F_I-PRO-1314-Problemas de vectores

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Curso 2013-14 Dpto. Física Aplicada a la Ingeniería Aeronáutica 
Dpto. Física y Química Aplicadas a la Técnica Aeronáutica 
.
ESCUELA DE INGENIERÍA
AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO
Curso 2013-2014
PROBLEMAS DE FÍSICA I
Septiembre 2013
Curso 2013-14 Dpto. Física Aplicada a la Ingeniería Aeronáutica 
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Capítulo 1
Vectores
PROBLEMA 1.1. Suma de vectores
Se aplican dos fuerzas ~F1 y ~F2, de magnitud 2kN y 3kN , respectivamente, en el punto B
de la viga AB que se muestra en la Figura 1.1. Determinar:
1. La magnitud y la dirección de la fuerza resultante ~R.
2. Los ángulos θ1 y θ2 que forma la resultante con cada una de las fuerzas aplicadas a la
viga.
Figura 1.1:
SOLUCIÓN 1.1.
1. |~R| = 3.304kN , θ = 66.59o (con el eje horizontal)
2. θ1 = 63.41o, θ2 = 36.59o
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3
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Capítulo1: VECTORES 4
PROBLEMA 1.2. Componentes cartesianas de un vector. Cosenos directores
Dadas las fuerzas ~F1 y ~F2, de magnitud 750N y 900N, respectivamente, representadas en la
Figura 1.2, determinar:
1. Sus componentes cartesianas.
2. Los ángulos que forman las fuerzas con los ejes coordenados.
Figura 1.2:
SOLUCIÓN 1.2.
1.− F1x = 390N, F1y = 614N, F1z = 181.8N
F2x = −130.1N, F2y = 816N, F2z = 357
2.− θ1x = 58.7o, θ1y = 35.0o, θ1z = 76.0o
θ2x = 98.3
o, θ2y = 25.0
o, θ2z = 66.6
o
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Capítulo1: VECTORES 5
PROBLEMA 1.3. Módulo de un vector. Versores
Se usan tres cables para amarrar el globo que se muestra en la Figura 1.3. Se pide:
1. Determinar la fuerza vertical P que ejerce el globo en A, si se sabe que la tensión en el
cable AB es TAB = 259N .
2. Determinar la tensión en cada cable si se sabe que el globo ejerce en A una fuerza vertical
P = 800N .
Figura 1.3:
SOLUCIÓN 1.3.
1.− P = 1031N, TAC = 479.15N, TAD = 535.66N
2.− TAB = 201N, TAC = 371.69N, TAD = 416N
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Capítulo1: VECTORES 6
PROBLEMA 1.4. Producto escalar. Ángulo de dos vectores
Una molécula de metano, CH4, está estructurada con los cuatro átomos de hidrógeno si-
tuados en los vértices de un tetraedro regular y el átomo de carbono en el centroide del mismo,
como se muestra en la Figura 1.4. El ángulo de enlace β es el ángulo formado por la combinación
H −C −H; es el ángulo entre las líneas que unen el átomo de carbono a dos de los átomos de
hidrógeno.
Tomando un sistema de referencia en el que los vértices del tetraedro coinciden con los puntos
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) y (1, 1, 1), el centroide del tetraedro se sitúa en el punto (1/2, 1/2, 1/2).
Utilizar este dato para determinar el ángulo β.
Figura 1.4:
SOLUCIÓN 1.4.
β ≈ 109.5o
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Capítulo1: VECTORES 7
PROBLEMA 1.5.
La dirección orientada ~u forma un ángulo α = 60o y un ángulo β = 120o, respectivamente,
con los ejes X e Y de un sistema cartesiano de referencia. Calcular:
1. Dos versores ~w1 y ~w2 perpendiculares a ~u y situados en el plano XY .
2. Las coordenadas de los extremos P1 y P2 de los vectores con origen en el punto A(1, 1, 1),
módulo 4 y direcciones paralelas a ~w1 y ~w2.
SOLUCIÓN 1.5.
1. ~w1 = −~w2 =
√
2
2
(~i+~j)
2. Hay dos puntos P1 y P2, cuyas coordenadas satisfacen las condiciones pedidas:
−−→
OP1 = (1 + 2
√
2)~i+ (1 + 2
√
2)~j + ~k,
−−→
OP2 = (1− 2
√
2)~i+ (1− 2
√
2)~j + ~k
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Capítulo1: VECTORES 8
PROBLEMA 1.6. Sistema de vectores ligados
Dado el sistema de vectores ligados:
~a = 2~i− 4~j + 2~k; A(1,−3, 0)
~b =~i+~j + 3~k; B(3, 2, 2)
calcular:
1. Módulos de ~a y ~b.
2. Ángulo α formado por las direcciones de ~a y ~b.
3. Un vector ~v, perpendicular a ~a, de módulo 3, situado en el plano XY .
4. El vector ~c, paralelo al eje Z, que tiene respectivamente su origen y su extremo en las
rectas de�nidas por ~a y ~b.
SOLUCIÓN 1.6.
1. ~|a| = 2
√
6 ~|b| =
√
11
2. α = arc cos 2√
66
= 75, 7o
3. El vector buscado es: ~v = ±3( 2√
5
, 1√
5
).
4. ~c = −6~k.
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Capítulo1: VECTORES 9
PROBLEMA 1.7. Sistema de vectores ligados
Dado el sistema de vectores ligados:
~r1 =~i+~j − ~k; A(1, 1, 1)
~r2 =~i+ 2~j + ~k; B(0, 1, 0)
hallar:
1. Un vector ~h perpendicular a ~r1 y ~r2 de módulo 5.
2. El vector proyección ~c de ~r1 sobre un vector perpendicular al ~r2 y contenido en el plano
de�nido por ~r1 y ~r2, considerados como vectores libres.
3. Un vector ~v, perpendicular a la bisectriz de las direcciones de ~r1 y ~r2 en el plano de estos.
4. Momento ~MB de ~r1 respecto al punto B.
5. Momento Maxial de ~r1 respecto a un eje que contiene a ~r2.
SOLUCIÓN 1.7.
1. ~h = ± 5√
14
(3~i− 2~j + ~k)
2. ~c = ±1
3
(2~i+~j − 4~k)
3. ~v(λ) = λ√
6
[(
√
2± 1)~i+ (
√
2± 2)~j + (−
√
2± 1)~k], λ ∈ R
4. ~MB = −~i+ 2~j + ~k
5. Maxial = 4√6
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Capítulo1: VECTORES 10
PROBLEMA 1.8. Momento de un vector con respecto a un punto
En el punto A de la placa mostrada en la Figura 1.5 se aplica una fuerza de magnitud
F = 300N . Determínese:
1. El momento ~MD de ~F alrededor de D.
2. La fuerza mínima ~FB que debería aplicarse en B para producir el mismo momento alre-
dedor de D que el calculado en el apartado anterior.
3. La magnitud y el sentido de la fuerza horizontal ~FC en C que produciría el mismo momento
alrededor de D.
4. La fuerza mínima ~Fmin aplicada en C que produciría el mismo momento alrededor de D.
Figura 1.5:
SOLUCIÓN 1.8.
1. ~MD = 41.7~k (N.m)
2. ~FB = 147.4(cos 45~i+ sen 45~j) (N)
3. ~FC = 333.6~i (N)
4. ~Fmin = 176.8(sen 32~i+ cos 32~j) (N)
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Capítulo1: VECTORES 11
PROBLEMA 1.9. Momento de un vector con respecto a un eje
Para levantar una caja pesada un hombre usa un sistema de poleas llamado polipasto, el
cual sujeta a la parte inferior de una viga I mediante un gancho en B, como se muestra en la
Figura 1.6. Determínese la distancia a allí representada:
1. Si se sabe que los momentos respecto a los ejes Y y Z de la fuerza
−→
T BA ejercida en B
por el tramo AB de la cuerda, valen 120N.m y −460N.m, respectivamente.
2. Si se sabe que el hombre aplica una fuerza de 195N al extremo A de la cuerda y que el
momento de esa fuerza alrededor del eje Y es de 132N.m.
Figura 1.6:
SOLUCIÓN 1.9.
1. a = 1.252m
2. a = 1.256m
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Capítulo1: VECTORES 12
PROBLEMA 1.10. Par de fuerzas
Dos fuerzas paralelas de 60N se aplican sobre la palanca que se muestra en la Figura1.7.
Determínese el momento del par formado por las dos fuerzas:
1. Sumando los momentos de los dos pares que se generan al descomponer cada una de las
fuerzas en sus componentes horizontal y vertical.
2. Empleando la distancia perpendicular entre las dos fuerzas.
3. Calculando la suma de los momentos de las dos fuerzas alrededor de A.
Figura 1.7:
SOLUCIÓN 1.10.
1. ~M = −12.39~k
2. ~M = −12.39~k
3. ~M = −12.39~k
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Capítulo1: VECTORES 13
PROBLEMA 1.11.Representación de funciones vectoriales
Determinar el tipo de curvas de�nidas por las funciones vectoriales siguientes:
1. ~r(t) = sen t~i+ 2 cos t~j
2. ~r(t) = t~i+ cos 2t~j + sen 2t~k
3. ~r(t) = sen t~i+ 3~j + cos t~k
4. ~r(t) = sen t~i+ sen t~j +
√
2 cos t~k
SOLUCIÓN 1.11.
1. Elipse.
2. Hélice.
3. Circunferencia.
4. Circunferencia.
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Capítulo1: VECTORES 14
PROBLEMA 1.12. Longitud y arco de una curva
Considérense las curvas dadas por las funciones vectoriales:
1. ~r1(t) =
√
2t~i+ et~j + e−t~k 0 ≤ t ≤ 1
2. ~r2(t) = t2~i+ ln t~j + 2t~k 1 ≤ t ≤ e
Determinar para cada una de ellas:
1. La longitud L.
2. La función s(t) que de�ne el arco en función del parámetro t.
SOLUCIÓN 1.12.
1. L1 = e− e−1
L2 = e
2
2. s1(t) = et − e−t
s2(t) = ln t+ t
2 − 1
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Capítulo1: VECTORES 15
PROBLEMA 1.13.
Supóngase que en un cierto instante un avión se encuentra en el punto P (0, 3, 0) de un cierto
sistema cartesiano de referencia y se mueve 3π
√
5 unidades de longitud a lo largo de la curva
representada por la función vectorial:
~r(t) = 3 sen 2πt~i+ 3 cos 2πt~j + 3πt~k
en la dirección positiva. ¾Cuál es el vector de posición del avión en la nueva posición?
SOLUCIÓN 1.13.
~r = 3~j + 3π~k
♣