UCM _ Geología _ fisica _ Condensado

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1
ELECTRICIDAD Y 
MAGNETISMO
Capítulo 24
Energía electrostática y capacidad
Copyright © 2004 by W. H. Freeman & Company 
Prof. Maurizio Mattesini 
2
Los condensadores se 
usan en un gran número 
de dispositivos 
electrónicos comunes, 
como en los circuitos de 
sintonización de radios, 
televisores y 
teléfonos móviles. 
 
Algunos condensadores 
pueden usarse para 
concentrar energía, 
aunque la mayoría se 
usan como filtros de 
frecuencias eléctricas 
que no se desea aplicar 
a los correspondientes 
circuitos. 
3
La energía para el destello 
luminoso de una cámara 
fotográfica se obtiene de un 
condensador existente en el 
propio dispositivo de flash. 
4
El desfibrilador externo aplica un alto voltaje entre 
ambos lados del pecho. 
5
24-1���
Energía potencial electrostática 
6
Energía potencial electrostática
La energía potencial electrostática de un sistema de cargas puntuales es 
el trabajo necesario para trasportar las cargas desde una distancia 
infinita hasta sus posiciones finales. 
ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTATICA DE UN SISTEMA 
2,1
1
2 r
kqV =El potencial en el punto 2 viene dado por: q1
punto 1 punto 2
d=r1,2
3,2
2
3,1
1
3 r
kq
r
kqV +=El potencial en el punto 3 viene dado por: 
q1
punto 1 punto 2
d=r1,2
punto 3
d=r1,3 d=r2,3
q2
El trabajo para traer una secunda carga puntual q2 desde 
una distancia infinita es: 
2,1
12
222 r
qkqVqW ==
q2
d=∞
El trabajo para traer una tercera carga q3 desde el infinito es: 
3,2
23
3,1
13
333 r
qkq
r
qkqVqW +==
q3
d=∞
El trabajo total para reunir las tres cargas es la energía 
potencial electrostática U: 
3,2
23
3,1
13
2,1
12
r
qkq
r
qkq
r
qkqU ++=
Caras puntuales: 
7
En donde V1 es le potencial debido a las cargas q2 y q3. 
De igual modo V2 es el potencial debido a las cargas q3 
y q1, y V3 el potencial debido a q1 y q2. 
( )
[ ]332211
3,2
2
3,1
1
3
2,1
1
3,2
3
2
3,1
3
2,1
2
1
3,2
23
3,1
13
2,1
12
3,2
23
3,1
13
2,1
12
3,2
23
3,1
13
2,1
12
2
1 
2
1 
2
1 
2
1
VqVqVq
r
kq
r
kqq
r
kq
r
kqq
r
kq
r
kqq
r
qkq
r
qkq
r
qkq
r
qkq
r
qkq
r
qkq
UU
r
qkq
r
qkq
r
qkqU
++=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+++++=
+=++=
∑
=
=
n
i
iiVqU
12
1
ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTATICA DE 
UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES 
Energía potencial electrostática de una distribución 
continua de carga (consideremos un conductor 
esférico de radio R): 
 
 
 
 
El trabajo necesario para transportar una cantidad de 
carga dq desde el infinito al conductor es V dq: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
en donde V=kQ/L es el potencial generado en la 
superficie de la esfera cargada. Aunque esta 
ecuación se ha deducido para un conductor 
esférico, es válida para cualquier conductor. 
 
Si tenemos una serie de n conductores con el 
conductor i al potencial Vi con la carga Qi, la energía 
electrostática es: 
 
 
 
 
En donde Vi es el potencial en la posición de la carga i 
producido por las demás cargas. 
R
kqV =
QVQ
R
kQQ
R
kq
R
kqdq
R
kU
dq
R
kqVdqdU
Q
Q
2
1
222
2
0
2
0
==⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
===
==
∫
∑
=
=
n
i
iiVQU
12
1
ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTATICA DE 
UN SISTEMA DE CONDUCTORES 
8
Trabajo requerido para mover 
cargas puntuales
EJEMPLO 24.1 
Los puntos A, B, C y D son los vértices de un cuadrado de lado a. Cuatro cargas 
puntuales positivas de valor q se encuentran inicialmente en reposo y separadas a 
una distancia infinita. (a) Calcular el trabajo total necesario para situar cada una 
de las cargas puntuales en un vértice del cuadrado, determinando por separado el 
trabajo correspondiente al transporte de cada carga a su posición final. (b) 
Demostrar que la ecuación expresa el trabajo total. 
 
∑
=
=
n
i
iiVqU
12
1
9
Planteamiento del problema: Para situar la primera carga en 
el punto A no se necesita trabajo, ya que el potencial es cero 
cuando las otras tres cargas están en el infinito. A medida que 
cada carga adicional ocupa su puesto, debe realizarse el trabajo 
correspondiente a la presencia de las cargas previas. 
( )
( )
a
kqq
a
kqq
a
kq
a
kqqW
VVqUWb
a
kqWWWWW
a
kq
a
kq
a
kq
a
kqqqVW
D
W
a
kq
a
kq
a
kqqqVW
aBqaA
qCVqVW
a
kq
a
kqqqVW
aA
BVqVW
W
a
i
i
i
iTotal
D
n
i
iiTotal
DCBATotal
DD
D
CC
CCC
BB
BBB
A
24
1
4
1
1
2
2
2
2
244
2
12
2
1
2
12
2
1
2
12
2
1 
:(a) apartado del 4 paso del usar y 
2
1ecuación la departir a trabajoelCalcular 1. )(
24 
: total trabajoel obtiene se esindividual onescontribuci las Sumando 5. 
2
12
2
 
: punto al carga cuarta la 
ar transportpara necesario calcular permiten semejantes ionesConsiderac 4. 
2
11
2
 
: distancia la a en y 2 distancia la a en 
 de presencia la a debido en potencial el es dondeen , 3. 
 
: distancia la a en situada 
carga primera la a debido en potencial el es dondeen , es 
 requerido trabajoEl B. punto elen carga segunda lar Transporta 2. 
0 
:Aen carga primera laSituar 1. )(
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
==
+=+++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+==
=
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛==
=
=
∑∑
∑
==
=
Observación: WTotal es la energía total 
electrostática de la distribución de carga. 
10
24-2���
Capacidad 
11
Capacidad de un conductor 
esférico
La capacidad depende sólo del tamaño y forma 
del conductor: 
 
Capacidad de un conductor esférico: 
 
 
 
 
 
La unidad del SI de capacidad es el culombio por 
voltio y se denomina faradio (F): 
 
 
 
 
La unidad del SI de permitividad del vació εo se 
expresa en faradio por metros: 
 
 
El potencial de un conductor aislado, que 
contiene una carga Q, es proporcional a esta 
carga y depende del tamaño y forma del 
conductor. 
 
En general, cuanto mayor es la superficie 
del conductor, mayor es la cantidad de carga 
que puede almacenar para un determinado 
potencial. 
 
Por ejemplo, el potencial de un conductor 
esférico de radio R y carga Q es: 
 
 
 
 
 
 
El cociente entre la carga Q y el potencial V 
es su capacidad C: 
 
 
 
 
 
R
kQV =
V
QC =
R
k
R
RkQ
Q
V
QC oπε4/
====
DEFINICIÓN-CAPACIDAD 
Esta magnitud mide la “capacidad” de 
almacenar carga para una determinada 
diferencia de potencial. 
V
CF 1 1 =
mpFmFo / 85.8/ 1085.8
12 =×= −ε
12
Condensadores
Un condensador es un sistema de dos conductores portadores 
de cargas iguales y opuestas (+Q y –Q). 
 
Para calcular la capacidad de un condensador, situamos cargas 
iguales y opuestas en los conductores y después determinamos la 
diferencia de potencial V (ΔV) a partire del campo eléctrico E que 
se genera entre ellos. 
En general, la capacidad depende del 
tamaño, forma, geometría (A), posición 
relativa de los conductores (d) y también de 
tipo del medio aislante que los separa (εo). 
La diferencia de potencial 
ΔV que se genera entre 
los conductores es igual a 
la que existe entre los 
terminales de la batería. 
La carga transferida es 
Q=CV. 
A
QddEdV
oo εε
σ
===
d
A
V
QC oε==
CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR DE 
PLACAS PLANO-PARALELAS 
A
QE
o
== σ
ε
σ ; 
Campo debido a dos 
planos infinitos. 
Como el campo que existe entre las placas es uniforme, V=Ed: 
Condensador de placas plano-
paralelas: en la práctica las placas son 
láminas metálicas muy finas, separadas 
y aisladas por una lámina delgada de 
plástico. 
13
Interruptor de capacidades del 
teclado de un ordenador
Al oprimir la tecla disminuye la 
separación entre la placa 
superior y la inferior y crece la 
capacidad, lo cual pone en 
marcha el circuito electrónico 
del ordenador que actúa en 
consecuencia. 
d
A
V
QC oε==
14
Capacidad de un condensador de 
placas plano-paralelas
EJEMPLO 24.4 
Un condensador de placasplano-paralelas está formado por dos conductores 
cuadrados de lado 10 cm separados por 1 mm de distancia. (a) Calcular su 
capacidad. (b) Si este condensador está cargado con 12 V, ¿cuánta carga se 
transfiere de una placa a la otra? 
( )( )
( )( ) nCCpFCVQ
pF
 m.
 m. pF/m.
d
AεC
d
AεC
o
o
 06.1 1006.1V 12 5.88
:capacidad de definición la departir a determina se da transfericarga La .2
 5.88
0010
10858
:ecuación la departir a capacidad la Determinar .1
9
2
=×===
===
=
−
15
Un cable coaxial utilizado en la TV por cable es un 
largo condensador cilíndrico con un alambre grueso 
como conductor interno y una malla de hilo metálico 
como conductor externo. 
( )12 /ln
2
RR
LC oπε=
CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR 
CILÍNDRICO 
La capacidad por unidad de longitud de un 
cable coaxial es importante en la 
determinación de las características de 
transmisión del cable. 
Capacidad de un condensador 
cilíndrico
La capacidad de un condensador cilíndrico 
es proporcional a la longitud (L) de los 
conductores. 
http://en.wikipedia.org/wiki/Coaxial_cable 
16
Expresión de la capacidad de un 
condensador cilíndrico 
EJEMPLO 24.3 
Determinar la expresión de la capacidad de un condensador cilíndrico formado por 
dos conductores de longitud L. Un cilindro tiene radio R1 y el otro es una corteza 
cilíndrica coaxial de radio interno R2, siendo R1<R2<<L como indica la figura. 
Planteamiento del problema: Disponemos 
la carga +Q en el conductor interno y la carga 
–Q en el conductor externo y calculamos la 
diferencia de potencial V=Va-Vb a partir del 
campo eléctrico que se genera entre los 
conductores, el cual puede calcularse por 
medio de la ley de Gauss. Como el campo 
eléctrico no es uniforme (depende de R) 
debemos integrar para determinar la diferencia 
de potencial. 
17
( )12
1
2
1
2
interior
interior
interior
interior
S
interior
ln
2
 : deduce seanterior resulatdo Del .8
ln
2
 tantolopor 
ln
22
 
 
: determinar para Integramos .7
2
12
:obtener podemos doSostituyen .6
: gaussiana, superficie lapor encerrada carga la sencontramo interior, placa laen 
nteuniformeme adistribuid está longitud de unidadpor carga la que Asumiendo .5
12 
 1 
:resultado siguiente el aproporcion
 Gauss deley la ementeconsecuenty ,2 es cilíndro del lateral supeficie la de área El cero. es cilíndro
 de bases lasen de flujo el tantoloPor radial. es campo el placas, las de extremos los de Lejos .4
s.conductore los de extremos los de lejos encuentra se gaussiana superficie La s.conductore los entre
 situada longitudy radio de gaussiana cilíndrica superficie una tomamos determinar Para .3
:eléctrico campo elcon orelacionad está .2
:relación lapor define se capacidad La .1
12
2
1
2
1
2
1
12
12
RR
L
V
QC
C
R
R
L
QVVV
R
R
L
Q
R
dR
L
Q
dREdVVV
VVV
RL
QE
Q
L
lRlE
EQ
Q
L
ll
L
QlQ
Q
QRlE
QdAE
Rl
LRE
dldV
V
V
QC
o
o
RR
o
R
Ro
V
V
R
R
RRR
RR
o
R
o
R
R
o
R
o
nneto
R
R
R
πε
επ
επεπ
επ
ε
π
λ
ε
π
ε
φ
π
==
=−=
−=−=
−==−
−=
=
=
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛==
==
==
⋅−=
=
∫
∫ ∫
∫
EE
E
Observaciones: La capacidad de un 
condensador cilíndrico es proporcional a la 
longitud (L) de los conductores. 
( )12ln
2
RR
LC oπε=
18
Corte transversal de un condensador de 200 µF 
utilizado en una lámpara de descarga electrónica 
19
Sección transversal de un 
condensador de lámina enrollada 
20
Condensador variable con 
espaciado de aire, muy 
utilizado en los circuitos de 
sintonía de los antiguos 
aparatos de radio. La placas 
semicirculares giran entre 
las placas fijas, cambiando 
la cantidad de área 
superficial enfrentada, por lo 
tanto, la capacidad. 
21
Condensadores cerámicos 
con aplicaciones en los 
circuitos electrónicos. 
22
24-3���
Almacenamiento de la energía 
eléctrica
23
Energía almacenada en un 
condensador
Cuando en condensador se carga, se transfieren 
electrones (o cargas positivas) del conductor positivo 
(negativo) al negativo (positivo). La energía potencial 
electrostática almacenada procederá del trabajo 
necesario para colocar las diferentes cargas en cada 
una de las placas. 
Sea q la carga transferida al cabo de cierto tiempo 
durante el proceso de carga. Si se transfiere ahora una 
pequeña cantidad dq desde el conductor negativo a 
potencial cero hasta el conductor positivo a potencial V, 
la energía potencial del condensador aumenta en: 
 
2
1
 
2
0 C
Qdq
C
qdUU
dq
C
qdqVdU
Q
∫ ∫ ===
==
2
2
2
1
2
1
2
1 CVQV
C
QU === ENERGÍA ALMACENADA EN UN CONDENSADOR 
El trabajo necesario para cargar un 
condensador resulta ser la integral de Vdq 
desde la carga q=0 hasta la carga final q=Q. 
Este trabajo es igual al área del triangular 
1/2Q(Q/C) encerrada debajo de la curva. 
La mitad de la energía total 
aportada por la batería se 
disipa en energía térmica y 
energía electromagnética 
en forma de ondas. 
26
Energía del campo electrostático
En el proceso de carga de un condensador se crea un campo eléctrico entre las placas. El 
trabajo necesario para cargar el condensador puede considerarse como el requerido para 
crear el campo eléctrico, por ello se llama energía del campo electrostático. 
 
Consideremos un condensador de placas paralelas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La energía por unidad de volumen es la densidad de energía ue cuyo valor es: 
 
( ) ( )AdEEd
d
ACVU
d
AC
EdV
o
o
o
222
2
1
2
1
2
1
ε
ε
ε
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛==
=
=
Volumen 
2
2
1 E
volumen
energiau oe ε==
Aunque esta ecuación se ha obtenido 
considerando el campo eléctrico entre las 
placas paralelas, el resultado es valido 
para cualquier campo eléctrico. 
DENSIDAD DE ENERGÍA DE UN 
CAMPO ELECTROSTÁTICO 
27
PROBLEMA 19 
¿Cuál es la energía potencial electrostática de un conductor esférico 
aislado de radio 10 cm cargado a 2 kV? 
( )( )
( ) JCmN
kVm
k
rVU
k
rV
k
rVU
Q
k
rVQ
r
kQV
U
µ 2.22
/ 1099.82
 2 1.0
2
2
V
2
1QV
2
1
:obtiene se potencial energía la deexpresión laen doSustituyen
 
:ecuación la mediante expresa se esféricoconductor un de potencial El
QV
2
1
:es esféricoconductor un de ticaelectrostá potencial energía La
229
22
2
=
⋅×
==
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛==
=→=
=
29
24-4���
Baterías, Condensadores y 
circuitos 
30
Baterías
¿Qué ocurre cuando se conecta un condensador descargado a los bornes de una 
batería? La placa del condensador que está en contacto con el terminal negativo recibe 
una determinada cantidad de carga negativa, de tal forma que momentáneamente la 
carga del terminal negativo de la batería queda reducida. Si se conecta la otra placa del 
condensador al borne positivo de la batería, ocurre el mismo proceso de transferencia de 
carga (positiva) del borne a la placa. Estas reducciones de carga en los terminales de la 
batería activan un proceso químico dentro de la batería que permite de mantener el 
potencial inicial durante un cierto tiempo. 
Símbolo de batería en los circuitos: 
La línea más larga y delgada 
representa el terminal positivo, y la 
más corta y de mayor grosor el 
negativo. 
+ 
- 
Símbolo de un condensador: 
31
Condensadores en paralelo
Los condensadores que se conectan en paralelo 
comparten la misma diferencia de potencial 
(V=Va-Vb) entre sus respectivos extremos. 
( )
21
2
2
1
121
212121
22
11
 
 
 
CC
V
Q
V
Q
V
QQ
V
QC
VCCVCVCQQQ
VCQ
VCQ
tot
eq
tot
+=+=
+
==
+=+=+=
=
=
Una combinación de condensadores en paralelo 
puede remplazarse por un solo condensador que 
almacene la misma cantidad de carga para una 
determinada diferencia de potencial. Decimos que 
el condensador sustituido posee una capacidad 
equivalente. 
Las cargas Q1 y Q2 almacenada en las placas 
viene dada por 
 
 
 
 
 
La carga total almacenada es 
...321 +++= CCCCeq
CAPACIDAD EQUIVALENTE DE 
CONDENSADORES EN PARALELO 
-Q1
32
Condensadores en serie
Cuando la diferencia de potencial a través de 
ambos condensadoreses igual a la suma de 
las diferencias de potencial a través de cada 
uno de ellos, esta conexión se denomina en 
serie. 
2
2
1
1 ;C
 
C
QVQV ==
La diferencia de potencial a través del primer y 
secundo condensador es 
 
 
 
 
 
La diferencia de potencial entre los dos condensadores 
en serie es la suma de estas diferencias de potencial: 
 
 
 
 
 
La capacidad equivalente de dos condensadores es 
Ceq=Q/V, así que sustituyendo Q/Ceq por V se obtiene: 
...1111
321
+++=
CCCCeq
CAPACIDAD EQUIVALENTE DE CONDENSADORES 
IGUALMENTE CARGADOS EN SERIE 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=+=+==
2121
21
11
CC
Q
C
Q
C
QV V-VVV ba
 11
21
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
CC
Q
C
Q
eq
33
Combinaciones de 
condensadores: resumen
Cuando añadimos un condensador en paralelo, 
incrementamos la capacidad del sistema, ya 
que esencialmente el área del conductor (A) 
crece, permitiendo que una carga mayor se 
almacene con la misma diferencia de potencial. 
...321 +++= CCCCeq
CAPACIDAD EQUIVALENTE DE 
CONDENSADORES EN PARALELO 
...1111
321
+++=
CCCCeq
CAPACIDAD EQUIVALENTE DE CONDENSADORES 
IGUALMENTE CARGADOS EN SERIE 
Cuando añadimos un condensador conectado en 
serie, esto implica que 1/Ceq crece y por 
consiguiente Ceq decrece. ⇒ disminuimos la 
capacidad del sistema. 
 
La separación entre las placas (d) aumenta, 
necesitando mayor diferencia de potencial para 
almacenar la misma carga. 
d
A
V
QC oeq
ε
==
d
A
V
QC oeq
ε
==
34
EJEMPLO 24.5 
Un circuito está formado por un condensador de 6 µF, otro de 12 µF, una batería 
de 12 V y un interruptor, conectados como se muestra en la figura. Inicialmente, 
el interruptor está abierto y los condensadores descargados. Se cierra el 
interruptor y los condensadores se cargan. Cuando los condensadores quedan 
completamente cargados, abrimos el circuito y el voltaje en el circuito abierto de 
la batería queda restablecido (a) ¿Cuál es el potencial de cada conductor? (Tomar 
como origen de potenciales el terminal negativo de la batería.) (b) ¿Cuál es la 
carga de cada una de las placas de los condensadores? (c) ¿Cuál es la carga total 
que pasa a través de la batería? 
Condensadores en paralelo
35
( )( )
( )( )
( )
( )
F
V
C
V
QC
CQQQ
c
CVFVCQ
CVFVCQ
CVQb
VV
VVa
tot
eq
tot
b
a
µ
µ
µ
µµ
µµ
18
 12
 216 
 216 
:carga bombea les batería la porquecargan se placas Las )(
 144 12 12 
 72 12 6 
:placas las de carga la de valor el determinar para Utilizar )(
 0 a azulen puntos los Todos 
 12 potencial al encuentran se rojocon coloreados puntos los Todos )(
21
22
11
===
=+=
===
===
=
=
=
Las cargas no pueden pasar 
de una placa a otra de un 
condensador a través de él. 
36
Condensadores en serie
EJEMPLO 24.6 
Un circuito esta constituido por un condensador de 6 µF, otro de 12 µF, una batería de 
12 V y un interruptor, conectados como se muestra en la figura. Inicialmente, el 
interruptor está abierto y los condensadores descargados. Cuando se cierra el 
interruptor los condensadores se cargan. Una vez totalmente cargados y el voltaje en 
el circuito abierto de la batería restablecido, (a) ¿cuál es el potencial de cada conductor 
en este circuito? (Tómese el origen de potenciales el del borne negativo de la batería.) 
(b) ¿Cuál es la carga en cada una de las placas de los condensadores? (c) ¿Cuál es la 
carga total que atraviesa la batería? 
37
( )
( )
( )
 
 0 
:cero es en verde 
 sconductore los de neta carga la que lopor en verde, sconductore 
 los hacia ésta de ncia transfereexiste no carga, de proceso elEn 4. 
CC
C
 
C
 
:que obtiene se Despejando 3. 
CVC 
 CVC 
:rcondensado cadaen 
 potencialy carga relacionar para expresión la Utilizar 2. 
 
 
:rcondensado cada 
 de placas las entre potencial de diferencia laExpresar 1. )(
 odesconocid potencial a víaestán toda en verde puntos Los 
 0 aestán azulen puntos Los 
 12 potencial aestán rojoen puntos Los )(
1221
2
2
1
1
2
2
1
1
2222
1111
2
1
QQQQ
QQVV
QVV
QVV
V
VVQ
VVQ
CVQ
VVV
VVV
b
V
VV
VVa
ba
bm
ma
m
bm
ma
bm
ma
m
b
a
=⇒=+−
+=−⇒
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=−
=−
−==
−==
=
−=
−=
=
=
38
 
F 4
 12
48 
 :es ejemplo este para eequivalent capacidad La
48 es batería la de carga La )(
48 
C 48
 21
1
 6
1
012
11 
 
: carga laobtener para )(expresión esta Utilícese5. 
1
21
21
21
21
µ
µ
µ
µ
µ
µµ
===
==
===
=
+
−
=
+
−
=
+=−
==
V
C 
V
QC
C QQc
C QQ Q
FFCC
VVQ
C
Q
C
QVV
QQQQ
eq
ba
ba
39
Banco de condensadores para 
almacenar energía en el láser de 
impulsos Nova utilizado en los 
Lawrence Livermore Laboratories 
para el estudio de la fusión. 
40
EJEMPLO 24.7 
Conectamos en serie dos condensadores de 6µF y de 12 µF, inicialmente 
descargados, a una batería de 12 V. Utilizando la fórmula de equivalencia para 
condensadores conectados en serie, determinar la carga de cada condensador y la 
diferencia de potencial entre las placas de cada uno de ellos. 
Uso de la fórmula de 
equivalencia 
41
( )( )
V
F
CV
F
Q
V
F
CV
F
Q
CVFVCQ
Q
FC
FFFCCC
VCQ
eq
eq
eq
eq
 4
 21
 48
C
Q
: 21 der condensado del placas las
 entre potencial de diferencia lacalcular para de resultado el nuevo de 5.Utilizar
 8
 6
 48
C
Q
: 6 der condensado del
 placas las entre potencial de diferencia lacalcular para de resultado el 4.Utilizar
 48 12 4
:rcondensado cada de carga la Es batería. la
 suministra que carga la es Esta . carga la determinar para valor este 3.Utilizar
 4
 21
3
 21
1
 6
1111
:expresión la
 mediante determina se serieen rescondensado los de eequivalent capacidad La .2
:eequivalentr condensado del carga la a igual esr condensado cada de carga La .1
2
2
1
1
21
===
===
===
=
=+=+=
=
µ
µ
µ
µ
µ
µ
µµ
µ
µµµ
Comprobar el resultado: Obsérvese que la suma de estas diferencias 
de potencial es lógicamente 12 V. 
42
EJEMPLO 24.9 
(a) Determinar la capacidad equivalente del circuito formado por los tres 
condensadores de la figura. (b) Inicialmente los condensadores están 
descargados. Determinar la carga de cada condensador y la caída de voltaje a su 
través cuando el sistema se conecta a una batería de 6 V. 
Condensadores en serie y en 
paralelo 
43
( )( )
( )( )
( )( ) CVFVCQ
CVFVCQ
VVVCQ
V
F
C
C
QV
CQV
V
F
C
C
Q
C
QV
CQF
CVFVCQ
F
Qb
FC
FFFCCC
F
F
FFFCCC
a
ii
eq
eq
eq
eq
eqeq
eq
µµ
µµ
µ
µ
µ
µ
µ
µµ
µ
µ
µµµ
µ
µ
µµµ
 8 2 4 
 4 2 2 
: 2 dondeen , de reduce se paraleloen rescondensado los de uno cadaen carga La 4. 
 2
 6
 12 
:/ es , paralelo,en r condensado del travésa potencial de caída La 3. 
 4
 3
 12 
:/ es 3 der condensado del travésa potencial de caída La 2. 
 12 6 2 
: 3 der condensado elen depositada 
 carga la también es Ésta batería. lapor dasuministra carga la Determinar 1. )(
 2 
 2
1
 3
1
 6
1111 
:serieen conectado 3 de 
 otrocon 6 der condensadoun de eequivalent capacidad la Determinar 2. 
 6 4 2 
:esindividual scapacidade 
 sus de suma la es paraleloen rescondensado los de eequivalent capacidad La 1. )(
4,244
4,222
4,24,2
1,
2,4
1,4,2
33
3
3
3
31,
211,
===
===
==
===
====
===
=
=+=+=
=+=+=
Comprobar el resultado: La caída de voltaje a través de la combinación en paralelo (2 
V) más la correspondiente al condensador de 3 µF (4 V) es igual al voltaje de la batería. 
Además, la suma de las cargas de los condensadores en paralelo (4 µC+ 8µC) es igual a 
la carga total (12 µC) del condensador de 3 µF. 
44
24-5���
Dieléctricos 
45
Sección de un condensador de múltiples capas 
con un dieléctrico cerámico. La líneas blancas son 
los bordes de las placas conductoras. 
Se denomina dieléctrico un material no conductor 
como el vidrio, el papel, o la madera. 
 
Michael Faradaydescubrió que cuando el espacio 
entre los conductores de un condensador se ve 
ocupado por un dieléctrico, la capacidad aumenta de 
un factor κ que es característico del dieléctrico. 
 
La razón de este incremento es que E entre las 
placas de un condensador se debilita por causa del 
dieléctrico. Así, para una carga determinada sobre 
las placas, el ΔV se reduce (V=E·d) y la relación 
C=Q/V se incrementa. 
κ
oEE =
CAMPO ELÉCTRICO EN EL 
INTERIOR DE UN DIELÉCTRICO 
Campo sin 
dieléctrico 
Constante dieléctrica 
(κ, kappa) 
oo
oo
V
Q
V
Q
V
QC
VdEEdV
κ
κ
κκ
===
===
/
 
oCC κ=
EFECTO DE UN DIELÉCTRICO SOBRE 
LA CAPACIDAD 
Los dieléctricos no sólo incrementan la capacidad de 
un condensador, sino que además proporcionan un 
medio para separar las placas conductoras paralelas 
y elevan la diferencia de potencial a la cual tiene 
lugar la ruptura dieléctrica. 
o
o
d
A
d
AC κεεεεκ ==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= ;
Permitividad del dieléctrico 
46
Para campos eléctricos 
del orden de 3 kV/mm, el 
aire se ioniza y se 
convierte en conductor. 
Con una simple hoja de 
papel se pueden alcanzar 
mayores diferencias de 
potenciales ante que 
ocurra la ruptura 
dieléctrica. 
Material Constante dieléctrica, κ Resistencia del dieléctrico, kV/mm 
47
24-6���
Estructura molecular de un 
dieléctrico 
48
Un dieléctrico debilita el campo eléctrico entre las placas de un condensador 
porque sus moléculas producen un campo eléctrico adicional de sentido opuesto al del 
campo producido por las placas. Este campo eléctrico se debe a los momentos 
dipolares eléctricos de las moléculas del dieléctrico. 
En ausencia de campo 
eléctrico externo, el 
centro de la carga (+) 
coincide con el centro de 
la carga (-). 
En presencia de campo 
eléctrico externo, los 
centros se desplazan 
produciendo un momento 
dipolar inducido en la 
dirección del campo 
externo. 
ATOMO O MOLECULA NO POLAR: ATOMO O MOLECULA CON MOMENTO 
DIPOLAR PERMANENTE (HCl y H2O): 
Dieléctrico polar 
orientado al azar en 
ausencia de campo 
externo. 
En presencia de un 
campo externo los 
dipolos se alinea 
paralelamente al campo. 
49
Cuando se sitúa un dieléctrico entre las 
placas de un condensador, el campo 
eléctrico polariza sus moléculas. El 
resultado es una carga ligada a la 
superficie del dieléctrico que produce su 
propio campo, el cual se opone al campo 
externo. El campo eléctrico entre las placas 
es así debilitado. 
 
Dos casos: 
 
1) Si la moléculas son polares, sus 
momentos dipolares, orientados 
originalmente al azar, tienden a alinearse 
debido al momento de fuerza ejercido por el 
campo externo. 
 
2) Si la moléculas no son polares, el 
campo induce momentos dipolares que son 
paralelos al campo. En cualquier caso, la 
moléculas del dieléctrico se polarizan en la 
dirección del campo externo. 
 
50
La carga superficial en el dieléctrico debilita 
el campo eléctrico entre las placas. 
Condensador sin dieléctrico Condensador con dieléctrico 
51
PROBLEMA 35 
Tres condensadores se conectan en forma de una red triangular como 
indica la figura. Determinar la capacidad equivalente entre los 
terminales a y c. 
53
PROBLEMA 39 
Calcular para el dispositivo que se muestra en la figura: (a) la 
capacidad total efectiva entre los terminales, (b) la carga almacenada 
en cada uno de los condensadores y (c) la energía total almacenada.