MS_12_Placas_y_Laminas_corta

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Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Placas y láminas
José Mª Benítez Baena
“...el hecho de que nosotros no hayamos visto otra dimensión no 
quiere decir que ésta no exista.”
Lisa Randall
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
PLACAS Y LÁMINAS
1. Placas 
ÍNDICE (1/2)
i. Definición de placa . Introducción al comportamiento mecánico de 
las placas.
ii. Definición de estado de placa, criterio de signos e hipótesis 
iniciales.
iii. Hipótesis de Kirchhoff.
iv. Campo de desplazamientos.
v. Campo de deformaciones.
vi. Campo de tensiones y esfuerzos
vii. Ecuación de equilibrio de una placa.
viii. Ecuación de equilibrio de una placa considerando efectos dinámicos 
y de segundo orden
ix. Condiciones de contorno esenciales y naturales. Fuerzas 
i l t d l d Ki hh ffequivalentes de placa de Kirchhoff.
x. Algunas soluciones para placas rectangulares sencillas.
xi. Análisis de placas mediante el cálculo variacional.
ii Pl i i é i i i é ixii. Placas axisimétricas con cargas axisimétricas.
Placas y láminas ‐ 2
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
PLACAS Y LÁMINAS
1. Placas
ÍNDICE (2/2)
2. Láminas
i. Introducción.
ii G t íii. Geometría.
iii. Esfuerzos.
iv. Hipótesis de Kirchhoff .
v. Membranas con simetría de revolución.
vi. Teoría de láminas con simetría de revolución .
vii Flexión de láminas cilíndricas circularesvii. Flexión de láminas cilíndricas circulares.
Placas y láminas ‐ 3
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
PlacasPlacas
Definición de placa. Introducción al comportamiento mecánico 
de las placas.
• Sólido paralelepipédico y
plano con una de sus
p
plano con una de sus
dimimensiones ‐espesor (h)‐
mucho menor que las otras
dosdos.
• Las cargas perpendiculares al plano
medio se equilibran con losq
esfuerzos cortantes fuera del plano
y con los momentos flectores y
torsores.
DESACOPLADOS 
en caso de 
comportamiento• Las cargas contenidas en el plano
se equilibran con esfuerzos
cortantes contenidos en el plano y
con esfuerzos axiles
comportamiento
ISÓTROPO
Placas y láminas ‐ 4
con esfuerzos axiles
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
PlacasPlacas
Definición de “estado de placa”,  criterio de signos e hipótesis 
iniciales.
• Estado de placa: estado resultante
de aplicar cargas normales al plano
medio y momentos cuyos ejes estánmedio y momentos cuyos ejes están
contenidos en el mismo plano.
• Mientras no se diga lo contrario:
comportamiento elástico y linealcomportamiento elástico y lineal.
1. Los puntos del plano medio sólo tienen desplazamiento vertical (sólo en el estado
Hipótesis de Kirchhoff.
1. Los puntos del plano medio sólo tienen desplazamiento vertical (sólo en el estado
placa).
2. Todos los puntos contenidos en una normal al plano medio tienen el mismo
desplazamiento vertical.p
3. La tensiónzz es despreciable.
4. Las rectas normales al plano medio antes de la deformación permanecen rectas y
perpendiculares al plano medio después de la deformación
Placas y láminas ‐ 5
perpendiculares al plano medio después de la deformación
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PlacasPlacas
Campo de desplazamientos.
Hipótesis 2
Hipótesis 4
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PlacasPlacas
Campo de deformaciones.
Matricialmente
Placas y láminas ‐ 7
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PlacasPlacas
Ejercicio. Deducir que zz=xz=yz=0
Algunas consideraciones
1 Que  = =0 no implica que las tensiones correspondientes lo sean1. Que xz=yz=0 no implica que las tensiones correspondientes lo sean.
2. Tanto xz como yz se pueden calcular a posteriori mediante equilibrio de
momentos y cortantes.
3 l i i 0 0 l ió i i (l d k3. Al sustituir xz=yz=0 y zz=0 en la ecuación constitutiva (ley de Hooke en este
caso) se obtiene una relación entre tensiones y deformaciones coincidente
con la de tensión plana (incluso en el caso ortótropo).
4. Sin embargo zz=0 (hipótesis de deformación plana) de acuerdo con el campo
de desplazamientos obtenido. Contradicción resuelta asumiendo que zz≈0.
5. La hipótesis 3 de Kirchhoff, zz=0, implica que su trabajo de deformación es
nulo, por lo que puede prescindirse de zz , pudiéndose calcular también a
posteriori .
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PlacasPlacas
Resumiendo. Para reproducir el comportamiento de placas delgadas se usa el campo de 
desplazamientos derivado de las hipótesis de Kirchhoff junto con la hipótesis de tensión 
plana que es la más realistaplana, que es la más realista. 
Campo de tensiones y de esfuerzos.
• Aplicando la expresión de la ecuación constitutiva en tensión plana se• Aplicando la expresión de la ecuación constitutiva en tensión plana se
obtiene el campo de tensiones:
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PlacasPlacas
Esfuerzos. 
• Integrando a lo largo del espesor:
• Todos los esfuerzos son por unidad de longitud y los son positivos cuando las
tensiones son positivas para z>0
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Esfuerzos. 
• Las integrales se pueden calcular considerando las deformaciones en‐el‐plano y las
curvaturas del plano medio (ejercicio: comprobad que sale lo siguiente),
obteniéndose los esfuerzos del estado demembrana y de flexión respectivamente
• Los esfuerzos obtenidos, obviamente, siguen siendo por unidad de longitud, donde A
y D son, respectivamente, las rigideces de la placa a “extensión” y a “flexión”.
• Una vez calculados los esfuerzos anteriores, los cortantes fuera‐de‐plano se pueden
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, p p
calcular recurriendo a la ecuación de equilibrio
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• Las fuerzas dependen sólo de las deformaciones en‐el‐plano de la superficie
media y los momentos dependen únicamente de las curvaturas del plano medio.
• Esto prueba el desacoplamiento entre extensión‐cortante y flexión‐torsión.
• En el comportamiento extensión‐cortante los axiles están desacoplados de los
cortantes, mientras que en el flexión‐torsión los flectores también lo están con los
torsores.
Ejercicio. Comprobad que la tensión normal según el eje x es 
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Esfuerzos en función del campo de desplazamientos. 
• Para calcular los cortantes se recurrirá a la ecuación de equilibrio.
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Ecuación de equilibrio de una placa.
• La obtención las ecuaciones de equilibrio
en función de los esfuerzos permite
calcular los cortantes fuera‐de‐plano.
• Las ecuaciones de equilibrio en función de
las tensiones son válidas tanto para placas
isótropas como anisótropas.
• La ecuación diferencial de la placa en• La ecuación diferencial de la placa en
función de la flecha ha servido
tradicionalmente para obtener soluciones
analíticas de placas de geometría sencilla,p g ,
sujetas a cargas estáticas que provocan
pequeñas deformaciones.
• Se puede obtener estableciendo el
equilibrio de momentos y fuerzas a los
largo de las direcciones pertinentes en un
elemento dx‐dy.
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Momentos
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Fuerzas
Los cortantes según las direcciones x e yLos cortantes según las direcciones x e y
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Ejemplo: fuerzas según x
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Otra forma de obtener la ecuación de equilibrio.
• Aplicando la ecuación de equilibrio en forma tensorial y considerando las fuerzas
volumétricas:
• Multiplicando la primera ecuación por dz e integrando entre h/2 y –h/2
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• Haciendo lo mismo en todas las
ecuaciones queda (ejercicio:
b d)comprobad)
• Donde
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• Multiplicandolas dos primeras ecuaciones por zdz e integrando entre h/2 y –h/2
(ejercicio: comprobad)(ejercicio: comprobad)
donde
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PlacasPlacas
• Despejando los cortantes del sistema de EDs anterior y sustituyendolos en la ED de
los cortantes
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PlacasPlacas
• Sustituyendo las ecuaciones de los momentos en función de los desplazamientos
verticales en la ecuación anterior (ejercicio: comprobad)
• Si los momentos que provocan las fuerzas volumétricas en x e y son independientes
de estas coordenadas, la ED de equilibrio de una placa expresada en función de los
momentos y de los desplazamientos sería
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• La última expresión se puede expresar de manera más compacta
• En la mayoría de la bibliografía, la ecuación anterior viene expresada
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PlacasPlacas
Condiciones de contorno esenciales y naturales. Fuerzas 
equivalentes de placa de Kirchhoff.q p
Condiciones de contorno esenciales
• Las ecuaciones de equilibrio
expresadas en función de los
desplazamientos se convierten en
EDs de segundo orden en términos
de las componentes de los
desplazamientos en‐el‐plano y de
cuarto orden en función de los
desplazamientos fuera‐del‐plano.
• Se necesitan dos condiciones de contorno para los desplazamientos en‐el‐plano,       y        ,
y cuatro condiciones de contorno para los desplazamientos fuera‐de‐plano, giro y u0z  a lo 
largo de cada dirección x e y.
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g y
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PlacasPlacas
Estado de
Estado de
membrana
• Las componentes según n y s se pueden obtener desde las de xy cambiando el
placa
• Las componentes según n y s se pueden obtener desde las de xy cambiando el
sistema de representación (comprobadlo)
• La condición de contorno de
desplazamiento en z está
relacionada con su variación a
lo largo de n, por lo que no
d ipueden ser prescritas
independientemente:
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PlacasPlacas
• Es posible imponer condiciones de contorno de cargas a través de las conjugadas de
Condiciones de contorno naturales
trabajo de los desplazamientos anteriores.
Equivalente a la primera condición cinemática
Equivalente a la segunda condición cinemática
Equivalente a la cuarta condición cinemática
• ¿Conjugado de trabajo de u0z ?
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PlacasPlacas
• Integrando por partes
=0
si  A=B
Fuerza equivalente de Kirchhoff
(cortante en el contorno) (fuerzas 
de esquina)de esquina)
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Fuerza equivalente de Kirchhoff : cortante en el contorno
• Prescribir equivale a prescribir• Prescribir equivale a prescribir
• Como          está relacionado con                      y al mismo tiempo con         , ambas no 
son independientes en el contorno,  por lo que sólo una de ellas puede formar parte 
como condición en el contorno .
• En la integración por partes anterior, el término entre corchetes se anulaba al 
considerar dos puntos infinitesimalmente próximos  en contornos suaves. 
• En esos puntos, las normales son prácticamente coincidentes y por consiguiente los 
valores de los torsores (Mns).
• En el caso de las esquinas de la placa, obviamente las normales no son coincidentes.           
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PlacasPlacas
Fuerza equivalente de Kirchhoff : fuerzas de esquina
• La ecuación de energía en el contorno implica que en las esquinas se produce una 
f t d d l Rfuerza concentrada de valor RAB:
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PlacasPlacas
Fuerza equivalente de Kirchhoff : significado físico
• Si los torsores se pueden expresar 
como pares de fuerzas
• Estas reacciones impiden el levantamiento de las esquinas de la placa si el desplazamiento 
vertical no estuviera restringido a lo largo del perímetrog g p
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PlacasPlacas
Condiciones de contorno más típicas
• Borde empotrado
• Borde simplemente apoyadop p y
• Borde libre
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PlacasPlacas
Algunas soluciones para placas rectangulares sencillas
Solución de Navier
• Aplicable a placas con sus cuatro bordes simplemente apoyados
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PlacasPlacas
• Aplicable a placas con dos de sus bordes opuestos simplemente apoyados siendo las
Solución de Lévy‐Nadai
condiciones en los otros dos cualesquiera
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PlacasPlacas
Análisis de placas mediante el cálculo variacional
Principio de mínima energía potencial
• El principio de mínima energía potencial establece que de todos los desplazamientos
posibles que satisfacen las condiciones de contorno de una estructura, sólo cumplen las
condiciones de equilibrio estable los que minimizan la energía potencial.
p g p
condiciones de equilibrio estable los que minimizan la energía potencial.
• La energía potencial se definió como la suma de la energía potencial interna más el
potencial de las cargas exteriores. En el caso elástico lineal
Utili d l t ió d V i t id d l t i t d t d• Utilizando la notación de Voigt y considerando que el comportamiento de un estado
placa se simula mediante tensión plana, la energía potencial interna se puede expresar
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PlacasPlacas
El i t d d l l tit d l i di t• El integrado se puede calcular sustituyendo las expresiones correspondientes
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PlacasPlacas
• Tras varias operaciones triviales, la expresión de la energía potencial interna queda
• Mientras que la de la energía potencial externa es inmediata para el estado placa
Interpretación geométrica de la energía potencial interna
• Sea 1 y 2 las curvaturas máxima y mínima, respectivamente, de una superficie. Se1 y 2 y , p , p
define la curvatura media (m) y la curvatura gaussiana (), respectivamente, como .
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PlacasPlacas
• Siendo entonces la energía potencial interna
• Existen condiciones en las que
• Placas con bordes rectilíneos y con w=0
en el contornoen el contorno.
• Placas con contorno curvilíneo y con giro
según la normal nulo en dicho contorno.
• En esos casos
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Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
PlacasPlacas
• La deflexión de la superficie media de la placa se aproxima mediante series del tipo
Método de Rayleigh‐Ritz
• La deflexión de la superficie media de la placa se aproxima mediante series del tipo
• Donde fi son funciones continuas que satisfacen individualmente al menos las
condiciones de contorno geométricas y son capaces de representar la forma de la
deflexión de la superficie de la placa. ci son constantes que se calculan mediante eldeflexión de la superficie de la placa. ci son constantes que se calculan mediante el
principio de mínima energía potencial .
• La minimización produce un sistema de n ecuaciones donde las ci son las incógnitas
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PlacasPlacas
• La solución de los problemas de placas por el método de Rayleigh‐Ritz se reduce a
Selección de las funciones de forma para flexión de placas
encontrar las funciones de forma fi adecuadas, es decir, que cumplan las condiciones de
contorno y que aproximen lo mejor posible la forma de la deflexión de la superficie
media de la placa.
• Expresemos las series con
funciones de forma fi con
variables separadasvariables separadas
Placas y láminas ‐ 52
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PlacasPlacas
Consideraciones sobre el método de Rayleigh‐Ritz
• Puedentratarse de manera sencilla condiciones de contorno complejas.
• Es un método muy preciso , aunque la precisión de la solución depende de la selección
de las funciones de formade las funciones de forma.
• Puede ser utilizado en placas de cualquier geometría (circulares, rectangulares,…) y con
espesor variable.
S d b l i lí i i d d bl l j d• Se pueden obtener soluciones analíticas aproximadas de problemas complejos de
placas.
• El método requiere la evaluación de integrales definidas de funciones simples
previamente seleccionadas.
• Recomendable como primer cálculo manual de un problema antes de su
implementación en el ordenador. Aunque las operaciones matemáticas son simples, a
veces este cálculo manual puede ser largo.
• Es uno de los métodos más utilizados para resolver problemas complejos en el campo de
la mecánica de estructuras en general .
Placas y láminas ‐ 53
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Introducción.
• Las láminas son elementos estructurales 
con un espesor pequeño comparado con el 
resto de sus dimensiones y con los radios de 
i i lcurvatura principales.
• Fuselajes de aviones, cascos de barcos,
cubiertas, depósitos, cráneos, retinas, etc…
• Se puede considerar como una placa en laSe puede considerar como una placa en la
que su plano medio puede ser curvo.
• Su comportamiento estructural viene dado• Su comportamiento estructural viene dado
por su geometría ya que la curvatura del
plano medio aporta capacidad resistente.
Placas y láminas ‐ 67
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
• Superficie desarrollable: cuando se reduce a una superficie plana sin deformarse 
Geometría.
(bóveda cilíndrica).
• Superficie no desarrollable: La que se deforma al reducirse a una superficie plana 
(bóveda semiesférica).( )
• Al cortar una lámina mediante planos que contienen a la normal en un punto A de la 
lámina se obtienen diversas curvas con diferentes curvaturas.
• Curvaturas principales: son las curvaturas máxima, 1, y mínima 2.
• Clasificación de las láminas en función de su curvatura gaussiana (12)
– Láminas de doble curvatura >0  o sinclásticas: bóvedas semiesféricas, elipsoides de 
revolución, paraboloides de revolución, elípticos.
– Láminas desarrollables o de curvatura simple (=0): cilindros, conos.
Lá i d d bl 0 i lá i b l id hi bóli (“ ill d– Láminas de doble curvatura <0  o anticlásticas: paraboloides hiperbólicos (“sillas de 
montar”), hiperboloides de revolución.
Placas y láminas ‐ 68
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Esfuerzos
Tipos de esfuerzos
Placas y láminas ‐ 69
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Esfuerzos contenidos en la superficie media
• Los  puntos A,B y C están contenidos en 
la superficie media
Placas y láminas ‐ 70
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
• Integrando las componentes del tensor de tensiones a lo largo del espesor, se obtienen los 
esfuerzos por unidad de longitud
Placas y láminas ‐ 71
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
• Integrando las componentes del tensor de tensiones a lo largo del espesor, se obtienen los 
Esfuerzos no contenidos en la superficie media, de flexión o secundarios
esfuerzos por unidad de longitud
Placas y láminas ‐ 72
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Algunas consideraciones
• Aunque por la simetría del tensor de tensiones xy=yx, Nxy≠Nyx
• De la misma manera Mxy≠Myxy y
• Los esfuerzos en las láminas corresponden a un estado de membrana y a un estado de 
placa.
• La diferencia fundamental  con respecto a las placas estriba en que en las láminas, 
mediante las ecuaciones de equilibrio, los esfuerzos se encuentran acoplados por la q , p p
curvatura de la superficie media.
• Hasta ahora no se ha especificado cómo varían las tensiones a lo largo del espesor Esta• Hasta ahora no se ha especificado cómo varían las tensiones a lo largo del espesor. Esta 
distribución dependerá de las hipótesis que se realicen.
Placas y láminas ‐ 73
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Esfuerzos de membrana vs esfuerzos de flexión
• Si se asume un espesor delgado, las láminas pueden resistir muy bien tensiones en 
su plano, sin embargo son muy flexibles para resistir cortantes y momentos.
• En el caso de espesor pequeño:
• Los esfuerzos contenidos en el plano aprovechan por completo el espesor, mientras 
que los de flexión, bajo la hipótesis de la elasticidad lineal, tienen una zona que os de e ó , bajo a pótes s de a e ast c dad ea , t e e u a o a
alrededor de la superficie media que tiene una tensión normal nula.
Placas y láminas ‐ 74
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
• Si se asume que los momentos son nulos (Mx=My=Mxy=Myx=0), al plantear el
equilibrio de momentos se obtiene que Q =Q =0
Teoría de la membrana
equilibrio de momentos se obtiene que Qx=Qy=0.
• Sólo quedarían 3 incógnitas: Nx, Ny y Nxy=Nyx que se podrían calcular con las
restantes ecuaciones de equilibrio (sumatorios de fuerzas según x, y, z)
• Problema estáticamente determinado.
• Las estructuras laminares se proyectan con unos espesores y geometrías que
permitan considerar a los esfuerzos de flexión como nulos o muy pequeños y
localizados en una parte de la lámina.
• Las acciones se equilibran con los esfuerzos de membrana y los desplazamientos
tienen que ser compatibles con las condiciones de contorno.
Placas y láminas ‐ 75
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
• Los esfuerzos de membrana junto con los de borde (flexión) constituyen la solución
completa del problema
Teoría de láminas o de flexión
completa del problema.
Placas y láminas ‐ 76
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
• En términos matemáticos, la solución de la ED de la lámina tiene como solución:
Solución particular • Es la solución del estado de membrana: las
acciones externas se equilibran mediante los
esfuerzos de membrana.
• Satisface la ED pero no las condiciones de
contorno.
• Buenas soluciones (estructuras articuladas).
Solución homogéneaSolución homogénea • Es la solución de borde o de flexión: estos
esfuerzos permiten compatibilizar las cc
cinemáticas.
• La única simplificación que se puede hacer en• La única simplificación que se puede hacer en
la ED es considerar las cargas nulas.
• Conforme nos alejamos de los bordes (cc), en la
mayor parte de la lámina la solución de
Placas y láminas ‐ 77
mayor parte de la lámina, la solución de
membrana simple predomina.
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Hipótesis de Kirchhoff
1. Los puntos de la superficie media sólo tienen1. Los puntos de la superficie media sólo tienen
desplazamiento vertical.
2. Todos los puntos contenidos en una normal ap
la superficie media tienen el mismo
desplazamiento vertical.
3. La tensiónzz es despreciable.
4 Las rectas normales a la superficie media antes
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4. Las rectas normales a la superficie media antes
de la deformación permanecen rectas y
perpendiculares a la superficie media después
de la deformación.
5. El espesor es muy pequeño en comparación
con el mínimo radio principal de curvatura.
Placas y láminas ‐ 78
p p
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Membranas con simetría de revolución
Definición y aspectos geométricos significativos
• Las membranas con simetría de revolución son las generadas mediante una rotación 
de una curva plana, llamada meridiano, alrededor de un eje.  El meridiano y el eje 
y p g g
no tienen que  intersecar necesariamente.
• El meridiano es una de las secciones principales y su curvatura en cualquier punto es 
una de las curvaturas principales.
• Se define el paralelo como la curva circular resultante de la intersección de un planoSe define el paralelo como la curva circular resultante de la intersección de un plano 
horizontal con la superficie de revolución.  No es la segunda curvatura principal.• La segunda sección principal y su curvatura correspondiente es la resultante de la• La segunda sección principal y su curvatura correspondiente es la resultante de la 
intersección de la superficie de revolución  con un plano que contiene a la normal en 
el punto considerado y que es perpendicular al plano del meridiano.
Placas y láminas ‐ 79
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
• Se elige n sistema de coordenadas ortogonal en cada p nto de la lámina según
Sistema de coordenadas y relaciones generales
• Se elige un sistema de coordenadas ortogonal en cada punto de la lámina según
los meridianos y los paralelos
• R es el radio de curvatura de un punto del meridiano y R esla longitud desde el
d l lá i h l j ú l l l fi i
Placas y láminas ‐ 80
punto de la lámina hasta el eje según la normal a la superficie.
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Esfuerzos y acciones externas
• Esfuerzos de membrana: N N y N = N de acuerdo con las hipótesis de partidaEsfuerzos de membrana: N, N y N= N de acuerdo con las hipótesis de partida
y haciendo la analogía x= e y= .
• Esfuerzos de flexión: Q, Q, M, M y M= M de acuerdo con las hipótesis de
partida y haciendo la analogía x  e y partida y haciendo la analogía x= e y= .
• Acciones externas: P, P y Pz.
Ecuación de equilibrio
Placas y láminas ‐ 81
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Equilibrio según la dirección 
Contribución de NContribución de N
• Despreciando los términos de tercer orden
Placas y láminas ‐ 82
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Contribución de N (sólo la que tiene componente según la coordenada
del meridiano)
Contribución de NContribución de N
(en la siguiente diapositiva)
Placas y láminas ‐ 83
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Contribución de N
• Tomando como vista la
• Tomando como vista el perfil de la lámina según un
meridianoTomando como vista la
planta de la lámina según
un paralelo
meridiano
• La componente de N según la coordenada  será
• La componente de N según la coordenada z será
Placas y láminas ‐ 84
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
• Despreciando los términos de tercer orden
• Luego la contribución de N en el equilibrio según la
dirección del meridiano es
Placas y láminas ‐ 85
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Contribución de las acciones externas P
• Despreciando términos de tercer orden al calcular el área
• Sumando todos los términos recuadrados en magenta e igualando a cero se obtiene lag g
primera ecuación de equilibrio planteada según la dirección del meridiano. (en la
siguiente ecuación se ha considerado que r=Rsin)
Placas y láminas ‐ 86
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Equilibrio según la dirección 
Contribución de NContribución de N
• No tiene componente según el paralelo.
C t ib ió d NContribución de N
Contribución de N aplicada en los paralelos p p
• Despreciando términos de tercer orden
Placas y láminas ‐ 87
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Contribución de N aplicada en los meridianos
• Estableciendo el equilibrio según la dirección delq g
paralelo:
Operando y despreciando los términos de tercer ordenOperando y despreciando los términos de tercer orden
Placas y láminas ‐ 88
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Contribución de las acciones externas P
• Sumando todos los términos recuadrados en magenta e igualando a cero se obtiene la
segunda ecuación de equilibrio planteada según la dirección del paralelo. (en la
siguiente ecuación se ha considerado que r=Rsin)siguiente ecuación se ha considerado que r Rsin)
Equilibrio según la dirección z
Contribución de N
Placas y láminas ‐ 89
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
• Desarrollando V2 y despreciando los términos de tercer orden
• Luego la proyección de los esfuerzos del meridiano en z esLuego la proyección de los esfuerzos del meridiano en z es
Contribución de N
• Según se ha mostrado en la transparencia 84, la componente de N según la
coordenada z es :
Placas y láminas ‐ 90
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
• Despreciando términos de tercer orden al calcular el área
Contribución de las acciones externas Pz
Despreciando términos de tercer orden al calcular el área
• Sumando todos los términos recuadrados en magenta e igualando a cero se obtiene la
tercera ecuación de equilibrio planteada según la dirección normal a la lámina. (en la
ó )siguiente ecuación se ha considerado que r=Rsin)
• Recopilando las tres ecuaciones de equilibrio :
Placas y láminas ‐ 91
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
• El sistema de ED anterior permite calcularlos esfuerzos de membrana sin recurrir a
ecuaciones constitutivas.
• Al ser las cargas axisimétricas
• Luego el anterior sistema de ED se simplifica:
• Resolviendo (despejar N de la segunda ecuación y sustituir en la primera)
Placas y láminas ‐ 92
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Método de las secciones
• Se determinarán los esfuerzos de membrana seccionando una lámina de revolución
genérica por un paralelo cualquieragenérica por un paralelo cualquiera.
• Su sección 
meridional es
• Estableciendo el equilibrio de fuerzas verticales
Placas y láminas ‐ 93
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
• Despejando N.
• Ecuación que coincide con la solución de la ecuación diferencial de equilibrio
considerando la fuerza perimetral V.
• Existe una singularidad al evaluar 1/(sin en la clave si ésta es redondeada 0). En
ese caso la ecuación es una indeterminación 0/0 que puede resolverse por su límite. En
ese límite los esfuerzos de membrana según el paralelo y el meridiano coinciden.
También son coincidentes R y R. Del equilibrio según z:
Placas y láminas ‐ 94
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Ejemplos de membranas con simetría de revolución y curvatura gaussiana nula
Membrana cilíndrica
• Dada una membrana cilíndrica sometida a Pz y P=Px, se considera un elemento diferencial 
de la membrana:
Membrana cilíndrica
Pl t d l ilib i ú• Planteando el equilibrio según x:
• Ejercicio: demostrad que sale lo mismo mediante el método de las secciones.
Placas y láminas ‐ 95
j q
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
• Se opera igual que en el ejemplo anterior. En primer lugar se plantea el equilibrio según x
Membrana cónica
• Contribución de Nx (despreciandox ( p
términos de tercer orden)
• Contribución de N (ver transparencia
84 y considerar el dibujo)
• Contribución de las cargas externas
Placas y láminas ‐ 96
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
• Sumando las expresiones anteriores e igualando a cero se obtiene la primera ecuación de 
equilibrio
• Planteando ahora el equilibrio según z, sólo tienen componente en esa dirección:
• N
• Acciones externas
• Ejercicio: comprobad que la solución del sistema de ED anterior, compuesto por las dos 
ecuaciones encuadradas, coincide con la obtenida por el método de las secciones:
Placas y láminas ‐ 97
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Ejemplos de membranas con simetría de revolución y curvatura gaussiana
positiva
Membrana esférica
• De la ecuación general de equilibrio
Membrana esférica
• Ejercicio: comprobad que la solución del sistema 
de ED anterior, compuesto por las dos ecuaciones 
enmarcadas, coincide con la obtenida por elenmarcadas, coincide con la obtenida por el 
método de las secciones:
Placas y láminas ‐ 98
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Deformación de membrana con simetría de revolución
• Como se ha hecho con la ecuación de equilibrio se planteará en el caso no 
axisimétrico para posteriormente reducir las ecuaciones a este casoaxisimétrico para posteriormentereducir las ecuaciones a este caso.
Campo de desplazamientos
• La notación para los desplazamientos es:p p
• u desplazamiento según la tangente al meridiano.
• w desplazamiento según la normal exterior.
• v desplazamiento según la tangente al paralelo
• ur desplazamiento según la normal al eje de revolución.
T d d f ióTensor de deformación
• Se determinarán las 
elongaciones del paralelo g p
AB y del meridiano AC, así 
como la distorsión entre AC 
y AB
Placas y láminas ‐ 99
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
• Dimensión inicial del elemento 
Tensor de deformación: elongación del meridiano AC
diferencial de meridiano
• Dimensión después de u
• Dimensión final debida a u y a w (si w<<R , (∂w/∂)d apenas provoca elongación del 
meridiano)
Placas y láminas ‐ 100
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
• Deformación según la dirección meridional (utilizando que ds=Rd
T d d f ió l ió d l l l ABTensor de deformación: elongación del paralelo AB
• Dimensión inicial del elemento diferencial 
de paralelo
• Dimensión después de vp
Placas y láminas ‐ 101
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
• Dimensión final debida a v y a w (si ur<<r  , (∂ur /∂)d apenas provoca elongación del 
paralelo)
• Deformación según la dirección del paralelo (utilizando que ds=rd, ur=ucos+wsin y 
que r=Rsin )
Placas y láminas ‐ 102
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
• Distorsión angular a calcular
Tensor de deformación: distorsión angular meridiano‐paralelo
Al t t d ñ d f i• Al tratarse de pequeñas deformaciones 
(la tangente se puede aproximar por el 
ángulo) y considerando que ∂v/∂<<r
b é• 2 también se aproxima por su tangente
∂u/∂<<R
• CH se obtiene fácilmente
Placas y láminas ‐ 103
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
• Para determinar dr/d
• Sustituyendo dr/d en la expresión de   2, la distorsión angular queda
Placas y láminas ‐ 104
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Tensor de deformación: caso axisimétrico
• En el caso de geometría y cargas con simetría de revolución se cumple• En el caso de geometría y cargas con simetría de revolución se cumple
• Quedando las componentes del tensor de deformaciónQuedando las componentes del tensor de deformación
• Las deformaciones de membrana son homogéneas a lo largo del espesor y son 
i l t l d l fi i di
Placas y láminas ‐ 105
equivalentes a las de la superficie media
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Obtención de la ecuación diferencial de los desplazamientos. Caso axisimétrico.
• Despejando de las componentes del tensor de deformación• Despejando de las componentes del tensor de deformación
• Sustituyendo w en la primera ecuación y operando
• Resolviendo esta ED lineal de primer orden por el método de variación de las 
constantes
Placas y láminas ‐ 106
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Tensiones, ecuación constitutiva y planteamiento del problema elástico
• Tensiones (h espesor)• Tensiones (h=espesor)
• Las relaciones entre tensiones y deformaciones en elasticidad lineal es  
• Luego los esfuerzos de membrana en elasticidad lineal se pueden calcular a partir 
de las deformaciones
• Donde B es la rigidez a extensión de la lámina
Placas y láminas ‐ 107
• Donde B es la rigidez a extensión de la lámina
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
• El planteamiento del problema elástico se puede hacer en general o para el caso 
axisimétrico
GENERAL AXISIMÉTRICO
ED de equilibrio Mét. de las secciones
Esfuerzos de 
membrana Esfuerzos de membrana
Tensor de 
deformación
Tensor de deformación
ED de los 
desplazamientos
Integración de los 
desplazamientos
Placas y láminas ‐ 108
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Membranas compuestas
• Consisten en la unión de varias láminas con simetría de revolución.
T í d l b T í d lá i
Teoría de la membrana y 
d lá i
Placas y láminas ‐ 109
Teoría de la membrana Teoría de láminas de láminas
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
• En el ejemplo del depósito del centro y de los tanques de combustible del Endeavour, 
la unión de la lámina cónica con la cilíndrica da lugar a un esfuerzo radial nola unión de la lámina cónica con la cilíndrica da lugar a un esfuerzo radial no 
compensado (Nx2cos).
• El esfuerzo radial no está compensado por ninguna• El esfuerzo radial no está compensado por ninguna 
fuerza en el cilindro, por lo que introduce cortantes y 
por consiguiente momentos de flexión que afectarán a 
ambas láminas.
• El anillo de esfuerzos circunferenciales N también será 
distinto en cada lámina.
• Todo esto provocará discontinuidades en la deformación 
radial y la circunferencial.
• Estas circunstancias hacen inadecuada la teoría de la 
membrana.
• Los mencionados efectos locales de flexión se pueden 
controlar mediante anillos de rigidización.
Placas y láminas ‐ 110
Mecánica de SólidosMecánica de Sólidos
Láminas Láminas 
Anillos de rigidización
• Sea T= Nx2cos
• El anillo restringe la expansión radial del 
cilindro, violando las condiciones de 
contorno de la teoría de la membrana 
Resumen: la teoría de la membrana no es válida para resolver el problema elástico al no 
verificarse las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad
Placas y láminas ‐ 111