listadodetrigonometriageneral

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UNIVERSIDAD DEL BÍO-BÍO
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS.
RP-CP-JCV/rp.
Listado de Trigonometría
1. Evaluación
1. Dada la función trigonométrica obtener las
restantes.
a) senα = 1
2
;α ∈ III
b) cosα = 7
9
;α ∈ I
c) tan β = 4
3
;α ∈ I
2. Evalúe las seis funciones trigonométricas del án-
gulo θ, si θ está en posición normal y su lado ter-
minal contiene al punto dado:
a) (−7,−12)
b) (
√
2,
√
3
c) (4,−1)
d) (−3, 2)
3. Determine el valor exacto (sin calculadora) de:
a) sin 120◦
b) tan(2π
3
)
c) cos(3π
4
)
d) sin 405◦
e) sec 780◦
f ) sin(13π
6
)
g) sin 75◦
h) tan 225◦
4. Si sinα =
√
3
2
, α ∈ I y cos β = 1
2
, β ∈ IV , Determi-
nar:
a) sin(α + β)
b) cos(α + β)
c) tan(α + β)
d) sec(α + β)
5. Si sinα = 2
3
y P (α) /∈ I cuadrante; sec β = −5
4
y
P (β) ∈ II .
a) Encuentre el valor de sec(β − α); Resp:
45+30
√
5
22
b) Determine el cuadrante al cual pertenece el
punto P (β − α).
6. Determinar cos(α + β) y sin(α − β), e indique el
cuadrante en que se encuentra, P (α+ β) y P (α−
β) sabiendo que sinα = 2
3
; α ∈ II cuadrante y
cos β = 3
4
; β ∈ IV cuadrante.
7. Determine cos(π
2
−α) si sinα = −12
13
y 3
2
π < α < 2π.
8. Demostrar que: Si tanα = b
a
⇒ a cos 2α +
b sin 2α = a
9. Si sinα = b√
a2+b2
con a > 0, b > 0, α en el primer
cuadrante, determinar:
a) El valor de todas las funciones trigonométri-
cas para el ángulo α.
b) Demuestre que cos3 α+cos3 α·tan2 α = a√
a2+b2
2. Identidades Trigonométricas
1.
tanα
1 + secα
− tanα
sinα
=
2
sinα
2.
1 + cosα
sinα
+
sinα
1− cosα
= 2[cscα + cotα]
3.
cot(−t) + csc(−t)
sin(−t)
=
1
1− cos t
4.
cos 2α
1 + sin 2α
=
1− tanα
1 + tanα
5.
cos2 α
cot(α
2
)− tan(α
2
)
= 2 cotα
6.
2 sin2 β − 1
sin β cos β
= tan β − cot β
7. (cos2 α− 1)(cot2 α + 1) + 1 = 0
8. 4 sin(α +
π
3
) sin(α− π
3
) = 4 sin2 α− 3
9. 2 sin(α +
3π
4
) sin(
3π
4
− α) = cos 2α
10. tanα =
sin α
2
+ sinα + sin 3
2
α
cos α
2
+ cosα + cos 3
2
α
11. csc(2α)− cot(2α) = tanα
12.
1 + cot θ
csc θ
=
1 + tan θ
sec θ
13.
cos(π
2
− α) · sin(π
2
− α) · tan(π − α)
cot(π
2
+ α) · sin(π − α)
= cosα
14.
sin 3α
cosα
+
cos 3α
sinα
= 2 cot 2α
15.
sin(30◦ + α) · sin(30◦ − α)
cos 2α− 2 sin2 α
=
1
4
3. Ecuaciones Trigonométricas
Resuelva para x ∈ [0, 2π[ las ecuaciones:
1.
√
2 sin2 x+ cosx = 0; Resp: x = 3π
4
;x = 5π
4
2. sin(x − 2) + 1
4
− cos2(x − 2) = 0;Resp: x = π
6
;x =
5π
6
+ 2
3. sin(x + π
6
) + cos(x + π
3
) = 1 − cos 2x. Resp:s =
π
3
, π
2
, 3π
2
, 5π
3
4. 3 tan2 x+ 5 = 7
cosx
;Resp: x = π
3
;x = 5π
3
5. sin(2x − 1) +
√
3 · cos(2x − 1) = 0;Resp: x = 4π
3
+
1;x = π
3
+ 1
1
6. tanx · cotx+ 4 sin2 x = 4;Resp: x = π
3
;x = 5π
3
7. sinx(2− sinx) = cos2 x;Resp: x = π
6
;x = 5π
6
8. tanx+
√
3 = sec x;Resp: x = 5π
6
;x = 11π
6
9. 2 cos2(3x)− 3 sin(3x) = 0
10. sinx · cscx+ 8 cos2 x = 7;Resp:s = π
6
, 5π
6
, 7π
6
, 11π
6
4. Funciones Trigonométricas In-
versas
1. Encuentre los valores indicados en forma exacta
sin utilizar calculadora.
a) sin(2 arc cos 2
3
)
b) tan(arctan 2 + arcsin 4
5
)
c) cos(arcsec(5
2
)− arcsec(7
5
)
d) cos(arctan(−3
4
) + arctan(1
4
)
2. a) Si arctanx+arctan y+arctan z = π demostrar
que: x+ y + z = xyz.
b) Pruebe que: arcsecx+arc csc x = π
2
para todo
x ≤ 1 es una identidad.
c) Demuestre que: tan(arc cos x) =
√
1−x2
x
3. Resuelve las ecuaciones trigonométricas inversas:
a) arcsinx+ arc cos(1− x) = 0; Resp: 0
b) arcsin
√
2x− arc cos
√
x; Resp: 1
3
c) arctan 1−x
1+x
= 1
2
arctanx, x 6= 1; Resp:
√
3
3
.
d) arctan(x2) + arctan(1− x2) = π
2
;
e) arc senx− arc cosx = π
6
f ) arc cosx+ arc cos
√
3x = π
2
5. Gráficas de las funciones
trigonométricas
1. Trace las gráficas de las funciones e identifique:
Amplitud, Periodo y Desfase.
a) y = 2 sin(x− π
6
)
b) y = 3 cos(x
2
− 1)
c) y = sin(x+ π
4
)
d) y = 2 + 3 cos(x+ π
2
)
e) y = 1 + 5 sin(x− π
4
)
f ) −y = 1− 2 cos(x− −3π
2
)
2. Esbozar las gráficas de las siguientes funciones:
a) f(x) = arcsin(x− 1)
b) f(x) = arctan x+ π
2
c) f(x) = arc cos x
4
6. Aplicaciones Trigonométricas
1. Una antena de radio emisora está en el borde del
techo de un edificio. Desde un punto en el suelo,
a 500 metros de la base del edificio, la visual al pie
de la antena forma una ángulo de 10◦ con la visual
al extremo superior de la antena. Si el ángulo de
elevación al borde superior del edificio es de 30◦,
¿qué altura tiene la antena?. Resp.130.87 metros.
2. Desde un faro situado a 75.3 pies sobre el nivel del
agua, el ángulo de depresión de un bote es 23◦40′.
¿A qué distancia está el bote del punto situado
a nivel del agua y directamente bajo el punto de
observación?. Resp: x = 174 pies.
3. Dos mástiles tienen 12m. y 18m. de altura. La
recta que une sus cúspides forma un ángulo de
30◦40′ con el plano horizontal. Determinar las dis-
tancias que separa a los mástiles. Resp:9.1 pies.
4. Un barco sale de un puerto y viaja hacia el oeste.
En cierto punto gira 30◦N y viaja 42 km. adi-
cionales hasta el punto que dista 63km. del puer-
to. ¿Qué distancia hay del puerto al punto donde
giró el barco?. Resp:23.02
5. Un asta de bandera está ubicada en la parte su-
perior de un edificio de 115 pies de altura. Des-
de un punto del mismo plano horizontal d ela
base de un edificio, los ángulos de elevación de
los extremos superior e inferior del asta son 63, 2◦
y 58, 6◦, respectivamente. ¿Cuál es la altura del as-
ta de bandera?. Resp:23.925 pies.
6. Un observador quiere medir el ancho de un río,
caudalosos y repleto de pirañas. Para tal objeto,
dirige su visual a un árbol en la rivera opuesta y
al borde del río, comprobando que el ángulo agu-
do que forma su visual con la ribera donde se en-
cuentra el observador (que se supone recta) es de
45◦. Después de avanzar 100 metros por la ribera,
alejándose del árbol, observa que la visual dirigi-
da al árbol forma ahora un ángulo de 30◦ con la
ribera. ¿Cuánto mide el ancho del río?.
7. Un barco pesquero B ésta a 6km. Hacia el Este de
otro barco pesquero A. El sonar electrónico del
barco A indica un cardumen al N60◦O de A y al
sonar electrónico del barco B indica que el cardu-
men está a N70◦O de B.
a) ¿A qué distancia del barco A está el cardu-
men?
b) ¿ A qué distancia del barco B está el cardu-
men? Resp: a)11.42km y b)17.28 km.
8. La ciudad A está directamente al Sur de la ciudad
B, entre las dos ciudades no hay vuelos directos
de aviones. Los aviones primero viajan 280km,
desde la ciudad A a la ciudad C, que está a 51◦
al noroeste de A, y luego viajan 420km. hasta la
ciudad B. ¿Cuál es la distancia en línea recta des-
de A hasta B?.
9. Un barco navega con rumbo de N65◦E desde un
punto, a una distancia de 18 millas náuticas. En
2
ese punto cambia su curso a un rumbo de N15◦O
y viaja 22 millas náuticas. ¿Cuál es la distancia en
línea recta desde el punto a su punto final?.
10. Las funciones trigonométricas de la forma y =
a + b sinw(t − t0), en donde a,b,w,t0, son con-
stante reales, se usan con frecuencia para simu-
lar la variación en la temperatura. Suponga que
F (t) = 23 + 7 sin π
2
(t − 8) con 0 ≤ t ≤ 24; da la
temperatura en grados Celsius de F a t horas de-
spués de la medianoche de cierto día.
a) ¿Cuál es la temperatura a las 8 a.m. y las 12
a.m.?
b) ¿ A qué hora la temperatura es 23◦C?
c) Trace la gráfica F
d) ¿Cuáles son las temperaturas máximas?¿a
qué hora se alcanzan? Resp: a)23◦, 29, 1; b)a
las 8 a.m. y a las 8 p.m.;30y16 a las 2 p.m. y 2
a.m., respectivamente.
11. Una persona se propone medir la altura de un
edificio que está al frente de su casa, situada a
12m de distancia. Para ello se sube a la terraza de
su casa y mide el ángulo de elevación de la ter-
raza del edificio y el ángulo de depresión de base,
obteniendo 45◦ y 60◦ respectivamente.
a) La altura del edificio del frente; Resp:32.7846
b) La altura de su casa; Resp: 20.78
c) La longitud del segmento de recta que une
las dos terrazas; Resp:16.97.
12. Una persona mide un terreno triangular y comu-
nica la siguiente información: Üno de los lados
mide 58.4m y el otro 21.1m. El ángulo opuesto allado más corto es de 24◦. ¿Podrá ser correcta esta
información? Resp: Falso
13. Dos Barcos parten del mismo puerto a las 7a.m..
Uno de ellos parte hacia el norte a 8 millas náuti-
cas por hora y el otro al N78◦E a 11 millas náuti-
cas por hora. ¿Cuál es la distancia entre ellos a las
10 a.m.?.
14. Desde un tren que viaja hacia el norte por una
vía recta, el maquinista observa una columna de
humo en dirección N20◦E. Después de recorrer
475 pies, observa la misma columna en dirección
N71◦E.
a) ¿A qué distancia estaba el humo del primer
punto de observación?; Resp: 449.18
b) ¿Del segundo?; Resp:162.48
15. Dos guardabosques descubren la misma fogata
clandestina en dirección N52◦40′O y N55◦30′E de
sus posiciones respectivas, si el segundo guarda-
bosques estaba a 1.93 km al oeste del primero y el
vigía más cercano al fuego es el que debe acud-
ir. ¿Cuál de ellos tuvo que hacerlo y cuanto ten-
drá que caminar?. Resp: Acude el primer guarda-
bosques, a = 3.5 y b = 3.75.
16. Dos barcos tienen equipos de radio, cuyo alcance
es de 200 millas. Uno de los barcos se encuentra
a 155 millas N42◦40′E de una estación costera y
el otro se encuentra a 165 millas N45◦10′O de la
misma estación. ¿Pueden los dos barcos, comuni-
carse entre si directamente?. Resp: Distancia entre
ayb = 222.073 por lo tanto no se pueden comu-
nicar.
17. Dos barcos parten del mismo punto a las 8 am.
Uno de ellos parte hacia el norte a 6 millas náuti-
cas por hora y el otro al N68◦E a 8 millas náuticas
por hora. ¿Cuál es la distancia entre ellos a las 11
am?; Resp: 24.01 millas náuticas.
18. Desde dos torres de vigilancia de dos salvavidas
se ve un bote en las direcciones N56◦E y N42◦O,
respectivamente. Si la segunda torre está a 450
metros al este de la primera. ¿Cuál es la distan-
cia del bote a cada una de las torres?. Resp: 245.1
y 337.7 metros.
19. Dos autos parten de la intersección de dos car-
reteras rectas y viajan a lo largo de ella a 80km
hr
y
100km
hr
respectivamente. Si el ángulo de la inter-
sección de las carreteras es 80◦. ¿Qué tan separa-
dos están los automóviles al cabo de 45 minutos?.
Resp: 89.60km.
20. Un observador determina que el ángulo de ele-
vación a una torre es A: avanza a mt. hacia la torre
y el ángulo de elevación es 45◦, sigue avanzando
b mt y el ángulo de elevación es (90◦ − A). Deter-
mine la altura de la torre. Resp: ab
a−bmt
21. En un librero, el tomo II de la enciclopedia se ha
inclinado formando un ángulo de 12◦ con el to-
mo III. Si el largo de cada tomo es 30 centímetros,
¿qué distancia hay entre ellos?. Si el tomo I está
acomodado en forma vertical y su pie toca el del
tomo II. ¿qué ángulo se forma entre ellos?. Resp:
La distancia entre el tomo II y el tomo III es aprox-
imadamente de 6.24 cm. y el ángulo formado por
el tomo I y el tomo II es 12◦.
22. Desde una distancia de 300(pies) a la base de una
chimenea el ángulo de elevación a la cúspide de
ella es de 30o. Determinar la altura de la chime-
nea.
23. Determine la distancia de un observador a la
cúspide de una iglesia que tiene 132 yardas de
alto, sabiendo que el ángulo de elevación es de
41o81′ y que sen(41o81′) = 0.66
24. Una bandera está atada a un mástil de una altura
de 10 pies. Los ánguloa de elevación al punto su-
perior e inferior de la bandera son de 60o y 30o re-
spectivamente. Determinar el alto de la bandera.
25. Desde el pie de un edificio de 30 m. de alto, el
ángulo de elevación a la parte superior de otro;
situado al frente; es de 45o y desde la parte más
alta de él, el ángulo de elevación a l a parte su-
perior del otro es de 30o. determinar la altura del
otro edificio y la distancia a que está situado del
que tiene 30 m.
3
26. Desde lo alto de una roca de 150 pies de al-
tura, los ángulos de depresión de dos botes situ-
ados al sur del observador son de 15o y 75o. El
ángulo opuesto a la distancia entre los botes es
Arcsen(0.999769151). Determinar la distancia que
hay entre ellos.
27. Los ángulos de depresión a la cúspide y base de
una torre vistos desde un monumento de 96 pies
de altura son 60o y 30o. Determine la altura de la
torre.
28. Una persona planea construir la escalera de su
casa y dispone para ello de madera suficiente co-
mo para hacer 16 escalones: cada uno de 20 cm,
de profundidad, si la altura del piso al techo es
de 2,55 m. ¿Cuál debe ser la inclinación de la es-
calera?, ¿Cuál es la altura de cada escalón?.
29. El terreno ocupado por un granero es de 24 m,
por 12 m, y la inclinación de las alas del techo
es de 45o. Hallar el área total del techo; siendo la
proyección horizontal de la corniza de 30cm.
30. con el fin de medir la altura h de un objeto, se
ha medido la distancia entre dos puntos A y B,
a lo largo de una recta que pase por su base en
un plano horizontal y resultó ser L metros. Los
ángulos de elevación de la punta del objeto desde
A y B resultan ser A y B respectivamente, siendo
A el punto cercano a la base. Demostrar que la
altura está dada por la fórmula:
h = 1
cot(B)−cot(A) si A y B están al mismo lado y
por:
h = 1
cot(B)+cot(A)
si A y B están en lados opuestos
de la base del objeto.
31. Una escalera se halla afirmada contra un muro
formando un ángulo de 75o con el suelo. Dos ob-
servadores ubicados a nivel del suelo a una dis-
tancia de d metros uno del otro, ven el extremo
de la escalera con un ángulo de elevación de 30o y
45o respectivamente. Determine la longitud de la
escalera.
32. Una persona que camina por un camino recto ob-
serva que el ángulo de elevación a la cumbre de
una colina, frente a él es de 30o, camina una milla
y el ángulo de elevación es de 75o. Determine la
altura de la colina.
33. Dos submarinos zarpan de un mismo punto y
al mismo tiempo en un rumbo que difieren en
un ángulo a. Uno navega a una velocidad de 25
nudos y el otro a 20 nudos. Tres horas después de
partir distan entre sí 10 millas. ¿Cuál es el ángulo
comprendido entre sus cursos?.
34. Dos vías férreas se cortan en un ángulo de 20o16′.
Del punto de intersección parten simultánea-
mente dos máquinas, una por cada vía. Una viaja
a la velocidad de 20 [millas/hora]. ¿A qué veloci-
dad debe viajar la otra para que al cabo de 3 horas
la distancia entre ellas sea de 30 millas.
35. Un edificio proyecta una sombra de 20 m de
largo. Si el ángulo que se forma desde la punta
de la sombra hasta el punto más alto del edificio
es de 69o. ¿cuál es la altura del edificio?.
36. Dos árboles están en las orillas opuestas de un río,
como lo muestra la figura-??. Una línea base de
100 pies se mide desde el árbol T1, y desde esa
posición, el ángulo β, hasta el árbol T2 mide 29.7◦.
Si la línea base es perpendicular al segmento de
la línea entre T1 Y T2, encuentre la distancia entre
los árboles.
Figura 1:
37. Encuentre la altura h de una montaña utilizando
la información de la figura-??.
Figura 2:
38. Dos vehículos van por carreteras que forman un
ángulo de 120o. Si parten simultáneamente de
la intersección de las carreteras. ¿Qué distancia
recorre uno cuando el otro ha recorrido 500 km,
y la distancia que los separa es de 800 km?
39. El palo central de una tienda de campaña de for-
ma de cono circular tiene altura de 6 m, y su parte
superior está sostenida por cuerdas de 12 m de
largo amarradas a estacas clavadas en la tierra. ¿A
qué distancia están las estacas del pie del mástil
central?. ¿Cuál es la inclinación de los cables con
la tierra?
40. La parte superior de una escalera de 20 pies está
recostada contra el borde de una casa. Si el ángulo
de inclinación de la escalera desde la horizontal
es de 51◦, ¿cuál es la altura aproximada de la casa
y que tan lejos está la parte inferior de la escalera
de la base de la casa?
41. Unos observadores en dos pueblos distintos, A y
B, en cada lado de una montaña de 12000 pies,
miden los ángulos de elevación entre el suelo y la
cima de la montaña. Asumiendo que los pueblos
están sobre el mismo plano vertical(ver figura-??),
encuentre la distancia horizontal que hay entre el-
los.
4
Figura 3:
42. Dos astas de bandera se levantan verticalmente
sobre unplano horizontal. A y B son dos puntos
sobre la recta que une los pies de las astas y están
entre ellos. Los ángulos de elevación de las pun-
tas de las astas vistas desde A son de 30o y 60o;
y vistas desde B son 60o y 45o, Si la longitud AB
es de 9 m. Hállense las alturas de las astas y la
distancia que las separa.
43. Un lazo de 10 pies no es sufucientemente largo
para medir la longitud que hay entre dos puntos
A y B situados en los extremos de una piscina en
forma de riñón (ver figura-??). Un tercer punto C
se halla situado de tal manera que la distancia en-
tre A y C es de 10 pies. Se ha determinado que el
ángulo ABC es de 1150 y que el ángulo ABC es
de 350. Encuentre la distancia entre A y B.
Figura 4:
44. Un poste telefónico forma un ángulo de 82◦ con
el piso. El ángulo de elevación del Sol es de 76◦
(ver figura-??). Encuentre la longitud del poste de
teléfono si su sombra es de 3.5 m. (Suponga que
los bombillos del poste están alejados del Sol y en
el mismo plano del poste y del Sol).
Figura 5:
45. La distancia entre la meta y un hoyo particular de
golf es de 370 yardas (ver figura-??). Una golfista
le pega a la pelota y la coloca a una distancia de
210 yardas. Desde el punto donde está la pelota,
ella mide un ángulo de 160◦ entre la meta y el
hoyo.
Encuentre el ángulo de su lanzamiento.
Figura 6:
46. Dos mástiles tienen 12m. y 18m. de altura. La rec-
ta que une sus cúspides forman un ángulo de
33o40′ con el plano horizontal. Determinar las dis-
tancias que separa a los mástiles.
47. Dos barcos tienen equipos de radio, cuyo alcance
es de 200 millas. Uno de los barcos se encuentra a
155 millas N42o40′E de una estación costera y el
otro se encuentra a 165 millasN45o10′O de la mis-
ma estación. ¿Pueden los dos barcos comunicarse
entre si directamente?
48. Un punto B es inaccesible y no visible desde otro
punto A. Para hallar la distancia AB se eligen 2
puntosC yD sobre una recta que contiene al pun-
to A y desde los cuales B es visible. Se miden
los angulos ∠ADB y ∠ACB, resultando 55o18′
y 41o36′ respectivamente. Si AD = 432.3 m y
AC = 521.8 m, determine AB. (Considere el pun-
to A entre los puntos C y D)
49. La orientación de un incendio visto desde A es
S10oE. La orientación del mismo incendio visto
desde la estación B es S30oO. Calcule la distancia
desde cada punto de observación al incendio.
5