_ Ingenieria electronica _ Regulación Automática _ TEMA 3 _ D

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Capítulo 3: Descripción y representación de 
los sistemas continuos 
carlos.platero@upm.es (C-305) 
mailto:carlos.platero@upm.es
Descripción y representación de los sistemas continuos 
 Sistema: división en subsistemas o bloques 
 FDT & diagrama a bloques 
 Objetivos del capítulo 
 Linealización del sistema 
 FDT 
 Diagramas a bloques 
 Sistemas realimentados 
 Álgebra de bloques 
0.6 0.65 0.7 0.75
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
Curva de transferencia del transistor bipolar
uBE [V]
iE
[A
]
Modelo lineal 
Linealización 
 Monovariable 
 
 
 
 Ejemplo 
    
 
 
 
 
 
  ...
!
1
...
!2
1
0
0
2
0
0
2
2
0
0
0



















n
n
n
xx
dx
xdf
n
xx
dx
xdf
xx
dx
xdf
xfxf
    
 
 0
0
0
xx
dx
xdf
xfxf 






 
x
dx
xdf
y 






0
  T
BE
V
u
SEBEEE eIiuii 
BEmE ugi 
   BEBE
T
E
EEBEBE
Vu
T
V
u
S
Vu
V
u
SE Vu
V
I
IiVu
V
eI
eIi
BEBE
T
BE
BEBE
T
BE























Linealización de sistemas dinámicos 
 Modelo basado en ecuaciones diferenciales: 
  0,...,,,...,,,,...,,, 111 nnn xxxxxxyyyF 
0...
......
000
1
01
1
01
1
01000









































































n
n
n
n
n
n
x
x
F
x
x
F
x
x
F
x
x
F
x
x
F
x
x
F
y
y
F
y
y
F
y
y
F












Ejemplo 3.2 
Linealizar la expresión: 
entorno al punto de reposo 
 
  243 2  xsenxxxy 
.
2
0

x
xxy   23
Ejercicio 3.3 
Obtener el modelo dinámico del nivel del agua y linealizarlo en torno a un 
punto de reposo. Considere que el caudal de entrada, Qe, en equilibrio es de 
1 m3/s y la sección de salida, A, es de 1 m2, mientras la base de depósito, B, es 
de 1 m2. Analizar las discrepancias entre el modelo no lineal y lineal en el 
régimen permanente, si el caudal de entrada, en primer lugar, evoluciona a 1.1 
m3/s y luego pasa a 2 m3/s. 
B 
   
 
  02
2








hBAghctQ
AghcAvctQ
dt
dh
BtQtQ
e
ss
se 
     
 
 
10
1
10
e
e
Q t h t h t
h s
Q s s
    


 
  0
2
1
2
0






 hBhA
h
gctQe

Ejercicio 3.3 
,2
2 2 0 2
12
,0
0 2
0.1
10
0.15
0.05
2
e
e
Q
h h h h
h m
Q
h m
A g
 
      

 
 
 
 La validez depende del tamaño del incremento alrededor 
del punto de reposo 
B 
23
,0
,0 0 2
23
,1
,1 1 2
23
,2
,2 2 2
1 0.05
2
1.1 0.0605
2
2 0.2
2
e
e
e
e
e
e
Qm
Q h m
s A g
Qm
Q h m
s A g
Qm
Q h m
s A g
   

   

   

mh
m
gA
Q
h
hhh
Q
h
e
e
06.0
05.0
2
01.0
10
1
2
0,
2
0
101
1,
1














Si el incremento es de 0.1 ó 1 m3/s, los resultados del modelos incremental son: 
Modelo no lineal estacionario: 
Final de enero 2017 
Final de enero 2017 

Función de transferencia (LTI-SISO) 
 Lineal & No Lineal (proceso de linealización) 
 
 
 
 
 Aplicando transformadas de Laplace 
   
    
 
 
 


n
j
jm
j
ji
i
n
j
jm
j
ji
i
tx
dt
d
bty
dt
d
tx
dt
d
bty
dt
d
0i 0
i
0i 0
i
a :lincrementa Modelo
a :lineal Modelo
   
    
 
 
 


n
i
m
j
j
i
n
j
m
j
j
i
sXsbsYs
sXsbsYs
0i 0
i
0i 0
i
a :lincrementa Modelo
a :lineal Modelo
 
 
 
 












n
0
i
0
n
0
i
0
a
 :lincrementa Modelo
a
 :lineal Modelo
i
i
j
m
j
j
i
i
j
m
j
j
s
sb
sX
sY
s
sb
sX
sY
Diagramas de bloques 
 Serie 
 
 
 Paralelo 
 
 
 
 Realimentado 
X(s)
G1(s) G2(s)
Y(s) Z(s)
X(s)
G1(s)G2(s)
Z(s)
                   sXsGsGsZsYsGsZsXsGsY 2121 
X(s)
G1(s)
G2(s)
X(s)
G1(s)+G2(s)
Y(s)
Y(s)
+
+
X(s)
G(s)
H(s)
Y(s)+
-
E(s)
         
        sXsGsGsY
sXsGsXsGsY
21
21


     
       
 
 
 
 
   sHsG
sG
sX
sY
sM
sYsHsXsE
sGsEsY







1
Sistemas realimentados lineales 
 
Z(s) 
G 1 (s) G 2 (s) 
+ X(s) 
H(s) 
Y(s) 
- 
+ - 
         sZsMsXsMsY 21 
 
   
     
 
 
     sHsGsG
sG
sM
sHsGsG
sGsG
sM






21
2
2
21
21
1
11
(por teorema de superposición) 
• Condición de diseño:       121  sHsGsG
 
 
 
   sHsG
sM
sH
sM



1
21
11
Problema 2 
El esquema de la figura representa un sistema de 
control continuo sobre un depósito de agua. La 
altura es medida por un transductor resistivo, de 
forma que la tarjeta de acondicionamiento de la 
señal, da una tensión proporcional a la altura: 
 
siendo k1 la ganancia, de valor 10 [V/m]. Esta señal 
es comparada con la señal de mando, um(t), 
generando la señal de error, la cual ataca al 
regulador PI analógico, cuya ganancia de tensión está 
dada por la siguiente ecuación diferencial: 
 
 
El compensador ataca a la electroválvula de sección 
variable. La sección de paso, W, es proporcional a la 
tensión de salida del regulador con una ganancia k2, 
de valor 0.01 [m2/V]. Se pide: 
 
 
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que determinen la dinámica del sistema. 
2. Linealizar el modelo respecto al punto de equilibrio, um0 = 6V y h0= 0.5m. ¿ Cuánto vale 
el caudal de salida ?, ¿ y el de entrada ?. 
3. Diagrama de bloques entre los incrementos de la señal de mando y de la altura del 
depósito. 
   thktuAC 1
 
 
 
 







dt
tdu
tu
dt
tdu
tu errerr
elec
elec 23
Problema depósito 
El conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que definen la dinámica del 
sistemas: 
 
 
 
 
 
     
     
       
   
ghWQ
hAQQ
tutukW
tutututu
tututu
ththktu
s
se
elecelec
errerrelecelec
ACmerr
AC
2
01.0.
23
10
.
2
..
1












Problema depósito 
El modelo es no lineal; linealizando a partir de la señal de mando y el nivel del depósito se tendrá 
un modelo en incrementos alrededor del punto de equilibrio: 











s
m
QQ
mW
VVuVuVu
mh
Vu
se
elecerrAC
m
3
00
2
0
0
0
0
062.05.0.8.9.2.02.0
02.0
21.215655.0.10
5.0
6
00
   
       
 
  hWhh
h
g
WWhgQ
hAQQ
tuW
tutututu
uuu
thtu
s
SE
elec
errerreleelec
ACmerr
AC


















062.013.313.3
2
2
01.0
23
10
0
0
.
..
Problema depósito 
 El diagrama a bloques quedará como: 
+
-
10
0.01 3.13
0.062
S
1+
+
+
- 
 31 /
1
3
2


S
S
 sum  suelec  sW  sh sQs
 sQe
 suerr
+
-
10
0.01 3.13
0.062
S
1+
+
+
- 
 31 /
1
3
2


S
S
 sum  suelec  sW  sh sQs
 sQe
 suerr
Problema depósito 
 La simulación: 
Ejemplo 3.5 
Para calentar el agua de un termo eléctrico se 
emplea el efecto Joule. Para su regulación se 
emplea una estructura de realimentación negativa. 
La temperatura interior del termo, Ti, es adquirida 
por un transductor de tipo termopar. La salida del 
sensor es acondicionada y es convertida en una 
señal de tensión analógica, uTi: 
 TiTii auu
A
T  
1
Ti
K
VCC Ta
Acondicionamiento
señal
RTH
+
-
um
La temperatura deseada en el termo o señal de mando, es convertida a 
través de un potenciómetro en una señal de referencia, um. Ésta es 
comparada con la salida de la tarjeta de acondicionamiento y amplificada 
por un valor k. Esta señal ataca a la etapa de potencia. Por otro lado, hay 
que añadir las pérdidas de calor por transmisión de calor, desde el 
tanque al exterior. Obtener el diagrama a bloques delsistema de control 
del termo eléctrico y su equivalente reducido. 
Ejemplo 3.5 
 Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales: 
 
 
 
 
 
 Diagrama a bloques 
 
 
 
 
 
 
    or) transductamientoacondicion de (Etapa /17
)energético (Balance 6
calor) delisión por transm (Pérdidas R5
)calorífica energía de iento(Almacenam 4
potencia) de (Etapa /3
error) señalción (Amplifica 2
r)(Comparado 1
TH
2
TiTii
pTi
Pai
iTi
FT
errFT
errTim
auuAT
qqp
qTT
Tmcq
Rup
Kuu
uuu









         sTsMsusMsT ami  21
Ejemplo 3.4 
 FDT respecto a la señal de mando 
 
 
 
 FDT respecto a la perturbación 
 
 
  THTHTHa
i
CsRRKGHsT
sT
sM





11
2
1
1
 
 
  THTHTH
TH
m
i
CsRRKGH
RKG
su
sT
sM





11
1
1
1
Ejemplo 3.4 
Reducción de bloques(1/2) 
 Transposición del sumador 
+
-
G(s)
X(s)
Y(s)
Z(s)
+
-
Y(s)
G(s)
G(s)
X(s) Z(s)
+
-
Y(s)
G(s)
X(s) Z(s)
+
-
G(s)
Y(s)
Z(s)X(s)
1/G(s)
                   1/Z s G s X s Y s Z s G s X s Y s G s    
                  Z s G s X s Y s Z s G s X s G s Y s    
Reducción de bloques(2/2) 
 Movimiento de los puntos de bifurcación de las señales 
G(s)
X(s)
Y(s)
Z(s)
Y(s)
G(s)
1/G(s)
X(s) Z(s)
Y(s)
G(s)
X(s) Z(s)
G(s)
Y(s)
Z(s)X(s)
G(s)
                       
1; ;Z s G s X s Y s X s Z s G s X s Y s X s G s
G s
    
                   ;Z s G s X s Y s Z s G s X s Y s X s G s    
Ejemplo 3.6 
 
G 1 
+ 
- 
H 2 
G 2 
G 3 
H 1 
G 4 
H 3 
+ 
+ 
+ + 
- 
- 
    
Ejemplo 3.6 
 
G 1 
+ 
- 
H 2 
G 2 + G 3 
H 1 
H 3 
+ 
- 
- 
3 4 
4 
1 H G 
G 
 
 
 
+ 
 
H 3 
+ 
- 
3 4 
4 
1 H G 
G 
 
3 4 
4 
1 H G 
G 
 
  
Ejemplo 3.6 
 
G 1 
+ 
- 
H 2 
G 2 + G 3 
+ 
- 
  
 
 
  
 
 
 
  
3 4 
4 
3 1 
1 
1 
H G 
G 
H H 
3 4 
4 
1 H G 
G 
 
 
 
+ 
- 
H 2 
3 4 
4 
1 H G 
G 
 G 1 
  
  
3 2 
3 4 
3 4 
1 
3 2 
1 
1 1 G G 
H G 
H G 
H 
G G 
   
 
 
  
 
 
 
  
 
Ejemplo 3.6 
34
4
1 HG
G

  
     34321232134
34321
11
1
HGGGGHGGHHG
HGGGG


 
 
     34321232134
4321
11 HGGGGHGGHHG
GGGG
sM



Problema 5 
El diagrama de la figura representa un esquema simplificado de levitación 
magnética. La fuerza magnética producida por el electroimán intenta 
compensar la fuerza de gravitación sobre el cuerpo que levita. Sabiendo 
que la fuerza magnética es proporcional al cuadrado de la corriente de la 
bobina e inversamente a la posición del cuerpo, determinar: 
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que describe la dinámica 
del levitador. 
2. Linealización de la planta alrededor del punto de reposo. 
3. Diagrama de bloques del sistema. 
4. ¿Es estable? i(t) LR
 
 
 tx
ti
ktf pm
2
x(t)
u(t)
i(t)
LR
 
 
 tx
ti
ktf pm
2
x(t)
u(t)
Datos: 
M = 0.1 kg kp= 2510-3 [Nm/A2] R = 0.1  
L = 5.4 mH 
Punto de reposo: x0 = 25 mm 
Problema 5 
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que describe la 
dinámica del levitador: 
 
 
 
2. Linealización de la planta alrededor del punto de reposo. 
 
 
 
 
 
3. Diagrama de bloques del sistema. 
 
i(t)
LR
 
 
 tx
ti
ktf pm
2
x(t)
u(t)
i(t)
LR
 
 
 tx
ti
ktf pm
2
x(t)
u(t)
Datos: 
M = 0.1 kg kp= 2510-3 [Nm/A2] R = 0.1  L = 5.4 mH Punto de reposo: x0 = 25 mm 
Ai
k
xgM
i
p
10
02
0 


   
 
 
 tx
ti
kgMxM
dt
tdi
LtiRtu
p
2



     
   tx
x
i
kti
x
i
kxM
tiLtiRtu
pp 










 


0
2
0
2
0
02

Problema 6 
Una masa se desliza por un plano inclinado a una 
determinada velocidad, se pide: 
1. Conjunto de ecuaciones algebro-diferenciales que modele 
la dinámica y velocidad del régimen permanente de la 
masa cuando la pendiente es /6. 
2. Determinar el modelo incremental entre el ángulo del 
plano inclinado y su velocidad, con las condiciones 
iniciales dadas. 
3. Variación temporal de la velocidad del objeto si hay un 
cambio de pendiente de /6 a /3. Utilícese el modelo 
lineal del apartado anterior. 
4. Determinar la velocidad en el régimen permanente, 
cuando la masa se desliza sobre el plano de /3. ¿Existe 
discrepancia con el resultado del apartado anterior? ¿Por 
qué?. 
Datos: M = 10 kg, B = 5 Ns/m, g ~ 10 m/s2. 
 
0
6

 
1
3

 
 v t
Problema 6 
1. Modelo dinámico: 
 
2. Modelo de incrementos alrededor de una velocidad 
nominal: 
 
 
3. Velocidad en el cambio de pendiente: 
 
 
4. Existe discrepancia por la aproximación del sistema no 
lineal a través de la pendiente. En el modelo linealizado 
da 19 m/s y en el modelo no lineal es de 17.32 m/s. 
 
       r rMx t Mgsen f t f t Bx t  
 
1 10 3
6 1 2
v s
s s

 

 
10 /rp
Mg sen
v m s
B

   
 
 
 
0
cos 10 3
1 2
Mgv s
G s
s Ms B s



  
  
Examen julio 2014 
La figura muestra un accionamiento hidráulico utilizado para el control del ángulo del alerón de una aeronave. El 
accionamiento consiste básicamente en un amplificador y un acondicionador de potencia hidráulico controlado por una 
válvula piloto sobra la que se actúa exteriormente modificando su desplazamiento x(t). La válvula piloto es una 
válvula equilibrada, en el sentido de que la presión de todas las fuerzas que actúan sobre ella está equilibrada. Se 
consideran condiciones de funcionamiento ideales. Se define: 
Q(t) = caudal de aceite al cilindro de potencia 
P(t) = diferencia de presiones en el cilindro (P1 – P2 ) 
x (t) = desplazamiento de la válvula piloto 
La diferencia de presiones P(t) es una función del 
desplazamiento x(t) y del caudal Q(t). 
La relación entre las variables P(t), Q(t) y está dada por 
la ecuación no lineal: P(t) = f (x(t), Q(t)). 
La variación del caudal depende de la aceleración del vástago a(t): 
 
donde A es el área del pistón y  es la densidad del aceite 
El balance de fuerzas en el pistón da: 
 
donde m es la masa del pistón y del vástago y F(t) es la fuerza aplicada por el vástago del pistón al punto de fijación de 
la superficie de control. El balance de momento de la superficie de control da: 
 
donde I es el momento de inercia de la superficie de control y fijación alrededor de la articulación, Fa(t) es la carga 
aerodinámica aplicada (se considera una perturbación), l es la longitud del brazo de palanca, y (t) es la aceleración 
angular del eje ( ). 
Si el ángulo girado es pequeño, puede deducirse que: a (t) = l  (t) 
Se define un punto de funcionamiento en equilibrio (nada se mueve) por F0 = 0, Q=0. 
 
(t)(t) ρA Qa 
(t) m(t)(t)A aFP 
d (t) (t)l(t) I aFF 
(t) (t)  
0 K0K
0
2
0
1 






Q
f
x
f
Examen julio 2014 
1. Expresión en laplace de las ecuaciones linealizadas del 
sistema físico. 
Datos: En el punto de equilibrio: 
 
0 K0K
0
2
0
1 






Q
f
x
f
Solo hay una ecuación no lineal, en un punto de equilibrio con todas las variables a cero: 
 
El resto son lineales y por tanto el paso a laplace es inmediato: 
 
Examen julio 2014 
Diagrama de bloques y FDT 
 
Para obtener la FDT, se reduce el diagrama de bloques considerando la perturbación nula. 
Resultan entonces dos realimentaciones negativas anidadas, que conllevan a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Δ Δ 
Δ Δ 
Δ Δ 
Δ 
Δ 
2 
Problema 4 
 La figura representa el esquema simplificado de la calefacción de unahabitación por medio de 
un radiador eléctrico. El radiador consiste en una resistencia R alimentada a V voltios y situada 
en un baño de aceite de masa calorífica Mc y temperatura Tc. Posee una superficie Sc de 
coeficiente global de transmisión Uc hacia el aire. 
 El aire de la habitación se encuentra a una temperatura Th y tiene una masa calorífica Mh. La 
temperatura exterior es Te. Las paredes tienen una superficie SP y un coeficiente global de 
transmisión UP. 
 La temperatura de la habitación se mide con un termómetro situado cerca del radiador, por 
lo que su indicación Tm viene afectada ligeramente por él. Dicha medida se compara con una 
referencia Tr y la diferencia, amplificada con un ganancia K se lleva a la resistencia del radiador. 
 
 
   
2
1) 0.95 0.05
2) 3) 0.24 /
4)
5)
m h c
r m
c
c c c c h
h
h c c c h p p h e
T T T
V k T T q V R
dT
M q U S T T
dt
dT
M U S T T U S T T
dt
 
  
  
   
CcalMCcalM
CscalSUCscalSUCVkR
hc
ppcc
/º3000/º1000
º/33º/5.12/º5020


Control de temperatura de la habitación 
 
 
   
2
1) 0.95 0.05
2) 3) 0.24 /
4)
5)
m h c
r m
c
c c c c h
h
h c c c h p p h e
T T T
V k T T q V R
dT
M q U S T T
dt
dT
M U S T T U S T T
dt
 
  
  
   
Descartes: “El discurso del método” (1637) 
 
Dudar de forma metódica y provisional de todo lo que le rodea: 
1. «El primero, no admitir jamás cosa alguna como verdadera 
sin haber conocido con evidencia que así era». 
2. «El segundo, en dividir cada una de las dificultades que 
examinare, en tantas partes fuere posible y en cuantas 
requiriese su mejor solución». 
3. «El tercero, en conducir con orden mis pensamientos, 
empezando por los objetos más simples y más fáciles de 
conocer, para ascender poco a poco, gradualmente, hasta el 
conocimiento de los más compuestos, e incluso suponiendo 
un orden entre los que no se preceden naturalmente». 
4. «Y el último, en hacer en todo recuentos tan integrales y 
unas revisiones tan generales, que llegase a estar seguro de 
no omitir nada».