Capitulo 8 - Cinética de Cuerpo Rígido I

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Semana 12
CINÉTICA DE CUERPO RÍGIDO (Parte I)
Teoría
Dinámica
Dr. Ing. Elder Mendoza Orbegoso
Marco Teórico de Dinámica de 
Sistemas de Partículas
Aplicación de la Segunda Ley de Newton: Fuerzas Efectivas
• Segunda ley de Newton: para cada partícula Pi en 
un sistema de n partículas,
• El sistema de fuerzas externas e internas sobre una 
partícula es equivalente a la fuerza efectiva de P. 
• El sistema de fuerzas externas e internas que actúan 
en todo el sistema de partículas es equivalente al 
sistema de fuerzas efectivas. 
( )
 efectiva fuerza 
internas fuerzas externa fuerza 
1
1
=
==
=+
=+


=
=
ii
iji
iii
n
j
ijiii
ii
n
j
iji
am
fF
amrfrFr
amfF




Aplicación de la Segunda Ley de Newton: Fuerzas Efectivas
• Sumando todos los elementos,
• Dado que las fuerzas internas se presentan en pares 
alineados iguales y opuestos, la fuerza resultante y el 
par debido a las fuerzas internas son iguales a cero, 
• El sistema de fuerzas externas y el sistema de fuerzas 
efectivas son equipolentes por no equivalentes.
( ) ( ) ( ) 
 
== ==
== ==
=+
=+
n
i
iii
n
i
n
j
iji
n
i
ii
n
i
ii
n
i
n
j
ij
n
i
i
amrfrFr
amfF
11 11
11 11


( ) ( )

=
=
iiiii
iii
amrFr
amF


Cantidad de Movimiento Lineal y Angular
• Cantidad de movimiento lineal del 
sistema de partículas, 
• La resultante de las fuerzas externas 
es igual a la tasa de cambio del 
momento lineal del sistema de 
partículas, 


==
=
==
=
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
amvmL
vmL
11
1



LF 

=
• Cantidad de movimiento angular respecto al 
punto fijo O del sistema de partículas, 
• El momento resultante respecto al punto fijo 
O de las fuerzas externas es igual a la razón 
de cambio de la cantidad de movimiento 
angular del sistema de partículas, 
( )
( ) ( )
( )


=
==
=
=
+=
=
n
i
iii
n
i
iii
n
i
iiiO
n
i
iiiO
amr
vmrvmrH
vmrH
1
11
1




OO HM
 =
Movimiento de Centro de Masa de un Sistema de Partículas
• El centro de masa G del sistema de partículas está definido por el vector de 
posición que cumpla 
• Diferenciando dos veces,
• El centro de masa se mueve como si toda la masa y todas las fuerzas externas 
estuvieran concentradas en ese punto. 

=
=
n
i
iiG rmrm
1

Gr




==
==
=
=
=
FLam
Lvmvm
rmrm
G
n
i
iiG
n
i
iiG



1
1
Cantidad de Movimiento Angular Alrededor del Centro de Masa
• Considerar el sistema de 
referencia Gx’y’z’, que se 
traduce en lo relativo a la 
estructura newtoniana 
Oxyz. 
• La cantidad de movimiento angular del sistema de partículas 
alrededor del centro de masa se define así:
• El momento resultante alrededor de G de las fuerzas externas 
es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento 
angular alrededor de G del sistema de partículas. 
( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )





=
==






−=
−==
=
==
==
==
=
G
n
i
ii
n
i
iii
G
n
i
i
n
i
iii
n
i
Giii
n
i
iiiG
n
i
iiiG
M
Framr
armamr
aamramrH
vmrH





11
11
11
1
Cantidad de Movimiento Angular Alrededor del Centro de Masa
• Cantidad de movimiento 
angular alrededor de G de las 
partículas en su movimiento 
relativo al sistema de 
referencia centroidal Gx’y’z’
• Cantidad de movimiento angular alrededor de G de las 
partículas en su movimiento absoluto en relación con el 
marco newtoniano Oxyz de referencia.
• La cantidad de movimiento angular alrededor de G de las 
cantidades de movimiento de las partículas puede ser 
calculada con respecto a cualquiera de los marcos de Newton 
o del centro de gravedad de referencia. 
( )
=
=
n
i
iiiG vmrH
1

GGi vvv +=

( )
( )( )
( )




==
+





=
+=
=
==
=
=
GGG
n
i
iiiG
n
i
ii
n
i
iGii
n
i
iiiG
MHH
vmrvrm
vvmr
vmrH




11
1
1
Conservación de Cantidad de Movimiento Lineal y Angular
• Si no actúan fuerzas externas sobre 
las partículas de un sistema, entonces 
la cantidad de movimiento lineal y 
de movimiento angular alrededor del 
punto fijo O se conserva. 
• En algunas aplicaciones, tales como 
los problemas de las fuerzas 
centrales, 
• El concepto de conservación de la cantidad 
de movimiento también se aplica al análisis 
de la propuesta del centro de masa, 
constante constante
00
==
==== 
O
OO
HL
MHFL


constante constante
00
=
=== 
O
OO
HL
MHFL


constante constante
constante
00
==
==
==== 
GG
G
GG
Hv
vmL
MHFL



Contenido
• Introducción
• Ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido
• Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido en movimiento plano
• Movimiento plano de un cuerpo rígido: principio de d'Alembert
• Axiomas de la Mecánica de Cuerpos Rígidos
• Problemas relacionados con el movimiento de un cuerpo rígido
• Problema 1
• Problema 2
• Problema 3
• Problema 4
• Problema 5
Introducción
• En este capítulo y en los próximos nos ocuparemos de la cinética de los cuerpos 
rígidos, es decir, las relaciones entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido, la 
forma y la masa del cuerpo y el movimiento producido.
• Los resultados de este capítulo se limitarán a:
• movimiento plano de cuerpos rígidos, y 
• cuerpos rígidos formados por placas planas o cuerpos simétricos con respecto al plano de 
referencia.
• Nuestro enfoque será considerar los cuerpos rígidos como hechos de un gran número 
de partículas. Específicamente,
• El principio de D'Alembert se aplica para demostrar que las fuerzas externas que 
actúan sobre un cuerpo rígido son equivalentes a un vector unido al centro de 
masa y un par de momento
GG HMamF
 ==  and
am

.I
Ecuaciones de Movimiento de un Cuerpo Rígido
• Considérese un cuerpo rígido sobre el que actúan 
varias fuerzas externas.
• Suponga que el cuerpo está hecho de un gran 
número de partículas.
• Para el movimiento del centro de masa G del 
cuerpo con respecto al marco newtoniano Oxyz,
• Para el movimiento del cuerpo con respecto al 
marco centroidal Gx’y’z’,
• El sistema de fuerzas externas es equivalente al 
sistema formado por
amF

=
GG HM
 =
. and GHam

Momento Angular de un Cuerpo Rígido en un Plano
• El momento angular de la placa se puede calcular 
mediante:
• Después de la diferenciación 
Considere una placa 
rígida en movimiento 
plano. 
( )
( ) 
( )







I
mr
mrr
mvrH
ii
n
i
iii
n
i
iiiG
=
=
=
=



=
=
Δ
Δ
Δ
2
1
1



IIHG ==
Momento Angular de un Cuerpo Rígido en un Plano
• Los resultados también son válidos para el movimiento 
plano de cuerpos que son simétricos con respecto al plano 
de referencia.
• Pero, los resultados no son válidos para cuerpos 
asimétricos o movimiento tridimensional.
Considere una placa 
rígida en movimiento 
plano. 
Momento Angular de un Cuerpo Rígido en un Plano: Principio de 
Alembert
• El movimiento de un cuerpo rígido en movimiento plano 
está completamente definido por la resultante y el 
momento resultante con respecto a G de las fuerzas 
externas.
• Las fuerzas externas y las fuerzas efectivas colectivas de 
las partículas de la placa son equivalente (reducidas a la 
misma resultante y momento resultante) y equivalentes 
(tienen el mismo efecto sobre el cuerpo).
• Principio de d'Alembert: Las fuerzas externas que actúan 
sobre un cuerpo rígido son equivalentes a las fuerzas 
efectivas de las diversas partículas que forman el cuerpo.
IMamFamF Gyyxx === 
Momento Angular de un Cuerpo Rígido en un Plano: Principio de 
Alembert
• El movimiento más general de un cuerpo rígido que es 
simétrico con respecto al plano de referencia puede ser 
reemplazado por la suma de una traslación y una rotación 
centroidal.Axiomas de la Mecánica de los Cuerpos Rígidos
• Las fuerzas actúan en diferentes puntos sobre 
un cuerpo rígido pero tienen la misma magnitud, 
dirección y línea de acción.
• Las fuerzas producen el mismo momento alrededor de 
cualquier punto y son, por lo tanto, fuerzas externas 
equivalentes.
• Esto prueba el principio de transmisibilidad mientras que 
anteriormente se estableció como un axioma
FF

 and 
Problemas que Involucran el Movimiento de un Cuerpo Rígido
• La relación fundamental entre las fuerzas que actúan 
sobre un cuerpo rígido en movimiento plano y la 
aceleración de su centro de masa y la aceleración angular 
del cuerpo se ilustra en una ecuación de diagrama de 
cuerpo libre.
• Las técnicas para resolver problemas de equilibrio 
estático se pueden aplicar para resolver problemas de 
movimiento plano utilizando el principio de d'Alembert o 
el principio de equilibrio dinámico.
• Estas técnicas también se pueden aplicar a problemas que 
involucran el movimiento plano de cuerpos rígidos 
conectados mediante ecuación de diagrama de cuerpo 
libre para cada cuerpo y resolviendo simultáneamente las 
ecuaciones de movimiento correspondientes.
Problema 1
SOLUCIÓN
a) Calcule la aceleración durante la 
parada de derrape suponiendo una 
aceleración uniforme.
b) Dibuje la ecuación del diagrama de 
cuerpo libre que exprese la 
equivalencia de las fuerzas externas y 
efectivas.
c) Aplique las tres ecuaciones escalares 
correspondientes para resolver las 
fuerzas normales desconocidas de las 
ruedas en la parte delantera y trasera y 
el coeficiente de fricción entre las 
ruedas y la superficie de la carretera.
A una velocidad de avance de 30 ft/s, se 
aplicaron los frenos del camión, lo que 
provocó que las ruedas dejaran de girar. 
Se observó que el camión patinó hasta 
detenerse en 20 pies.
Determine la magnitud de la reacción 
normal y la fuerza de fricción en cada 
rueda cuando el camión patinó hasta 
detenerse.
Problema 1
SOLUCIÓN
a) Calcule la aceleración durante la parada de 
derrape suponiendo una aceleración uniforme.
b) Dibuje la ecuación del diagrama de cuerpo 
libre que exprese la equivalencia de las fuerzas 
externas y efectivas.
c) Aplique las tres ecuaciones escalares 
correspondientes
ft20
s
ft
300 == xv ( )
( )ft202
s
ft
300
2
2
0
2
0
2
a
xxavv
+





=
−+=
0=−+ WNN BA( ) = effyy FF
s
ft
5.22−=a
Problema 1
ft20
s
ft
300 == xv
( )
( )
699.0
2.32
5.22
===
−=−
=+−
−=−−
g
a
agWW
NN
amFF
k
k
BAk
BA



( ) = effxx FF
b) Aplique las tres ecuaciones escalares correspondientes
( ) = effAA MM
( ) ( ) ( )
WN
g
aW
a
g
W
WN
amNW
B
B
B
650.0
45
12
45
12
1
ft4ft12ft5
=






+=





+=
=+−
Problema 1
ft20
s
ft
300 == xv
WNWN BA 350.0=−=
( )WNN Arear 350.02
1
2
1 == WNrear 175.0=
( )WNN Vfront 650.02
1
2
1 == WN front 325.0=
( )( )WNF rearkrear 175.0690.0== 
WFrear 122.0=
( )( )WNF frontkfront 325.0690.0== 
WFfront 227.0.0=
Problema 2
SOLUCIÓN
a) Observe que después de cortar el alambre, 
todas las partículas de la placa se mueven a lo 
largo de trayectorias circulares paralelas de 
150 mm de radio. La placa está en traslación 
curvilínea.
b) Dibuje la ecuación del diagrama de cuerpo 
libre que exprese la equivalencia de las fuerzas 
externas y efectivas.
c) Resuelva en ecuaciones de componentes 
escalares paralelas y perpendiculares a la 
trayectoria del centro de masa.
d) Resuelva las ecuaciones de componentes y la 
ecuación de momento para la aceleración 
desconocida y las fuerzas de enlace.
La placa delgada de 8 kg de masa se 
mantiene en su lugar como se muestra.
Despreciando la masa de los eslabones, 
determine inmediatamente después de 
cortar el alambre a) la aceleración de la 
placa y b) la fuerza en cada eslabón.
Problema 2
SOLUCIÓN
a) Observe que después de cortar el alambre, todas las 
partículas de la placa se mueven a lo largo de trayectorias 
circulares paralelas de 150 mm de radio. La placa está en 
traslación curvilínea.
b) Dibuje la ecuación del diagrama de cuerpo libre que 
exprese la equivalencia de las fuerzas externas y efectivas.
c) Resuelva en ecuaciones de componentes escalares 
paralelas y perpendiculares a la trayectoria del centro de 
masa.
( ) = efftt FF
=
=
30cos
30cos
mg
amW
( ) = 30cosm/s81.9 2a
2sm50.8=a 60o
Problema 2
SOLUCIÓN
a) Resuelva las ecuaciones de componentes y de momento 
para la aceleración desconocida y las fuerzas de enlace.
2sm50.8=a 60o
( )
effGG
MM  =
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) 0mm10030cosmm25030sin
mm10030cosmm25030sin
=+
−
DFDF
AEAE
FF
FF
AEDF
DFAE
FF
FF
1815.0
06.2114.38
−=
=+
( ) = effnn FF
( )( )2sm81.9kg8619.0
030sin1815.0
030sin
=
=−−
=−+
AE
AEAE
DFAE
F
WFF
WFF
TFAE N9.47=
( )N9.471815.0−=DFF CFDF N70.8=
Problema 3
SOLUCIÓN
a) Determine la dirección de rotación 
evaluando el momento neto en la polea 
debido a los dos bloques.
b) Relaciona la aceleración de los bloques 
con la aceleración angular de la polea.
c) Dibuje la ecuación del diagrama de 
cuerpo libre que exprese la equivalencia 
de las fuerzas externas y efectivas en el 
sistema completo de polea más bloques.
d) Resuelva la ecuación del momento 
correspondiente para la aceleración 
angular de la polea.
Una polea que pesa 12 lb y tiene un radio 
de giro de 8 in está conectada a dos 
bloques como se muestra en al figura.
Suponiendo que no hay fricción en el eje, 
determine la aceleración angular de la 
polea y la aceleración de cada bloque.
Problema 3
SOLUCIÓN
a) Determine la dirección de rotación evaluando el momento 
neto en la polea debido a los dos bloques.
rotación sentido contrario al giro de las agujas de reloj
( )( ) ( )( ) lbin10in10lb5in6lb10 =−= GM
2
2
2
22
sftlb1656.0
ft
12
8
sft32.2
lb12
=






=
== k
g
W
kmI
Note que:
Problema 3
b) Relaciona la aceleración de los bloques con la 
aceleración angular de la polea.
c) Dibuje la ecuación del diagrama de cuerpo libre que 
exprese la equivalencia de las fuerzas externas y 
efectivas en el sistema completo de polea más bloques.
d) Resuelva la ecuación del momento correspondiente 
para la aceleración angular de la polea.
( )

ft
12
10=
= AA ra
( )

ft
12
6=
= BB ra
( )
( ) 2
12
6
2
12
10
2
sft
sft
sftlb1656.0


=
=
=
B
A
a
a
I ( ) = effGG MM
( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )
12
10
12
10
2.32
5
12
6
12
6
2.32
10
12
10
12
6
12
10
12
6
12
10
12
6
1656.0510
ftftftlb5ftlb10
−+=−
−+=−

 AABB amamI
2srad374.2=
Problema 3
Luego:
( )
( ) 2
12
6
2
12
10
2
sft
sft
sftlb1656.0


=
=
=
B
A
a
a
I
( )( )2
12
6 srad2.374ft=
= BB ra
2sft187.1=Ba
( )( )2
12
10 srad2.374ft=
= AA ra
2sft978.1=Aa
Problema 4
SOLUCIÓN
a) Dibuje la ecuación del diagrama de 
cuerpo libre que exprese la 
equivalencia de las fuerzas externas y 
efectivas sobre el disco.
b) Resuelva las tres ecuaciones de 
equilibrio escalar correspondientes para 
las aceleraciones horizontal, vertical y 
angular del disco.
c) Determine la aceleración de la cuerda 
evaluando la aceleración tangencial del 
punto A en el disco.
Una cuerda se enrolla alrededor de un 
disco homogéneo de 15 kg de masa. La 
cuerda se tira hacia arriba con una 
fuerza T = 180 N. Determine: (a) la 
aceleración del centro del disco, (b) la 
aceleración angular del disco y (c) la 
aceleración de la cuerda.
Problema 4
SOLUCIÓN
a) Dibuje la ecuación del diagrama de cuerpo libre que 
exprese la equivalencia de las fuerzas externas y 
efectivas sobre el disco.
b) Resuelva las tres ecuaciones de equilibrio escalar
( ) = effxx FF
xam=0 0=xa
( ) =
effyy
FF
( )( )
kg15
sm81.9kg15-N180 2
=
−
=
=−
m
WT
a
amWT
y
y
2sm19.2=ya
Problema 4
( ) = effGG MM
( )
( )
( )( )m5.0kg15
N18022
2
2
1
−=−=
==−
mr
T
mrITr


2srad0.48=
c) Determine la aceleraciónde la cuerda evaluando 
la aceleración tangencial del punto A en el 
disco.
2sm19.2=ya
2srad0.48=
0=xa
( ) ( )
( )( )22 srad48m5.0sm19.2 +=
+==
tGAtAcord
aaaa

2sm2.26=corda
Problema 5
SOLUCIÓN
a) Dibuje la ecuación del diagrama de 
cuerpo libre que exprese la equivalencia 
de las fuerzas externas y efectivas sobre 
la esfera.
b) Resuelva las tres ecuaciones de equilibrio 
escalar correspondientes para la reacción 
normal de la superficie y las 
aceleraciones lineal y angular de la 
esfera.
c) Aplique las relaciones cinemáticas para el 
movimiento uniformemente acelerado 
para determinar el momento en que la 
velocidad tangencial de la esfera en la 
superficie es cero, es decir, cuando la 
esfera deja de deslizarse.
Una esfera uniforme de masa m y radio 
r se proyecta a lo largo de una 
superficie horizontal rugosa con una 
velocidad lineal v0. El coeficiente de 
fricción cinética entre la esfera y la 
superficie es k. Determine: (a) el 
tiempo t1 en el que la esfera comenzará 
a rodar sin deslizarse, y (b) las 
velocidades lineal y angular de la 
esfera en el tiempo t1 .
Problema 5
SOLUCIÓN
a) Dibuje la ecuación del diagrama de cuerpo libre que 
exprese la equivalencia de las fuerzas externas y efectivas 
sobre la esfera.
b) Resuelva las tres ecuaciones de equilibrio escalar 
correspondientes para la reacción normal de la superficie y 
las aceleraciones lineal y angular de la esfera.
( ) =
effyy
FF
0=−WN mgWN ==
( ) = effxx FF
=−
=−
mg
amF
k ga k−=
Problema 5
( ) ( )

2
3
2 mrrmg
IFr
k =
=
r
gk
2
5
=
( ) = effGG MM
NOTA: Siempre que la esfera gire y se deslice, sus 
movimientos lineales y angulares se aceleran 
uniformemente.
Problema 5
c) Aplique las relaciones cinemáticas para el movimiento 
uniformemente acelerado para determinar el momento en que 
la velocidad tangencial de la esfera en la superficie es cero, es 
decir, cuando la esfera deja de deslizarse.
ga k−=
r
gk
2
5
=
( )tgvtavv k−+=+= 00
t
r
g
t k 





+=+=


2
5
00
En el instante t1 cuando la espera deja de deslizarse:
11 rv =
110
2
5
t
r
g
rgtv kk 





=−


g
v
t
k
0
1
7
2
=












=





=
g
v
r
g
t
r
g
k
kk


 011
7
2
2
5
2
5
r
v0
1
7
5
=
Problema 5






==
r
v
rrv 011
7
5
 07
5
1 vv =