MeC-PRO-1314-5 Ejercicios estÃtica resueltos

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Caṕıtulo 5
Estática
Ejercicio 5.1: Una partı́cula pesada de masam está unida al origen de coordenadas por un
muelle ideal de longitud natural nula y constantek. Determinar las posiciones de equilibrio.
Ejercicio 5.2: Una partı́cula pesada de masam se mueve por una esfera lisa con ligadura
bilateral. Determinar las posiciones de equilibrio. Determinar las zonas de equilibrio si la esfera
es rugosa de coeficienteµ.
Ejercicio 5.3: Una partı́cula pesada de masam se mueve por un aro vertical liso de radio
r. Determinar las posiciones de equilibrio tomando como coordenada generalizada el ángulo
θ desde el punto más bajo. Determinar las zonas de equilibriosi entre aro y partı́cula existe
rozamiento de coeficienteµ.
Ejercicio 5.4: Una partı́cula se mueve sobre un plano rugoso de coeficienteµ inclinado un
ánguloα respecto a la horizontal. Sea el ejeOx normal al plano hacia arriba y elOx la lı́nea
de máxima pendiente hacia abajo. La partı́cula está unidaal origen mediante un muelle de
constantek y longitud natural nula. Determinar las posiciones de equilibrio.
Ejercicio 5.5: Repetir el ejercicio anterior con un muelle de longitud natural a.
Ejercicio 5.6: En el plano vertical disponemos de una curvaC
lisa por la que puede deslizar una partı́cula material de peso P. La
partı́cula está unida a un hilo que pasa por una pequeña polea para
suspender por el otro extremo otra partı́cula de pesoQ. Se pide:
1. Averiguar cuál ha de ser la curvaC para que los dos puntos
se mantengan en equilibrio para todas las posiciones.
2. Discutir la naturaleza deC según los valores relativos deP y
Q.
Ejercicio 5.7: Una partı́cula material de pesoP puede moverse
sobre una parábola de eje vertical de parámetrop y con una conca-
vidad dirigida hacia arriba.
El punto es además repelido por el foco de la parábola con una
fuerzaF = hr2 proporcional al cuadrado de la distancia. Hallar las
posiciones de equilibrio de la partı́cula y estudiar su estabilidad.
Ejercicio 5.8: Un punto material pesadoM de masamestá obligado a moverse sin rozamiento
sobre la hélice de ecuaciones
x= Rcosθ y= Rsinθ z= R
θ
2π
en donde el ejezes vertical y ascendente.
97
98 CAṔITULO 5. ESTÁTICA
Sobre el puntoM actúa, además de su peso, una fuerza repulsiva de la forma
F =
mg
R
AM
siendoA el punto de coordenadas(R,0,0). Se pide:
1. Determinar las posiciones de equilibrio situadas en la zona 0≤ z≤ R.
2. Calcular la reacción normal de la curva en la posición deequilibrio del puntoM definida
por θ = 2π .
Ejercicio 5.9: Una grúa de masaM se apoya sobre una base de longi-
tud 2a. Su centro de gravedad está en la vertical del centro de la base.
La pluma mideb> a desde la vertical del centro. Analizar el sistema de
fuerzas de ligadura sobre la base. Calcular la máxima cargaque puede
levantar sin que vuelque.
Ejercicio 5.10: Una varilla pesada de longituda y masam está unida al origen mediante un
cojinete ideal que le permite girar alrededor deOy manteniéndose siempre dentro del plano
Oxz, dondeOzes vertical ascendente. Dicho plano gira alrededor deOzcon velocidad angular
ω constante. Seaθ el ángulo que la varilla forma con el eje vertical. Determinar todas las
posiciones de equilibrio relativo al plano y su estabilidad.
Ejercicio 5.11: Un cilindro de masaM, radioR y alturaH se apoya por su base en un plano
horizontal rugoso. Se arrolla una cuerda al cilindro, y se tira con fuerzaF, horizontal y tangente
a la superficie del cilindro. El plano tiene un coeficiente de rozamiento al deslizamientoµ, y al
pivotamientoε. Calcular el valor deε para que, al aumentarF, empiece a deslizar y a pivotar a
la vez.
EIAE, noviembre 2011
Ejercicio 5.12: Una partı́cula se mueve sobre el ejeOx sometida a una fuerza~F(x,v, t) =
[
x2+(2t−1)x−v
]
~i, dondex es la posición,v la velocidad yt el tiempo (con unidades tales
que la expresión sea dimensionalmente correcta). Calcular las posiciones de equilibrio de la
partı́cula.
EIAE, noviembre 2011
Por definición, una posición es de equilibrio si, dejando la partı́cula en reposo (v= 0), perma-
nece en reposo∀t. Por tanto,
~F(x,0, t) =
[
x2+(2t−1)x−0
]
~i) =~0 ∀t → x= 0
Esta ecuación no tiene más solución quex= 0, pues el resultado no puede depender det, y por
tanto ese término tiene que desaparecer.
Ejercicio 5.13: Una partı́cula pesada de masamse encuentra ensartada en un alambre. El coe-
ficiente de rozamiento estático entre partı́cula y alambreesµ > 0. Supongamos que el alambre
está contenido en un plano verticalXZ, y que su forma se ajusta a la parábolaz= z(x), siendo
z la altura respecto a un plano horizontal de referencia. Calcular cuál es la posición en la que se
puede colocar la partı́cula sobre el alambre a una distanciamáxima del ejeZ.
EIAE, julio 2012
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
99
En una posición de equilibrio arbitraria, el peso está compensado por la
reacción según la normal a la curva y el rozamiento, segúnla tangente.
En todo punto, la tangente a la curva viene dada por tanα = z′(x). Del
equilibrio se deduceRN = z
′. Como en una parábolaz′ crece conx, la dis-
tancia mayor corresponde a la derivada mayor, y por tanto al rozamiento
mayor posible, que es el de deslizamiento inminente:
xmáx → z′máx=
Rmáx
N
=
µN
N
= µ
α
mg
R
N
α
tanα = z′
Esto vale para la rama ascendente. La posición simétrica en la rama descendente se halla
con−z′máx. Ası́, si la ecuación de la parábola esz= ax2+bx+c, la distancia máxima será
z′ = 2ax+b= µ → xmáx=
µ −b
2a
−z′ =−2ax−b= µ → xmáx=−
µ +b
2a
Ejercicio 5.14: Una placa de masam1 apoyada sobre el suelo soporta un bloque homogéneo
de masam2 sobre el que se aplica una fuerzaF horizontal. El contacto entre la placa y el
suelo es liso, mientras que el coeficiente de rozamiento est´atico entre la placa y el bloque es
µ. Determinar la aceleración máxima con la que se puede desplazar el conjunto placa-bloque
manteniéndose unidos.
EIAE, octubre 2012
Ejercicio 5.15: La masa de un avión es de 200 toneladas y suponemos que su pesoestá sopor-
tado por igual por cada una de las 10 ruedas del tren de aterrizaje que tienen 1 m de radio. Si
el coeficiente de resistencia a la rodadura esδd = 2,5 cm y consideramos un valor deg = 10
m/s2, determinar la fuerzaF necesaria para hacer rodar el avión hacia la pista de despegue:
EIAE, enero 2013
Ejercicio 5.16: Una partı́cula de masam se coloca sobre un plano horizontal rugoso de coefi-
ciente de rozamientoµ. Está unida al origen con un muelle de longitud natural nulay constante
k. En el instante inicial se deja en reposo en el punto(x,y,0). Calcular la fuerza de rozamiento
en ese instante.
EIAE, enero 2013
Hay que considerar si la fuerza del muelleFm = −k(xi +yj) es menor o mayor que el roza-
miento estático máximo,µ mg:
|Fm|< µ mg: No desliza, equilibrio,Fr =−Fm =+k(xi +yj)
|Fm|= µ mg: Deslizamiento inminente,Fr =−Fm =+k(xi +yj) = +µ mg xi+yj√
x2+y2
|Fm| > µ mg: La partı́cula comienza a deslizar, y un instante después habrı́a que usar
la expresión de Coulomb con deslizamiento, con suµdin y opuesto a la velocidad; pero
exactamente en este momento, en que todavı́a no tiene velocidad, la fuerza de rozamiento
es la misma del caso anterior.
a
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
100 CAṔITULO 5. ESTÁTICA
Ejercicio 5.17: Repetir el ejercicio anterior para el caso en que se deje con velocidad(ẋ, ẏ,0).
Se considerará que el coeficiente de rozamiento dinámico es igual al estático.
En este caso la respuesta en inmediata: se aplica el modelo deCoulomb-Morin con desliza-
miento:
Fr =−µ mg
ẋi +yj
√
ẋ2+ ẏ2
Ejercicio 5.18: Considérese una escalera de mano apoyada sobre la pared. Semodela como
una varilla contenida en el planoOxz. El apoyo sobreOx (horizontal) y sobreOz (vertical) es
rugoso con coeficiente de rozamientoµ. Analizar el número de ecuaciones y de incógnitas, y
determinar si el problema es isostático o hiperestático.
Ejercicio 5.19: Una persona de pesoP se sube a una escalera de
mano apoyada sobre la pared. Seconsidera la escalera como una
varilla de longitudL y masa despreciable, apoyada sobre los ejes
Ox y Oz como se indica en la figura.Oz es vertical ascendente.
Supondremos que el coeficiente de rozamiento en los dos apoyos
es el mismo,f . Seaα el ángulo que forma con la horizontal, yl la
distancia que ha subido la persona desde el punto más bajo. ¿Hasta
dónde puede subir sin que resbale la escalera?
J.P. Den Hartog,Mechanics,Dover 1961,§20. x
z
A
B
α
P
l
x
z
A
B
α
P
NA
RA
NB
RB
l
En los apoyosA y B habrá reacciones normales y fuerzas de ro-
zamiento, con el sentido que se indica en la figura (el rozamiento,
opuesto al movimiento que va a comenzar). Con cuatro incógni-
tas de ligadura y tres ecuaciones, el problema es hiperestático en
general:
ΣFx : NB−RA = 0
ΣFz : NA+RB−P= 0
ΣMA :−Pl cosα +NBLsinα +RBLcosα = 0
Como problema general de equilibrio, no se puede resolver: tenemos cuatro incógnitas de
fuerzas de ligadura, y tres ecuaciones. Y el modelo de Coulomb, para el caso de equilibrio, no
da el valor del rozamiento:|RA| ≤ f |NA| solo indica el máximo antes de que deslice.
En cambio, si se especifica el momento de deslizamiento inminente, el modelo de Coulomb-
Morin da el valor exacto:RA = f NA, RB = f NB. El signo también está determinado: se opone
al movimiento que está a a punto de comenzar. Cuando la varilla desliza, el extremo B baja y el
A avanza en el sentido positivo del ejeOx, luego los rozamientos tienen el sentido de la figura.
Podemos escribir:
ΣFx : NB− f NA = 0
ΣFz : NA+ f NB−P= 0
ΣMA :−Pl cosα +NBLsinα + f NBLcosα = 0
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
101
α
l
L
0 π
2
1
f=0.
25
f=0
.50
f=0
.75f
=1
.00f=
1.2
5
DespejandoNB de la primera y sustituyendo en la segunda se
tiene
NA =
P
1+ f 2
NB =
f P
1+ f 2
Sustituyendo en la tercera se llega a
s
L
=
f
1+ f 2
( f + tanα)
Para el caso de inminencia de deslizamiento, las tres ecuaciones de equilibrio y las dos con-
diciones de Coulomb determinan las cuatro fuerzas de ligadura y una relación entre parámetros:
podemos dejar a la persona en el mismo puntol y variar el ángulo hasta que deslice, o dejarα
constante y que la persona suba hasta que se caiga, o probar diversos valores def . Es interesante
ver que no depende del peso de la persona, pues cuanto más pese mayores serán las normales y
los rozamientos. Por ejemplo, conα = 45o y f = 1, se puede subir hasta el final de la escalera;
en cambio, conf = 0,5 solo se llega al 60%.
Otro problema que se puede presentar es que se haya pasado el lı́mite de deslizamiento,
el sistema empiece a moverse y aparecen aceleraciones. En ese caso el sistema es también
isostático. Tenemos cinco incógnitas (cuatro de fuerzasde ligadura, yα(t) y sus derivadas).
Y cinco ecuaciones: dos condiciones de deslizamiento de Coulomb-Morin y tres ecuaciones
del movimiento. En el equilibrio e inminencia de movimientotenı́amos ecuaciones algebraicas;
ahora serı́an ecuaciones diferenciales enα̈(t) y α(t).
Problema 5.1: Un punto de pesoP puede moverse sobre el
helicoide
x= u cosv y= u sinv z= av
en el queOzes la vertical ascendente.
El punto está sometido a su propio peso y a una repulsión del
ejeOzde valor
F =
Pλ r2
a
√
a2+ r2
siendor la distancia que separa al punto de dicho eje.
Si entre el punto y la superficie existe un rozamiento de coefi-
ciente f = 1/
√
2, se pide:
1. Zonas de equilibrio en el caso en queλ = 0.
2. Zonas de equilibrio siλ =
√
3/8.
Problema 5.2: Una partı́cula de pesoP puede moverse sobre una
superficie esférica de radioa a la que puede abandonar por su cara
interna.
La partı́cula es repelida por el punto más bajo de la esfera con una
fuerza proporcional a la distanciaF = hr. Se pide:
1. En la ausencia de rozamiento, averiguar las posiciones de
equilibrio de la partı́cula estudiando su estabilidad y dis-
cutiendo el problema según los valores del parámetroλ =
ha/P.
2. Si entre la partı́cula y la superficie existe un rozamientode
coeficientef , discutir todas las posiciones de equilibrio exis-
tentes según los valores relativos deλ y f .
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
102 CAṔITULO 5. ESTÁTICA
Problema 5.3: Una partı́culaP, de masam y sin peso, se mueve sobre la curva lisa de ecua-
cionesx2+y2 = a2, z= 0.
Otra partı́culaQ, de la misma masa y también sin peso, se mueve por la recta rugosa de
ecuacionesx= 0, z= a. El coeficiente de rozamiento entre la partı́culaQ y la recta esµ.
Como coordenadas generalizadas se tomarán la coordenaday deQ y el ánguloθ entreOxy
OP.
Las dos partı́culas están unidas por un muelle de constantek y longitud natural nula.
Se pide:
Todas las configuraciones de equilibrio conµ = 0 (1/3)
Todas las posiciones y/o zonas de equilibrio conµ > 0 (2/3)
Para cada solución, además de dar los valores habrá que hacer un diagrama con las posicio-
nes de equilibrio y, de forma aproximada, las zonas de equilibrio.
Problema 5.4: Se dispone de una varillaAB homogénea y pesada de masam y longitud 3R2
cuyo extremoA está obligado a moverse sin rozamiento sobre una circunferencia fija de radio
R, como se indica en la figura. El conjunto está contenido en unplano vertical.
El ejeOx repele a todas y cada una de las partı́culas de la varillaAB con una fuerza propor-
cional al producto de la masa de cada partı́cula por la distancia que la separa de dicho eje siendo
la constante de proporcionalidad 2g/3R. Se pide:
1. Resultante y momento resultante de las fuerzas di-
rectamente aplicadas a la varilla respecto al punto
A.
2. Plantear las ecuaciones que determinan las posicio-
nes de equilibrio y la reacción ena mediante las
ecuaciones generales de equilibrio.
3. Calcular la reacción enA para las posiciones de
equilibrio en que la varillaAB no está alineada con
el ejeOy.
Problema 5.5: Consideremos un taburete formado por un disco de radioa y tres patas soldadas
en su superficie en tres puntos que forman un triángulo equilátero. Seaλa la distancia a la que
se encuentra el centro de gravedad del taburete del plano quepasa por los extremos de sus patas.
El taburete ası́ constituido se sitúa sobre un plano inclinado un ánguloα sobre la horizontal.
De las tres patas solamente una presenta un coeficiente de rozamientof con el plano. Las otras
dos son lisas.
Llamemosϕ el ángulo que forma con la lı́nea de máxima pendiente del plano el radio que
va a la pata rugosa. Se pide:
1. Valores deϕ correspondientes a las posiciones de
equilibrio del taburete sobre el plano.
2. Partiendo de una posición de equilibrio se va au-
mentando el ánguloα hasta que el equilibrio se
rompe por el vuelco o por deslizamiento. Discutir
cuál de estas dos circunstancias se presenta prime-
ro. Determinar el valor deα para el que se presenta
y estudiar la influencia que puede tener el valor de
λ . Repetir el análisis para todas las posiciones de
equilibrio.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
103
Problema 5.6: El sistema material de la figura, contenido en un plano horizontal, está cons-
tituido por dos varillas iguales de longituda articuladas por su extremo en un punto fijoA del
plano, por un muelle de longitud natural cero y constante de rigidezk, que une los extremosB
y C de las varillas, y por un disco homogéneo de radioa/4 y masaM, que se sitúa entre las dos
varillas como se indica en la figura.
El punto fijo A atrae a todos y cada uno de los elementos diferenciales de masa del dis-
co proporcionalmente al producto de la masa del elemento porla distancia. La constante de
proporcionalidad es igual a 4k/m.
Se tomará como parámetro para definir la posición del sistema el ánguloϕ de la figura. Se
pide:
1. Valores deϕ correspondientes a las posiciones de equilibrio
del taburete sobre el plano.
2. Partiendo de una posición de equilibrio se va aumentandoel
ánguloα hasta que el equilibrio se rompe por el vuelco o
por deslizamiento. Discutir cuál de estas dos circunstancias
se presenta primero. Determinar el valor deα para el que se
presenta y estudiar la influencia que puede tener elvalor de
λ . Repetir el análisis para todas las posiciones de equilibrio.
Problema 5.7: Dos semidiscos iguales y homogéneos de radioR y masam se unen entre
sı́ como se indica en la figura; los vérticesA mediante una articulación, y los vérticesB y C
mediante un muelle de longitud natural nula y constante de rigidezk = mg/3πR. El conjunto
está contenido en un plano vertical, apoyado sobre el ejeOx, y sometido al peso.
Suponiendo que entre los semidiscos y el ejeOxno hay rozamiento:
1. Plantear las ecuaciones de equilibrio.
2. Determinar todas las posiciones de equilibrio.
3. Reacción enA para dichas posiciones.
Si entre los semidiscos y el ejeOx existe un coeficiente
de rozamientof ,
4. Plantear las ecuaciones de equilibrio.
5. Estudiar cómo varı́an las posiciones de equilibrio al variar f .
Nota: Considérense solamente las posiciones 0≤ ϕ ≤ 0.
Problema 5.8: El sistema de la figura, contenido en
el plano horizontalOxy, está formado por un aro de
radioR y centroO, y un disco de radioR/2 y centro
C. El aro está articulado en el puntoO y su masam
está concentrada en un puntoA del mismo. La masa
del disco, de valor 6m, se concentra uniformemente
en el diámetroBD del mismo. Ambos sólidos están
siempre en contacto con ligadura bilateral y entre sus
superficies existe un rozamiento de coeficientef .
Sobre las masas del sistema actúa una atracción del ejeOx proporcional a la masa y a la
distancia al mismo, siendok la constante de proporcionalidad.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
104 CAṔITULO 5. ESTÁTICA
Para fijar la posición del sistema se utilizan las siguientes coordenadas generalizadas: i)α,
ángulo entreOA y el ejeOx; ii) β , ángulo entreOC y el ejeOx; iii) γ, ángulo entre el diámetro
BD y OC.
Se pide:
1. Determinar en función de las coordenadas generalizadas, para una posición genérica, la
expresión de la resultante y del momento respecto aC del sistema de fuerzas de atracción
que actúan sobre el disco.
2. Plantear las ecuaciones e inecuaciones necesarias que permitan obtener las posiciones de
equilibrio del sistema.
3. Determinar el rango de valores deβ para los que existe equilibrio. Determinar las posi-
ciones de equilibrio.
4. Para el caso particularf = 0, obtener las ecuaciones de equilibrio.
5. Obtener las posiciones de equilibrio correspondientes al apartado anterior.
6. Repetir los dos apartados anteriores para el caso en quef sea infinito.
Problema 5.9: El dispositivo de la figura es un modelo muy simplificado de losreguladores
centrı́fugos usados en transmisiones continuas de ciclomotores y camiones. La fuerza centrı́fuga
del giroω alrededor deOy tira del contrapesoAB, de modo que el extremoD vence la fuerza
del muelle y empuja el plato cónico de la polea contra el otroplato. Ası́ varı́a la distancia al eje
de la correa y la relación de transmisión.
Se estudiará como un problema de estática: el equilibrio del contrapesoDCABen su plano,
sometido únicamente a la fuerza centrı́fuga, a la del muelle y a las ligaduras. El contrapeso se
modela como un sólido plano formado por dos varillas,AB (de longituda y masaM) y CD
(de longitudb y masa despreciable), rı́gidamente unidas formando un único sólido en forma
de L y articuladas en el origenO por el extremoC. La articulación es lisa y permite el giro
en el planoOxy. Cada elemento de masa deAB experimenta una fuerzaδFc = δmω2xi. El
extremoD empuja la polea y sufre la fuerzaFm del muelle de constantek y longitud natural
nula, siempre paralelo al ejeOy. Para simplificar, se desprecian todas las demás fuerzas (pesos,
rozamientos, otras fuerzas que la polea pueda transmitir aD, etc.). Se consideran dos diseños
para el contrapeso:DCAB (caso a) yCDAB (caso b). La configuración del sistema viene dada
por el ánguloθ de la figura. Para el estudio del equilibrio,ω se considerará como un parámetro
constante. Se pide:
1. Para el caso (a), reducir al origen el sistema de fuerzas distribuidas sobre la varillaAB
2. Obtener todas las configuraciones de equilibrio del sólidoDCABen función deω
3. Para el caso (b), reducir al origen el sistema de fuerzas distribuidas sobreAB
4. Obtener la configuración de equilibrio del sólidoCDAB, en la forma tan2θ = f (ω)
5. A la vista de los resultados, razonar cuál de los dos dise˜nos es más apropiado para un
regulador que permita aproximar los platos de la polea al crecerω.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
105
θ
k
δFc
Fm
x
y
O
A
B
C D
(a)
θ
k
δFc
Fm
x
y
O
A
B
C
D
(b)
ETSIA, septiembre 2004
1 Calcularemos la resultante y momento enO de las fuerzas distribuidas. Para integrar toma-
remos una variablesa lo largo de la varillaAB. Un elemento de masa seráδm= dsM/a, y la x
serássinθ :
Fm
D
θ
δFc
x
y
s
O
A
B
b Fc =
∫
δmxω2 i = ω2 sinθ
M
a
∫ a
0
sdsi Fc =
Maω2
2
sinθ i
δMcO = r ∧δFc = ω2
M
a
ds
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
ssinθ −scosθ 0
ssinθ 0 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
= ω2
M
a
sinθ cosθ s2dsk ⇒ McO =
Ma2ω2
3
sinθ cosθ k
2 Como el único grado de libertad del sólidoABCD es el giro alrededor del origen, sólo
necesitamos el equilibrio de momentos enO: el de la fuerza centrı́fuga y el del muelle. Hay que
calcular este último:
Fm =−kbsinθ j ; CD = b(cosθ ,sinθ ,0) ⇒ MmO =−kb2sinθ cosθ k
ΣMz=
(
Ma2ω2
3
−kb2
)
sinθ cosθ = 0 ⇒



cosθ = 0 → θ = π2
sinθ = 0 → θ = 0
ω2 = 3kb
2
Ma2
→ ∀θ
3 El caso (b) se resuelve como el anterior, perox ey son distintas:
Fc =
∫
δmxω2 i = ω2
M
a
∫ a
0
(bcosθ +ssinθ)dsi Fc = Mω2
(
bcosθ +
a
2
sinθ
)
i
θ
δFc
y
sO
b δMcO = r ∧δFc = ω2
M
a
ds
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
bcosθ +ssinθ bsinθ −scosθ 0
bcosθ +ssinθ 0 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
=−ω2M
a
[(
b2−s2
)
sinθ cosθ +bs
(
sin2 θ −cos2θ
)]
dsk ⇒
McO = ω
2 M
[(
a2
3
−b2
)
sinθ cosθ +
ba
2
(
cos2θ −sin2 θ
)
]
k
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
106 CAṔITULO 5. ESTÁTICA
4 Para el caso (b), el equilibrio de momentos enO da:
Mz= ω2M
[(
a2
3
−b2
)
sinθ cosθ +
ba
2
(
cos2 θ −sin2θ
)
]
−kb2sinθ cosθ =
= sinθ cosθ
︸ ︷︷ ︸
sin2θ/2
[
Mω2
(
a2/3−b2
)
−kb2
]
+
(
cos2 θ −sin2θ
)
︸ ︷︷ ︸
cos2θ
Mω2ba/2= 0 ⇒
⇒ tan2θ = Mω
2ba
kb2−Mω2(a2/3−b2)
5 El primer diseño no sirve como regulador: estarı́a siempreen marcha corta (θ = 0, separa-
ción máxima) o larga (θ = π/2, mı́nima), excepto al pasar por unas revoluciones determinadas,
en que puede tener cualquier relación y saltar de pronto de un extremo a otro.
El segundo diseño, en cambio, presenta una relación creciente conω, que permite ir aumen-
tando la relación de transmisión al crecer las revoluciones.
Problema 5.10: Se tiene un sistema plano formado por un discopesadode radioR y masa
m apoyado enB sobre una pared vertical. Su centroC está suspendido del puntoA de la pared
mediante una varillasin masa, con articulaciones lisas enA y C. La longitud de la varilla es tal
que forma un ánguloβ con la pared cuando el disco está en contacto. Entre el discoy la pared
hay rozamiento de coeficienteµ.
Además del peso, sobre el disco actúa una fuerza conocidaF , aplicada en la periferia y tan-
gente a la circunferencia formando un ánguloα con la horizontal (podrı́a hacerse, por ejemplo,
tirando de un hilo arrollado al disco). Se aplica por debajo del centro (caso a) o por encima
(caso b). Inicialmente la fuerza es pequeña, y el sistema está obviamente en equilibrio. Luego
se va aumentandoF hasta que el disco empiece a girar o se levante. Se pide:
1. Aislando la varilla, determinar ladirección de la reacciónT que transmite al disco enC.
2. Para el caso a), se pide:
a) Plantear las ecuaciones de equilibrio del disco. Las ecuaciones serán más sencillas
si se escoge bien el punto en que se toman momentos.
b) SeaN la reacción normal de la pared enB y R la fuerza de rozamiento; obtenerlas
junto conT en función de los datos del problema.
c) Obtener el valor deF necesario para que el disco se separe de la pared, en función
de los demás datos del problema.
d) Obtener el valor deF necesario para que el disco empiece a girar. Comprobar que
siempregira antes de separarse.
3. Repetir los pasos anteriores para el caso b) (téngase cuidado con el sentido deR).
4. Comparando los resultados, razonar si es más fácil hacerlo girar desde arriba o desde
abajo.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
107
A
B C
(a)
β
α
F
A
B C
(b)
β α
F
ETSIA, septiembre 2005
1 Sobre el disco actúan tres fuerzas de ligadura con cuatro incógnitas:N, R y
TC. Como el equilibrio del disco sólo proporciona tres ecuaciones, hay que aislar
la varilla para obtener otro dato sobreTC. Podrı́a ser una de sus componentes o,
como se pide en el enunciado, su dirección.
El equilibrio de momentos enA implica queAC ∧TC = 0, es decir, la reacción
enC tiene que ser paralela a la varilla:TC ‖ AC.
TA
TC
2 a) Aislando el disco, tenemos tres ecuaciones de equilibrio; además,
tenemos la inecuación del rozamiento enB. Todas las fuerzas pasan por
C menosF y R; por tanto, si tomamos momento enC ya tendremos
despejada una de las incógnitas.
Fx : N+F cosα −T sinβ = 0
Fz : R+F sinα +T cosβ −mg= 0
MC : a (F −R) = 0
Roz: |R| ≤ µ |N|
T
N
R
C
β
α
F
mg
2 b) De la ecuación del momento sacamos directamente R= F
Sustituyendo en la segunda tenemos T = [mg−F (1+sinα)]/cosβ
Y conT, de la primera se obtiene: N = tanβ [mg−F (1+sinα +cosα cotβ )]
2 c) Supongamos que se separa antes de girar. La ligadura es unilateral; N sólo puede ser
positiva. Se separarı́a a partir del momento en que laN se haga cero: N = 0 ⇒ Fsep≥
mg
1+sinα+cosα cotβ
Pero la misma condiciónN = 0 ya dice que la hipótesis es falsa. Como|R| ≤ µ |N| = 0, no
hay rozamiento que equilibre el momento deF, y el disco estarı́a ya girando antes de alcanzar
ese valor deF.
Si todavı́a interesara saber el valor deF de separación, habrı́a que sustituirR= 0 en las
ecuaciones, con lo que se obtiene N = 0, R= 0 ⇒ Fsep≥
mg
sinα +cosα cotβ
Y es que el valor deN del apartado anterior, en que se ha usadoR= F, sólo valemientras
haya equilibrio. Si la F supera el valor máximo de laR (cuando empieza a girar), lo que hay
que usar en las ecuaciones esR= µN, que conduce a la segunda expresión deFsep. La primera
es inexacta para saber cuándo se separa, pero sigue siendo ´util para compararla con la de giro,
porque también demuestra que la hipótesis original es falsa. En realidad corresponderı́a al caso
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
108 CAṔITULO 5. ESTÁTICA
de rozamiento infinito, en que el disco no gira aunque laN sea nula.
2 d) Supongamos ahora que no se separa antes de girar. El momento de F está equilibrado
sólo por el del rozamiento. Habrá equilibrio mientras seamenor o igual que el máximo según
la ley de Coulomb. El valor lı́mite lo obtenemos tomando el signo igual en la inecuación del
rozamiento. ComoN y R son positivos, podemos quitar los módulos y sustituir los valores ya
calculados:
F = R= µ N = µ tanβ [mg−F (1+sinα +cosα cotβ )]
F [1+µ tanβ (1+sinα +cosα cotβ )] = µ tanβ mg
Frot ≥
mg
cotβ
µ +(1+sinα +cosα cotβ )
Comoµ, α y β según se ve en las figuras son positivos, el denominador deFrot es mayor que
el deFsep, y los numeradores iguales. Por tanto, siempre gira antes desepararse: Frot < Fsep
Y esto se cumple para los dos valores deFsep, el real y el que habrı́a siµ fuera infinito.
3 Repetimos estas operaciones para el caso (b). Como laR equilibra a laF, la colocaremos
hacia abajo para que salga positiva. Ası́ no hay luego problemas con el módulo.
Fx : N+F cosα −T sinβ = 0
Fz : −R−F sinα +T cosβ −mg= 0
MC : a (−F +R) = 0
Roz: |R| ≤ µ |N|
T
N
R
C
β
α
F
mg
R= F T = [mg+F (1+sinα)]/cosβ N = tanβ [mg+F (1+sinα −cosα cotβ )]
Para calcular laF de separación, como en el caso anterior, hacemosN = 0,R= 0
en las ecuaciones de equilibrio, con lo que se obtieneFsep=
mg
cosα cotβ−sinα . Como
la F es positiva (tiramos, no empujamos), sólo habrá separación sicosα cotβ >
sinα, es decir, cotβ > tanα. En el caso lı́mite, los ángulos son complementarios,
y la lı́nea de acción deF es paralela a la varilla. Siα es menor, se desprende. Si
es mayor, laF saldrı́a negativa, por lo que no se desprende por mucho que setire.



∀α < π/2−β , N = 0, R= 0 ⇒ Fsep=
mg
cosα cotβ −sinα
∀α > π/2−β , N > 0 ∀ F ⇒ 6 ∃ Fsep
Para la comparación, también nos servirı́a el valor calculado sin hacer cero laR, Fsep=
mg
cosα cotβ−1−sinα , pues se trata sólo de demostrar que la hipótesis de separación sin giro es falsa.
Si el ánguloα es lo suficientemente pequeño para que se pueda desprender,
F = R= µ N = µ tanβ [mg+F (1+sinα −cosα cotβ )]
F [1+µ tanβ (−1−sinα +cosα cotβ )] = µ tanβ mg
Frot =
mg
cotβ
µ +cosα cotβ −1−sinα
Comparándola con la de la hipótesis de que no gira antes de separarse, o simplemente recor-
dando que la separación implicaR= 0, concluimos que, como antes, siempre gira antes de
desprenderse: Frot < Fsep
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
109
Si el ánguloα es lo suficientemente grande como para que no pueda haber desprendi-
miento, el comportamiento de la rotación se complica. En eldenominador deFrot , el término
cosα cotβ − sinα es negativo. Cuando el rozamiento es pequeño, el término cotβ/µ es su-
ficientemente grande para que el denominador sea positivo. Existe entonces un valor deF a
partir del cual el disco gira. Pero al aumentarµ, se llega acotβµ +cosα cotβ −sinα = 0, con lo
que harı́a falta una fuerza infinita para hacerlo girar. Con rozamientos mayores, ya no gira por
mucho que se tire: al tirar apretamos el disco contra la pared, aumentaN, y también aumentaR.
4 Comparando los resultados de la rotación, se observa que siempreF(a)rot < F
(b)
rot . El denomi-
nador es mayor, y laF menor. Por tanto, a igualα, siempre es ḿas fácil hacerlo girar tirando
desde abajo. Además, desde abajo siempre se puede hacer girar, mientras que desde arriba hay
valores de los ángulos y del rozamiento en que no gira nunca.
Pero el comportamiento más complejo cuando se tira desde arriba también tiene interés
para algunas aplicaciones. Supóngase que se quiere desenrrollar una cierta longitud de hilo o
de otro material frágil arrollado en el disco. Se puede empezar tirando desde arriba con ángulo
α pequeño, con lo que gira con facilidad, y hasta se desprende, con lo que gira más rápido.
Cuando se ha soltado la longitud deseada, se tira con un ángulo mayor, de modo que no sea ya
posible el deslizamiento. El disco queda fijo, y se puede tirar hasta que se rompa el hilo, dejando
en nuestras manos la porción buscada.
Problema 5.11: Se tiene una placa cuadrada de ladoa y masam. Uno de sus lados se apoya
sin rozamiento sobre el plano horizontal lisoOx1y1. Sobre la placa actúan las fuerzas:
Peso
Muelle de constantek y longitud natural nula ente el punto fijoA(0,0,a) y el B, punto
medio del lado opuesto al apoyado.
Repulsión del origen sobre cada elemento de masa, proporcional a la masa y a la distancia,
δ~F = δmω2~r.
La configuración viene dada por las coordenadasξ ,η del punto medioC del lado que se apoya;
el ánguloθ del plano de la placa con el horizontalOx1y1; y el ánguloψ de la normal al lado
apoyadoCx0 con el ejeOx1. Se pide:
1. Analizar el sistema de reacciones distribuidas sobre el lado con apoyo liso: determinar el
número de incógnitas y escoger un sistema equivalente para representarlo.
2. Hallar la resultante de la repulsión y comprobar que su momento en el centro de masasG
de la placa es nulo.
3. Expresar la fuerza del muelle,CB y CG en función de las coordenadas generalizadas.
4. Plantear las ecuaciones de equilibrio de fuerzas.
5. De estas ecuaciones obtener una relación entre tanψ y η,ξ y otra entre la distanciaOC y
θ .
6. Interpretar geométricamente la relación entreψ y las coordenadas deC. Se compro-
bará que las soluciones tienen simetrı́a de revolución y que el resto del problema se puede
resolver con la simplificaciónη = ψ = 0.
7. Plantear con esta simplificación la ecuación de equilibrio de momentos enC. Se ob-
tendrá una relación entreξ y θ que, con la segunda de (5), determina la configuraciónde equilibrio. Comprobar que la componente segúnOz1 da la misma información que la
primera de (5).
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
110 CAṔITULO 5. ESTÁTICA
A
O
B
C
x0
y0ψ
θ
δ~F
η
ξ
x1
y1
z1
ETSIA, febrero 2005
① En cada punto del apoyo liso habrá una fuerza elemental en ladirección de la normal común
(que no está definida en la placa pero sı́ en el plano). No podemos hallar la distribución, sino
su resultante (Nk1) y momento (Mx i0), o algún sistema equivalente; en todo caso, serán dos
incógnitas. Corresponden a los dos grados de libertad que quita la ligadura: desplazamiento
vertical y giro alrededor deCx0.
n
N(y) N1
N2
N
Mx Ny
② La resultante es trivial:Fr =
∫
δFr = ω2
∫
rδm= Fr = ω2mrG
Para hallar el momento enG, hacemosr = rG+ r ′; de este modo:
δM rG = r
′∧δmω2
(
rG+✓✓r ′
)
⇒ M rG =
(
✚
✚
✚
✚∫
r ′δm
)
∧ω2rG = 0
Otro modo de obtenerlo es reducir el sistema de fuerzas distribuidas al origen: como todas pa-
san porO, el momento es nulo. El momento enG seráM rG =✚
✚✚M rO−✘✘✘✘rG∧Fr = 0
③ Estos vectores se necesitarán para plantear las ecuaciones:
CB = a(−cosθ cosψ,−cosθ sinψ,sinθ) CG = 1
2
CB
Fm =−kAB =−k (AC+CB) =−k



ξ −acosθ cosψ
η −acosθ sinψ
−a+asinθ



④ La ecuación de equilibrio de fuerzas da:
Fr +Fm−mgk1+Nk1 = 0
mω2



ξ −a/2cosθ cosψ
η −a/2cosθ sinψ
a/2sinθ



−k



ξ −acosθ cosψ
η −acosθ sinψ
−a+asinθ



+



0
0
−mg



+



0
0
N



=



0
0
0



EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
111
⑤ Podemos trabajar con las dos primeras, porque no aparece ninguna ligadura. Agrupando las
coordenadas,
ξ
(
mω2−k
)
= acosθ cosψ
(
mω2/2−k
)
η
(
mω2−k
)
= acosθ sinψ
(
mω2/2−k
)



⇒
tanψ =
η
ξ
ξ 2+η2 = a2
(
mω2/2−k
)2
(mω2−k)2
cos2θ
⑥ El ejeCx0 tiene que pasar por el origen; ası́ la
repulsión y la fuerza del muelle están en el mis-
mo plano vertical que contiene aO; si no lo
estuvieran, habrı́a un momento segúnOz1 que
harı́a girar la placa.
De este modo, la configuración geométrica y
de fuerzas tiene simetrı́a de revolución alrede-
dor del ejeOz1; siempre que se cumpla la re-
lación anterior, el ánguloψ es arbitrario. Pode-
mos pues tomar el caso más sencillo.
⑦ Equilibrio de momentos, con las simplificaciones anteriores:
CG∧ (Fr −mgk1)+CB∧Fm+M i0 = 0
−ka



0
ξ sinθ −acosθ
0



+
a
2



0
−mgcosθ
0



+mω2a



0
ξ sinθ
0



+



M
0
0



=



0
0
0



ξ sinθ
(
mω2−k
)
+cosθ (ka−mg/2) = 0
La componentex da el momento de ligadura; lay, junto con la otra de⑤, determina las posi-
ciones de equilibrioξ y θ ; la z no dice nada, porque da la misma información que la de tanψ,
que ya está contada.
Problema 5.12: Un sistema plano está forma-
do por dos discos homogéneos de radioR, de
masa despreciable, y una barra de pesoP y lon-
gitud λR. Cada disco está unido a un extremo
de la barra con una articulación lisa. El sistema
está apoyado sobre una recta rugosa (ejeOx1)
que forma un ánguloα con la horizontal. El
coeficiente de rozamiento entre los discos y la
recta esf . El disco más bajo① está frenado,
es decir, la barra ejerce un momentoM sobre
el disco, que será el necesario para que no gi-
re. El otro disco puede girar libremente. Para la
configuración de equilibrio, se pide:
α
x1
y1
①
②
N1
N2R1
R2
1. La reacción normal sobre el primer disco,N1.
2. Fuerza de rozamiento sobre el primer discoR1.
3. Reacción normal sobre el segundo discoN2.
4. Rozamiento sobre el segundo discoR2.
5. Momento de frenoM.
6. Valor deα para que el conjunto vuelque.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
112 CAṔITULO 5. ESTÁTICA
7. Valor deα para que empiece a deslizar.
8. Valor del coeficiente de rozamientof para que las dos condiciones coincidan
Planteamos las ecuaciones de equilibrio del sistema completo, proyectadas en ejesS1:
R1+R2−Psinα = 0
N1+N2−Pcosα = 0
N2λR−Pcosα
λR
2
+Psinα R= 0
Para la tercera se ha tomado momentos en el punto de contacto del disco①. De la de momentos
de obtieneN2, y sustituyendo en la de fuerzas segúnOy1 saleN1:
N2 = P
(
cosα
2
− sinα
λ
)
N1 = P
(
cosα
2
+
sinα
λ
)
El sistema carga más sobre el disco más bajo; cuanto mayor seaλ (sistema más bajo), menor
será la diferencia. Para obtener los rozamientos, necesitamos otra ecuación. Lo más sencillo es
aislar el disco②, que puede girar libremente, y tomar momentos en el centro:
R2R= 0 → R2 = 0 → R1 = Psinα
Como es lógico, sólo el disco frenado aguanta al sistema. El otro puede girar libremente y no
resiste nada.
Para calcular el momento de freno, aislamos el disco y planteamos equilibrio de momentos
en el centro:
M+R1R= 0 → M =−RPsinα
donde el sentido positivo es el que sale del papel,k1.
La inminencia de vuelco se produce cuando todo el peso está aplicado en la rueda más baja,
es decir,
N2 = 0 → tanα =
λ
2
Naturalmente, cuanto más achatado sea el sistema (λ grande), mayor será el ángulo que aguanta
sin volcar.
La condición de deslizamiento se aplica solo al disco①,
P|sinα|= µ P
∣
∣
∣
∣
cosα
2
+
sinα
λ
∣
∣
∣
∣
→ tanα = 1
2
µλ
λ −µ
donde se han ignorado los módulos porque los dos miembros tienen que ser positivos; además,
el problema solo tiene sentido paraα en el primer cuadrante.
Se plantea la dificultad del casoλ < µ, es decir, mucho rozamiento y vehı́culo alto. Eso
quiere decir que siempre vuelca antes de deslizar, y no hay ningún ángulo (en el primer cua-
drante) en el que se produzcan a la vez.
Una cuestión interesante es resolver el mismo problema frenando la rueda más alta en vez
de la baja. En ese caso, como la normal es menor, el rozamientodisponible es también menor,
y se produce siempre el deslizamiento (µ N2 < Psinα) antes del vuelco (N2 = 0). Eso explica
que en coches económicos se coloquen los mejores frenos (disco) delante, y los peores (tambor)
detrás. La inercia hace el efecto delPsinα de este problema, y carga más las ruedas delanteras.
Problema 5.13: Un regulador centrı́fugo se puede modelar de modo simplificado mediante
varillas articuladas en un plano giratorio. Sea una varillaABde masamy longituda, unida a un
punto fijoA del eje verticalOzmediante un cojinete que le permite únicamente el giroθ dentro
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
113
del planoOxz. Otra varilla igualBC está también contenida en el plano, articulada enB a la otra
varilla, y su otro extremoC puede deslizar libremente por el ejeOz. Todos los enlaces son lisos.
El planoOxzgira alrededor del ejeOzcon velocidad angularω, por lo que cada elemento de
masaδm de las varillas experimenta, además del peso, una fuerza centrı́fugaδF = δmω2 xi.
Se estudiará el equilibrio respecto a los ejesOxz.
Se tomará como coordenada el ánguloθ de la figura, que forma la va-
rilla AB con Oz. Habrı́a otras dos varillas simétricas para completar el
regulador, pero no se tendrán en cuenta en este problema. Seconside-
rará como un problema plano, pues todos los movimientos se desarro-
llan dentro deOxz. Se pide:
1. Aislar la varillaAB y analizar el sistema de fuerzas que actúa
sobre ella, discutiendo especialmente las de ligadura.
2. Calcular el momento resultante de las fuerzas centrı́fugas sobre la
varilla AB enA.
3. Plantear las ecuaciones de equilibrio de las dos varillaspor sepa-
rado. Razonar los puntos más adecuados para tomar momentos
en cada varilla. Razonar si habrı́a sido más útil plantearlas ecua-
ciones del sistema completo en vez de aislar una de las varillas.
4. Obtener todas las posiciones de equilibrio, especificando si algu-
na existe solo para determinados valores de los parámetros.
5. Calcular el potencial de las fuerzas que actúan sobre el sistema
y obtener la misma ecuación de equilibrio de antes derivando el
potencial.
z
xO
θ
A
C
B
EIAE, noviembre 2011
1 Sobre la varillaABactúan:
Fuerzas de ligadura:
• El cojinete enA permite solo el giroθ , por lo que aparecen dos
fuerzas(XA,0,ZA) (Si trabajamosen 3 dimensiones, habrı́a que
considerar una componente de fuerza normal al plano y dos de
momento contenidas en el plano; pero al considerar el problema
plano solo hay que incluir las dos mencionadas).
• Por el mismo motivo, dos fuerzas enB: (XB,0,ZB).
Fuerzas directamente aplicadas: el peso aplicado en el centro y la re-
pulsión distribuida, que se reduce a una resultante (trivial: ω2MxG) y
un momento enA.
ZA
XA
ZB
XB
R
P
2 Para integrar el momento, tomamos una partı́culaM situada a una dis-
tancias de A. Su masa elemental seráδm = ma ds. Su distanciax al eje
serássinθ , y la distancia vertical aA scosθ . La fuerza elemental sobreM
será:
δF = ω2xδmi = ω2ssinθ
m
a
dsi
Y su momento elemental enA:
ssinθ
s
co
sθ
s
b M δF
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
114 CAṔITULO 5. ESTÁTICA
δM rA = AM ∧δF =
mω2
a
ds
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k
ssinθ 0 −scosθ
ssinθ 0 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=−mω
2
a
dss2cosθ sinθ j
Integramos para toda la varilla:
MA =
∫
δM rA =−
mω2
a
cosθ sinθ
a3/3
︷ ︸︸ ︷∫ a
0
s2dsj =−mω
2a2
3
cosθ sinθ j
3 Al aislar la varillaCD, aparecen:
Peso y repulsión, como en laAB, con sus momentos. El de la repulsión
en C no es necesario calcularlo: obviamente es el mismo que enA,
cambiado de signo.
Fuerzas de ligadura enB, que serán las mismas que actúan sobre laAB
cambiadas de signo (acción-reacción).
EnC, se permite el giro y el desplazamiento vertical; habrá unafuerza
(XC,0,0) en la dirección de movimiento impedida.
Quedará un sistema con seis ecuaciones y seis incógnitas (el ánguloθ y las
cinco fuerzas de ligadura). En cuanto a los momentos:
AB: da lo mismo tomar momentos enA que enB: siempre intervienen
dos incógnitas de ligadura. Y el momento de la repulsión enA ya se
conoce. No interesa tomarlos en el centro, aparecerán las cuatro.
BC: si se toman momentos enB solo aparece laXC; si se toman en
C aparecen las dos deB. Pero el momento de la repulsión enC ya
está calculado, y si en la otra varilla se toma momento enA interesa
que aparezcan también las reacciones deB.
ZA
XA
ZB
XB
R
P
XC
−ZB
−XB
R P
AB
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 XA+XB+mω2 asinθ2 = 0
2 ZA+ZB−mg= 0
3 −XBacosθ −ZBasinθ − mω
2a2
3 sinθ cosθ +mg
asinθ
2 = 0
BC
∣
∣
∣
∣
∣
∣
4 XC−XB+mω2 asinθ2 = 0
5 −ZB−mg= 0
6 −XBacosθ +ZBasinθ + mω
2a2
3 sinθ cosθ +mg
asinθ
2 = 0
Las ecuaciones del sistema completo tienen tres incógnitas de ligadura (las deA y C), como
las de la varillaBC. Puede ser un poco más ventajoso tomar las de la varillaBCy las del sistema
completo, pero no se gana mucho. Las que se han escogido son muy adecuadas si solo se buscan
las posiciones de equilibrio, como se verá a continuación.
4 Para obtener las posiciones de equilibrio, vamos despejando las fuerzas de ligadura. La
más sencilla es la ecuación (5), que da directamente:ZB = −mg. Obsérvese que en las dos
ecuaciones de momento aparecenXB y ZB: conocida la segunda, no hay más que eliminar la
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
115
primera y se tiene una ecuación que da directamente el ángulo de equilibrio:
(3)− (6)≡−2ZBasinθ −2
mω2a2
3
sinθ cosθ = 0
ZB =−mg → 2mgasinθ −2
mω2a2
3
sinθ cosθ = 0
sinθ
(
g− ω
2a
3
cosθ
)
= 0 ⇒
{
θ = 0,π
θ = cos−1 3gaω2 si ω
2 ≥ 3ga
5 La fuerza de repulsión deriva de un potencial elemental conocido:
δF = ω2xδmi =−∇δV =−∇
(
−1
2
ω2x2δm
)
El de la otra varilla será el mismo. Integramos para toda la varilla con la misma variable,
δV =−1
2
ω2s2sin2 θ
m
a
ds → VAB=−
mω2a2
6
sin2 θ =VBC
El momento del peso es trivial, y lazA puede ignorarse por ser constante:
VP = mz
G
AB+mz
G
BC = m
(
✓✓z
A− a
2
cosθ
)
+m
(
✓✓z
A−acosθ − a
2
cosθ
)
=−2mgacosθ
Finalmente, el potencial completo vale
V =−mω
2a2
3
sin2 θ −2mgacosθ
y la ecuación de equilibrio
dV
dθ
=−2mω
2a2
3
sinθ cosθ +2mgasinθ = 2masinθ
(
−ω
2a
3
cosθ +g
)
= 0
Se obtiene la misma ecuación que antes.
Problema 5.14: Se dispone de una placa pesada ABCD cuadrada de masaM y de ladoa que
se halla en reposo formando un ánguloθ dado con el plano horizontal. Sobre dicha placa actúa
una fuerza repulsiva producida por el plano horizontal. Esta fuerza es proporcional al producto
de la masa de cada elemento de masa por la distancia que lo separa del plano horizontal:d~F =
krδmz~k, siendokr la constante de proporcionalidad desconocida.
Los apoyos situados en A y B le permiten el giro li-
bre alrededor de la lı́nea que los une. En A existe un
cojinete oscilante que no soporta carga axial ni mo-
mentos, mientras que en B se ha colocado una rótula.
Encima de la placa se sitúa otra placa pesada de di-
mensiones despreciables y de masam, sin que sobre
ella actúe la fuerza repulsiva. Su posición viene dada
por las coordenadas (ξ , η) del punto central.
El contacto entre ambas placas es real, con un coefi-
ciente de rozamiento suficiente para impedir el des-
lizamiento. Se pide:
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
116 CAṔITULO 5. ESTÁTICA
1. Aislar el sistema completo e indicar cuántas y cuáles son las incógnitas de ligadura. (XA,
YA,ZA,XB,YB,ZB son las componentes de la fuerza de ligadura en los puntos A y B, respec-
tivamente, según las direcciones de los ejes de la figura).
2. Calcular el sistema equivalente de las fuerzas repulsivas en el punto O situado en la mitad
del lado AB.
3. Plantear la ecuación de equilibrio de momentos de todo elsistema según el eje AB y
calcular el valor de la constante de repulsiónkr para la configuración de equilibrio dada.
4. Calcular las reacciones en la rótula B planteando las ecuaciones de equilibrio sobre el
sistema completo.
5. Calcular el valor del coeficiente de rozamiento mı́nimo que existe entre ambas placas para
garantizar que no exista deslizamiento.
EIAE, octubre 2012
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica