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Análisis Real II
Renato Benazic
December 6, 2009
Prefacio
Renato Benazic
Introducción
Contenido
1 Diferenciabilidad de funciones de Rm en Rn 1
1.1 Funciones Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 La Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 El Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Funciones de clase Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 El Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Principio de diferenciabilidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Sucesiones y Series de Funciones 21
2.1 Sucesión de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Convergencia Uniforme y Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Series de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 La Curva de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 La Función de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Funciones Definidas Impĺıcitamente 34
3.1 Difeomorfismos Locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 El Teorema de la Función Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Inmersiones y Sumersiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 El Teorema del Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 Introducción a la Teoŕıa de Superficies en Rn 50
4.1 Definición de Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Cambios de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3 El Espacio Tangente a una Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4 Superficies Definidas Impĺıcitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5 Integrales Múltiples 66
3
5.1 La Definición de Integral sobre m-bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2 Propiedades Básicas de la Integral sobre m-Bloques Compactos . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3 Conjuntos de Medida Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4 Caracterización de las Funciones Riemann Integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.5 Integración Iterada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.6 Integrales sobre Conjuntos J-medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.7 Particiones de la Unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.8 Integrales sobre conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.9 Cambio de Variables en la Integral Múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6 Formas Diferenciables en Rm 109
6.1 Preliminares Algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2 Formas Alternadas y Producto Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.3 Algebras de Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.4 Formas Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.5 Pull-back de Formas Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.6 La Diferencial Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7 Integrales de Superficie 134
7.1 La integral de una k-forma diferencial sobre superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.2 Superficies con frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.3 El Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Caṕıtulo 1
Diferenciabilidad de funciones de Rm
en Rn
1.1 Funciones Diferenciables
Definición 1.1.1 Sea U ⊆ Rm un abierto, f : U → Rn, a ∈ U y denotemos Ua = {h ∈ Rm; a + h ∈ U}.
1. Decimos que f es diferenciable en a si y sólo si existe T ∈ L(Rm,Rn) tal que
f(a + h) = f(a) + T (h) + ra(h), ∀ h ∈ Ua
en donde lim
h→0
ra(h)
‖h‖
= 0.
2. Decimos que f es diferenciable en U si y sólo si f es diferenciable en a, ∀ a ∈ U .
Observaciones:
1. Si f es diferenciable en a entonces la transformación lineal es única (ejercicio) y será denotada por
f ′(a).
2. Si f : U ⊆ Rm → Rn es diferenciable en a ∈ U entonces f ′(a) ∈ L(Rm,Rn).
3. La función ra : Ua → Rn es llamada resto y por el hecho de satisfacer la propiedad lim
h→0
ra(h)
‖h‖
= 0,
se acostumbra a decir que ra es un resto de orden 1. Es necesario enfatizar que este resto depende
del punto a (y de la función f).
4. Intuitivamente, una función f : U ⊆ Rm → Rn es diferenciable en el punto a ∈ U si y sólo si en
una vecindad de a puede ser aproximada por una transformación lineal (su derivada).
1
Análisis Real II 2
Ejemplo 1.1.1 Sea f : Rm → Rn la función constante f(x) = c, ∀ x ∈ Rm. Dado cualquier a ∈ Rm se
cumple
f(a + h) = f(a) = f(a) + θ(h) + 0(h), ∀h ∈ Rm
Se sigue que f es diferenciable en Rm y f ′(a) = θ, ∀ a ∈ Rm.
Ejemplo 1.1.2 Sea T ∈ L(Rm,Rn), dado cualquier a ∈ Rm se cumple
T (a + h) = T (a) + T (h) = T (a) + T (h) + 0(h), ∀h ∈ Rm
Se sigue que T es diferenciable en Rm y T ′(a) = T , ∀ a ∈ Rm.
Ejemplo 1.1.3 Sea ϕ : Rm × Rn → Rp una transformación bilineal, dado cualquier a = (a1, a2) ∈
Rm × Rn, para h = (h1, h2) ∈ Rm × Rn tenemos
ϕ(a + h) = ϕ(a1 + h1, a2 + h2) = ϕ(a1, a2) + ϕ(a1, h2) + ϕ(h1, a2) + ϕ(h1, h2) (1.1)
Sea T : Rm × Rn → Rp definida por
T (h1, h2) = ϕ(a1, h2) + ϕ(h1, a2)
Un fácil cálculo muestra que T es una transformación lineal. Por otro lado, como ϕ es bilineal, existe un
C > 0 tal que
‖ϕ(x, y)‖ ≤ C‖x‖ ‖y‖, ∀x ∈ Rm ∀ y ∈ Rn
luego
‖ϕ(h1, h2)‖
‖(h1, h2)‖
≤ C ‖h1‖ ‖h2‖
‖(h1, h2)‖
≤ C‖(h1, h2)‖
Se sigue que
lim
h→0
‖ϕ(h1, h2)‖
‖(h1, h2)‖
= 0
De (1.1) se sigue ϕ es diferenciable en Rm×Rn y para cualquier (a1, a2) ∈ Rm×Rn la derivada ϕ′(a1, a2) ∈
L(Rm × Rn,Rp) es dada por
ϕ′(a1, a2)(h1, h2) = ϕ(a1, h2) + ϕ(h1, a2)
Ejemplo 1.1.4 Sea ϕ : Rm × Rm → R dada por ϕ(x, y) = 〈x, y〉. Claramente ϕ es bilineal, luego por el
ejemplo anterior ϕ es diferenciable en Rm × Rm y la transformación lineal ϕ′(a1, a2) ∈ L(Rm × Rm,R)
es dada por
ϕ′(a1, a2)(h1, h2) = 〈a1, h2〉+ 〈h1, a2〉
Análisis Real II 3
Ejemplo 1.1.5 Podemos generalizar el Ejemplo 1.1.3. En efecto, sea ϕ : Rm1 × Rm2 × · · · × Rmk →
Rn una transformación k-lineal. Queda como ejercicio para el lector probar que ϕ es diferenciable en
Rm1 × Rm2 × · · · × Rmk y para cualquier a = (a1, a2, . . . , ak) ∈ Rm1 × Rm2 × · · · × Rmk , la derivada
ϕ′(a) ∈ L(Rm1 × Rm2 × · · · × Rmk ,Rn)
es dada por
ϕ′(a1, a2, . . . , ak)(h1, h2, . . . , hk) =
k
∑
i=1
ϕ(a1, . . . , ai−1, hi, ai+1, . . . , ak)
Ejemplo 1.1.6 Como aplicación del Ejemplo 1.1.5, vamos a analizar la función determinante. Primera-
mente recordemos que
Rn×n ≈ Rn × Rn × · · · × Rn
︸ ︷︷ ︸
n veces
≈ Rn
2
v́ıa el isomorfismo:
A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
an1 an2 . . . ann





=





A1
A2
...
An





←→ (A1, A2, . . . , An)
donde Ai = (ai1, ai2, . . . , ain) ∈ Rn. De esta manera la función determinante
det : Rn × · · · × Rn → R
(A1, . . . , An) 7→ det(A1, . . . , An)
es una aplicación n-lineal. Por elEjemplo 1.1.5, la función det es diferenciable en Rn×· · ·×Rn y además
para A = (A1, . . . , An) ∈ Rn×n, la derivada det′(A) ∈ L(Rn×n;R) es dada por
det′(A1, . . . , An)(H1, . . . , Hn) =
n
∑
i=1
det(A1, . . . , Ai−1,Hi, Ai+1, . . . , An)
Proposición 1.1.1 Sea U ⊆ Rm abierto, f = (f1, . . . , fn) : U → Rn y a ∈ U . Son equivalentes
1. f es diferenciable en a.
2. f1, . . . , fn son diferenciables en a.
En caso afirmativo se tiene
f ′(a) = (f ′1(a), . . . , f
′
n(a))
Demostración. (⇒) Por hipótesis se tiene que
f(a + h) = f(a) + f ′(a)(h) + ra(h), ∀ h ∈ Ua
Análisis Real II 4
en donde lim
h→0
ra(h)
‖h‖
= 0. Haciendo f ′(a) = (T1, . . . , Tn) y ra = (r1,a, . . . , rn,a), donde Ti ∈ (Rm)∗ y
ri,a : Ua → R, tenemos
fi(a + h) = fi(a) + Ti(h) + ri,a(h)
= fi(a) + 〈ui, h〉+ ri,a(h), ∀ h ∈ Ua
en donde lim
h→0
ri,a(h)
‖h‖
= 0 y ui ∈ Rm es el vector que representa al funcional lineal Ti, es decir Ti(x) =
〈ui, x〉, ∀ x ∈ Rm.
Concluimos que fi es diferenciable en a y Ti = f ′i(a).
(⇐) Ejercicio. �
Corolario. Si f : U ⊆ Rm → Rn es diferenciable en a ∈ U entonces f es continua en a.
Definición 1.1.2 Sea U ⊆ Rm un abierto, f : U → Rn, a ∈ U y v ∈ Rm. La derivada direccional de f
en a en la dirección de v, denotada por
∂f
∂v
(a), es definida como
∂f
∂v
(a) = lim
t→0
f(a + tv)− f(a)
t
cuando tal ĺımite existe.
Observaciones:
1.
∂f
∂v
(a) ∈ Rn.
2. Cuando n = 1, tenemos la definición de derivada direccional que estudiamos en el curso anterior.
3. Podemos interpretar geométricamente
∂f
∂v
(a) de la manera siguiente: Sea δ > 0 suficientemente
pequeño tal que t ∈ Iδ(0) ⇒ a + tv ∈ U . Consideremos el camino rectiĺıneo
αv : Iδ(0) → U
t 7→ αv(t) = a + tv
luego
f ◦ αv : Iδ(0) → Rn
t 7→ (f ◦ αv)(t)
es un camino en Rn. Observe que
f(a + tv)− f(a)
t
=
(f ◦ αv)(t)− (f ◦ αv)(0)
t
Conclúımos que existe la derivada direccional
∂f
∂v
(a) si y sólo si f ◦ αv es diferenciable en 0 y en
caso afirmativo
∂f
∂v
(a) = lim
t→0
f(a + tv)− f(a)
t
= lim
t→0
(f ◦ αv)(t)− (f ◦ αv)(0)
t
= (f ◦ αv)′(0)
Análisis Real II 5
Concluimos también que
∂f
∂v
(a) es el vector tangente en el punto f(a) del camino f ◦ αv.
4. Sea f : U ⊆ Rm → Rn una función que admite todas sus derivadas direccionales en el punto a ∈ U .
Podemos definir la función
Tf,a : Rm → Rn
v 7→ Tf,a(v) =
∂f
∂v
(a)
Proposición 1.1.2 Sea U ⊆ Rm abierto, f = (f1, . . . , fn) : U → Rn a ∈ U y v ∈ Rm. Son equivalentes
1. Existe
∂f
∂v
(a).
2. Existen
∂f1
∂v
(a), . . . ,
∂fn
∂v
(a).
En caso afirmativo se tiene
∂f
∂v
(a) =
(
∂f1
∂v
(a), . . . ,
∂fn
∂v
(a)
)
Demostración. Para t ∈ R− {0} tal que tv ∈ Ua, tenemos
f(a + tv)− f(a)
t
=
(
f1(a + tv)− f1(a)
t
, . . . ,
fn(a + tv)− fn(a)
t
)
luego existe
∂f
∂v
(a) si y sólo si existe el lim
t→0
f(a + tv)− f(a)
t
si y sólo si existen lim
t→0
fi(a + tv)− fi(a)
t
,
∀ 1 ≤ i ≤ n si y sólo si existen ∂fi
∂v
(a), ∀ 1 ≤ i ≤ n.
Además
∂f
∂v
(a) = lim
t→0
f(a + tv)− f(a)
t
=
(
∂f1
∂v
(a), . . . ,
∂fn
∂v
(a)
)
�
Notación: Cuando v = ei, escribiremos
∂f
∂xi
(a) en vez de
∂f
∂ei
(a). Por la proposición anterior
∂f
∂xi
(a) =
(
∂f1
∂xi
(a), . . . ,
∂fn
∂xi
(a)
)
, ∀ 1 ≤ i ≤ m
Observaciones:
1. Sea U ⊆ Rm abierto, f = (f1, . . . , fn) : U → Rn diferenciable en a ∈ U . Dado v ∈ Rm, tomamos
t ∈ R tal que tv ∈ Ua. Por la diferenciabilidad tenemos
f(a + tv) = f(a) + f ′(a)(tv) + ra(tv)
luego
f(a + tv)− f(a)
t
= f ′(a)(v) +
ra(tv)
t
Análisis Real II 6
se sigue que
lim
t→0
f(a + tv)− f(a)
t
= f ′(a)(v)
luego, hemos probado que si f es diferenciable en a entonces existen todas las derivadas direccionales
∂f
∂v
(a) y f ′(a)(v) =
∂f
∂v
(a), ∀ v ∈ Rm .
2. Si f es diferenciable en a entonces podemos considerar la función
f ′(a) : Rm → Rn
v 7→ f ′(a)(v) = ∂f
∂v
(a)
3. Vamos a hallar la matriz asociada a la transformación lineal f ′(a) en las bases canónicas de Rm y
Rn. Si f = (f1, . . . , fn) es diferenciable en a, entonces para 1 ≤ i ≤ m tenemos
f ′(a)(ei) =
∂f
∂xi
(a) =
(
∂f1
∂xi
(a),
∂f2
∂xi
(a), . . . ,
∂fn
∂xi
(a)
)
=
∂f1
∂xi
(a)e1 +
∂f2
∂xi
(a)e2 + . . . +
∂fn
∂xi
(a)en
Luego, la matriz asociada a f ′(a) en las bases canónicas es dada por












∂f1
∂x1
(a)
∂f1
∂x2
(a) . . .
∂f1
∂xm
(a)
∂f2
∂x1
(a)
∂f2
∂x2
(a) . . .
∂f2
∂xm
(a)
...
...
...
∂fn
∂x1
(a)
∂fn
∂x2
(a) . . .
∂fn
∂xm
(a)












=





∇f1(a)
∇f2(a)
...
∇fn(a)





=
[
∂f
∂x1
(a),
∂f
∂x2
(a), · · · , ∂f
∂xm
(a)
]
∈ Rn×m
Esta matriz es llamada Matriz Jacobiana de f en a y se denota por Jf(a) ó
∂(f1, . . . , fn)
∂(x1, . . . , xm)
(a).
4. Si f : U → R es diferenciable en a ∈ U entonces Jf(a) = ∇f(a).
5. Si f : I ⊆ R→ Rn es diferenciable en a ∈ I entonces Jf(a) ∈ Rn×1 ≈ R1×n, más aún
Jf(a) =





f ′1(a)
f ′2(a)
...
f ′n(a)





←→ (f ′1(a), f ′2(a), . . . , f ′n(a)) ∈ Rn
6. Si f : I ⊆ R→ R es diferenciable en a ∈ I entonces Jf(a) ∈ R1×1 ≈ R, más aún
Jf(a) = f ′(a) ∈ R
Análisis Real II 7
Ejemplo 1.1.7 Vamos a hallar las derivadas parciales de la función determinante. Denotemos por
Eij ∈ Rn×n a la matriz cuya entrada ij es 1 y todas las otras entradas son ceros, es decir
Eij =












θ
...
θ
ej
θ
...
θ












←→ ( θ, . . . , θ
︸ ︷︷ ︸
i−1 veces
, ej , θ, . . . , θ).
Por ejemplo E24 ∈ R4×4 seŕıa
E24 =




0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0




←→ (θ, e4, θ, θ)
Es claro que {Eij} es una base de Rn×n, llamada base canónica. Para A ∈ Rn×n tenemos
∂ det
∂xij
(A) = det′(A)(Eij) = det′(A1, . . . , An)(θ, . . . , θ, ej , θ, . . . , θ)
= det(θ, A2, . . . , An) + · · ·+ det(A1, . . . , Ai−1, ej , Ai+1, . . . , An) + · · ·+ det(A1 . . . , An−1, θ)
= det(A1, . . . , Ai−1, ej , Ai+1, . . . , An) = (−1)i−1 det(ej , A1, . . . , Ai−1, Ai+1, . . . , An)
= (−1)i+jA[i,j]
donde A[i,j] es el determinante de la matriz obtenida de A suprimiendo la i-ésima fila y la j-ésima columna.
Como caso particular, si A =


x11 x12 x13
x21 x22 x23
x31 x32 x33

 ∈ R3×3 entonces
∂ det
∂x23
(A) = (−1)2+3A[2,3] = − det
(
x11 x12
x31 x32
)
= x12x31 − x11x32
1.2 La Regla de la Cadena
Teorema 1.2.1 (Regla de la Cadena) Sean U ⊆ Rm, V ⊆ Rn abiertos, f : U → V diferenciable en
a ∈ U y g : V → Rp diferenciable en f(a) ∈ V . Entonces g ◦ f : U → Rp es diferenciable en a y
(g ◦ f)′(a) = g′(f(a))f ′(a)
Demostración. Sea g = (g1, . . . , gp), por la Proposición 1.1.1 las funciones gk : V → R son diferenciables
en f(a), (k = 1, . . . , p), luego (ver Análisis I) las funciones gk ◦ f : U → R son diferenciables en a,
Análisis Real II 8
(k = 1, . . . , p), nuevamente por la Proposición 1.1.1 se sigue que g ◦f = (g1 ◦f, . . . , gp ◦f) es diferenciable
en a.
Por otro lado, para v ∈ Rm tenemos:
(g ◦ f)′(a)(v) = ((g1 ◦ f)′(a), . . . , (gn ◦ f)′(a)) (v) = (g′1(f(a))f ′(a)(v), . . . , g′n(f(a))f ′(a)(v))
= (g′1(f(a)), . . . , g
′
n(f(a))) (f
′(a)(v)) = (g′(f(a)) ◦ f ′(a)) (v)
Se deduce que (g ◦ f)′(a) = g′(f(a))f ′(a). �
La “versión matricial” de la Regla de la Cadena viene dada en el siguiente resultado.
Corolario 1. Sean U ⊆ Rm, V ⊆ Rn abiertos, f : U → V diferenciable en a ∈ U y g : V → Rp
diferenciable en f(a) ∈ V . Entonces
J(g ◦ f)(a) = Jg(f(a)) · Jf(a)
Observaciones.
1. Haciendo f = (f1, . . . , fn) y g = (g1, . . . , gp) se tiene que g ◦ f = (g1 ◦ f, . . . , gp ◦ f), luego
∂(g1 ◦ f, . . . , gp ◦ f)
∂(x1, . . . , xm)
(a) =
∂(g1, . . . , gp)
∂(y1, . . . , yn)
(f(a)) · ∂(f1, . . . , fn)
∂(x1, . . . , xm)
(a)
Se sigue que
∂(gk ◦ f)
∂xi
(a) =
n
∑
j=1
∂gk
∂yj
(f(a))
∂fj
∂xi
(a) ∀ 1 ≤ i ≤ m, ∀ 1 ≤ k ≤ np.
2. Sean U ⊆ Rm, V ⊆ Rn abiertos, f : U → V diferenciable en U y g = (g1, . . . , gp) : V → Rp
diferenciable en V , con f(U) ⊆ V entonces
∂(gk ◦ f)
∂xi
=
n
∑
j=1
(
∂gk
∂yj
◦ f
)
∂fj
∂xi
∀ 1 ≤ i ≤ m, ∀ 1 ≤ k ≤ p.
Corolario 2. Sean U ⊆ Rm abierto, f, g : U → Rn diferenciables en a ∈ U y r ∈ R. Se cumplen
1. f + g : U → Rn es diferenciableen a y (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a).
2. f − g : U → Rn es diferenciable en a y (f − g)′(a) = f ′(a)− g′(a).
3. rf : U → Rn es diferenciable en a y (rf)′(a) = rf ′(a).
4. Si n = 3 entonces f + g : U → R3 es diferenciable en a y (f × g)′(a) = f ′(a)× g(a) + f(a)× g′(a).
Corolario 3. Sean U ⊆ Rm abierto, f, g : U → Rn diferenciables en a ∈ U y ϕ : Rn ×Rn → Rp bilineal.
Entonces la función
ϕ(f, g) : U → Rp
x 7→ ϕ(f, g)(x) = ϕ(f(x), g(x))
Análisis Real II 9
es diferenciable en a y
(ϕ(f, g))′ (a)(v) = ϕ(f ′(a)(v), g(a)) + ϕ(f(a), g′(a)(v))
Demostración. Observe que ϕ(f, g) = ϕ ◦ (f, g) la cual es diferenciable en a. Además
(ϕ(f, g))′ (a)(v) = (ϕ ◦ (f, g))′ (a)(v) = ϕ′(f(a), g(a))(f ′(a)(v), g′(a)(v))
= ϕ(f ′(a)(v), g(a)) + ϕ(f(a), g′(a)(v)) �
Corolario 4. Sean U ⊆ Rm abierto y f : U → Rn diferenciable en a ∈ U . Suponga que existe
f−1 : V → Rm donde V ⊆ Rn es abierto y f−1 es diferenciable en f(a). Entonces f ′(a) ∈ L(Rm,Rn) es
un isomorfismo cuyo inverso es (f−1)′(f(a)) ∈ L(Rn,Rm). En particular n = m.
Demostración. f ◦ f−1 = idV y f−1 ◦ f = idU , por la regla de la cadena:
(f ◦ f−1)′(f(a)) = I =⇒ f ′(a) · (f−1)′(f(a)) = I
Análogamente (f−1)′(f(a)) · f ′(a) = I �
1.3 El Teorema de Schwarz
Definición 1.3.1 Sea U ⊆ Rm un abierto, f : U → Rn y a ∈ U . Decimos que f es dos veces diferenciable
en a si y sólo si
1. f es diferenciable en U .
2. Las derivadas parciales
∂f
∂x1
, . . . ,
∂f
∂xm
: U → Rn son diferenciables en a.
Proposición 1.3.1 Sea U ⊆ Rm abierto, f = (f1, . . . , fn) : U → Rn y a ∈ U . Son equivalentes
1. f es dos veces diferenciable en a
2. Las funciones coordenadas f1, . . . , fn : U → R son dos veces diferenciables en a.
Demostración. Ejercicio. �
Observación: Sea f = (f1, . . . , fn) : U ⊆ Rm → Rn dos veces diferenciable en a ∈ U entonces, por
definición, f es diferenciable en U , luego podemos considerar la función derivada f ′ : U → L(Rm,Rn) ≈
Rn×m que a cada x ∈ U le asocia f ′(x) ∈ L(Rm;Rn) ≈ Rn×m. Usando la identificación canónica entre
Rn×m y Rnm, tenemos
f ′(x) =












∂f1
∂x1
(x) . . .
∂f1
∂xm
(x)
∂f2
∂x1
(x) . . .
∂f2
∂xm
(x)
...
...
∂fn
∂x1
(x) . . .
∂fn
∂xm
(x)












=
(
∂f1
∂x1
(x), . . . ,
∂f1
∂xm
(x), . . . ,
∂fn
∂x1
(x), . . . ,
∂fn
∂xm
(x)
)
Análisis Real II 10
Por la definición de función dos veces diferenciable se sigue que las funciones coordenadas de f ′ son
diferenciables en a, luego f ′ es diferenciable en a.
Notación:
∂2f
∂v∂w
(a) =
∂
∂v
(
∂f
∂w
)
(a), ∀ v, w ∈ Rm.
Teorema 1.3.2 (Teorema de Schwartz) Sea U ⊆ Rm abierto, y f : U → Rn función dos veces
diferenciable en a ∈ U . Entonces
∂2f
∂xi∂xj
(a) =
∂2f
∂xj∂xi
(a), ∀ 1 ≤ i, j ≤ m
Demostración. Sea f = (f1, . . . , fn) entonces fk : U → R son dos veces diferenciables en a ∈ U ,
∀ 1 ≤ k ≤ n, luego:
∂2f
∂xj∂xi
(a) =
∂
∂xj
∂f
∂xi
(a) =
(
∂
∂xj
∂f1
∂xi
(a), . . . ,
∂
∂xj
∂fn
∂xi
(a)
)
=
(
∂2f1
∂xj∂xi
(a), . . . ,
∂2fn
∂xj∂xi
(a)
)
=
(
∂2f1
∂xi∂xj
(a), . . . ,
∂2fn
∂xi∂xj
(a)
)
=
∂
∂xi
(
∂f1
∂xj
(a), . . . ,
∂fn
∂xj
(a)
)
=
∂
∂xi
∂f
∂xj
(a)
=
∂2f
∂xi∂xj
(a) �
Corolario. Sean U ⊆ Rm abierto y f : U → Rn dos veces diferenciable en a ∈ U . Entonces
∂2f
∂v∂w
(a) =
∂2f
∂w∂v
(a), ∀ v, w ∈ Rm
Teorema 1.3.3 Sea U ⊆ Rm abierto y f : U → Rn función dos veces diferenciable en a ∈ U . Entonces
ϕf,a : Rm × Rm → Rn
(v, w) 7→ ϕf,a(v, w) =
∂2f
∂w∂v
(a)
es una transformación bilineal simétrica.
Demostración. La simetŕıa es consecuencia del corolario anterior. Vamos a probar la bilinealidad:
ϕf,a(v, c1w1 + c2w2) =
∂
∂(c1w1 + c2w2)
(
∂f
∂v
)
(a) =
(
∂f
∂v
)′
(a)(c1w1 + c2w2)
= c1
(
∂f
∂v
)′
(a)(w1) + c2
(
∂f
∂v
)′
(a)(w2) = c1
∂2f
∂w1∂v
(a) + c2
∂2f
∂w2∂v
(a)
= c1ϕf,a(v, w1) + c2ϕf,a(v, w2)
Usando la simetŕıa se prueba la linealidad con respecto a la primera variable. �
A continuación vamos a averiguar que tipo de objeto es la segunda derivada f ′′(a) = (f ′)′(a) de una
función dos veces diferenciable en a.
Análisis Real II 11
Sea U ⊆ Rm abierto y f : U → Rn una función dos veces diferenciable en a ∈ U , por la observación
anterior sabemos que f ′ : U → L(Rm,Rn) es diferenciable en a, luego
f ′′(a) = (f ′)′(a) ∈ L (Rm,L(Rm,Rn))
Pero del álgebra lineal, se sabe que existe un isomorfismo entre
L (Rm,L(Rm,Rn)) y
L2(Rm,Rn) = {ϕ : Rm × Rm → Rn : ϕ es bilineal}
que asocia a cada transformación lineal T : Rm → L(Rm,Rn) la transformación bilineal BT : Rm×Rm →
Rn definida por BT (v, w) = T (w)(v). (¡Ejercicio!). Vamos a determinar la transformación bilineal
asociada a f ′′(a). Si f = (f1, . . . , fn) entonces por la definición de función dos veces diferenciable en a y
la Proposición 1.1.1 tenemos que f ′ = (f ′1, . . . , f
′
n) : U → L(Rm,Rn) es diferenciable en a. Dado w ∈ Rm
tenemos
f ′′(a)(w) = (f ′)′(a)(w) =
∂f ′
∂w
(a) =
(
∂f ′1
∂w
(a), . . . ,
∂f ′n
∂w
(a)
)
(1.2)
Por otro lado, como fi (1 ≤ i ≤ n) es dos veces diferenciable en a entonces f ′i : U → (Rm)∗ es
diferenciable en a y desde que f ′i puede ser identificado con el vector gradiente
(
∂fi
∂x1
, . . . ,
∂fi
∂xn
)
, por
Schwarz obtenemos
∂f ′i
∂w
(a) =
∂
∂w
(
∂fi
∂x1
(a), . . . ,
∂fi
∂xm
(a)
)
=
(
∂
∂x1
(
∂fi
∂w
)
(a), . . . ,
∂
∂xm
(
∂fi
∂w
)
(a)
)
=
(
∂fi
∂w
)′
(a) (1.3)
De (1.2) y (1.3)
f ′′(a)(w) =
(
(
∂f1
∂w
)′
(a), . . . ,
(
∂fn
∂w
)′
(a)
)
=
(
∂f
∂w
)′
(a)
y por tanto
f ′′(a)(w)(v) =
(
∂f
∂w
)′
(a)(v) =
∂2f
∂v∂w
(a) = ϕf,a(v, w)
De esta manera ϕf,a es la transformación bilineal asociada a f ′′(a), es decir podemos considerar f ′′(a)
como
f ′′(a) : Rm × Rm → Rn
(v, w) 7→ f ′′(a)(v, w) = ∂
2f
∂v∂w
(a)
1.4 Funciones de clase Ck
Definición 1.4.1 Sea U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn
1. Decimos que f es de clase C1 en U si y sólo si se cumple
(a) Existen las derivadas parciales
∂f
∂x1
(x), . . . ,
∂f
∂xm
(x), ∀x ∈ U .
Análisis Real II 12
(b) Las funciones
∂f
∂x1
, . . . ,
∂f
∂x1
: U → Rn son continuas en U .
2. Decimos que f es de clase Ck en U (k ≥ 2) si y sólo si se cumple
(a) Existen las derivadas parciales
∂f
∂x1
(x), . . . ,
∂f
∂xm
(x), ∀x ∈ U .
(b) Las funciones
∂f
∂x1
, . . . ,
∂f
∂x1
: U → Rn son de clase Ck−1 en U .
3. Decimos que f es de clase C∞ en U si y sólo si f es de clase Ck en U , ∀ k ∈ N.
Notaciones:
1. Ck(U ;Rn) = {f : U → Rn; f es de clase Ck en U} (k ≥ 1).
2. C0(U ;Rn) = C(U ;Rn) = {f : U → Rn; f es continua en U}.
3. C∞(U ;Rn) = {f : U → Rn; f es de clase C∞ en U}.
Observaciones:
1. C∞(U ;Rn) =
∞
⋂
k=1
Ck(U ;Rn).
2. C∞(U ;Rn) ⊂ · · · ⊂ Ck(U ;Rn) ⊂ Ck−1(U ;Rn) ⊂ · · · ⊂ C1(U ;Rn) ⊂ C(U ;Rn).
3. f ∈ Ck(U ;Rn) si y sólo si ∂f
∂xi
∈ Ck−1(U ;Rn), ∀ 1 ≤ i ≤ m.
4. Cuando n = 1 denotamos Ck(U) en vez de Ck(U ;R).
Proposición 1.4.1 Sea U ⊆ Rm abierto y f = (f1, . . . , fn) : U → Rn. Son equivalentes
1. f ∈ Ck(U ;Rn).
2. f1, . . . , fn ∈ Ck(U).
Demostración. Ejercicio. �
Corolario. Sean U ⊆ Rm abierto, f, g ∈ Ck(U ;Rn) y c ∈ R entonces f + g, cf ∈ Ck(U ;Rn). Además, si
definimos φ : U → Rn × Rn ≈ R2n como φ(x) = (f(x), g(x)), ∀ x ∈ U entonces φ ∈ Ck(U ;R2n).
Demostración. Ejercicio. �
Proposición 1.4.2 Sean U ⊆ Rm, V ⊆ Rn abiertos y f : U → Rn, g : V → Rp con f(U) ⊆ V . Si
f ∈ Ck(U ;Rn) y g ∈ Ck(V ;Rp) entonces g ◦ f ∈ Ck(U ;Rp).
Análisis Real II 13
Demostración. Si f = (f1, . . . , fn) y g = (g1, . . . , gp) entonces g ◦f = (g1 ◦f, . . . , gp ◦f). De la hipótesis
y la Proposición 1.4.1 se sigue que fj ∈ Ck(U), ∀ 1 ≤ j ≤ n y gl ∈ Ck(V ), ∀ 1 ≤ l ≤ p. Sabemos que
∂(gl ◦ f)
∂xi
=
n
∑
j=1
(
∂gl
∂yj
◦ f
)
∂fj
∂xi
luego
∂(gl ◦ f)
∂xi
∈ Ck−1, ∀ 1 ≤ i ≤ n. Se sigue que gl ◦f ∈ Ck(U), ∀ 1 ≤ l ≤ p, es decir g ◦f ∈ Ck(U ;Rp),
lo que finaliza la prueba. �
Es claro que las funciones constantes son de clase C∞ en Rm, a continuación, daremos otros ejemplos
de funciones de clase C∞.
Ejemplo 1.4.1 Si T ∈ L(Rm,Rn) entonces T ∈ C∞(Rm,Rn). En efecto, fijando v ∈ Rm, por el Ejemplo
1.1.2 tenemos
∂T
∂v
(x) = T ′(x)(v) = T (v) = T◦ φ(x)
donde φ(x) = v es la función constante. Luego
∂T
∂v
= T ◦ φ y de aqúı se sigue el resultado.
Ejemplo 1.4.2 Si ϕ : Rm × Rn → Rp es bilineal entonces ϕ ∈ C∞(Rm × Rn;Rp). En efecto, fijando
v = (v1, v2) ∈ Rm × Rn, para cualquier x = (x1, x2) ∈ Rm × Rn, por el Ejemplo 1.1.3 tenemos
∂ϕ
∂v
(x) = ϕ′(x)(v) = ϕ(v1, x2) + ϕ(x1, v2)
Si definimos φ1, φ2 : Rm × Rn → Rm × Rn por φ1(x) = (v1, π2(x)) y φ2(x) = (π1(x), v2), entonces por el
ejemplo anterior y el corolario a la Proposición 1.4.1 se tiene que φ1 y φ2 son funciones de clase C∞. De
la igualdad anterior tenemos que
∂ϕ
∂v
= ϕ ◦ φ1 + ϕ ◦ φ2
De aqúı se sigue que ϕ ∈ C∞(Rm × Rn;Rp).
A continuación probaremos que la función que a toda matriz inversible le asigna su inversa, es una
función de clase C∞.
En primer lugar recordemos que con las operaciones usuales de suma de funciones y producto de
un escalar por una transformación lineal, el conjunto L(Rm;Rn) se torna un R-espacio vectorial. Sea
T ∈ L(Rm;Rn) entonces ∃K > 0 tal que ‖T (x)‖ ≤ K‖x‖, ∀x ∈ Rm.
Si x 6= 0 entonces ‖T (x)‖
‖x‖
≤ K, luego el conjunto
{
‖T (x)‖
‖x‖
: x ∈ Rm − {0}
}
⊆ R
es acotado superiormente, luego existe su supremo, el cual será denotado por ‖T‖, es decir
‖T‖ = sup
{
‖T (x)‖
‖x‖
: x ∈ Rm − {0}
}
Observaciones:
Análisis Real II 14
1.
‖T (x)‖
‖x‖
≤ ‖T‖, ∀x ∈ Rm − {0}. Se sigue que ‖T (x)‖ ≤ ‖T‖ · ‖x‖, ∀ x ∈ Rm.
2. ‖T‖ = sup
{
‖T (x)‖ : x ∈ Sm−1
}
.
Teorema 1.4.3 Se cumplen las siguientes propiedades:
1. ‖T‖ ≥ 0, ∀ T ∈ L(Rm;Rn).
2. ‖T‖ = 0 =⇒ T = 0.
3. ‖rT‖ = |r| ‖T‖, ∀ T ∈ L(Rm;Rn), ∀ r ∈ R.
4. ‖T1 + T2‖ ≤ ‖T1‖ + ‖T2‖, ∀ T1, T2 ∈ L(Rm;Rn).
5. ‖T1 ◦ T2‖ ≤ ‖T1‖ · ‖T2‖, ∀ T1 ∈ L(Rn;Rp), ∀ T2 ∈ L(Rm;Rn).
6. ‖Tn‖ ≤ ‖T‖n, ∀ T ∈ L(Rm) = L(Rm;Rm), ∀ n ∈ N.
Demostración. Probaremos solamente (4) las demás quedarán como ejercicio para el lector. Sean
T1, T2 ∈ L(Rm;Rn) y x ∈ Sm−1
‖(T1 + T2)(x)‖ ≤ ‖T1(x)‖+ ‖T2(x)‖ ≤ ‖T1‖+ ‖T2‖ �
Observación. (L(Rm;Rn), ‖ · ‖) es un R-espacio normado isomorfo a Rn×m.
Por otro lado A ∈ GL(Rm) ≈ Rm×m si y sólo si det(A) 6= 0 si y sólo si A ∈ det−1(R−{0}). Como det
es una función continua, concluimos que GL(Rm) ⊆ Rm×m ≈ Rm2 es abierto. Denotemos U = GL(Rm).
Definimos f : U → Rm2 por f(X) = X−1. Afirmo que f es diferenciable en U . En efecto, sea A ∈ U ,
vamos a “buscar un candidato” para f ′(A) y rA(H). Procediendo “informalmente” para H ∈ UA, se
observa que
f(A + H)− f(A) = (A + H)−1 −A−1 =
[
A(I + A−1H)
]−1 −A−1 = (I + A−1H)−1A−1 −A−1
=
(
(I + A−1H)−1 − I
)
A−1 = ((I −A−1H + · · ·)− I)A−1
= −A−1HA−1 + · · ·
Claramente TA : Rm
2 → Rm2 , definida por TA(H) = −A−1HA−1 es una transformación lineal, la cual
seŕıa el “candidato” a f ′(A), luego el “candidato” a resto seŕıa rA : UA → Rm
2
definido por
rA(H) = f(A + H)− f(A)− TA(H)
Operando
rA(H) = (A + H)−1 −A−1 + A−1HA−1 = (A + H)−1
[
I − (A + H)A−1 + (A + H)A−1HA−1
]
= (A + H)−1
[
I − I −HA−1 + HA−1 + HA−1HA−1
]
= (A + H)−1(HA−1)2
luego
‖rA(H)‖ = ‖(A + H)−1(HA−1)2‖ ≤ ‖(A + H)−1‖ · ‖HA−1‖2 ≤ ‖(A + H)−1‖ · ‖H‖2 · ‖A−1‖2
Análisis Real II 15
Para H 6= 0 se sigue que
‖rA(H)‖
‖H‖
≤ ‖(A + H)−1‖ · ‖H‖ · ‖A−1‖2 (1.4)
Lema 1.4.1 Si A ∈ GL(Rm) entonces existe C > 0 tal que si H ∈ L(Rm) es tal que ‖H‖ ≤ C, entonces
A + H ∈ GL(Rm) y ‖(A + H)−1‖ ≤ 1
C
.
Demostración. Sea C =
1
2‖A−1‖
. Dado x ∈ Rm se tiene
‖x‖ = ‖A−1Ax‖ ≤ ‖A−1‖ · ‖Ax‖
Se sigue que ‖Ax‖ ≥ 2C‖x‖, ∀ x ∈ Rm. Si H ∈ L(Rm) es tal que ‖H‖ ≤ C entonces
‖(A + H)x‖ = ‖Ax + Hx‖ ≥ ‖Ax‖ − ‖Hx‖ ≥ 2C‖x‖ − C‖x‖ = C‖x‖
Claramente esto implica que A + H es inyectiva y por tanto A + H ∈ GL(Rm). Además
‖x‖ = ‖(A + H)(A + H)−1x‖ ≥ C‖(A + H)−1x‖
de donde ‖(A + H)−1x‖ ≤ 1
C
‖x‖, luego ‖(A + H)−1‖ ≤ 1
C
. �
Del lema anterior y de (1.4): Dado � > 0 tomemos δ < min
{
C,
C�
‖A−1‖2
}
. Si H ∈ UA es tal que
‖H‖ < δ, del lema anterior y de (1.4) tenemos
‖rA(H)‖
‖H‖
≤ ‖(A + H)−1‖ · ‖H‖ · ‖A−1‖2 < 1
C
· C�
‖A−1‖2
· ‖A−1‖2 = �
es decir lim
H→0
rA(H)
‖H‖
= 0. Desde que A ∈ U fue arbitrario, concluimos que f es diferenciable en U y
f ′(A)(H) = −A−1HA−1, ∀ H ∈ L(Rm).
En particular f es continua en U .
Para probar que f es de clase C∞, fijemos V ∈ L(Rm). Para cualquier X ∈ GL(Rm), se tiene
∂f
∂V
(X) = f ′(X)(V ) = −X−1V X−1
Por otro lado, sea ϕ : L(Rm)×L(Rm) → L(Rm) dada por ϕ(X,Y ) = −XV Y . Es claro que ϕ es bilineal y
por tanto, de clase C∞. Si consideramos φ : U → U ×U definida por φ(X) = (f(X), f(X)), del corolario
a la Proposición 1.4.1 tenemos que φ es continua. Observe que
(ϕ ◦ φ)(X) = ϕ(φ(X)) = ϕ(f(X), f(X)) = −X−1V X−1 = ∂f
∂V
(X) ∀ X ∈ U
Análisis Real II 16
luego
∂f
∂V
= ϕ ◦ φ
se sigue que
∂f
∂V
es continua, ∀ V ∈ Rm×m y por tanto f es de clase C1. Se tiene ahora que φ es de
clase C1 y por tanto
∂f
∂V
lo cual implica f de clase C2. Procediendo por inducción se tiene el resultado
deseado. Resumimos nuestros resultados en el siguiente:
Teorema 1.4.4 La función f : GL(Rn) → GL(Rn) definida por f(X) = X−1 es de clase C∞.
1.5 El Teorema de Taylor
Definición 1.5.1 Sean U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn. Decimos que f es p veces diferenciable en
a ∈ U (p ≥ 3) si sólo si las funciones
∂f
∂x1
,
∂f
∂x2
, · · · , ∂f
∂xm
: U → Rn
son p− 1 veces diferenciables en a.
Proposición 1.5.1 Sea U ⊆ Rm abierto, f = (f1, . . . , fn) : U → Rn y a ∈ U . Son equivalentes
1. f es p veces diferenciable en a
2. f1, . . . , fn : U → R son p veces diferenciables en a.
Demostración. Ejercicio. �
Observación: Si f ∈ Cp(U ;Rn) entonces f es p-veces diferenciable en a, ∀ a ∈ U . ¿Es cierto el rećıproco?
Dejamos la respuesta para el lector.
Sea f ∈ C2(U ;Rn), dado x ∈ U se tiene que f ′′(x) ∈ L2(Rm,Rn), luego podemos definir
f ′′ : U → L2(Rm;Rn)
x 7→ f ′′(x)
Las derivadas de orden superior son definidas de manera análoga. Sea U ⊆ Rm abierto y f : U → Rn
función p veces diferenciable en a ∈ U . Definimos
f (p)(a) :
p veces
︷ ︸︸ ︷
Rm × · · · × Rm → Rn
(v1, . . . , vp) 7→ f (p)(a)(v1, . . . , vp) =
∂pf
∂vp · · · ∂v1
(a)
Análisis Real II 17
No es dif́ıcil probar que f (p)(a) es una transformación p-lineal y simétrica. Si denotamos
Lp(Rm;Rn) =



ϕ :
p veces
︷ ︸︸ ︷
Rm × · · · × Rm → Rn : ϕ es p-lineal



tenemos que f (p)(a) ∈ Lp(Rm;Rn). Si f ∈ Cp(U ;Rn) entonces f (p)(x) ∈ Lp(Rm;Rn), luego podemos
definir
f (p) : U → Lp(Rm;Rn)
x 7→ f (p)(x)
Notación: f (p)(a)(v, v, · · · , v) = f (p)(a)vp.
Teorema 1.5.2 (Fórmula de Taylor Infinitesimal) Sea U ⊆ Rm abierto, y f : U → Rn función p
veces diferenciable en a ∈ U . Entonces
f(a + h) = f(a) + f ′(a)h +
1
2!
f ′′(a)h2 + · · ·+ 1
p!
f (p)(a)hp + ra(h), ∀h ∈ Ua
donde lim
h→0
ra(h)
‖h‖p
= 0.
Demostración. Sea f = (f1, . . . , fn) entonces fk : U → R son p veces diferenciables en a ∈ U . Luego
para h ∈ Ua, se cumple:
fk(a + h) = fk(a) + f ′k(a)h +
1
2!
f ′′k (a)h
2 + · · ·+ 1
p!
f (p)k (a)h
p + rka(h)
donde lim
h→0
rka(h)
‖h‖p
= 0, ∀ 1 ≤ k ≤ n. Luego
f(a + h) = f(a) + (f ′1(a)h, . . . , f
′
n(a)h) +
1
2!
(f ′′1 (a)h
2, . . . , f ′′n (a)h
2) + · · ·+
+
1
p!
(f (p)1 (a)h
p, . . . , f (p)n (a)h
p) + ra(h)
donde ra(h) = (r1a(h), . . . , r
n
a (h). Se sigue que
f(a + h) = f(a) + f ′(a)h +
1
2!
f ′′(a)h2 + · · ·+ 1
p!
f (p)(a)hp + ra(h), ∀h ∈ Ua
donde lim
h→0
ra(h)
‖h‖p
= 0. �
Teorema 1.5.3 (Fórmula de Taylor con Resto de Lagrange) Sea U ⊆ Rm abierto, a ∈ U , h ∈
Rm tal que [a, a + h] ⊆ U . Si f ∈ Cp(U ;Rn) es (p + 1) veces diferenciable en ]a, a + h[ con
∥
∥
∥f (p+1)(x)wp+1
∥
∥
∥ ≤ M‖w‖p+1, ∀ x ∈ ]a, a + h[ ∀ w ∈ Rm
Análisis Real II 18
Entonces
f(a + h) = f(a) + f ′(a)h +
1
2!
f ′′(a)h2 + · · ·+ 1
p!
f (p)(a)hp + ra(h), ∀h ∈ Ua
donde ‖ra(h)‖ ≤
M
(p + 1)!
‖h‖p+1.
Demostración. ¡Ejercicio! �
Teorema 1.5.4 (Fórmula de Taylor con Resto Integral) Sea U ⊆ Rm abierto, a ∈ U , h ∈ Rm tal
que [a, a + h] ⊆ U . Si f ∈ Cp+1(U ;Rn) entonces
f(a + h) = f(a) + f ′(a)h +
1
2!
f ′′(a)h2 + · · ·+ 1
p!
f (p)(a)hp +
1
p!
∫ 1
0
(1− t)pf (p+1)(a + th)hp+1dt
Demostración. ¡Ejercicio! �
1.6 Principio de diferenciabilidad uniforme
Teorema 1.6.1 (Desigualdad del Valor Medio)Sea U ⊆ Rm abierto, f : U → Rn diferenciable en
U , a ∈ U , h ∈ Rm tal que [a, a + h] ⊆ U . Si ∃M = sup{‖f ′(x)‖; x ∈ ]a, a + h[ } entonces
‖f(a + h)− f(a)‖ ≤ M‖h‖
Demostración. Si
α : [0, 1] → U
t 7→ α(t) = a + th
entonces
f ◦ α : [0, 1] → Rn
t 7→ (f ◦ α)(t) = f(a + th)
es un camino continuo en [0, 1] y diferenciable en ]0, 1[ , además para t ∈ ]0, 1[ , tenemos
‖(f ◦ α)′(t)‖ = ‖f ′(α(t))α′(t)‖ = ‖f ′(a + th)h‖ ≤ ‖f ′(a + th)‖ · ‖h‖ ≤ M‖h‖
Luego, por el T.V.M. para caminos:
‖f(a + h)− f(a)‖ = ‖(f ◦ α)(1)− (f ◦ α)(0)‖ ≤ M‖h‖ �
Corolario 1. Sean U ⊆ Rm abierto y convexo. Si f : U → Rn es diferenciable en U y ∃M =
sup {‖f ′(x)‖; x ∈ U} entonces f es Lipschitz y
‖f(x1)− f(x2)‖ ≤ M‖x1 − x2‖, ∀x1, x2 ∈ U
Corolario 2. Sean U ⊆ Rm abierto y conexo. Si f : U → Rn es diferenciable en U y f ′(x) = 0, ∀x ∈ U ,
entonces f es constante.
Análisis Real II 19
Demostración. Sea a ∈ U y consideremos A = {x ∈ U : f(x) = f(a)}, B = {x ∈ U : f(x) 6= f(a)}.
Observe que A ∪ B = U y A ∩ B = ∅. Como f es continua, B es abierto. Vamos a probar que A es
abierto. Sea x ∈ A, ∃ δ > 0 tal que Bδ(x) ⊆ U . Afirmo que Bδ(x) ⊆ A, en efecto:
Si y ∈ Bδ(x) entonces [x, y] ⊆ Bδ(x) ⊆ U , luego por la desigualdad del valor medio
‖f(x)− f(y)‖ ≤ 0‖x− y‖
se sigue que f(y) = f(x) = f(a), es decir y ∈ A lo que prueba la afirmación. Luego A, B es una escisión
de U , se sigue que B = ∅, luego A = U . �
Corolario 3. Sean U ⊆ Rm abierto, f : U → Rn diferenciable en U , a ∈ U , h ∈ Rm tal que [a, a+h] ⊆ U
y T ∈ L(Rm;Rn). Si ‖f ′(x)− T‖ ≤ M , ∀x ∈ ]a, a + h[ entonces
‖f(a + h)− f(a)− T (h)‖ ≤ M‖h‖
Demostración. Considero
g : U → Rm
x 7→ g(x) = f(x)− T (x)
Claramente g es diferenciable en U y ‖g′(x)‖ = ‖f ′(x)− T‖ ≤ M , ∀x ∈ ]a, a + h[ , por la desigualdad del
valor medio ‖g(a + h)− g(a)‖ ≤ M‖h‖, es decir
‖f(a + h)− f(a)− T (h)‖ = ‖f(a + h)− T (a + h)− f(a)− T (a)‖ ≤ M‖h‖ �
Lema 1.6.1 Sea X ⊆ Rm, f : X → Rn continua y K ⊆ X compacto. Entonces ∀ � > 0, ∃ δ > 0 tal que
si x ∈ X, y ∈ K y ‖x− y‖ < δ entonces ‖f(x)− f(y)‖ < �.
Demostración. Supongamos que ∃ �0 > 0 tal que ∀ δ > 0, ∃xδ ∈ X y ∃ yδ ∈ K tales que ‖xδ − yδ‖ < δ
y ‖f(xδ)− f(yδ)‖ ≥ �0 (Hip. Aux.)
Podemos construir (xk) ⊆ X, (yk) ⊆ K tales que ‖xk−yk‖ < 1k y ‖f(xk)−f(yk)‖ ≥ �0, ∀ k ∈ N. Como
K es compacto, ∃ (yjk) ⊆ (yk) tal que limk→∞ yjk = y y y ∈ K, luego limk→∞ f(yjk) = f(y). Considerando
(xjk) ⊆ (xk), tenemos
‖xjk − y‖ ≤ ‖xjk − yjk‖+ ‖yjk − y‖ ≤
1
jk
+ ‖yjk − y‖, ∀ k ∈ N
Se sigue que lim
k→∞
xjk = y, luego limk→∞
f(xjk) = f(y). Aśı: �0 ≤ ‖f(xjk) − f(yjk)‖, ∀ k ∈ N, luego
�0 ≤ lim
k→∞
‖f(xjk)− f(yjk)‖ = 0, lo cual es una contradicción. �
Teorema 1.6.2 (Diferenciabilidad Uniforme) Sean U ⊆ Rm abierto, K ⊆ U compacto y f ∈
C1(U ;Rn). Se cumple que ∀ � > 0, ∃ δ = δ(�) > 0 tal que si x ∈ K, h ∈ Rm con h ∈ Ux y ‖h‖ < δ
entonces
‖f(x + h)− f(x)− f ′(x)(h)‖ < �‖h‖
Análisis Real II 20
Demostración. Por una propiedad probada en el curso anterior, ∃ δ1 tal que si x ∈ K, y ∈ Rm y
‖x− y‖ < δ1 entonces
[x, y] ⊆ U (1.5)
Ahora bien, como f ∈ C1(U ;Rn) entonces f ′ : U → L(Rm;Rn) es continua y como K es compacto,
por el Lema 1.6.1, ∀ � > 0, ∃ δ2 > 0 tal que si y ∈ U , x ∈ K y ‖x− y‖ < δ2, se tiene
‖f ′(y)− f ′(x)‖ < �
2
(1.6)
Sea δ = min{δ1, δ2}, para x ∈ K, h ∈ Rm con h ∈ Ux y ‖h‖ < δ, se cumple ‖x + h − x‖ = ‖h‖ < δ,
luego por (1.5) tenemos que [x, x + h] ⊆ U . Por otro lado, si y ∈ ]x, x + h[ entonces ∃ t ∈ ]0, 1[ tal que
y = x + th, luego ‖y − x‖ = t‖h‖ < ‖h‖ < δ, luego por (1.6) ‖f ′(y) − f ′(x)‖ < �
2
, ∀ y ∈ ]x, x + h[ y por
el Corolario 3
‖f(x + h)− f(x)− f ′(x)(h)‖ < �‖h‖. �
Observación: Dado x ∈ U (fijo), sabemos que
f(x + h) = f(x) + f ′(x)h + rx(h), ∀ h ∈ Ux
donde lim
h→0
rx(h)
‖h‖
= 0. El Teorema de la diferenciabilidad uniforme nos dice que lim
h→0
rx(h)
‖h‖
= 0, ∀ x ∈ K.
En efecto, sea V = {(x, h) ∈ K × Rm; h ∈ Ux}. Definimos r : V → Rn por
r(x, h) = rx(h) = f(x + h)− f(x)− f ′(x)(h).
Si f ∈ C1(U ;Rn), por el teorema de diferenciabilidad uniforme, dado � > 0 existe δ > 0 tal que (x, h) ∈ V
y ‖h‖ < δ entonces ‖r(x, h)‖ < �‖h‖, es decir
lim
h→0
r(x, h)
‖h‖
= 0.
1.7 Ejercicios
1. Si U → Rm es abierto, pruebe que Ua = {h ∈ Rm : a + h ∈ U} es abierto.
2. Si f : U ⊆ Rm → Rn es diferenciable en a ∈ U , pruebe que existe una única transformación lineal
T ∈ L(Rm,Rn) tal que
f(a + h) = f(a) + T (h) + ra(h), h ∈ Ua
en donde lim
h→0
ra(h)
‖h‖
= 0.
3.
Caṕıtulo 2
Sucesiones y Series de Funciones
2.1 Sucesión de Funciones
Sea X ⊆ Rm, denotaremos por F(X;Rn) al conjunto de todas las funciones definidas en X y con valores
en Rn. Con las operaciones usuales de suma de funciones y producto de un número real por una función,
el conjunto F(X;Rn) se torna un R-espacio vectorial.
Definición 2.1.1 Una sucesión de funciones en F(X;Rn) es una función f : N → F(X;Rn) tal que a
cada número natural k le asocia una función f(k) = fk ∈ F(X;Rn), llamado el k-ésimo término de la
sucesión.
Notación. En sucesivo el śımbolo (fk) ⊆ F(X;Rn) significará que “(fk) es una sucesión de funciones
en F(X;Rn)”
Sea (fk) ⊆ F(X;Rn), para cada x ∈ X se tiene que fk(x) ∈ Rn, para todo k ∈ N, luego (fk(x)) es
una sucesión en Rn. Si la sucesión (fk(x)) ⊆ Rn es convergente para cada x ∈ X entonces existe un
vector (que depende de x ∈ X) al que denotaremos f(x) ∈ Rn tal que lim
k→∞
fk(x) = f(x). De esta manera
podemos definir la función
f : X → Rn
x 7→ f(x) = lim
k→∞
fk(x)
es decir f ∈ F(X;Rn).
Definición 2.1.2 Sea (fk) ⊆ F(X;Rn) y f ∈ F(X;Rn). Decimos que la sucesión de funciones (fk)
converge puntualmente a f , lo que escribimos fk → f si y sólo si se cumplen las dos condiciones siguientes:
1. (fk(x)) ⊆ Rn es convergente, para todo x ∈ X.
2. lim
k→∞
fk(x) = f(x), para todo x ∈ X.
21
Análisis Real II 22
Ejemplo 2.1.1 Sea X el intervalo cerrado [0, 1] y consideremos la sucesión (fk) ⊆ F(X;R) definida por
fk : X → R
x 7→ fk(x) = xk
Observe que
lim
k→∞
fk(x) = lim
k→∞
xk =
{
0, si 0 ≤ x < 1
1, si x = 1
Si definimos
f : [0, 1] → R
x 7→ f(x) =
{
0, si 0 ≤ x < 1
1, si x = 1
tenemos que lim
k→∞
fk(x) = f(x), para todo x ∈ X, es decir fk → f . �
Ejemplo 2.1.2 Sea (fk) ⊆ F(R;R) definida por
fk : R → R
x 7→ fk(x) =
x2k
1 + x2k
Observe que
lim
k→∞
fk(x) = lim
k→∞
x2k
1 + x2k
=



0, si |x| < 1
1
2 , si |x| = 1
1, si |x| > 1
Si definimos
f : R → R
x 7→ f(x) =



0, si |x| < 1
1
2 , si |x| = 1
1, si |x| > 1
tenemos que lim
k→∞
fk(x) = f(x), para todo x ∈ R, es decir fk → f . �
Análisis Real II 23
Si bien es cierto que la noción de ĺımite puntual de una sucesión de funciones es bastante natural,
ella tiene un grave defecto, por lo general la función ĺımite “no hereda” las propiedades de la sucesión.
En efecto, en el ejemplo anterior todas las funciones fk eran continuas sin embargo la función ĺımite f
no lo es. Concluimos que el ĺımite puntual de una sucesión de funciones continuas no necesariamente es
continuo.
Definición 2.1.3 Sean X ⊆ Rm, (fk) ⊆ F(X;Rn) y f ∈ F(X;Rn). Decimos que la sucesión de
funciones (fk) converge uniformemente a f en X, lo que escribimos fk → f unif. en X si y sólo si para
todo � > 0, existe un k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 entonces ‖fk(x)− f(x)‖ < �, ∀x ∈ X.
Observaciones.
1. En el concepto de convergencia uniforme exigimos que el k0 ∈ N sólo dependa del � mientras que
en la convergencia puntual el k0 depende del � y del vector x.
2. Convergencia uniforme implica convergencia puntual. Es decir fk → f unif. en X ⇒ fk → f , o
equivalentemente fk 6→ f ⇒ fk 6→ f unif. en X.
El siguiente es un criterio muy útil para la convergencia uniforme de una sucesión de funciones.
Teorema 2.1.1 (Criterio de Cauchy) Sea (fk) ⊆ F(X;Rn). Las siguientes afirmaciones son equiva-
lentes:
1. (fk) es uniformemente convergente en X.
2. (fk) es una sucesión de Cauchy, es decir para todo � > 0 existe un k0 ∈ N tal que j, k ≥ k0 entonces
‖fj(x)− fk(x)‖ < �, ∀x ∈ X.
Demostración. (1. ⇒ 2.) Dado � > 0, por hipótesis debe existir un k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 entonces
‖fk(x)−f(x)| < �2 para cualquier x ∈ X.
Si tomamos j, k ≥ k0, para cualquier x ∈ X tenemos
‖fk(x)− fj(x)‖ ≤ ‖fk(x)− f(x)‖+ ‖fj(x)− f(x)‖ < �
Luego (fk) ⊆ F(X;Rn) es una sucesión de Cauchy.
(2. ⇒ 1.) Fijemos x ∈ X, dado � > 0 existe un k0 ∈ N tal que si j, k ≥ k0 entonces ‖fj(x)− fk(x)‖ < �.
Se sigue que (fk(x)) ⊆ Rn es una sucesión de Cauchy en Rn, luego ella es convergente, es decir, existe un
vector f(x) ∈ Rn tal que lim
k→∞
fk(x) = f(x). Definimos
f : X → Rn
x 7→ f(x) = lim
k→∞
fk(x)
Afirmo que fk → f unif. en X. En efecto: dado � > 0, existe un k0 ∈ N tal que si j, k ≥ k0 entonces
para cualquier x ∈ X se tiene que ‖fj(x)− fk(x)‖ < �2 . Fijando el sub́ındice k y tomando ĺımite cuando
j tiende al infinito tenemos ‖f(x)− fk(x)‖ < �, ∀x ∈ X. Esto prueba la afirmación y el teorema. �
Note el lector que en el criterio de Cauchy no necesitamos del ĺımite f para determinar la convergencia
uniforme de la sucesión (fk).
Análisis Real II 24
Teorema 2.1.2 (Continuidad del Ĺımite Uniforme) Sea (fk) ⊆ F(X;Rn) tal que fk es continua
en x0 ∈ X, ∀ k ∈ N. Si fk → f unif. en X entonces f es continua en x0.
Demostración. Sea � > 0, por hipótesis existe un k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 entonces
‖fk(x)− f(x)‖ <
�
3
, ∀x ∈ X. (2.1)
Por otro lado, desde que fk0 es continua en x0, tenemos que existe un δ > 0 tal que si x ∈ X y ‖x−x0‖ < δ
entonces
‖fk0(x)− fk0(x0)‖ <
�
3
(2.2)
Luego, para x ∈ X con ‖x− x0‖ < δ, de (2.1) y (2.2) tenemos
‖f(x)− f(x0)‖ ≤ ‖f(x)− fk0(x)‖+ ‖fk0(x)− fk0(x0)‖+ ‖fk0(x0)− f(x0)‖ < �
Esto prueba que f es continua en x0. �
Corolario. Si (fk) ⊆ C(X;Rn) y fk → f unif. en X entonces f ∈ C(X;Rn).
Observación. Aunque la convergencia uniforme es suficiente para asegurar que el ĺımite de una sucesión
de funciones continuas es continua, no es una condición necesaria.
Ejemplo 2.1.3 Sea X el intervalo cerrado [0, 1] y consideremos la sucesión (fk) ⊆ F(X;R) definida por
f1 : X → R
x 7→ f1(x) = 1
y si k ≥ 2 tenemos
fk : X → R
x 7→ fk(x) =



















kx, si 0 ≤ x ≤ 1
k
2− kx, si 1
k
< x ≤ 2
k
0, si
2
k
< x ≤ 1
Observe que si 0 < x ≤ 1 entonces lim
k→∞
fk(x) = 0 (puesto que f(x) = 0 para k > 2x ) y limk→∞
fk(0) = 0,
Luego lim
k→∞
fk(x) = θ(x), ∀x ∈ [0, 1], es decir fk → θ.
Pero fk no converge uniformemente a θ en [0, 1], puesto que
∣
∣
∣
∣
fk
(
1
k
)
− θ
(
1
k
)∣
∣
∣
∣
= 1
Sin embargo el ĺımite puntual es continuo. �
Análisis Real II 25
2.2 Convergencia Uniforme y Diferenciabilidad
Sea U ⊆ Rm un abierto y (fk) ⊆ C1(U ;Rn). Supongamos que fk → f unif. en U . De manera natural
surge la pregunta ¿f ∈ C1(U ;Rn)? y en caso afirmativo ¿f ′k → f ′ unif. en U?
Ejemplo 2.2.1 Sea
fk : R → R
x 7→ fk(x) =
sen kx√
k
Claramente (fk) ⊆ C1(R). Por otro lado, observe que
lim
k→∞
fk(x) = lim
k→∞
sen kx√
k
= 0 = θ(x), ∀x ∈ R
es decir fk → θ.
Además, dado � > 0, ∃ k0 ∈ N tal que si k ≥ k0 entonces
1√
k
< �, luego
|fk(x)− θ(x)| =
∣
∣
∣
∣
sen kx√
k
∣
∣
∣
∣
≤ 1√
k
< �, ∀ k ≥ k0, ∀x ∈ R
es decir fk → θ unif. en R. Observe que θ ∈ C1(R), pero f ′k(x) =
√
k cos kx y de aqúı f ′k no converge
uniformemente a θ en R. �
Teorema 2.2.1 Sea U ⊆ Rm abierto, convexo y acotado y sea (fk) ⊆ C1(U ;Rn). Suponga que
1. ∃x0 ∈ U tal que (fk(x0)) ⊆ Rn es convergente.
2. (f ′k) ⊆ C(U ;L(Rm;Rn)) es uniformemente en U .
Entonces ∃ f ∈ C1(U ;Rn) tal que fk → f unif. en U y f ′k → f ′ unif. en U
Demostración. Como U es acotado y x0 ∈ U entonces ∃ r > 0 tal que U ⊆ Br[x0]. Por hipótesis
(f ′k) ⊆ C(U ;L(Rm;Rn)) es uniformemente convergente en U , luego es sucesión de Cauchy, por lo tanto,
dado � > 0, ∃ k1 ∈ N tal que si j, k ≥ k1 entonces
‖f ′j(x)− f ′k(x)‖ <
�
2r
, ∀x ∈ U. (2.3)
Para j, k ≥ k1 consideremos la función fj − fk : U → Rn la cual es diferenciable en U que por hipótesis
es abierto y convexo, luego por (2.3) y por el Corolario 1 de la desigualdad del valor medio:
‖(fj − fk)(x)− (fj − fk)(y)‖ <
�
2r
‖x− y‖, ∀x, y ∈ U, ∀ j, k ≥ k1 (2.4)
Por la hipótesis 1.) debe existir un k2 ∈ N tal que si j, k ≥ k2 entonces
‖fj(x0)− fk(x0)‖ <
�
2
(2.5)
Análisis Real II 26
Tomando k0 = max{k1, k2}, de (2.4) y (2.5), para j, k ≥ k0 y x ∈ U , tenemos
‖fj(x)− fk(x)‖ ≤ ‖(fj − fk)(x)− (fj − fk)(x0)‖+ ‖(fj − fk)(x0)‖ ≤
�
2r
‖x− x0‖+
�
2
≤ �
Hemos probado que ∃ k0 ∈ N tal que si j, k ≥ k0 entonces ‖fj(x)− fk(x)‖ < �, ∀x ∈ U . Es decir (fk)
es sucesión de Cauchy, luego ∃f ∈ F(U : Rn) tal que fk → f unif. en U .
Por otro lado, de la hipótesis 2. ∃ g ∈ C(U ;L(Rm;Rn)) tal que f ′k → g unif. en U . Vamos a probar
que f es diferenciable en U y f ′ = g. Dado a ∈ U , debemos probar que
f(a + h) = f(a) + g(a)(h) + ra(h), ∀h ∈ Ua
con lim
h→0
ra(h)
‖h‖
= 0.
Sea ra(h) = f(a + h)− f(a)− g(a)(h) entonces
‖ra(h)‖ = ‖f(a + h)− f(a)− g(a)(h)‖
≤ ‖f(a + h)− f(a)− fk0(a + h) + fk0(a)‖+
‖fk0(a + h)− fk0(a)− f ′k0(a)(h)‖+ ‖f
′
k0(a)(h)− g(a)(h)‖ (2.6)
Por hipótesis, fk0 es diferenciable en a, luego
fk0(a + h) = fk0(a) + f
′
k0(a)(h) + ρa(h), ∀h ∈ Ua
con lim
h→0
ρa(h)
‖h‖
= 0. De esta manera, dado � > 0, ∃ δ > 0 tal que si 0 < ‖h‖ < δ entonces
‖fk0(a + h)− fk0(a)− f ′k0(a)(h)‖
‖h‖
<
�
3
(2.7)
De (2.4) tenemos
‖(fj − fk0)(a + h)− (fj − fk0)(a)‖ <
�
3
‖h‖, ∀ j ≥ k0
luego
‖f(a + h)− fk0(a + h)− f(a) + fk0(a)‖ = limj→∞ ‖fj(a + h)− fk0(a + h)− fj(a) + fk0(a)‖ ≤
�
3
‖h‖ (2.8)
De (2.3) tenemos que ‖f ′j(a)− f ′k0(a)‖ <
�
3
, ∀ j ≥ k0, luego
‖g(a)− f ′k0(a)‖ = limj→∞ ‖f
′
j(a)− f ′k0(a)‖ ≤
�
3
(2.9)
De (2.7), (2.8), (2.9) y (2.6), para h ∈ Ua, se cumple que ∃ δ > 0 tal que si 0 < ‖h‖ < δ entonces
‖ra(h)‖
‖h‖
≤ ‖f(a + h)− f(a)− fk0(a + h) + fk0(a)‖
‖h‖
+
+
‖fk0(a + h)− fk0(a)− f ′k0(a)(h)‖
‖h‖
+ ‖f ′k0(a)− g(a)‖ < �
De esta manera f es diferenciable en a y f ′(a) = g(a). Como el a fue arbitrario, concluimos que f es
diferenciable en U y f ′ = g. �
Análisis Real II 27
2.3 Series de Funciones
A continuación definiremos el concepto de serie de funciones. Sea X ⊆ Rm y (fk) ⊆ F(X;Rn), definimos
las funciones s1 = f1, s2 = f1 +f2, . . . , sk = f1 +f2 + · · ·+fk. Como F(X;Rn) es un R-espacio vectorial,
tenemos que (sk) ⊆ F(X;Rn) la cual es llamada sucesión de sumas parciales asociada a (fk). Para hacer
notar que (sk) depende de la sucesión original (fk), escribiremos
∑
j,1
fk en vez de (sk).
∑
j,1
fk es llamado
serie de funciones.
Desde que una serie de funciones es un caso particular de sucesión de funciones, podemos aplicarle
los conceptos de ĺımite puntual y ĺımite uniforme.
Definición 2.3.1 Sean (fk) ⊆ F(X;Rn) y consideremos
∑
j,1
fk.
1. Decimos que
∑
j,1
fk converge puntualmente si y sólo si su sucesión de sumas parciales sk =
k
∑
j=1
fk
es una sucesión puntualmente convergente.
2. Decimos que
∑
j,1
fk converge uniformemente en X si y sólo si su sucesión de sumas parciales sk =
k
∑
j=1
fk es una sucesión uniformemente convergente en X.
Notación. El ĺımite S será denotado por el śımbolo
∞
∑
j=1
fj .
El siguiente es un criterio sumamente útil para la convergencia uniforme de una serie de funciones.
Teorema 2.3.1 (M-test de Weierstrass) Sean X ⊆ Rm, (Mk) ⊆ R+ y (fk) ⊆ F(X;Rn) tales que
1. ‖fk(x)‖ ≤ Mk, ∀x ∈ X, ∀ k ≥ 0.
2. La serie de números reales
∑
j,1
Mj es convergente.
Entonces la serie de funciones
∑
j,1
fj converge uniformemente en X.
Demostración. Denotemos sk =
k
∑
j=1
fj y σk =
k
∑
j=1
Mj . Por hipótesis, la sucesión de números reales
positivos (σk) es convergente, luego es de Cauchy, de esta manera, dado un � > 0 existe un k0 ∈ N tal
que si j, k ≥ k0 entonces |σj − σk| < �. Por otro lado (para k ≥ i)
‖si(x)− sk(x)‖ =
∥
∥
∥
∥
∥
∥
i
∑
j=1
fj(x)−
k
∑
j=i
fj(x)
∥
∥
∥
∥
∥
∥
=
∥
∥
∥
∥
∥
∥
k
∑
j=i+1
fj(x)
∥
∥
∥
∥
∥
∥
≤
k
∑
j=i+1
‖fj(x)‖ ≤
k
∑
j=i+1
Mj = |σk − σj |
Análisis Real II 28
procediendo de manera análoga para k ≤ i se tiene que
‖si(x)− sk(x)‖ ≤ |σj − σk|, ∀ i, k ∈ N, ∀x ∈ X
De esta manera, si tomamos i, k ≥ k0, tenemos ‖si(x)− sk(x)‖ ≤ |σj − σk| < �, ∀x ∈ X. El Criterio de
Cauchy nos permiteconcluir que (sk) es uniformemente convergente en X. �
El siguiente resultado es consecuencia directa del Teorema 2.1.2.
Teorema 2.3.2 Sea (fk) ⊆ C(X;Rn). Si
∑
j,1
fj converge uniformemente en X entonces
∞
∑
j=1
fj ∈
C(X;Rn).
Demostración. sk =
k
∑
j=1
fj ∈ C(X;Rn), ∀ k ≥ 1, luego (sk) ⊆ C(X;Rn). Por hipótesis sk →
∞
∑
j=1
fj
unif. en X, luego
∞
∑
j=1
fj ∈ C(X;Rn). �
Ejemplo 2.3.1 Sea (fk) ⊆ F(I1(0);R) definida por
fk : I1(0) → R
x 7→ fk(x) =
xk
k2
y consideremos
∑
j,1
fj Observe que
|fj(x)| =
∣
∣
∣
∣
xj
j2
∣
∣
∣
∣
=
|x|j
j2
≤ 1
j2
, ∀ x ∈ I1(0), ∀ j ∈ N
Como la serie de números reales
∑
j,1
1
j2
es convergente, por el M - test de Weierstrass,
∑
j,1
xj
j2
es uni-
formemente convergente en I1(0) y la función
S : I1(0) → R
x 7→ S(x) =
∞
∑
j=1
xj
j2
es continua en I1(0). �
Finalmente, enunciemos para series el Teorema 2.2.1.
Teorema 2.3.3 Sea U ⊆ Rm abierto, convexo y acotado y sea (fk) ⊆ C1(U ;Rn). Suponga que
1. ∃x0 ∈ U tal que
∑
j,1
fj(x0) es convergente.
Análisis Real II 29
2.
∑
j,1
f ′j es uniformemente convergente en U .
Entonces ∃S ∈ C1(U ;Rn) tal que
∑
j,1
fj → S unif. en U y
∑
j,1
f ′j → S′ unif. en U
Demostración. ¡Ejercicio! �
2.4 La Curva de Peano
Usaremos los resultados de la sección anterior para construir una curva continua que tenga interior no
vaćıo.
Sea
φ : [0, 2] → R
t 7→ φ(t) =





























0, si 0 ≤ t ≤ 1
3
, ó
5
3
≤ t ≤ 2
3t− 1, si 1
3
≤ t ≤ 2
3
1, si
2
3
≤ t ≤ 4
3
−3t + 5, si 4
3
≤ t ≤ 5
3
Extendemos φ periódicamente a todos los reales haciendo φ(t + 2) = φ(t).
Observe que φ ∈ C(R) y es periódica de periodo 2. Dado k ∈ N, definimos (fk), (gk) ⊆ F(R;R) como
fk(t) =
φ(32k−2t)
2k
y gk(t) =
φ(32k−1t)
2k
, ∀ t ∈ R.
Análisis Real II 30
Es claro que (fk), (gk) ⊆ C(R). Observe que
|fk(t)| =
∣
∣
∣
∣
φ(32k−2t)
2k
∣
∣
∣
∣
≤ 1
2k
, ∀ t ∈ R, ∀ k ∈ N
Además la sucesión de números reales positivos
(
1
2k
)
es tal que
∑
j,1
1
2j
es convergente. Por el M-test
de Weierstrass
∑
j,1
fj es uniformemente convergente en R, más aún, por el Teorema 2.3.2,
∑
j,1
fj ∈ C(R).
Análogamente se prueba que
∑
j,1
gj ∈ C(R). Definimos las funciones
α1 : R → R
t 7→ α1(t) =
∞
∑
j=1
φ(32j−2t)
2j
α2 : R → R
t 7→ α2(t) =
∞
∑
j=1
φ(32j−1t)
2j
y sea
α : R → R2
t 7→ α(t) = (α1(t), α2(t))
Se sigue que α ∈ C(R;R2). Vamos a probar que α([0, 1]) = [0, 1]× [0, 1]. En primer lugar
0 ≤ α1(t) =
∞
∑
j=1
φ(32j−2t)
2j
≤
∞
∑
j=1
1
2j
= 1, ∀ t ∈ [0, 1]
Análogamente 0 ≤ α2(t) ≤ 1, ∀ t ∈ [0, 1]. De esta manera α(t) ∈ [0, 1] × [0, 1], es decir α([0, 1]) ⊆
[0, 1]× [0, 1].
Sea (a, b) ∈ [0, 1]× [0, 1], vamos a probar que ∃ t0 ∈ [0, 1] tal que α(t0) = (a, b). Expresando a y b en
el sistema binario, tenemos
a =
∞
∑
j=1
aj
2j
, b =
∞
∑
j=1
bj
2j
en donde aj , bj ∈ {0, 1}, ∀ j ∈ N. Defino
t0 = 2
∞
∑
j=1
cj
3j
donde c2j−1 = aj y c2j = bj , ∀ j ∈ N. Observe que
0 ≤ t0 = 2
∞
∑
j=1
cj
3j
≤ 2
∞
∑
j=1
1
3j
= 1
es decir t0 ∈ [0, 1]. Afirmo que α(t0) = (a, b). En efecto, observe en primer lugar que es suficiente probar
φ
(
3jt0
)
= cj+1, ∀ j = 0, 1, 2, . . . (2.10)
Análisis Real II 31
Puesto que si (2.10) se cumple, tenemos:
α1(t0) =
∞
∑
j=1
φ(32j−2t0)
2j
=
∞
∑
j=1
c2j−1
2j
=
∞
∑
j=1
aj
2j
= a
α2(t0) =
∞
∑
j=1
φ(32j−1t0)
2j
=
∞
∑
j=1
c2j
2j
=
∞
∑
j=1
bj
2j
= b
lo cual prueba la afirmación. Probemos entonces (2.10): Dado k = 0, 1, 2, . . . (fijo, arbitrario), tenemos:
3kt0 = 2
∞
∑
j=1
cj
3j−k
= 2
k
∑
j=1
3k−jcj + 2
∞
∑
j=k+1
cj
3j−k
= número par + dk
donde dk = 2
∞
∑
j=1
cj+k
3j
desde que φ tiene peŕıodo 2, tenemos φ(3kt0) = φ(dk).
Si ck+1 = 0 entonces 0 ≤ dk = 2
∞
∑
j=2
cj+k
3j
≤ 2
∞
∑
j=2
1
3j
=
1
3
, luego φ(dk) = 0, es decir φ(3kt0) = ck+1.
Si ck+1 = 1 entonces
2
3
≤ dk = 2
∞
∑
j=1
cj+k
3j
≤ 2
∞
∑
j=1
1
3j
= 1, luego φ(dk) = 1, es decir φ(3kt0) = ck+1.
2.5 La Función de Weierstrass
En 1872, Weiertrass dio un ejemplo de una función continua en todo R que no es diferenciable en ningún
punto de su dominio.
Consideremos la sucesión de funciones (fn) ⊆ C(R) definida por
fn(x) = bn cos(anπx), ∀ x ∈ R
en donde a es un entero impar mayor que 1 y 0 < b < 1. Por el M -test de Weierstrass concluimos que
∑
n,1
fn converge uniformemente en R. Definimos W : R → R como W (x) =
∞
∑
n=1
bn cos(anπx). Se sigue
que W ∈ C(R). W es llamada función de Weierstrass. Vamos a demostrar que W no es diferenciable en
ningún punto de su dominio. En efecto, procediendo por contradicción, supongamos que existe x0 ∈ R
tal que W es diferenciable en x0 (Hipótesis Auxiliar), luego existe lim
x→x0
W (x)−W (x0)
x− x0
y por tanto si
(xm) ⊆ R− {x0} es tal que lim
m→∞
xm = x0 entonces debe existir lim
m→∞
W (xm)−W (x0)
xm − x0
.
Existe un único k0 ∈ Z tal que −
1
2
< x0 − k0 ≤
1
2
, denotemos x′1 = x0 − k0. Existe un único k1 ∈ Z
tal que −1
2
< ax0 − k1 ≤
1
2
, denotemos x′2 = ax0 − k1. Prosiguiendo por inducción, existe un único
km ∈ Z tal que −
1
2
< amx0 − km ≤
1
2
, denotemos x′m+1 = a
mx0 − km.
Análisis Real II 32
De esta manera hemos construido dos sucesiones (km) ⊆ Z y (x′m) ⊆ R tales que −
1
2
< x′m ≤
1
2
,
∀ m ∈ N. A continuación definimos la sucesión (xm) ⊆ R por xm =
km − 1
am
, ∀ m ∈ N. Observe que
xm − x0 =
km − 1
am
− x0 =
km − 1− amx0
am
= −
1 + x′m+1
am
, ∀ m ∈ N
Como −1
2
< x′m ≤
1
2
entonces
1
2
< 1 + x′m ≤
3
2
. De aqúı se desprende que xm − x0 < 0, ∀ m ∈ N y
lim
m→∞
xm = x0.
Para m ∈ N fijo tenemos
W (xm)−W (x0)
xm − x0
=
∞
∑
n=0
bn
cos(anxmπ)− cos(anx0π)
xm − x0
=
m−1
∑
n=0
bn
cos(anxmπ)− cos(anx0π)
xm − x0
+
∞
∑
n=m
bn
cos(anxmπ)− cos(anx0π)
xm − x0
=
m−1
∑
n=0
(ab)n
cos(anxmπ)− cos(anx0π)
an(xm − x0)
+
∞
∑
n=0
bm+n
cos(am+nxmπ)− cos(am+nx0π)
xm − x0
= A + B (2.11)
Por trigonometŕıa elemental, sabemos que cos(α + β) − cos(α − β) = −2sen αsen β. Haciendo α =
an
(
xm + x0
2
)
π y β = an
(
xm − x0
2
)
π (con n ≥ 0 fijo), tenemos
cos(anxmπ)− cos(anx0π) = −2sen
(
an
(
xm + x0
2
)
π
)
· sen
(
an
(
xm − x0
2
)
π
)
Luego
cos(anxmπ)− cos(anx0π)
an(xm − x0)
= −πsen
(
an
(
xm + x0
2
)
π
)
sen
(
an
(xm−x0
2
)
π
)
an
(xm−x0
2
)
π
Como lim
x→0
sen x
x
= 1, debe existir un m0 ∈ N tal que si m ≥ m0 entonces
∣
∣
∣
∣
∣
sen
(
an
(xm−x0
2
)
π
)
an
(xm−x0
2
)
π
∣
∣
∣
∣
∣
<
3
2
luego
|A| ≤ 3
2
m−1
∑
n=0
(ab)nπ =
3π
2
(ab)m − 1
ab− 1
<
3π
2
(ab)m
ab− 1
De aqúı
|A| < 3π
2
(ab)m
ab− 1
, siempre que m ≥ m0 (2.12)
Análisis Real II 33
Por otro lado, como a es impar tenemos
cos(am+nxmπ) = cos(an(km − 1)π) = (−1)jm
cos(am+nx0π) = cos(an(km + x′m+1)π)
= cos(ankmπ) · cos(anx′m+1π)− sen (ankmπ) · sen (anx′m+1π)
= −(−1)jm cos(anx′m+1π)
luego
B =
∞
∑
n=0
bn+m
(−1)jm + (−1)jm cos(anx′m+1π)
xm − x0
= (−1)jm
∞
∑
n=0
bn+m
1 + cos(anx′m+1π)
− 1+x
′
m+1
am
= (−1)jm−1(ab)m
∞
∑
n=0
bn
1 + cos(anx′m+1π)
1 + x′m+1
= (−1)jm−1(ab)mB′ (2.13)
Observe que B′ =
∞
∑
n=0
bn
1 + cos(anx′m+1π)
1 + x′m+1
es una serie de términos no negativos cuyo primer término es
1 + cos(x′m+1π)
1 + x′m+1
≥ 2
3
.
(Esto es debido a que −1
2
< x′m ≤
1
2
, un fácil cálculo muestra que 1+cos(x′m+1π) ≥ 1 y
2
3
≤ 1
1 + x′m+1
).
Reemplazando (2.13) en (2.11), para m ≥ m0 tenemos
W (xm)−W (x0)
xm − x0
= (−1)jm−1(ab)m
[
(−1)jm−1(ab)−mA + B′
]
Si tomamos a, b tales que ab > 1 +
9π
4
, es decir
π
ab− 1
<
4
9
, de (2.12) tenemos
|(−1)jm−1(ab)−mA| = (ab)−m|A| < 3π
2(ab− 1)
<
2
3
luego
(−1)jm−1(ab)−mA + B′ > −2
3
+ B′ ≥ 0
Como lim
m→∞
(ab)m = +∞, tenemos
lim
m→∞
∣
∣
∣
∣
W (xm)−W (x0)
xm − x0
∣
∣
∣
∣
= +∞
luego la sucesión
W (xm)−W (x0)
xm − x0
no está acotada y por tanto no es convergente, lo cual es una con-
tradicción.
Caṕıtulo 3
Funciones Definidas Impĺıcitamente
3.1 Difeomorfismos Locales
Definición 3.1.1 Sean U, V ⊆ Rm dos abiertos. Decimos que f : U → V es un difeomorfismo entre U y
V si y sólo si se cumplen las trescondiciones siguientes:
1. f es una biyección.
2. f es diferenciable en U .
3. f−1 : V → U es diferenciable en V .
Observaciones.
1. Si f es un difeomorfismo entre los abiertos U, V ⊆ Rmentonces f es un homeomorfismo entre U y
V .
2. La condición 3. de la definición anterior no se deduce de las dos primeras. En efecto, la función
f : R → R
x 7→ f(x) = x3
es una biyección y es diferenciable en R, sin embargo su inversa
f−1 : R → R
x 7→ f(x) = 3
√
x
no es diferenciable en 0 ∈ R.
3. Si f : U → V es un difeomorfismo, por el Corolario 4 de la Regla de la Cadena f ′(x) ∈ GL(Rm),
∀ x ∈ U .
34
Análisis Real II 35
4. El rećıproco de la Observación 3 es falso, en efecto, considérese la función
f : R2 → R2 − {0}
(x, y) 7→ f(x, y) = (ex cos y, exsen y)
Claramente f es diferenciable en R2, además
Jf(x, y) =
[
ex cos y −exsen y
exsen y ex cos y
]
luego det Jf(x, y) = e2x 6= 0, ∀ (x, y) ∈ R2, es decir f ′(x, y) ∈ GL(R2), ∀ (x, y) ∈ R2, sin embargo
f : R2 → R2 − {0} no es inyectiva, puesto que f(0, 0) = f(0, 2π).
5. Con relación a la función del ejemplo anterior, si restringimos el dominio de f convenientemente,
entonces f restringida a este dominio, si es un difeomorfismo. En efecto, dado a = (x0, y0) ∈ R2,
definimos el conjunto (franja horizontal abierta de ancho 2π)
Wa = {(x, y ∈ R2 : x ∈ R, |y − y0| < π}
Claramente Wa ⊆ R2 es un abierto y f
∣
∣
Wa
: Wa → R2 − {0} es un difeomorfismo.
Definición 3.1.2 Sean U ⊆ Rm un abierto. Decimos que f : U → Rm es un difeomorfismo local si y
sólo si ∀ x ∈ U , ∃Wx ⊆ U y ∃W ′x ⊆ Rm abiertos con x ∈ Wx, f(x) ∈ W ′x, tales que f
∣
∣
Wx
: Wx → W ′x es
un difeomorfismo entre Wx y W ′x.
Observaciones.
1. Los difeomorfismos de la Definición 3.1.1 son llamados globales.
2. Todo difeomorfismo global es un difeomorfismo local, lo rećıproco es falso.
3. Ya sabemos que si f : U → V es diferenciable y f ′(x) ∈ GL(Rm), ∀ x ∈ U entonces f no nece-
sariamente es un difeomorfismo global. Surge la pregunta ¿si f ′(x) ∈ GL(Rm) entonces f es un
difeomorfismo local en x?
3.2 El Teorema de la Función Inversa
Teorema 3.2.1 (Teorema del Punto Fijo para Contracciones) Sea X ⊆ Rm un conjunto cerrado
y f : X → X una contracción (i.e. f Lipschitz con Lip(f) < 1). Entonces existe un único x0 ∈ X tal
que:
1. f(x0) = x0 (i.e. x0 es punto fijo de f).
2. lim
k→∞
fk(x) = x0, ∀ x ∈ X (i.e. x0 es un atractor de f).
Análisis Real II 36
Demostración. ¡Ejercicio! �
Observación: Si X ⊆ Rm no es cerrado, entonces una contracción f : X → X no necesariamente tiene
un punto fijo. En efecto, considere X = ]0, 1[ y
f : X → X
x 7→ f(x) = x
2
3
Para x1, x2 ∈ X se cumple
|f(x1)− f(x2)| =
∣
∣
∣
∣
x21
3
− x
2
2
3
∣
∣
∣
∣
=
1
3
|(x1 − x2)(x1 + x2)| ≤
2
3
|x1 − x2|
luego f es una contracción, pero f no tiene punto fijo en X.
El siguiente resultado garantiza la existencia de un punto fijo para una contracción f : X → X cuando
X no necesariamente es un abierto.
Proposición 3.2.2 Sea X ⊆ Rm y f : X → Rm una contracción. Si ∃ a ∈ X y ∃ r > 0 tal que Br[a] ⊆ X
y
‖f(a)− a‖ ≤ (1− Lip(f))r
entonces f admite un único punto fijo en Br[a].
Demostración. Es suficiente probar que f(Br[a]) ⊆ Br[a]. Sea y ∈ f(Br[a]) entonces ∃x ∈ Br[a] tal
que f(x) = y, se cumple
‖y − a‖ = ‖f(x)− a‖ ≤ ‖f(x)− f(a)‖+ ‖f(a)− a‖ ≤ Lip(f)‖x− a‖+ (1− Lip(f))r = r
es decir y ∈ Br[a]. �
Teorema 3.2.3 (Perturbación de la Identidad) Sea U ⊆ Rm abierto y ϕ : U → Rm una contracción.
Entonces la función
f : U → Rm
x 7→ f(x) = x + ϕ(x)
es un homeomorfismo de U sobre f(U) ⊆ Rm, en particular f(U) es un abierto. Además, si U = Rm
entonces f(U) = Rm.
Demostración. Claramente f : U → Rm es continua. Dados x1, x2 ∈ U , tenemos
‖f(x1)− f(x2)‖ = ‖x1 + ϕ(x1)− x2 − ϕ(x2)‖ ≥ ‖x1 − x2‖ − ‖ϕ(x1)− ϕ(x2)‖
≥ ‖x1 − x2‖ − Lip(ϕ)‖x1 − x2‖
Es decir
‖f(x1)− f(x2)‖ ≥ (1− Lip(ϕ))‖x1 − x2‖, ∀ x1, x2 ∈ U (3.1)
Si f(x1) = f(x2) entonces 0 = ‖f(x1) − f(x2)‖ ≥ (1 − Lip(ϕ))‖x1 − x2‖ ≥ 0, luego x1 = x2. De esta
manera f es inyectiva, luego f : U → f(U) es una biyección. Vamos a probar que f−1 : f(U) → U es
Análisis Real II 37
continua. Sean y1, y2 ∈ f(U) entonces existen x1, x2 ∈ U tales que f(x1) = y1 y f(x2) = y2, de (3.1)
tenemos
‖f−1(y1)− f−1(y2)‖ ≤
1
1− Lip(ϕ)
‖f(x1)− f(x2)‖ =
1
1− Lip(ϕ)
‖y1 − y2‖
Se sigue que f−1 es Lipschitz en f(U) y Lip(f−1) ≤ 1
1− Lip(ϕ)
, en particular f−1 es continua. De esta
manera hemos probado que f es un homeomorfismo de U sobre f(U).
Probemos ahora que si U = Rm entonces f(U) = Rm. Sea a ∈ Rm, para cualquier r > 0 se tiene que
Br[a] ⊆ U .
Afirmación: B(1−Lip(ϕ))r(f(a)) ⊆ f(Br[a]). En efecto, sea y ∈ B(1−Lip(ϕ))r(f(a)) para probar que
∃x ∈ Br[a] tal que f(x) = y, consideremos la función
ξy : Rm → Rm
x 7→ ξy(x) = y − ϕ(x)
Para x1, x2 ∈ Rm, se cumple
‖ξy(x1)− ξy(x2)‖ = ‖y − ϕ(x1)− y + ϕ(x2)‖ = ‖ϕ(x1)− ϕ(x2)‖ ≤ Lip(ϕ)‖x1 − x2‖
Se sigue que ξy es una contracción y Lip(ξy) ≤ Lip(ϕ), luego
‖ξy(a)− a‖ = ‖y − ϕ(a)− a‖ = ‖y − f(a)‖ < (1− Lip(ϕ))r ≤ (1− Lip(ξy))r
Por la Proposición 3.2.2, existe un único x ∈ Br[a] tal que ξy(x) = x, es decir y = x+ ϕ(x) = f(x), luego
y ∈ f(Br[a]) lo cual prueba la afirmación. Aśı
B(1−Lip(ϕ))r(f(a)) ⊆ f(Rm), ∀ r > 0
Haciendo rk =
k
1− Lip(ϕ)
(k ∈ N) tenemos Bk(f(a)) ⊆ f(Rm), ∀ k ∈ N. Se sigue que
Rm =
⋃
k∈N
Bk(f(a)) ⊆ f(Rm)
lo que finaliza la demostración. �
Corolario. (Perturbación de un Isomorfismo) Sea U ⊆ Rm abierto, T ∈ GL(Rm), ϕ : U → Rm
Lipschitz tal que Lip(ϕ) < ‖T−1‖−1. Entonces la función
f : U → Rm
x 7→ f(x) = T (x) + ϕ(x)
es un homeomorfismo de U sobre f(U) ⊆ Rm donde f(U) es un abierto. Además, si U = Rm entonces
f(U) = Rm.
Demostración. Considero
ψ : U → Rm
x 7→ ψ(x) = (T−1 ◦ ϕ)(x)
Análisis Real II 38
Para x1, x2 ∈ U se tiene
‖ψ(x1)− ψ(x2)‖ ≤ ‖T−1‖ · ‖ϕ(x1)− ϕ(x2)‖ ≤ ‖T−1‖ · Lip(ϕ) · ‖x1 − x2‖
De esta manera ψ es Lipschitz y Lip(ψ) ≤ ‖T−1‖Lip(ϕ) < 1, es decir ψ es una contracción. Luego, por
el Teorema 3.2.3, la función
g : U → Rm
x 7→ g(x) = x + ψ(x)
es un homeomorfismo de U sobre g(U) y si U = Rm entonces g(U) = Rm.
Como T ∈ GL(Rm) entonces T ◦ g : U → Rm es un homeomorfismo de U sobre el abierto (T ◦ g)(U)
y si U = Rm entonces (T ◦ g)(U) = Rm. Pero
(T ◦ g)(x) = T (x + ψ(x)) = T (x) + T (ψ(x)) = T (x) + ϕ(x) = f(x)
Luego T ◦ g = f . �
Teorema 3.2.4 (Diferenciabilidad del Homeomorfismo Inverso) Sean U, V ⊆ Rm abiertos y f :
U → V un homeomorfismo de U sobre V . Si f es diferenciable en a ∈ U y f ′(a) ∈ GL(Rm) entonces
f−1 : V → U es diferenciable en b = f(a) y (f−1)′(f(a)) = [f ′(a)]−1.
Demostración. Como f es diferenciable en a, se cumple
f(a + h) = f(a) + f ′(a)(h) + ra(h), ∀ h ∈ Ua (3.2)
donde lim
h→0
ra(h)
‖h‖
= 0.
Sea k ∈ Vb y considero h = f−1(b + k)− f−1(b) ∈ Rm, se sigue que a + h ∈ U luego de (3.2)
b + k = b + f ′(a)[f−1(b + k)− f−1(b)] + ra(f−1(b + k)− f−1(b))
Como f ′(a) ∈ GL(Rm) tenemos
[f ′(a)]−1 (k) = f−1(b + k)− f−1(b) + [f ′(a)]−1 (ra(f−1(b + k)− f−1(b)))
es decir
f−1(b + k) = f−1(b) + [f ′(a)]−1 (k) + ρb(k), ∀ k ∈ Vb (3.3)
donde ρb(k) = −
(
[f ′(a)]−1 ◦ ra
)
(f−1(b + k) − f−1(b)). Debemos probar que lim
k→0
ρb(k)
‖k‖
= 0. Ahora
bien, como f ′(a) ∈ GL(Rm) sabemos que ∃C > 0 tal que ‖f ′(a)(x)‖ ≥ C‖x‖, ∀ x ∈ Rm. Desde que
lim
h→0
ra(h)
‖h‖
= 0, debe existir un δ > 0 tal que h ∈ Ua y 0 < ‖h‖ < δ implica
‖ra(h)‖
‖h‖
<
C
2
.
Si x ∈ U y es tal que 0 < ‖x− a‖ < δ, de (3.2) tenemos
‖f(x)− f(a)‖ = ‖f ′(a)(x− a) + ra(x− a)‖ ≥ ‖f ′(a)(x− a)‖ − ‖ra(x− a)‖
≥ C‖x− a‖ − C
2
‖x− a‖ = C
2
‖x− a‖
Análisis Real II 39
Es decir si x ∈ Bδ(a) entonces ‖f(x) − f(a)‖ ≥
C
2
‖x − a‖. De esta manera, como f(Bδ(a)) es abierto
(puesto que f es homeomorfismo) y b ∈ f(Bδ(a)) entonces ∃ r > 0 tal que Br(b) ⊆ f(Bδ(a)). Si y ∈ Br(b)
entonces ∃x ∈ Bδ(a) tal que y = f(x), luego
‖f−1(y)− f−1(b)‖ = ‖x− a‖ ≤ 2
C
‖f(x)− f(a)‖ = 2
C
‖y − b‖
Se sigue que
‖f−1(y)− f−1(b)‖
‖y − b‖
≤ 2
C
, ∀ y ∈ Br(b)− {b}
Sea k ∈ Vb con 0 < ‖k‖ < r entonces b + k ∈ Br(b)− {b}, luego
‖f−1(b + k)− f−1(b)‖
‖k‖
≤ 2
C
.
Se sigue que
lim
k→0
ra(f−1(b + k)− f−1(b))‖k‖
= lim
k→0
[
ra(f−1(b + k)− f−1(b))
‖f−1(b + k)− f−1(b)‖
]
·
[
‖f−1(b + k)− f−1(b)‖
‖k‖
]
= 0
luego
lim
k→0
[f ′(a)]−1
(
ra(f−1(b + k)− f−1(b))
‖k‖
)
= 0
es decir lim
k→0
ρk(b)
‖k‖
= 0. De (3.3) concluimos que f−1 es diferenciable en b = f(a) y (f−1)′(f(a)) =
[f ′(a)]−1. �
Corolario. Sean U, V ⊆ Rm abiertos y f : U → V un homeomorfismo de U sobre V . Si f es diferenciable
en U y f ′(x) ∈ GL(Rm), ∀ x ∈ U entonces f−1 : V → U es diferenciable en V y (f−1)′(f(x)) = [f ′(x)]−1,
∀ x ∈ U . En particular f es un difeomorfismo.
Definición 3.2.1 Sean U, V ⊆ Rm dos abiertos. Decimos que f : U → V es un difeomorfismo de clase
Ck entre U y V si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:
1. f es una biyección.
2. f es de clase Ck en U .
3. f−1 : V → U es de clase Ck en V .
Notación: Dados U, V ⊆ Rm abiertos y k ∈ Z+, denotamos
Hom (U ;V ) = {f : U → V ; f es un homeomorfismo entre U y V }
Diff k(U ; V ) = {f : U → V ; f es un difeomorfismo de clase Ck entre U y V }
Observación. Sabemos que 1 y 2 no implica 3. El siguiente resultado nos da una condición adicional
que añadida a 1 y 2 va a implicar 3.
Análisis Real II 40
Proposición 3.2.5 Sean U, V ⊆ Rm abiertos y f : U → V una biyección de clase Ck (k ≥ 1). Si
f−1 : V → U es diferenciable en V entonces f ∈ Diff k(U ;V ).
Demostración. Recordemos que la función
inv : GL(Rm) → GL(Rm)
T 7→ inv(T ) = T−1
es de clase C∞. Sea y ∈ V (fijo, arbitrario), sabemos que
(f−1)′(y) =
[
f ′(f−1(y))
]−1
= (inv ◦ f ′ ◦ f−1)(y), ∀ y ∈ V
De esta manera (f−1)′ = inv◦f ′◦f−1. La demostración se sigue por inducción sobre k: Si f ∈ C1(U ;Rm)
entonces (f−1)′ ∈ C(U ;L(Rm)) luego f−1 ∈ C1(U ;L(Rm)), y aśı sucesivamente. �
Teorema 3.2.6 (Teorema de la Función Inversa) Sea U ⊆ Rm abierto y f ∈ Ck(U ;Rm) (k ≥ 1)
tal que f ′(a) ∈ GL(Rm) (donde a ∈ U). Entonces existen abiertos Wa ⊆ U y W ′a ⊆ Rm con a ∈ Wa y
f(a) ∈ W ′a tales que f
∣
∣
Wa
∈ Diff k(Wa; W ′a).
Demostración. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que a = 0 y f(a) = 0 (caso contrario,
consideramos traslaciones). Por hipótesis T = f ′(0) ∈ GL(Rm), como GL(Rm) es abierto entonces
∃ r > 0 tal que Br(T ) ⊆ GL(Rm). Por otro lado f ′ : U → L(Rm) ≈ Rm
2
es continua. Dado 0 < � <
min
{
1
‖T−1‖
, r
}
, ∃ δ > 0 tal que si ‖x‖ < δ entonces ‖f ′(x)−T‖ < �, es decir f ′(x) ∈ Br(T ) ⊆ GL(Rm).
De esta manera, hemos probado que
x ∈ Bδ(0) ⇒ f ′(x) ∈ GL(Rm) y ‖f ′(x)− T‖ < ‖T−1‖−1 (3.4)
Como f es diferenciable en 0, para h ∈ U tenemos
f(h) = T (h) + ra(h) donde lim
h→0
ra(h)
‖h‖
= 0
Observe que
‖ra(h1)− ra(h2)‖ = ‖f(h1)− f(h2)− T (h1 − h2)‖
Por el Corolario 3 de la desigualdad del valor medio
‖ra(h1)− ra(h2)‖ ≤ �‖h1 − h2‖, ∀ h1, h2 ∈ Bδ(0)
Luego r0 es Lipschitz en Bδ(0), con Lip(r0) ≤ � < ‖T−1‖−1. De esta manera, por el Teorema de la
perturbación de un isomorfismo, concluimos que f es un homeomorfismo de Bδ(0) sobre f(Bδ(0)).
Denotando W0 = Bδ(0), W ′0 = f(Bδ(0)), claramente W0 ⊆ U y W ′0 son abiertos y f
∣
∣
Wa
: Wa → W ′a
es un homeomorfismo de W0 sobre W ′0. Sea y ∈ W ′0 entonces ∃x ∈ W0 tal que f(x) = y. Como x ∈
W0 = Bδ(0), de (3.4), f ′(x) ∈ GL(Rm), luego por el Teorema de la diferenciabilidad del homeomorfismo
inverso, f−1 : W ′0 → W0 es diferenciable en f(x) = y, ∀ y ∈ W ′0 de esta manera f−1 es diferenciable en
W ′0. Luego, por la Proposición 3.2.5, f
∣
∣
Wa
∈ Diff k(Wa; W ′a). �
Observación: Si en el Teorema de la función inversa reemplazamos la hipótesis de ser f ∈ Ck(U ;Rm)
(k ≥ 1) por f diferenciable en U , entonces el resultado no es necesariamente cierto.
Análisis Real II 41
3.3 Inmersiones y Sumersiones
Definición 3.3.1 Sea U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn una función diferenciable en U . Decimos que f
es una inmersión de U en Rn si y sólo si f ′(x) ∈ L(Rm;Rn) es inyectiva, ∀ x ∈ U .
Observación. Si f : U ⊆ Rm → Rn es una inmersión de U en Rn entonces m ≤ n.
Ejemplo 3.3.1 Sea m ≤ n y consideremos
f : Rm → Rn
x 7→ f(x) = (x1, . . . , xm, 0, . . . , 0)
Como f es lineal se tiene que f ′(x) = f , ∀ x ∈ Rm. De esta manera f ′(x) ∈ L(Rm;Rn) es inyectiva,
∀ x ∈ Rm. Aśı f es una inmersión la cual es llamada inmersión canónica de Rm en Rn. �
Ejemplo 3.3.2 Es fácil reconocer si un camino diferenciable es una inmersión. En efecto, sea I ⊆ R
un intervalo y α : I → Rn un camino diferenciable. Luego α es una inmersión de I en Rn si y sólo si
α′(t) ∈ L(R;Rn) es inyectiva ∀ t ∈ I si y sólo si α′(t) 6= 0, ∀ t ∈ I. �
Ejemplo 3.3.3 Sea el camino
α : R → R2
t 7→ α(t) = (t2, t3)
Como α′(t) = (2t, 3t2) se sigue que α′(0) = (0, 0). Concluimos que α no es una inmersión de R en R2. �
Ejemplo 3.3.4 Sea el camino
α : R → R2
t 7→ α(t) = (t3 − 4t, t2 − 4)
Como α′(t) = (3t2 − 4, 2t), se tiene α′(t) 6= (0, 0), ∀ t ∈ R, luego α es una inmersión de R en R2. �
Observaciones.
1. Una función inyectiva no necesariamente es una inmersión (ver Ejemplo 3.3.3).
2. Una inmersión no necesariamente es una función inyectiva (ver Ejemplo 3.3.4).
El Teorema siguiente nos muestra que toda inmersión suficientemente suave, se comporta localmente
como la inclusión canónica y por lo tanto es “localmente inyectiva”.
Teorema 3.3.1 (Forma Local de las Inmersiones) Sea U ⊆ Rm un abierto, f ∈ Ck(U ;Rn) (k ≥ 1
y n ≥ m) y a ∈ U . Si f ′(a) ∈ L(Rm;Rn) es inyectiva entonces existen abiertos Wa ⊆ U , Za ⊆ Rn−m y
W ′a ⊆ Rn con a ∈ Wa, 0 ∈ Za y f(a) ∈ W ′a y existe ha ∈ Diff
k(W ′a,Wa × Za) tales que ha(f(a)) = (a, 0)
y
(ha ◦ f)(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xm, 0, . . . , 0), ∀ (x1, . . . , xm) ∈ Wa.
Análisis Real II 42
Demostración. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que a = 0 ∈ Rm y f(a) = 0 ∈ Rn (caso
contrario, consideramos traslaciones). Sea E = Im [f ′(0)], como f ′(0) ∈ L(Rm;Rn) es inyectiva entonces
dimRE = m. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que E es generado por las primeras m filas
de la matriz f ′(0), es decir si f = (f1, f2, . . . , fn) entonces
∂(f1, . . . , fm)
∂(x1, . . . , xm)
(0) ∈ GL(Rm).
Más aún, por un cambio lineal de coordenadas podemos suponer que
∂(f1, . . . , fm)
∂(x1, . . . , xm)
(0) = I
Observe que la igualdad anterior implica que
f(x) = (x1, . . . , xm, fm+1(x1, . . . , xm), . . . , fn(x1, . . . , xm))
Consideremos el mapeo
ϕ : U × Rn−m → Rn
(x′, x′′) 7→ ϕ(x′, x′′) = (x′, xm+1 + fm+1(x′), . . . , xn + fn(x′))
en donde x′ = (x1, · · · , xm) y x′′ = (xm+1, · · · , xn). Claramente ϕ ∈ Ck(U ×Rn−m;Rn), ϕ(0) = 0 ∈ Rn y
Jϕ(0) =
∂(x1, · · · , xm, xm+1 + fm+1, . . . , xn + fn)
∂(x1, . . . , xn)
(0)
=






∂(x1, · · · , xm)
∂(x1, . . . , xm)
(0)
∂(x1, · · · , xm)
∂(xm+1, . . . , xn)
(0)
∂(xm+1+ fm+1, . . . , xn+fn)
∂(x1, . . . , xm)
(0)
∂(xm+1+fm+1, . . . , xn + fn)
∂(xm+1, . . . , xn)
(0)






=
[
I Θ
B I
]
∈ GL(Rn)
Luego, por el Teorema de la función inversa, existen abiertos Va ⊆ U , Za ⊆ Rn−m y W ′a ⊆ Rn con
a = 0 ∈ Va, 0 ∈ Z0 y f(a) = 0 ∈ W ′a tales que ϕ
∣
∣
V0×Z0
∈ Diff k(Va × Za,W ′a). Ahora bien, sea
ψ = (fm+1, . . . , fn) : U → Rn−m, note que f(x′) = (x′, ψ(x′)). Se sigue que ψ es continua, luego
Wa = Va ∩ ψ−1(Za) es un abierto. Denotando ha =
(
ϕ
∣
∣
Wa×Za
)−1
, tenemos
ϕ(x′, x′′) = (x′, x′′ + ψ(x′)) = (y′, y′′), ∀ (x′, x′′) ∈ Wa × Za
Luego
ha(y′, y′′) = (x′, x′′) = (y′, y′′ − ψ(y′)), ∀ (y′, y′′) ∈ W ′a
De esta manera, para cualquier x′ ∈ Wa se tiene
(ha ◦ f)(x′) = ha(f(x′)) = ha(x′, ψ(x′)) = (x′, ψ(x′)− ψ(x′)) = (x′, 0)
Esto prueba el teorema. �
Corolario. Sea U ⊆ Rm un abierto y f ∈ Ck(U ;Rn) (k ≥ 1 y n ≥ m) una inmersión de U en Rn
entonces f es localmente inyectiva.
Análisis Real II 43
Definición 3.3.2 Sea U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn una función diferenciable en U . Decimos que f
es una sumersión de U en Rn si y sólo si f ′(x) ∈ L(Rm;Rn) es sobreyectiva, ∀ x ∈ U .
Observación. Si f : U ⊆ Rm → Rn es una sumersión de U en Rn entonces m ≥ n.
Ejemplo 3.3.5 Sea m ≥ n y consideremos la proyección
π : Rm → Rn
x 7→ π(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xn)
Como π es lineal se tiene que π′(x) = π, ∀ x ∈ Rm.De esta manera π′(x) ∈ L(Rm;Rn) es sobreyectiva,
∀ x ∈ Rm. Aśı π es una sumersión de Rm en Rn . �
Ejemplo 3.3.6 Es fácil reconocer si una función diferenciable a valores reales es una sumersión de su
dominio en R. En efecto, sea U ⊆ Rm un abierto f : U → Rn una función diferenciable. Luego f es
una sumersión de U en Rn si y sólo si f ′(x) ∈ L(Rm;R) = (Rm)∗ es sobreyectiva ∀ x ∈ U si y sólo si
f ′(x) ≈ ∇f(x) 6= 0, ∀ x ∈ U . �
Ejemplo 3.3.7 Sea ϕ : I → R una función diferenciable sobre el intervalo I ⊆ R y consideremos
f : I × R → R
(x, y) 7→ f(x, y) = y − ϕ(x)
Es claro que f es diferenciable en U = I × R ⊆ R2 y como ∇f(x, y) = (ϕ′(x), 1), concluimos que f es
una sumersión de U en R. �
Ejemplo 3.3.8 Sea
f : R3 → R
(x, y, z) 7→ f(x, y, z) = x2 + y2 + z2
Es claro que f es diferenciable en R3 y ∇f(x, y, z) = (2x, 2y, 2z), luego ∇f(0, 0, 0) = (0, 0, 0). Concluimos
que f no es una sumersión de R3 en R. �
El Teorema siguiente nos muestra que toda sumersión suficientemente suave, se comporta localmente
como una proyección.
Teorema 3.3.2 (Forma Local de las Sumersiones) Sea U ⊆ Rm un abierto, f ∈ Ck(U ;Rn) (k ≥ 1
y n ≤ m) y a = (a′, a′′) ∈ U , donde a′ = (a1, . . . , an) y a′′ = (an+1, . . . , am). Si f ′(a) ∈ L(Rm;Rn) es
sobreyectiva entonces existen abiertos Wa ⊆ U , Va ⊆ Rn y Za ⊆ Rm−n con a ∈ Wa, f(a) ∈ Va y a′′ ∈ Za
y existe ha ∈ Diff k(Va × Za, Wa) tales que ha(f(a), a′′) = a y
(f ◦ ha)(y1, . . . , ym) = (y1, . . . , yn), ∀ (y1, . . . , yn) ∈ Va × Za.
Demostración. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que a = 0 ∈ Rm y f(a) = 0 ∈ Rn
(caso contrario, consideramos traslaciones). Por hipótesis f ′(0) ∈ L(Rm;Rn) es sobreyectiva, luego
Análisis Real II 44
Im(f ′(0)) = f ′(0)(Rm) tiene dimensión n, podemos suponer (salvo un cambio lineal de coordenadas) que
f ′(0)(e1), . . . , f ′(0)(en) generan Im(f ′(0)). Si denotamos f = (f1, . . . , fn) entonces
A =
∂(f1, . . . , fn)
∂(x1, . . . , xn)
(0) ∈ GL(Rn).
Denotemos ϕ1 = f1, . . . , ϕn = fn y considero ϕn+1 = πn+1, . . . , ϕm = πm ∈ Ck(U) (donde
πj(x1, . . . , xm) = xj). Si ϕ = (ϕ1, . . . , ϕm) : U → Rm, es claro que ϕ ∈ Ck(U ;Rm), ϕ(0) = 0 y
∂(ϕ1, . . . , ϕm)
∂(x1, . . . , xm)
(0) =






∂(f1, . . . , fn)
∂(x1, . . . , xn)
(0)
∂(f1, . . . , fn)
∂(xn+1, . . . , xm)
(0)
∂(πn+1, . . . , πm)
∂(x1, . . . , xn)
(0)
∂(πn+1, . . . , πm)
∂(xn+1, . . . , xm)
(0)






=
[
A B
Θ I
]
∈ GL(Rm)
es decir ϕ′(0) ∈ GL(Rm). Por el Teorema de la Función Inversa existen abiertos Wa ⊆ U y W ′a =
Va×Za ⊆ Rn×Rm−n con 0 ∈ Wa, f(0) ∈ Va, 0 ∈ Za tales que ϕ
∣
∣
Wa
: Wa → Va×Za es un difeomorfismo
de clase Ck. Denotemos ha =
(
ϕ
∣
∣
Wa
)−1
: Va × Za → Wa. Observe que
ϕ(x) = (f1(x), . . . , fn(x), xn+1, . . . , xm) = (y1, . . . , yn, yn+1, . . . , ym)
luego para cualquier (y1, . . . , ym) ∈ Va × Za tenemos
(f ◦ ha)(y1, . . . , ym) = f(x) = (f1(x), · · · , fn(x)) = (y1, . . . , yn) �
Observación: Si en la demostración del Teorema de la Forma Local de las Sumersiones suponemos que
los n últimos vectores f ′(0)(em−n+1), . . . , f ′(0)(em) generan Im f ′(0), (esto es equivalente a decir que
∂(f1, . . . , fn)
∂(xm−n+1, . . . , xm)
(0) ∈ GL(Rn)),
entonces f se comporta localmente como la proyección sobre las últimas n coordenadas. Más espećıfi-
camente, existen abiertos Wa ⊆ U , Va ⊆ Rn y Za ⊆ Rm−n con a ∈ Wa, f(a) ∈ Va y a′ ∈ Za (donde
a = (a′, a′′) ∈ Rm−n × Rn) y existe ha ∈ Diff k(Za × Va, Wa) tales que
(f ◦ ha)(y′, y′′) = y′′, ∀ (y′, y′′) ∈ Za × Va.
Además, el lector puede probar sin dificultad que ha es del tipo
ha(y′, y′′) = (y′, h2(y′, y′′)), ∀ (y′, y′′) ∈ Za × Va.
Teorema 3.3.3 (Teorema de la Función Impĺıcita) Sea U ⊆ Rm un abierto, a = (a′, a′′) ∈ U con
a′ ∈ Rm−n, a′′ ∈ Rn. Si f = (f1, . . . , fn) ∈ Ck(U ;Rn) (k ≥ 1 y n ≤ m) es tal que
∂(f1, . . . , fn)
∂(xm−n+1, . . . , xm)
(a) ∈ GL(Rn).
Análisis Real II 45
Entonces existen abiertos Wa ⊆ U y Za ⊆ Rm−n con a ∈ Wa y a′ ∈ Za tal que ∀ y′ ∈ Za, existe un único
y′′ = y′′(x) ∈ Rn con la propiedad (y′, y′′) ∈ Wa y f(y′, y′′) = c = f(a). Además la función
ga : Za → Rn
y′ 7→ ga(y′) = y′′
es de clase Ck en Za y para cualquier y′ ∈ Za se tiene
g′a(y
′) = −
[
∂(f1, . . . , fn)
∂(xm−n+1, . . . , xm)
(y′, ga(y′))
]−1 ∂(f1, . . . , fn)
∂(x1, . . . , xm−n)
(y′, ga(y′))
Demostración. Por la observación anterior, existen abiertos Wa ⊆ U , Va ⊆ Rn y Za ⊆ Rm−n con
a ∈ Wa, c = f(a) ∈ Va y a′ ∈ Za y existe un difeomorfismo de clase Ck
ha : Za × Va → Wa
(y′, y′′) 7→ (y′, h2(y′, y′′))
tales que
(f ◦ ha)(y′, y′′) = y′′, ∀ (y′, y′′) ∈ Za × Va.
Sea y′ ∈ Za, defino y′′ = y′′(y′) = h2(y′, c), se sigue que (y′, y′′) = (y′, h2(y′, c)) = ha(y′, c) ∈ Wa y en
consecuencia f(y′, y′′) = f ◦ ha(y′, c) = c, ∀ y′ ∈ Za. Para demostrar que este y′′ es único, sea y ∈ Rn tal
que (y′, y) ∈ Wa y f(y′, y) = c. Como ha ∈ Diff k(Za × Va,Wa) difeomorfismo, existe (z′, z′′) ∈ Za × Va
tal que
(z′, h2(z′, z′′)) = ha(z′, z′′) = (y′, y)
Se sigue que z′ = y′, además
z′′ = f ◦ ha(z′, z′′) = f(y′, y) = c,
luego y = h2(z′, z′′) = h2(y′, c) = y′′, esto prueba la unicidad de y′′. Defino
ga : Za → Rn
y′ 7→ ga(y′) = y′′ = h2(y′, c)
Claramente ga es de clase Ck en Za, además como para cualquier y′ ∈ Za se cumple f(y′, ga(y′)) = c,
definiendo la función α : Za → Wa como α(y′) = (y′, ga(y′)), tenemos
f ′(α(y′))α′(y′) = 0 (3.5)
Pero si denotamos ga = (g1, . . . , gn) se tiene
α′(y′) =
∂(y1, . . . , ym−n, g1, . . . , gn)
∂(y1, . . . , ym−n)
(y′) =






∂(y1, . . . , ym−n)
∂(y1, . . . , ym−n)
(y′)
∂(g1, . . . , gn)
∂(y1, . . . , ym−n)
(y′)






=
[
I
g′a(y
′)
]
(3.6)
f ′(α(y′)) =
∂(f1, . . . , fn)
∂(x1, . . . , xm)
(α(y′)) =
[
∂(f1, . . . , fn)
∂(x1, . . . , xm−n)
(α(y′)),
∂(f1, . . . , fn)
∂(xm−n+1, . . . , xm)
(α(y′))
]
(3.7)
Análisis Real II 46
Reemplazando (3.6) y (3.7) en (3.5) tenemos
∂(f1, . . . , fn)
∂(x1, . . . , xm)
(α(y′)) +
∂(f1, . . . , fn)
∂(xm−n+1, . . . , xm)
(α(y′)) · ga(y′) = 0
lo cual implica
g′a(y
′) = −
[
∂(f1, . . . , fn)
∂(xm−n+1, . . . , xm)
(α(y′))
]−1 ∂(f1, . . . , fn)
∂(x1, . . . , xm−n)
(α(y′)) �
Observación. En el caso que n = 1, tenemos el Teorema de la función impĺıcita estudiado en Análisis I.
3.4 El Teorema del Rango
Recordemos que el rango de una transformación lineal T ∈ L(Rm,Rn) es definido como la dimensión de
Im (T ), o equivalentemente, como el número máximo de vectores filas o vectores columnas linealmente
independientes de cualquier matriz asociada a T .
Definición 3.4.1 Sea U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn una función diferenciable en U . El rango de f
en a ∈ U , denotado rang a(f) es el rango de f ′(a) ∈ L(Rm;Rn).
Observación: Si U ⊆ Rm un abierto y f : U → Rn entonces rang a(f) ≤ min{m, n}, ∀ a ∈ U .
Ejemplo 3.4.1 Sea
f : R2 → R4
(x, y) 7→ f(x, y) = (x2 + y, x2 − y3, x− y, x2 + y2)
Se tiene que
Jf(x, y) =




2x 1
2x −3y2
1 −1
2x 2y




∈ R4×2
Concluimos que rang (x,y)(f) = 2, ∀ (x, y) ∈ R2. �
Ejemplo 3.4.2 Sea f : Rm → Rn definida por
f(x1, . . . , xm) = (x1, . . . , xk, 0, . . . , 0)
donde k ≤ min{m,n}. Se sigue que rang x(f) = k, ∀ x ∈ Rm. Esta función f es llamada proyección
canónica de rango k. �
Ejemplo 3.4.3 Sea α = (α1, . . . , αn) : I ⊆ R→ Rn diferenciable en el intervalo I. Si α′(t) = 0 entonces
α tiene rango 0 en t, pero si α′(t) 6= 0 entonces α tiene rango 1 en t. �
Análisis Real II 47
Ejemplo 3.4.4 Sea f : U → R diferenciable en el abierto U ⊆ Rm I. Si f ′(x) = 0 entonces f tiene
rango 0 en x, pero si f ′(x) 6= 0 entonces f tiene rango 1 en x. �
Ejemplo 3.4.5 Sea f : U ⊆ Rm → Rn. Si f es una inmersión entonces rang x(f) = m = min{m,n},
∀ x ∈ U , pero si f es una sumersión entonces rang x(f) = n = min{m,n}, ∀ x ∈ U . Es por esta razón
que las inmersiones y sumersiones son llamadas funciones de rango máximo �
El siguiente resultado establece que si f : U → Rn tiene rango constante k en el abierto U ⊆ Rm,
entonces en cada punto de su dominio se comporta localmente (por un cambio de coordenadas)