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CALCULO VECTORIAL 
PROBLEMAS RESUELTOS 
TERCERA EDICIÓN 
DE JERROLD E. MARSDEN Y ANTHONY J. TROMBA 
PREPARADO POR KAREN PAO Y FREDERICK SOON 
Versión en español de 
Constancio Hernández García 
Universidad Autónoma Metropolitana, 
Unidad Iztapalapa, México 
*TODO LO QUE QUIERES SABER PARA HACER LA TAREA 
A ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA 
Argentina Brasil Chile Cobmbia Ecuador Espaiía 
Estados Unidos México Perú Puerto Rico Venezuela 
Versión en español de la obra Study Guide for Vector Calculus, Third Edition, by Jerrold 
E. Marsden and Anthony J. Tromba, prepared by Karen Pao and Frederick Soon, publi- 
cada originalmente en inglés por W. H. Freeman and Company, E.U.A. O 1988 por W. 
H. Freeman and Company. 
Esta edición en español es la única autorizada. 
Imagen generada por compirtador de la superjicie mínima de Enneper: La imagen 
fue creada por James í? Hoflman en la University of Massachusetts, Amherst, con las 
instalaciones del Geometry Analysis Numerics and Graphics Group. Copyright 1986 
por James í? Hofl~nan. 
ADDISON-WESLEY IBEROAMERICANA 
M;ilahia 7363-2'G, 13uciios Aires 1425, Argciiiiiin 
Ave. 13rigadciro Liiis Aiitoiiio 2344, Coiijiiiito 1 14, 
SBo I'aiilo 01407, Sáo I':iulo, Brasil 
Casilla 70060, Saiitiago 7, Chilc 
A p i a d o ACrco 74 1-943, Saiiia Fé dc Bogoti, Coloiiibia 
Espnlicr 3 bajo, Madrid 78014. Espalia 
7 Jacob Way, Rcadiiig, Mnssachiiseils 01867, E.U.A. 
Apnriatlo l'osial23-013, México, D.F. 14000, Mfxico 
A11;trfado I'ostnl 79853, K f o Picdr.is, I'iicrio Rico 00939 
Apartado Postal 5 1454, Caracas 1050-A, Vciiczucla 
O 1993 por Addison-Wesley Iberoamericana, S. A. 
Wilmington, Delaware, E.U.A. 
Impreso en Estados Unidos. Printed in U.S.A. 
ISBN 0-201 -62564-4 
Capítulo 1 
Capítulo 2 
Capítulo 3 
Capítulo 4 
Capítulo 5 
Capítulo 6 
Capítulo 7 
Capítulo 8 
Capítulo 9 
Apéndice 
Cómo usar este libro vii 
Agradecimientos vii 
La geometría del espacio euclidiano 1 
Diferenciación 27 
Funciones con valores vectoriales 63 
Derivadas de orden superior; máximos y mínimos 81 
Integrales dobles 105 
Integral triple, fórmula de cambio de variable y aplicaciones 125 
Integrales sobre trayectorias y superficies 157 
Teoremas integrales del análisis vectorial 187 
Ejemplos de exámenes 21 1 
Respuestas a los ejemplos de exámenes 219 
CÓMO USAR ESTE LIBRO 
El propósito de esta guía de estudio es ayudar a entender el cálculo vectorial. Hemos or- 
ganizado los capítulos y secciones de manera que correspondan al libro Cálcrrlo vectorial 
de Marsden y Tromba, tercera edición. Cada sección contiene objetivos, recomenda- 
ciones para el estudio y (lo más importante) soluciones de los ejercicios seleccionados. 
Además, hemos escrito cuatro ejemplos de exámenes. 
Los objetivos son un resumen corto de lo que debes aprender en cada sección y 
de lo que debes entender antes de pasar a la siguiente. Los objetivos también deberían 
ayudarte a repasar para los exámenes. 
Las recomendaciones para el estudio son definiciones y hechos que debes tener 
presentes cuando hagas las tareas. También contienen advertencias sobre los errores 
más comunes. 
En las soluciones hemos elegido algunos ejercicios y se han trabajado. Algunas 
veces te pedimos que verifiques algo o que completes algún detalle, pero la mayoría de 
nuestras soluciones son tan completas como es posible. Sin embargo, no trabajamos 
los problemas de modo que los puedas copiar y presentarlos como tu trabajo. Eso es 
trampa. Nosotros (así como tus profesores) pensamos que las matemáticas no son un 
deporte para expectadores. Para entender qué pasa debes hacer ejercicios. Si te has 
perdido (o te has dormido en clase, como alguno de nosotros siempre hizo), trabajar 
sobre las soluciones detalladas puede ayudarte a encontrar el camino de regreso. Si te 
sientes inseguro antes de los exámenes, la mejor manera de estudiar es hacer ejercicios 
y problemas adicionales y comparar tus respuestas con las nuestras. Si eres estudioso y 
quieres hacer ejercicios adicionales, no tienes por qué hacerlos a ciegas ya que hemos 
proporcionado muchas soluciones. 
Aun si sólo hojeas nuestro pequeño libro diez minutos antes del examen, idebes 
sentirte más seguro respecto al cálculo vectorial! 
Te deseamos mucho éxito. 
AGRADECIMIENTOS 
Deseamos agradecer a los profesores Marsden y Tromba que nos dieran la oportunidad 
de escribir este libro. Damos las gracias de manera muy especial al profesor Marsden, 
quien nos permitió usar su Macintosh Plus y todos los programas y accesorios nece- 
sarios, leyó meticulosamente el manuscrito e hizo muchas correcciones y sugerencias 
valiosas. También queremos agradecer a Andrew Hwang, quien proporcionó muchas de 
las soluciones y a Sean Bates por sus contribuciones. 
Karen Pao 
Frederick Soon 
EUCLIDIANO 
1.1 Vectores en el espacio tridimensional 
OBJETIVOS 
1. Poder realizar las siguientes operaciones con vectores: suma, resta y multiplicación 
por un escalar. 
2. Dados un vector y un punto, saber encontrar la ecuación de la recta que pasa por el 
punto y que tiene la misma dirección del vector. 
3. Dados dos puntos, encontrar la ecuación de la recta que pasa a través de éstos. 
RECOMENDACIONES PARA EL ESTUDIO 
1. Notación sobre espacios. El símbolo R o R' representa al conjunto de todos los 
puntos de la recta real o a un espacio de dimensión 1. R2 es el conjunto de todos 
los pares ordenados (x, y) que están en el plano, un espacio de dimensión 2. R3 
representa al conjunto de todas las ternas ordenadas (x, y, z) que están en un espacio 
de dimensión 3. En general, el "exponente" en R" indica cuántas componentes 
tiene cada vector. 
2. Vectores y escalnres. Un vector tiene longitud (magnitud) y dirección. Los escalares 
son sólo números. Los escalares no tienen 
dirección. Dos vectores son iguales si y 
sólo si tienen la misma longitud y direc- 
ción. Sus gráficas no necesitan partir del 
mismo punto. Los vectores de la figura son 
iguales. 
3. Notación vectorial. Un vector se denota a menudo con letra negrilla, letra subra- 
yada, una flecha sobre la letra, o con n-adas (xl, x2, . . . , x,,). El elemento xi de la 
n-ada se llama i-ésima componente. iOJO!, la n-ada puede representar un punto o 
1.1 VECTORES EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL 3 
8. Rectas. (a) La recta que pasa por a en la dirección de v es I(t) = a + tv. Ésta se 
llama forma punto-dirección de la ecuación de la recta porque la única información 
necesaria es el punto a y la dirección v. 
(b) La recta que pasa por a y b es I(t) = a + t(b - a). Ésta se llama forma punto- 
punto de la ecuación de la recta. Para ver si la dirección es correcta, debes hacer 
t = O y obtener el primer punto. Haz t = 1 y obtén el segundo punto. 
9. Co~ijurlto de generadores de un espacio. Si todos los puntos de un espacio se pueden 
escribir de la forma Xivi + X2v2 + . . . + X,,v,,, donde Xi son escalares, entonces los 
vectores vi, . . . , v,, generan el espacio dado. Por ejemplo, los vectores i y j generan 
al plano xy. 
10. Derriostraciones geométricas. Una demostración se puede simplificar con el uso de 
vectores. Trata de comparar los métodos vectoriales con los no vectoriales haciendo 
el ejemplo 7 sin vectores. 
& 
11. Resolirción (/e problenlas. Como los vectores tienen magnitud y dirección, se 
pueden representar gr3ficamente. Por lo tanto, con frecuencia es útil hacer un 
diagrama con objeto de visualizar un problema vectorial. 
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS 
1. Debemos resolver las ecuaciones siguientes: 
Obtenemos x = 4 y y = 17, de manera que (-21,23) - (4,6) = (-25, 17). 
4. Convertimos -4i + 3j en (-4, 3, O), de manera que 
En el eje y los puntos tienen coordenadas 
(0.0,~) ( O , Y , ~ ) de la forma (O, y, O), por lo tanto, debemos ..-.-.-.-. . . ... .. v restringir los valores de x y z a O. 
En el eje z los puntos tienen coordenadas 
de la forma (O, 0, z), por lo tanto, debemos 
restringir los valores de x y y a O. 
X 
En el plano xz los puntos tienen coorde- 
nadasde la forma (x, O, z), Por lo tanto, 
debemos restringir el valor de y a O.