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Análisis de Sensibilidad, Página 1
METODOS DE OPTIMIZACION
APUNTE Nº 13
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
Cuando se resuelven problemas de programación lineal, la solución obtenida es
para valores particulares de los parámetros asociados al problema, sin embargo,
en la realidad estos parámetros están cambiando continuamente, luego, en
muchos casos es necesario contestar a lo menos una de las siguientes preguntas:
¿Cómo se ve afectada la solución optima si cambia alguna de las condiciones
iniciales del problema?
¿Entre que rango de valores de los parámetros se mantiene la misma base de la
solución optima?
VARIACION DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCION OBJETIVO
Sea C´ = C + δC
C´: es el vector con los nuevos coeficientes de la función objetivo.
∆C : es el vector que indica la cantidad en que varían los Cj
Se sabe que Zj - Cj = CB * Yj - Cj
Yj : es la columna asociada a la variable j en el tableau
En sí:
Zj - Cj = Zj - Cj + ( δCB * Yj - δC)
Sí:
Zj - Cj < 0 implica que la solución no es optima, luego, se deben cambiar
los valores y se continua iterando.
Ejemplo:
MAX Z = 5X1 + 3X2
S/A
3X1 + 5X2 ≤ 15
5X1 + 2X2 ≤ 10
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
Análisis de Sensibilidad, Página 2
El tableau optimo es:
Z 0 0 0.2632 0.8421 12.37
X2 0 1 0.2632 -0.1579 2.368
X1 1 0 -0.1053 0.2632 1.053
 Analice si se incrementa C1 en 2 unidades
Desarrollo: significa un cambio en un coeficiente de la función objetivo, en donde
inicialmente se tiene: 5X1 + 3X2 y ahora es 7X1 + 3X2, sujeto a las mismas
restricciones. Entonces:
δC = (2 0 0 0)
δCB = (0 2)
Con esta información es necesario cambiar todos los valores de la función
objetivo.
Z1´- C1´= 0 + (0 2) *
Z1´- C1´= 0 + (0 2) * ( 01 )
- 2 = 0
Z2´- C2´= 0 + (0 2) * ( 10 )
- 0 = 0
Z3´- C3´= 0.2632 + (0 2) * ( 0.2632-0.1053 )
- 0 = 0.0526
Z4´- C4´= 0.8421 + (0 2) * ( -0.15790.2632 )
- 0 = 1.3685
Z5´- C5´= 12.37 + (0 2) * ( 2.3681.053 )
- 0 = 14.476
Luego, todos los Z´- C´ son mayores o iguales a cero, por lo tanto la nueva
solución es optima.
El nuevo tableau optimo es :
Z 0 0 0.0526 1.3685 14.476
X2 0 1 0.2632 -0.1579 2.368
X1 1 0 -0.1053 0.2632 1.053
Análisis de Sensibilidad, Página 3
 Analice si se incrementa C1 en 4 unidades y C2 disminuye en una unidad
Desarrollo: La función objetivo cambia de 5X1 + 3X2 a 9X1 + 2X2
δC = (4 -1 0 0 )
δCB = (-1 4)
Z1´- C1´= 0 + (-1 4) * ( 01 )
- 4 = 0
Z2´- C2´= 0 + (-1 4) * ( 10 )
- (-1) = 0
Z3´- C3´= 0.2632 + (-1 4) * ( 0.2632-0.1053 )
- 0 = -0.4212
Z4´- C4´= 0.8421 + (-1 4) * ( -0.15790.2632 )
- 0 = 2.0528
Z5´- C5´= 12.37 + (-1 4) * ( 2.3681.053 )
- 0 = 14.213
El nuevo tableau es:
Z 0 0 -0.4212 2.0528 14.213
X2 0 1 0.2632 -0.1579 2.368
X1 1 0 -0.1053 0.2632 1.053
Este tableau no es optimo, por lo tanto es necesario iterar:
Z 0 1.6 0 1.8 18
H1 0 3.8 1 -0.6 9
X1 1 0.4 0 0.2 2
Tarea:
 C1 aumenta en 5 unidades
 C2 aumenta en 1 unidad
 C1 disminuye en 1unidad y C2 aumenta en 3 unidades
Análisis de Sensibilidad, Página 4
VARIACION EN LA DISPONIBILIDAD DE RECURSOS
Sea b´ = b + δb´
XB = XB + B-1 * δb
Ejemplo:
Considerando el mismo ejercicio, se pide incrementar en 10 unidades a b2
B-1 = ( 0.2631-0.1053
-0.1579
0.2632 )
XB = ( 0.2631-0.1053
-0.1579
0.2632 )
δb = ( 010 )
XB = ( 2.3681.053 ) + (
0.2631
-0.1053
-0.1579
0.2631 ) * (
0
10 ) = (
0.789
3.685 )
Z = 20.792
El nuevo tableau es.
Z 0 0 0.2632 0.8421 20.792
X2 0 1 0.2632 -0.1579 0.789
X1 1 0 -0.1053 0.2632 3.685
 b2 se disminuye en 5 unidades y b1 se incrementa en 3 unidades
δb = ( 3-5 )
XB = ( 2.3681.053 ) + (
0.2631
-0.1053
-0.1579
0.2631 ) * (
 3
-5 ) = (
3.9471
-0.5789 )
Z = 8.9468
Análisis de Sensibilidad, Página 5
El nuevo tableau es.
Z 0 0 0.2632 0.8421 8.9468
X2 0 1 0.2632 -0.1579 3.9471
X1 1 0 -0.1053 0.2632 -0.5789
Con este tableau es necesario iterar, obteniéndose:
Z 2.5 0 0 1.5 7.5
X2 -9.5 1 0 0.5 2.5
h1 2.5 0 1 -2.5 5.5
Tarea:
 b2 se aumenta en 7
 b1 se disminuye en 2 unidades
 b2 se disminuye en 1 unidades y b1 se incrementa en 1 unidades
 b2 se disminuye en 3 unidades y b1 se incrementa en 3 unidades y a su vez C1
aumenta en 6 unidades
Análisis de Sensibilidad, Página 6
ADICION DE UNA NUEVA RESTRICCION
Si al terminar el problema, aparece una nueva restricción, la región de soluciones
factibles del problema original puede decrecer o no, nunca podrá crecer, por lo
tanto, la nueva solución optima nunca superara a la solución optima del problema
inicial.
Si se adiciona una nueva restricción al problema, el primer paso que se debe
realizar es ver si la solución optima del problema original satisface la nueva
restricción, si esto ocurre la solución continua siendo optima y el problema esta
resuelto. En el caso contrario, que la solución no satisfaga la nueva restricción, es
necesario agregar esta nueva restricción con su respectiva variable de holgura al
tableau optimo del problema original y eliminar de esta restricción las variables
básicas que estén en la base optima del problema inicial (en otras palabras
canonizar).
Finalizado este proceso la variable de holgura de la restricción adicionada queda
con un valor negativo, luego, se tiene una solución optima no factible, por lo tanto,
es necesario utilizar el método dual simplex para llegar a un optimo factible.
Ejemplo: al mismo problema original, agregar una nueva restricción:
4X1 + 2X2 ≤ 13
reemplazando los valores obtenidos en el tableau final, se tiene:
4 * 1.05 + 2* 2.36 ≤ 13
8.92 ≤ 13
Por lo tanto, no es necesario iterar en el tableau final, ya que la solución optima
obtenida permanece sin modificaciones, pero, para confirmar:
Z 0 0 0.2632 0.8421 0 12.37
X2 0 1 0.2632 -0.1579 0 2.36
X1 1 0 -0.1053 0.2632 0 1.05
h3 4 2 0 0 1 13
Es necesario canonizar:
Z 0 0 0.2632 0.8421 0 12.37
X2 0 1 0.2632 -0.1579 0 2.36
X1 1 0 -0.1053 0.2632 0 1.05
h3 0 2 0.4 -1.04 1 8.8
Análisis de Sensibilidad, Página 7
Z 0 0 0.2632 0.8421 0 12.37
X2 0 1 0.2632 -0.1579 0 2.36
X1 1 0 -0.1053 0.2632 0 1.05
h3 0 1 -0.12 -0.74 1 4.08
 Agregar 12X1 + 9X2 ≤ 30
Reemplazando los valores del tableau final. Se tiene:
12* (1.05) + 9* (2.36) ≤ 30
33.84 ≤ 30 no se cumple, por lo tanto, la nueva región
factible se ve reducida y por ende se modifica la
solución optima.
La solución optima actual no satisface a la nueva restricción, por lo tanto, es
necesario incorporarla:
Z 0 0 0.2632 0.8421 0 12.37
X2 0 1 0.2632 -0.1579 0 2.36
X1 1 0 -0.1053 0.2632 0 1.05
h3 12 9 0 0 1 30
Canonizando:
Z 0 0 0.2632 0.8421 0 12.37
X2 0 1 0.2632 -0.1579 0 2.36
X1 1 0 -0.1053 0.2632 0 1.05
h3 0 0 -0.1 -1.73 1 -3.94
Aplicando dual simplex:
Z 0 0 0 0.43 0.23 11.42
X2 0 1 0 -0.57 0.23 1.42
X1 1 0 0 0.42 -0.09 1.42
H1 0 0 1 1.57 -0.09 3.57
Y aquí tenemos la nueva solución optima y factible.
Tarea:
 b2 se disminuye en 3 unidades, b1 se incrementa en 3 unidades, C1 aumenta
en 6 unidades y se agrega 13 X1 + 10X2 ≤ 33
	VARIACION DE LOS COEFICIENTES DE LA FUNCION OBJETIVO
	VARIACION EN LA DISPONIBILIDAD DE RECURSOS