guia3-CALCULO III (2)

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UNIVERSIDAD DEL BIO BIO
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
DC-CC-MH-FM-HV-JV/mh
LISTADO N◦ 3
CALCULO III (220007)
1. Dada la función f : R2 → R definida por
f(x, y) =

x2y
x2+y4
, si (x, y) 6= (0, 0)
0, si (x, y) = (0, 0),
Determinar:
(a) si es continua f en su dominio;
(b) si existen las derivadas direccionales de f en (0, 0), en cualquier dirección.
(c) las derivadas parciales de f en todo su dominio.
(d) si f es diferenciable.
(e) el valor de la derivada direccional de f en (−1, 1) en la dirección del vector v = (−2,−1).
(f) el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto (−1, 1).
2. Considere la función f : R2 → R definida por f(x, y) =
{
y3−2x3
x2+y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
Se pide:
(a) Determine las derivadas parciales de f en todo su dominio.
(b) Analice la diferenciabilidad de f en su dominio.
(c) Calcule la derivada direccional de f en (2,−1) en la dirección del vector (−1, 1)
(d) Determine la ecuación del plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto (2,−1).
3. Considere la función f : D ⊆ R2 → R, definida por:
f(x, y) =
{ x3y
x4+y2
+ 2xy, si (x, y) 6= (0, 0)
2xy, si (x, y) = (0, 0)
(a) Analice si f es continua en todo su dominio.
(b) ¿Existe la derivada direccional de f en (0, 0), en cualquier dirección de un vector unitario
u = (a, b).? Justifique
(c) Calcule las derivadas parciales de f en todo su dominio.
(d) Determine si f es diferenciable en (0, 0).
4. Determine las derivadas parciales de las siguientes funciones:
UBB – segundo semestre 2011 2
(a) f(x, y) = y3x
2−y2.
(b) f(x, y) = ln
√
x2+y2−x√
x2+y2+x
.
(c) f(x, y, z) = exyzcos(xy)cos(x2z)
5. Si u = ln(x2 + xy + y2), verificar que x∂u
∂x
+ y ∂u
∂y
= 2
6. Si z = y2tg(ye1/x), verificar que x2 ∂u
∂x
+ y ∂u
∂y
= 2y2
7. Hallar los valores de a y b de modo que la derivada direccional de f(x, y) = ax2y + bxy2
en el punto (1, 1)tenga un valor máximo e igual a 8 en la dirección del vector que forma un
ángulo de 450 con el eje ~ox.
8. 14) La ecuación de la superficie del cerro San Cristóbal es z = 900−2(x2 +y2), donde la dis-
tancia se mide en metros. Un hombre está parado en el punto correspondiente a (6,−
√
14, 800).
(a) ¿Cuál es la dirección de la ladera más pronunciada?
(b) Si el hombre se mueve en la dirección Nor-Este, ¿Está ascendiendo o descendiendo?. ¿Cuál
es su rapidez?
(c) Si el hombre se mueve en la dirección Sur-Oeste, ¿está ascendiendo o descendiendo?, ¿Cuál
es su rapidez?.
19) Hallar la derivada direccional de f(x, y, z) = 3x2 + xy + y + z2 en el punto (1, 1, 1),
según la dirección de la recta de pendiente más pronunciada que caracteriza la superficie z =
2 + 3y2cos x+ x3 en el punto
(
π, 2
3
π, z0
)
.
9. Hallar ∇f(4, 2), sabiendo que f(x+ y, x− y) = xy + y2
10. Determinar la ecuación del plano tangente en el punto indicado, a las superficies dadas:
(a) z = 3− x2
9
− y2
16
; (2, 2, 83/36).
(b) z =
√
4− x2 − y2; (1, 1,
√
2).
(c) z = e2xcos(3y); (1, π/3,−e2).
11. Hallar los puntos de la superficie donde el plano tangente es paralelo al plano que se indica:
(a) x
2
4
+ y
2
36
+ z
2
9
= 1, plano XY
(b) z = cos y, plano XY
(c) z = x2y − x3y + x2y2, plano XY
(d) x2 +4y2 +16z2− 2xy = 12 plano XZ
12. Demostrar que el plano tangente a la elipsoide x
2
a2
+ y
2
b2
+ z
2
c2
= 1 en el punto (x0, y0, z0) tiene
por ecuación: xx0
a2
+ yy0
b2
+ zz0
c2
= 1.
13. hallar todas las derivadas parciales indicadas, usando regla de la cadena.
(a) z = ln(x2 + y2) +
√
x2 + y2, x =
etcost, y = etsint, dz
dt
.
(b) u = x3y, x5 + y = t, x2 + y3 = t2,
du
dt
.
(c) u = 2x2 − yz + xz2, x = 2sint, y =
t2 − t+ 1, z = 3e−t, dz
dt
. en t = 0.
(d) z =
√
1+u
1+v
, u = −ycosx, v = ycosx;
∂z
∂x
, ∂z
∂y
.
(e) w = xy
x
, u = yx, v = x, ∂w
∂x
, ∂w
∂y
.
UBB – segundo semestre 2011 3
14. Sea f : R2 → R una función con la propiedad de que fx(x, x) = fy(x, x). Hallar la pendiente
de la tangente al gráfico de la ecuación y = f(cosx, sinx) en el punto de coordenada x es
π
4
.
15. Si z = f(x, y), x = u+ v, y = u− v. Demostrar que
(
∂z
∂x
)2 − (∂z
∂y
)2
=
(
∂z
∂u
) (
∂z
∂v
)
16. Sea f una función real de variable real, si u(x, y) = xyf
(
x+y
xy
)
, encontrar una función
ψ : R2 → R de modo que sea válida la relación x2 ∂u
∂x
− y2 ∂u
∂y
= ψ(x, y)u(x, y).
17. Si w = x3f
(
y
x
, z
x
)
demuestre que: x∂w
∂x
+ y ∂w
∂y
+ z ∂w
∂z
= 3w
18. Dada la función z(x, y) = f(xy) +
√
xyg(x
y
), definidas para x > 0 e y > 0, donde f y g
son funciones con segundas derivadas continuas. Averigue si z satisface la ecuación diferencial
x2
∂2z
∂x2
− y2
∂2z
∂y2
= 0
19. Si T es la temperatura en (x, y, z) en el espacio, T = f(x, y, z), y si un astronauta
está viajando de modo que sus x e y aumentan a razón de 4 millas por segundo y su co-
ordenada z disminuye a razón de 3 millas por segundo, calcular dT
dt
en un punto donde:
∂T
∂x
= 4, ∂T
∂y
= 7, ∂T
∂z
= 9.
20. Un lado de un rectángulo de x = 20 m, aumenta con una velocidad de 5 m
seg
, el otro lado de
y = 30 m, disminuye con una velocidad de 4 m
seg
. ¿Con qué velocidad variará el peŕımetro y el
área de dicho rectángulo?.
21. Dos barcos salieron al mismo tiempo del punto A van, uno hacia el norte y el otro hacia el
noreste. Las velocidades de dichos barcos son 20km
h
y 40km
h
respectivamente. ¿Con qué veloci-
dad aumenta la distancia entre ellos?.
22. Mostrar que la función w(r, s) = f
(
r−s
s
)
, donde f es una función real de variable real de
clase C2, satisface la ecuación diferencial parcial 1
s
∂2w
∂r2
+ 1
r
∂2w
∂s∂r
= − 1
rs2
f ′
(
r−s
s
)
.
23. Dado z = u(x, y)eax+by, donde u(x, y) es una función de clase C2 tal que ∂
2u
∂x∂y
= 0, con a
y b constantes. Encontrar valores de a y b que hacen que la expresión ∂
2z
∂x∂y
− ∂z
∂x
− ∂z
∂y
+z = 0.
24. Sea f : R2 → R una función de clase C2, tal que w = f(x, y) donde x = escost e
y = essint. Probar que ∂
2w
∂s2
+ ∂
2w
∂t2
= e2s
(
∂2f
∂x2
+ ∂
2f
∂y2
)
.
25. Sea w = f(x, y), donde f es una función de clase C2(D), D = domf. Pruebe que
x2
(
∂2w
∂x2
− 2
∂2w
∂x∂y
+
∂2w
∂y2
)
+ 2x
(
∂w
∂x
−
∂w
∂y
)
= (1 + v)2
∂2w
∂v2
,
cuando se consideran como nuevas variables a: u = x+ y y v = y
x
.
26. Sea f : R2 → R una función de clase C2, tal que w = f(x, y) donde x = rcosθ e
y = rsinθ. Probar que ∂
2w
∂r2
+ 1
r2
∂2w
∂θ2
+ 1
r
∂w
∂r
= ∂
2f
∂x2
+ ∂
2f
∂y2
.
UBB – segundo semestre 2011 4
27. El volumen V, la presión P y la temperatura T satisface la relación P = RT
V−β −
α
V 2
, donde
α, β y R son constantes. Hallar ∂T
∂P
, ∂P
∂V
y ∂V
∂T
. Verificar que ∂T
∂P
∂P
∂V
∂V
∂T
= −1.
28. En los siguientes ejercicios, suponer que w es un a función de todas las otras variables. Hallar
las derivadas parciales indicadas en cada caso.
(a) 9x2+2y2+6w2−x+2y = 12, ∂w
∂x
, ∂w
∂y
. (b) w − ewsinyz = 1, ∂w
∂z
, ∂w
∂y
.
29. El sistema
xu+ yv + x2u2 + y2v2 − 3 = 0
xu2 + x2u− yv2 − y2v − 2 = 0
}
puede resolverse para dar x = f(u, v), y = g(u, v).
Hallar: ∂x
∂u
, ∂x
∂v
, ∂y
∂u
, ∂y
∂v
.
30. En los siguientes ejercicios, z, u y v dependen de x e y. Hallar las derivadas parciales indicadas
en cada caso.
(a)
3x+ y = u2 − v
x− 2y = u− 2v2,
}
∂u
∂x
, ∂v
∂x
, ∂u
∂y
, ∂v
∂y
.
(b)
u+ v2 = x
v + w2 = y,
w + u2 = z
}
∂u
∂x
, ∂
2u
∂x2
, ∂
2u
∂x∂y
.
31. Considere la función F (x, y) = (x3 − 2xy2, x+ y) definida en todo R2 y el punto P0 =
(1,−1).
(a) Probar que F es invertible en un entorno de P0.
(b) Calcular matriz jacobiana de F−1 en F (P0).
(c) Hallar la aproximación af́ın para F−1 en un entorno de F (P0).
32. Considere la función F : R2 → R definida por F (x, y) =
(
(x− y)2, x2
y
)
, y 6= 0
(a) Probar que F admite inversa local en una vecindad U0 de (−1, 1).
(b) Sea F−1 : V0 ⊆ R2 → R2, donde (x, y) = (g(u, v), h(u, v)) son las componentes de
la inversa local de F, calcular la razón de cambio de h en (4, 1) en la dirección del vector
(2,−1).
33. Suponga que las variables x, y, u y v, están relacionadas por el sistema:
ux3+ v2y3 = 1
2uv3 + xy2 = 0,
y considere el punto P (x0, y0, u0, v0) = (0, 1, 0, 1).
(a) Pruebe que este sistema define a u y v como funciones impĺıcitas diferenciables de x e y, en
un entorno del puntoP (x0, y0, u0, v0) = (0, 1, 0, 1). Además calcule D(u, v) =
∂(u,v)
∂(x,y)
en el punto (0, 1)
(b) Demuestre que la función F (x, y) = (h(x, y), g(x, y)) = (u, v) admite función inversa
diferenciable en un entorno del punto (0, 1). Además calcule DF−1 en el punto (0, 1)
34. Calcule el polinomio de Taylor de grado 2 para la función f(x, y) = exy en un entorno de
(0, 1).