analisis_de_sensibilidad_3

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Análisis de Sensibilidad
Felipe Muñoz Valdés
Contenido
Cambio en el vector del lado derecho.
Cambio en los costos.
Cambio en los coeficientes de las restricciones (coef. 
tecnológicos)
Introducción de una nueva variable.
Introducción de una nueva restricción.
Eliminación de una variable.
2
Objetivo del Análisis de Sensibilidad
¿En qué rango de valores de los parámetros se mantiene la 
misma base de solución óptima?
¿Cómo se ve afectada la solución óptima si cambia alguna 
de las condiciones iniciales del problema?
Obs.: SObs.: Sóólo un cambio a la vez.lo un cambio a la vez.
Obs.: Enfoque matricial permite varios cambios a la Obs.: Enfoque matricial permite varios cambios a la 
vez.vez.
Ejemplo
Una empresa produce llaves y tenazas.
Ambos productos requieren de acero para su fabricación.
El proceso requiere moldear las herramientas en una fresadora y 
después ensamblarlas en una máquina de ensamblaje.
La cantidad de acero utilizada en la producción de llaves y tenazas 
y la disponibilidad diaria de acero se muestra en la Tabla Nº1. 
También conocemos las tasas de utilización de las máquinas 
usadas en la producción, y sus capacidades. 
Finalmente, conocemos la demanda diaria (estimada) para estas 
herramientas, y su contribución a las ganancias (por unidad).
3
Ejemplo
9 (horas/día)0,5 (horas/u)0,3 (horas/u)Ensamble
Disponibilidad o
Capacidad
TenazasLlaves
100 ($/u)130 ($/u)Beneficio
16 (u/día)15 (u/día)Demanda
21 (horas/día)1 (horas/u)1 (horas/u)Fresadora
27 (kgs./día)1 (kgs./u)1,5 (kgs./u)Acero
cont.
Tabla Nº1
La empresa quiere planificar la producción diaria de llaves y 
tenazas en su planta para maximizar la contribución a sus 
ganancias.
Modelo del Ejemplo
130 100
. . 1,5 27
21
0,3 0,5 9
15
16
0
0
max Z L T
s a L T
L T
L T
L
T
L
T
= +
+ ≤
+ ≤
+ ≤
≤
≤
≥
≥
L: cantidad de llaves producidas al día.
T: cantidad de tenazas producidas al día.
Disp. acero
Disp. fresadora
Disp. ensamble
4
Modelo con Lindo
Resolución con Lindo +
 
A
nálisis de Sensibilidad
5
Tableau Final con Lindo
Reports>>Tableau
Precios sombra
Recordar clase Dualidad
Resultados
6
Cambio en el l.d. de un restricciCambio en el l.d. de un restriccióónn
Cambio en el l.d. de un restricción
' 1 ( )BX B b b
−= ⋅ + Δ
'b b b= + ΔSea: Cambio en el l.d. (incremento
+
o disminución-)
Vector con las nuevas 
disponibilidades y/o requerimientos.
1
BX B b
−= ⋅ El valor de las variables básicas antes del cambio
' 1
B BX X B b
−= + ⋅Δ
El valor de las variables básicas 
después del cambio
7
Cambio en el l.d. de un restricción
' 1
B BX X B b
−= + ⋅Δ
El valor de las variables básicas 
después del cambio (pueden ser 
varios)
Si todos los elementos del vector son no negativos, la solución
continúa siendo factible y la base sigue siendo óptima. 
Esto quiere decir que las variables básicas no cambian, pero hay 
que actualizar sus valores y por ende el valor de la FO.
'
BXEl valor de las variables es:
Los rangos estudiados en clase anterior
son útiles si se realiza un solo cambio.
Cambio en el l.d. de un restricción
Si algún elemento de es menor que cero 
(negativo), la solución pasa a ser infactible. Por 
lo tanto hay que cambiar la base para obtener el 
nuevo óptimo.
En este caso se reemplazan los valores de
por los de y se usa el algoritmo simplex dual 
para obtener la nueva solución óptima.
'
BX
BX
'
BX
8
1B− ?
¿Según nuestro reporte cuales son las variables básicas?
<T, S5, S4, L, S6>
1,50 0 01
0 0 01 1
0,5 0,30 01
0 0 01 1
0 0 01 1
B
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
3 0 0 02
0 02 2 1
0,4 0,9 0 01
0 0 02 2
3 0 02 1
B−
⎛ ⎞−
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟= −
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
Var. Bas. L T S2 S3 S4 S5 S6 b
Z 130 100 0 0 0 0 0
Acero S2 1,5 1 1 0 0 0 0 27
Fresado S3 1 1 0 1 0 0 0 21
Ensamble S4 0,3 0,5 0 0 1 0 0 9
Llaves S5 1 0 0 0 0 1 0 15
Tenazas S6 0 1 0 0 0 0 1 16
Tableau inicial
(el orden es importante)
P: ¿Existe otra forma de determinar B-1?
R: Si, del Tableau final. Con las columnas de las variables básicas iniciales.
1B− ?
Tableau final
1
3 0 0 02
0 02 2 1
0,4 0,9 0 01
0 0 02 2
3 0 02 1
B−
⎛ ⎞−
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟= −
⎜ ⎟
−⎜ ⎟
⎜ ⎟
−⎝ ⎠
P: ¿Existe otra forma de determinar B-1?
R: Si, del Tableau final. Con las columnas de las variables
básicas iniciales.
9
Caso 1: ¿Qué pasa si aumentamos en una 
hora la disponibilidad de la Fresadora?
P: ¿Sigue siendo óptima la base actual?
R: Si, porque el incremento es adecuado
P: ¿Podemos determinar la nueva solución
óptima?
R: Si, porque el incremento es adecuado
27 0
21 1
9 0
15 0
16 0
b b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟= Δ =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Caso 1: ¿Qué pasa si aumentamos en una 
hora la disponibilidad de la Fresadora?
cont.
9
3
0,9
12
7
BX
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Antes
' 1
9 3 0 0 0 0 9 32 12
3 0 0 3 52 2 1 1 2
0,9 0, 4 0,9 0,9 0,90 0 0 01
0 0 0 0 1012 2 2 12 2
7 3 0 0 0 7 32 1 4
B BX X B b
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + ⋅Δ = + ⋅ = + =− −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Después del cambio
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Caso 1: ¿Qué pasa si aumentamos en una 
hora la disponibilidad de la Fresadora?
cont.
Calculamos el nuevo Z
130 100 130 10 100 12 2500Z L T= + = × + × =
P: ¿Cuál es la gracia del precio sombra?
'
i iZ Z b π= + Δ
Incremento o disminución 
en el recurso i
Precio sombra de la restricción i
R: Respuesta Rápida y Precisa.
' 2460 1 40 2500Z = + ⋅ =
Caso 2: ¿Qué pasa si aumentamos en 2 
horas la disponibilidad de la Fresadora?
P: ¿Sigue siendo óptima la base actual?
R: No, porque el incremento es demasiado
P: ¿Podemos determinar la nueva solución
óptima?
R: Si, pero por medio de iteraciones u otro 
método adecuado
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Caso 3: ¿Qué pasa si disminuimos en 2,25 
kgs. la disponibilidad de Acero?
P: ¿Sigue siendo óptima la base actual?
R: Si, porque la disminución es adecuada
P: ¿Podemos determinar la nueva solución
óptima?
R: Si, porque la disminución es adecuada
P: ¿Cuál es el valor del nuevo Z?
Respuesta Rápida
R: ' 2460 ( 2, 25) 60 2325Z = + − ⋅ =
P: ¿Cuál es la nueva cantidad óptima de 
Llaves y Tenazas?
R: Usar ecuaciones. L=7,5 T=13,5
Caso 4: ¿Qué pasa si aumentamos en 5 
horas la disponibilidad de Ensamblaje?
P: ¿Sigue siendo óptima la base actual?
R: Si. ¿por qué?
P: ¿Podemos determinar la nueva solución
óptima?
R: No necesitamos calcular nada.
12
Caso 5: ¿Qué pasa si disminuimos en 0,5 
horas la disponibilidad de Ensamblaje?
P: ¿Sigue siendo óptima la base actual?
R: Si, porque la disminución es adecuada
P: ¿Podemos determinar la nueva solución
óptima?
R: No necesitamos calcular nada porque
teníamos 0,9 horas de tiempo ocioso 
y ahora tenemos 0,4 horas
P: ¿Cuál es la nueva solución óptima?
R: La misma
Cambio en los coeficientes de Cambio en los coeficientes de 
costo/beneficiocosto/beneficio
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Cambio en los coef. de 
costo/beneficio
Corresponde al cambio de un coeficiente de la 
función objetivo.
Este cambio lo podemos clasificar en dos:
Cuando cambiamos un coef. de una variable básica.
Cuando cambiamos un coef. de una variable no-básica.
'C C C= + ΔSea: Cambio en los costos/beneficios (incremento+
o disminución-)
Cambio en los coef. de 
costo/beneficio
Sabemos que el costo reducido de la variable j es:
Donde es la columna asociada a la variable j en el 
tableau óptimo.
es el vector con los coeficientes originales de la función 
objetivo (tableau inicial).
es el vector que indica las cantidades en que varían 
los de las variables básicas, entonces:
j j B j jZ c C Y c− = −
jY
BC
BCΔ
BC
' ' ( )Bj j j j j jZ c Z c C Y c− = − + Δ −Δ
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Cambio en los coef. de 
costo/beneficio
Si , la solución no es óptima. 
Luego, se deben cambiar los
y los y continuar iterando.
De lo contrario, la solución original continua 
siendo óptima, pero es necesario actualizar el 
valor de la FO.
' ' 0j jZ c− < 'por j jc c
' '
j jZ c−
Hayun rango de coeficientes para el 
que la solución óptima no cambia (¡el 
objetivo sí cambia!)
Este rango se determina por las 
restricciones activasactivas en la solución 
óptima
0 x
130 L +100 T
Veámoslo gráficamente,
La región factible no cambia.
La pendiente de la función 
.. objetivo sí cambia
Cambio en los coef. de 
costo/beneficio
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Caso 6: ¿Qué pasa si disminuimos en $20 el 
precio de las Llaves?
P: ¿Sigue siendo óptima la base actual?
R: Si, porque la disminución es adecuada
P: ¿Podemos determinar la nueva solución
óptima?
R: Si, los valores de L y T siguen siendo 
los mismos (L=12, T=9).
El valor de Z cambia:
' 130 ( 20) 110C C C= + Δ = + − =
110 12 100 9 2220Z = ⋅ + ⋅ =
Caso 7: ¿Qué pasa si aumentamos en $20 el 
precio de las Llaves?
P: ¿Sigue siendo óptima la base actual?
R: Si, porque la disminución es adecuada
P: ¿Podemos determinar la nueva solución
óptima?
R: Si, los valores de L y T siguen siendo 
los mismos (L=12, T=9).
El valor de Z cambia:
' 130 20 150C C C= + Δ = + =
150 12 100 9 2700Z = ⋅ + ⋅ =
16
Caso 8: ¿Qué pasa si aumentamos en $30 el 
precio de las Llaves?
P: ¿Sigue siendo óptima la base actual?
R: No
P: ¿Podemos determinar la nueva solución
óptima?
R: Si, pero por medio de iteraciones u otro 
método adecuado.
Ingresa una variable a la base.
AdiciAdicióón de una nueva restriccin de una nueva restriccióónn
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Adición de una nueva restricción
Si agregamos una nueva restricción al problema, 
la región factible puede:
Reducirse
Mantenerse igual (agregar restricción redundante)
La RF nunca aumentará. Por lo tanto el valor de 
la FO nunca será mejor que en el problema 
original.
Adición de una nueva restricción
Paso 1:
Probar si la solución óptima original satisface la nueva 
restricción. De ser así, la solución original continua siendo 
la óptima (mismos valores de las variables y mismo valor 
de la FO).
Paso 2: si la nueva restricción no se satisface.
En este caso es necesario agregar la nueva restricción al 
tableau óptimo original con su respetiva variable de holgura 
o exceso. 
Canonizar (después de canonizar habrá un lado derecho 
negativo que indica infactibilidad)
Iterar (usando algoritmo Simplex Dual) para obtener un 
nuevo óptimo.
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Resumen: AnResumen: Anáálisis de Sensibilidadlisis de Sensibilidad
P. ¿En cuánto se ha de incrementar un coeficiente del objetivo para que una 
actividad no rentable sea rentable?
R. Mirar el coste reducido correspondiente
P. ¿En cuánto aumenta el objetivo si cambiamos el L.D. de una restricción 
en un incremento pequeño?
R. Precio sombra para esa restricción
P. ¿Y si cambiamos un coeficiente en el objetivo en un incremento pequeño?
R. Si el incremento es lo bastante pequeño, la misma solución es óptima.
P. ¿En cuánto puedo cambiar un coeficiente del objetivo sin que la solución 
óptima cambie?
R. Mirar el rango de validez del costo reducido