MeC-PRO-1314-Problemas Mecanica clÃsica enunciados

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Problemas y ejercicios de Mecánica Cĺasica
Propuestos por los profesores de la asignatura
Escuela de Ingenierı́a Aerońautica y del Espacio
Universidad Polit́ecnica de Madrid
3 de septiembre de 2012
II
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
Índice general
1. Cinemática del Śolido: Actitud 1
2. Cinemática del śolido: Campo de velocidades 3
3. Composicíon de movimientos 7
3.1. Composición de movimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 7
3.2. Movimiento plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18
4. Ecuaciones generales 21
5. Est́atica 23
6. Movimiento rectil ı́neo 31
6.1. CasoF(ẋ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2. CasoF(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.3. Oscilador armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 32
7. Movimiento del punto libre 35
7.1. Partı́cula libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 35
7.2. Movimientos centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 37
7.3. Dinámica orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 39
8. Punto sometido a ligaduras 43
8.1. Punto sobre superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 43
8.2. Punto sobre curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46
9. Dinámica relativa 49
10. Exámenes: Dińamica del Punto 53
10.1. Exámenes recientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 53
10.2. Exámenes más antiguos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 59
11. Dinámica del śolido 63
11.1. Geometrı́a de Masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 63
11.2. Cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65
11.3. Dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
11.4. Exámenes recientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 72
III
IV ÍNDICE GENERAL
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
Caṕıtulo 1
Cinemática del Śolido: Actitud
Ejercicio 1.1: SeanOx2y2z2 los ejes ligados a un sólido. En el instante inicial coinciden con
los fijosOx1y1z1. Se gira el sólidoπ4 alrededor de su ejeOz2, y luego otra vez
π
4 alrededor de
Ox2.
Obtener la matriz de giro proyectando directamente los vectores unitarios.
Obtenerla mediante la composición de los dos giros.
Comprobar que es ortogonal, multiplicándola por su transpuesta.
Ejercicio 1.2: SeanOx2y2z2 los ejes ligados a un sólido. En el instante inicial coinciden con
los fijosOx1y1z1.
Se gira el sólido 90o alrededor de su ejeOx2 y a continuación otros 90o alrededor de su
ejeOy2, en la nueva posición. Obtener la posición de los vectoresunitarios del sólido.
Con el sólido en la posición original, se dan los mismos giros pero en orden inverso:
primero alrededor deOy2 y luego deOx2. Obtener la matriz de giro, y comprobar que no
coincide con la anterior.
Ejercicio 1.3: Una placa rectangularS2 puede mo-
verse sobre un plano fijoS1 manteniendo un lado
en contacto con el plano. Como coordenadas se to-
marán el ánguloϕ que forma ese lado con el eje
O1x1, y el θ que forma el plano de la placa con el
plano fijoO1x1y1.
Calcular el tensor de giro de los ejesOx2y2z2 ligados
a la placa (ver figura) en función deϕ y θ .
x1
y1
z1
ϕ
O1
x0 ≡ x2
y0
z0
θ
y2z2
O
Ejercicio 1.4: Una placa planaS2, a la que se fija
un sistema de referenciaOx2y2z2, está siempre apo-
yada en un plano móvilO1x0y0. Este plano puede gi-
rar respecto a unos ejes fijos alrededor el eje común
O1y1. Se tomarán como coordenadas el ánguloφ en-
treO1x1 y O1x0, el ánguloθ entreOx2 y O1x0, y las
coordenadas(ξ ,η,0) deO en ejesS0.
Obtener la matriz de giro de los ejesS2 ligados
a la placa respecto a los ejes fijos.
SeaM un punto arbitrario de la placa, de coor-
denadas(a,b,0) en ejesS2. Obtener sus coor-
denadas en ejes fijos.
x1
y1 ≡ y0
z1
φ
O1
x0
z0
η
ξ
O
x2
y2
z2
θ
1
2 CAṔITULO 1. CINEMÁTICA DEL SÓLIDO: ACTITUD
Ejercicio 1.5: El detector de estrellas (star tracker) es un ins-
trumento para determinar la actitud de un satélite. Identifica
estrellas de dirección conocida en ejes fijos (catálogo deestre-
llas), y determina su dirección en ejes sólido.
Un detector ha identificado dos estrellasA y B, de dirección
θ1, φ1 y θ2, φ2 en ejes sólidoS2. Esas estrellas tienen direc-
cionesθ ′1, φ
′
1 y θ
′
2, φ
′
2 en ejes fijosS1. θ y φ son coordenadas
esféricas (longitud y latitud o, en astronomı́a, ascensi´on recta
y declinación).
Plantear un sistema de ecuaciones del que se pueda ob-
tener la matriz de giro del satélite.
Razonar si las condiciones son suficientes o redundan-
tes. ¿Bastarı́a con detectar una estrella?
x1
y1
z1
O1
⋆
A
φ
θ
Ejercicio 1.6: Desde un aviónA (sistema asociadoS2) se detecta otroB, y se quiere transmitir
su posición a un terceroC (sistema asociadoS3). Por sus sistemas de navegación y control de
actitud, cada avión conoce su vector posición y su matriz de giro respecto a unos ejes fijosS1.
A conoce el vector posiciónABen sus propios ejesS2. ¿Qué operaciones tiene que realizar
para transmitirle aC el vectorO1B en ejes fijos?
Con lo que recibe deA, ¿Qué operaciones tiene que realizarC para conocerCB en sus
propios ejesS3?
Ejercicio 1.7: Seak0 el vector unitario segúnOzde unos ejes ligados a un sólido. Se conocen
sus componentes en ejes fijosS1, [a,b,c]⊤. Determinar el ángulo de nutaciónθ del sólido.
Ejercicio 1.8: Seak0 el vector unitario segúnOzde unos ejes ligados a un sólido. Se conocen
sus componentes en ejes fijosS1, [a,b,c]⊤. Determinar el ángulo de precesiónψ del sólido.
Ejercicio 1.9: Se conocen los versoresi0 y k0 de un sólido me-
diante sus componentes en ejes fijos,[a,b,c]⊤ y [d,e, f ]⊤. Usando
los ángulos clásicos de Euler, razonar un algoritmo que, mediante
productos vectoriales y escalares, permita obtener, en este orden:
El ángulo de nutaciónθ
El eje de nodos
El ángulo de precesiónψ
El ángulo de rotación propiaφ
x1
z1
x0
y0
z0 ≡ z3
φ
θ
E. N.
ψ
Ejercicio 1.10: En el ejercicio anterior, razonar cómo se puede modificar elalgoritmo —
cuando sea necesario— para asignar sin ambigüedades el cuadrante de cada ángulo.
Ejercicio 1.11: De un avión se conoce el versor según el eje longitudinal,i0, mediante sus
componentes en ejes fijosS1, [a,b,c]⊤. Determinar el ángulo de asientoθ (pitch) del avión. Se
usan los ángulos de Tait-Bryan.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
Caṕıtulo 2
Cinemática del śolido: Campo de
velocidades
Ejercicio 2.1: Un sólido se mueve respecto a un sistema de referenciaOxyz. En un instante
dado, la velocidad de puntoA de coordenadas(a,0,0) esv0 j , la deB(0,a,0) esv0(j +k), y la
deC(0,0,a) esv0(i + j +k). Hallar,en ese instante,la velocidad de mı́nimo deslizamiento, el
eje instantáneo de rotación y la velocidad angular.
Ejercicio 2.2: En un instante dado, los puntosA(a,0,0), B(0,a,0) y C(0,0,a) tienen, respec-
tivamente, las velocidades~vA = (vx,aω,−aω),~vB = (0,aω,vz) y~vC = (aω,aω,0). Determinar
vx y vz para que los tres puntos puedan pertenecer a un sólido. En este caso, determinar su
velocidad angular y eje instantáneo de rotación en ese momento.
Ejercicio 2.3: Un sólido 0 se mueve de modo que:
~̇i0 = ω~j0−ω~k0 ~̇j0 =−ω~i0+ω~k0 ~̇k0 = ω~i0−ω~j0
Calcular el vector velocidad angular, proyectado en ejes s´olido.
Ejercicio 2.4: La varillaABse encuentra unida por jun-
tas de rótula a los collaresA y B que se desplazan a lo
largo de las dos varillas que se indican en la figura. Sa-
biendo que el collarA se mueve hacia el origen de coor-
denadas con una velocidad constante de 25 cm/s, calcular
la velocidad de collarB y su aceleración.
Ejercicio 2.5: En la figura se muestra un cubo cuyas aristas tienen de longitudL. En la posición
representada en la figura se conocen las velocidadeslineales de sus vérticesA, B y C, siendo:
vA =−vi −vj +vk
vB =−vi +2vk
vC = 2vk
Determinar en ese instante:
1. Velocidad angular
2. Ecuación vectorial del E.I.R.M.D.
3
4 CAṔITULO 2. CINEMÁTICA DEL SÓLIDO: CAMPO DE VELOCIDADES
Problema 2.1: En un instante un helicópte-
ro avanza horizontalmente con una velocidad
constanteV. El eje rotor del helicóptero está in-
clinado un ánguloθ sobre la vertical hacia ade-
lante y contenido en el planoOYZ. La velocidad
angular del rotor esω constante.Hallar en ese
instante:
1. Los elementos del movimiento helicoidal tangente del rotor.
2. Definir las axoides del rotor.
3. Particularizar los resultados anteriores para los valores:V = 300 KM/h,θ = 30o, ω = 100
r.p.m.
Problema 2.2: Un cilindro de radioR rueda, pivota y desliza so-
bre un cono vertical, fijo, de radioR y semiángulo en el vértice
30o. El movimiento es tal que en todo momento se mantienen en
contacto las generatrices de ambos sólidos. La base inferior del ci-
lindro rueda y pivota sin deslizar sobre la del cono. El planoque
contiene a los dos ejes y la generatriz de contacto gira alrededor
del eje del cono con velocidad angular constanteω.
1. Hallar los parámetros del movimiento helicoidal tangente del cilindro: E.I.R.M.D., velo-
cidad de mı́nimo deslizamiento y velocidad angular.
2. Hallar las axoides del movimiento del cilindro.
3. Hallar la aceleración angular del cilindro.
Problema 2.3: Un sólidoSse mueve de tal forma que dos de sus puntosA y B, separados por
una distanciaa, recorren respectivamente los ejesOxy Oyde un sistema de referencia ortogonal
fijo Oxyz. Además un planoπ deSque pasa porAB ha de pasar en todo momento por el punto
C(0,0,a/2) del ejeOz. Se pide:
1. Hallar el eje instantáneo de rotación y deslizamiento en el instante inicial, cuandoA
está en(a,0,0) y B en (0,0,0).
2. Obtener la velocidad angular y la posición del E.I.R. en función del ánguloθ que forman
AB y Oxy sus derivadas.
Los ejes ligados al sólido se tomarán de modo que en el instante inicial coincidan con los fijos.
Problema 2.4: El sistema de referenciaOxyz(sólido 0)
se mueve respecto al sistemaO1x1y1z1 (sólido 1) de modo
que en todo instante: i) el puntoO está en el ejeO1y1;
ii) el eje Ox pasa por el punto fijoA del sistema 1 de
coordenadasx1 = a, y1 = z1 = 0; iii) el ángulo entre el
ejeOyy el planoO1x1y1 es igual an ángulo entre los ejes
O1x1 y Ox. Llamemosθ a este último ángulo tal como
aparece en la figura. Se pide: i) Determinar en función de
θ y θ̇ los vectores~vO01 y ω01, ii) Determinar las axoides
del movimiento 0/1.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
5
Problema 2.5: La figura representa esquemáticamente
una junta Cardan para transmitir una rotación de un árbol
e1 a otroe2 que forma un ánguloα con él y con el que
es concurrente. Determinar el coeficiente de transmisión
ω/Ω en función deα y el ánguloϕ que forma el brazo
AB de la cruz Cardan con una lı́nea de referencia fijazz′
perpendicular a los ejese1 y e2.
Problema 2.6: Un discoD de radioa se mueve respecto a un sistema de referenciaO1x1y1z1
permaneciendo tangente en todo momento a los planosO1x1y1 y O1x1z1. La velocidad de rota-
ción del disco tiene componentes iguales según el ejeO1x1 y la normal al plano que lo contiene.
La velocidad del punto que está en contacto conO1x1y1 no tiene componente segúnO1x1.
Hallar las axoides de este movimiento.
Problema 2.7: Un cono circular recto, cuya base tiene
un radioR, y cuya altura esh, se mueve con relación a un
sistema de referencia permaneciendo siempre tangente a
un planoπ del mismo.
El movimiento del cono viene definido en cada instante
por su velocidad de rodadura~ω y la velocidad de desliza-
miento correspondiente a la partı́culaM que es~vD, ya que
se considera nula la velocidad de pivotamiento del mismo
(~vD es perpendicular a~ω).
Se pide calcular:
1. a) Velocidades del vérticeP y del centroQ de la base del cono.
b) Posición del eje instantáneo de rotación del movimiento
2. En el supuesto de que tanto~ω como~vD tengan módulo constante al variar el tiempo.
a) Axoides de este movimiento.
b) Valor de la aceleración angular de este movimiento.
c) Aceleración del vérticeP y centroQ de la base del cono.
d) Puntos de aceleración nula.
3. Suponiendo que|~ω|= a · t y |~vD|= b · t repetir los cálculos del apartado 2).
NOTA: se entiende aquı́ por “velocidad de deslizamiento” nola velocidad de mı́nimo desli-
zamiento del sólido, sino la de un punto del cono en contactocon el plano, respecto al mismo
plano. Velocidad de pivotamiento es la componente de la velocidad angular normal al plano de
contacto.
Problema 2.8: Un discoD de radioa rueda y pivota sin
deslizar sobre el planoO1x1y1 de un sistema de referencia
ortogonal, manteniéndose constantemente perpendicular
a dicho plano.
SeaC la curva del planoO1x1y1 descrita por el punto de
contacto yϕ el ángulo que la tangente a la misma forma
conO1x1. Definamos el sistema de ejes móvilesOxyzin-
dicado en la figura y tales que el ejeOyes el eje del disco,
Ozes paralelo aO1z1 y el triedroOxyzsea a derechas.
Finalmente, llamemosp,q, r a las componentes en los ejesOxyzde la velocidad de rotación
del disco respecto a triedro de referenciaO1x1y1z1.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
6 CAṔITULO 2. CINEMÁTICA DEL SÓLIDO: CAMPO DE VELOCIDADES
El movimiento se realiza de tal manera que en todo momento se verifica la relación
q= 4r cosϕ (2.1)
Si tomamos el origen de arcosC en el puntoO1 en el que además se supone queϕ = 0, se pide:
1. Obtener a partir de (2.1) la ecuación intrı́nsecas= s(ϕ) de la curvaC.
2. Obtener las ecuaciones paramétricasx1 = x1(ϕ), y1 = y1(ϕ) de la curvaC. Dibujarla e
identificarla.En todo lo que sigue se supondrá quer = ω =constante.
3. Velocidad de rotación~Ω del disco.
4. Eje instantáneo.
5. Axoides del movimiento.
6. Valor ded~Ω/dt.
7. Aceleración del punto del disco que está en contacto conO1x1y1.
Problema 2.9: Se tiene una escuadra formada por dos varillasDM y DN unidas enD formando
ángulo recto. El vérticeD de la escuadra recorre con velocidad constanteaω/
√
2 una circunfe-
rencia de radioa/
√
2, contenida en el plano fijoOx1y1, y de centro el el punto de coordenadas
(a/
√
2,0,0). La varilla DM desliza por el punto fijoA(0,0,−a
√
2) y la DN por B(a
√
2,0,0).
En el instante inicialD pasa por el origenO. Del movimiento de la escuadra respecto a los ejes
fijos se pide, en función del tiempo:
1. Velocidad de los puntos que en cada momento están pasandoporA y B.
2. Velocidad angular
3. Aceleración angular
4. Axoide fija
5. Aceleración de los puntos que están pasando porA y B
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
Caṕıtulo 3
Composicíon de movimientos
3.1. Composicíon de movimientos
Además de los problemas y ejercicios de este capı́tulo, es conveniente resolver los del an-
terior con las técnicas de composición de movimientos, y comparar las ventajas de uno u otro
camino.
Ejercicio 3.1.1: Un disco de radior (sólido 2) rueda sin deslizar por el interior de una circun-
ferencia fija de radio 2r y centroO (Sólido 1). El ejeOx0 del sistema intermedio 0 contiene en
todo momento al centro del discoC. En un instante genérico, se pide:
Velocidades angulares relativa y absoluta.
Aceleración del punto de contactoI por composi-
ción de movimientos.
Aceleración deI mediante el campo de aceleracio-
nes del sólido 2.
Razonar los pasos que habrı́a que dar para calcular
la aceleración deI derivando su vector posición.
Se trabajará en ejes 0, dejando los resultados en función
de las derivadas del ánguloθ que formanOx1 y Ox0.
C
I
x1
x0
O
θ
Ejercicio 3.1.2: SeaS1 un sistema de referencia con origen en el Sol y direcciones fijas en el
espacio; el ejeSz1 es normal a la órbita de la Tierra. SeaS0 un sistema con origen en el Sol, eje
Sz0 ≡ Sz1, y el ejeSx0 pasa siempre por el centro de la Tierra. Finalmente, seaS2 un sistema de
referencia unido a la Tierra, con origen en su centro. Se llama dı́a solar al periodode rotación de
la Tierra respecto al radio vector desde el SolSx0. Se llama dı́a sidéreo a su periodo de rotación
respecto a los ejes de direcciones fijas.
Se supondrá, para simplificar, que el eje de ro-
tación absoluta de la Tierraω21 (Eje de polos)
es paralelo aSz1. Se supondrá también que la
órbita de la Tierra es circular y se recorre con
velocidad uniforme. Inicialmente coincidenS1
y S0. Sabiendo que el periodo de la órbita (año)
vale aproximadamente 365,25 dı́as y que el dı́a
solar dura 24 horas, calcular la duración del dı́a
sidéreo. x1
y1
z1 ≡ z0
x0
y0
ω21
7
8 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS
Ejercicio 3.1.3: Se repetirá el ejercicio ante-
rior, pero teniendo en cuenta la inclinación del
eje polar: la dirección de la velocidad angular
absoluta de la Tierraω21 es paralela al plano
Sx1z1 y forma un ánguloθ = 23,45o conSz1, en
la dirección negativa deSx1. Comparar la dura-
ción del dı́a sidéreo con la calculada antes. (El
International Earth Rotation Service da un valor
|ω21|= 0,000072921 rad/s). x1
y1
z1 ≡ z0
x0
y0
θ ω21
Ejercicio 3.1.4: Un discoS2 de radioR rueda y pivo-
ta sin deslizar sobre un plano fijoOx1y1 manteniéndose
siempre perpendicular a él. Sean(x,y) las coordenadas
en ejesS1 de la proyección del centro del disco. Expre-
sar en función de estas coordenadas, de los ángulos de
Euler y de sus derivadas la condición cinemática de no
deslizamiento. x1
y1
z1
x0
y0
z0
ϕ̇
ϕ
ψ
ψ̇
I
C
Ejercicio 3.1.5: Un disco S2 de radioR rueda y pi-
vota sin deslizar sobre un plano fijoOx1y1. Sean(x,y)
las coordenadas en ejesS1 de la proyección del centro
del disco. Expresar en función de estas coordenadas, de
los ángulos de Euler y de sus derivadas la condición ci-
nemática de no deslizamiento. x1 y1
z1
x0
y0
z0
ϕ̇
ϕ
θ̇
θ
ψ
ψ̇
I
C
Ejercicio 3.1.6: Una esfera de radioR (sólidoS2) rueda y pivota sin deslizar sobre un plano
fijo Ox1y1. Sean(x,y,R) las coordenadas de su centro en dichos ejes. Expresar la condición
cinemática de no deslizamiento en función de las coordenadas, de los ángulos de Euler de la
esfera, y de sus derivadas.
Ejercicio 3.1.7: En la pelı́cula2001: Una odisea del espacio,se pre-
senta un sistema para crear gravedad artificial en una astronave. Se trata
de un cilindro girando alrededor de su eje, y los astronautasviven en la
superficie interior. La fuerza centrı́fuga proporciona unasensación de
gravedad.
Suponiendo un radio de 10m, calcular la velocidad angular del
cilindro en rpm para obtener una gravedad de 0,1g.
Sea un caso genérico con un cilindro de radioRgirando con velo-
cidad angularω. Un astronauta corre por la superficie interior del
cilindro con velocidad constante en el mismo sentido de la rota-
ción. Calcular la gravedad que experimenta (se puede despreciar
la altura del astronauta frente al radio del cilindro.
Supóngase ahora que corre en sentido opuesto a la rotación. ¿A
qué velocidad empezarı́a a flotar?
Problema 3.1.1: La rueda de un ferrocarril de radior se mueve rodando sin deslizar sobre
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 9
un raı́l que traza una circunferencia de radioR en el plano horizontal. El plano que define la
rueda es en todo momento tangente al raı́l y perpendicular alplano horizontal. Supongamos
que el centro geométricoO de la rueda se mueve con una velocidad de módulo constante (v0).
Consideremos un sistema de referenciaS0 ligado al movimiento de la rueda: su origen está en el
centro de la rueda, el ejeZ0 es perpendicular a su superficie,Y0 es vertical yX0 es perpendicular
a los dos anteriores. Utilizar coordenadas cartesianas referidas a estos ejes para responder a las
siguientes preguntas:
1) Velocidad angular y aceleración angular de la rueda
respecto al sistema de referenciaS0 y respecto a
otro fijo en la vı́a. (7 puntos)
2) Velocidad y aceleración del punto más alto de la
rueda respecto al sistema de referenciaS0 y respec-
to al fijo en la vı́a. (7 puntos)
3) Eje instantáneo de rotación y mı́nimo deslizamien-
to de la rueda, ası́ como su velocidad de mı́nimo
deslizamiento. (6 puntos)
R
r
O
Z0X0
Problema 3.1.2: Un proyectil cilı́ndrico gira con velocidad angular constanteΩ alrededor de
su eje. A su vez, el centro geométricoO del cilindro describe, respecto a un sistema de referencia
absolutoS1, una trayectoria plana que es tangente en todo momento al ejedel cilindro.
Definimos un sistema de referenciaS0 asociado al movimiento del
proyectil: está centrado en el puntoO de forma que el ejeXO coin-
cide con el eje de simetrı́a del cilindro. El ejeYO está en todo mo-
mento contenido en el plano del movimiento del centro del cilin-
dro, y es perpendicular a la trayectoria que describe el punto O.
FinalmenteZO se define de forma que el sistema de ejes está orien-
tado positivamente (a derechas). Estudiaremos dos casos:
O
XO
YO
O1 X1
Y1
Ω
1) El puntoO describe una circunferencia de radioRcon velocidad de módulo constantev0.
Expresar en el sistema de ejesSO:
a) Velocidad y aceleración angular absolutas del proyectil (7/20).
b) Eje instantáneo de rotación y mı́nimo deslizamiento. Velocidad de mı́nimo desliza-
miento (6/20).
2) El puntoO describe la trayectoria correspondiente a un tiro parabólico de ángulo 45◦
sobre la horizontal y velocidad inicialv0, sometido a un valor arbitrariog de la aceleración
de la gravedad. Expresar en el sistema de ejesSO:
c) Velocidad angular absoluta del proyectil en el punto más alto de la trayectoria (7/20).
Problema 3.1.3: Un disco de radioR gira sobre el plano horizontal con velocidad angular
constanteΩ alrededor de un eje vertical que pasa por su centro. Lo ejes dibujados en la figura
pertenecen a un sistema de referenciaS0 solidario al movimiento del disco. Sobre el disco hay
dos barras,AB y CD, con las siguientes propiedades:
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
10 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS
Durante el movimiento del disco ambas barras permanecen
en el planoY0Z0.
La barraAB tiene una longitud 2Ry su extremoA está unido
al borde del disco.
La barraCD tiene una longitudR. Gira con velocidad angular
constante 2ω en el planoY0Z0 de forma que su extremoC
permanece fijo en el centro del disco y el extremoD desliza
a lo largo de la barraAB mediante una corredera.
Se pide calcular:
R
A
B
C
D
X0
Y0
Z0
2ω
θ
1) Velocidad angular de la barraAB relativa al sistema de referenciaS0 ligado al disco (4
puntos).
2) Eje instantáneo de rotación y mı́nimo deslizamiento de labarraAB respecto al sistema de
referencia absoluto. Hallar la velocidad de deslizamiento(4 puntos).
3) Velocidad y aceleración del punto B relativas al sistemaS0. Velocidad y aceleración ab-
solutas del punto B (2 puntos).
Problema 3.1.4: Se quiere estudiar el movimien-
to de las hélices durante el despegue y transición a
vuelo horizontal de la aeronave de rotores pivotantes
Osprey. Para simplificar se supondrá que los rotores
son sólidos rı́gidos, que giran con velocidad angu-
lar constante respecto a ejes ligados a la barquilla,
ωr i0 el derecho y−ωr i0 el izquierdo. Inicialmente
los motores están verticales (θ = π/2), y se van in-
clinando hasta alinearse con el eje longitudinal del
aparatoOx1, según una ley conocidaθ(t).
xT
zT
OT
x1
z1
O
x0
θ
Los ejes ligados al aparato,Ox1y1z1 se mantienen siempre paralelos a los fijos en tierra, y a
todos los efectos se considerarán como fijos. Se conoceOA= a, AB= b y BC= R. Todos los
resultados se proyectaŕan en los ejes 0.
Se pide:
1. Velocidad angular absoluta del rotor derecho (sólido 2), ω21, proyectada en los ejes
Ox0y0z0 solidarios a las barquillas de los motores, en función deωr y las derivadas de
θ .
2. Aceleración angular absoluta de este rotor,α21.
3. En el instante inicial, aceleración respecto al sistemafijo 1 (ejes aparato) del extremoC
de la pala, que en ese momento se encuentra en(b,a+R,0), aplicando las expresiones
del campo de aceleraciones del sólido 2.
4. Calcular esa mismaaceleración~aC21 mediante la composición de movimientos 2/0 + 0/1,
y comprobar que se obtiene la misma expresión.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 11
ωr
−ωr
x0
z0
x1
y1 ≡ y0
z1
O
A
B
C
θ
θ
Problema 3.1.5: Un vehı́culo rectangular (sólido 0), de 4R de largo y 2R de ancho, tiene
cuatro ruedas de radioRen los vértices. Todas están contenidas en planos verticales, y ruedan y
pivotan sin deslizar sobre el plano horizontalO5x5y5. Las dos delanteras (1 y 2) son directrices
y sus planos forman ángulosφ1 y φ2 con Ox0z0. Las dos traseras (3 y 4) son motrices y sus
planos están fijos respecto a 0. Para que no deslicen en las curvas, el motor las mueve a través
de un diferencial, de modo que sus velocidades angulares de rodadura cumplen la relación
ω r45+ω
r
35 = 2ω, siendoω constante. Se pide:
1. Determinarφ2 en función deφ1 para que el movimiento 0/5 sea posible.
2. Determinarω r45, ω
r
35 y la velocidad angular del vehı́culo en función deω y φ1.
3. En el caso tanφ1 = 2, hallar razonadamente la base y ruleta del movimiento del vehı́culo
y la trayectoria deO (punto medio del eje trasero). En el instante inicial,O está sobreO5
y los ejes tienen las mismas direcciones.
Con las mismas condiciones iniciales, y manteniendoω constante, el vehı́culo se mueve de
modo queO recorre el arco de cicloidex= R(1−cosu), y= R(u−sinu), u∈ [0,2π ]. Se pide:
4. Determinar la ley horariau= u(t).
5. Hallar la ley de mando de la rueda,φ1(t), para queO recorra dicha trayectoria.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
12 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS
O
x
y
x
y
O
1
2
3
4
ψ
φ
φ
5
5
5
1
2
0
0
Problema 3.1.6: Un sistema material (un ratón de bola) está apoyado sobre el plano fijoO1x1y1
y consta de:
Un paralelepı́pedo (S0) que se apoya y
desliza sobre el plano fijo; lleva asocia-
do el sistemaOxyzde ejes paralelos a los
lados.
Una esfera de radioR (S2) cuyo centro
está fijo en el puntoO deS0; rueda y pi-
vota sin deslizar sobre el plano fijo.
Dos discos de radior (S3 y S4) que pue-
den girar libremente alrededor de ejes fi-
jos en S0; sus centros son(R+ r,0,0)0
y (0,R+ r,0)0, respectivamente, y sus
velocidades angulares relativasω30 =
(0, α̇,0) y ω40 = (β̇ ,0,0); están en con-
tacto sin deslizamiento con la esfera en
los puntosA y B respectivamente.
x1
y1
z1
b
x
y
z
O
α̇
β̇
θ (ξ ,η ,0)
x
z
O
A
α
y
z
O
B
β
Se usarán:(ξ ,η), coordenadas en ejes fijos de la proyección deO; θ , ángulo entreO1x1 y
una paralela aOx; ángulosα y β girados por los discosS3 y S4 alrededor de sus respectivos ejes
(ver figuras); velocidad angular absoluta de la esfera, proyectada en ejesS0: ω21= (ωx,ωy,ωz)0.
Los resultados se proyectarán en ejesS0, salvo los que por definición exigen otros. Se pide:
1. Ecuaciones de la ligadura de no deslizamiento de la esferasobre el plano fijo, proyectadas
en ejesS0.
2. Expresar las componentes de la velocidad angularω21 en función deα̇, β̇ y θ̇ .
3. A continuación se estudia un movimiento particular: Se colocaO sobre el ejeO1z1, con
los ejesS0 paralelos a los fijos, y se mueve el ratón de modo quevO01 = ΩRi1 y θ̇ = Ω,
ambos constantes. Calcularω21(t).
4. Ecuaciones paramétricas de la axoide fija de la esfera,rAF(t,λ )
5. Identificar qué superficie es.
6. Por razonamientos geométricos, identificar la axoide m´ovil.
7. Obtenerα(t) y β (t), suponiendo que ambas sean nulas ent = 0.
8. Calcular la aceleración angular relativa de la esfera,ω̇20.
Problema 3.1.7: Una esfera de radioa rueda y pivota sin deslizar por el interior de una super-
ficie cónica de revolución de ejeOz1 y semiángulo cónico 60o. El centroC de la esfera describe,
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 13
con velocidad angularω constante, una circunferencia de radioa contenida en un plano perpen-
dicular aOz1 y con centro sobre este eje. Una figura representa la vista general del sistema y la
otra es un corte por el plano auxiliarxOzque contiene el centro de la esfera y que gira alrededor
deOzen el curso del movimiento con velocidad angularω. Se pide:
1. Demostrar que con las condiciones impuestas, el vector velocidad angular de la esfera
Ω ha de quedar contenido en el planoxOz. En lo sucesivo supondremos que la relación
entre las velocidades de rodadura y de pivotamiento se mantiene constante a lo largo del
movimiento.
2. Demostrar que con esta nueva condición el eje instantáneo de rotación de la esfera corta
a Oz1 en un punto fijo.
3. Determinar las superficies axoides y la velocidad angularΩ en los siguientes movimientos
particulares:
a) Cuando en todo momento la velocidad de pivotamiento es nula.
b) Cuando la axoide fija se reduce a un plano.
c) Cuando el movimiento de la esfera es un movimiento plano.
d) Cuando el punto de tangenciaH de la esfera y el ejeOz1 se mantiene fijo.
4. CalculardΩ/dt en el movimiento particular a).
5. calcular la aceleración deH en este caso particular.
Problema 3.1.8: El sistema material de la figura está constituido por:
a) Un cono circular recto (Sólido 1) fijo en el espacio de semiángulo en el vértice 30o, radio
de la baseR y eje verticalOz1.
b) Un cilindro circular recto (Sólido 2) móvil de alturaR y radio de la baseR/2.
El cilindro rueda, pivota y desliza sobre la superficie exterior del cono de forma que en todo
momento tienen una generatriz común. Se sabe que la generatriz de contacto cilindro/cono gira
con velocidad angular constanteω alrededor del ejeOz1, y que la base inferior del cilindro
rueda sin deslizar sobre la base del cono.
En el movimiento cilindro/cono descrito se pide:
1. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento.
2. Velocidad angular.
3. Velocidad angular de rodadura y pivotamiento.
4. Axoides fija y móvil.
5. Aceleración angular.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
14 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS
6. Velocidad del puntoM situado en la base superior del cilindro según se indica.
Nota: todos los cálculos deben realizarse en los ejesOx0y0z0 que se indican en la figura y que
en todo momento acompañan a la generatriz de contacto cilindro/cono.
Problema 3.1.9: Se considera el sistema material constituido por:
a) Una esferaE, de centroO1 y radioR (sólido 3) cuyo movimiento respecto a un sistema
fijo (sólido 1) es una rotación pura de valorω constante alrededor de un diámetro vertical
AB.
b) Un plano horizontalπ (sólido 4) cuyo movimiento respecto al sólido 1 es también una
rotación pura de valorΩ constante alrededor de la verticalAB. Dicho plano está situado
a una distancia 2R por debajo del centroO1 de la esferaE.
c) Un cono circular rectoC (sólido 2) de vértice el puntoO (intersección de la rectaAB y
el planoπ), que rueda sin deslizar por el exterior de la esfera y por la cara superior del
planoπ .
En la figura se representa la sección meridiana del sistema material considerado. Los ejes
Ox0y0z0 están ligados a dicha sección y deben utilizarse para el c´alculo de todas las magni-
tudes vectoriales que intervienen en el problema.
Se pide:
1. Velocidad angular absoluta del eje del cono.
2. Velocidad angular absoluta del movimiento absoluto del cono.
3. Axoides fija y móvil del movimiento absoluto del cono.
4. Aceleración angular absoluta del cono.
Para el caso en queΩ =−ω/2.
5. ¿Cuáles son las superficies axoides?
6. Aceleración del puntoM del cono en contacto con la esfera.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 15
Problema 3.1.10: Un diferencial de automóvil está formado por dos conos iguales (sólidos 1
y 2) de eje común y semiángulo en el vértice de 30o. Dichos conos pueden girar libremente
alrededor de su eje con movimientos independientes.
El tercer cono (sólido 3) de semiángulo en el vértice de 60o, puede
moverse sobre los conos anteriores girando alrededor de su eje OE3
y rodando sin deslizar sobre las generatrices de contacto con los
conos 1 y 2.
El eje del cono 3,OE3, es un radio fijode una corona circular
(sólido 4) cuyo plano es constantemente perpendicular al eje de
los conos 1 y 2, y a la que se comunica una velocidad angular
constanteΩ4.
Si la velocidad angular del cono 1 esΩ1, se pide:
1. Velocidades angularesω30 y ω20.
2. Eje instantáneo de rotación en el movimiento del sólido 3.
3. Axoides fija y móvil del movimiento anterior.
4. Para una velocidad angularΩ4 dada, ¿qué valor debe tomarΩ1 para que el módulo de
ω34 sea mı́nimo? ¿Cuál será en ese caso la velocidad angularω20?
5. Representar gráficamenteω20 en función deΩ1 para unaΩ4 dada y determinar el valor
deΩ1 que hace máxima la rotación deω20.
Problema 3.1.11: Un disco infinitamente delgado (sólido 2), de radioR, rueda y pivota sin
deslizar sobre un plano fijoOx1y1 (sólido 1). Sea I el punto de contacto del disco y el plano.
Para especificar su configuración se usarán:ξ , η coordenadas en ejes 1 de la proyección del
centro del discoC sobre el plano;ψ, θ y ϕ, ángulos de precesión, nutación y rotación propia
del disco, respectivamente. Los resultados se proyectarán en los ejes auxiliaresIx0y0z0 (sólido
0), con origen en el punto de contacto y girado el ángulo de precesión respecto aS1. Para el
caso general, se pide:
1. Velocidad angular del disco en función de los ángulos deEuler y sus derivadas.
2. Obtenerξ̇ y η̇ en función de los ángulos de Euler y sus derivadas.
Del movimiento del disco se sabe que la axoide fija es un cono circular con centro en el
origen, ejeOz1, radio de la baseR, y semiángulo en el vértice 30o. En el instante inicial el punto
I está sobre el ejeOy1. La proyección deC se mueve sobre el plano con velocidad de módulo
constanteω R
(
1+
√
3/2
)
. Para este movimiento, se pide:
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
16 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS
3. Basándose en las propiedades de las axoides, deducir razonadamente:
a) Dirección del vector velocidad angular en el momento inicial
b) Axoide móvil
c) Valores de los ángulos de Euler en el momento inicial.
4. Velocidad angular del disco.
5. Aceleración angular del disco
ψ
ϕ
I
C
θ θ
x1
y1
z1
x0 ≡ x3
y0
z0 y3
z3
y1
z1
IO
Problema 3.1.12: Una esfera de radioa y cen-
tro C (S2) rueda y pivota sin deslizar sobre un
cilindro circular fijo de radioR (S1). El punto
de contactoM recorre sobre el cilindro la hélice
R(cosθ i1+sinθ j1+θ tanα k1)
con velocidadRω. Sobre la esfera recorre una
circunferencia de radioacosβ . De las dos posi-
ciones posibles, la circunferencia queda por en-
cima del centroC.
En la resolución convendrá usar los ejes in-
termediosMx0y0z0 asociados a las coordena-
das cilı́ndricas del punto de contacto. Salvo que
algún resultado exija otra cosa, las soluciones
vectoriales se proyectarán en estos ejes.
Se pide: x
y
z
x0
y0
z0
b
b
θ
M
C
b b
β
C
M
1. Velocidad angular deMx0y0z0.
2. Eje instantáneo de rotación del movimiento 2/0.
3. Módulo de la velocidad angularω20.
4. Aceleración angular absolutaα21
5. Axoide fija del movimiento 2/1.
Problema 3.1.13: Una esfera de radioa se mueve sobre un cilindro circular fijo, de eje vertical
y radioR, de manera que:
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
3.1. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS 17
La esfera rueda sin deslizar sobre el cilindro.
La velocidad angular de la esfera es un vector de móduloω(t), contenido en el plano
tangente común a los dos sólidos, y que forma un ánguloθ constante con la vertical.
En un instante arbitrario la posición del punto geométrico de contactoM viene dada por sus
coordenadas cilı́ndricas(ψ,z), y su velocidadv forma un ánguloα con la horizontal.
Se pide:
1. Trabajando en los ejes auxiliaresMx0y0z0, determinar la condición de no deslizamiento
de la esfera sobre el cilindro, en función deω, θ , α y v.
2. Hallarv y α en función deω y θ . Identificar la trayectoria del puntoM sobre el cilindro
para las condiciones inicialesψ(0) = 0, z(0) = 0, v(0) = v
(√
2
2 j1+
√
2
2 k1
)
.
3. Identificar la trayectoria deM sobre la esfera. Para ello puede ser útil introducir como
sistema intermedio el triedro intrı́nseco de la trayectoria deM sobre el cilindro.
4. Ecuaciones paramétricas de la axoide fija. Identificar laaxoide móvil, sin necesidad de
hallar su ecuación.
5. Aceleración del puntoM considerado como de la esfera en el movimiento absoluto.
6. Se estudia ahora el movimiento de la esfera respecto a unosejes paralelos a los fijos
con origen en el centro de la esfera: identificar las axoides fija y móvil, sin hallar sus
ecuaciones.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
18 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS
3.2. Movimiento plano
Ejercicio 3.2.1: En un movimiento plano, una recta del plano móvil pasa siempre por un punto
fijo O, y un punto de la recta describe una circunferencia que pasa por O. Hallar la base y la
ruleta.
Ejercicio 3.2.2: La base de un movimiento es una recta, y un punto del plano móvil recorre
otra recta que forma un ánguloϕ con la anterior. Hallar la ruleta.
Ejercicio 3.2.3: En un cuadrilátero planoABCD, AB= CD = a,
BD= AC= b> a, CD es fijo. Hallar la base y la ruleta del movi-
miento deAB.
Ejercicio 3.2.4: Repetir el ejercicio anterior para el casob< a.
Ejercicio 3.2.5: En un movimiento plano la base es una recta y un punto del planomóvil
describe una circunferencia tangente a la base. Hallar la ruleta.
Ejercicio 3.2.6: En un movimiento plano, la base es una recta y un punto describe la catenaria
y= acoshxa. Hallar la ruleta.
Ejercicio 3.2.7: En un movimiento plano, una circunferencia del
plano móvil pasa siempre por un punto fijoP, y un puntoM de esta
circunferencia describe una rectar que pasa porP.
1. Hallar la base y la ruleta del movimiento.
2. Ecuación del movimiento del punto que tiene trayectoriarec-
tilı́nea admitiendo que la velocidad de sucesión de los cen-
tros instantáneos es una constantev.
Problema 3.2.1: Los engranajesA, B,C, que aparecen en la figura, están unidos por un pasador
en su centro a la barraABC. El engranajeA es fijo, mientras que la barraABC gira en sentido
contrario a las agujas del reloj con una velocidad angularω constante. Sabiendo que en su
movimiento los engranajes ruedan sin deslizar sobre sus circunferencias primitivas de radios
RA > RB > RC, calcular:
1. Velocidad angular del engranajeB en su movimiento absoluto.
2. Base y ruleta del engranajeB en dicho movimiento.
3. Velocidad angular del engranajeC en su movimiento absoluto. ¿Depende del tamaño del
engranaje intermedio?
4. Velocidad del engranajeC respecto del engranajeB.
5. Base y ruleta del engranajeC en su movimiento absoluto.
6. Aceleración lineal del diente del engranajeC situado en cada instante en el punto de
tangencia entre las circunferencias primitivas de los engranajesC y B.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
3.2. MOVIMIENTO PLANO 19
Problema 3.2.2: La figura representa un tren de engranajes planetario con lossiguientes ele-
mentos:
Sol: Rueda de radio 2r que gira respecto de su eje fijo a tierra.
Planetarios: Ruedas de radior cuyos ejes están articulados al brazoAB.
Brazo: BarraAB articulada tanto al engranaje sol como a los planetarios. Posee una ve-
locidad angular constanteω0 en el sentido de las agujas del reloj.
Corona: Engranaje estático y concéntrico con el sol.
Teniendo en cuenta que durante la transferencia del movimiento rotatorio las ruedas acopladas
ruedan sin deslizar, calcular:
1. Velocidad angular de los engranajes planetarios respecto al brazo.
2. Velocidad angular absoluta de los engranajes planetarios.
3. Velocidad angular absoluta del engranaje sol.
4. Velocidad lineal absoluta del puntoC del planetario.
5. Aceleración lineal absoluta del puntoC del planetario.
NOTA: se recomienda utilizar los ejesOXYZligados al brazo y la numeración de sólidos de la
figura.
Problema 3.2.3: Una varillaAB, de longitud 2a, se mueve en un plano, referido a unos ejes
ortogonalesO1X1Y1 de forma que su extremoA describe el ejeO1X1 con velocidad constantev,
mientrasque la velocidad del extremoB forma con la varilla el mismo ángulo que esta forma
con el ejeO1X1.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
20 CAṔITULO 3. COMPOSICÍON DE MOVIMIENTOS
En el instante inicial la varilla está situada sobre el ejeO1Y1 encontrándose el extremoB en
la parte negativa de dicho eje. Se pide:
1. Determinar en función del tiempo la velocidad angular dela
varilla.
2. Determinar la base y la ruleta correspondientes al movimien-
to de la varilla.
3. Determinar el valor máximo de la aceleración angular dela
varilla.
O1
y1
x1
v
θ
θ
A
B
vB
Problema 3.2.4: Consideremos un plano horizontal referido a dos ejes ortogonalesOxy. Sea
Oz la vertical que pasa porO. Sobre los ejesOx, Oy ruedan sin deslizar dos discos igualesA
y B de radioR que quedan contenidos respectivamente en los planosOxz, Oyz. Seanx,y las
distancias de los centros de los discos al ejeOz.
Un planoP que se mantiene horizontal en todo momento se apoya en ambos discos rodando
y pivotando sobre ellos sin deslizamiento.
El movimiento del discoB viene determinado por la ecuación
y= asinω t
y el discoA vendrá obligado por las ligaduras cinemáticas que tiene impuestas. Si inicialmente
valex= a, se pide:
1. Demostrar que la distancia entre los centros de ambos discos se mantiene constante a lo
largo del movimiento verificándose la relaciónx2+y2 = a2.
2. Calcular la velocidad angularΩ del planoP.
3. Determinar la base del planoP.
4. Determinar e identificar la trayectoria del punto deP que inicialmente se proyecta enO.
5. Determinar la ruleta del movimiento deP.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
Caṕıtulo 4
Ecuaciones generales
Ejercicio 4.1: Sea una partı́cula libre sometida únicamente a su peso.
Plantear las ecuaciones de la cantidad de movimiento, del momento cinético en el origen,
y de la energı́a.
Comprobar que solo las tres primeras son independientes. Razonar si las tres del momento
cinético son independientes entre sı́, y por tanto podrı́an sustituir a las de la cantidad de
movimiento, o no.
Razonar cuáles dan lugar a integrales primeras, y cuáles son independientes.
Ejercicio 4.2: Sean dos partı́culas no pesadas unidas por un muelle ideal delongitud nula.
Plantear las ecuaciones generales, y razonar cuáles son independientes.
Ejercicio 4.3: Sean tres partı́culas no pesadas. Todas están sometidas a fuerzas de acción-
reacción entre ellas. Razonar cómo habrı́a que plantear las ecuaciones generales para poder
determinar el movimiento del sistema.
Ejercicio 4.4: Una esfera pesada homogénea rueda, pivota y desliza sobre un plano horizontal.
Estudiar las fuerzas de ligadura, los grados de libertad, y las ecuaciones que habrı́a que plantear
para resolver el sistema.
Ejercicio 4.5: Una esfera pesada homogénea rueda y pivota sin deslizar sobre un plano hori-
zontal. Estudiar las fuerzas de ligadura, los grados de libertad, y las ecuaciones que habrı́a que
plantear para resolver el sistema.
Ejercicio 4.6: Una esfera pesada homogénea, de masamy radioR, rueda y pivota sin deslizar
sobre un plano horizontal rugoso de coeficienteµ. Se sabe que su momento cinético respecto
al centro de masasC vale 25mR
2 ω. En el instante inicial está sobre el origen con velocidad
v0 = (a,b,0) y velocidad angularω0 = (p,q, r). Obtenerv(t) y ω(t). Calcular, en función de
los valores iniciales, el tiempo que tarda en dejar de deslizar.
x0
y0
z0
ϕ̇
ψ̇
Ejercicio 4.7: Un cilindro homogéneo y pesado, de masam
y alturaH, está en contacto con un plano horizontal liso a lo
largo de una generatriz. En ejesS0 ligados a la precesión, su
velocidad angular valeω(t) = [ϕ̇,0, ψ̇] y su momento cinético
respecto al centroLG = [Ixϕ̇,0, Izψ̇ ].
Reducir el sistema de fuerzas de ligadura al centro de
masas.
Demostrar que el momento cinético es constante en ejes móvilesS0.
Calcular el valor máximo dėψ para que el cilindro no se levante por un extremo.
21
22 CAṔITULO 4. ECUACIONES GENERALES
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
Caṕıtulo 5
Estática
Ejercicio 5.1: Una partı́cula pesada de masam está unida al origen de coordenadas por un
muelle ideal de longitud natural nula y constantek. Determinar las posiciones de equilibrio.
Ejercicio 5.2: Una partı́cula pesada de masam se mueve por una esfera lisa con ligadura
bilateral. Determinar las posiciones de equilibrio. Determinar las zonas de equilibrio si la esfera
es rugosa de coeficienteµ.
Ejercicio 5.3: Una partı́cula pesada de masam se mueve por un aro vertical liso de radio
r. Determinar las posiciones de equilibrio tomando como coordenada generalizada el ángulo
θ desde el punto más bajo. Determinar las zonas de equilibriosi entre aro y partı́cula existe
rozamiento de coeficienteµ.
Ejercicio 5.4: Una partı́cula se mueve sobre un plano rugoso de coeficienteµ inclinado un
ánguloα respecto a la horizontal. Sea el ejeOx normal al plano hacia arriba y elOx la lı́nea
de máxima pendiente hacia abajo. La partı́cula está unidaal origen mediante un muelle de
constantek y longitud natural nula. Determinar las posiciones de equilibrio.
Ejercicio 5.5: Repetir el ejercicio anterior con un muelle de longitud natural a.
Ejercicio 5.6: En el plano vertical disponemos de una curvaC
lisa por la que puede deslizar una partı́cula material de peso P. La
partı́cula está unida a un hilo que pasa por una pequeña polea para
suspender por el otro extremo otra partı́cula de pesoQ. Se pide:
1. Averiguar cuál ha de ser la curvaC para que los dos puntos
se mantengan en equilibrio para todas las posiciones.
2. Discutir la naturaleza deC según los valores relativos deP y
Q.
Ejercicio 5.7: Una partı́cula material de pesoP puede moverse
sobre una parábola de eje vertical de parámetrop y con una conca-
vidad dirigida hacia arriba.
El punto es además repelido por el foco de la parábola con una
fuerzaF = hr2 proporcional al cuadrado de la distancia. Hallar las
posiciones de equilibrio de la partı́cula y estudiar su estabilidad.
Ejercicio 5.8: Un punto material pesadoM de masamestá obligado a moverse sin rozamiento
sobre la hélice de ecuaciones
x= Rcosθ y= Rsinθ z= R
θ
2π
en donde el ejezes vertical y ascendente.
23
24 CAṔITULO 5. ESTÁTICA
Sobre el puntoM actúa, además de su peso, una fuerza repulsiva de la forma
F =
mg
R
AM
siendoA el punto de coordenadas(R,0,0). Se pide:
1. Determinar las posiciones de equilibrio situadas en la zona 0≤ z≤ R.
2. Calcular la reacción normal de la curva en la posición deequilibrio del puntoM definida
por θ = 2π .
Problema 5.1: Un punto de pesoP puede moverse sobre el
helicoide
x= u cosv y= u sinv z= av
en el queOzes la vertical ascendente.
El punto está sometido a su propio peso y a una repulsión del
ejeOzde valor
F =
Pλ r2
a
√
a2+ r2
siendor la distancia que separa al punto de dicho eje.
Si entre el punto y la superficie existe un rozamiento de coefi-
ciente f = 1/
√
2, se pide:
1. Zonas de equilibrio en el caso en queλ = 0.
2. Zonas de equilibrio siλ =
√
3/8.
Problema 5.2: Una partı́cula de pesoP puede moverse sobre una
superficie esférica de radioa a la que puede abandonar por su cara
interna.
La partı́cula es repelida por el punto más bajo de la esfera con una
fuerza proporcional a la distanciaF = hr. Se pide:
1. En la ausencia de rozamiento, averiguar las posiciones de
equilibrio de la partı́cula estudiando su estabilidad y dis-
cutiendo el problema según los valores del parámetroλ =
ha/P.
2. Si entre la partı́cula y la superficie existe un rozamientode
coeficientef , discutir todas las posiciones de equilibrio exis-
tentes según los valores relativos deλ y f .
Problema 5.3: Una partı́culaP, de masam y sin peso, se mueve sobre la curva lisa de ecua-
cionesx2+y2 = a2, z= 0.
Otra partı́culaQ, de la misma masa y también sin peso, se mueve por la recta rugosa de
ecuacionesx= 0, z= a. El coeficiente de rozamiento entre la partı́culaQ y la recta esµ.
Como coordenadas generalizadas se tomarán la coordenaday deQ y el ánguloθ entreOxy
OP.
Las dos partı́culas están unidaspor un muelle de constantek y longitud natural nula.
Se pide:
Todas las configuraciones de equilibrio conµ = 0 (1/3)
Todas las posiciones y/o zonas de equilibrio conµ > 0 (2/3)
Para cada solución, además de dar los valores habrá que hacer un diagrama con las posicio-
nes de equilibrio y, de forma aproximada, las zonas de equilibrio.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
25
Ejercicio 5.9: Una grúa de masaM se apoya sobre una base de longi-
tud 2a. Su centro de gravedad está en la vertical del centro de la base.
La pluma mideb> a desde la vertical del centro. Analizar el sistema de
fuerzas de ligadura sobre la base. Calcular la máxima cargaque puede
levantar sin que vuelque.
Ejercicio 5.10: Una varilla pesada de longituda y masam está unida al origen mediante un
cojinete ideal que le permite girar alrededor deOy manteniéndose siempre dentro del plano
Oxz, dondeOzes vertical ascendente. Dicho plano gira alrededor deOzcon velocidad angular
ω constante. Seaθ el ángulo que la varilla forma con el eje vertical. Determinar todas las
posiciones de equilibrio relativo al plano y su estabilidad.
Problema 5.4: Se dispone de una varillaAB homogénea y pesada de masam y longitud 3R2
cuyo extremoA está obligado a moverse sin rozamiento sobre una circunferencia fija de radio
R, como se indica en la figura. El conjunto está contenido en unplano vertical.
El ejeOx repele a todas y cada una de las partı́culas de la varillaAB con una fuerza propor-
cional al producto de la masa de cada partı́cula por la distancia que la separa de dicho eje siendo
la constante de proporcionalidad 2g/3R. Se pide:
1. Resultante y momento resultante de las fuerzas di-
rectamente aplicadas a la varilla respecto al punto
A.
2. Plantear las ecuaciones que determinan las posicio-
nes de equilibrio y la reacción ena mediante las
ecuaciones generales de equilibrio.
3. Calcular la reacción enA para las posiciones de
equilibrio en que la varillaAB no está alineada con
el ejeOy.
Problema 5.5: Consideremos un taburete formado por un disco de radioa y tres patas soldadas
en su superficie en tres puntos que forman un triángulo equilátero. Seaλa la distancia a la que
se encuentra el centro de gravedad del taburete del plano quepasa por los extremos de sus patas.
El taburete ası́ constituido se sitúa sobre un plano inclinado un ánguloα sobre la horizontal.
De las tres patas solamente una presenta un coeficiente de rozamientof con el plano. Las otras
dos son lisas.
Llamemosϕ el ángulo que forma con la lı́nea de máxima pendiente del plano el radio que
va a la pata rugosa. Se pide:
1. Valores deϕ correspondientes a las posiciones de
equilibrio del taburete sobre el plano.
2. Partiendo de una posición de equilibrio se va au-
mentando el ánguloα hasta que el equilibrio se
rompe por el vuelco o por deslizamiento. Discutir
cuál de estas dos circunstancias se presenta prime-
ro. Determinar el valor deα para el que se presenta
y estudiar la influencia que puede tener el valor de
λ . Repetir el análisis para todas las posiciones de
equilibrio.
Problema 5.6: El sistema material de la figura, contenido en un plano horizontal, está cons-
tituido por dos varillas iguales de longituda articuladas por su extremo en un punto fijoA del
plano, por un muelle de longitud natural cero y constante de rigidezk, que une los extremosB
y C de las varillas, y por un disco homogéneo de radioa/4 y masaM, que se sitúa entre las dos
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
26 CAṔITULO 5. ESTÁTICA
varillas como se indica en la figura.
El punto fijo A atrae a todos y cada uno de los elementos diferenciales de masa del dis-
co proporcionalmente al producto de la masa del elemento porla distancia. La constante de
proporcionalidad es igual a 4k/m.
Se tomará como parámetro para definir la posición del sistema el ánguloϕ de la figura. Se
pide:
1. Valores deϕ correspondientes a las posiciones de equilibrio
del taburete sobre el plano.
2. Partiendo de una posición de equilibrio se va aumentandoel
ánguloα hasta que el equilibrio se rompe por el vuelco o
por deslizamiento. Discutir cuál de estas dos circunstancias
se presenta primero. Determinar el valor deα para el que se
presenta y estudiar la influencia que puede tener el valor de
λ . Repetir el análisis para todas las posiciones de equilibrio.
Problema 5.7: Dos semidiscos iguales y homogéneos de radioR y masam se unen entre
sı́ como se indica en la figura; los vérticesA mediante una articulación, y los vérticesB y C
mediante un muelle de longitud natural nula y constante de rigidezk = mg/3πR. El conjunto
está contenido en un plano vertical, apoyado sobre el ejeOx, y sometido al peso.
Suponiendo que entre los semidiscos y el ejeOxno hay rozamiento:
1. Plantear las ecuaciones de equilibrio.
2. Determinar todas las posiciones de equilibrio.
3. Reacción enA para dichas posiciones.
Si entre los semidiscos y el ejeOx existe un coeficiente
de rozamientof ,
4. Plantear las ecuaciones de equilibrio.
5. Estudiar cómo varı́an las posiciones de equilibrio al variar f .
Nota: Considérense solamente las posiciones 0≤ ϕ ≤ 0.
Problema 5.8: El sistema de la figura, contenido en
el plano horizontalOxy, está formado por un aro de
radioR y centroO, y un disco de radioR/2 y centro
C. El aro está articulado en el puntoO y su masam
está concentrada en un puntoA del mismo. La masa
del disco, de valor 6m, se concentra uniformemente
en el diámetroBD del mismo. Ambos sólidos están
siempre en contacto con ligadura bilateral y entre sus
superficies existe un rozamiento de coeficientef .
Sobre las masas del sistema actúa una atracción del ejeOx proporcional a la masa y a la
distancia al mismo, siendok la constante de proporcionalidad.
Para fijar la posición del sistema se utilizan las siguientes coordenadas generalizadas: i)α,
ángulo entreOA y el ejeOx; ii) β , ángulo entreOC y el ejeOx; iii) γ, ángulo entre el diámetro
BD y OC.
Se pide:
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
27
1. Determinar en función de las coordenadas generalizadas, para una posición genérica, la
expresión de la resultante y del momento respecto aC del sistema de fuerzas de atracción
que actúan sobre el disco.
2. Plantear las ecuaciones e inecuaciones necesarias que permitan obtener las posiciones de
equilibrio del sistema.
3. Determinar el rango de valores deβ para los que existe equilibrio. Determinar las posi-
ciones de equilibrio.
4. Para el caso particularf = 0, obtener las ecuaciones de equilibrio.
5. Obtener las posiciones de equilibrio correspondientes al apartado anterior.
6. Repetir los dos apartados anteriores para el caso en quef sea infinito.
Problema 5.9: El dispositivo de la figura es un modelo muy simplificado de losreguladores
centrı́fugos usados en transmisiones continuas de ciclomotores y camiones. La fuerza centrı́fuga
del giroω alrededor deOy tira del contrapesoAB, de modo que el extremoD vence la fuerza
del muelle y empuja el plato cónico de la polea contra el otroplato. Ası́ varı́a la distancia al eje
de la correa y la relación de transmisión.
Se estudiará como un problema de estática: el equilibrio del contrapesoDCABen su plano,
sometido únicamente a la fuerza centrı́fuga, a la del muelle y a las ligaduras. El contrapeso se
modela como un sólido plano formado por dos varillas,AB (de longituda y masaM) y CD
(de longitudb y masa despreciable), rı́gidamente unidas formando un único sólido en forma
de L y articuladas en el origenO por el extremoC. La articulación es lisa y permite el giro
en el planoOxy. Cada elemento de masa deAB experimenta una fuerzaδFc = δmω2xi. El
extremoD empuja la polea y sufre la fuerzaFm del muelle de constantek y longitud natural
nula, siempre paralelo al ejeOy. Para simplificar, se desprecian todas las demás fuerzas (pesos,
rozamientos, otras fuerzas que la polea pueda transmitir aD, etc.). Se consideran dos diseños
para el contrapeso:DCAB (caso a) yCDAB (caso b). La configuración del sistema viene dada
por el ánguloθ de lafigura. Para el estudio del equilibrio,ω se considerará como un parámetro
constante. Se pide:
1. Para el caso (a), reducir al origen el sistema de fuerzas distribuidas sobre la varillaAB
2. Obtener todas las configuraciones de equilibrio del sólidoDCABen función deω
3. Para el caso (b), reducir al origen el sistema de fuerzas distribuidas sobreAB
4. Obtener la configuración de equilibrio del sólidoCDAB, en la forma tan2θ = f (ω)
5. A la vista de los resultados, razonar cuál de los dos dise˜nos es más apropiado para un
regulador que permita aproximar los platos de la polea al crecerω.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
28 CAṔITULO 5. ESTÁTICA
θ
k
δFc
Fm
x
y
O
A
B
C D
(a)
θ
k
δFc
Fm
x
y
O
A
B
C
D
(b)
Problema 5.10: Se tiene un sistema plano formado por un discopesadode radioR y masa
m apoyado enB sobre una pared vertical. Su centroC está suspendido del puntoA de la pared
mediante una varillasin masa, con articulaciones lisas enA y C. La longitud de la varilla es tal
que forma un ánguloβ con la pared cuando el disco está en contacto. Entre el discoy la pared
hay rozamiento de coeficienteµ.
Además del peso, sobre el disco actúa una fuerza conocidaF , aplicada en la periferia y tan-
gente a la circunferencia formando un ánguloα con la horizontal (podrı́a hacerse, por ejemplo,
tirando de un hilo arrollado al disco). Se aplica por debajo del centro (caso a) o por encima
(caso b). Inicialmente la fuerza es pequeña, y el sistema está obviamente en equilibrio. Luego
se va aumentandoF hasta que el disco empiece a girar o se levante. Se pide:
1. Aislando la varilla, determinar ladirección de la reacciónT que transmite al disco enC.
2. Para el caso a), se pide:
a) Plantear las ecuaciones de equilibrio del disco. Las ecuaciones serán más sencillas
si se escoge bien el punto en que se toman momentos.
b) SeaN la reacción normal de la pared enB y R la fuerza de rozamiento; obtenerlas
junto conT en función de los datos del problema.
c) Obtener el valor deF necesario para que el disco se separe de la pared, en función
de los demás datos del problema.
d) Obtener el valor deF necesario para que el disco empiece a girar. Comprobar que
siempre gira antes de separarse.
3. Repetir los pasos anteriores para el caso b) (téngase cuidado con el sentido deR).
4. Comparando los resultados, razonar si es más fácil hacerlo girar desde arriba o desde
abajo.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
29
A
B C
(a)
β
α
F
A
B C
(b)
β α
F
Problema 5.11: Se tiene una placa cuadrada de ladoa y masam. Uno de sus lados se apoya
sin rozamiento sobre el plano horizontal lisoOx1y1. Sobre la placa actúan las fuerzas:
Peso
Muelle de constantek y longitud natural nula ente el punto fijoA(0,0,a) y el B, punto
medio del lado opuesto al apoyado.
Repulsión del origen sobre cada elemento de masa, proporcional a la masa y a la distancia,
δ~F = δmω2~r.
La configuración viene dada por las coordenadasξ ,η del punto medioC del lado que se apoya;
el ánguloθ del plano de la placa con el horizontalOx1y1; y el ánguloψ de la normal al lado
apoyadoCx0 con el ejeOx1. Se pide:
1. Analizar el sistema de reacciones distribuidas sobre el lado con apoyo liso: determinar el
número de incógnitas y escoger un sistema equivalente para representarlo.
2. Hallar la resultante de la repulsión y comprobar que su momento en el centro de masasG
de la placa es nulo.
3. Expresar la fuerza del muelle,CB y CG en función de las coordenadas generalizadas.
4. Plantear las ecuaciones de equilibrio de fuerzas.
5. De estas ecuaciones obtener una relación entre tanψ y η,ξ y otra entre la distanciaOC y
θ .
6. Interpretar geométricamente la relación entreψ y las coordenadas deC. Se compro-
bará que las soluciones tienen simetrı́a de revolución y que el resto del problema se puede
resolver con la simplificaciónη = ψ = 0.
7. Plantear con esta simplificación la ecuación de equilibrio de momentos enC. Se ob-
tendrá una relación entreξ y θ que, con la segunda de (5), determina la configuración
de equilibrio. Comprobar que la componente segúnOz1 da la misma información que la
primera de (5).
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
30 CAṔITULO 5. ESTÁTICA
A
O
B
C
x0
y0ψ
θ
δ~F
η
ξ
x1
y1
z1
Problema 5.12: Un sistema plano está forma-
do por dos discos homogéneos de radioR, de
masa despreciable, y una barra de pesoP y lon-
gitud λR. Cada disco está unido a un extremo
de la barra con una articulación lisa. El sistema
está apoyado sobre una recta rugosa (ejeOx1)
que forma un ánguloα con la horizontal. El
coeficiente de rozamiento entre los discos y la
recta esf . El disco más bajo① está frenado,
es decir, la barra ejerce un momentoM sobre
el disco, que será el necesario para que no gi-
re. El otro disco puede girar libremente. Para la
configuración de equilibrio, se pide:
α
x1①
②
N1
N2R1
R2
1. La reacción normal sobre el primer disco,N1.
2. Fuerza de rozamiento sobre el primer discoR1.
3. Reacción normal sobre el segundo discoN2.
4. Rozamiento sobre el segundo discoR2.
5. Momento de frenoM.
6. Valor deα para que el conjunto vuelque.
7. Valor deα para que empiece a deslizar.
8. Valor del coeficiente de rozamientof para que las dos condiciones coincidan
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
Caṕıtulo 6
Movimiento rectil ı́neo
6.1. CasoF(ẋ)
Ejercicio 6.1.1: Una partı́cula de masaM se coloca en reposo sobre un plano inclinado un
ánguloα con la horizontal. El coeficiente de rozamiento esµ < tanα. Razonar si hay velocidad
lı́mite. Obtener la ley horaria del movimiento.
Ejercicio 6.1.2: Según la ley de Stokes, la resistencia sobre una esfera de radio r que se mueve
en un fluido de coeficiente de viscosidadη esF(v) = 6πη r v. Calcular la velocidad lı́mite de
una esfera de densidadρ , doble de la del fluido, y la ley horaria cuando se deja caer desde el
reposo.
Ejercicio 6.1.3: Una esfera de masam, radio r y coeficiente de resistencia aerodinámicaCD
cae en el aire de densidadρ . Calcular la velocidad lı́mite y la ley horaria.
Aplicarlo al caso de un balón de fútbol:m= 410− 450 g,CD = 0,5, 2πr = 68−70 cm,
ρ = 1,225 kg/m3.
NOTA: Al superar una velocidad entre 20 y 25 m/s, según la rugosidad de las superficie, el régimen pasa de
laminar a turbulento, yCD cae bruscamente a un valor de aproximadamente 0,1. Si la velocidad lı́mite calculada
con el primer valor es mayor que esta, habrá que calcularla de nuevo con elCD menor. Este efecto lo usó David
Beckham en el mundial de 2002: Tira a gran velocidad por encima de la barrera; al acercarse a la porterı́a parece
que se va alto. Pero ya se ha frenado lo suficiente para entrar en régimen laminar, con lo que de pronto sube la
resistencia, cae bruscamente y entra en la porterı́a.
31
32 CAṔITULO 6. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
6.2. CasoF(x)
Ejercicio 6.2.1: Un punto material de masam se mueve sobre una rectaOx, sometido a un
campo cuyo potencial esV(x) = mgx[(x/a)2−3]. Determinar su ley horaria, cuando se lanza
desdex0 = a con una velocidadv0 =
√
8ga.
Ejercicio 6.2.2: Un punto de masam realiza un movimiento unidimensional a lo largo del eje
Oxsometido sólo a la acción de la fuerzaF = mKxex/a i, dondeK y a son constantes conocidas.
Inicialmente el punto se sitúa en la posiciónx= a y se le comunica una velocidadv0 según el
sentido negativo del ejeOx. Estudiar en función dev0 el tipo de movimiento que sigue el punto.
16 de Septiembre de 1991
Ejercicio 6.2.3: Un punto material de masam, realiza un movimiento unidimensional, a lo
largo del ejeOx, sometido a una fuerza que deriva del potencialV(x) = −(mg/a2)x2(x−a).
Inicialmente, el punto está en el origen y tiene una velocidadv0, según el sentido negativo del
ejeOx. Estudiar cualitativamente el movimiento del punto, según sea el valor dev0.
4 de Abril de 1991
Ejercicio 6.2.4: Un punto material de masam realiza un movimiento unidimensional según el
ejeOxsometido a una fuerza que deriva del potencialV(x) =−mgxe−x/a. Inicialmente sesitúa
enx= a y se le comunica una velocidadv0 hacia la izquierda. Estudiar el movimiento del punto
según el valor dev0.
11 de Septiembre de 1990
Ejercicio 6.2.5: Un punto material de masam se mueve sobre una rectaOx sometido a una
fuerza que deriva del potencialV(x) =−(mg/a3)x2(x2−a2). Inicialmente se sitúa en el origen
y se lanza con una velocidadv0. ¿Cuál es el mı́nimo valor dev0 necesario para que el punto
llegue al infinito?
29 de Junio de 1988
6.3. Oscilador armónico
Ejercicio 6.3.1: Un cubo de aristaa y densidad la mitad de la del agua está flotando con la
cara superior horizontal. Se empuja un poco hacia abajo, sinhundirlo del todo, y se suelta sin
girarlo, de modo que se mueve siempre con la misma orientaci´on. Calcular la frecuencia de las
oscilaciones.
Ejercicio 6.3.2: Una partı́cula pesada de masamse mueve por una recta horizontal rugosa, de
coeficiente de rozamientof . Está unida a un puntoO de la recta por un muelle de constantek y
longitud natural cero. Integrar la ecuación del movimiento, razonando cómo se han de tratar los
cambios de signo en la fuerza de rozamiento. Inicialmente selanza desdeO con velocidadv0.
Septiembre de 1996
Problema 6.3.1: Sea Ox una recta horizontal sobre la que se desplaza un partı́cula material
pesadaM de masam; seaµ el coeficiente de rozamiento existente entre la partı́culaM y la recta.
Además del peso, sobreM actúa la fuerza de un muelle, de longitud natural nula y constante de
rigidezk, que une la partı́cula con el origenO de la rectaOx.
En el instante considerado como inicial,t = 0, la partı́cula se sitúa en el origen,x0 = 0,
y se lanza con una velocidad ˙x0 > 0. Se inicia ası́ un movimiento en el que la partı́cula viaja
hacia el semiespaciox> 0 hasta alcanzar una separación máximax1; posteriormente, comienza
a moverse hacia el semiespaciox< 0 hasta alcanzar, en él, una separación máximax2.
Para el primer tramo del movimiento de la partı́cula (cuandoẋ> 0), se pide:
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
6.3. OSCILADOR ARMÓNICO 33
1) Plantear las ecuaciones que gobiernan el movimiento deM. Determinar su ley horaria.
Calcular la elongación máximax1, en función de los datos conocidos del problema, y el
tiempo que tarda en alcanzarla.
Para el segundo tramo del movimiento de la partı́cula (cuando ẋ< 0), se pide:
2) Plantear las ecuaciones que gobiernan el movimiento deM. Determinar las condicio-
nes iniciales aplicables a este tramo. Determinar su ley horaria. Calcular la elongación
máximax2, en función de los datos conocidos del problema, y el tiempoque tarda en
alcanzarla.
3) Determinar el máximo valor de la constante de rigidezk del muelle necesaria para que,
una vez alcanzada la máxima separaciónx2 en el segundo tramo, la partı́culaM perma-
nezca en reposo. Explicar razonadamente la condición que se impone para determinar
dicho valor máximo.
4) Analizar si se disipa, o no, energı́a en el proceso. Si la respuesta es afirmativa determinar
la energı́a disipada; si es negativa razonar por qué no se produce disipación.
NOTA: El análisis se facilita si se introducen las siguientes variables y parámetros adimen-
sionales:
ω =
√
k
m
, τ = ω t, z= x
ω
ẋ0
, ε =
µ g
ẋ0
√
m
k
ETSIA, septiembre de 2007
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
34 CAṔITULO 6. MOVIMIENTO RECTILÍNEO
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
Caṕıtulo 7
Movimiento del punto libre
7.1. Part́ıcula libre
Ejercicio 7.1.1: Un punto materialM se desplaza en el espacio sometido a una fuerza que
simultáneamente es paralela a un plano fijoP y normal a la velocidad deM. Sabiendo que la
magnitud de esta fuerza es proporcional a la velocidad deM y que en el instante inicialM
está dotado de una velocidadv0 que forma un ánguloα con el planoP, se pide:
1. Determinar el movimiento deM especificando su trayectoria y su ley horaria.
2. Indicar cómo serı́a el movimiento del punto en el caso de que la fuerza indicada fuese
proporcional al cubo de la velocidad deM.
Mayo de 1968
Ejercicio 7.1.2: Una partı́cula de masam se mueve bajo la acción de una fuerza~F = m~v∧~B
siendo~v la velocidad de la partı́cula, y~B un vector de módulo y dirección constantes. Describir
el tipo de movimiento que sigue la partı́cula en función delvalor inicial de~u, componente de
velocidad paralela a~B. Obtener el radio de curvatura de la trayectoria cuandou= 0.
Septiembre de 1991
35
36 CAṔITULO 7. MOVIMIENTO DEL PUNTO LIBRE
Problema 7.1.1: Una partı́culaM de masam y desprovista de peso se mueve sin rozamiento
sobre un plano referido a un par de ejes ortogonalesOxy, sometida a un campoF tal que si la
partı́cula se lanza con una velocidadv0 desde el punto(x0,y0) la velocidadv que lleva cuando
llega a un punto genérico(x,y) verifica que
v2 = v20+2ω
2(xy−x0y0)
Se pide:
a) Determinar del campoF que actúa sobre la partı́cula.
b) Plantear e integrar completamente las ecuaciones del movimiento de la partı́cula.
c) Si la partı́cula se lanza desde un punto cuyo vector de posición esr0 con una velocidad
v0, ¿Qué condición deben verificarr0 y v0 para que la partı́cula no se marche al infinito?.
d) ¿Cuál serı́a el movimiento limite de la partı́cula si se cumple la condición anterior?
e) Para una velocidad inicialv0 de módulo dado, ¿desde qué región del plano podrı́a lanzarse
la partı́cula para que no se marche al infinito?.
f) Determinar completamente las constantes de integración y hacer un dibujo aproximado
de la trayectoria si se lanza la partı́cula desde(0,a) con una velocidadv0 =−
a
2
ω(i + j).
Febrero de 1990
Problema 7.1.2: Una partı́cula material pesadaM, de masam, y cuya carga eléctrica esq,
está obligada a moverse sin rozamiento por un plano horizontal OXY. La partı́culam está uni-
da al puntoO mediante un muelleOM, cuya longitud sin deformar, y constante elástica son
respectivamentea y mω2, de forma que la fuerza que el muelle ejerce sobre el puntoM será:
F =−mω2 (r −a) ur
en donder representa la distanciaOM y ur es el versor de la dirección y sentido deOM.
Se considera finalmente un campo magnético definido por:
B =
mω
q
k
siendok el versor de la vertical ascendente.
La posición de la partı́culaM en el plano quedará determinada indistintamente por sus coor-
denadas cartesianas(x,y) y por sus coordenadas polares(r,θ). Se pide:
1. Determinar, en función dex, y, y sus derivadas, las componentes según los ejesOX y OY
de las fuerzas que actúan sobreM.
2. Plantear, utilizando las coordenadasx, y, las ecuaciones de movimiento deM.
3. Plantear, utilizando las coordenadasr, θ , las ecuaciones de energı́a cinética y de momento
cinético respecto aO.
4. Reducir la cuadraturas las ecuaciones determinadas en elapartado anterior con objeto de
determinar la trayectoria y la ley horaria deM.
5. Suponiendo queM se encuentra inicialmente a una distanciaa de O, ¿en qué dirección
se deberá lanzar y cuál debe ser el valor de la velocidad deM, con objeto de que el
movimiento de dicho punto sea uniforme?
6. Suponiendo que el punto se encuentra inicialmente a una distanciaa deO y que se lanza
en dirección radial, ¿cuál será el valor mı́nimo de la velocidad inicial con objeto de que
M llegue a una distancia 2a deO?
E.T.S.I. Aeronáuticos
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
7.2. MOVIMIENTOS CENTRALES 37
Problema 7.1.3: Un punto materialM, de masam, se mueve sin rozamiento sobre un plano,
atraı́do proporcionalmente a su masa y a la distancia por dospuntos de ese plano, el unoO fijo
y otro Sque gira uniformemente alrededor deO.
La constante de proporcionalidad de las fuerzas atractivasesk.
La velocidad angular de la rectaOSse representa porω y la distanciaOSse tomará igual a
a. Se pide:
Calcular la trayectoria deM con relación a la recta móvilOS.
Estudiar el movimiento en el caso particulark = ω2/2 suponiendo que en el instante
inicial el puntoM se encuentra enO y no tiene velocidad.
Calcular el valor máximo de la velocidad relativa deM en el caso particular definido en
el apartado 2).
Nota: La ecuaciónde la trayectoria pedida en el apartado 2 debe contener cuatro constantes
indeterminadas.
E.T.S.I.A., marzo de 1966
7.2. Movimientos centrales
Ejercicio 7.2.1: Una partı́cula de masam está sometida a una fuerza central respecto al punto
fijo O de valor:F= Km
(
r2−3ar+2a2
)
ur dondeK y a son constantes positivas. Estudiar para
qué valores del radio son posibles órbitas circulares de centroO, y determinar la velocidad en
función del radio.
Septiembre de 1994
Ejercicio 7.2.2: Una partı́cula de masamestá sometida a la fuerza centralF =−km
r3
ur , donde
k es una constante positiva yr es la distancia al polo de atracción. SeaC la constante de áreas
y E la energı́a mecánica total de la partı́cula. Determinar, según sea(C2− k) > / = / < 0 y
E > /= / < 0, si la partı́cula puede irse al infinito y en caso de que ası́ sea, si lo hace con rama
asintótica, parabólica o espiral.
Septiembre de 1993
Ejercicio 7.2.3: Una partı́cula describe una órbita circular de radioa bajo la acción de una
fuerza central que solo depende de la distanciar al poloO. Sabiendo quedicho polo se encuen-
tra sobre laórbita de la part́ıcula,obtener la ecuación de la trayectoria respecto a un sistem de
referencia con origen enO y la forma de la fuerza.
Septiembre de 1996
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
38 CAṔITULO 7. MOVIMIENTO DEL PUNTO LIBRE
Problema 7.2.1: Una partı́cula de masamse mueve sin rozamiento sobre un planoOxysome-
tida a la fuerza central
F =−mω
2a3
r2
(1−2λ cosθ)ur
dondeλ es un parámetro positivo.
Inicialmente la partı́cula se encuentra en(a,0) con una velocidadωa dirigida según la parte
positiva deOy. Se pide:
1. Establecer la ecuación diferencial de la trayectoria dela partı́cula, integrarla y particula-
rizarla para las condiciones iniciales dadas.
A continuación vamos a ir resolviendo una serie de cuestiones que tienen por finalidad el análisis
del movimiento y de la trayectoria.
2. Dibujar en un diagrama cartesiano el valor dea/r en función deθ y observar la influencia
que tiene el parámetroλ en la curva obtenida.
3. Razonar a la vista de las curvas anteriores que para valores pequeños deλ existen dos
puntos del plano por los que pasa varias veces la trayectoriaantes de marcharse al infinito.
SeanM y M′ estos dos puntos. Situarlos exactamente en el plano.
4. La velocidad de la partı́cula va pasando alternativamente por unos valores máximos y
mı́nimos. Seanθi los valores deθ en los puntos correspondientes. Obtener una ecuación
trascendente que nos dé los valoresθi buscados.
5. Hallar el valor que la velocidad va tomando en función deθ y en particular calcular sus
máximos y mı́nimos en función de losθi anteriores.
6. Establecer la ecuación que nos da el valorθ∞ para el que la trayectoria se marcha al
infinito.
7. Obtener el mı́nimo valor deλ para el cual la partı́cula se marcha al infinito sin que su
velocidad haya crecido en ningún momento. Seaλm este valor.
8. Estudiar si la marcha al infinito se hace con rama asintótica o parabólica considerando
especialmente el caso en queλ = λm.
9. Hacer un dibujo aproximado de la trayectoria en el caso en queλ = 1/10.
Septiembre de 1985
Problema 7.2.2: Una partı́cula material de masam es atraı́da por un punto fijoO de un plano
Oxycon una fuerza
F =−3km
r4
(
1+
2a
r
)
donder es la distancia que la separa deO.
En el momento inicial la partı́cula se encuentra en(3a,0) con una velocidadv0 j . Se pide:
1. Plantear las ecuaciones del movimiento de la partı́cula,dejando la integración pendiente
de una cuadratura del tipo
t =
∫
r2dr
√
ϕ(r)
2. Obtener completamente integrada la trayectoria para el caso en quev0 es tal queϕ(r)
queda reducida a un polinomio de 2o grado. Dibujar dicha trayectoria.
3. Determinar en este caso el tiempo que la partı́cula tarda en llegar aO ignorando la singu-
laridad fı́sica que presenta este punto.
4. Determinar qué rango de velocidades hacen que la partı́cula se marche al infinito.
5. Estudiar la existencia de ası́ntota en este caso.
6. Estudiar la existencia y estabilidad de movimientos circulares estacionarios.
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
7.3. DINÁMICA ORBITAL 39
7.3. Dinámica orbital
Ejercicio 7.3.1: Un satélite de masam, sigue una órbita circular de radioa alrededor de la
Tierra; en un instante dado se ponen en funcionamiento sus cohetes, durante un tiempo muy
corto frente al perı́odo orbital, que incrementan su velocidad en∆v, en la dirección tangente a
la órbita. Discutir el tipo de órbita en función de∆v. En caso de órbita cerrada, ¿En qué punto
alcanza la distancia máxima a la Tierra?
Junio de 1992
Ejercicio 7.3.2: Una nave espacial describe una órbita circular de radioR con velocidadvc
alrededor de la Tierra, supuesta perfectamente esférica.Desde la nave se lanza una partı́cula,
de masa despreciable frente a la de la nave, con velocidadv0 = εvc relativa a la nave, en una
dirección que forma un ánguloϕ0 con el radio vector. SeanT y T0 los perı́odos de las órbitas
de nave y partı́cula, respectivamente. Determinar el cociente T/T0 en términos deε y de ϕ0;
hallar la relaciónf (ε,ϕ0) necesaria para que los perı́odos coincidan, y explicarla mediante un
adecuado diagrama de velocidades.
Febrero de 1993
Ejercicio 7.3.3: Dos satélites 1 y 2, siguen la misma órbita circular, de radio r0, alrededor de
la Tierra, de forma que sus radios vectores están separadosun ánguloα; en un puntoP dado
el satélite 1 enciende sus motores, lo que le comunica súbitamente un incremento de velocidad
∆v (tangente a la órbita). Determinar el valor de∆v, necesario para que los dos satélites se
encuentren la próxima vez que pasen porP.
Septiembre de 1993
Ejercicio 7.3.4: Sobre un plano fijo y lisoOxy, dondeOyes la vertical ascendente, se mueven
dos partı́culas pesadas de igual masam. Además de su peso, entre las partı́culas existe una
fuerza de atracción de valorGm
2
r2
, dondeG es una constante positiva yr es la distancia entre
ellas. Inicialmente una partı́cula está en el origen con velocidad nula y la otra está en el punto
de coordenadas(0,a) con velocidadv0 i. Determinar el movimiento del centro de masas de las
partı́culas y el mı́nimo valor dev0 para el cual la distancia entre las partı́culas aumenta hasta el
infinito.
Febrero de 1995
Ejercicio 7.3.5: Considérese una Tierra perfectamente esférica que atraea una partı́cula de
masam con una fuerzaF = −mµr3 r , siendor el vector posición con origen en el centroO de
la Tierra. Una nave espacial de masam se encuentra en órbita circular de radioa alrededor de
la Tierra. En un instante dado(t = 0) se encienden los motores que proporcionan un empuje
constante en la dirección radial de valorF1 = ε mµa2 ur . Mostrar que existe un valor crı́tico del
parámetroε, por encima del cual la nave escapa del campo gravitatorio terrestre. Determinar
dicho valor crı́tico.
Junio de 1999
Ejercicio 7.3.6: Se tiene un planeta perfectamente esférico de radioR y constante gravitatoria
µ. A una distanciar > R del centro se lanza una partı́cula con una velocidadv normal al ra-
dio. Describir y dibujar los tipos de trayectorias que se obtienen cuandov varı́a de 0 a∞. En
particular, hay que calcular los valores dev para las tres trayectoriasseparatrices:tangente al
planeta, circular y parabólica; describir las trayectorias en las cuatro regiones determinadas por
las separatrices; y comentar cómo varı́an la energı́a mec´anica, el pericentro y el foco vacı́o con
v.
Problema 7.3.1: SeaM una partı́cula material de masam, que se mueve en un planoP, atraı́da
EIAE. Problemas de Mecánica Clásica
40 CAṔITULO 7. MOVIMIENTO DEL PUNTO LIBRE
por un puntoA del planoP, con una fuerza de intensidad
mµ
|AM|2
.
SeaOx1y1 una referencia galileana, rectangular, ligada al planoP; el centro atractivoA, es
móvil, y describe la rectay1 = L, con velocidad constante de valor−U i. En el instante consi-
derado como inicial, el puntoA atraviesa el ejeOy1, y la partı́cula material se lanza, desde el
origenO, con una velocidad,