LOGICA SIMBOLICA

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Universidad Simón I.Patino
Docente: MSc. Dodovrosky Medrano Rocha
LÓGICA SIMBÓLICA
(esta practica se actualizará continuamente hasta su versión final)
PRIMER PARCIAL
1. Todas las siguientes son proposiciones (aunque no estén expresadas como frases declarativas), excepto:
(a) Las personas de ojos verdes son, en promedio, más alegres que las personas de ojos azules.
(b) ¡El perro se esá llevando las chanclas del abuelo otra vez!
(c) Roma fue fundada el 21 de abril del año 753 A.C
(d) Y, en últimas, ¿quién osa cuestionar la rectitud de nuestro lider Guillermo el grande?
(e) ¿Al fin va a visitarme esta noche o mañana?
2. Indentificar las premisas y la conclusión de:
(a) Quien aspire a la presidencia debe haber cumplido 30 anõs como mı́nimo. Eulogio ciertamente aspira a la
presidencia, como puede inferirse del hecho de que tiene 40 años.
(b) No hay nada nuevo bajo el sol. Dado que el computador que te regalaron forma parte de las cosas que se
encuentran bajo el sol, el computador que te regalaron es nuevo.
(c) Si hubieramos escalado la montanña, ya estaŕıamos en el pueblo. Pero no estamos en el pueblo. Eso quiere
decir que no escalamos la montaña. Ahora, a las personas que no escalaron la montaña , les van a quitar el
agua caliente esta semana. En consecuencia, nos van a dejar sin agua caliente esta semana.
3. Analice las siguientes paradojas:
(a) Paradoja de Epiménides, el cretense, quien afirmó que todos los cretenses son mentirosos.
(b) Paradoja del barbero, propuesta por Bertrand Russell, que dice: El único barbero de la ciudad dice que afeitará a
todos aquellos que no se afeiten a si mismos. ¿quién afeita al barbero?
4. Si p, q, r son verdaderas y s, t son falsas, determine el valor de verdad de la proposición
[(¬t ∨ ¬p) ↔ [t → (r ∨ s)]] ↔ [(p ∧ q ∧ ¬t) → (¬q → ¬s)]
5. Si
X : (p ∧ r) ↔ (s → w) es falsa
y
Y : (¬w → ¬s) es falsa
Determinar el valor de verdad de
m : (¬s → ¬w) → (r ∨ ¬p)
6. Determine, utilizando tablas de verdad, si cada proposición compuesta es una tautoloǵıa, contradicción o contin-
gencia:
(a) r → [(¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)]
(b) (p ∨ q) → [q → (p ∧ q)]
(c) [¬(¬q ∧ r) ∨ q] ↔ [(¬p ∨ r) ∧ q]
7. Determine valores de verdad para a, b, c y d, de manera que se verifique que [(a → b)∧ (c → d)∧ (b∨ c)] no implica
tautógicamente a a ∨ d.
8. Si p → q es falsa, determine el valor de verdad de la proposición [(p ∨ r) ∧ ¬q] → [(¬p ∧ s) → (t ∨ p)]
9. Utilice tablas de verdad para comprobar que:
(a) [(q → r) ∧ (¬q → s)] ⇒ (r ∨ s)
(b) [¬p ∨ (q → r)] ⇔ [¬(p ∧ q) ∨ r]
10. Considere las proposiciones p: Rudy estudia; q Felipe estudia; r: Rudy juega fútbol; s: Felipe juega fútbol; t: Rudy
invita a Felipe a jugar fútbol.
Simbolice las proposiciones:
(a) Rudy o Felipe estudian, pero Rudy invita a Felipe a jugar fútbol.
(b) Si Rudy invita a Felipe a jugar fútbol, entonces Felipe no estudia.
(c) Si Rudy y Felipe juegan fútbol, entonces ni Rudy ni Felipe estudian.
(d) Felipe estudia si y solo si no juega fútbol.
(e) Una condición necesaria para que Felipe y Rudy estudien es que no jueguen fútbol.
(f) No es cierto que Rudy invita a Felipe a jugar fútbol y Rudy estudie.
11. Considere las proposiciones p : se nombre presidente; q: la mayoŕıa vote por él; r: tenga buena salud; s: habrá una
crisis de gobierno.
Simbolice las proposiciones:
(a) No habrá crisis si y solo si una condición suficiente para que se nombre presidente es que la mayoŕıa vote por
él.
(b) Si la mayoŕıa no vota por él o no tiene buena salud, entonces no se nombra presidente y habrá una crisis de
gobierno.
(c) O la mayoŕıa vota por él o habrá una crisis de gobierno si y solo si no se nombra presidente.
12. Simbolizar:
a) Es necesario que llegue puntual para que me trasnoche y duerma temprano
b) Es suficiente que no duerma temprano y que no llegue puntual para que me trasnoche.
c) Llego puntual o me trasnocho, pero duermo temprano.
13. La conectiva trazo de Sheffer, que se denota por |, también llamada anticonjunción, se define por la tabla:
p q p|q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Determine cuál de las conectivas estudiadas corresponde a p|p, (p|q)|(p|q) y (p|p)|(q|q).
14. Utilizando las leyes de la lógica, simplifique las siguientes expresiones:
(a) p ∨ ¬(¬r ∨ p) ∨ r
(b) [p ∨ ¬(¬q ∨ ¬s)] ∨ ¬(¬q → ¬s)
(c) [(¬p ∧ q) ∨ ¬(q ∨ p)] ∧ [(p ∨ r) ∧ (p ∨ ¬r)]
(d) [(¬p ∨ q) ∧ ¬r] → [(¬q ∧ r) ∨ p]
(e) [p → (p ∧ q)] ∨ [¬q ∧ (p ∨ q)]
(f) [(p ∨ q) ∧ ¬(r ∨ p)] ∨ [(r ∧ q) ∨ p]
(g) (¬p ∧ q) ∨ [¬(q ∧ r) ∧ ¬p] ∨ (p ∧ ¬r)
(h) (p → ¬q) ∧ [[¬(r ∨ ¬p) ∧ (q ∨ p)] ∨ (r ∧ p)]
(i) ¬q ∨ ¬[[¬[(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q)] ∨ q] ∧ p]
15. Determinar cuáles de los siguientes enunciados son equivalentes:
a) Es necesario que una persona crea en Dios para ser católica
b) Una persona que no cree en Dios es católica
c) Si una persona no es católica entonces cree en Dios
d) Una persona es católica o cree en Dios
e) Una persona no es católica o cree en Dios
SEGUNDO PARCIAL
1. “Y ahora llegamos a la gran pregunta del porqué. El robo no ha sido el objeto del asesinato, puesto que nada
desapareció. ¿Fue por motivos poĺıticos o por una mujer? Ésta es la pregunta con que me enfrento. Desde el
principio me he inclinado hacia esta última suposición. Los asesinos poĺıticos se complacen demasiado en hacer solo
su trabajo y huir. Este asesinato, por el contrario, hab́ıa sido realizado muy deliberadamente y quien lo perpetró ha
dejado huellas por toda la habitación, mostrando que estuvo ah́ı todo el tiempo”.
Simbolice el argumento anterior y deduzca que el asesinato fue perpetrado por causa de una mujer.
2. En cada caso, utilice las reglas de inferencia y las leyes de la lógica para demostrar la proposición indicada a partir
de las premisas dadas. Justifique cada paso.
(a) Demuestre p a partir de (¬p ∨ ¬q) → (r ∧ s), r → t,¬t
(b) Demuestre d a partir de a → (b ∨ c), b → c, a ∨ d,¬c
(c) Demuestre r ∧ (p ∨ q) a partir de p ∨ q, q → r, p → t,¬t.
(d) Demuestre q ∨ t a partir de p → q,¬r → (s → t), r ∨ p ∨ s,¬r.
(e) Demuestre una F0 a partir de (s ∨ t) ∨ (t ∧ k),¬(t ∧ k),¬t, (r ∨ s) → (t ∧ k).
(f) Demuestre ¬r → ¬t a partir de p → (q → r), p ∨ s, t → q,¬s.
(g) O los precios son altos o los salarios son bajos. Si los precios son altos, entonces hay control de precios. Si los
salarios son bajos, entonces hay control de precios. Si no hay inflación o la cosecha de café es buena, entonces
no hay control de precios. Por lo tanto, hay inflación.
(h) Si Bill es declarado culpable, entonces su perro no se deprime o Mónica se alegra. Si su perro no se deprime,
entonces Bill no es declarado culpable. El precio del petróleo no baja o Mónica no se alegra. De hecho, Bill es
declarado culpable. Por lo tanto, su perro se deprime y el precio del petróleo no baja.
(i) Si le pago al sastre, no me quedará dinero. Puedo llevar a mi novia al baile solo si tengo dinero. Si no la llevo
al baile, ella se enojará conmigo. Pero si no le pago al sastre, no me entregará el traje. Sin el traje no puedo
llevar a mi novia al baile. Luego, mi novia se enojará conmigo.
3. Determine si los siguientes argumentos son válidos. Caso contrario, dé un contraejemplo.
(a) Si Rosa obtiene el puesto de supervisor y trabaja mucho, entonces obtendrá un aumento. Si obtiene el aumento,
entonces comprará un auto nuevo. Ella no ha adquirido un auto nuevo. Por lo tanto, Rosa no ha obtenido el
puesto de supervisor o no ha trabajado mucho.
(b) Si Domingo va a la carrera de autos, entonces Elena se enojará. Si Rafael juega cartas toda la noche, entonces
Carmen se enojará. Si Elena o Carmen se enojan, le avisarán a Verónica (su abogada). Verónica no ha tenido
noticias de estas dos clientes. En consecuencia, ni Domingo fue a las carreras ni Rafael jugó cartas toda la
noche.
TERCER PARCIAL
4. Simbolice completamente las siguientes proposiciones utilizando predicados, términos, conectivas y cuantificadores:
(a) Todos los adolescentes se sienten incompredidos.
(b) Las ovejas les temen a los lobos. Si todo microcomputadortiene puerto serial y algunos tienen puertos paralelo,
entonces algunos microcomputadores tienen tanto puerto serial como puerto paralelo.
(c) Hay personas que no son bondadosas.
(d) Para todo a y b numeros reales positivos existe un número entero n tal que na es mayor o igual que b.
(e) Existen 3 números reales de manera que la suma de los dos primeros es igual a la suma del tercero más el
cuarto.
5. Suponga que se tiene un universo de discurso formado por cinco personas: Juan, Raquel, Pedro, Rosa y Francis.
Solamente las tres primeras personas son casadas. Pedro y Raquel tienen casa propia, mientras que Juan, Rosa y
Francis alquilan casa. Solo pedro y Rosa tienen automovil propio. Todos, excepto Pedro, estudian en la universidad.
(a) Presente la tabla de asignación de los predicados C(x) : x es casado, P (x) : x tiene casa propia, A(x) : x alquila
casa, V (x) : x tiene automóvil propio, E(x) : x estudia en la universidad.
(b) Valide las proposiciones:
1) ∃x[C(x) ∧ P (x) ∧ V (x)]
2) ∀x[P (x) ∨ E(x)]
3) ∀x[P (x)] ∨ ∀[E(x)]
4) ∀x[C(x) → (P (x) ∨ V (x)]
6. Simbolice y simplifique las negación de las siguientes proposiciones:
(a) Todos los estudiantes de la universidad estudian medicina y no practican deporte.
(b) Todos los miembros del club tienen más de 30 años.
(c) Algunos de los personajes de la novela saben inglés o francés.
7. Simbolice la proposición “Ningún conejo que gusta de la poeśıa es indomesticable”; además, encuentre una equi-
valencia donde se utilice el cuantificador ∀.
8. Cada fila de la siguiente tabla muestra un texto, junto con una representación simbólica adecuada de ese texto en
el lenguaje del cálculo de predicados. Hay una excepción, en la cual la fila contiene una fórmula que no representa
adecuadamente esl texto que la acompaña, esa fila es:
9. Sean p(x) y q(x) proposiciones abiertas en la variable x, con un universo dado. Demuestre que:
[∀xp(x) ∨ ∀xq(x)] ⇒ ∀x[p(x) ∨ q(x)]
10. Demuestre la validez de los siguientes argumentos:
(a)
1. ∀x[¬Q(x) → ¬P (x)]
2. ∀x[Q(x) → (R(x) ∧ S(x)]
3. ¬∃x[¬P (x) ∨ ¬T (x)]
∴ ∀xS(x)
(b)
1. ¬∃x[P (x) ∧R(x)]
2. ¬∃x[Q(x) ∧ ¬R(x)]
3. ∀x[S(x) → P (x)]
∴ ∀x[S(x) → ¬Q(x)]
(c)
1. ∃x[P (x) ∧Q(x)]
2. ¬∀x[R(x) ∧Q(x)]
3. ∀x[(P (x) ∧ ¬R(x)) → T (x)]
∴ ∃xT (x)
(d)
1. ∀x[¬Q(x) → ¬P (x)]
2. ∀x[Q(x) → R(x)]
3. ¬∃x[¬T (x)]
∴ ∀x[(¬P (x) ∧ T (x)) ∨ (R(x) ∧ T (x))]
(e)
1. ¬∃x[¬P (x) ∧ ¬Q(x)]
2. ∀x[R(x) → ¬P (x)]
3. ∃¬Q(x)]
∴ ∃¬R(x)
(f)
1. ∀x[P (x) → (Q(x) ∨ S(x))]
2. ∃x[¬Q(x) ∧ ¬S(x)]
3. ¬∃x[(¬P (x) ∧R(x)) ∧ ¬T (x)]
∴ ∃x¬R(x) ∨ ∃xT (x)
11. Determine cuáles de los siguientes argumentos son válidos y cúales no. Explique cada respuesta. (El universo de
discurso son todas las personas que residen en Bolivia).
(a) Todos los carteros llevan una lata de aerosol irritante. El Señor Beltrán es cartero. Por lo tanto el señor Beltran
lleva una lata de aerosol irritante.
(b) Todos los ciudadanos respetuosos de la ley pagan impuestos. El s eñor Perez paga sus impuestos. Por lo tanto,
el señor Perez es una persona que obedece a la ley.
(c) Todas las personas que se preocupan por el ambiente reciclan sus recipientes de plástico. Margarita no se
preocupa por el ambiente. Por lo tanto, Margarita no recicla sus recipientes de plástico.
(d) Ningún estudiante consciente deja las tareas inconclusas. Antonieta no deja inconclusas sus tareas. Por lo tanto,
Antonieta es una estudiante consciente.
12. Simbolice los siguientes razonamientos usando cuantificadores, predicados y conectivas y pruebe su validez o inva-
lidez:
(a) Algún columnista de la prensa escrita no está vinculado a grupos de opinión. Es un hecho que todos los
militantes poĺıticos están vinculados a grupos de opinión. Más aún: Toda persona es militante poĺıtico o
está interesada en temas generales. En consecuencia, algún columnista de la prensa escrita está interesado en
temas generales. (C(x), V (x), P (x),M(x), G(x)).
(b) Cada miembro de la junta directiva proviene del sector industrial o del sector público. Cada integrante del
sector público que tiene un grado en Leyes está a favor de la enmienda. Juan no proviene del sector industrial,
pero tiene un grado en Leyes. En consecuencia, si Juan es miembro de la junta directiva, entonces está a favor
de la enmienda. (M(x), I(x), P (x), L(x), F (x)).
(c) Existen diplomáticos expertos en arte y graduados en leyes. Solamente los artistas o cŕıticos de arte son expertos
en arte. Los diplomáticos nunca son cŕıticos de arte. Además, ningún artista que sea graduado en leyes se
desempeña irresponsablemente. En consecuencia, hay diplomáticos que no se desempeñan irresponsablemente.
(D(x), A(x), L(x), T (x), C(x), I(x)).