Solucion_Hoja_C_polares_10-11

Vista previa del material en texto

MATEMÁTICAS II Cónicas en coordenadas polares Curso 10-11 
 
Unidad Docente de Matemáticas 1/6 
1.- La Luna es el satélite natural de la Tierra y tiene una órbita elíptica con el centro de la 
Tierra en uno de sus focos. Esta órbita tiene los siguientes datos: a= 384400 km, e=0.05. 
Tomando como radio de la Tierra R= 6370 km y como radio de la Luna 1738 km 
a) Hallar una ecuación polar de la órbita de la Luna. 
b) Hallar la distancia más lejana de la superficie de la Tierra a la superficie de la Luna 
y la distancia para  = /2. 
Solución 
a) a= 384400km, c=a·e=19220km, b2 = a2-c2 = 147393951600, p= b2/a= 383439 km 
 
b) La distancia más lejana es el punto apogeo y hemos de tener en cuenta los radios, luego, 
d1= a+c-RT-RL= 395512 km 
La distancia para  = /2 es d2= - 6370-1738= 375331 km (obsérvese que se 
trata de la longitud del parámetro p menos los radios de los astros) 
2.- Los planetas describen órbitas elípticas con el Sol en uno de sus focos. 
a) Hallar la ecuación polar de la órbita de Marte sabiendo que tiene por excentricidad 
 e = 0,0934 y que el semieje mayor es a = 227,94 x 106 km. 
b) Hallar la distancia más lejana de Marte al Sol (afelio) y la distancia para  = /6. 
c) Hallar una ecuación cartesiana de la órbita. 
Solución 
 
a) Ecuación polar de la órbita de Marte 
 


cose1
p
r , con 
a
b
p
2
 . 
6
6
14222
5 1095.225
1094.227
1003.515
a
ca
a
b
p1089.212aec
a
c
e 




 
 





cos0934.01
1095.225
cose1
p
r
6
 
 
b) Distancia más lejana al sol (afelio): 
 
6225.95 10
r
1 0.0934cos 0

 

6249.23 10
 
km 
 
MATEMÁTICAS II Cónicas en coordenadas polares Curso 10-11 
 
Unidad Docente de Matemáticas 2/6 
2 2
1
169 100
x y
 
Distancia para 
6

 : 
6225.95 10
r
1 0.0934cos
6

 


 6245.84 10 km 
 
c) Ecuación cartesiana de la órbita: 
 
2 2
6 2 6 2
x y
1
(227.94 10 ) (226.94 10 )
  
 
2 2
14 14
x y
1
519.57 10 515.03 10
 
 
 
 
3.- Dada la hipérbola de ecuación hallar la ecuación polar de su rama derecha 
suponiendo que la dirección del eje polar coincide con la dirección positiva del eje de abscisas 
y que el polo está: 
 i) en el foco izquierdo de la hipérbola. 
 ii) en el centro de la hipérbola. 
En el caso i), hallar la ecuación polar de sus directrices y asíntotas. 
Solución 
 
 
 i) 13a169a 2  
 10b100b2  
 
269c
269bac 222


 
 
4 caso
2
13
269
a
c
e
13
100
a
b
p









 









cos26913
100
cos
13
269
1
13
100
cose1
p
r 
 
Ecuación polar de las directrices: 
 


cos 269
269438
r
269
269438
cos r
269
169
269
c
a
c'xdir
2
1 


cos 269
269100
r
269
269100
 cos r
269
169
269
c
a
c'xdir
2
2 
 
Ecuación polar de las asíntotas: 
 
Son rectas que, en el sistema de referencia x’ y’, pasan por el punto (c, 0) y tienen de 
pendiente 
a
b
 ; por tanto, tienen de ecuación: 
     269cos r
13
10
sen r269'x
13
10
'yc'x
a
b
'y  ; y despejando r se 
obtiene ya la ecuación pol,ar: 
MATEMÁTICAS II Cónicas en coordenadas polares Curso 10-11 
 
Unidad Docente de Matemáticas 3/6 


cos
13
10
sen
269
13
10
r


 
 
ii) 
P (r,  )  hipérbola  
e
)dir,P(dist
PF


. 
Por el teorema del coseno en el 
triángulo OPF, se verifica: 


cos rc2crPF 22
2
 
c
a
-cos r
c
a
OMPD)dir,P(dist
2
2



 
 
Por tanto, 
a
c
c
a
-cos r
cos rc2cr
e
)dir,P(dist
PF
2
22





. 
Elevando al cuadrado en la expresión anterior y operando se obtiene: 
 
   
 
2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
22 2 2 2 2
2
2
 cos cos
 cos 1 cos
1 cos
c r a a r a c r a c a a c a a c
a b b b
a b r
ca c e
a
 
 
         

        
 
 
2
2
2
100 16900
269 169 269cos1 cos
169
r

   

 
 
2º método 
Efectuando el cambio a polares en la propia ecuación cartesiana de la hipérbola pues 
ahora coincide el polo con el origen del sistema de referencia cartesiano: 
 
1
100
y
169
x 22

2 2 2 2 2 2 2 2cos sen 100 cos 169 sen
1 1
169 100 16900
r r r r   
      
 
  



222
22
2222
69cos2169
16900
cos-1169cos100
16900
sen169cos100
16900
r16900sen169cos100r
 
 
 
MATEMÁTICAS II Cónicas en coordenadas polares Curso 10-11 
 
Unidad Docente de Matemáticas 4/6 
4) Dada la parábola de ecuación y2 = 6 x, hallar su ecuación polar suponiendo que la 
dirección del eje polar coincide con la dirección positiva del eje de abscisas y que el polo está 
en el foco de la parábola. 
Solución: 
 
y x px p2 6 2 3    ; e = 1. 
 
La ecuación adecuada es: 
 



cose1
p
r
3
1 cos
 . 
 
 
 
5) Verificar que la ecuación 


cos25
21
r determina una elipse y hallar los semiejes y las 
ecuaciones polares de sus directrices. 
Solución: 
5
2
=e , 
5
21
=p 
cos5
21
5
21
cos 25
21
r 



 
 
Por ser e < 1, se trata efectivamente de una elipse; y, por la forma de la ecuación, un foco está 
en el polo, la directriz no corta al eje polar y la cónica y el foco están en el mismo semiplano 
respecto de la directriz. 
 
 
p de d
p
e
    
21
5
2
5
21
2
 . 
a
p
e e





1
5
1
212 2 , b =
p
 . 
c a b c2 2 2 25 21 4 2       . 
 
 
 
La directriz d1 tiene de ecuación: 
. 
cos2
21
rd
2
21
cos r
2
21
d`x 1 
 
La otra directriz d2 tiene de ecuación: 


cos2
29
rd
2
29
=cos r
2
29
2
25
2
c
a
c`x 2
2
 
 
 
F 
d 
c 
a2/c 
d1 d2 
y y` 
 x`
 x 
MATEMÁTICAS II Cónicas en coordenadas polares Curso 10-11 
 
Unidad Docente de Matemáticas 5/6 
6) Verificar que la ecuación 


cos53
16
r determina la rama derecha de una hipérbola y 
hallar las ecuaciones polares de sus directrices y asíntotas. 
Solución: 
3
5
=e , 
3
16
p
cos351
3
16
cos 53
16
r 



 . 
 
Por ser e > 1, se trata de una rama de una hipérbola. 
A la vista de la ecuación, la cónica y el foco están del 
mismo lado respecto de la directriz y el eje polar no 
corta a dicha recta, luego, la situación es la siguiente: 
 
Así pues, se trata de la rama derecha de una hipérbola. 
d
p
e
p
e e
  




16
5 1
3
1
42 2 , a , b =
p
 . 
c a b c2 2 2 25 5     . 
 
 
Las ecuaciones polares de las directrices se hallan de forma análoga a como se hizo en el 
problema anterior, obteniéndose: 
 




cos5
34
rd , 
cos5
16
rd 21 . 
Las ecuaciones de las asíntotas respecto al sistema de 
referencia x , y (de origen el centro de la cónica, y de 
ejes los de la cónica) son: x
a
b
y  . 
Los nuevos ejes son ahora: 





y`y
5x`x
 
Respecto a estos nuevos ejes, las ecuaciones cartesianas de las asíntotas son, por tanto: 
)5`x(
3
4
`y  . 
Por consiguiente, las ecuaciones polares de estas rectas son: 
)5cos r(
3
4
=sen r  ; es decir, operando para cada uno de los signos se obtiene: 
 cos 4-sen 3
20
= r , 
 sen 3cos 4
20-
=r 
 
7) Una elipse de excentricidad 
4
1
e tiene un foco en el origen y su directriz correspondiente 
tiene de ecuación polar rcos = 8. Sabiendo que el eje polar es OX+, se pide: 
a) Hallar las coordenadas del otro foco. 
b) La ecuación polar de la elipse 
c) Dibujar la elipse 
 
Solución: 
 
 F 
a2/c 
c 
d 
d1d2 
x 
x` 
y` y 
 
MATEMÁTICAS II Cónicas en coordenadas polares Curso 10-11 
 
Unidad Docente de Matemáticas 6/6 
 
De la ecuación de la directriz: 
 8`x
cos
8
r 

 
se deduce que la directriz está a la derecha del 
foco F (polo); por tanto, el eje polar corta a la 
directriz y la cónica y el foco están en el mismo 
semiplano (izquierdo) respecto de la misma. 
Debe usarse una ecuación del tipo 3: 


cose1
p
r 
a) Las coordenadas polares del otro foco serán: F`(r = 2c,  ). Hallemosc: 
c4a
a
c
4
1
e  , luego 
15
8
cc15c
c
c16
c
c
a
8
22
 . 
Por tanto, : F`(r = 2
5
16
15
8
 ,  ). 
b) 
 




 2
c4
cc4
a
ca
a
b
p
22222




cos
4
1
1
2
cos e1
p
r 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F 
y
c 
a2/c 
dir` dir 
y` 
F` x 
x`