Es-EXO-1213-Examen ordinario estructuras enero 2013

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ESCUELA DE INGENIERÍA AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO 
ESTRUCTURAS (CTA) 18 de enero de 2013 
 
La figura representa la sección transversal de pared delgada de una viga. Está constituida 
por tres paneles iguales de longitud “2a” y espesor constante “t”, que conservan la plena 
capacidad para soportar tanto los esfuerzos cortantes como normales, y por tres cordones, 
de igual área “2at”, que soportan únicamente esfuerzos normales. La sección está sometida 
a una carga vertical descendente de valor P. Se pide: 
1.- El momento de inercia Ix de la sección, para a=100 mm y t=1 mm, en mm4. 
2.- Para la carga P de la figura, valor del máximo flujo cortante ( )2/ /s xq Pa t I en el panel 
horizontal. 
3.- Para dicha carga, el valor del máximo flujo cortante ( )2/ /s xq Pa t I en los paneles inclinados. 
4.- La constante de rigidez a torsión J, en mm4. 
5.- Cuando se aplica en la viga una carga P= 900 N tal como muestra la figura, valor del esfuerzo normal máximo de flexión, 
en MPa, que aparece en una sección a una distancia de 2 m. 
 
 
Se sabe que la distribución de flujos cortantes en la sección de empotramiento 
puede obtenerse a partir de la expresión: 
( )1 1 1' cos ' ' tq Gt u v sen rψ ψ θ= ⋅ + ⋅ + ⋅ 
En la sección cuadrada de lado “a” la figura, los paneles horizontales tienen un 
espesor “t” mientras que los verticales tienen un espesor “2t”. Sobre la sección 
actúan unas fuerzas Sx, Sy y un momento Mz1 con respecto al punto central O1, 
que se toma de referencia. 
Se toman los valores de los parámetros a=100 mm y t=1 mm. Se pide: 
6.- Valor del flujo cortante (en N/mm) en los paneles horizontales debido a una fuerza horizontal Sx = 1000 N. 
7.- Valor del flujo cortante (en N/mm) en los paneles horizontales debido a una fuerza vertical Sy = 1000 N. 
8.- Valor del flujo cortante (en N/mm) en el panel horizontal inferior debido a un par de torsión de valor T= 120000 N·mm. 
 
 
La figura representa una viga de longitud 2L y cuya sección es 
de pared delgada rectangular de ancho 2a y altura h. Está 
soportada por tres apoyos elásticos iguales en los puntos A, C y 
E, de constante de rigidez k en N/mm. Se conocen además las 
rigicedes EIx a flexión, GJ a torsión y GAy a cortadura. La 
estructura está sometida a una carga distribuida de valor q, 
aplicada en el panel vertical ABC de la sección. 
 
Se está interesado en determinar el giro de la sección central en su plano. De forma paramétrica, se puede expresar por la 
relación: 
3 3
·BE
x y
qL qL qL q
E I G A GJ k
θ α β γ η= + ⋅ + ⋅ + ⋅ 
Sean las longitudes L=3 m y a=0,5 m. Se pide: 
9.- El valor del coeficiente adimensional α . 
10.- El valor del coeficiente adimensional β. 
11.- El valor del coeficiente adimensional γ. 
12.- El valor del coeficiente adimensional η . 
 
2a
2a2a
t
t t
2at 2at
2at
P
ABC
DEF
q
2a
LL
kk
k
2a
t
t
2t 2t
a a
a
a
1O
Mz1Sy
Sx
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ESTRUCTURAS (CTA) 18 de enero de 2013 
 
Soluciones 
1.- Tres ejes de simetría. Centro de gravedad a distancia 3 3a de los lados y 
2 3 3a de los vértices. 
3
, 2x panelesI a t= 
3
, 4x cordonesI a t= 
3 6 4
, 6 6·10x totalI a t mm= = 
2.- Se presenta en los extremos del panel, en los puntos vecinos a los cordones. 
23 3· · · ·
3 3
y
s
x x
S P Nq at a a t
I I mm
= − = + 
3.- El máximo se presenta en la intersección del panel con el eje horizontal, que es el máximo momento estático. 
2 23 3 2 3 1 3 1 10 3· · 2 · · · · 1 2 · ·
3 3 3 3 2 3 3 9s x x x
P a P P Nq at a at a t a a t a t
I I I mm
   = + + + = + + + = +       
 
4.- 
( )222 3 6 24 34 2 2·10
6
aSJ a t N mm
ds a
t t
= = = =
∫
 
5.- 2
3 34,64
9z
PL MPa
a t
σ = − = − 
 
 
6.- 
1000 5,0
2 2·100
x
h
S Nq
a mm
= = = 
7.- 
1000 5,0
2 2·100
y
v
S Nq
a mm
= = = 
8.- 
( )
,1 ,1
13 2 2
120000· · 4
· 3 2 3 3·100
z z
t t
M M Nq Gt r
mmG a t a
 
= = = =  
 
. 
 
Giro de sección central: 
3 3
·BE
x y
qL qL qL q
E I G A GJ k
θ α β γ η= + ⋅ + ⋅ + ⋅ 
Para L=4 m y a=0,5 m, la relación L/a = 8 
Coeficientes: 
 9.- 
5 5
48 6
L
a
α = + = 
10.- 
1 2
4
L
a
β = + = 
11.- 
1 1
4 32
a
L
γ = + = 
12.- 
1 4
2
L
a
γ = + = 
 
ABC
DEF
q
2a
LL
kk
k
2a
t
t
2t 2t
a a
a
a
1O
Mz1Sy
Sx
2a2a
t t
2at 2at
2at
P
G x
y
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ESTRUCTURAS (CTA) 18 de enero de 2013 
 
 
PARTE A .- La figura muestra la sección transversal de pared delgada de una viga, idealizada mediante 6 paneles de chapa, 
que soportan únicamente esfuerzos cortantes, y 5 cordones, que soportan los esfuerzos normales. 
Todos los paneles son de la misma aleación y tienen el mismo espesor t=2 mm. Las longitudes de los paneles y las áreas de los 
cordones aparecen referenciados en la figura. 
 
 
 
 
 
 
 
Se pide indicar y marcar en los espacios correspondientes de la hoja para lectora óptica los valores siguientes: 
 
1.- Flexión. Valor del momento de inercia de la sección (mm4) Ix = 
 
Comportamiento en cortadura. Se supondrá una carga vertical de valor Sy= 1000 N aplicada en el centro elástico de la sección. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.- Valor del flujo en el panel vertical interior (N/mm): qs = 
3.- Valor del flujo en el panel vertical exterior(N/mm): qs = 
4.- Distancia del centro elástico al panel vertical interior (mm) c = 
5.- Área reducida en cortadura (mm2) Ay = 
 
Comportamiento en torsión. Se supondrá aplicado un par T en el centro elástico 
 
 
 
 
 
6.- Valor del flujo en un panel inclinado de celdilla 1: q’1 = q1 / Gθ’ = 
7.- Valor del flujo en un panel horizontal de celdilla 2: q’2 = q2 / Gθ’ = 
8.- Constante de rigidez a torsión (mm4) J = 
 
1000 mm
200 mm
1000 mm
t=2mm
t=2mm
1400 mm22000 mm2
800 mm2
2000 mm2 1400 mm2
4 1
23
PARTE B .- La figura muestra una viga AB de sección transversal constante, de longitud L, empotrada en el extremo A y 
apoyada en el punto C, que dista una longitud “a” del extremo libre B. 
Se conocen las rigideces de la sección a flexión EIx, a torsión GJ y a cortadura GAy, así como la posición del centro elástico, 
que está situado a una distancia “c” del panel vertical interior. 
La viga está sometida a una carga uniformemente distribuida de valor “p” por unidad de longitud, aplicada en el panel central. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para resolver la estructura, se toma como incógnita hiperestática la reacción vertical X en el apoyo C. El desplazamiento del 
punto de apoyo C puede expresarse en función de las cargas, rigideces y parámetros mediante la relación: 
C
x y x y
X pL
E I GA GJ E I GA GJ
α β γ η λ µδ
   
= + + + + +   
      
 
 
Para los siguientes parámetros: L = 5 m; a = 2 m; c = 370 mm; 
Se pide indicar y marcar en los espacios correspondientes de la hoja para lectora óptica (utilizando m como unidad) los valores 
siguientes: 
1.- Valor del coeficiente α = 
2.- Valor del coeficiente β = 
3.- Valor del coeficiente γ = 
4.- Valor del coeficiente η = 
5.- Valor del coeficiente λ = 
6.- Valor del coeficiente μ = 
 
Para los siguientes valores de los parámetros: 
12 24,76 10xE I Nmm= ⋅ ; 
12 24,94 10GJ Nmm= ⋅ ; 72,24 10yG A N= ⋅ ;
 9 /p N mm= 
 
7.- El valor de la reacción (en N) es X = 
 
8.- El valor del giro de la sección del extremo (en rad) es θ = 
 
 
p
L a
b
b
c
A BC
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ESTRUCTURAS (CTA) 18 de enero de 2013 
 
Solución 
PARTE A 
1.- Flexión. Valor del momento de inercia de la sección (mm4) 6,8·107 
Comportamiento en cortadura. Se supondrá una carga vertical de valor Sy= 1000 N aplicada en el centro elástico de la sección. 
2.- Valor del flujo en el panel vertical interior (N/mm): qs = 2,628 
3.- Valor del flujo en el panel vertical exterior(N/mm): qs = 2,111 
4.- Distancia del centro elástico al panel vertical interior (mm) c = 380,2 
5.- Área reducida en cortadura (mm2) Ay = 828,2 
Comportamiento en torsión. Sesupondrá aplicado un par T en el centro elástico 
6.- Valor del flujo en un panel inclinado de celdilla 1: q’1 = q1 / Gθ’ = 212,8 
7.- Valor del flujo en un panel horizontal de celdilla 2: q’2 = q2 / Gθ’ = 351,1 
8.- Constante de rigidez a torsión (mm4) J = 1,83·108 
 
 
PARTE B 
 
Expresión del desplazamiento del punto C en función de los parámetros de la estructura y de las cargas p y X (hiperestática): 
C
x y x y
X pL
E I GA GJ E I GA GJ
α β γ η λ µδ
   
= + + + + +   
      
 
 
De la aplicación del método de la carga unitaria para el caso de carga dado se obtiene la relación: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 2 2 2 22 4 4 3 4 ·1 1 1 1 0
3· 8 6 2· 2·C x y x y
L a c L aL a L a c L a L a aL aX pL
E I GA GJ L E I L GA L GJ
δ
   − −− − −  − − = + + − − + + =   
       
 
 
Sean los siguientes parámetros: L = 5 m; a = 2 m; c = 370 mm; 
Utilizando metros como unidad de longitud: 
1.- Valor del coeficiente α = 9 
2.- Valor del coeficiente β = 3 
3.- Valor del coeficiente γ = 0,4107 
4.- Valor del coeficiente η = -7,425 
5.- Valor del coeficiente λ = -2,1 
6.- Valor del coeficiente μ = -0,2875 
 
Para los siguientes valores de los parámetros: 
12 24,76 10xE I Nmm= ⋅ ; 
12 24,94 10GJ Nmm= ⋅ ; 72,24 10yG A N= ⋅ ; 9 /p N mm= 
7.- El valor de la reacción (en N) es X = 36546 
8.- El valor del giro de la sección del extremo (en rad) es θ = 2,144·10-4