algebra_lineal

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D E P A R T A M E N T 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAL 
 O D E C I E N C I A S B Á S I C A S
 
 
 
 
 
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Contenidos.
_____________________________________________________________________________
Unidad 1. MATRICES, DETERMINANTES Y
 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2 
 Matrices. Operaciones con matrices. Matrices elementales.
 Matrices equivalentes. Operaciones elementales.
 Determinantes. Propiedades de los determinantes. Aplica-
 ciones de los determinantes. Matriz inversa. Sistemas de
 ecuaciones lineales. Rango de una matriz. Soluciones de un
 sistema de ecuaciones lineales. Interpretación geométrica.
Unidad 2. VECTORES, RECTAS Y PLANOS 64
 Vectores en el espacio. Distancia entre dos puntos. Norma.
 Producto escalar. Producto vectorial. Rectas en el espacio.
 Planos en el espacio. Planos paralelos. Planos perpendiculares.
 Ángulos entre planos.
Unidad 3. ESPACIOS VECTORIALES 100
 Definición. Propiedades de los espacios vectoriales. Subespa-
 cios vectoriales. Combinaciones lineales. Conjunto generador.
 Conjuntos linealmente dependientes. Conjuntos linealmente
 independientes. Base de un espacio vectorial. Dimensión.
 Caracterización de un subespacio vectorial. Operaciones con
 subespacios vectoriales.
Unidad 4. TRANSFORMACIONES LINEALES 122
 Definición. Propiedades. Kernel. Imagen de una transformación.
 Nulidad. Rango. Teorema fundamental del álgebra lineal. Alge-
 bra de las transformaciones lineales. Matriz asociada a una
 transformación lineal.
 
 BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 144
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UNIDAD 1
Matrices, Determinantes
y
 Sistemas de Ecuaciones Lineales.
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Matrices.
________________________________________________________________________
 
 Las matrices fueron creación del eminente matemático inglés Arthur Cayley
(1821-1895). Como muchas invensiones matemáticas, la teoria y el álgebra de matrices
surgieron como prolongación de sus investigaciones e intereses matemáticos primarios.
Cayley estudió en el Trinity College, Universidad de Cambridge. A comienzos de su
carrera, mientras se dedicaba al estudio y a la práctica del derecho, realizó alguno de
sus descubrimientos matemáticos más brillantes, entre los que destacan: el desarrollo
del álgebra de matrices, la teoría de la invarianza algebraica y su desarrollo de la
geometría no dimensional. Sus trabajos en geometría cuatridimensional,
proporcionaron a los físicos del siglo XX, especialmente a Albert Einstein, la estructura
para desarrollar la teoría de la relatividad.
 El objetivo de esta primera unidad es revisar algunas ideas fundamentales sobre
matrices y determinantes, y aplicarlas en la solución de sistemas de ecuaciones lineales.
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Matrices.
Definición: A una ordenación o arreglo rectangular de elementos (en este curso nos interesa que los
elementos sean números) les llamaremos .MATRIZ
Ejemplos:
E œ F œ
"  $ #ß !"
#  #
! "
" #Œ  Œ È "
# 1
 
G œ
#  # !
" %
 !ß " # $
 " % !
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
$
#
 Si hay filas y columnas, decimos que el orden de la matriz es , y nos referimos a ella7 8 7‚ 8
como "matriz " o simplemente, como matriz rectangular.7‚ 8
E œ
+ + + ÞÞÞ Þ+
+ + + ÞÞÞ +
+ + + ÞÞÞ +
ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ
+ + + ÞÞÞ +
Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
"" "# "$ "8
#" ## #$ #8
$" $# $$ $8
7" 7# 7$ 78
 Una matriz se llama matriz cuadrada y se dice que tiene orden .8 ‚ 8 8
F œ
+ + ÞÞÞ +
+ + ÞÞÞ +
ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ
+ + ÞÞÞ +
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
"" "# "8
#" ## #8
8" 8# 88
 El elemento en la -ésima fila y en la -ésima columna de una matriz de orden se denota3 4 E 7‚ 8
como . Así, el elemento que ocupa la tercera fila y la cuarta columna es .+ +
34 $%
3era fila
4ta columna












44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
3era fila
4ta columna
3era fila
4ta columna












44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
Ejemplos:
1) En la siguiente matriz . El elemento representa a aquél que está en la fila
4
E œ +
 "
$ %
! &
Î Ñ
Ï Ò "#
1 y columna 2 , es decir , el 4.
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2) Si una matriz es de orden , entonces ésta tiene tres filas y dos columnas.$ ‚ #
3) El orden de la siguiente matriz es .$ ‚ $
 E œ
 " # $
! $ #
" " #
Î Ñ
Ï Ò
Ejercicios:
I Determine el orden de las siguientes matrices.Ñ
+Ñ E œ ,Ñ F œ
$ #
$ #
" !
# %
&
!
*
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
Î Ñ
Ï Ò 
-Ñ G œ .Ñ H œ
 % #
$ %
$ "
" % !  '
"
$
Î Ñ
Ï Ò Œ  
II) De la matriz dada determine el número correspondiente al elemento pedido.
4
E œ
 "
$ %
! &
Î Ñ
Ï Ò
 i) ii) iii)+ œ + œ + œ$" ## $#
 iv) v) + œ + œ
"" $$
Respuestas:
I) a) es de orden E % ‚ #
 b) es de orden F $ ‚ "
 c) es de orden G $ ‚ #
 d) D es de orden 1 5‚
II) i) ii) iii) iv) v) No existe ! % &  "
Notación Matricial.
 Para ahorrar tiempo y espacio, al escribir una matriz, es conveniente usar una notación especial.
Se suele escribir y cuando se quiere señalar expresamente que la matriz es de orden , seE œ Ð+ Ñ 7 ‚ 8
34
denota .E7‚8
Ejemplo:
 Determine la matriz , si ; para y .E œ Ð+ Ñ + œ 3  4 3 œ "ß # ß $ 4 œ "ß #
34 34
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Respuesta: E œ
# $
$ %
% &
Î Ñ
Ï Ò
Observación: es un conjunto numérico cualquiera.` Š Š 7‚ 8 Ð Ñß
 Una matriz se dice racional, real o compleja según sea el conjunto en el que se encuentren los
números del arreglo o elementos de la matriz (coeficientes de la matriz).
 
Ejemplo:
 es el conjunto de matrices reales.` ‘7‚ 8 Ð Ñ
Ejercicios:
I Indique cuántas filas y columnas tiene cada una de las siguientes matricesÑ
 a ) b) c) ` T U1 6 4 2‚ ‚ &‚%
II) ¿Qué puede decir de ) ?` ‚7‚8 Ð
Respuestas:
I) a) es una matriz con 1 fila y 6 columnasQ
 b) es una matriz de 4 filas y 2 columnasE
 c) es una matriz de filas y 4 columnasF &
II) ) es el conjunto de matrices complejas, con filas y columnas.` ‚7B8 Ð 7 8
La Diagonal Principal de una Matriz Cuadrada.
 Se dice que los elementos , , ..... en una matriz cuadrada están sobre su + + + ß
"" ## $$
diagonal
principal. Por ejemplo, las diagonales principales de las siguientes matrices se resaltan en negrita. 
 ; E œ F œ
% '
& !
 # (
 %
#
Î Ñ
Ï Ò Œ 
#
'
*
"!
 (
Definición: Diremos que dos matrices y son iguales, cuando son del mismo orden y todos losE F
elementos que se ubican en la misma posición, son iguales. Esto es, y son dos matricesE F
iguales sí y solo si:
i) Eß F − ` ‘
7‚8
a b
ii) ; donde y ˆ ‰ ˆ ‰+ œ , " Ÿ 3 Ÿ 7 " Ÿ 4 Ÿ 8
34 34
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Ejemplo: De la definición, tenemos:
   È ÈÈ" #  $!  # %  " œ !ß & %  $! Ð  "Ñ # &
"
#
"!!
"!!
1 1
Pero ; puesto que los correspondientes elementos en la segunda fila noŒ  Œ " # $ " # $% ! " " ! %Á
son iguales.
También, puesto que las matrices no tienen el mismo orden.Œ  Œ " " " " "" " " " "Á
Ejemplo: Halle los valores de e si:B C
Œ  Œ  " #B ! œ #C  " #) !$
Solución: De la definición, igualamos los elementos correspondientes
 y  " œ #C  " B œ )$
 y #C œ  # B œ )È$
C œ  " B œ # y 
Ejercicios:
1.- Indique el orden de las siguientes matrices:
a) b) 
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
È Œ 
# &  "
! $
#*
 # "  (
& !
!  &
1
c) d) a b Œ %  " $ " !  "" # $
e) E
$‚&
2.- Dada la matriz E
 ; determine el valor del elemento que se indica:E œ
 " # %
! &  %
& ! "
 # !ß &
!ß $ "ß # $
Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
È
È
"
#
$
 a) b) + œ + œ
"$ #"
 c) d) + œ + œ
%# ##
 e) f) + œ + œ
&" $%
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3.- Determine la matriz que satisfaga la condición dada:E
%‚&
 a) b) + œ 4  3 + œ #3  4
34 34
 c) d) + + œ 3  #4
34
œ $3  #4
34
#
4.- Halle los valores de las incógnitas de manera que se verifique la igualdad:
 a) Œ  Œ B $ $ $ " #C  " )œ
 b) Œ  Œ B  C  $ '  $% ! % B  Cœ
 c) Œ  Œ  Œ B  C A  " &  #B C & !$A  %  )  " A  " D œ
 d) Œ  Œ  Œ B  C A  " C  B B  A '  %C  D #C #D  '  " D œ
Respuestas:
1.- a) b) c) $ ‚ $ # ‚ # " ‚ $
 d) e) # ‚ $ $ ‚ &
2.- a) b) c) + œ % + œ ! + œ  #
"$ #" %#
 d) e) f) No existe+ œ & + œ !ß $ + œ
## &" $%
3.- 
 a) b) 
Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó
Ï Ò Ï Ò
! " # $ % " !  "  #  $
 " ! " # $ $ # " !  "
 #  " ! " # & % $ # "
 $  #  " ! " ( ' & % $
 c) d) 
Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó
Ï Ò Ï Ò
& ( * "" "$ $ & ( * ""
) "! "# "% "' ' ) "! "# "%
"" "$ "& "( "* "" "$ "& "( "*
"% "' ") #! ## ") #! ## #% #'
4.- a) B œ $ à C œ %
 b) B œ C œ $
 c) ; B œ  C œ  à D œ  & à A œ
* * (
# # #
 d) B œ $ à C œ  & à D œ  % à A œ  "
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Operaciones con Matrices.
 En álgebra damos por hecho que cualquier par de números reales pueden sumarse, restarse yß
multiplicarse; sin embargo, con matrices no siempre es posible realizar dichas operaciones. Estudiaremos a
continuación las operaciones con matrices, sus propiedades y restricciones.
Adición De Matrices.
 Solamente las matrices que tienen el mismo orden pueden sumarse. Sean y E F7‚ 8 7‚ 8
dos matrices de orden , entonces la suma de y es la matriz de orden definida por:7‚ 8 E F 7‚ 8ß
E  F œ +  ,c d34 34
Ejemplo:
 Si y E œ F œ % # " & "  $
!  $ " ! # $Œ  Œ 
 entonces EF œ œ %  & #  " "   $ " $  #
!  !  $  # "  $ !  " %Œ  Œ 
Para poder sumar matrices, éstas deben ser del
mismo orden y los elementos de la matriz suma
corresponden a la suma de las componentes
correspondientes. 
¡¡IMPORTANTE!! 
Ejercicios:
1) Sea y 
 
 E œ F œ
 % # "! $  # #
& " $ !  " &
# $  & $ ) *
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
 Determine E  F
2) Sean las matrices
 A = , Œ  Œ  Î ÑÏ Ò
#  & )  %
$ " # '
ß F œ G œ
!  $
 #
"
#
 Determine E F  G
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Respuesta:
1) 2) E  F œ EF G œ
 " ! "#
& ! )
& "" %
"!  "#
$ "&Î#
Î Ñ
Ï Ò Œ 
Propiedades de la Adición:
 De las propiedades de los números reales se puede deducir que la operación de adición en el
conjunto de las matrices satisface las siguientes propiedades:7‚ 8
 Sean y tres matrices de orden Entonces se cumple:E ßF G 7‚ 8Þ
1) Ley Asociativa para la suma de matrices
 ÐE  F Ñ  G œ E  ÐF  G Ñ
2) Ley Conmutativa para la suma de matrices
 E  F œ F  E
3) La matriz cero o la matriz nula denotada por , es la matriz con cada elemento igual a cero.7‚ 8 7‚ 8)
 Puesto que para cada matriz , la matriz cero es el E œ E œ E E) ) 7‚8 elemento neutro
para cada conjunto de las matrices . Por ejemplo:7‚ 8
 Œ  Œ  Œ  Œ  Œ " & " ! ! ! " & " ! ! ! " & "&  # $ ! ! ! &  # $ ! ! ! &  # $ œ œ 
 
4) Matriz simétrica
 donde es la matriz nula de orden E  Ð  EÑ œ ß 7 ‚ 8) )
Multiplicación Por Escalar.
 El producto de un número y una matriz , denotado por , es una matriz con elementos5 E 5E
formados por el producto de cada elemento de por .E 5
Ejemplo 1: # † œ
"  # #  %
$ % ' )
" # # %
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
Ejemplo 2:  & œ
%  " #  #! &  "!
& ' (  #&  $!  $&
!  # $ ! "!  "&
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
Ejercicios: Resuelva los siguientes ejercicios:
1) # †  $ †
 # ! #  " # "
" ! $  # $ !
 % & ' "  # %
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
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2) 1 1Ð  &Ñ   Ð  #Ñ
 " # %  ' !
$ " )  "! !
"
#
Œ  Œ  Œ 
3) Hallar y siB ß C ß D A
 $ œ B C B ' % B  C
D A  " #A D  A $Œ  Œ  Œ 
Respuesta:
1) 2) 
Î Ñ
Ï Ò Œ 
 ( ' (
 % * '
 & % #%
&  "$
 ""  "#
3) B œ #ß C œ % ß D œ " ß A œ $
Diferencia De Matrices.
 Sean A y dos matrices de orden , la diferencia entre y es la 7‚ 8 7‚ 8F 7‚ 8 E F
matriz de orden definida por:7‚ 8ß
E  F œ +  ,c d34 34
Ejemplo:
 Si y , entoncesE œ F œ & # " ' "  $
*  $ " ! # $Œ  Œ 
 EF œ  & # " ' "  $
*  $ " ! # $Œ  Œ 
 
 œ  &  ' #  " "   $
*  !  $  # "  $Œ 
 œ  "" " %
*  &  #Œ 
Ejercicios:
1) Determine el valor de y para que se cumpla la siguiente igualdadBß C ß A D
 Œ  Œ  Œ B  C A  " C  B B  A '  %C  " #C  #A  '  " D œ
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2) Sean las matrices A , œ F œ
" #  $ #
$ % "  &
& ' % $
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
 Hallar la matriz de manera que se cumpla la igualdad H œ
: ;
< =
> ?
Î Ñ
Ï Ò
E  F  H œ $B #) ) en la cual es la matriz nula de orden .
3) Sean las matrices = , . E F œ
 " #  % &  " #
$ # " $ $  %Œ  Œ 
Determina la matriz de manera que se cumpla la igualdad H œ E  F  H œ7 8 =
: ; <Œ 
) ), donde es la matriz nula de orden . # ‚ $
4) Hallar #E  $F
 E œ ß F œ#  % ' $ ! #
) "!  "#  ( " )Œ  Œ 
Respuesta:
1) ; ; ; B œ $ C œ ! D œ ' A œ  "
2) ; ; ; ; ; : œ  # ; œ % < œ % = œ  " > œ * ? œ *
3) ; ; ; ; ; 7 œ ' 8 œ  $ = œ ' : œ ! ; œ " < œ  &
4) Œ  &  ) '$( "(  %)
Multiplicación De Matrices.
 Sea una matriz de orden y sea una matriz de orden . El producto es laE 7‚ 8 F 8 ‚ : E † F
matriz de orde , cuyos elementos son:G 7‚ : - 3 4
- œ + † ,3 4 35 54
5œ"
8!
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Ejemplos:
1) Las matrices y se pueden multiplicar ya que se cumplen lasE œ F œ" % &
 # # $
#
$
%
Œ  Î ÑÏ Ò
condiciones anteriormente descritas
 
 La matriz resultante es de orden G # ‚ "
2)










−=





⋅










−
8116
131
674
121
432
41
31
21










−=





⋅










−
8116
131
674
121
432
41
31
21
 Observe que el elemento se obtiene de la siguiente manera:-
"#
- + † ,  + † ,
"# "" #" "# ##
=
( œ " † $  # † # 
Para multiplicar dos matrices el número de columnas de 
la primera matriz debe ser igual al número de filas de la 
segunda matriz. 
La matriz resultante tiene orden " el número de filas 
de primera matriz por el número de columnas de la segunda 
matriz " 
¡¡IMPORTANTE!! 
3) Las matrices y no se pueden multiplicar ya que elE œ F œ
%  # # "  $
$ " # % &
$ % ' " #
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
número de columnas de es 2 y el número de filas de es 3.E F
 
4) Suponga que un fabricante produce cuatro artículos. Su demanda estáEjemplo de Aplicación: 
dada por el vector de demanda una matriz . El precio. œ Ð " ‚ % Ñ$! #! %! "!a b
por unidad que recibe el fabricante por los artículos está dado por el vector de precios
: œ % ‚ "Ñ
#!
"&
")
%!
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
( una matriz 
¿Cuánto dinero recibirá el fabricante?
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Respuesta:
 La demanda del primer artículo es 30 y el fabricante recibe $ por cada artículo vendido.#!
Entonces recibe $ de las ventas del primer artículo. Si se sigueeste razonamiento, se ve$! † #! œ '!!
que la cantidad total de dinero que recibe es:
 a b
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
$! #! %! "! Þ œ # !#!
#!
"&
")
%!
 Recibe $ # !#!
Ejercicios: 
1) Dadas las siguientes matrices
 A = , , , 
Ô ×
Õ Ø ” • ” • c d
"  "
# ! #  $
" #
F œ G œ H œ
"  " %
$ #  &
a) ¿Cuál es el orden de cada una de ellas?
b) ¿Es posible resolver los siguientes Productos? Si es posible, determínelos.
 i) ii) iii)E † F E † G F † G
 iv) v) vi)G † E G † H H † G
c) Resuelva las multiplicaciones que se pueden resolver del ejercicio ( b)
2) Calcule si:Bß Cß Dß Aß :ß ;
 a) # œ Þ B C " C  $ % !
D A  $ # ! #  %A  #C  "*
% "
# $
%  "
Œ  Œ  Œ Î ÑÏ Ò
 b) $ œ  #
B C  $ % #  #  B (
DÎ$ A  " #A %  A D
# : & ' $ &  : ' ;
%  $
! &
Î Ñ Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò Ï ÒŒ Þ
3) Suponga que un fabricante produce cinco artículos. Su demanda está dada por el vector de
demanda una matriz . El precio por unidad que recibe el. œ Ð " ‚ & Ñ"& #! "! #! #&a b
fabricante por los artículos está dado por el vector de precios
 ( una matriz ¿Cuánto dinero recibirá el fabricante?: œ & ‚ "Ñ
$!!
#!!
"!!
"&!
%&!
Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
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4.- Determine el valor de y en:B ß Cß Dß Aß : ;
 $ œ  #
B C  $ % #  #  B (
#Î$ A  " #A %  A D
#: & ' $ &  : ';
%  $
! &
Î Ñ Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò Ï ÒŒ †
5) Para que dos matrices se puedan multiplicar y sumar ambas deben ser cuadradas y de igual orden.
Dé un ejemplo.
Respuestas:
1)
a) es de orden es de orden es de orden es de orden E $ ‚ #ßF # ‚ #ß G # ‚ "ßH " ‚ #
b) i) ii) iii)E F œ E G œ F G œ
 #  $ *
#  # )
( $  '
*
#
† † †
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò Œ 
 iv) No se pueden multiplicar las dos matrices v) vi) Œ )  "# "! "& H G œ Ð#$ц
2) a) B œ  'à C œ  %à D œ  $à A œ 
%
$
 b) B œ %à C œ  à D œ #'à A œ  *à : œ à ; œ 
#& ( $
$ # #
3) $ #$ (&!
4) B œ %ß A œ  *ß C œ  ß D œ  $!ß : œ ß ; œ 
#& ( $
$ # #
5) Revíselo con su profesor.
Propiedades De La Multiplicación De Matrices.
 Sean y matrices cualesquiera (*), se verifican las propiedades:Eß F G
1) Ley asociativa para la multiplicaciónde matrices
 A † † † †ÐF G Ñ œ ÐE FÑ G
 
2) Ley Distributiva para la multiplicación de matrices
 i) ÐE  F Ñ G œ E G  F G† † †
 ii) H ÐI  J Ñ œ H I  H J† † †
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3) matriz Idéntidad de orden . Llamaremos matriz unitaria o identidad de orden a la matrizM 8 88
cuadrada de orden definida por:8
 donde = 1 si si M œ M œ œ8
" ! ! Þ !
! " ! Þ Þ
! ! " ! !
! ! Þ " !
! ! ! Þ "
3 œ 4
! 3 Á 4
 ‘
Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
œ$ $3 4 3 4
 E M œ E† 8
4) La ley Conmutativa para el producto matricial, en general:No Se Cumple 
 
 E † F Á F † E
 
(*) Se exige, obviam ente, que tengan 
sentido todos los productos que aquí 
intervienen. 
 
Observación:
1) Sean y ¿significa que o ?E ß F − Q E † F œ E œ F œ2 ) ) )
 Compruébalo tu mismo:
 Si y ambas matrices distintas a E œ F œ œ!  $ " "! ! !
! " ! ! ! !Œ  Œ  Œ )
 ahora multiplica.... ¿Qué pasa? Concluye.
Matrices Elementales.
1) Sea una matriz cuadrada de orden . es una si se verifica que E œ + 8 E + œ !ß
3 4
ˆ ‰
3 4
Matriz Diagonal
para todos los 3 Á 4Þ
 Es decir:
E œ
+ ! ! ! !
! + ! Þ Þ
! ! + Þ Þ
Þ ! ! Þ Þ
Þ Þ Þ Þ +
Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
""
##
$$
88
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2) Una matriz cuadrada es Triangular Superior si todos los elementos bajo la diagonal principalE œ +ˆ ‰
34
son igual a cero. Esto es, si . + œ ! ß 3  4
34
 Es decir:
E
# " #
! # $
! ! $
 = 
Î Ñ
Ï Ò
3) Una matriz cuadrada es Triangular Inferior si todos los elementos sobre la diagonalE œ +ˆ ‰
34
principal es cero. Esto es, , si .+ œ ! 3  4
34
 Es decir:
E
# ! !
 " ) !
! $ #
 = 
Î Ñ
Ï Ò
4) Una matriz es simétrica, si los elementos simétricos (imagenes especulares respecto a laE œ +ˆ ‰
34
diagonal son iguales), es decir, si cada .+ œ +34 43
 Esto es:
E œ
" # %
#  " $
% $  #
Î Ñ
Ï Ò
 
 
5) La matriz transpuesta de una matriz de orden es la matriz de orden , que seE 7‚ 8 E 8 ‚7>
obtiene permutando las filas por las columnas.
 Es decir:
 Si entoncesE œ ß E œ
# $
 % "
# $
> #  % #
$ " $
Î Ñ
Ï Ò Œ 
6) Se dice que una matriz real es Ortogonal si E E † E œ E E œ M> > †
 Es decir:
Si , entonces:E œ
" ) %
* * *

% % (
* * *
 
) " %
* * *
Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
E E œ † œ>
" ) % " % )
* * * * * *

*   
% ) % "
* * * *
(
) " % % ( %
* * * * * *
 
" ! !
! " !
! ! "
†
Î Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ Ó
Ï Ò Ï Ò
Î Ñ
Ï Ò% *
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7) Sea una matriz y sea la submatriz ( cuadrada de que se obtieneE Q 8  "Ñ E7‚ 8 34
suprimiendo la - ésima fila y su - ésima columna,3 4
 
Ejemplo:
 Si , entonces la submatriz es la matriz que resulta de eliminar laE œ Q
"  " %
# $ &
& $  %
Î Ñ
Ï Ò "$
fila y la columna . Esto es: . " $ Q œ # $
& $"$ Œ 
En forma análoga, tenemos que: .Q œ " %
&  %## Œ 
Matrices Equivalentes.
 Se dice que dos matrices son equivalentes, lo cual se escribe si puedeE C F FE µ F, 
obtenerse a partir de mediante una sucesión finita de algunas operaciones, las cuales llamaremosE
Operaciones Elementales.
Operaciones Elementales.
 Dada una matriz de orden , llamaremos Operaciones Elementales (OE) sobre a cadaE 7‚ 8 E
una de las siguientes operaciones (sobre las filas o columnas de una matriz):
1) Intercambiar filas (o columnas), lo cual denotaremos por 0 Ç 0 Ð- Ç - Ñ3 4 3 4
Ejemplo: 0 Ç 0
# $
 
1
1
1 1
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
 # $ "  # $
# ! " " $
$ # " !
0 Ç 0
# $
2) Reemplazar una fila (o columna) por veces la fila (o columna) 3 < 3 0 œ < † 0 - œ < † -3 3 3 3a b
Ejemplo: 0 œ #01 1
 
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
"  # $ #  % '
# " ! # " !
" " $ " " $
0 œ # 01 1
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3) Reemplazar la fila (o columna) por la suma de la misma fila (o columna) más veces la fila 3 3 < 4
(o columna ) 0 œ 0  < 0
3 3 4
Ejemplo: (a la fila 2 se le suma 3 veces la fila 1)0 œ 0  $ 0
# # "
 
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
"  # $ "  # $
# " ! &  & *
" " $ " " $
0 œ 0  $ 0
→# # "
 
 Cada vez que realizamos una operación elemental, usamos el símbolo ó ya que las matricesÄ µ
que se obtienen al hacer estas OE son semejantes a la inicialmente dada.
Las OE se hacen sobre las 
filas o columnas, pero no a 
ambas simultáneamente.
Las OE se hacen sobre las 
filas o columnas, pero no a 
ambas simultáneamente.
Ejercicio: Sea Resuelva las siguientes OE, siempre sobre la última matrizE œ
"  # "
% " !
# " $
& # $
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
obtenida.
 +Ñ 0 œ 0  $ 0 ,Ñ 0 œ  0
" " $ $2
 -Ñ 0 œ 0  0 .Ñ 0 œ 0  # 0
% % " # "#
 /Ñ 0 œ $ 0  0 0Ñ 0 œ 0  0
$ $ % $ "#
 g) : 0 œ 0 0
% % "
Respuesta:
a) E œ 0 œ 0  $ 0
"  # " "$ " "
% " ! % " !
# " $ # " $
& # $ & # $
Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó
Ï Ò Ï Ò→" " #
b)
3Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó
Ï Ò Ï Ò
"$ " " " " "
% " ! % " !
# " $  #  "  $
& # $ & # $
0 œ  0
→$ $
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c)
8 1
Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó
Ï Ò Ï Ò
"$ " " "$ " "
% " ! % " !
 #  "  $  #  "  $
& # $  #
0 œ 0  0
→% % "
d) 
3 3
8 1 8 1
Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó
Ï Ò Ï Ò
" " " " " "
% " !  ##  "  #
 #  "  $  #  "  $
 #  #
0 œ 0  # 0# # "
e)
8 1 8 1
Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó
Ï Ò Ï Ò
"$ " " "$ " "
 ##  "  #  ##  "  #
 #  "  $  #)  %  ""
 #  #
0 œ $ 0  0
$ $ #
f) No se puede desarrollar porque la fila que se quiere cambiar es la Nº y esta no está enlas filas de laß $
OE.
g) La división de filas NO es una OE.
Matriz Escalonada.
Definición: Una matriz está en la forma escalonada en renglones si se cumplen las siguientes condiciones:
i) Todos los renglones cuyos elementos son todos ceros aparecen en la parte inferior de la matriz.
ii) El primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en cualquier renglón cuyos
elementos no todos son ceros es 1.
iii) Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el primer 1 en el renglón
de abajo esta más hacia la derecha que el primer 1 en el renglón de arriba.
Ejemplo: Algunas matrices en la forma escalonada son:
 , , 
1 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0
0 0
Î Ñ Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò Ï ÒŒ 
&
! " #
ß
" ! $ !  "
! " & ! !
! ! ! " #
Ejercicios: Escalona las siguientes matrices a través de OE
 E œ ß F œ#  "
$ %
# " #
"  # $
" $ %
Œ  Î ÑÏ Ò
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Sabían que el matemático inglés 
James Joseph Sylvester (1814 –
1897) fue el primero que uso el 
término matriz en 1850, para 
distinguir las matrices de los 
determinantes.
La intensión era que el 
término matriz tuviera el 
significado de “madre” de 
los determinantes 
Sabían que el matemático inglés 
James Joseph Sylvester (1814 –
1897) fue el primero que uso el 
término matriz en 1850, para 
distinguir las matrices de los 
determinantes.
La intensión era que el 
término matriz tuviera el 
significado de “madre” de 
los determinantes 
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Determinantes
________________________________________________________________________
Gottfried Wilhelm von Leibniz Augustin Louis CauchyGottfried Wilhelm von Leibniz Augustin Louis Cauchy
 Los determinantes aparecieron en la literatura matemática más de un siglo
antes de las matrices. Algunos grandes matemáticos de los siglos XVIII y XIX ayudaron
a desarrollar las propiedades de los determinantes. La mayoría de los historiadores
creen que la teoría de los determinantes tuvo su origen con el matemático alemán
Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646-1716), quien junto a Newton fue el coinventor del
cálculo. Leibniz uso los determinantes en 1693 en referencia de los sistemas de
ecuaciones simultáneas. Sin embargo, algunos piensan que un matemático japonés,
Seki Kowa, hizo lo mismo casi 10 años antes.
 El contribuyente más prolífico a la teoría de determinantes fue el matemático
francés Louis Cauchy (1789-1857), por ejemplo, escribió una memoria de 84 páginas en
1812, que contenía la primera demostración de la propiedad
" "../> E † F œ ./> E † ./> Fa b a b a b
Carl Gustav Jacob Jacobi Charles Lutwidge DodgsonCarl Gustav Jacob JacobiCarl Gustav Jacob Jacobi Charles Lutwidge Dodgson
 Un segundo contribuyente (después de Cauchy) fue el matemático alemán Carl
Gustav Jacob Jacobi (1804 - 1851). Fue con él que la palabra "determinante" ganó su
aceptación final.
 Por último, ninguna historia estaría completa sin citar el libro An
Elementary Theory of Determinats, escrito en 1867 por Charles Lutwidge Dodgson,
(1832-1898). En este libro Dodgson da las condiciones bajo las cuales los sistemas de
ecuaciones tienen soluciones no triviales. Charles Dodgson es más conocido por su
pseudónimo de escritor "Lewis Carroll". Con ese nombre publicó su famoso libro Alicia
en el País de las Maravillas. 
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Determinantes.
 A toda matriz cuadrada , le corresponde un único número real llamado yE determinante de E
que se denota como o .¸ ¸ a bE ./> E
 Así,
 Si , entonces E œ E œ
+ + ÞÞÞ + + + ÞÞÞ +
+ + ÞÞÞ + + + ÞÞÞ +
ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞ
+ + ÞÞÞ +
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
¸ ¸
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
"" "# "8 "" "# "8
#" ## #8 #" ## #8
8" 8# 88
Þ ÞÞÞ
+ + ÞÞÞ +
8" 8# 88
Observación
No debes confundir una 
matriz con un 
determinante, no es lo 
mismo.
Observación
No debes confundir una 
matriz con un 
determinante, no es lo 
mismo.
Curiosidad: 
La función determinante apareció por primera vez en 
la investigación de los sistemas de ecuaciones 
lineales. Veremos que es una herramienta 
indispensable en el estudio y obtención de 
propiedades de las matrices cuadradas.
Curiosidad: 
La función determinante apareció por primera vez en 
la investigación de los sistemas de ecuaciones 
lineales. Veremos que es una herramienta 
indispensable en el estudio y obtención de 
propiedades de las matrices cuadradas.
Cálculo del Determinante de una Matriz .E8
i) Si = entonces el E Ð+ Ñ ß ./> ÐE Ñ œ +
"‚" "" ""
ii) En general, el determinante de puede calcularse con respecto a cualquier fila o columna, con laE
fórmula que damos a continuación.
 , es una matriz de orden mayor que 1./> ÐE Ñ œ Ð  " Ñ + ./> ÐE Ñ E!
5 œ"
8
35
3 5 3 5
 y es una submatrizE
35
- En particular, si es una matriz cuadrada de orden 2, es decir, , se tiene que:E E œ + ,
- .Œ 
 ./> E œ Ð  " Ñ + ./> ÐE Ñ!
5œ"
#
"5
" 5 "5
 ./> E œ Ð  " Ñ + † .  Ð  " Ñ , † -"" "#
 o bien, ./> E œ + † .  , † -
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Ejemplo: Si , entoncesE œ  " #
$ %Œ 
./> E œ œ  " %  # $ œ  %  ' œ  "!
 " #
$ %
a b º º † †
- Si la matriz es cuadrada de orden 3, es decir,
E œ
+ + +
+ + +
+ + +
Î Ñ
Ï Ò
"" "# "$
#" ## #$
$" $# $$$
, se tiene que:
 ./> ÐE Ñ œ Ð  " Ñ + ./> ÐE Ñ!
5 œ"
3
" 5
" 5 " 5
Ejemplo: Si , entoncesE œ
"  # "
$ % #
$ " !
Î Ñ
Ï Ò
./>ÐEÑ œ œ Ð  "Ñ "  Ð  "Ñ †  # †  Ð  "Ñ "
"  # "
$ % #
$ " !
% # $ # $ %
" ! $ ! $ "
â ââ ââ ââ ââ ââ â º º º º º ºa b
"" "# "$
† †
 Resolviendo , se tiene: l E l œ  #$
Ejercicios: Encuentra el determinante de la matriz que a continuación se presentan.E
1) Si 2) SiE œ E œ"  " + ,
#  "  ,  +Œ  Œ 
3) Si 4) SiE œ E œ
" #  "  # " "
! # " # ! "
$ " # # % "
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
Respuestas:
1) 2) lEl œ " lEl œ  +  ,# #
3) 4) lEl œ "& lEl œ "'
 
Sabías que el matemático francés Pièrre 
Frederick Sarrus (1798 – 1861) ideó un 
método para encontrar el determinante de 
una matriz de orden 3.
Sabías que el matemático francés Pièrre 
Frederick Sarrus (1798 – 1861) ideó un 
método para encontrar el determinante de 
una matriz de orden 3.
 
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Método de Sarrus.
 Sea la matriz de orden 3: E œ
+ + +
+ + +
+ + +
Î Ñ
Ï Ò
"" "# "$
#" ## #$
$" $# $$
 Para calcular su determinante, según este método, se procede de la siguiente manera:
1) Se repiten hacia el lado derecho de la última columna del determinante asociado, las dos primeras
columnas del lado izquierdo.
 = l E l
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
â ââ ââ ââ ââ ââ â
"" "# "$ "" "#
#" ## #$ #" ##
$" $# $$ $" $#
2) Se suman los productos obtenidos al multiplicar los elementos de las diagonales principales, y se
restan los tres productos de los elementos de las diagonales secundarias.
l E l + Þ+ Þ+  + Þ+ Þ+  + Þ+ Þ+  + Þ+ Þ+  + Þ+ Þ+  + Þ+ Þ+ =
"" ## $$ "# #$ $" "$ #" $# "# #" $$ "" #$ $# "$ ## $"
Ejemplo:
 Si , entonces = E œ l E l œ
# $  # # $  # # $
" ! # " ! # " !
% # " % # " % #
Î Ñ
Ï Ò
â ââ ââ ââ ââ ââ â
./> E œ # ! "  $ # %  Ð  #Ñ " #  Ð$ " "  # # #   # ! %Ñ œ *a b a b a b† † † † † † † † † † † †
Ejercicios: Encuentra el determinante de la matriz dada, usando el método de Sarrus.
1) E œ
"  # $
" % &
" ! $
Î Ñ
Ï Ò
2) F œ
 # " $
! # "
$  % "
Î Ñ
Ï Ò
3) G œ
+ , +
 + , +
 +  ,  +
Î Ñ
Ï Ò
 
Respuestas:
1) = l E l  %
2) l E l œ  #(
3) l E l œ !
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Desafío:Desafío:
Aplica todo lo anterior, calculael determinante de la matriz de orden 4: 
 
 E œ
 " # " $
% ! " #
 # $ " $
% # "  $
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
Respuesta: ./> ÐE Ñ œ  "$
 Es evidente que el cálculo del determinante de una matriz de orden puede ser tedioso, como8
habrás podido ya observar en el cálculo del determinante de orden imagínese para el caso de% ‚ %ß
determinantes de orden y así sucesivamente. Sin embargo, existen algunas matrices a las cuales es& ‚ &
muy sencillo calcular sus determinantes.
1) Sea una matriz triangular inferior o superior. EntoncesE8
 .../> ÐEÑ œ + + † + † Þ † +
"" $$ 88† ##
 Esto es, el determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus componentes en la
diagonal.
 
Ejemplo: Sea E œ
 # $ ! "
! $ # %
! ! " $
! ! !  #
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
entonces, es una matriz triangular superior, por lo tanto:E
 ./> ÐEÑ œ  # $ "  # œ "#† † †
 
2) Si la primera columna o fila de una matriz tiene todos sus elementos nulos excepto el del lugar
+
""
, su determinante es:
 
â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â
+ + + ÞÞÞ +
! + + ÞÞÞ +
! + + ÞÞÞ +
ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ
! + + ÞÞÞ +
œ +
+ + ÞÞÞ +
+ +
"" "# "$ "8
## #$ #8
$# $$ $8
8# 8$ 88
""
## #$ #8
$# $$
ÞÞÞ +
ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ
+ + ÞÞÞ +
$8
8# 8$ 88
 
Ejemplo:
Si , entoncesE œ
#  " $ %
! & (  #
! #  $ #
! ' &  "
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
./> ÐEÑ œ # † œ # †  ( œ "%
& (  #
#  $ #
' &  "
â ââ ââ ââ ââ ââ â a b
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Propiedades De Los Determinantes.
 Sea una matriz cuadrada de orden .E 8
1) Si en un determinante todos los elementos de una fila o columna son ceros, entonces el
determinante es cero.
â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â
+ , - , -
. / 0 / 0œ ! œ !
2 3! ! ! !
!
! o 
Ejercicio: Verifica la propiedad anterior.
 i) 
â ââ ââ ââ ââ ââ â
&  " #
! ! !
$ "! (
œ
2) El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta. Es decir, . Esto es:l E l œ E>¹ ¹â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â
+ , - + . 1
. / 0 , / 2
1 2 3 - 0 3
œ
Ejercicio: Verifica la propiedad anterior.
i) ii) 
â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â
&  " # & " $
" "! #  " "! "!
$ "! ( # # (
œ œ
 
3) Si en un determinante se intercambian dos filas o dos columnas, se obtiene un determinante que es
el opuesto aditivo del original.
â â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â â
+ , - + , - +
. / 0 . / 0 .
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1
œ  œ 
. / 0 - ,
+ , - 0 /
3 2
 o 
Ejercicio: Verifica la propiedad anterior.
i) ii) 
â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â
& $  " # %  #
# %  # & $  "
( ' " ( ' "
œ œ
 
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4) Si los elementos de una fila o columna de un determinante se multiplican por un número real, el
valor de este determinante es equivalente al producto del número real por el valor del determinante
original. Es decir:
 , se tiene que:a: − ‘
: † œ œ
+ , - + , - + -
. / 0 . / 0 . 0
1 2 3 1 3
â â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â â:1 :2 :5 :2
:,
:/
Ejercicio: Verifica la propiedad anterior
i) & † œ
% $ "
# !  "
! $  #
â ââ ââ ââ ââ ââ â
ii) 
â ââ ââ ââ ââ ââ â
#! "& &
# !  "
! $  #
œ
5) Si los correspondientes coeficientes de dos filas (o dos columnas) son iguales o están en una razón
constante, el determinante es cero. Es decir:
 â â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â â
+ , - , , + , -
+ , - / /
2 2 $+ $, $-1 2 3 1
œ ! œ ! œ !
+
. . / 0 o o 
Ejercicio: Calcula los determinantes.
 i) ii) 
â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â
' # # # $ %
( $ $ # $ %
) & & " & (
œ œ
6) Un determinante se puede expresar como suma de dos determinantes descomponiendo como
sumandos los elementos de una fila o columna cualquiera, como se indica a continuación.
 â â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â â
+ , - + , - + , - + , -
. / 0
1 2 3
œ œ 
1 2 3 1 2 3 1 2 3
.  . /  / 0  0 . / 0 . / 0
" # " # " # " " " # # #
â â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â â
+ , -
. / 0 / 0 / 0 / 0
1 2 3
œ œ 
, - , - , -
2 3 2 3 2 3
+  + + +
.  . . .
1  1 1 1
" # " #
" # " #
" # " #
V
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Ejercicio:
i) 
â â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â â
% $  " $ "
& $  # $ #
( '  " ' "
$ " $ " $ " $ "
!  # !  # !  # !  #
 " #  " #  " #  " #
œ œ 
ii) 
â â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â â
& ' ( & ' ( & ' ( & ' (
" !  " " !  " " !  " " !  "
œ œ ) "! "# %  % ' % "! # % ' "! % % #
7) Si se sustituye cualquier fila o columna por la suma de ella más veces otra fila5
 o columna, el determinante de la matriz no cambia.
â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â
+ , - + , -
. / 0 . / 0
1 2 3 $1  . $2  / $3  0
œ
Š ‹0 œ$ 0  0$ $ #
Ejemplo: Si a la fila 2 le sumamos 2 veces la fila 1 ( ), obtenemos:0 œ 0  #0
# # "
 ; 
â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â
" $  " " $  "
# %  " % "!  $
( ' " ( ' "
œ  " œ  "
8) l M l œ "
8
Ejercicios:
1) Encuentre el determinante de las siguientes matrices usando propiedades
 
 a) b) 
1
E œ F œ
" # $ % & "  # $
 " & # ' ! " # $
# $ % ' %  # & '
 % $ ! ) # $ % &
Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó
Ï Ò Ï Ò
2) Sea E œ F œ
" ! " ! ! ! " "
" # ! " ! " !  "
! ! " " # ! ! "
 # !  " ! ! " ! "
Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð Ó
Ï Ò Ï Ò
 Calcula Identidad de orden ./> ÐE F Ñ  M ß M œ %c d† >
% %
3) Encuentra el valor de si se cumple la siguiente igualdad5
 
â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â
5  # % #& 5  & $ %
! " ! " 5  # #
" ! 5  % " ! "
œ
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4) Prueba que
 
â ââ ââ ââ ââ ââ â
" + ,  -
" , -  +
" - +  ,
œ !
5) Calcula:
 G œ
" $ & ( *
# % # % #
! ! " # $
! ! & ' #
! ! # $ "
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
Respuestas:
1) a) = ./> ÐE Ñ (!#
 b) ./> ÐFÑ œ  ##!
2) ./>  M œ !
" ! #  #
! # " !
" "  "  #
# ! #  %
Ô ×Ö ÙÖ Ù
Õ Ø
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò %
3) 5 œ #
5) ./>ÐGÑ œ  "%
Aplicaciones De Los Determinantes.
Menor de una Matriz.
 Se llama del elemento de la matriz a la submatriz .Menor + E Q34 34
Ejercicios: Calcula los determinantes para la siguiente matriz E œ
"  # $
" % &
" ! $
Î Ñ
Ï Ò
a) lQ l œ
"$
b) lQ l œ
##
Respuestas: a) b)  % !
 
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Cofactor.
 Sea una matriz de orden , el cofactor de , se determina por E 7‚ 8 34 E E œ Ð  "Ñ lQ l
3 4 34
34
Ejemplo: Si , entoncesE œ
# " $
% & #
" !  "
Î Ñ
Ï Ò
 E œ Ð  "Ñ Q œ  " œ )# $
% #$# $ #
$ # ¸ ¸ º º
Ejercicios: Sea la matriz , determina:E œ
# " $
% & #
" !  "
Î Ñ
Ï Ò
1) 2) E œ E œ
$$ "#
3) 4) E œ E œ
$# ""
Respuestas:
1) Ð  " Ñ œ '# "
% &
$$º º
2) Ð  " Ñ œ '% #
"  "
"#º º
3) )
4)  &
Adjunta de una Matriz.
 Dada una matriz cuadrada de orden , se define la matriz adjunta de la cual se escribeE 8 E
+.4ÐEÑß F 8 ‚ 8Þcomo la traspuesta de la matriz de cofactores de orden 
 
 Veamos como se determina:
 Sea la matriz de cofactores de entoncesF œ E Eß
34
F œ
E E Þ Þ E
E E Þ Þ E 8
Þ Þ Þ Þ Þ
Þ Þ Þ Þ Þ
E E Þ Þ E
8 " 8 #
Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
"" "# " 8
# " ## #
8 8
 
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ÐF Ñ œ œ +.4 ÐEÑ
E E Þ Þ E
E E Þ Þ E
Þ Þ Þ Þ Þ
Þ Þ Þ Þ Þ
E E Þ Þ E
 >
Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
"" #" 8"
"# ## 8#
"8 #8 88
Ejemplo: Si , entonces la es:E œ +.4 ÐEÑ
# % $
! "  "
$ & (
Î Ñ
Ï Ò
 
 E œ œ "#"  "
& (""º º
 ; en forma análoga (verifícalo), tenemos que:E œ œ  $!  "
$ ("# º º
 E œ  $ ß E œ  "$ ß E œ &
"$ #" # #
 E œ # ß E œ  ( ß E œ #
#$ $ " $ #
 E œ #
$$
 Así que es la matriz de cofactores, de manera que la traspuesta deF œ ß
"#  $  $
 "$ & #
 ( # #
Î Ñ
Ï Ò
F E es la adjunta de . Esto es:
+.4 E œ
"#  "$  (
 $ & #
 $ # #
a b Î ÑÏ Ò
Ejercicios: Determina la matriz adjunta para las siguientes matrices.
1) 2) E œ E œ
 " # $
" # %
! #  #
$ #
% &
Î Ñ
Ï Ò Œ 
3) 4) E œ E œ+ , $  "#  #  '
 + ,  # "! # &
"  $ !  #
 " ' " $
Œ 
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
Respuestas:
1) 2) 
Î Ñ
Ï Ò Œ 
 "# "! #
# # (
# #  %
&  #
 % $
3) 4) Œ 
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
,  ,  " " #  #
+ + !  "  $ $
!  " !  #
#  #  $ #
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Matriz Inversa.
 Dada una matriz de orden y . Existe la matriz , denominada inversa de ,E 8 ./>ÐEÑ Á ! E E"
que cumple lo siguiente:
E † E œ E † E œ M8 8 88 8
" "
 Existen diversos métodos que permiten encontrar la amtriz inversa. En este curso estudiaremos el
método de la matriz equivalente y el de la matriz adjunta.
Método 1: Matriz Equivalente.
 Una forma de encontrar la inversa de una matriz es a través de OE Se trabaja con una matrizÞ
aumentada. A la izquierda se coloca la matriz a la cual se le quiere determinar la inversa y a la derecha, la
matriz Idéntidad, y a través de OE hechas sobre toda la matriz, se transforma la matriz de la izquierda en la
Identidad y la matriz que resulta a la derecha, es la matriz inversa buscada.
 )=ÐEß M Ä
+ , Þ Þ l " ! Þ ! ! " ! Þ ! l +‡ ,‡ -‡ Þ Þ
. / 0 Þ l ! " Þ Þ ! ! " Þ ! l .‡ /‡ Þ Þ Þ
2 3 4 Þ l ! Þ " Þ ! ! ! " Þ l 2‡ 3‡ Þ Þ Þ
Þ Þ Þ Þ l Þ Þ Þ " ! Þ Þ Þ Þ l Þ Þ Þ Þ
B C Þ Þ l ! Þ Þ Þ "
Î Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ Ó
Ï Ò Ï ÒÞ! ! Þ " l B‡ C‡ Þ Þ Þ
 El * indica un término distinto del dado inicialmente
Ejemplo: Determina, si es que existe, la matriz inversa de , haciendo OE:E
 E œ
" !  "
# "  "
! # "
Î Ñ
Ï Ò
Desarrollo:
1° Como (verifícalo), se tiene que existe ../> E Á ! Ea b "
2° Para determinar , trabajamos con el método de la matriz equivalente. Esto es:E"
 
( ) =Eß M 0 œ 0
" !  " l " ! ! " !  "l " ! !
# "  " l ! " ! ! " " l  # " !
! # " l ! ! " ! # " l ! ! "
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò→# # " # 0
→
0 œ 0  # 0
" !  " " ! !
! " "  # " !
! !  " %  # "
$ $ #
Î Ñ
Ï Ò
 |
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→
0 œ  0
" !  " l " ! !
! " " l  # " !
! ! " l  % #  "
$ $
Î Ñ
Ï Ò
 
 
 
 0 œ 0  0
" " $
 0 œ 0  0
" ! ! l  $ #  "
! " ! l #  " "
! ! " l  % #  "
# $#
Î Ñ
Ï Ò
 Por lo tanto: E œ
 $ #  "
#  " "
 % #  "
"
Î Ñ
Ï Ò
 
 No es necesario comprobar, pero si multiplicamos E E œ M† "
$
Ejercicios: Determina , si es que existe, para cada matriz dada, usando OE.E "
a) b) E œ E œ
 " " ! "  # "
" # " # ! "
$ " "  " " !
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
c) d) E œ E œ
! " "
# " "
 # " "
" ! "  "
# " $  "
#  " ! #
" " #  "
Î Ñ
Ï Ò
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
Respuestas:
a) b) E œ E œ
"  " "  "Î$ "Î$  #Î$
#  " "  "Î$ "Î$ "Î$
 & %  $ #Î$ "Î$ %Î$
" "
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
 
c) No tiene matriz Inversa d) E œ
"  $ " %
!  % " '
 " %  "  &
 " " !  "
"
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
 
Método 2: Matriz Adjunta.
 Otro método para encontrar la matriz inversa de una matriz, es a través de la matriz adjunta y
usando la siguiente fórmula:
 
E œ † +.4 E" "Ek k a b 
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Ejemplo: Hallemos la Inversa de , si existe por medio de la matriz adjunta, sabiendo que E ß E
esta dada de la siguiente manera:
 E œ
" # "
!  $ #
 # !  "
Î Ñ
Ï Ò
Desarrollo:
1° Como el = 11 , tenemos que existe .lE l  Á ! E"
2° Determinaremos la matriz adjunta:
E.4 ÐE Ñ œ Ò E Ó œ  "  "
 $ # ! # !  $
!  "  #  "  # !
 "
# " " " " #
!  "  #  "  # !
# " " " " #
 $ # ! # !  $
 "
>
3 4
>
Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
º º º º º º
º º º º º º
º º º º º º
E.4 E œ œ
$  %  ' $ # (
# "  %  % "  #
(  #  $  '  %  $
a b Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò
>
3° Por último, E œ † +.4 E
"
E
" k k a b
E œ † œ
"
 ""
$ # (  $Î""  #Î""  (Î""
 % "  # %Î""  "Î"" #Î""
 '  %  $ 'Î"" %Î"" $Î""
"
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
Ejercicios: Determina a través de la , si es posible.E +.4ÐEÑ"
 1) 2) 3) E œ E œ E œ
# $ ' + ! ,
" & $ ! " !
%  # " , ! +
$ " " "
" $ " "
" " $ "
" " " $
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
Respuestas:
1) E œ
 "Î( "&Î(( $Î""
 "Î( ##Î(( !
##Î((  "'Î((  "Î""
"
Î Ñ
Ï Ò
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2) E œ
"
+  ,
+ !  ,
! +  , !
 , ! +
"
# #
# #
Î Ñ
Ï Ò
3) E œ
&Î"#  "Î"#  "Î"#  "Î"#
 "Î"# &Î"#  "Î"#  "Î"#
 "Î"#  "Î"# &Î"#  "Î"#
 "Î"#  "Î"#  "Î"# &Î"#
"
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
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Sistemas De Ecuaciones Lineales.
________________________________________________________________________________
Johann Carl Friedrich GaussJohann Carl Friedrich Gauss
 La teoría de las ecuaciones lineales juega un papel importante y motivador en el
ámbito del álgebra lineal. Muchos problemas de álgebra lineal son equivalentes al
estudio de un sistema de ecuaciones lineales, como por ejemplo hallar el núcleo de una
aplicación lineal o caracterizar el subespacio generado por un conjunto de vectores.
 Los fenómenos lineales son aquellos en que, al duplicar o triplicar la causa, se
duplica o triplica el efecto, y al sumar las causas, se suman los efectos. Muchos
fenómenos naturales y sociales tienen comportamientos muy similares al lineal; por ello
se pueden estudiar, con una aproximación aceptable, considerándolos como tales.
 Se cree que hacia el 1100 AC, los chinos ya se plantearon el problema de cómo
resolver dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Y en Japón, el matemático Seki
Kowa (1642-1708) hizo un aporte igual o mejor en esta materia que el matemático
inglés Isaac Newton (1642-1727). Poco después de que Seki Kowa hubiera previsto la
solución de un sistema de manera hipotética, en 1693, Leibniz encontró un método para
resolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas, comparable al creado por los
chinos. Este método fue aplicada en 1750 por Cramer (matemático Suizo, 1704-1752) y
simplificado en 1764 por E. Bézout (matemático francés 1730-1763). Sin embargo, el
matemático que hizo mayores contribuciones en este tema fue el alemán Johann Carl
Friedrich Gauss (1777-1855). Incluso, dos métodos muy utilizados para resolver
sistemas de ecuaciones llevan su nombre.
 En esta sección veremos como aplicar todo lo aprendido anteriormente en la
solución de sistemas de ecuaciones lineales. Veremos detalladamente el algoritmo de
eliminación Gaussiana y de Gauss-Jordan, analizaremos las soluciones de dichos
sistemas y daremos una interpretación geométrica de ellas.
 
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 En esta sección describiremos tres métodos para encontrar todas las soluciones (si existen) de un
sistema de ecuaciones lineales con incógnitas. Analizaremos sistemas de ecuaciones lineales que no7 8
poseen solución, que poseen solución única o infinitas soluciones.
 Comenzaremos con algunas definiciones que son escenciales para avanzar en este tema.
 
Definición: Una Ecuación Lineal o de primer grado en incógnitas es una expresión de8 B ß B ß B ß ÞÞÞß B
" # $ 8
la forma:
+ B  + B  + B  ÞÞÞ  + B œ ,
" " # # $ $ 8 8
 ..... (1)
donde son números dados en algún conjunto numérico.+ ß + ß + ß ÞÞÞß + ß ,
" # $ 8
 se llaman coeficientes de la ecuación y el término independiente. Se llama+ ß + ß +ß ÞÞÞß + ,
" # $ 8
solución de la ecuación a toda -upla de números que reemplazados ordenadamente en lugar de las8
incógnitas , , , , convierten a la expresión (1) en una identidad.B B B ÞÞÞ B
" # $ 8
 Se dice que las soluciones satisfacen la ecuación.
 Por ejemplo, dada la ecuación , dos soluciones de la misma son:#B  $B  #B  B œ (
" # $ %
È
Š ‹È Œ "ß  "ß #ß !  #ß ß !ß  "#"
$
 y .
 Estudiaremos ahora los sistemas de ecuaciones y su resolución.
Definición: Se denomina sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de dos o más ecuaciones lineales
con dos o más incógnitas.
Ejemplo:
 ........................................................
ÚÝÝÝÝÛÝÝÝÝÜ
+ B  + B  + B  ÞÞÞ  + B œ ,
+ B  + B  + B  ÞÞÞ  + B œ ,
"" " "# # "$ $ "8 8 "
#" " ## # #$ $ #8 8 #
............
....................................................................
+ B  + B  + B  ÞÞÞ  + B œ ,
7" " 7# # 7$ $ 78 8 7
Observación:
 
 Con el sistema anterior se pueden formar tres matrices:
 i) Una matriz de :coeficientes numéricos
 E œ
+ + Þ Þ +
+ + Þ Þ +
+ + Þ Þ +
Þ Þ Þ Þ Þ
+ + Þ Þ +
Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
"" "# "8
#" ## #8
$" $# $8
7" 7# 78
 
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 ii) Una matriz de incógnitas:
 \ œ
B
B
Þ
B 8
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
"
#
 iii) Una matriz de términos independientes:
 
 F œ
,
,
, 8
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
"
#
Þ
 Utilizando esta tres matrices, es posible escribir el sistema de ecuaciones lineales de la forma
siguiente:
E †\ œ F
 Es decir,
Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
+ + Þ Þ +
+ + Þ Þ +
+ + Þ Þ +
Þ Þ Þ Þ Þ
+ + Þ Þ +
† œ
B ,
B ,
Þ Þ
B ,8 8
"" "# "8
#" ## #8
$" $# $8
7" 7# 78
" "
# #
 
 Ahora bien, si juntamos la matriz y la matriz , formamos una nueva matriz llamada E F Matriz
Ampliada y denotada por .ÐEßFÑ
 ÐE ß F Ñ œ
+ + + Þ l ,
+ + + Þ l ,
Þ Þ Þ Þ l Þ
Þ Þ Þ Þ l Þ
+ + + Þ l ,
Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
"" "# "$ "
#" ## #$ #
7" 7# 7$ 8
Ejercicios: Dado los siguientes sistemas de ecuaciones, escribe las matrices: .Eß Fß \ß ÐEßFÑ
1) B  B  B œ "
" # $
  B  B œ %
" $
 # B  #B  %B œ  #
" # $
2) B  B œ "
# %
 #B  B œ !
" $
 B  %B œ $
$ %
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Respuestas:
1) E œ ß F œ ß \ œ
" "  " "
 " ! " %
#  #  %  # B
B
B
Î Ñ Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò Ï Ò
"
#
$
 ÐE ß F Ñ œ
" "  " l "
 " ! " l %
#  #  % l  #
Î Ñ
Ï Ò
2) E œ ß F œ ß \ œ
! " ! " "
# !  " ! !
! ! "  % $
B
B
B
B
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
"
#
$
%
 ÐEßFÑ œ
! " ! " l "
# !  " ! l !
! ! "  % l $
Î Ñ
Ï Ò
Métodos De Resolución De Sistemas De Ecuaciones.
GABRIEL CRAMER
Método 1: REGLA DE CRAMER.
GABRIEL CRAMERGABRIEL CRAMER
Método 1: REGLA DE CRAMER.
 
 Sea una matriz de orden . Entonces la sólución al sistema está dado porE 8 E \ œ Fúnica †
 
 , B œ B œ B œ ß ÞÞÞÞÞÞ B œ
" # 3 8
" # 3 8
H H
H H H H
H H
Donde: es el determinante de H E
 es el determinante de sustituir la columna por la matriz de términos independientes,H 3
3
es decir, la matriz .F
¡¡IMPORTANTE!!
Para resolver un sistema 
usando este método se requiere que 0)det( ≠A
¡¡IMPORTANTE!!
Para resolver un sistema 
usando este método se requiere que 0)det( ≠A
 
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Ejemplo: Para mostrar la aplicación de este método, vamos a resolver el siguiente sistema.
# B  B  $ B œ "
" # $
 B  &B  B œ %
" # $
$ B  # B  %B œ  "
" # $
1° Identifiquemos cada una de las matrices del sistema.
E œ ß F œ ß \ œ
# "  $ "
 " & " % B
$  #  %  "
B
B
Î Ñ Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò Ï Ò 
"
#
$
2° Verifiquemos que el determinante de sea distinto de cero. En efecto:E
H œ ./> E œ
# "  $ # "
 " & "  " &
$  #  % $  #
a b
â ââ ââ ââ ââ ââ â 
 œ  %!  $  '   %&  %  % œ # Á !a b a b
 Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer.
3° Calculemos el valor de las incógnitas:
 B
"
œ œ œ $
'
#
â ââ ââ ââ ââ ââ â
"
%
"
" $
& "
# %
#
 B
#
œ œ œ "
#
#
â ââ ââ ââ ââ ââ â
# $
" "
$ %
"
%
"
#
 B
$
œ œ œ #
%
#
â ââ ââ ââ ââ ââ â
# "
" &
$ #
"
%
"
#
4° La solución del sistema está dada por la matriz \ œ œ
B
B "
B
$
#
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
"
#
$
Ejercicios: Resuelve, si es posible, los siguientes sistemas usando la Regla de Cramer.
1) # B  B œ $
" #
 $ B  #B œ &" #
2) # B  %B  'B œ ")
" # $
 % B  &B  'B œ #%
" # $
 $B  B  #B œ %
" # $
3) #B  $B  B œ &
" # $
V
IR
G
IN
IO
 G
O
M
E
Z
 
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42 
  B  #B  $B œ !
" # $
 % B  B  B œ  "
" # $
4) B  $B  B œ %
" # $
& B  B œ $
" #
# B  'B  #B œ )
" # $
Respuestas:
1) B œ B œ
"" "
( (" #
2) B œ % B œ  # B œ $
" $#
3) B œ B œ B œ 
" & $
% % %" # $
4) no se puede resolver por Cramer../>ÐEÑ œ !ß
¡¡CUIDADO!! Esta Regla tiene dos limitaciones: 
1° La matriz de coeficientes numéricos deber ser cuadrada 
ya que se calcula el determinante de ella y, además, debe 
ser distinto de cero.
2° Sirve sólo cuando el sistema tiene una única solución.
¡¡CUIDADO!! Esta Regla tiene dos limitaciones: 
1° La matriz de coeficientes numéricos deber ser cuadrada 
ya que se calcula el determinante de ella y, además, debe 
ser distinto de cero.
2° Sirve sólo cuando el sistema tiene una única solución.
¡¡CUIDADO!! Esta Regla tiene dos limitaciones: 
1° La matriz de coeficientes numéricos deber ser cuadrada 
ya que se calcula el determinante de ella y, además, debe 
ser distinto de cero.
2° Sirve sólo cuando el sistema tiene una única solución.
 
 
Método 2: ECUACIÓN MATRICIAL
 Otra forma de resolver un sistema de ecuaciones es a través de la siguiente ecuación matricial.
 multiplicando por la matriz inversa a la izquierda E \ œ F Î E† Š ‹"
 Š ‹E E \ œ E F" "† † †
 M † \ œ E F
8
"
†
 \ œ E †F"
 Es decir, para resolver un sistema de ecuaciones se debe encontrar la matriz inversa de si esEß
que existe, la cual se multiplica por la matriz .F
Ejemplo: Para mostrar la aplicación de este método, vamos a resolver el siguiente sistema.
 
B  B  B œ #
" # $
#B  $B  B œ $
" # $
 #B  #B  B œ  #
" # $
V
IR
G
IN
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 G
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43 
1° Identifiquemos cada una de las matrices del sistema.
 E œ ß F œ ß \ œ
" " " #
#  $  " $ B
 # # "  #
B
B
Î Ñ Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò Ï Ò
"
#
$
2° Se dice que existe la matriz inversa, sí y sólo si, .k kE Á !
 Verifiquemos que el determinante sea distinto de cero.
k k a b
â ââ ââ ââ ââ ââ âE #  $  " #  $œ œ  $  #  %  '  #  # œ  $ Á !
" " " " "
 # # "  # #
3° Como verificamos que el determinante es distinto de cero, buscaremos la matriz inversa. Para
ello, utilizaremos la matriz adjunta.
+.4 E œ  
 $  " #  " #  $
# "  # "  # #

" " " " " "
# "  # "  # #
" " " " " "
 $  " #  " #  $

a b
Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
º º º º º º
º º º º º º
º º º º º º
>
 +.4 E œ œ
 " !  #  " " #
" $  % ! $ $
# $  &  #  %  &
a b Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò
>
4° Por lo tanto, la matriz inversa queda determinada como sigue:
E œ +.4 E œ
" "
E  $
 " " #
! $ $
 #  %  &
" k k a b
Î Ñ
Ï Ò
E œ
"Î$  "Î$  #Î$
!  "  "
#Î$ %Î$ &Î$
"
Î Ñ
Ï Ò
 
5° Luego, \ œ E †F"
\ œ Þ œ
"Î$  "Î$  #Î$ # "
!  "  " $  "
#Î$ %Î$ &Î$  # #
Î Ñ Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò Ï Ò
6° La solución del sistema está dada por la matriz \ œ œ
B
B  "
B
"
#
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
"
#
$
V
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Ejercicios: Resuelve los siguientes sistema usando la ecuación matricial.
1) B  #B  B œ  $
" # $
 2 B  &B  B œ  "
" # $
 B  B  *B œ  "'
" # $
2) #B  $B œ %
# $
 #B  'B  (B œ "&
" #$
 B  #B  &B œ "!
" # $
Respuestas:
1) luego E œ ß B œ " B œ  " B œ #
 %% "* (
"*  )  $
 ( $ "
"
" # $
Î Ñ
Ï Ò
2) , por lo tanto no se puede resolver el sistema por este método./> ÐEÑ œ !
¡¡CUIDADO!! 
Este método también tiene algunas limitaciones, primero, la 
matriz de coeficientes numéricos debe ser cuadrada para 
poder así encontrar su determinante, y si este es igual a cero, 
no se puede aplicar este método. 
Método 3: METODO GAUSSIANO
 Este método es más general que los otros dos anteriores, pues nos permite analizar con más detalle
las distintas soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.
 Un sistema de ecuaciones lineales admite transformaciones mediante OE, manteniendo invariable
su solución hasta llegar a una matriz escalonada por filas.
 El método consiste en reducir por filas la matriz ampliada a la forma escalonada para, luego,
despejar el valor de la última incógnita. Después se usa la sustitución hacia atrás para obtener el valor de
las demás incógnitas.
Ejemplo: Para comprender mejor el método, apliquémoslo para resolver el siguiente sistema.
 B  C  D œ #
 #B  $C  D œ $
 #B  #C  D œ  #
V
IR
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45 
1° Caractericemos el sistema de ecuaciones:
 Matriz de coeficientes.E œ ß
" " "
#  $  "
 # # "
Î Ñ
Ï Ò
 Matriz de términos independientes.F œ ß
#
$
 #
Î Ñ
Ï Ò
 , Matriz de incógnitas.\ œ
B
C
D
Î Ñ
Ï Ò
 , Matriz ampliada.
 
 
 
ÐEßFÑ œ
" " " l #
#  $  " l $
 # # " l  #
Î Ñ
Ï Ò
2° Escalonemos la matriz ampliada, realizando OE sobre las filas.
 ; 
 
 
 
ÐEßFÑ œ 0 œ 0  #0 0 œ 0  #0
" " " l #
#  $  " l $
 # # " l  #
Î Ñ
Ï Ò # # " $ $ "
 Î Ñ
Ï Ò
" " " l #
!  &  $ l  "
! % $ l #
0 œ &0  %0 
$ $ "
Î Ñ
Ï Ò
" " " l #
!  &  $ l  "
! ! $ l '
0 œ 0  0 
# # $
Î Ñ
Ï Ò
" " " l #
!  & ! l &
! ! $ l '
3° De la última matriz, obtenemos el siguiente sistema equivalente.
B  C  D œ #
 &C œ &
$D œ '
4° Si despejamos las incógnitas y y reemplazamos sus valores en la primera ecuación obtenemosC D
el valor de . Así, podemos concluir que la solución del sistema es:B
 \ œ œ
B "
C  "
D #
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
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Oye!!
¿Sabías que existía otro 
método para resolver 
sistemas de ecuaciones 
llamado Gauss-Jordan?
Si quieres saber más acerca 
de ello, revisa el libro 
Álgebra Lineal de Stanley 
Grossman que se encuentra 
en biblioteca. 
Oye!!
¿Sabías que existía otro 
método para resolver 
sistemas de ecuaciones 
llamado Gauss-Jordan?
Si quieres saber más acerca 
de ello, revisa el libro 
Álgebra Lineal de Stanley 
Grossman que se encuentra 
en biblioteca. 
Análisis De Las Soluciones De Un Sistema De Ecuaciones.
 Para analizar las soluciones de un sistema de ecuaciones, necesitamos conocer un concepto que
aún no hemos visto: .El Rango de una Matriz
Rango de una Matriz.
 Se llama Rango de una matriz al orden de la mayor submatriz cuadrada cuyoE − `
7‚8
determinante es no nulo.
Ejemplo 1: Sea , las posibles submatrices de orden 3 son:E œ
# # ! %
! " " !
 " " #  #
Î Ñ
Ï Ò
Î Ñ Î Ñ Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò Ï Ò Ï Ò
# # ! # # % # ! % # ! %
! " " ! " ! ! " ! " " !
 " " #  " "  #  " #  # " #  #
à à à
 Verifica que el determinante de cada una de las matrices anteriores es cero, por lo tanto el rango
de la matriz no es 3.E
 Luego, debemos considerar las submatrices de orden 2. Una de éstas es cuyoŒ # #! "
determinante no es cero. En consecuencia, el rango de es dos, lo que se denota como .E V E œ #a b
Ejemplo 2: Sea una matriz cuadrada de orden 3.E œ
" # $
# $ %
$ & (
Î Ñ
Ï Ò
 Por lo tanto, si es una matriz de orden 3, entonces el rango debería ser 3 pero si calculamos suE ß
determinante nos damos cuenta que este es igual a cero.
 lEl œ œ ! Ê V E Á $
" # $
# $ %
$ & (
â ââ ââ ââ ââ ââ â a b 
V
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47 
 Busquemos el determinante de alguna de sus submatrices de orden 2.
 ¹ ¹ º º a bE œ œ " Á ! Ê V E œ #$ %& (""
 Otra forma, más general, es determinar el rango a través de OE, ya que estas no modifican ni su
orden ni su rango. Las OE se hacen sobre las filas hasta escalonar la matriz y el rango estará determinado
por el número de filas no nulas.
Ejemplo: Determinemos el rango de la siguiente matriz.
 E œ
" $  # " #
# & "  $ &
 " $ #  $  $
$  %  " # *
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
1° Realicemos las OE para escalonar la matriz:












−−
−−−
−
−
92143
33231
53152
21231 f2=f2-2f1
f3=f3+f1
f
4
=f
4
-3f
1












−−
−−
−−
−
315130
12060
15510
21231
f
3
=f
3
+6f
2
f4=f4-13f2












−−
−
−−
−
10646000
5323000
15510
21231
f4=f4+2f3












−
−−
−
00000
5323000
15510
21231












−−
−−−
−
−
92143
33231
53152
21231 f2=f2-2f1
f3=f3+f1
f
4
=f
4
-3f
1












−−
−−
−−
−
315130
12060
15510
21231
f
3
=f
3
+6f
2
f4=f4-13f2












−−
−
−−
−
10646000
5323000
15510
21231
f4=f4+2f3












−
−−
−
00000
5323000
15510
21231
 
 Como la matriz escalonada tiene filas no nulas, resulta que el rango de es $ E $
 
También es posible escalonar la matriz 
realizando OE sobre las columnas, 
pero convendremos en trabajar por 
filas.
También es posible escalonar la matriz 
realizando OE sobre las columnas, 
pero convendremos en trabajar por 
filas.
 
Ejercicios: Encuentra el rango de las siguientes matrices a través de OE.
1) E œ
" ! "  "
! # "  #
" % $  &
Î Ñ
Ï Ò
V
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IO
 G
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M
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2) E œ
! "  " "
" " !  "
" #  " !
# %  " !
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
3) E œ
"  " # "
 " ! " #
"  # & %
#  " "  "
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
Respuestas:
1) < œ #
2) < œ $
3) < œ #
Análisis De Soluciones A Través Del Estudio De Rangos.
Sistema de Ecuaciones
R(A) = R(A,B)
SI
NO Sistema Incompatible
No Existe Solución
R(A) = R(A,B) = n
NO Sistema Compatible 
Indeterminado
Existen Infinitas 
Soluciones
Sistema Compatible 
Determinado
Existe Una Única 
Solución
SI
Donde:
•n es N° de incógnitas
•R(A) rango de la matriz de 
coeficientes
•R(A,B) es rango de la matriz 
ampliada
Análisis De Soluciones A Través Del Estudio De Rangos.
Sistema de Ecuaciones
R(A) = R(A,B)
SI
NO Sistema Incompatible
No Existe Solución
R(A) = R(A,B) = n
NO Sistema Compatible 
Indeterminado
Existen Infinitas 
Soluciones
Sistema Compatible 
Determinado
Existe Una Única 
Solución
SI
Sistema de Ecuaciones
R(A) = R(A,B)
SI
NO Sistema Incompatible
No Existe Solución
NO Sistema IncompatibleSistema Incompatible
No Existe SoluciónNo Existe Solución
R(A) = R(A,B) = n
NO Sistema Compatible 
Indeterminado
Existen Infinitas 
Soluciones
Sistema Compatible 
Indeterminado
Existen Infinitas 
Soluciones
Existen Infinitas 
Soluciones
Sistema Compatible 
Determinado
Existe Una Única 
Solución
Sistema Compatible 
Determinado
Existe Una Única 
Solución
Existe Una Única 
Solución
SI
Donde:
•n es N° de incógnitas
•R(A) rango de la matriz de 
coeficientes
•R(A,B) es rango de la matriz 
ampliada
Donde:
•n es N° de incógnitas
•R(A) rango de la matriz de 
coeficientes
•R(A,B) es rango de la matriz 
ampliada
V
IR
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49 
 Estudiemos algunos sistemas.
1) Sistema Compatible Determinado.
 Ya vimos que este tipo de sistema posee solución única.
Ejemplo: Resolvamos el siguiente sistema usando el método Gaussiano.
 B  C  D œ #
 #B  $C  D œ $
 #B  #C  D œ  #
1° Caracterizando el sistema de ecuaciones
 E œ ß F œß \ œ
" " " # B
#  $  " $ C
 # # "  # D
Î Ñ Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò Ï Ò
2° Aplicaremos operaciones elementales a la matriz ampliada
ÐEßFÑ œ
" " " l #
#  $  " l $
 # # " l  #
Î Ñ
Ï Ò
 0 œ 0  #0
# # "
 0 œ 0  #0
$ $ "
ÐEßFÑ œ
" " " l #
!  &  $ l  "
! % $ l #
Î Ñ
Ï Ò
0 œ &0  %0
" " " l #
!  &  $ l  "
! ! $ l '
$ $ "
Î Ñ
Ï Ò
0 œ 0  0
" " " l #
!  & ! l &
! ! $ l '
# # $
Î Ñ
Ï Ò
3° Analizando los rangos de la matriz escalonada. Tenemos que:
 8 œ $
 V E œ $a b
 ; Por lo tanto, el sistema posee solución única.V EßF œ $a b
4° Trabajaremos el sistema equivalente al original para determinar la solución al sistema de
ecuaciones lineales. El sistema resultante es:
 B  C  D œ #
 &C œ &
$D œ '
V
IR
G
IN
IO
 G
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50 
 Se determina una de las incógnitas y las restantes resultan de ir reemplazando los valores
encontrados.
 De aquí resulta: B œ " C œ  " D œ #
2) Sistema Compatible Indeterminado.
 Ya vimos que este tipo de sistema posee infinitas soluciones.
Ejemplo: Resolvamos el siguiente sistema usando OE.
 
B  C  D œ "
# B  $C  #D œ #
$ B  # C  D œ $
1° Caracterizando el sistema de ecuaciones lineales.
 E œ à F œ à \ œ
" "  " " B
#  $ # # C
$  # " $ D
Î Ñ Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò Ï Ò
2° Escalonando la matriz ampliada.
 a b Î ÑÏ ÒEßF œ
" "  " l "
#  $ # l #
$  # " l $
0 œ 0  #0
# # "
0 œ 0  $0
$ $ " Î Ñ
Ï Ò
" "  " l "
!  & % l !
!  & % l !
0 œ 0  0
" "  " l "
!  & % l !
! ! ! l !
$ $ #
Î Ñ
Ï Ò
3° Analizando los rangos de la matriz escalonada.
 Como , se tiene que el sistema es Compatible Indeterminado;8 œ $ß V E œ #ß V EßF œ #a b a b
por lo tanto, tiene infinitas soluciones.
 Con la matriz obtenida podemos formar el sistema equivalente:
 B  C  D œ "
  & C  %D œ !
4° Observa que la expresión , permite conocer el número de incógnitas de las cuales8  V Ea b
dependeran las otras.
V
IR
G
IN
IO
 G
O
M
E
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51 
 Es decir: . Esto significa que de las incógnitas, de ellas quedan en función de la$  # œ " $ #
otra incógnita.
 En efecto:
 Si despejamos de la segunda ecuación tenemos: C C œ D
%
&
 Si este resultado lo reemplazamos en la primera ecuación y despejamos , tenemos que:B
B œ "  D
"
&
 
 
5° La solución general, entonces, es: \ œ œ
B
C
D
"  D
D
D
Î Ñ
Ï Ò
Î ÑÐ Ó
Ï Ò
"
&
%
&
6° Algunas soluciones particulares son: \ œ à \ œ à \ œ
"
!
! " #
Î Ñ
Ï Ò
Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð Ó
Ï Ò Ï Ò
'
&
% )
& &
(
&
3) Sistema Incompatible o Inconsistente.
 Este tipo de sistema, como ya vimos, no tiene solución.
Ejemplo: Resolvamos el siguiente sistema
# C  $D œ %
#B  'C  (D œ "&
B  #C  &D œ "!
1° Caracterizando el sistema de ecuaciones lineales.
E œ à F œ à \ œ
! # $ % B
#  ' ( "& C
"  # & "! D
Î Ñ Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò Ï Ò 
2° Escalonando la matriz ampliada.
 ÐEßFÑ œ
! # $ l %
#  ' ( l "&
"  # & l "!
Î Ñ
Ï Ò
→ →
0 Ç 0 0 œ 0  # 0
"  # & l "!
#  ' ( l "&
! # $ l %
" $ # # "
Î Ñ
Ï Ò
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Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
"  # & l "! "  # & l "!
!  #  $ l  & !  #  $ l  &
! # $ l % ! ! ! l  "
0 œ 0  0
→$ $ #
3° Analizando los rangos de la matriz escalonada. Tenemos que:
 8 œ $ß V E œ #ß V EßF œ $a b a b
 Por lo tanto, el sistema no tiene solución 
Observación: Si el vector de términos Independientes es un vector nulo, entonces el sistema es
Homogéneo No Homogéneo., en caso contrario se llama 
 El sistema homogéneo , es decir, es Compatible:E †\ œ ) siempre tiene solución
a) Si tiene una solución única, ésta es la trivial ( con B œ !à a3ß 3 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 8 Ñ
3
b) Si , entonces tiene Infinitas soluciones, entre ellas la trivial.8 Á <
 Para resolver este tipo de sistema de ecuaciones debemos calcular el determinante de la matriz de
coeficientes numéricos. Si el determinante es distinto de cero, el sistema posee solución única y es la
trivial, pero si el determinante es igual a cero, el sistema posee infinitas soluciones y éstas se obtienen por
el método gaussiano.
 
Ejemplo 1: Determinemos la o las soluciones del siguiente sistema homogéneo.
 # B  $C  %D œ !
 B  #C  D œ !
 B  $C  &D œ !
1° Caracterizando el sistema de ecuaciones lineales.
E œ à F œ à \ œ
# $ % ! B
"  #  " ! C
 "  $ & ! D
Î Ñ Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò Ï Ò 
2° Calculando el determinante de la matriz .E
 ../> ÐE Ñ œ œ  &) Á !
# $ %
"  #  "
 "  $ &
â ââ ââ ââ ââ ââ â
3° Luego, el sistema tiene solución única, y es la trivial.
 Por lo tanto: B œ ! C œ ! D œ !
 
V
IR
G
IN
IO
 G
O
M
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53 
Ejemplo 2: Determinemos la o las soluciones del siguiente sistema homogéneo.
B  $C  &D œ !
#B  'C  "!D œ !
 B  &C  D œ !
1° Caracterizando el sistema de ecuaciones lineales.
E œ à F œ à \ œ
"  $ & ! B
#  ' "! ! C
 " &  " ! D
Î Ñ Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò Ï Ò 
2° Calculando el determinante de la matriz .E
 ../> ÐE Ñ œ œ !
"  $ &
#  ' "!
 " &  "
â ââ ââ ââ ââ ââ â
 Como el , tenemos que el sistema tiene infinitas soluciones y para determinarlas, lo./> ÐEÑ œ !
haremos a través del método gaussiano.
3° Realizando operaciones elementales en la matriz . E
 E œ
"  $ &
#  ' "!
 " &  "
Î Ñ
Ï Ò
0 œ 0  #0
# # "
0 œ 0  0
$ $ "
 
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò a b
"  $ & "  $ &
! ! ! ! # %
! # % ! ! !
0 Ç 0 à 8 Á V E
# $
4° Resolviendo el sistema equivalente
B  $C  &D œ !
# C  %D œ !
 C œ  #D
 B œ  ""D
5° La solución general, entonces, es: \ œ œ
B  ""D
C  # D
D D
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
6° Algunas soluciones particulares son: 
\ œ à \ œ à \ œ
!  ""  ##
!  #  %
! " #
Î Ñ Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò Ï Ò
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Ejercicios:
 Resuelve los siguientes sistemas usando el método de Gauss Si el sistema tieneÞ
 infinitas soluciones además de la general determine una particular.
1) # B  $ œ B  $B
$ # "
 B  $B œ "  #B
" # $
 $B  B œ #  #B
# $ "
2) >  $>  &>  > œ %
" # $ %
 #>  &>  #>  %> œ '
" # $ %
3) B  B  #B œ "1 # $
 B  $B  %B œ "
" # $
 #B  #B  %B œ $
" # $
4) $B  'C  'D œ *
 #B  &C  %D œ '
  B  "'C  "%D œ  $
 
Respuestas:
1) Sistema Compatible Determinado: B œ " B œ ! B œ !
" # $
2) Sistema Compatible Indeterminado
 Solución General: Ð  #  "* >  ( =ß #  ) >  # =ß >ß =Ñ >ß = − ‘
 Solución Particular: Si > œ ! ß = œ !ß Ð  #ß #ß !ß !Ñ
3) El sistema es Incompatible.
4) Sistema Compatible Indeterminado.
 Solución General : ($  > ß > ß > Ñ > −
# )
* *
‘
 Soluciones Particulares: a b Œ  Œ $ß !ß ! à ß ß " à ß  ß  "#* ) #& )
* * * *
 Existen sistemas de ecuaciones lineales en las cuales al menos uno de los coeficientes numéricos
+
34
 es una constante desconocida y necesitamos saber cómo es la solución del sistema.
Ejemplo: Determinaremos el o los valores que deberían tener y en el sistema que se+ ,
presenta a continuación, para que sea:
 
 i) Compatible Determinado
 ii) Compatible Indeterminado
 iii) Incompatible
 $B  #B  &B œ "
" # $
 B  B  #B œ "
" # $
 %B  $B  +B œ ,
" # $
1° Caracterizando el sistema.
E œ à F œ à \ œ
$ # & "
" " # " B
% $ + ,
B
B
Î Ñ Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò Ï Ò 
"
#
$
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2° Aplicando operaciones elementales sobre la matriz ampliada.
 ÐEßFÑ œ 0 Ç 0
$ # & " " " # "
" " # " $ # & "
% $ + , % $ + ,
Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð Ó
Ï Ò Ï Ò
¸ ¸¸ ¸¸ ¸" #
→
0 œ 0  $0 à 0 œ 0  %0
" " # "
!  "  "  #
!  " +  ) ,  %
# # " $ $ "
Î ÑÐ Ó
Ï Ò
¸̧
¸
0 œ 0  0
" " " "
!  "  "  #
! ! +  ( ,  #
$ $ #
Î ÑÐ Ó
Ï Ò
¸̧
¸
3° Analizando los rangos.
 8 œ $
 depende delvalor de .V E œ +a b
 depende de los valores de y .V EßF œ + ,a b
i) Para que el sistema sea Compatible Determinado se debe cumplir que: , esV E œ V EßF œ 8a b a b
decir, . Esto ocurre cuando , o bien, .V E œ V EßF œ $ +  ( Á !a b a b + Á (
 Conclusión: El sistema tendrá solución única a + −  Ö(ב
ii) Para que el sistema sea Compatible Indeterminado se debe cumplir que: , V E œ V EßF  8a b a b
es decir, . Esto ocurre cuando y 0, o bien, cuando V E œ V EßF  $ +  ( œ ! ,  # œ + œ (a b a b
y . En este caso, el , œ # V E œ V EßF œ #Þa b a b
 Conclusión: El sistema tendrá infinitas soluciones cuando y .+ œ ( , œ #
iii) Para que el sistema sea Incompatible se debe cumplir que: . Esto ocurre cuandoV E Á V EßFa b a b
+  ( œ ! ,  # Á ! + œ ( , Á #Þ y , o bien y 
Ejercicios:
1) Considere los sistemas
a) #B  $B  & œ !
" #
 B  (B  B œ !
" # $
%B  ""B  5B œ !
" # $
b) B  B  B œ !
" # $
 #B  $B  %B œ !
" # $
 $B  %B  5B œ !
" # $
 ¿Para qué valores de los sistemas tendrán soluciones no triviales?5
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2) Determinar qué valor debería tomar para que el sistema siguiente sea!
i) Compatible Determinado
ii) Compatible Indeterminado
iii) Incompatible
 B  B  B œ "
" # $
 $B  B  B œ &
" # $
! !
 %B  B œ &
" #
!
3) Determinar qué valores debe tomar y para que el sistema sea+ ,
i) Compatible Determinado
ii) Compatible Indeterminado
iii) Incompatible
 B  B  B œ "
" # $
 $B  B  #B œ &
" # $
 %B  +B œ ,
" $
Respuestas:
1) a) 5 œ
"!
""
 b) 5 œ &
2) i) ! !Á ! • Á &
 ii) ! œ &
 iii) ! œ !
3) i) + Á '
 ii) + œ ' • , œ )
 iii) + œ ' • , Á )
 
Interpretación Geométrica De Los Sistemas De Ecuaciones.
 Geométricamente en el plano , se interpretan de la siguiente forma (Cada ecuación se representa‘#
en una línea recta)
a) Rectas No Paralelas.
Un punto de intersección
b) Rectas Paralelas.
No existe intersección
c) Rectas que Coincidens.
Infinitos puntos de intersección
a) Rectas No Paralelas.
Un punto de intersección
b) Rectas Paralelas.
No existe intersección
c) Rectas que Coincidens.
Infinitos puntos de intersección
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En el espacio , la interpretación es la siguiente (cada ecuación representa un plano)‘$
Los tres planos se intersectan en
la misma recta. Entonces cada
punto sobre el plano es una
solución y se tiene un número
infinito de soluciones. 
a) 
b) Dos de los planos coinciden e 
intersectan a un tercer plano en una 
recta. Entonces cada punto sobre la 
recta es una solución y existe un 
número infinito de soluciones.. 
c) 
Los tres planos se intersectan en un 
punto, entonces existe una solución 
única. 
d) 
Al menos dos de los planos son 
paralelos y distintos. Entonces 
ningún punto puede estar en ambos y 
no hay solución. El sistema no tiene 
solución. 
e) Dos de los planos coinciden en una recta
. El tercer plano es paralelo a L (y no
contiene a , de manera que ningún punto
del tercer plano se encuentra en los dos
primeros. No existe solución. 
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AUTOEVALUACION N° 1
Indicación: Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
PROBLEMA 1: Encuentra el valor de para que se cumpla la igualdad propuesta:Bß Cß Aß D
Œ  Œ  Œ B  C A  " C  B B  A '  %C  D #C #D  '  " D œ
PROBLEMA 2: Dadas las matrices
E œ à F œ à
" ! # " & " ! $
$ % " " # " " !
& # ! $ ' ! $ "
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
- -
- - - -
- -
 
G œ à
" ! ( &
# $ ! "
! ! " "
Î Ñ
Ï Ò
- -
-
-
 
 Determina , ( ) , .E  G # E  G † F G † F> > > >
AUTOEVALUACION N° 2
Indicación: Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
PROBLEMA 1: Dado que una matriz se dice IDEM-POTENTE si . Verifica si las matricesE œ E#
siguientes son o no idempotente.
E œ F œ G œ
Î Ñ Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò Ï Ò
2 -3 -5 -1 3 5 0 1 0
-1 4 5 1 -3 -5 0 0 1
1 -3 4 -1 3 5 0 0 0
; ; 
PROBLEMA 2: Dadas las matrices:
A ; B ; C
1 -3 2 1 4 1 0 2 1 -1 -2
2 1 -3 2 1 1 1 3 -2 -1 -1
4 -3 -1 1 -2 1 2 2 -5 -1 0
œ œ œ
Ô × Ô × Ô ×
Õ Ø Õ Ø Õ Ø
 Comprueba que EF œ EG
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AUTOEVALUACION N° 3
Indicación: Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
PROBLEMA 1: Sea E œ
"  $ !  #
$  "#  #  '
 # "! # &
 " ' " $
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
a) Calcula ¸ ¸E
b) Determina la matriz E.4 Ea b
c) Determina la matriz inversa de .E
PROBLEMA 2: Verifica que:
a) La adjunta de una matriz escalar es una matriz escalar
b) La adjunta de una matriz diagonal es una matriz diagonal
c) La adjunta de una matriz triangular es una matriz triangular
PROBLEMA 3: Para las siguentes matrices, determina las respectivas matrices adjuntas.
a) b) E œ F œ
# ! " #  $ !
 " " " &  "  %
% ! "  " ! !
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò
PROBLEMA 4: Para las matrices del problema 3, determina, si existe, las respectivas matrices inversas.
Si existe, muéstralas.
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AUTOEVALUACION N° 4
Indicación: Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
PROBLEMA 1: Sea .E œ
-9= !  =/8
! " !
=/8 ! -9=
Î Ñ
Ï Ò
! !
! !
 Determina si posee inversa y si es posible, hállala.E
PROBLEMA 2: Que valores de hacen que la matriz dada sea singular (inversible).+
E œ F œ
 + +  " +  " +  # # $
" # $ " +  "  #
#  + +  $ +  ( ! ! +  #
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò 
PROBLEMA 3: Encuentra de manera que la matriz tenga inversa.B − ‘a bInd.: es la matriz idéntica de orden 3M
a) b) E œ E œ  BMB  % )
$ B  #
# ! "
 " " "
% ! "
Œ  Î ÑÏ Ò
c) E œ BM 
#  " "
!  # $
! % %
Î Ñ
Ï Ò
PROBLEMA 4: Determina la matriz en la ecuación: con\ E † \ † F œ E † Fa b" >
E à F œ
" " " ! ! "
! " # " # !
$ " ! " " !
Î Ñ Î Ñ
Ï Ò Ï Ò 
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AUTOEVALUACION N° 5
Indicación: Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
PROBLEMA 1: Sea y . Calcula los siguientes determinantes.E œ ./> E œ &
+ , -
. / 0
1 2 3
Î Ñ
Ï Ò a b
a) b) 
â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â
1 2 3  &  &2  &3
. / 0 $. $/ $0
+ , - %+ %, %-
c) d) 
â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â
+  , , - #+  #. #,  #/ #-  #0
.  / / 0 1 2 3
1  2 2 3 . / 0
PROBLEMA 2: Calcula los siguientes determinantes:
a) b) » »È ÈÈ È
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
+  , # + ,
# + , +  ,
" #  " "
" " ! "
"  " " #
" " # "
PROBLEMA 3: Determina los valores de , que satisfacen la ecuación: 0 donde es-%‘ - -./> M  E œ ßa b
incógnita de la ecuación e es la matriz idéntica de orden 4.M
 E œ
# " !  )
! " ! "!
! ! % !
! ! ! &
Î ÑÐ ÓÐ Ó
Ï Ò
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AUTOEVALUACION N° 6
Indicación: Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
PROBLEMA 1: ¿Qué condiciones se deben cumplir para que el sistema se pueda resolver mediante la
ecuación ?\ œ E F"
Si dichas condiciones se cumplen, encuentre la solución usando la ecuación matricial y
operaciones elementales.
B  B œ "
B  B  B œ #
B  B œ $
B  B  B œ %
% "
# $ "
$ #
% $ "
 
PROBLEMA 2: Resuelva el siguiente sistema usando la regla de Cramer.
$C  #B œ D  "
$B  #D œ )  &C
$D  " œ B  #C
 
PROBLEMA 3: Resuelva usando el método gaussiano.
#B  C  D œ "
B  #C  D œ %
B  C  #D œ  $
AUTOEVALUACION N° 7
Indicación: Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.
PROBLEMA 1: Determina los valores de tales que