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ANTENAS ANTENAS ELEMENTALES 1 
 
© Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politécnica de Valencia 
 
 
Dipolo elemental 
 
Un dipolo elemental es un elemento de corriente de longitud h, 
recorrido por una corriente uniforme, cuyas dimensiones son 
pequeñas comparadas con la longitud de onda. 
 
La mayor parte de las antenas a frecuencias inferiores a 1 MHz se 
comportan como dipolos elementales, dado que a esa frecuencia la 
longitud de onda es de 300 m. 
 
Cargas y corrientes 
 
La distribución de cargas en un dipolo se pueden obtener a partir de 
la ecuación de continuidad. 
 
0J jωρ∇⋅ + = 
 
La ecuación de continuidad en forma integral, aplicando el teorema 
de la divergencia es 
 
' '
' ( ') ' 0
s v
Jds j r dvω ρ+ =∫∫ ∫∫∫ 
 
Aplicando dicha ecuación a un elemento de corriente se observa que 
para cualquier punto del dipolo la corriente que entra en un volumen 
infinitesimal es igual a la corriente que sale, por la tanto la carga 
acumulada es cero, a excepción de los extremos superior e inferior, 
donde vale. 
 
0I j Q
I IQ j
j
ω
ω ω
+ =
= − =
 
 
Las cargas varían sinusoidalmente, estando desfasadas 90 grados con 
respecto a la corriente. En la antena se producen oscilaciones de 
corrientes positivas y negativas, con acumulación de carga en los 
extremos. Para que se pueda producir dicha acumulación es 
necesario que exista algún elemento capacitivo (esfera, placa 
metálica, etc). Hertz utilizó en sus primeros experimentos un dipolo 
con placas cuadradas en los extremos. 
 
ANTENAS ANTENAS ELEMENTALES 2 
 
© Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politécnica de Valencia 
 
Potencial vector 
 
 
El potencial vector de un hilo de corriente se puede calcular de forma 
exacta como 
 
'
'
( ') '
4
ˆ ( ') '
4
jkR
v
jkR
z
eA J r dv
R
eA z I z dz
R
µ
π
µ
π
−
−
=
=
∫∫∫
∫
 
 
 
Si se cumple que la distancia R es mucho mayor que las dimensiones 
del dipolo R>>h, se pueden utilizar las aproximaciones a grandes 
distancias 
 
 
ˆ ˆ
ˆ ' 'cos
R r
R r r z r z θ− ⋅ = −
 
 
El potencial vector es paralelo a la dirección de las corrientes y se 
puede escribir como el producto de una onda esférica por el vector 
de radiación del dipolo elemental 
 
'
'
( ') '
4
4 4
z
jkr
jk z
z z
jkr jkr
z z
eA I z e dz
r
e eA Ih N
r r
µ
π
µ µ
π π
−
− −
=
= =
∫
 
 
 
Para un dipolo elemental de dimensiones muy pequeñas 
comparadas con la longitud de onda, los desfases son prácticamente 
despreciables, y el vector de radiación es el producto de la corriente 
por la dimensión 
 
 ˆN zIh= 
 
 
 
 
 
 
ANTENAS ANTENAS ELEMENTALES 3 
 
© Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politécnica de Valencia 
 
Campos del dipolo elemental 
 
Para el cálculo de los campos radiados es conveniente obtener 
previamente las componentes del vector de radiación. 
 
 
ˆ cos
ˆ sen
ˆ 0
r z
z
N N r N
N N N
N N
θ
φ
θ
θ θ
φ
= ⋅ =
= ⋅ = −
= ⋅ =
 
 
El potencial vector se puede expresar en coordenadas esféricas como 
 
( )ˆ ˆˆ4
jkr
r
eA N r N N
r θ φ
µ θ φ
π
−
= + + 
 
Los campos magnéticos del dipolo elemental, válidos a distancia 
r>>h se pueden calcular a partir de la definición del potencial vector. 
 
1H A
µ
= ∇× 
Realizando los cálculos en coordenadas esféricas, teniendo en cuenta 
la simetría de revolución del problema ,se obtiene el campo 
magnético, que tiene tan sólo una componente. 
 
2
1( )sen
4
jkre jkH Ih
r rφ
θ
π
−
= + 
 
 
Para calcular el campo eléctrico se puede utilizar la Ley de Ampère 
en el espacio libre, donde las corrientes son cero. 
 
1 ( )E H J
jωε
= ∇× − 
 
Los campos eléctricos del dipolo elemental tienen dos componentes 
 
2 3
2 3
2 2( ) cos
4
1( )sen
4
jkr
r
jkr
eE Ih
r j r
e jE Ih
r r j rθ
η θ
π ωε
ωµ η θ
π ωε
−
−
= +
= + +
 
ANTENAS ANTENAS ELEMENTALES 4 
 
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Campos inducidos por el dipolo elemental 
 
Los campos magnéticos inducidos son los que tienen una variación 
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia 
 
2 sen4
jkr
i eH Ih
rφ
θ
π
−
= 
 
La anterior expresión se puede identificar con la Ley de Biot y Savart 
para un elemento de corriente I de longitud h, con un término de 
desfase adicional 
 
Los campos eléctricos inducidos son los mismos que los producidos 
por un dipolo eléctrico de carga Q y momento dipolar Qh. Al variar 
las cargas con el tiempo aparece un término de desfase. 
 
3 3
3 3
2cos 2cos
4 4
sen sen
4 4
i jkr jkr
r
i jkr jkr
r
IhE e Qh e
j r r
IhE e Qh e
j r r
θ θ
π ωε πε
θ θ
π ωε πε
− −
− −
= =
= =
 
 
Campos radiados 
 
Los campos radiados por el dipolo elemental son los que decrecen 
proporcionalmente a la distancia, como r-1. 
 
 
sen
4
sen
4
jkr
jkr
eE j Ih
r
eH jk Ih
r
θ
φ
µω θ
π
θ
π
−
−
=
=
 
 
Las expresiones completas de los campos incluyen términos que 
varían como 1/r, 1/r2, 1/r3. 
 
Los términos que varían como 1/r2 hay que tenerlos en cuenta en la 
región de transición entre los campos inducidos y los campos 
radiados. 
 
ANTENAS ANTENAS ELEMENTALES 5 
 
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Los campos radiados se hubieran podido obtener de una forma 
mucho más simple utilizando las expresiones aproximadas. 
 
El potencial vector se obtendría de forma similar 
4
sen
jkr
z
z
eA Ih
r
A Aθ
µ
π
θ
−
=
= −
 
 
Los campos radiados se obtienen a partir 
 
E j A
EH
θ θ
θ
φ
ω
η
= −
=
 
 
Densidad de potencia radiada 
 
La densidad de potencia radiada se calcula a partir de los campos 
eléctricos y magnéticos radiados. 
 
2
* 2ˆRe( ) sen
4
IhP E H r k
r
ωµ θ
π
⎛ ⎞= × = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
El diagrama de radiación es proporcional a 
 
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
0P θ( )
θ
 
2
0 senP P θ= 
 
El diagrama es omnidireccional en el plano XY, y tiene un nulo en la 
dirección del eje z, 
 
ANTENAS ANTENAS ELEMENTALES 6 
 
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Diagramas de campo 
El campo eléctrico radiado está polarizado linealmente, la 
orientación del vector es según θ̂ , si encerramos al dipolo en una 
esfera, suponiendo orientación, z el campo seguiría los meridianos. 
El plano E es el definido por la dirección de máxima radiación y el 
campo eléctrico en dicha dirección. La normal a dicho plano es 
 
ˆ r̂θ × 
 
Por lo tanto el plano E es cualquier plano que contiene al eje z, por 
ejemplo el XZ o el YZ. En éste caso la definición del plano E n o es 
única, ya que el problema tiene simetría de revolución. Cualquier 
corte cteφ = se podría definir como plano E. Los cortes en la esfera 
serían planos que incluyesen a los dos polos. 
 
El plano H es el definido por la dirección de máxima radiación y el 
campo magnético en dicha dirección. Para el dipolo elemental es el 
plano XY. En la esfera sería el plano ecuatorial. 
 
El diagrama de campo es similar al de potencia, pero la variación es 
proporcional a 
 
ANTENAS ANTENAS ELEMENTALES 7 
 
© Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politécnica de Valencia 
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
0E θ( )
θ
 
0 senE E θ= 
 
 
 
La potencia total radiada por el dipolo se puede obtener integrando 
la densidad de potencia radiada en una superficie que encierre al 
dipolo elemental. 
 
2
22 2
' 0 0
2 2
2 3 2
0
' sen sen
4
4sen
2 2 3
t S
t
IhW ds k r d d
r
h hW I d I
π π
π
ωµ φ θ θ θ
π
η ηπ θ θ π
λ λ
⎛ ⎞= ⋅ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫∫ ∫ ∫
∫
P
 
 
 
Resistencia de radiación 
 
La resistencia de radiación se puede calcular a partir de la potencia 
total radiada y la corriente en la entrada 
 
2
2
2 80
t
r
W hR
I
π
λ
⎛ ⎞= = Ω⎜ ⎟
⎝ ⎠
 
 
ANTENAS ANTENAS ELEMENTALES 8 
 
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Un hilo de corriente uniforme de 1 m de longitud tendría una 
resistencia de radiación de 7,89 Ω a 30 MHz y 789 Ω a 300 MHz. 
 
Los valores obtenidos justifican la necesidad de trabajar con cables 
coaxiales a partir de unos pocos MHz. 
 
Directividad 
La directividad se calcula como la relación entre la densidad de 
potencia radiada en la dirección del máximo y la densidad de 
potencia que radiaría una antena isotrópica con la misma potencia 
total radiada. 
 
3
'2 '
4 4 1.5
sen
4
t
s
s
D W d dd
r
π π
θ θ φ
π
= = = =
Ω ∫∫∫∫
max
max
P
P
P
 
 
Longitud efectiva 
La longitud efectiva de un dipolo elemental se define la corriente 
que tendría un hilo uniforme, perpendicular a la dirección de 
propagación de las ondas, que cumpliese la condición 
 
( )( ) ( )( )1 1ˆ ˆ ˆ ˆl r r N N N r rI I= × × = − ⋅ 
 
En general, la expresión es: 
 
( ) ( )1 ˆ ˆ ˆsenl N N hI θ φθ φ θ θ= + = − 
 
La longitud efectiva máxima es 
 
ˆ ˆsen
2m
l h hzπ θ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
ANTENAS ANTENAS ELEMENTALES 9 
 
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Espira elemental 
 
Se denomina espira elemental a un conductor de forma arbitraria que 
se cierra sobre sí mismo y por el que circula una corriente uniforme. 
Las dimensiones deben ser pequeñas en términos de la longitud de 
onda. 
 
Vector de radiación 
 
El vector de radiación de una espira elemental circular, situada en el 
plano XY, por el que circula una corriente uniforme I, se puede 
calcular a partir de la expresión. 
 
2 ˆ '
0
ˆ ' 'jkr rN I e ad
π
φ φ⋅= ∫ 
El desfase con respecto al origen de coordenadas se puede calcular a 
partirde las expresiones de los dos vectores en coordenadas 
cartesianas, particularizadas en / 2θ π= y r a= 
 
ˆ ' sen cos( ')r r a θ φ φ⋅ = − 
 
Los campos radiados se pueden obtener a partir de las componentes 
del vector de radiación en coordenadas esféricas. 
 
ˆ
ˆ
N N
N N
θ
φ
θ
φ
= ⋅
= ⋅
 
 
Realizando los productos vectoriales indicados, se obtienen las 
expresiones integrales siguientes 
 
2 sen cos( ')
0
2 sen cos( ')
0
cos sen( ') '
cos( ') '
jka
jka
N aI e d
N aI e d
π θ φ φ
θ
π θ φ φ
φ
θ φ φ φ
φ φ φ
−
−
= −
= −
∫
∫
 
 
Si la espira es pequeña, las integrales se pueden simplificar, 
desarrollando el exponente en serie, como 
 
sen cos( ') 1 sen cos( ')jkae jkaθ φ φ θ φ φ− = + − 
 
La contribución del primer término del desarrollo en serie a las 
integrales es nula. Calculando las integrales resulta 
ANTENAS ANTENAS ELEMENTALES 10 
 
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22 2 2
0
0
sen cos ( ') ' sen
N
N jka I d jk a I
θ
π
φ θ φ φ φ π θ
=
= − =∫
 
 
 
 
Campos radiados por una espira elemental 
 
Los campos se calculan a partir de las expresiones aproximadas 
 
2
0
sen
4
jkr
E j A
eE j A j jkI a
r
θ θ
φ φ
ω
µω ω π θ
π
−
= − =
= − = −
 
 
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
0E θ( )
θ
 
 
 
Los campos radiados tienen una componente, por lo que la 
polarización es lineal. 
 
El diagrama es similar al del dipolo elemental, pero la polarización es 
ortogonal. Situando la espira en el plano ecuatorial de una esfera, el 
campo eléctrico está orientado en la dirección de los paralelos. 
ANTENAS ANTENAS ELEMENTALES 11 
 
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Se produce un nulo de radiación en la dirección perpendicular a la 
espira y el máximo está en el plano de la misma. 
 
Para una espira situada en el plano XY, el plano E es el mismo, y el 
plano H es cualquier plano que contenga al eje z. 
 
Diagrama de radiación 
 
El diagrama de radiación de potencia es proporcional a 
 
2
0 senP P θ= 
 
La potencia radiada se obtiene integrando la densidad de potencia en 
una superficie que encierre a la antena. 
 
( ) ( )
2
42 2
'
sen
6t s
E
W r d d ka Iφ πηθ θ φ
η
= =∫∫ 
 
Resistencia de radiación 
 
La resistencia de radiación resulta se proporcional a la cuarta 
potencia de las dimensiones de la espira. 
ANTENAS ANTENAS ELEMENTALES 12 
 
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( )422 20tr
WR ka
I
π= = Ω 
La espira es una radiador muy poco eficiente comparado con el 
dipolo, ya que éste último tiene una resistencia de radiación que es 
proporcional al cuadrado de sus dimensiones. 
 
Esta diferencia es debida a que en las espiras tienen forma de 
contorno cerrado y para cada elemento de corriente existe otro en 
sentido contrario. La radiación se debe a las diferencias de fase de las 
ondas producidas por elementos de corriente opuestos. 
 
Directividad 
 
La directividad coincide con la del dipolo elemental, ya que el 
diagrama de radiación es idéntico. 
 
 
3
4 1.5
sen
D
d d
π
θ θ φ
Ω
= =
∫∫
 
 
Área efectiva 
 
El área efectiva de una espira se puede calcular a partir de la relación 
con la Directividad 
 
2 23
4 8e
A D λ λ
π
= = 
 
Longitud efectiva 
Aplicando la definición 
 
( ) ( )21 ˆ ˆ ˆsenl N N jk aI θ φθ φ π θ φ= + = 
 
 
 
ANTENAS ANTENAS ELEMENTALES 13 
 
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Dipolos y espiras elementales de formas arbitrarias 
 
 
Los campos de un dipolo de forma arbitraria puede analizarse a 
partir del potencial vector 
 
ˆ '
'
ˆ '
'
( ') '
4
4
( ') '
jkr
jkr r
v
jkr
jkr r
v
eA J r e dv
r
eA N
r
N J r e dv
µ
π
µ
π
−
⋅
−
⋅
=
=
=
∫∫∫
∫∫∫
 
 
En el caso de dipolos y espiras elementales, sus dimensiones son 
pequeñas comparadas con la longitud de onda y el término de fase 
de la integral se puede aproximar por 
 
( )
ˆ '
'
ˆ1 '
ˆ( ') 1 ' '
jkr r
v
e jkr r
N J r jkr r dv
⋅ + ⋅
+ ⋅∫∫∫ 
 
En los dipolos elementales es suficiente con considerar el primer 
término de la serie, y el vector de radiación es directamente la suma 
de las corrientes. En el caso de formas arbitrarias esto equivale a una 
corriente que una los extremos de la antena. 
 
'
( ') '
v
N J r dv∫∫∫ 
 
 
En el caso de las espiras, al tratarse de formas cerradas la suma de las 
corrientes es cero y hay que tener en cuenta el siguiente término de la 
serie 
 
( )
' '
ˆ ˆ( ') 1 ' ' ( ') ' '
v v
N J r jkr r dv J r jkr r dv+ ⋅ = ⋅∫∫∫ ∫∫∫ 
 
Se puede demostrar que dicha expresión es equivalente, en el caso 
de espiras planas a una expresión en función del momento dipolar 
magnético. 
'
ˆ
ˆ '
s
N jkm r
m Ids
= ×
= ∫∫ 
 
ANTENAS ANTENAS ELEMENTALES 14 
 
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Espiras con núcleo de ferrita 
 
 
Para calcular la tensión en circuito abierto en una espira se puede 
utilizar la Ley de Faraday 
 
E j Hωµ∇× = − 
 
En forma integral 
 
s s
s
Eds j Hds
Edl j Hds
ωµ
ωµ
∇× = −
= −
∫∫ ∫∫
∫ ∫∫
 V 
 
Calculando la circulación del campo eléctrico a lo largo de la espira 
se obtiene la tensión en circuito abierto, para una espira situada en el 
espacio libre 
 
0V j HAωµ= − 
 
Si la espira tiene N vueltas, el área equivalente también se multiplica 
por N 
 
( )0V j HA Nωµ= − 
 
Si además se incluye un núcleo de ferrita 
 
0 fV j HNAωµ µ= − 
 
La longitud efectiva de una espira con núcleo de ferrita se multiplica 
por un factor f Nµ y la resistencia de Radiación por ( )
2
f Nµ 
 
 
La Directividad y Área efectiva no cambian con respecto a la espira 
de una vuelta. 
 
La eficiencia a 1MHz toma valores típicos de 10-5 a 10-6