento .................................................................................. 11
Regla de Interés I ............................................................................... 15
Regla de Interés II ............................................................................... 17
Regla de Descuento I ......................................................................... 19
Regla de Descuento II ......................................................................... 21
Estadística I ........................................................................................... 23
Estadística II ........................................................................................ 27
Regla de mezcla I ............................................................................... 31
Regla de mezcla II ............................................................................... 35
Numeración ........................................................................................ 37
Técnicas de conteo ............................................................................ 41
Sucesiones numéricas ...................................................................... 45
Cuatro operaciones I ......................................................................... 47
Cuatro operaciones II ......................................................................... 49
Divisibilidad I ........................................................................................ 51
Divisibilidad II ..................................................................................... 55
Números primos .................................................................................. 59
Estudio de los divisores ...................................................................... 63
Máximo común divisor (MCD) - Mínimo común múltiplo (MCM) .... 67
Números racionales I .......................................................................... 71
Números racionales II .......................................................................... 75
Potenciación .......................................................................................... 79
Radicación .......................................................................................... 81
Lógica proposicional I ....................................................................... 83
Lógica proposicional II ....................................................................... 87
Teoría de conjuntos I .......................................................................... 89
Teoría de conjuntos II .......................................................................... 93
Probabilidades I .................................................................................... 97
Probabilidades II ................................................................................ 99
1UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 1
RAZONES
ARITMÉTICA
I. RAZÓN
Es la comparación entre dos cantidades mediante una
operación aritmética (sustracción o división). Pueden
ser de dos clases:
Donde:
a: antecedente b: consecuente
Son los términos de la razón
Ejemplo:
Un comerciante posee en un
recipiente A, 30 litros de vino
y en otro recipiente B, 18 litros
también de vino.
Al comparar: A
 
30 L 18 L 
B
A. Razón aritmética
"El VA excede a VB en 12 L".
"El VA es mayor que VB en 12 L".
"El VA es 12 L más que VB".
B. Razón geométrica
30L
18L =
5
3
Antecedente
Consecuente
"VA y VB están en la razón (o relación o proporción)
de 5 a 3 (o 5/3) respectivamente".
"VA es a VB como 5 es a 3".
"VA es a 5 como VB es a 3".
"VA es como 5 y VB es como 3".
"VA es 5/3 de VB".
"Por cada 5 L que hay en A, hay 3 L en B".
Nota:
Si A y B están en relación de 5 a 3.
 A 5
B 3
A = 5k
B = 3k
Aplicación
La edad de María es a 13 como la de José es a 11. Si
la diferencia de sus edades es 6 años. ¿Cuánto suman?
II. SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS
EQUIVALENTES
Es la igualdad de varias razones geométricas.
Ejemplo 1:
Donde:
Los antecedentes son 30, 15, 9 y 33.
Los consecuentes son 40, 20, 12 y 44.
30 y 44 son términos extremos.
Ejemplo 2:
Al tener:   pm n K
3 5 11
, puede decirse que m, n y
p están en la relación de 3, 5 y 11 respectivamente.
Además:m = 3 K
n = 5 K
p = 11 K
DESARROLLO DEL TEMA
2UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
RAZONES
TEMA 1
Exigimos más!
Propiedades de una S.R.G.E.
Siendo en general una serie de la forma:
    31 2 n
1 2 3 n
aa a a
....... K
b b b b
Se cumplirán las siguientes propiedades:
1. (Suma de Antecedentes) K
(Suma de Consecuentes)

O sea:
   
  
    
1 31 2 n 4 2
1 2 n 1 3 4 2
a 2aa a ... a a a
K
b b ... b b 2b b b
2.  r(Producto de Antecedentes) K
(Producto de Consecuentes)
Donde "r" indica el número de razones consideradas
para el producto. O sea:
  2 2 23 5 1 61 2
1 2 3 5 1 6
a a a aa a
K ; K ; K
b b b b b b
Problema 1
Tres números A, B, C están en relación
directa a 5, 7 y 11. Si sumamos a dichos
números respectivamente 130, 260 y
n, la nueva relación directa es como a
13, 17 y 19. Determine n.
UNI 2010 - II
A) 390 B) 650 C) 910
D) 1170 E) 1430
Resolución:
Ubicación de incógnita
Se pide hallar el valor de n.
Análisis de los datos o gráficos
Sean:
A = 5 k; B = 7 k; C = 11 k
Operación del problema
Tal que:
5 k + 130
13
7 (5 k + 130)
7 13
7 k + 260
17
5(7 k + 260)
5 17
11 k + n
19
11(7 k + 260)
11 17
7(11 k + n)
7 19
=
=
=
= =
- -
- -
Se obtiene:
910 1300 2860 7n
91 85 187 133
 
 
390 2860 7n
6 54
 
Conclusión y respuesta
n 910 
Respuesta: C) 910
Problema 2
En una biblioteca municipal existen en
total 72 libros de matemática y literatura,
los que están en relación de 5 a 3
respectivamente. El número de libros
de literatura que deben agregarse para
que la relación sea de 9 a 10 es:
UNI 2010 - I
A) 21 B) 22 C) 23
D) 24 E) 25
Resolución:
Ubicación de incógnita
Número de libros de literatura que se
agregan: "X".
Análisis de los datos o gráficos
# de libros de Matemática : 5 k
# de libros de Literatura : 3 k
TOTAL : 8 K = 72
9
Operación del problema
5 9 
 
9
3 9 x


50 27 x
10
x 23
  
 
Respuesta: C) 23
Problema 3
Si se cumple: 31 2
1 2 3
aa a
K
b b b
   donde
K es un entero positivo, y que:
2 2
2 31
2 21 2 3
a aa
6
b b b

 

entonces el valor de K es:
UNI 2008 - I
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Resolución:
Nos piden "K" ; K  
Dato inicial: 31 2
1 2 3
aa a
K
b b b
  
Luego: 
2 2
2 31
2 21 2 3
a aa
6
b b b

 

K + K2 = 6
K (K + 1) = 6
K = 2  K = –3
K 2 
Respuesta: B) 2
  
3
3 3 31 2 3 2 5 6 2
31 2 3 2 5 6 2
a a a a a a (a )
K ; K ; K
b b b b b b (b )
S.R.G.E. continuas
Tienen la siguiente forma: a b c d K
b c d e
   
Se observa que:
d = ek ; c = ek2 ; b = ek3 ; a = ek4
2 2ab ak k
bc c
  
3 3bcd bk k
cde e
  
4 4
 Relación de 
términos extremos
abcd ak k
bcde e
 
  

problemas resueltos
3UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 2
PROPORCIONES
ARITMÉTICA
PROPORCIÓN
Es la igualdad de dos razones de la misma clase.
A. Proporción aritmética
Ejemplo:
Importante
Observamos que hay 2 antecedentes (30 L y 52 L) al
igual que 2 consecuentes (18 L y 40 L).
Interpretación
"30 L excede a 18 L tanto como 52 L excede a 40 L"
"30, 18, 52 y 40 forman una proporción aritmética".
 Observación:
Sumade Sumade
términos términos
extremos medios
30 40 52 18  
   
   
   
B. Proporción geométrica
Ejemplo:
Importante
Observamos que hay2 antecedentes (30 L y 20 L) al
igual que 2 consecuentes (18 L y 12 L).
Interpretación
"30 L y 18 L están en la misma proporción que 20 L
y 12 L respectivamente".
"30 y 18 están en la proporción de 5 a 3 respec-
tivamente".
"30 y 18 son proporcionales a 5 y 3 respectivamente".
"30, 18, 52 y 40 forman una proporción geométrica".
 Observación:
 
Productode Producto de
términos términos
extremos medios
30 12 20 18  
   
   
   
Aplicación
Si 30, 40, m y 12 forman una proporción geométrica,
calcule el valor de m.
 Tipos de proporciones
• Continua: Los términos medios son iguales.
• Discreta: Los términos medios son diferentes.
En resumen:
 
DESARROLLO DEL TEMA
4UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
PROPORCIONES
TEMA 2
Exigimos más!
Aplicación
Calcule la diferencia entre la media diferencial de 22 y
18 y la tercera proporcional de 32 y 24.
Propiedades de la proporción geométrica
Sea la proporción:
pm
n q

Entonces se pueden formar las siguientes propor-
ciones:
Problema 1
En una proporción geométrica de razón
5/4, la suma de los términos es 45 y la
diferencia de los consecuentes es 4.
Halle el mayor de los términos de la
proporción.
UNI 2012 - I
A) 12 B) 15
C) 16 D) 18
E) 20
Resolución:
Ubicación de incógnita
Pide el mayor término de la proporción
geométrica de razón 54 .
Análisis de los datos o gráficos
Datos: Razón = 54
Suma de términos = 45
Diferencia de consecuentes = 4
Operación del problema
Sea la proporción: 5a 5b
4a 4b
 (*)
5a 4a 5b 4b 45 a b 5 a 3
4a 4b 4 a b 1 b 2
       

     
Reemplazando en (*) tenemos:
15 10
12 8

Conclusiones y respuesta
El mayor término es 15.
Respuesta: B) 15
Problema 2
Se tiene cuatro números, tales que,
los tres primeros están en progresión
geométrica y los tres últimos en pro-
gresión aritmética de razón seis; sindo
el primer número igual al cuarto. La
suma de los cuatro números es:
UNI 2003-II
A) 22 B) 18
C) 14 D) 16
E) 20
Resolución:
Según enunciado:
a, b, b + 6, b + 12
Luego: a = b + 12 ... 
    2b a b 6 ....   
   De en  :
   2b b 12 b 6  
2 2b b 18b 72   
18b = – 72
b = – 4; a = 8
Luego: los números son: 8, –4, 2, 8
La suma será: 14
Respuesta: C) 14
Problema 3
Se da la proporción a c k
c d
  con
2b – d  0, además se sabe que:
a 1 c 2
b 3 d 6
 
 
Entonces K vale:
UNI 1995-II
 Nivel fácil
A) 1/5 B) 1/4 C) 1
D) 1/2 E) 1/3
Resolución:
a c k;2b d 0;a bk;c dk
b d
     
Reemplazando:
a 1 c 2
b 3 d 6
 
 
bdk + d + 6bk + 6 = bdk + 2b + 3dk + 6
3k(2b – d) = (2b – d)
k = 1/3
Respuesta: E) 1/3
p qm n
n q
p qm n
m p
2p q2m n
3n 3q
3m 2n 3p 2q
m n p q
 
 
 
 
 
Aplicación
Si x y 11
x y 7
 

, calcule el valor de x/y..
problemas resueltos
5UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 3
MAGNITUDES PROPORCIONALES
ARITMÉTICA
I. NOCIONES PREVIAS
A. Magnitud
Es toda cualidad de la materia que pueda experi-
mentar variación, en nuestro caso estudiaremos la
magnitudes matemáticas que serán aquellas sus-
ceptibles a medición.
B. Cantidad
Es el valor que toma una magnitud en un determi-
nado instante, generalmente se expresa como un
valor numérico acompañado de cierta unidad de
medida.
Ejemplos:

 
3
4 h ;20minTiempo
5 m ;80 kmLongitud
37 C ; 300 kTemperatura
Volumen 60 m ; 4
Número de alumnos 50 alumnos
Magnitud Cantidad

II. RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDES
En este capítulo estudiaremos el comportamiento de
dos magnitudes que guardan cierta relación de depen-
dencia entre sí: relación directa y relación inversa.
A. Magnitudes directamente proporcionales (D.P.)
Dos magnitudes son directamente proporcionales
cuando ocurra que al aumentar o disminuir el valor
de una de ellas entonces el valor de la otra aumen-
te o disminuya respectivamente en la misma pro-
porción. Se cumple que el cociente de sus respec-
tivos valores es constante.
Ejemplo:
Andrea compra en la panadería 10 panes con S/. 2,
manteniendo el precio del pan constante se podría
afirmar:
Se observa:
En ambos casos varía en la misma proporción.
Luego:
(N panes)(N panes) DP(Costo) K
(costo)
K : constante
  
En el ejemplo:
10 30 15 20 5
2 6 3 4
constante
   

En general
Sean las magnitudes A y B:
(Valor de A)A DP B K
(valor de B)
K : constante
 
DESARROLLO DEL TEMA
6UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
MAGNITUDES PROPORCIONALES
TEMA 3
Exigimos más!
Observación:
El comportamiento de las magnitudes del ejem-
plo anterior también se puede representar grá-
ficamente.
• La gráfica de dos magnitudes directamente pro-
porcionales es una recta que pasa por el origen de
coordenadas.
• En cualquier punto de la recta el cociente entre
los valores de sus coordenadas es constante.
f(x)10 15 20 30 k
2 3 4 6 x
constante
    

Luego:
f(x) = K f(x)=k x
x
K :constante Función de
proporcionalidad
 directa
 
B. Magnitudes inversamente proporcionales (I.P.)
Dos magnitudes son inversamente proporcionales
cuando ocurra que al aumentar o disminuir el valor
de una ellas entonces el valor de la otra disminuya
o aumenta respectivamente y la proporción se in-
vierta. Se cumple que el producto de sus respecti-
vos valores es constante.
Ejemplo:
David es un ciclista que recorre a diario una distan-
cia de 60 km como parte de su entrenamiento,
con respecto al comportamiento de su velocidad y
el tiempo empleado en los últimos cuatro días, se
puede afirmar:
Se observa:
En ambos casos la proporción se invierte.
Luego:
 
(Velocidad)I.P. (tiempo) (Velocidad) (tiempo) h
h: constante
  
En el ejemplo:
10 6 30 2 15 4 20 3 60
constante
       

En general:
Sea las magnitudes M y N.
   Valor Valorde M de N
Sean las magnitudes M y N
M IP N h
h : constante
  
Observación:
 
El comportamiento de las magnitudes en el
ejemplo anterior también se puede repre-
sentar gráficamente.
7UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 3
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Exigimos más!
Problema 1
Para pintar el Estadio Nacional se con-
tratan 8 personas que afirman pueden
terminar la obra en 10 días, laborando
8 horas diarias. Al terminar el quinto
día de trabajo se decide incrementar
la jornada a 10 horas diarias y contra-
tar más personas para culminar el res-
to de la obra en 2 días. Calcule la can-
tidad de personas que se deben con-
tratar en forma adicional.
UNI 2010-II
A) 8 B) 10
C) 12 D) 14
E) 16
Resolución:
Ubicación de incógnita
Piden: Cantidad de personas que se
deben contratar en forma adicional (x)
Análisis de los datos o gráficos
a
8 
personas
10 días, 
8 h/d
a b
normalmente 8 
personas 8h/d 
culminarían en 
5 días
8 personas
5 días
8h/d
(8+x)personas
2días
10h/d
Operación del problema
Se cumple para la obra "b":
(8 x) 2 10 8 8 5    
Conclusión y respuesta
x 8 
Respuesta: A) 8
Problema 2
Tres socios A, B, C deberían repartirse
una utilidad de M dólares proporcional-
mente a sus edades, las cuales son x
del socio A, (x – 3) del socio B y (x – 6)
del socio C. Como el reparto se realizó
un año después, calcule la cantidad que
recibe el socio que más se perjudica.
UNI 2009-II
A)
M(x 1)
3(x 2)


B)
M(x 2)
x 1


C)
M(x 3)
x 1


D)
M(x 1)
x 3


E)
M(x 1)
2(x 3)


Resolución:
Ubicación de incógnita
Se pide hallar lo que recibe el socio que
más se perjudica.
Análisis de los datos o gráficos
El más perjudicado es el socio A, pues
es el mayor de todos ellos.
Operación del problema
Dentro de 1 año:
A B C k
x 1 x 2 x 5
  
  
A B C A
(x 1) (x 2) (x 5) x 1
  
     
M A
3x 6 x 1

 
M(x 1)A
3(x 2)
 

Respuesta: A) 
M(x 1)
3(x 2)


Problema 3
De las magnitudes Z, W, X, se sabe que
Z es directamente proporcional a X2 y
W es inversamente proporcional a X2. Si
N = Z + W y X = 1 implica que N = 6;
X = 0,5, implica que N = 9. Determínese
N si X 2 .
C. Propiedades
Sean las magnitudes A, B, M y N.
I.
A DP B B IP A
M IP N N IP M


II.
K K
K K
A DP B A DPB
M IP N M IP N


 K Q
III.
1A DP B A IP
B
1M IP N M DP
N


Ejemplo:
Sean las magnitudes A, B, C, D y E.
• Elegimos "A" como magnitud referencial.
• Comparamos "A" con las demás magnitudes.
A DP B; cuando C, D y E son constantes.
A IP C; cuando B, D y E son constantes.
A IP D; cuando B, C y E son constantes.
A DP E; cuando B, C y D son constantes.
• Finalmente la relación será: A C D K
B E
constante
  
 
problemas resueltos
8UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
MAGNITUDES PROPORCIONALES
TEMA 3
Exigimos más!
UNI 2008 - II
A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
Resolución:
Ubicación de incógnita
Nos piden hallar N para X 2 .
Análisis de los datos o gráficos
Dado que Z DP X2, entonces 
2
Z a
X

2Z ax 
Dado que W IP X2, entonces WX2 = b
2
bW
x
 
Operación del problema
Además N = Z + W
Para X = 1: 6 = a + b
Para X = 
1
2 : 9 = 
a
4 + 4b
Resolviendo: a = 4, b = 2
Cuando X 2 , reemplazando:
 
 
2
2
2N 4 2 9
2
  
Respuesta: C) 9
9UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 4
APLICACIONES CON
MAGNITUDES PROPORCIONALES
ARITMÉTICA
I. REGLA DE TRES
A. Directa
La regla de tres directa es un procedimiento de
calculo que consiste en, dadas dos cantidades co-
rrespondientes a dos magnitudes directamente pro-
porcionales, calcular la cantidad de una de estas
magnitudes que corresponde a una determinada
cantidad de la otra magnitud.
a b a b
a ' xa ' x
 
 
 
La regla de tres directa se basa en el hecho de
que, cuando dos magnitudes son directamente
proporcionales, la razón de dos cantidades de una
de ellas es igual a la razón de las dos cantidades
correspondientes de la otra.
B. Inversa
La regla de tres inversa es un procedimiento de
cálculo que consiste en, dadas dos cantidades co-
rrespondientes a dos magnitudes inversamente pro-
porcionales, calcular la cantidad de una de estás
magnitudes que corresponde a una determinada
cantidad de la otra magnitud.
a b a x
a ' ba ' x
 
 
 
La regla de tres inversa se basa en el hecho de
que, cuando dos magnitudes son inversamente
proporcionales, la razón de dos cantidades de una
de ellas es igual a la razón inversa de dos cantida-
des correspondientes de la otra.
C. Compuesta
En la realidad, la relación de proporcionalidad no tie-
ne por qué afectar exclusivamente a dos magnitu-
des, sino que puede suceder que una magnitud esté
relacionada proporcionalmente con otras varias.
En este caso, los problemas se resuelven median-
te la aplicación de la denominada "regla de tres
compuesta".
La regla de tres compuesta es un procedimiento
de cálculo cuyo objeto es hallar una cantidad de
una determinada magnitud a partir del conocimiento
de otras cantidades correspondientes a magnitu-
des relacionadas con ella proporcionalmente.
La practica de la regla de tres compuesta consiste
en la aplicación simultanea de varias reglas de tres
simples que puedes ser directas o inversas.
II. REPARTO PROPORCIONAL
Este capítulo estudia la forma de repartir una cantidad
en forma directamente proporcional o inversamente
proporcional a ciertos valores llamados "índices" de
proporcionalidad.
A. Reparto simple directo
Se hace de tal manera que las partes resultantes
sean D.P. a los índices de proporcionalidad. Para
efectuar un reparto directo, se hace lo siguiente:
a) Se suman los índices.
b) Se divide la cantidad a repartir entre dicha su-
ma, siendo el cociente la "constante" de pro-
porcionalidad (K).
c) Los partes se obtienen multiplicando cada "índice"
por la constante de proporcionalidad (K).
Ejemplo:
DESARROLLO DEL TEMA
10UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
APLICACIONES CON MAGNITUDES PROPORCIONALES
TEMA 4
Exigimos más!
Paso 2: 25 K = 750
 K = 30
Paso 3: 6 x 30 = 180
 7 x 30 = 210
 12 x 30 = 360
Propiedad
Si a todos los índices de proporcionalidad se les
multiplica o divide por un mismo número entonces
el reparto no se altera.
Ejemplo:
En el reparto que se hizo a 750 en forma D.P. a 6,
7 y 12 se obtuvieron como resultado 180, 210 y
360… pero… ¿Qué pasaría si se reparte la misma
cantidad D.P. a 6 x 2, 7 x 2 y 12 x 2?
Veamos…
750 =
6 x 2 12 x 15 180 = =
7 x 2 14 x 15 210= =
12 x 2 =
D.P.
24
50k
x 15 360=
Son las
mismas
partes.
50k 750
 
=
k 15=
B. Reparto simple inverso
Se hace en forma I.P. a los índices para ello se
invierten los índices y luego se efectúan un reparto
directo, como ya se conoce.
Ejemplo:
Repartir 594 en forma I.P. a 2, 3, 6 y 10.
Luego:
15 x 18 = 270; 10 x 18 = 180; 5 x 18 = 90; 3 x 18 = 54
C. Reparto compuesto
En este caso se trata de repartir una cantidad en
forma D.P. a ciertos números y a la vez en forma
I.P. a otros. Se procede de la siguiente manera:
a) Se convierte la relación I.P. a D.P. (invirtiendo
los índices).
b) Se multiplican los índices de las dos relaciones D.P.
c) Se efectúan un reparto simple directo con los
nuevos índices.
Ejemplo:
Repartir 648 en forma D.P. a 4 y 6 y a la vez en
forma I.P. a 3 y 9.
Luego:
12 k = 12 x 36 = 432
6 k = 6 x 36 = 216
Problema 1
La magnitud A es D.P. B y a la vez I.P. C.
Cuando A es 15, B es 18 y C es 8,
determina el valor de C, cuando A es 10
y B es 9.
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
Resolución:
   
       
Valor de A Valor de C
K
Valor de B
15 8 10 x x 6
18 9

  
 el valor de C es 6.
Respuesta: C) 6
Problema 2
Una rueda "A" de 81 dientes engrana
con otra rueda "B" de 45 dientes. Si la
rueda "A" gira a razón de 10 RPM, ¿cuántas
vueltas dará la rueda "B" en 8 minutos?
A) 125 B) 185 C) 165
D) 132 E) 144
Resolución:
(#dientes)(#vueltas) = K
Entonces: (81)(10) = (45)(x)
  x = 18
  8(18) = 144
Respuesta: E) 144
Problema 3
El precio de un libro varía en forma
proporcional al número de hojas que po-
see e I.P. al número de ejemplares edita-
dos. Si un libro de 480 páginas, del cual
se han editado 1500 ejemplares, cuesta
S/. 32, ¿cuánto costará un libro de 300
hojas si se editan 500 ejemplares más?
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50
Resolución:
   
 
Precio # de ejemplares
# de hojas
     32 1500 x 2000
240 300

 x = 30
Respuesta: C) 30
problemas resueltos
11UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 5
TANTO POR CIENTO
ARITMÉTICA
I. REGLA DEL TANTO POR CUANTO
A. Concepto
Es un procedimiento aritmético que nos permite
determinar que "TANTO" (parte) representa una
cantidad con respecto a un todo "CUANTO".
Ejemplo:
En cierta panadería, por cada 20 panes que se
compra obsequian 3. Si compro 80 panes; ¿cuántos
me regalan?
Resolución:
Obsequian
3 por cada 20 < > el 3 por 20

En general:
aEl a por b de N : N
b
Tanto cuanto

 
Ejercicios
• El 4 por 7 de 63: ...................................
• El 3 por 4 de los 
2
5 de 720 .....................
B. Casos particulares del tanto por cuanto
• Tanto por ciento (%)
  a por ciento: aa%
100
 
• Tanto por mil o oo
  b por mil: b o oo b
1000
 
II. REGLA DEL TANTO POR CIENTO
La idea consiste en dividir una cantidad en 100 partes
iguales y luego tomar de ellas tantas partes como se
indique:
aa por ciento : a%
100
 
Ejemplos:
• 20 por ciento: 20% 20
100
 
• 150 por ciento: 150% 150
100
 
• 400 por ciento: 400% 400 4
100
  
Observación:
Tanto por Fracción
 ciento o entero
  
    
   
Ejemplo:
 El 20% de 300 es
2020% 300 300 60
100
  
   
En general
aEl a% de N: a% N N
100
 
Ejercicios
• El 40% de 7000: ________________________
______________________________________
• El 30% de 80: __________________________
______________________________________
• El 20% del 75% del 50% de 16 000: _________
______________________________________
DESARROLLO DEL TEMA
12UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
TANTO POR CIENTO
TEMA 5
Exigimos más!
A. Equivalencias
1. De tanto por ciento a fracción o entero
 10 110% Décima parte100 10  
 20 120% Quinta parte
100 5
  
 25 125% Cuarta parte100 4  
 50 150% La mitad100 2  
 100100% 1 Total
100
  
2. De fracción a tanto porciento
1 1 11 100% 25%
4 4 4
     
7 7 100% 35%
20 20
   
• ¿Qué tanto por ciento es 6 de 15?
___________________________________
___________________________________
• ¿De qué número, 36 es su 80%?
___________________________________
___________________________________
• En un aula hay 24 varones y 16 mujeres,
calcule:
a) ¿Qué tanto por ciento son los varones
del total?
b) ¿Qué tanto por ciento son las mujeres?
c) ¿Qué tanto por ciento son las mujeres
de los varones?
B. Operaciones con el tanto por ciento
Aplicados sobre una misma cantidad.
1. Adición
20% A + 30% A = ___________________
120% B + 45% B = ___________________
N + 30% N = ________________________
2. Sustracción
40% A – 10% A = _____________________
N – 25% N = _________________________
C. Aumentos y descuentos sucesivos
Si a una cantidad se le aumenta el 30% y luego de
la nueva cantidad se le disminuye su 20% entonces
se obtiene:
Luego: 130% N – 26% N = 104% N
Respuesta: 104% de la cantidad inicial.
Forma práctica
Cantidad inicial: "N"
Luego del aumento y descuento: + 30% – 20%
Queda: N × 130% × 80% = 104% N
Respuesta: 104%
Ejercicios
• Un artículo se ofrecía en una tienda en S/. P; si
el vendedor realiza dos descuentos sucesivos
del 20% y 10%. Calcule el descuento único
equivalente a estos dos descuentos sucesivos.
____________________________________
____________________________________
____________________________________
• Calcule el aumento único equivalente a tres
aumentos sucesivos del 50%, 20% y 25%.
____________________________________
____________________________________
____________________________________
D. Aplicaciones comerciales
Ejemplo:
El comerciante Alejandro Chumpitáz adquiere ins-
trumentos musicales al por mayor en una fábrica,
al verificar el costo de un solo saxofón sería $500;
él lleva a su tienda los instrumentos y ofrece el
saxo en $800, pero al momento de la venta realiza
un descuento del 25%. ¿Cuánto ganó dicho co-
merciante en la venta del saxo?
Resolución:
P =500C P =600V P =800F
compra vende ofrece
Ganancia Descuento
G=100 D=25% 800=200
Aumento o incremento:300
Respuesta: ganó $100
13UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 5
TANTO POR CIENTO
Exigimos más!
Problema 1
Un libro se ofrece en venta recargán-
dose el r por ciento del precio del cos-
to, pero a un estudiante al comprarlo
le rebajaron el p por ciento. Si el ven-
dedor no ganó ni perdió, ¿cuánto le
rebajaron al estudiante?
UNI 2010 - I
A)
100
(100 r)
B)
r 100
100 r

C)
(100 r)
r

D)  
1
10,01
r

E)  
1
10,01
r

Resolución:
Ubicación de incógnita
Cuánto le rebajaron al estudiante.
Análisis de los datos o gráficos
Se aumentó (r%) y luego le rebajaron
(p%), quedando al final:
Precio de 
costo
Precio de 
venta
=
S/. X
Operación del problema
Entonces: X = (1 + r%)(1 – p%)X
 1 = (1 + r%)(1 – p%)
Operando: 1p
10,01
r


Nota: La respuesta se asumirá por cada
100 unidades monetarias.
Respuesta: 1
10, 01
r

Problema 2
Para fijar el precio de venta de un artí-
culo se aumentó su costo en 30%.
Al venderse se hizo un descuento del
10% del precio fijado. ¿Qué tanto por
ciento del costo se ganó?
A) 15% B) 12%
C) 17% D) 20%
E) 7%
Resolución:
Sea el precio de costo: 100 K
Se observa: G = 17 K
Nos piden: 17K 100% 17%
100K

Respuesta: C) 17%
Problema 3
Una tienda vende un producto hacien-
do descuentos primero uno de 15% y
luego otro de 15%.
Se observa:
C V
F V
C F
P G P
P D P
P (incremento) P
 
 
 
PV: Precio de venta
PC: Precio de costo
PF: Precio fijado o precio de lista.
 Observaciones:
1. Cuando se mencionen gastos o impuestos.
Ejemplo:
Si en la aplicación planteada mencionaban gas-
tos de $30 por mantenimiento, entonces
 
P =500C P =600V P =800F
G =70Neta Gastos=30 D=200
G =100Bruta
La ganancia líquida sería de $70 y ya no $100.
Neta BrutaG (Gastos) G 
2. Cuando la ganancia, perdida o incremento se
expresen en tanto por ciento y no se men-
cione respecto de quien, se debe considerar
que es respecto del precio de costo.
3. Cuando el descuento se exprese en tanto por
ciento y no se mencione respecto de quien, se
debe considerar que es respecto del precio de
lista.
4. En casos de pérdida (PV < PC).
PV
Pérdida
PC
C VP – (Pérdida) P
problemas resueltos
14UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
TANTO POR CIENTO
TEMA 5
Exigimos más!
Una segunda tienda, que tiene el mis-
mo producto y al mismo precio de lista,
realiza un descuento del 30%. ¿Cuán-
to de descuento (en %) o de incre-
mento (en %) debe efectuar la segun-
da tienda para que en ambas tiendas el
producto tenga el mismo precio final?
La respuesta aproximada es:
UNI 2007 - I
A) Descuenta 3,2%
B) Incrementa 3,2%
C) Descuenta 6,4%
D) Incrementa 6,4%
E) Incrementa 5,2%
Resolución:
• Sea el precio del producto: P
1° Tienda:
2 descuentos suceviso del 15% y 15%
• 1F
289P 85% 85% P P
400
  
2° Tienda:
Un descuento único del 30%
•
2F
7 280P 70% P P P
10 400
  
Como: 
2 1F F
P P ; entonces debe incre-
mentarse en la 2.a tienda para que
ambas tiendas tengan el mismo precio
final.
• 2F
280P P
400

El incremento sería: 
1 2F F
9P P P
400
 
280P 9Px%
400 400
   
 
x% 3,2%
Respuesta: B) 3,2
15UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 6
REGLA DE INTERÉS I
ARITMÉTICA
I. DEFINICIÓN
Es un procedimiento aritmético que nos permite obtener
la ganancia (interés) generada a partir de cierta suma de
dinero bajo ciertas condiciones financieras o comerciales.
Ejemplo: David, luego de recibir su primer sueldo de $
500 acude a un banco a depositarlo, en dicho banco
le ofrecen devolverle $ 600 si deja su dinero por un
año, analizar e identificar los elementos que intervienen.
Resolución:
C : capital t: tiempo
r% : tasa de interés M: monto
I : interés
Se observa:
Se gana 
r% 20% anual
100 de 500 en un año

 
A continuación detallaremos con mayor precisión las
características de los elementos que intervienen en la
regla de interés.
II ELEMENTOS
A. Capital (C)
Es la suma de dinero o bien material que se va a
prestar, depositar o alquilar por determinado periodo
de tiempo.
B. Tiempo (t)
Es el periodo durante el cual se va a ceder o imponer
el capital.
C. Tasa de interés (r%)
Nos indica que tanto por ciento del capital se va a
generar al cabo de cierto periodo de tiempo ya
especificado.
Ejemplo:
20% anual significa que cada año
 se va a ganar el 20% del capital.
 
• Tasas equivalentes
2% mensual
4% bimestral
6% trimestral
x12 24% anual
x2
x3
D. Interés (I)
Es la ganancia, beneficio o utilidad que produce o
genera el capital al cabo de cierto tiempo y bajo
ciertas condiciones previamente establecidas.
E. Monto (M)
Es el acumulado del capital con el interés generado.
M C I 
Observación:
En este capítulo estudiaremos tres clases de interés:
Simple, compuesto y continuo.
III. INTERÉS SIMPLE
Es cuando el interés generado no se acumula al capital,
sino hasta el final del proceso de préstamo; es decir el
capital permanece constante durante todo el periodo
de imposición.
Se cumple: (Interés) DP (tiempo)
Ejemplo 1:
Andrea deposita S/. 1000 en un banco el cual le pagará
una tasa del 10% anual. Si ella retira su dinero al cabo
de 3 años, calcule el interés generado.
Respuesta: _______
Se cumple: I= C × r% × t M = C × (1 + r% × t)
r% y t en las mismas unidades.
DESARROLLO DEL TEMA
16UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
REGLA DE INTERÉS
TEMA 6
Exigimos más!
Personaje
Arnaldo
Bernaldo
Cernaldo
Dernaldo
Capital
beneficiado
1250
2130
4320
7450
12,50 - 1 =11,50
21,30 - 1 = 20,30
43,20 -1 = 42,20
74,50 - 1 = 73,50
Banco B r =1,5% Mant.:S/.1B
I - S/.1B
Comparando las columnas IA; IB – 1 se
escoge cuando: IA > IB – 1
Cumplen: Bernaldo, Cernaldo, Dernaldo.
 3 personas.
Respuesta: D) 3
Problema 2
El plazo (en meses) al que debe impo-
nerse un capital a una tasa de interés
del 10% bimestral, capitalizable cuatri-
mestralmente, para que se incremente
en un 72,8%, es:
UNI 2010- II
A) 3 B) 4
C) 6 D) 9
E) 12
Resolución:
Ubicación de incógnita
Piden: El plazo (en meses) al que debe
imponerse un capital.
Análisis de los datos o gráficos
• Tasa: 10% bimestral < > 20%
cuatrimestral.
• Capitalizable cuatrimestralmente.
• Monto = C + 72,8%C = 172,8%C
Operación del problema
Se cumple:
M = C ( 1 + r %)n
172,8%C = C (1 + 20%)n
1201728
1000

100
n
n 3
 
   
 
Problema 1
En la cuenta de ahorros del banco A
se remuneran los depósitos con 1,5%
de interés anual, libre de mantenimien-
to, pero no se remuneran los primeros
S/. 500 de la cuenta. El banco B paga
1% de interés y cobra S/. 1 por man-
tenimiento en el mismo periodo. Si
Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo y Dernaldo
tienen respectivamente S/. 1250, S/. 2130,
S/. 4320 y S/. 7450, ¿cuántos de ellos
deberían depositar su dinero en el ban-
co A para obtener mayor beneficio en
un año?
UNI 2011 - I
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
Resolución:
Ubicación de incógnita
N = cantidad de personas que les fa-
vorece depositar en el banco A.
Análisis de los datos o gráficos
Capitales:
Arnaldo (A): S/. 1250
Bernaldo (B): S/. 2130
Cernaldo (C): S/. 4320
Dernaldo (D): S/. 7450
Beneficios:
Banco A:
1,5% libre de mantenimiento, sin con-
siderar primeros S/. 500.
Banco B:
1% y cobra S/. 1 de mantenimiento.
Operación del problema
Sea el interés I.
I = C x r% x t
Personaje
Arnaldo
Bernaldo
Cernaldo
Dernaldo
Capital
depositado
1250
2130
4320
7450
Capital
beneficiado
750
1630
3820
6950
11,25
24,45
57,30
104,25
Banco A r =1,5%A
IA
Conclusión y respuesta
3periodos 3 4 12meses   
Respuesta: E) 12 meses
Problema 3
El monto de un capital durante 1 año
y 3 meses es S/. 2250 y durante 2
años y 9 meses es S/. 2790. Hallar la
tasa de interés anual.
A) 30% B) 40%
C) 60% D) 20%
E) 21%
Resolución:
Nos piden la tasa anual: x% anual
Sabemos: M C (1 r% t)   
 x%2250 C 1 15 ...( )12    
 x%2790 C 1 33 ...( )12    
Al dividir ( ) ( )  
x% 20%
Otra forma
Por proporciones:
I 540 I 450
15 18
  
C = 2250 – 450 = 1800
En los primeros 15 meses
I = C x r% x t
x%450 1800 15
12
  
x% 20%
Respuesta: D) 20% anual
problemas resueltos
17UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 7
REGLA DE INTERÉS II
ARITMÉTICA
I. INTERÉS COMPUESTO
Es cuando el interés generado en cierto periodo de
tiempo se acumula al capital anterior formando así un
nuevo capital, para el periodo siguiente y así suce-
sivamente.
Dichos periodos se denominan periodos de capitaliza-
ción. Cuando se aplique interés compuesto, el capital
no permanece constante pues se va incrementando
con cada capitalización.
Ejemplo 2:
Andrea deposita S/. 1000 en un banco el cual le pagará
una tasa del 10% anual, capitalizable anualmente.
Si ella retira su dinero al cabo de 3 años, calcule el
interés generado.
Respuesta: ________
Se cumple:
tM = C × (1 + r%)
II. INTERÉS CONTINUO
Es un caso particular del interés compuesto, en el cual
los periodos de capitalización se hacen cada vez más
pequeños que podría suponerse una capitalización
instantánea; es decir el número de periodos tiende a
infinito esto ocurre cuando el tiempo de capitalización
tiende a cero, por ello que el monto cuando se consi-
dere interés continuo se calcula como un límite.
  nt
n
r%M C L im 1
n
  
Luego se deduce que el monto con interés continuo
que se obtiene al depositar un capital de S/. C a una
tasa del r% y durante un tiempo t es:
r% x tM = C × e
Donde:
e  base de los logaritmos neperianos
r% y t en las mismas unidades.
t = 5 meses
M = ¿?
M = C X (1 + r% X t)
M = 7000 x (1 + 4% x 5)
M = 8400
Respuesta: A) S/. 8400
Problema 2
Calcule el interés procedente de im-
poner S/. 8000 al 20%, capitalizable
semestralmente durante 18 meses.
UNI
Nivel difícil
Problema 1
¿En cuánto se convertirán 7 mil soles
al 48% anual en 5 meses?
UNI
Nivel fácil
A) S/. 8400
B) S/. 9400
C) S/. 8000
D) S/. 9540
E) S/. 7890
Resolución:
C = 7000
r% = 48% anual 
12
 4% mensuales
A) S/. 3500 B) S/. 2748
C) S/. 2400 D) S/. 2648
E) S/. 2800
Resolución:
Mencionan "capitalizable semestralmen-
te" por lo cual identificamos que es una
pregunta de interés compuesto para
ello expresaremos la tasa y tiempo en
las unidades de la capitalización "semes-
tres".
C = 8000
r% = 20% anual < > 10% semestral
t = 18 meses <> 3 semestres
DESARROLLO DEL TEMA
problemas resueltos
18UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
REGLA DE INTERÉS II
TEMA 7
Exigimos más!
M = C x (1 + r%)t
M = 8000 (1 + 10%)3 = 10648
 
10648 8000
I M C    I 2648
Respuesta: D) S/. 2648
Problema 3
Al dividir un capital en tres partes, se
impone la primera al 3% bimestral, la
segunda al 12% semestral y la tercera
al 1% mensual. Se sabe que las tres
producen rentas anuales iguales y el
capital total es de S/. 26 000.
¿Cuánto es la mayor de las partes?
Resolución:
La renta nos indica el interés 
generado en un año.
Por condición:
A 3% 6 B 12% 2 C 1% 12       
18%A 24%B 12%C 
3A 4B 2C 
Al dividir entre 12
El mayor
C 6 2000 12000

  
Respuesta: S/. 12000
19UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 8
REGLA DE DESCUENTO I
ARITMÉTICA
I. ELEMENTOS
A. Letra de cambio o pagaré
Es un documento comercial, en el cual una persona
(deudor) se compromete a pagarle a otra persona
(acreedor) un dinero en una determinada fecha
(fecha de vencimiento).
B. Valor nominal (Vn)
Es la cantidad de dinero que está escrita y espe-
cificada en la letra de cambio; el deudor debe pagar
esta cantidad en la fecha de vencimiento.
C. Descuento (D)
Es la rebaja que se le hace a la letra de cambio,
cuando es pagado con anticipación a su vencimiento.
D. Valor actual (Va)
O llamado valor efectivo, es el valor que toma la
letra de cambio al momento de ser cancelado.
E. Tiempo de descuento (t)
Es el periodo desde el momento en que se cancela
la deuda hasta la fecha de vencimiento.
Esquema
Tenemos: Va Vn – D
Estudiaremos dos formas de hacer el calculo del
descuento.
II. CLASES DE DESCUENTO
A. Descuento comercial (Dc), externo o abusivo
Se calcula respecto al valor nominal.
Dc Vn.r%.t ... (I) acV Vn – Dc ... (II)
Vac: valor actual comercial
Al reemplazar (I) en (II):
cVa Vn(1 r%t) 
Ejemplo 1:
Félix tiene una deuda de S/. 1200, si decide cancelar
dicha deuda 5 meses antes de su vencimiento a
una tasa de descuento del 4% mensual.
Identifique los elementos que intervienen y calcule
el descuento comercial y cuanto se pagará por
dicha letra.
Resolución:
Vn = __________
t = ____________
r% = __________
Esquema
Dc = ___________ VaC = ___________
DESARROLLO DEL TEMA
20UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
REGLA DE DESCUENTO I
TEMA 8
Exigimos más!
B. Descuento racional (DR); interno o matemático
Se calcula respecto al valor actual (Va)
R R R RD Va .r%.t (I) Va Vn. – D (II)  
DR : Descuento racional
VaR : Valor actual racional
Observación:
De (I) y (II) se puede despejar el valor actual
racional respecto al valor nominal.
(I) : DR = VaR . r% . t
(II): VaR = Vn – DR
(I) en (II):
R RVa Vn – Va .r%.t 
 VaR.(1 + r%t) = Vn
n
R
V
Va
1 r%t
 

Ejemplo 2:
Si para el ejemplo 1, consideramos descuento racional,
calcule el descuento y cuánto se pagó por dicha letra.
Esquema
VaR = ____________ DR = _____________
III. PROPIEDADES
Relaciona los descuentos para una sola letra de cambio.
VnVac
Dc
r% y t
DR
VaR
Tenemos:
Dc = Vn . r% . t
DR = VaR . r% . t
Propiedad 1: R R cDc D Va Va  
Propiedad 2: R RDc – D D .r%.t
Propiedad 3:
R
R
Dc.D
Vn
Dc – D

Problema 1
Se firma una letra por $ 6000, si esta
letra se cancelara 5 meses antes de su
vencimiento al 4% mensual de des-
cuento, ¿cuánto sería su valor actual?
UNI
Nivel fácil
A) S/. 4400 B) S/. 3400
C) S/. 5000 D) S/. 4800
E) S/. 5020
Resolución:
Vn = 6000; t = 5 meses;
r% = 4% mensual
Se cumple:
Vac = Vn (1 - r% . t)
   
Vac = 6000(1 - 4%. 5)
Vac = 4800
Respuesta: D) S/. 4800
Problema 2
La diferencia entre el descuento co-
mercial y racional de una letra de 270dólares es de 3 dólares. ¿Cuál es el
descuento racional?
UNI
Nivel intermedio
A) 27 B) 30 C) 22
D) 25 E) 29
Resolución:
Datos:
C R
C RC R
Vn 270 D .D
Vn
D DD D 3
     
C RD .D270
3

DC . DR = 810
Evaluando: DC = 30 y DR = 27
 DR = 27
Respuesta: A) 27
Problema 3
Al calcular el vencimiento medio de "n"
letras cuyos valores nominales son pro-
porcionales a 1, 2, 3,… y cuyos venci-
mientos son 1, 3, 5,… meses respectiva-
mente, se obtiene un número entre 9 y
11 meses. ¿Cuál es el número de letras?
UNI
Nivel intermedio
A) 4 letras B) 6 letras
C) 8 letras D) 10 letras
E) 2 letras
Resolución:
Aplicando vencimiento común:
1k.1 2k.3 3k.5 ... nk.(2n 1)tv
1k 2k 3k ... nk
    
   
2 2 2 22(1 2 3 ... n ) (1 2 3 ... n)tv
1 2 3 ... n
        
   
n(n 1)(2n 1) n(n 1)2.
6 2tv
n(n 1)
2
  


2(2n 1)tv 1
3
 
Por dato: 9 tv 11 
 
2(2n 1)9 1 11
3
  
 7 < n < 8,5
 n = 8
Respuesta: C) 8 letras
problemas resueltos
21UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 9
REGLA DE DESCUENTO II
ARITMÉTICA
I. CAMBIO DE LETRAS
Es un procedimiento en el cual el deudor cambia una
forma de pago por otra, considerando que no se perjudi-
que el deudor ni el acreedor en el momento del inter-
cambio, se cumple:
Suma de valores Suma de valores
 actuales del actuales del 
 primer grupo segundo grupo
 de letras de letras
   
   
   
   
      
   
 1.er Grupo 2.o Grupo
 de letras de letras
 1Vn IVn
 2Vn IIVn
 3Vn
  
 1 2 3 I IIVa Va Va Va Va   
II. VENCIMIENTO COMÚN
Es un caso especial de cambio de letras con tres condiciones:
1. Se cambian varias letras por una sola letra (letra única).
2. La suma de valores nominales del grupo de letras
es igual al valor nominal de la letra única.
Vn1 + Vn2 + Vn3 = Vn
3. Todos los descuentos son comerciales y a la misma
tasa.
Esquema
1 1Vn t Letra única
2 2Vn t <> Vn tv=??
3 3 1 2 3Vn t Vn = Vn Vn Vn 
 r% para todas las letras
Por ser cambio de letras se cumple:
Va1 + Va2 + Va3 = Va
 Dc1 + Dc2 + Dc3 = Dc
Vn1.r%t1 + Vn2r%t2 + Vn3r% t3= Vn . r% tv
1 1 2 2 3 3
v
Vn .t +Vn .t +Vn .t
t
Vn 

Como Vn = Vn1 + Vn2 + Vn3
Tenemos:
Problema 1
Indique la alternativa correcta después
de determinar si cada proposición es verda-
dera (V) o falsa (F) según el orden dado:
I. La diferencia entre el descuento
comercial y el descuento racional
es igual al interés simple que gana
el descuento racional.
II. Valor actual de un descuento, es
igual al valor nominal más el des-
cuento.
III. Descuento es la rebaja que sufre
el valor nominal de una transacción
comercial, al ser efectiva, antes de
la fecha de vencimiento.
UNI 2012-II
A) VVV B) VVF
C) VFV D) VFF
E) FVF
Resolución:
Ubicación de incógnita
Dar el valor veritativo de las proposi-
ciones I, II y III.
DESARROLLO DEL TEMA
problemas resueltos
22UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
REGLA DE DESCUENTO II
TEMA 9
Exigimos más!
Operación del problema
I. Se sabe que:
DC = Vnr%t .....(1)
DR = VaR%t .....(2)
Hacemos (1) – (2):
DC – DR = Vnr%t – VaRr%t
DC – DR = (Vn – VaR)r%t
DC – DR = DRr%t (V)
II. Por definición: Va = Vn – D
La proposición dice: Va = Vn + D (F)
III. Considerando que en la transac-
ción comercial, el descuento se
aplica al documento, rebajándolo
del valor nominal, al hacerla efecti-
va antes de la fecha de vencimien-
to (V).
Resumen
I. V
II. F
III. V
Respuesta: C) VFV
Problema 2
Un empresario firma una letra por
S/. 48 000 a ser pagada en 8 meses al
7% de descuento anual. Luego de trans-
curridos 3 meses decide cancelar la
letra, pues debe viajar para radicar en
Australia. Calcule la diferencia entre la
cantidad que recibió y canceló el em-
presario en nuevos soles, sabiendo que
el acreedor cobra una comisión del
0,2% sobre el valor nominal, si se can-
cela al final.
UNI 2011-II
A) 740 B) 742
C) 744 D) 746
E) 748
Resolución:
Ubicación de incógnita
Análisis de los datos o gráficos
Operación del problema
– Aplicación de fórmula, teorema o
propiedad
 Va Vn x 1– R% x t
– Solución del problema
1
7 8Va 48000 1 – x 45760
100 12
   
 
2
7 5Va 48000 1 – x 46600
100 12
   
 
Conclusión y respuesta
Piden:  46600 – 45760 96 744 
Respuesta: C) 744
Problema 3
Un deudor tiene que pagar al banco
tres letras.
La primera de S/. 80 000 pagadera den-
tro de 30 días; la segunda de S/. 200 000
pagadera en 60 días y la tercera de
S/. 400 000 con un plazo de 90 días.
¿Dentro de qué tiempo (en días) debe
ser pagada una letra única cuyo valor
nominal sea la suma de los valores no-
minales de las tres letras? Suponga que
la tasa de interés es constante.
UNI 2010-I
A) 70 días B) 71 días
C) 72 días D) 73 días
E) 74 días
Resolución:
Ubicación de incógnita
Tiempo de letra Única (t).
Análisis de los datos o gráficos
Operación del problema
En vencimiento común, se cumple:
800 00x30 200000x60 400000x90t
680 000
t 74,11... 74 días (Aproximado)
 
  
Respuesta: E) 74 días
23UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 10
ESTADÍSTICA I
ARITMÉTICA
I. PARTES DE LA ESTADÍSTICA
A. Estadística descriptiva
Se encarga de recopilar, clasificar, analizar e inter-
pretar datos.
B. Estadística inferencial
Llamada también deductiva. Tiene por objetivo deducir
leyes de comportamiento de una población a partir
del estudio de una muestra.
II. CONCEPTOS DE TÉRMINOS USADOS
EN LA ESTADÍSTICA
A. Población
Conjunto de personas, elementos o unidades que pre-
sentan características comunes y observables, a ser
analizados o estudiados y de los cuales se desea informa-
ción, de acuerdo a un objetivo previamente establecido.
B. Muestra
Subconjunto de datos tomado dentro de la po-
blación y que van a ser seleccionados en forma ade-
cuada de tal manera que represente en forma ob-
jetiva a la población.
C. Variable
Es una característica de la población que interesa
al investigador ya que le servirá como un indicador
del objeto de estudio planteado y que puede tomar
diferentes valores.
Existen dos tipos:
• Variables cualitativas
• Variables cuantitativas
Ejemplo Nº1
En una posta médica de Lima se observa que en el
presente mes se han atendido un grupo de 1200
personas de las cuales hemos recopilado una muestra
de 20 edades, las cuales mostramos a continuación
y en base a esta información luego procederemos a
clasificarlos tomando como variable las mismas:
02; 09; 10; 12; 15; 17; 18; 20; 22; 25; 25; 26; 27;
27; 27; 32; 33; 34; 38; 42.
III. ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN ESTA-
DÍSTICA
A. Recopilación de datos
Los métodos más usados son los censos, encuestas
y entrevistas.
B. Organización de datos
Se organizan, clasifican y tabulan los datos de modo
que facilite su presentación y posterior interpretación.
C. Presentación de datos
La representación se realiza principalmente a través
de tablas o gráficos.
IV. ELEMENTOS DE UNA TABLA DE DIS-
TRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Para el ejemplo N° 1:
A. Alcance(A)
Intervalo cerrado en la cual se considera como límites
al menor y mayor de los datos.
Ejemplo: A: [02; 42]
límite inferior límite superior
DESARROLLO DEL TEMA
24UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
ESTADÍSTICA I
TEMA 10
Exigimos más!
B. Rango o recorrido (R)
Es la amplitud del alcance, se calcula como la dife-
rencia del mayor y menor de los datos.
Ejemplo: R = 42 – 2 = 40
C. Intervalo de clase (Ii)
Es una clasificación de los datos en subgrupos.
Ejemplo: Se podría tomar un intervalo I = [10: 20  ,
aquí estaran aquellas personas cuyas edades sean
mayores o iguales a 10 pero menores que 20.
D. Número de clases (K)
Es el número de categorías o intervalos en el que
se va a dividir la información.
Regla de Sturges:
 1 + 3,322log
 número de datos
K = n
n :
Ejemplo:
K = 1 + 3,322 Log 20 = 5,32
Si K = 5,32, se recomendaría tomar 5 intervalos o
un valor cercano que podría ser 4 ó 6.
E. Amplitud o ancho declase (W)
Es la diferencia entre el límite superior e inferior de
cada intervalo.
Ejemplo: En I2 = [10: 20 
W = 20 – 10 = 10
F. Marca de clase(Xi)
Es el punto medio de cada intervalo.
i
(Límite inferior) (Límite superior)
x
2


Ejemplo: En I2 = [10: 20 
 x2= 
10 + 20 =15
2
G. Frecuencia absoluta simple(fi)
Es el número de datos contenidos en un determi-
nado intervalo de clase. Se cumple:
1 2 3 kf f f ... f = n   
H. Frecuencia absoluta acumulada (Fi)
Es la acumulación ordenada de cada una de las fre-
cuencias absolutas simples.
I. Frecuencia relativa simple (hi)
Es el cociente de cada frecuencia absoluta entre
el número total de datos.
1
1 1 2 3 k
f
h = h + h + h +...+ h = 1
n
J. Frecuencia relativa acumulada (Hi)
Es la acumulación de frecuencias relativas.
"Por lo general las frecuencias la expresamos como
un tanto por ciento".
V. GRÁFICOS O DIAGRAMAS
A. Histograma
Son diagramas de barras o rectángulos, cuyas bases
representan los intervalos de clase y las alturas, las
frecuencias absolutas o relativas.
B. Diagrama escalonado
Las frecuencias absolutas o relativas pero acumu-
ladas.
25UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 10
Exigimos más!
ESTADÍSTICA I
Problema 1
Del gráfico:
Se afirma:
I. El porcentaje promedio de desapro-
bación por curso es 36%.
II. El porcentaje de aprobación del curso
D es el 60% del porcentaje de apro-
bación del curso B.
III. La tasa de desaprobación del curso
E es el 60% de la tasa de aprobación
en el curso C.
¿Cuáles de las afirmaciones son verda-
deras?
UNI 2009-II
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo I y III
Resolución:
I. El promedio de aprobación será:
60% 80% 50% 60% 70%MA
5
   
 320%5
 = 64%
Por lo cual el promedio de desapro-
bación será:
100% – 64% = 36% .. (Verdadera)
II. D  60% B  80%
"D" con respecto a "B" es:
60% 100% 75%
80%
  ......... (Falsa)
III. Desaprobación de E:
100% – 70% = 30%
Aprobación de C: 50%
Piden: 30% 100% 60%
50%
 
...(Verdadera)
 Son verdaderas I y III
Respuesta: E) I y III
Problema 2
Para cubrir el puesto de mecánico-elec-
tricista se recibieron solicitudes de 200
postulantes. En el cuadro siguiente se
presenta la distribución de los pos-
tulantes según experiencia laboral en
el área:
Entonces la experiencia laboral mínima
para el 90% de los postulantes es:
UNI 2008 - II
A) 7,4 años
B) 8,4 años
C) 10,4 años
D) 12,4 años
E) 14,4 años
C. Gráfico Circular
Llamado también de sectores o del Pastel. Se utiliza
para comparar las partes con el total.
Si de las 20 personas que se atendieron en la posta
4 se atienden en dental, 3 en pediatría, 8 en tópico
y los 5 restantes en medicina general.
N° de personas <> ángulo <>%
20 360° 100%
1 18° 5%
3 34° 15%
problemas resueltos
26UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
ESTADÍSTICA I
TEMA 10
Exigimos más!
Resolución:
Piden: x, analizando el último intervalo:
35% 25% a 1,4
2 a
   
x = 13 + a
 x = 14,4 años
Respuesta: E) 14,4 años
Problema 3
La tabla siguiente presenta la distribución
de los trabajadores de una empresa
según el tiempo de servicio en años.
El tiempo de servicio para el 25% de los
trabajadores es:
UNI 2005 - I
A) 5,55 años
B) 6,35 años
C) 7,10 años
D) 14,82 años
E) 15,30 años
Resolución:
Pide: 25% (75) = 18,75
Se observa que en el intervalo [2 5) se
tiene 12 de frecuencia.
En el siguiente intervalo: [5 8) estará
lo restante: 18,75 – 12 = 6,75
Luego: ancho de clase: 3
3 15 x 1, 35
x 6, 75
  
Luego:
5 + 1,35 = 6,35
 
Respuesta: B) 6,35 años
27UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 11
ESTADÍSTICA II
ARITMÉTICA
I. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
(PARTE I)
Cuando se estudia el tema de promedios se indicó que
era un valor representativo de un conjunto de datos,
en esta primera parte en medidas de tendencia cen-
tral, estudiaremos algunos de los promedios para da-
tos no clasificados y clasificados.
A. Para datos no clasificados
Sea un grupo de "n" datos: a1, a2, a3,...an
1. Media aritmética  MA, X
1 2 3 na + a + a +...+ aX
n

2. Media geométrica  GMG,X
nG 1 2 3 nX = a × a × a ×...a
3. Media armónica H(MH, X )
nX =H 1 1 1 1+ + +...+
a a a an1 2 3
Ejemplo:
Sean números 6; 3 y 12.
6 +3+12MA = = 7
3
3MG = 6×3×12 = 6
3 36MH = = 5,14
1 1 1 7+ +
6 3 12

Se observa:
(menor dato) MH MG MA    (mayor dato)
B. Para datos clasificados
Se tiene una tabla de distribución de frecuencias.
1. Media aritmética  MA,X
x × fi iX = = x ×hi in


1 1 2 2 3 3 4 4 5 5x f + x f + x f + x f + x fX =
n
2. Media geométrica G(MG, X )
fn iX = XG i
3 51 2 4f ff f fnG 1 4 52 3X = X × X × X × X × X
DESARROLLO DEL TEMA
28UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
ESTADÍSTICA II
TEMA 11
Exigimos más!
3. Media armónica  HMH, X
i
i
n
f
X =H x
 31 2 4
5
n
ff f f
+ + +
x x x x1 2 3
II. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
A. Media aritmética ( MA , x )
Llamada también media o promedio aritmético.
B. Mediana (Me; Xm)
Es aquel valor que separa en 2 grupos de igual cantidad
de datos.
1. Para datos no clasificados
Se ordena los datos en forma creciente y luego:
Si la cantidad de datos es impar, la mediana será el
termino central. Si la cantidad de datos es par, la
mediana será el promedio de los dos datos centrales.
2. Para datos clasificados
Se emplea la siguiente relación:
me 1
me
me
n F
2Me L xW
f

  
  
C. Moda (Mo)
Es el valor que se presenta con mayor frecuencia
en un grupo de datos.
1. Para datos no clasificados
Se considera al valor mas repetitivo, que puede
ser uno o mas valores.
2. Para datos clasificados
Se emplea la siguiente relación:
1
mo
1 2
d
Mo L x W
d d
 

III. MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Las medidas de dispersión consisten en obtener medidas
(valores) referenciales de un grupo de datos, que nos
permitan medir que tan dispersos o alejados estan los
datos con respecto a este valor de referencia.
A. Para datos no clasificados
Sean un grupo de "n" datos:
1 2 3 na , a , a ,..., a
1. Varianza 2 2(s ó )
 
n
2
i
2i 1
n 2 x
i 2 x2 i 1 n
x x
S S
n
 



2. Desviación estandar (S ó  )
 
nn 2 2
ii
2i 1i 1
xx x
S xS nn


 

B. Para datos clasificados
Se tiene una tabla de distribución de frecuencias.
Calculamos la media (X).
Luego:
1. Varianza  2 2S ó 
 n n2 2i i i i 22 2i 1 i 1
x x f x f
S S x
n n
 
  
  
 
2. Desviación estandar (S ó  )
 
 n n2 2i i i i 2i 1 i 1
x x f x f
S S x
n n
 
  
  
 
29UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 11
Exigimos más!
ESTADÍSTICA II
Problema 1
Indique la alternativa correcta después de
determinar si cada proposición es verdadera
(V) o falsa (F) según el orden dado:
I. La frecuencia relativa es el cociente
entre la frecuencia acumulada del
i–ésimo intervalo y el número total
de datos.
II. La mediana de un conjunto de n
datos, es el valor que más veces
se repite.
III. Si {18, 19, 16, 17, 14} son los
datos que representan las notas
de un examen, entonces la des-
viación estándar es mayor que 1,7.
UNI 2012-II
A) VVV
B) VVF
C) FVV
D) FFV
E) FFF
Resolución:
I. Falsa
Porque la frecuencia relativa de un
intervalo es el cociente entre la
frecuencia absoluta simple del i-
ésimo intervalo y el número total
de datos.
 ii
f
h
n
II. Falsa
Porque la mediana de un conjun-
to de n datos es el valor que divi-
de al conjunto de datos, previa-
mente ordenados, en dos partes
iguales.
III. Verdadera
Porque 
y tenemos
    18 19 16 17 14x 16,8
5
    
2 2 2 2 2 218 19 16 17 14 – (16,8)
5
  2,96 1,72046
Donde   1, 7
Respuesta: D) FFV
Problema 2
El gráfico de barras representa los
montos de inversión extranjera en
millones de dólares en los últimos 4
años. De la información del gráfico se
puede afirmar:
I. El porcentaje de crecimiento anual
de la inversión en millones de
dólares ha ido disminiyendo.
II. La inversión en millones de dólares
ha crecido en un porcentaje
constante.
III. La inversión en el último año ha
sido más del 100% de la inversión
enel 1er año.
Indique la alternativa que corresponde
a la verdad o falsedad de las
afirmaciones.
UNI 2011-II
A) VVV
B) VVF
C) VFF
D) VFV
E) FFV
Resolución:
A partir del gráfico, tenemos
I. Verdadero
El porcentaje de crecimiento anual
de la inversión en millones de
dólares ha ido disminuyendo.
Respecto a lo anterior, se tiene lo
siguiente:
II. Falso
La inversión en millones de dólares
ha crecido en un porcentaje
constante.
III. Verdadero
La inversión en el último año ha
sido más del 100% de la inversión
en el 1.er año.
Respuesta: D) VFV
Problema 3
La tabla muestra los valores y
frecuencias de las notas de los alumnos
de Álgebra. Con la información
mostrada se puede afirmar:
I. La media es menor que la mediana.
II. La moda es mayor que la mediana.
III. La media es mayor a 13.
problemas resueltos
30UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
ESTADÍSTICA II
TEMA 11
Exigimos más!
UNI 2011-II
A) VVV
B) VVF
C) VFF
D) FFF
E) FFV
Resolución:
Recuerda que: 



i i
i
f x
Media
f
Donde:
fi: frecuencia
xi : valor
Mediana: valor que ocupa el lugar
central cuando todos los valores están
ordenados.
Moda: valor cuya frecuencia es la mayor
de todas.
De la tabla, hallaremos la media ( x ), la
mediana (Me) y la moda (Mo) de las notas.
            2 5 5 8 8 10 15 12 15 14 25 16 5 18x
75
x 13, 47
Me = 14 (de los 75 valores, la mediana
es aquel valor que ocupa el lugar 38,
el cual corresponde a la nota 14).
Mo = 16 (es el valor cuya frecuencia es
25, la mayor de todas las frecuencias).
I. Verdadero
La media es menor que la mediana
porque x = 13,47 < Me = 14
II. Verdadero
La moda es mayor que la mediana
porque Mo = 16 > Me = 14
III. Verdadero
La media es mayor a 13 porque
x = 13,47
En consecuencia, las tres proposiciones
son verdaderas.
Respuesta: A) VVV
31UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 12
REGLA DE MEZCLA I
ARITMÉTICA
I. MEZCLA
Es la unión de dos o más sustancias en cantidades arbi-
trarias, conservando cada una de ellas su propia natu-
raleza (peso, volumen, densidad, etc).
Las mezclas se realizan generalmente con fines comer-
ciales o para alterar la calidad de algunas sustancias.
Ejemplos:
• La gasolina es una mezcla de hidrocarburos.
• Las joyas son la unión de metales preciosos con otros
componentes que permitiran aumentar su durabi-
lidad, pero en algunos casos disminuyen su calidad y
costo (unión de metales "aleación").
• En las bebidas alcohólicas debería verificarse su grado
alcohólico antes de ingerirse pues hasta cierto grado
alcohólico son permisibles para el consumo humano,
si sobrepasan este grado podrían resultar dañinas.
II. PRECIO MEDIO (PM)
Es el precio de costo por unidad de mezcla, a dicho
precio se le conoce también como "precio de equilibrio"
pues no genera ni ganancia ni pérdida.
Ejemplo:
Un comerciante dispone de 3 bolsas que contienen
cebada, con fines comerciales va a realizar una mezcla
de las mismas de la siguiente manera:
Luego de mezclarlas, con respecto a los 50 kg de mezcla
obtenida, calcule:
A) El precio de costo por kg (precio medio).
B) El precio al cual debería venderse el kg de mezcla
para obtener una ganancia del 20%.
Resolución:
A)
Costo total (S/.): 5×6+25×12+20×16 = 650
Cantidad total (kg): 5+25 + 20 = 50
 m
(costo total)P
(cantidad total)

m
650P 13 Pm S /13
50
   
Respuesta: S/. 13
Nota: Si los 50 kg de mezcla se venden a Pm = S/. 13
el kg, no se genera ni ganancia ni pérdida; pues se ob-
tendría la misma cantidad de dinero, si se vende cada
ingrediente por separado.
B) Se considera:
 
Precio
medio
Precio
costo<>
Nota:
El precio medio se obtiene como un promedio pon-
derado, es por ello que debe estar comprendido entre
el menor y mayor precio.
 
DESARROLLO DEL TEMA
32UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
REGLA DE MEZCLA II
TEMA 12
Exigimos más!
Luego:
Pv = 13 + 20% 13 = 15,6
Respuesta: S/ 15,6
Observaciones:
I) Debido a que el precio medio no genera ni ganancia
ni pérdida, debe cumplirse:
 Ganancia
aparente
Pérdida
aparente
=
En el ejemplo:
 G. A. = P. A
7(5) + 1(25) = 3(20)
 60 = 60
II) En general, si mezclamos "n" ingredientes cuyas
cantidades y precios son:
 C + C + C + ... + C Cantidad total
P P P P P
1 2 3 n
1 2 3 n m

P es el precio ponderado de los 
 precios unitarios
m
m
(Costo total)
P
(Cantidad total)
=
1 1 2 2 3 3 n n
m
1 2 3 n
C P C P C P ... C P
P
C C C ... C
+ + + +=
+ + +
III. MEZCLA ALCOHÓLICA
Es un caso particular de una mezcla, donde las com-
ponentes son alcohol puro y agua.
Se considera:
Grado o pureza de un alcohol (G°)
El grado alcohólico o pureza nos indica que tanto por
ciento de una mezcla alcohólica es el alcohol puro.
Ejemplo:
I) Se mezclan 12 litros de alcohol puro con 18 litros
de agua. Calcule el grado de pureza de la mezcla.
Resolución:
 
Respuesta: 40°
En general
En una mezcla alcohólica:
Volumen de 
alcohol puro
G x100
Volumen total
 de la mezcla
 
 
   
 
 
 
II) Se tienen 80 litros de un alcohol de 70°, entonces:
Volumen de alcohol puro  70% 80 = 56
Volumen de agua  30% 80 = 24
Ejemplo:
Se mezclan 20 litros de un alcohol de 70° con 30
litros de otro alcohol de 80°. Calcule el grado alco-
hólico de la mezcla resultante:
Resolución:
 
 m
70 20 80 30G 76
20 30
      

33UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 12
Exigimos más!
REGLA DE MEZCLA II
 Observaciones:
I) Se mezclan "n" alcoholes cuyos volúmenes.
V1 V2 V3 Vn+ + +...+
G 2G 1 G 3 G n G m
1 1 2 2 3 3 n n
m
1 2 3 3
G V G V G V ... G V
G
V V V ... V
   

  
Se cumple:
Ganancia
aparente
Pérdida
aparente
=
Además:
Gm
menor
grado
mayor
grado
II) En el ejercicio anterior:
 
G.A. = P. A.
6° × 20 = 4° × 30
 120° = 120°
III) Cuando se mencione alcohol puro o agua sola:
alcohol
puro
100º < > 100%
(agua) 0º < > 0%
Problema 1
Se mezclan dos clases de café en la
proporción de 1 a 2 y la mezcla se ven-
de con un 5% de beneficio. Después
se mezclan en proporción de 2 a 1 y
se vende la mezcla con 10% de bene-
ficio. El precio de venta es igual en
ambos casos. Determine la relación de
los precios de las clases de café.
UNI
Nivel fácil
A)
18
23
B)
20
23
C)
26
20
D)
20
26
E)
12
23
Resolución:
   a 2b 2a b105% 110%3 3 
a 20
b 23

Respuesta: B) 2023
Problema 2
Una aleación con un peso de 4 kg se
funde con 5 kg de plata pura y resulta 0,9
de ley. ¿Cuál es la ley de aleación primitiva?
UNI
Nivel intermedio
A) 0,774
B) 0,775
C) 0,777
D) 0,778
E) 0,779
Resolución:
m
4L 5.1L 0,9
4 5
 

L = 0,775
Respuesta: B) 0,775
Problema 3
¿Cuál es la ley obtenida al fundir 20
gramos de oro de 18 kilates, 20 gramos
de oro de 800 milésimos, 30 gramos de
oro de 6 décimas y 30 gramos de cobre?
UNI
Nivel difícil
problemas resueltos
34UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
REGLA DE MEZCLA II
TEMA 12
Exigimos más!
A) 12,78 K
B) 10,75 K
C) 17,90 K
D) 11,76 K
E) 11,80 K
Resolución:
Recordar: cuando el oro es el metal fino.
(Peso oro puro) (N kilates)Ley
(Peso total) 24
 
Luego:
20 g 20 g 30 g 30 g
Leyes: 18
24
=0,75 0,800 0,6 0
+ + + =
Cobre
Lm
m
20 0,75 20 0,800 30 0,6 30 0L
20 20 30 30
  
  
   
m
(N kilates)L 0, 49
24
 
(N° kilates) = 11,76 k
Respuesta: D) 11,76 k
35UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 13
REGLA DE MEZCLA II
ARITMÉTICA
ALEACIÓN
Es la mezcla de dos o más metales mediante el proceso de
fundición (proceso en el cual se unen los metales ya sea en
estado líquido o gaseoso); por convención en los metales
se considerará:
Ley o pureza de una aleación
En una aleación la ley nos indica que parte, fracción o
porcentaje representa el metal fino en dicha aleación.
Ley =
 
(Peso metal fino)
(Peso total de la aleación)
Ejemplo:
Se funden 12 gramos de plata con 8 gramos de zinc. Calcule
la ley de la aleación resultante.
Resolución:
Nota: El metal ordinariodetermina la liga en una aleación,
nos mide la "impureza".
En el ejemplo anterior:
8Liga 0,40 40%
20
   
Observaciones
I) Se funden "n" lingotes, cada uno con su respectiva ley:
1 1 2 2 3 3 n n
m
1 2 3 n
W L W L W L ... W L
L
W W W ... W
   

   
Se cumple:
Ganancia
aparente
Pérdida
aparente=
Además:
Lm
mayor
 ley
 menor
 ley
 Ley + Liga = 1 
II) En los casos en que se mencione metal fino u ordinario
puros:
metal
 fino
Ley = 1 ó 100% de pureza 
metal
 ordinario
Ley = 0 ó 0 % de pureza
DESARROLLO DEL TEMA
36UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
REGLA DE MEZCLA II
TEMA 13
Exigimos más!
Ejemplo:
Si se tiene un lingote cuya composición es 15 gramos de
oro y 5 gramos de cobre. ¿De cuántos kilates es dicho lingote?
Resolución:
 
 
N kilates15Ley
20 24
 (N° kilates) = 18
Respuesta: 18 k
37UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 14
NUMERACIÓN
ARITMÉTICA
El número surge con la necesidad del hombre de expresar o
asociar una cantidad a los objetos o elementos que lo rodean.
Por ejemplo, la ciencia a comprobado con sus descubrimientos
de vestigios prehistóricos, dibujos en piedra con marcas y
símbolos que reflejan una forma de conteo, es decir el hom-
bre prehistórico ya tenía una noción de cantidad. Durante el
transcurso de la historia, las culturas, imperios o naciones se
han caracterizado por su particularidad en el estudio y repre-
sentación de los números, tanto como su aplicación en las
matemáticas, que permitieron en gran medida su avance
tecnológico, científico, militar, económico; como han sido la
cultura romana, egipcia, china, árabe, etc.
En nuestro caso desde que somos niños nos enseñan en
los colegios a escribir y pronunciar correctamente las letras
(palabras) y los números (numerales), y muchas veces nos
hemos preguntado ¿para qué?; por ejemplo, elegimos un
alumno del aula y le hacemos las siguientes preguntas:
• Nombre
• Edad
• Peso
• Estatura
• Dirección de domicilio
• Teléfono
Ahora analizamos, ¿cuántos números habrá utilizado en sus
respuestas?
A. Número
Es un ente matemático que nos da la idea de cantidad.
Sirve para cuantificar los elementos de la naturaleza.
B. Numeral
Es la representación gráfica de un número.
Ejemplo: XII, 347, .......
C. Cifras
Es un símbolo que se utiliza para representar un número.
Cifras: 
cifras significativas
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Analicemos el siguiente diagrama, un niño observa un
árbol con catorce manzanas.
• La idea en su mente es el número.
• Si él coge una piedra y realiza marcas sobre la tierra
indicando el número de manzanas que observa:
Representación: IIII IIII IIII, XIV, 14, ...
Se pueden utilizar
 una o más cifras
 (Numeral)
Observación:
Vemos la diferencia entre número (idea) y numeral
(representación) pero es frecuente que en diversos
libros o exámenes de admisión lo consideren lo mismo,
por lo cual los estudiaremos en forma indistinta.
I. SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN
Es un conjunto de principios que rigen la correcta re-
presentación y escritura de los numerales. Básicamen-
te son dos los principios que necesitamos conocer.
A. Principio del orden
"Toda cifra en un numeral ocupa un lugar y posee
un respectivo orden".
Ejemplo:
 
DESARROLLO DEL TEMA
38UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
NUMERACIÓN
TEMA 14
Exigimos más!
B. Principio de la base
Todo sistema posicional de numeración tiene una
determinada base, la cual es un número entero
que indica cuantas unidades de cierto orden son nece-
sarias para formar una unidad en el orden inme-
diato superior.
En forma práctica indica de cuanto en cuanto se
están agrupando las unidades simples.
En base 10: diez unidades de un determinado orden
formarán una unidad del orden siguiente (superior).
Ejemplo:
En el gráfico inicial, si el niño observa catorce manzanas,
vamos a representarlas cada una por una bolita y luego
por agrupación expresaremos en las bases diez, ocho,
cinco y tres.
 
Conclusiones
•  2 Base
•    0 Cifra Base 
• Cifras usadas en base n:
 cifra 
máxima
0, 1, 2, 3, ..., (n - 2), (n 1)
C. Cambio de base
1. De base 10 a otra base n ( n ≠ 10 )
Ejemplos:
• Pasando 25 a la base 7
• Pasando 25 a la base 4
• Pasando 153 a la base 6
2. De base m a base 10 ( m ≠ 10 )
Ejemplos:
6738 = 6000 + 700 + 30 + 8
6738 = 6 x 103 + 7 x 102 + 3 x 101 + 8
4527 = 4 x 7
2 + 5 x 71 + 2 = 333
24135 = 2 x 5
3 + 4 x 52 + 1 x 51 + 3 = 358
2001003 = 2 x 3
5 + 1 x 32 = 495
300004 = 3 x 4
4 = 768
3. De base m a base n ( m ≠ 10 ∧ n ≠ 10)
Ejemplo:
Expresar 24135 en la base 8.
D. Algunos sistemas de numeración
Base Nombre Cifras 
2 Binario 0; 1 
3 Ternario 0; 1; 2 
4 Cuaternario 0; 1; 2; 3 
5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4 
6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5 
7 Heptanario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 
8 Octanario 0; 1; 2; 3; 4; ....; 7 
9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; .....; 8 
10 Decimal 0; 1; 2; 3; 4; .....; 9 
11 Undecimal 0; 1; 2; 3; ......; (10) 
12 Duodecimal 0; 1; 2; 3; ..... ; (11) 
 
II. REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN
NUMERAL
Cuando se desea denotar a un numeral en forma ge-
neral, conociendo alguna información sobre él (ya sea
con respecto a las cifras o a la base), se pueden em-
plear letras que representen a las cifras.
39UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 14
Exigimos más!
NUMERACIÓN
Ejemplos:
• ab representa a un numeral de 2 cifras, por ejem-
plo: 10; 11; 12; 13; ...; 99.
• a25 puede estar representando a: 125; 225; 325;
425; ...; 925
• Numeral de 3 cifras consecutivas crecientes:
a(a 1)(a 2) 
123, 234, 345, 456, 567, 678, 789
• 2a5(a ) = 151; 254; 359.
•
6
3m(m 2) = 3026; 3136; 3246; 3356
•
7
4(m 1)(m 3)  =4407; 4517; 4627
Numeral capicúa
Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes, del
centro del numeral, son iguales.
En general: abcdcban
=
=
=
Ejemplos:
4774; 2528; 19491
7
aba; abba;
mnppnm ; somos
III. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
k 1 k 2 k 3
n
k cifras
abc .. pq an bn cn ... pn q       
Ejemplos:
nabcd = a × n
3 + b × n2 + c × n + d
4aaa = a × 4
2 + a × 4 + a = 21a
5abba = a×5
3 + b×52 + b×5 + a = 126a + 30b
5a03a = a × 5
3 + 3×5 + a = 126a + 15
A. Descomposición polinómica por bloques
n n n
n n n
n n n
n n n
n n n
3
3
4 2
2
3 2
abcde ab n cde
 abcde ab n cd n e
 abcde a n bc n de
 abcde abc n de
 abcde ab n c n de
  
    
    
  
    
Ejemplos:
4758 = 4700 + 58
2abab ab 10 ab 101 ab    
4 4 4 4
3abcabc abc 4 abc 65 abc    
6 6 6 6
3ab0ab ab 6 ab 217 ab    
5 5 55
2ab32 ab 5 32 25 ab 17     
IV. PROPIEDADES
A. Bases sucesivas
 1c 1d 1e K
1b 
1a K e d c b a     
Ejemplos:
1412
147
15  7 + 4 + 2 + 4 + 5 = 22
141213
14129
32 = 32(9+2+4+3+2+4)
 = 3224 = 3 × 24 + 2 = 74
1213
1(n 1)n
11


 = n(n 1)1 2 3 ... n
2
    
B. Numeral de cifras máximas
K
n
k cifras
(n 1)(n 1)(n 1).....(n 1) n 1     
Ejemplos:
Base 10 Base 6
9 = 10 - 1 5 = 6 - 1
99 = 102 - 1 556 = 6
2 - 1
999 = 103 - 1 5556 = 6
3 - 1
9999 = 104 - 1 55556 = 6
4 - 1
Base 8 Base 4
7 = 8 - 1 3 = 4 - 1
778 = 8
2 - 1 334 = 4
2 - 1
7778 = 8
3 - 1 3334 = 4
3 - 1
77778 = 8
4 - 1 33334 = 4
4 - 1
C. Intervalo de un numeral
k 1 k
n
"k" cifras
n abc...de n  
40UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
NUMERACIÓN
TEMA 14
Exigimos más!
Ejemplos:
2 310 abc 10 
7
3 47 abcd 7 
3
5 63 abcdef 3 
¿Cuántos numerales de tres cifras hay en base 8?
V. CAMBIO DE BASE ESPECIAL
A. De base n a base nk
Se forman bloques de k en k cifras de derecha a
izquierda, luego cada bloque se descompone polinó-
micamente y el valor que resulte será una cifra en la
base nk.
2n n n n
3n n
(n )
(n )
ab cd ef
abc def


a b c d e f
na b c d e f
Ejemplos:
2122113 = (213) (223) (113)9
= (2×3+1)(2×3+2)(1×3+1)9
= 7849
121123 = 1(213)(123)9
= 1(2×3+1)(1×3+2)9
= 1759
2122113 = (2123)(2113)27
= (2×32 + 1×3 + 2) (2×32 + 1×3 + 1)27
= (23)(22)27
B. De base nk a base n
Cadacifra de la base nk se lleva por divisiones suce-
sivas la base "n" y cada una nos dará "k" cifras en la
base n; a excepción de la primera cifra que podría
generar menor número de cifras.
Ejemplo:
Expresar 7849 en base 3.
Problema 1
¿En cuántos sistemas de numeración el
número 1234 se escribe con tres cifras?
UNI 2010-I
Nivel fácil
A) 23 B) 24 C) 25
D) 26 E) 27
Resolución:
Ubicación de incógnita
Halle los valores de la base (n)
Análisis de los datos o gráficos
n1234 abc
Operación del problema (Propiedad)
2 3
nn abc n  ; 2 3n 1234 n 
Desarrollando la desigualdad:
3 1234 n 1234 
10,... n 35,... 
25 valores
n {11, 12, 13, ..., 35} 
Respuesta: C) 25
Problema 2
Sabiendo que: (6)a00a bc1,0 es el cero,
a 0 , determine la suma (a + b +c)
 UNI 2008-II
Nivel intermedio
A) 12 B) 13
C) 14 D) 15
E) 16
Resolución:
Ubicación de incógnita:
a + b + c
Operación del problema
(6)aooa bc1
Por descomposición polinómica y redu-
ciendo: 217a bc1
Conclusiones
Por terminación, se observa que a = 3
 217 × 3 = 651 = bc1
 a = 3, b = 6, c = 5
 a + b + c = 14
Respuesta: C) 14
Problema 3
De la igualdad (7) (n)a2b a51 calcule el
valor de: a + b + n.
UNI 2006–I
Nivel difícil
A) 11 B) 12
C) 13 D) 14
E) 15
Resolución:
* (7) (n)a2b a51
 
 

• Por Desigualdad aparente:
7 n 5 n 6   
* Ahora: (7) (6)a2b a51
• 2 2a x 7 2 x 7 b a x 6 5 x 6 1    
 
13 a b 17
1 4
 
 
a b n 1 4 6 11      
Respuesta: A) 11
problemas resueltos
41UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 15
TÉCNICAS DE CONTEO
ARITMÉTICA
En este capítulo desarrollaremos métodos para realizar un
conteo rápido y poder conocer de cuántas maneras puede
ocurrir un acontecimiento; por ejemplo.
• ¿Cuántas jugadas se pueden hacer en la TINKA?
• ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 2
personas en una carpeta de 4 asientos?
I. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL
CONTEO
Son dos principios básicos para el conteo:
A. Principio de Adición
Si un determinado suceso A ocurre de “m” mane-
ras diferentes y un suceso B ocurre de “n” maneras
diferentes entonces, el suceso “A o B” (en sentido
excluyente) se podrá realizar de “m + n” maneras
diferentes.
Aplicación 1:
En un centro comercial se desea comprar una ca-
misa, esta prenda se vende en:
• 13 tiendas del 1.er nivel
• 15 tiendas del 2.o nivel
¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir
una tienda para hacer esta compra?
Rpta.: ________________
Aplicación 2:
Mario para viajar de Lima a Chiclayo dispone de 11
líneas de transporte terrestre y 5 de transporte
aéreo.
¿De cuántas maneras diferentes puede elegir el
medio de transporte?
Rpta.: ________________
Aplicación 3:
De cuántas maneras diferentes puede ir de A a B
sin retroceder ni repartir ningún tramo.
Rpta.: ________________
B. Principio de Multiplicación
Si un determinado suceso A ocurre de “m” mane-
ras diferentes y por cada uno de estos el suceso B
ocurre de “n” maneras diferentes, entonces los
sucesos “A” seguido de “B”, o “A” y “B” simultánea-
mente ocurre de “m x n” maneras diferentes.
Aplicación 4:
Se desea enviar una pareja mixta de nadadores a
las olimpiadas y se dispone de 8 varones y 15 da-
mas. ¿Cuántas parejas diferentes se podrán for-
mar?
Rpta.: ________________
Aplicación 5:
Se tienen 3 cajas vacías, de cuántas maneras dife-
rentes se pueden distribuir 4 conejos en dichas
cajas.
Rpta.: ________________
Aplicación 6:
¿Cuántos resultados diferentes se pueden obte-
ner al lanzar 3 dados?
Rpta.: ________________
Aplicación 7:
De 10 alumnos, se desea formar un comité inte-
grado por un Presidente, Secretario y Tesorero.
¿Cuántos comités se pueden formar?
Rpta.: ________________
DESARROLLO DEL TEMA
42UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA
TÉCNICAS DE CONTEO
TEMA 15
Exigimos más!
II. FACTORIAL DE UN NÚMERO
Sea n   se define como factorial de "n" denotado por
n! al producto de los enteros consecutivos del 1 al n.
Ejemplo:
0! = 1 (por convención)
1! = 1
2! = 1 x 2
3! = 1 x 2 x 3
4! = 1 x 2 x 3 x 4
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5
También:
• 5! 1 2 3 4 5
4 !
     • 8 ! 7 ! 8 
5! 4 ! 5  8 ! 5! 6 7 8   
5! 3! 4 5  
Técnicas de conteo
Permutación
a. Permutación lineal con elementos diferentes
Son todos los ordenamientos que se pueden
formar con parte o con todos los elementos que
conforman un conjunto.
Ejemplo:
Dado el conjunto:
 A a,b, c, d, e
de cuántas maneras se podrán ordenar sus ele-
mentos si los tomamos de:
a. 2 en 2
b. 3 en 3
c. ordenamos todos
Resolución:
a) 5 4 20; pero 
5 4
5 4 3! 5! 20
3 ! (5 2)!
   

b) 5 4 0 3 6
5 4 3
5 4 3 2! 5! 60
2 ! (5 3)!
    

c)
5 4 3 2 1
5 4 3 2 1 5! 120     
Luego: se tienen "n" elementos diferentes
al ordenarlos en "r" en "r" el número de
maneras está dado por:
 n!P(n, r) 0 r n
(n r)!
  

Observación
r n P(n, n) Pn n!   
Aplicación 8:
De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5
chicas en una banca para 7, si dos de ellas quieren
sentarse en los extremos.
Aplicación 9:
Se tiene un aula de 25 alumnos 5 de talla alta, 10
de talla intermedia y 10 de baja estatura. De
cuántas maneras se les podrá ordenar para formar
una batallón de desfile.
b. Permutación con elementos repetidos
Permutar las letras: A, A, B, B, B.
Luego si se tiene "n" elementos donde hay
r1 : elementos de una primera clase.
r2 : elementos de una segunda clase.

r3 : elementos de una k-ésima clase.
El número de permutaciones diferentes que se
pueden formar con ellos será:
1 2 4
1 2 3 k
n!p(n, r , r ,....r )
r ! r ! r ! ... r !

   
Donde: 1 2 3 kr r r ... r n    
Aplicación 10:
Cuántas palabras de 10 letras con sentido o no se
pueden formar con las letras de la palabra ARIT-
MÉTICA.
c. Permutación circular
Es un arreglo u ordenamiento de elementos dife-
rentes alrededor de un objeto en estos ordena-
mientos no hay primer, ni último elemento, por
hallarse todos en un ciclo cerrado imaginario.
Ejemplo: De cuántas maneras se pueden or-denar
4 elementos alrededor de un objeto.
A B
D C
A AB C
C DD B
A C
B D
A AD D
C BB C
La idea es mantener fijo un elemento y permutar
los restantes. Luego dados "n" elementos, al
ordenarlos alrededor de un objeto se podrá hacerlo
de:
0P (n) (n 1)! 
43UNI SEMESTRAL 2013 - III ARITMÉTICA TEMA 15
Exigimos más!
TÉCNICAS DE CONTEO
Aplicación 12:
Se sientan 8 personas alrededor de una mesa, de
cuántas maneras se podrá ordenar.
Rpta.: ________________
Aplicación 13:
5 parejas de novios juegan a la "ronda". ¿Cuántas
rondas podrán formar si cada pareja no se separa?
Rpta.: ________________
III. COMBINACIONES
Son diferentes "grupos" o subconjunto que se pue-
den formar con parte o todos los elementos de un
conjunto.
Ejemplo:
Cuántos subconjuntos se pueden formar con los ele-
mentos de:
 A a,b, c, d
A. Binarios
           a,b , a, c , a, d , b, c , b, d , c, d
B. Ternarios
       a,b, c , a,b, d , a, c, d , b, cd
Luego el número de combinaciones (o subconjuntos)
que se pueden formar con "n" elementos diferentes
tomados de "r" en "r", se calcula:
  

n
r
n!c 0 r n
r !(n r) !
Observaciones:
• n0c 1
• nnc 1
• 
n n
r n rc c
Aplicación 13:
Cuántas rectas se pueden trazar con 10 puntos no
colineales.
Rpta.: ________________
Aplicación 14:
Con 8 varones y 3 damas cuántos comités de 4 perso-
nas se pueden formar de modo que:
A. Hayan 2 varones y 2 damas.
B. Siempre esté Tatiana en el grupo.
C. Haya al menos 2 mujeres.
D. Haya a los más tres varones.
Rpta.: ________________
Conclusión:


Permutaciones Ordenamientos
Combinaciones Agrupaciones
Problema 1
El dueño de un concecionario automo-
triz desea vender todos los autos que
le quedan, los cuales son de diferentes
modelos, pero en el salón de exhibi-
ción tendrán sólo 3 autos, el dueño cal-
cula que existen 210 maneras diferen-
tes de ordenar la exhibición, ¿cuántos
autos le quedan por vender?
UNI 2012-I
A) 4 B) 5
C) 6 D) 7
E) 8
Resolución:
Ubicación de