REPASO MATEMÁTICAS

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FUNCIONES LINEALES Y 
CUADRÁTICAS
FUNCIONES LINEALES
Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D exactamente 
un elemento, llamado f(x), de un conjunto E.
Generalmente, los conjuntos D y E son conjuntos de números reales.
El conjunto D se llama dominio de la función. Un numero arbitrario dentro del dominio 
se representa como variable independiente
El conjunto E es el rango de f(x), y es el conjunto de todos los valores posibles que puede 
tomar f(x). Un numero en el rango de f se llama variable dependiente.
Por ejemplo:
Sea 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2
Sabemos que la raíz cuadrada de un numero negativo no esta definida, por lo tanto el 
dominio de f consta de todos los valores x tales que 𝑥 + 2 ≥ 0.
Esto es equivalente a 𝑥 ≥ −2 de modo tal que el dominio es el intervalo [−2,∞) y el 
rango son todos los números reales mayores que cero. [0, ∞]
FUNCIONES LINEALES
Una función lineal es una función de la forma:
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 ó 𝐟 𝐱 = 𝒎𝒙 + 𝒃
donde m es la pendiente de la recta y b es la intersección con 
el eje y u ordenada al origen. La representación gráfica de 
una función lineal siempre es una línea recta de pendiente m.
El valor de la pendiente m, es la relación entre la variación de 
el eje y, por cada unidad que varía el eje x. Es decir, si al 
variar una unidad en el eje x, la función varía dos unidades en 
el eje y, la pendiente de esta función sería m = 2
El valor de b, es el valor que toma la función en el eje y, 
cuando la variable x = 0. Es decir, en que punto la función 
corta al eje y.
FUNCIONES LINEALES
Se debe tener en cuenta que los valores de x y de f(x) NO SON PROPORCIONALES, lo 
que son proporcionales son sus incrementos. Esto tiene que ver con la ordenada al 
origen b.
Ejemplo:
Sea f(x) = -3x + 7
Si x = 2 f(x) = 3.2 + 7 = 13 
(Al crecer 2 unidades en x, la función crece 6 unidades en y)
Si x = 4 f(x) = 3.4 + 7 = 19
(Al crecer 4 unidades en x, la función crece 12 unidades en y)
Vemos que 6 y 12 son proporcionales entre sí, pero 13 y 19 no lo son. 
A la cantidad que se incrementa la función al incrementar x, hay que sumarle (o restarle) 
el incremento que se tiene por la ordenada al origen b
FUNCIONES LINEALES
A saber: 
Si el valor de m es positivo, la función es creciente (al crecer unidades en x, crece 
unidades en y). 
Si el valor de m es negativo, la función es decreciente (al crecer unidades en x, decrece 
unidades en y)
Si el valor de m es cero, la función es una recta horizontal a la altura de y=b.
FUNCIONES LINEALES
Grafica de una función:
Para representar una función y = f(x) gráficamente lo primero que debemos hacer es 
elaborar una tabla de valores, luego ubicar cada punto de la tabla en el plano xy y 
finalmente unirlos con una línea RECTA
Por ejemplo:
Graficar f(x) = 4x + 2
1- Armamos una tabla de valores
Rápidamente podemos ver que m=4 y 
que b = 2
X Y
0 2
-1 -2
1 6
FUNCIONES LINEALES
Grafica de una función:
2- Graficamos los puntos reflejados en la 
tabla
3-Unimos los puntos con una línea recta
A = (-1,-2)
B = (0, 2)
C = (1, 6)
Vemos que cuando me muevo una unidad 
en x, la función se mueve 4 unidades en y 
(porque m = 4)
FUNCIONES LINEALES
Grafica de una función:
Graficar f(x) = -2x + 6
Vemos que en este caso se trata de una 
función DECRECIENTE ya que m<0
Tenemos los puntos: A = (0,6), B = (2,2) 
C =(3,0)
X Y
0 6
2 2
3 0
FUNCIONES LINEALES
Grafica de una función:
Graficar f(x) = 5
En este caso, sabemos que la 
pendiente de la función es m=0, 
por lo que no habrá variación en y, 
si varía x. 
Se tiene una recta horizontal de 
y = 5
FUNCIONES CUADRÁTICAS
Una función cuadrática es una relación modelada por la ecuación de segundo grado, 
de la forma:
𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄
Donde a , b y c son números reales y a≠0, ya que si a se anula, estaríamos en el caso 
de una función lineal. La representación gráfica de una función cuadrática es una 
PARÁBOLA.
La parábola es una curva que es simétrica con respecto a una recta paralela al eje de 
las ordenadas, el cual se denomina eje de simetría. Se compone de todos los pares 
ordenados (x,y) que satisfacen la ecuación cuadrática. 
(Si la curva fuera simétrica respecto a una recta paralela al eje de las abscisas, NO se 
trataría de una función ya que a un mismo valor del dominio, le corresponderían dos 
valores distintos en la imagen)
FUNCIONES CUADRÁTICAS
Elementos importantes para graficar una parábola:
VÉRTICE
EJE DE SIMETRÍA
RAÍCES (puntos donde se 
corta con el eje x)
RAMAS DE LA PARÁBOLA
FUNCIONES CUADRÁTICAS
Vértice y eje de simetría:
El vértice es el punto donde 
cambia de dirección la parábola, 
es por donde pasa el eje de 
simetría. 
Cuando a>0, el vértice es el 
punto mínimo de la parábola 
(abre hacia arriba)
Cuando a<0, el vértice es el 
punto máximo de la parábola 
(abre hacia abajo)
FUNCIONES CUADRÁTICAS
Vértice y eje de simetría:
Las coordenadas del vértice (xv,yv) debemos calcularlas
Sabemos que el vértice está exactamente en la mitad entre las dos raíces de la 
función. Por lo que la componente del vértice en x, se puede calcular como el punto 
medio entre las raíces 𝑥1 𝑦 𝑥2, como:
𝒙𝒗 =
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐
𝟐
O bien, como: 𝒙𝒗 = −
𝒃
𝟐𝒂
Una vez que calculamos la componente en x, el valor de yv está dado por:
𝒚𝒗 = 𝒂𝒙𝒗
𝟐 + 𝒃𝒙𝒗 + 𝒄
FUNCIONES CUADRÁTICAS
Raíces:
Las raíces son los puntos sobre el eje x en donde la función se anula (son de la forma 
(x,0)). 
Para calcular las raíces de una función cuadrática debemos ver para qué valores de x, 
f(x) = 0.Por lo tanto, sabemos que la función queda de la forma:
0 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Sabemos que las ecuaciones que son de esta forma, podemos resolverlas con la 
ecuación general de la resolvente:
𝒙 =
−𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
FUNCIONES CUADRÁTICAS
Raíces:
Sabemos también, que las raíces de la función cuadrática dependen del 
discriminante, donde ∆ = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
A saber:
-Si ∆>0: La ecuación tiene dos raíces reales y la función corta dos veces al eje x
-Si ∆<0: La ecuación tendrá dos raíces imaginarias y no corta nunca al eje x
-Si ∆=0: La ecuación tendrá una única raíz, por lo tanto corta al eje x solo una vez
EJEMPLOS PRÁCTICOS
En los últimos años se ha detectado un incremento lineal en el porcentaje de la 
población de alcohólicos en una ciudad. En 1990 el porcentaje era de 10% y en el año 
2002 se elevó a 14%. Si p(t) es el porcentaje de alcohólicos en la población y t 
representa el tiempo en años desde 1990, determine la expresión para la función p(t), 
considerando que t = 0 en 1990. 
¿Cuál es la pendiente de la función?
¿Es posible decir que en algún año el porcentaje de alcohólicos sea nulo?
¿Cuántos años deben pasar para que el porcentaje de alcohólicos sea la mitad de la 
población?
EJEMPLOS PRÁCTICOS
En los últimos años se ha detectado un incremento lineal en el porcentaje de la población de alcohólicos en 
una ciudad. En 1990 el porcentaje era de 10% y en el año 2002 se elevó a 14%. Si p(t) es el porcentaje de 
alcohólicos en la población y t representa el tiempo en años desde 1990, determine la expresión para la función 
p(t), considerando que t = 0 en 1990. 
¿Cuál es la pendiente de la función? ¿Es posible decir que en algún año el porcentaje de alcohólicos sea nulo? 
¿Cuántos años deben pasar para que el porcentaje de alcohólicos sea la mitad de la población?
P(t): Porcentaje de 
alcohólicos en la población
t: tiempo en años
1990 p(t) = 10% 
2002 p(t) = 14% 
Sabemos que:
1990 es t=0
Debemos ver que cuando:
t crece desde 1990 a 2002 (12 unidades)
p(t) crece desde 10% a 14% (4 unidades)
Pendiente m:
𝑝(𝑡)
𝑡
=
4
12
=
1
3
Por otro lado, cuando t = 0, p(t) = 10, 
entonces la función que modela este 
problema es:
P(t) = t.1/3 + 10
EJEMPLOS PRÁCTICOS
Germán presenta una respiración irregular de origen desconocido, entonces la pediatra decide realizarle una 
TAC (Tomografía Axial Computada). Para esto se le suministra a Germán un líquido de contraste, cuya 
concentración residual (C) en elcuerpo en función del tiempo medido en horas es C = 2𝑡2 − 5𝑡. Se requiere 
una concentración igual o menor a 3g/ml para poder realizar el examen. Si se administra el contraste a las 
12:00hs AM. ¿Entre qué horas es posible realizar la TAC? ¿A qué hora Germán tendrá menor concentración 
absorbida?
P(t): Concentración 
residual
t: tiempo en horas
Debemos averiguar para que tiempo t, C = 3g/ml
3𝑔
𝑚𝑙
= 2𝑡2 − 5𝑡 2𝑡2 − 5𝑡 − 3 = 0
Rta: La TAC se puede realizar entre las 
12.00hs y las 15.00hs (12 + 3)
Haciendo la resolvente
𝑡1 = 3
𝑡2 = −1/2
EJEMPLOS PRÁCTICOS
P(t) = t.1/3 + 10
Germán tendrá la menor concentración de C 
en el punto mínimo de la parábola, que está 
dado por el punto donde se ubica el Vértice
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
=
5
2.2
=
5
4
𝑦𝑣 = 2. 5 4
2 − 5 5 4 = −
25
8
= −3,125
Germán tendría la mínima concentración cuando t = 5/4hs
Ojo! No es coherente tener valores de concentraciones negativas!