UPM _Universidad Politécnica de Madrid_ _ Grado en Ingeniería Aeronautica _ Aeroelasticidad _ P2 Motor 2

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Dept. de Vibraciones y Aeroelasticidad
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
AEROELASTICIDAD DINÁMICA (�FLUTTER�)
OBJETIVO: Ejercitar el planteamiento de las ecuaciones aeroelásticas de Flutter en casos distintos al caso
nominal de teoría.
Enunciado: Se desea analizar la in�uencia del motor de un avión en la velocidad de �utter de la aeronave. Para simpli�car el
problema, el ala del avión se representa por una sección de la misma y el efecto estructural del resto del ala sobre dicha sección
se representa por muelles de rigidez a �exión Kh y torsión Kα. El motor se representa por una masa puntual concentrada
de valor MR suspendida del ala por un muelle de rigidez KR y situada a una distancia xR del origen de coordenadas, que a
su vez coincide con el eje elástico (ver �gura).
El motor en situación nominal tiene una rigidez de unión al ala KR cercana al in�nito. Sin embargo, la variación de KR
re�eja un caso de fallo de la unión que se debe certi�car en el diseño de la aeronave.
Tomando como coordenadas generalizadas el desplazamiento vertical del per�l h positivo hacia abajo, el giro respecto del
eje elástico α positivo cuando el borde de ataque sube y la deformación relativa del muelle del motor con respecto al per�l
zR, se pide:
1. Determinar las ecuaciones del movimiento del sistema asumiendo �ujo incompresible y amortiguamiento estructural
nulo. Expresar las fuerzas aerodinámicas como Qh y Qα, despreciando las fuerzas aerodinámicas sobre el motor.
2. Comprobar que las ecuaciones reproducen casos extremos como KR = 0 y KR → ∞. Identi�car a qué corresponde
cada uno de los casos anteriores.
 
x 
U 
c/2 
h 
EA 
z 
Kh 
K 
zR 
xR 
Figura 1: Sección típica con motor de masa MR
Solución:
El movimiento del per�l se puede expresar como w (x; t) = −h (t)−α (t)x, mientras que el movimiento del motor viene dado
por wR (t) = −h (t)− α (t)xR − zR. La energía cinética del sistema es:
dT2D =
1
2
dm
(
ḣ+ α̇x
)2
=
1
2
dmḣ2 + xdmḣα̇+
1
2
x2dmα̇2 → T2D =
1
2
Mḣ2 +
1
2
Iαα̇
2 + Sαḣα̇
TR =
1
2
MR
(
ḣ+ α̇xR + ˙zR
)2
=
1
2
MRḣ
2 +
1
2
MRx
2
Rα̇
2 +
1
2
MRż
2
R +MRxRḣα̇+MRḣżR +MRxRα̇żR
La energía potencial del sistema proviene de la deformación elástica en �exión y torsión del per�l 2D y la elongación del
motor respecto al per�l:
U =
1
2
Khh
2 +
1
2
Kαα
2 +
1
2
KRz
2
R
Se asume amortiguamiento estructural nulo por lo que la energía de disipación es nula, es decir, D = 0.
Las ecuaciones de Lagrange quedan:
Mḧ+ Sαα̈+MRḧ+ xRMRα̈+MRz̈R +Mω
2
hh = Qh
Sαḧ+ Iαα̈+ xRMRḧ+ x
2
RMRα̈+ xRMRz̈R + Iαω
2
αα = Qα
MRḧ+ xRMRα̈+MRz̈R +MRω
2
RzR = 0
donde se ha tenido en cuenta que no se consideran cargas aerodinámicas sobre el motor y las rigideces a �exión y torsión se
escriben en función de las frecuencias modales (Kh = Mω
2
h y Kα = Iαω
2
α). Agrupando términos, las ecuaciones anteriores
quedan:
(M +MR) ḧ+ (Sα + xRMR) α̈+MRz̈R +Mω
2
hh = Qh
(Sα + xRMR) ḧ+
(
Iα + x
2
RMR
)
α̈+ xRMRz̈R + Iαω
2
αα = Qα
MRḧ+ xRMRα̈+MRz̈R +MRω
2
RzR = 0
Adimensionalizando con M y b:
(
1 +
MR
M
)
ḧ
c/2
+
(
xα +
xR
c/2
MR
c/2
)
α̈+
MR
c/2
z̈R
c/2
+ ω2h
h
c/2
=
Qh
Mc/2(
xα +
xR
c/2
MR
M
)
ḧ
c/2
+
(
r2α +
x2R
(c/2)2
MR
M
)
α̈+
xR
c/2
MR
M
z̈R
c/2
+ r2αω
2
αα =
Qα
M(c/2)2
MR
M
ḧ
c/2
+
xR
c/2
MR
M
α̈+
MR
M
z̈R
c/2
+
MR
M
ω2R
zR
c/2
= 0
Asumiendo movimiento armónico y formulando el problema en formato matricial para ser resuelto con el método Vg:
 1 + MRM xα + xRb MRM MRMxα + xRb MRM r2α + x2Rb2 MRM xRb MRM
MR
M
xR
b
MR
M
MR
M
 h̄/(c/2)ᾱ
z̄R/(c/2)
− (1 + ig)(ωαω )2

(
ωh
ωα
)2
0 0
0 r2α 0
0 0
(
ωR
ωα
)2
MR
M

 h̄/(c/2)ᾱ
z̄R/(c/2)
 = 0
Nótese que el método Vg introduce un amortiguamiento ��cticio� g que corresponde al amortiguamiento que debe tener el
sistema para que el movimiento resultante sea armónico a frecuencia ω.
El caso KR = 0 corresponde a ωR = 0 y, sustituyendo la tercera ecuación en las dos primeras se recupera las ecuaciones del
per�l 2D explicadas en las clases teóricas. El caso KR →∞ corresponde a motor unido rígidamente al per�l, es decir, zR = 0.
En este segundo caso, se recuperan las ecuaciones del per�l 2D pero incorporando el peso del motor en las características
inerciales del per�l.