AI Parte A

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AERODINÁMICA I A-1
EJERCICIO A01 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 En un túnel aerodinámico cuya cámara de ensayos es bidimensional se ensaya un perfil de cuerda 
c a un cierto ángulo de ataque α. La presión en las secciones de entrada y salida de la cámara de 
ensayos es constante y de valor p∞ y la velocidad en dichas secciones es constante, horizontal y de 
valor U∞. La distribución de presiones sobre las paredes superior, ps, e inferior, pi, del túnel, 
medidas durante el ensayo son 
 
2
2
( ) cos
2 , / 2
( ) cos
2
s
i
xp x p U
l x l
xp x p U
l
ε πρ
ε πρ
∞ ∞
∞ ∞
⎫= − ⎪⎪ ≤⎬
⎪= +
⎪⎭
, 
siendo ps(x) = pi(x) = p∞ en |x| > l/2. Supuesto ε << 1, 
determine las fuerzas que el fluido ejerce sobre el 
perfil. 
 
Solución 
Tomando un volumen de control rectangular, se tiene ( )V V n pn Fρ ⋅ = − −∫ ∫ .La fuerza horizontal 
es nula pues las condiciones a la entrada y la salida son iguales. La fuerza vertical es 
/ 2 / 2
2 2
/ 2 / 2
( )d cos d 2
l l
i s
l l
x ll p p x U x U
l
περ ε ρ
π∞ ∞
− −
= − = =∫ ∫ 
 
EJERCICIO A02 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere la configuración fluida esquematizada en la figura formada por un torbellino potencial 
bidimensional de intensidad Γ, situado a una altura h sobre un suelo plano en presencia de una 
corriente incidente de velocidad U∞. Determine la fuerza sobre el torbellino en el caso Γ = 12 m2/s, 
h = 3/π m, ρ = 1,2 kg/m3 y U∞ = 11 m/s. Determine también para qué valor de la velocidad de la 
corriente incidente se presenta un punto de 
remanso en el suelo plano, justo en la vertical 
del torbellino (suponga, igual que antes Γ = 12 
m2/s, h = 3/π m y ρ = 1,2 kg/m3), y, en este 
caso, esquematice las líneas de corriente 
divisorias, indicando claramente los valores de 
los ángulos que forman estas líneas divisorias 
con el suelo cerca del punto de remanso 
considerado. 
 
Solución 
Para satisfacer la condición de contorno en el suelo plano se puede aplicar el método de las 
imágenes, de modo que el enunciado propuesto es equivalente a una corriente uniforme en 
presencia de dos torbellinos separados verticalmente entre sí una distancia 2h, el de arriba de 
intensidad Γ y el de abajo de intensidad –Γ. La velocidad en el ojo del torbellino considerado será 
pues: ( )/ 4U U hπ∞= − Γ , y la fuerza sobre el torbellino F = ρΓU. Con los datos del enunciado la 
velocidad inducida por el torbellino imagen es Γ/(4πh) = 1 m/s, de modo que la fuerza pedida vale 
144 N/m. El punto de remanso sobre el eje estará en el lugar pedido 
cuando sea ( )/U hπ∞ = Γ , es decir U∞ = 4 m/s, y en tal caso las líneas 
de corriente divisorias son como se indica en el esquema (el punto de 
remanso es doble). 
60º 60º 
h 
Γ 
U∞ 
z 
x 
x 
z 
p∞, 
U∞ 
p∞, 
U∞ 
l/2 l/2 
c 
AERODINÁMICA I A-2
EJERCICIO A03 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere la configuración fluida bidimensional formada por una corriente uniforme de 
intensidad U∞ paralela al eje x y un doblete 
de eje horizontal, de intensidad −kU∞a2. 
Determine la posición de los puntos de 
remanso y haga un esquema de las líneas de 
corriente divisorias. 
 
Solución 
El potencial complejo es 
( )
2kaf t U t
t∞
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 
y la velocidad conjugada 
2
2
d 1
d
f kaU
t t∞
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 
que se anula en it a k= ± . 
 
EJERCICIO A04 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere una edificación bidimensional, cuya forma externa es una semicircunferencia de radio 
a, situada sobre un suelo plano y sometida a una corriente potencial de intensidad U∞. En una cierta 
posición θ0 hay una pequeña ranura que 
comunica el interior de la edificación con el 
exterior. Determine el valor de θ0 para el que la 
carga aerodinámica global sobre la edificación es 
nula. 
 
Solución 
El coeficiente de presión sobre la edificación es el mismo que el de un cilindro circular de radio a, 
para el que, como es sabido, es f(t) = U∞(t+a2/t), U−iW = U∞(1−a2/t2). 
En t = aeiθ se tiene U−iW = U∞(1−e−2iθ); ⏐(U−iW )/U∞⏐2 = (1−cos2θ)2+sin22θ = 4sin2θ , de modo 
que cp = 1−⏐(U−iW )/U∞⏐2 = 1−4sin2θ . 
La carga aerodinámica sobre la superficie exterior de la edificación es 
 ( )2 2 2 2
0 0
1 1 5( )sin 1 4sin sin
2 2 3p
l U a c d U a d U a
π π
ρ θ θ θ ρ θ θ θ ρ∞ ∞ ∞= − = − − =∫ ∫ , 
y la carga sobre la superficie interior es 2 0
1 2
2 p
U acρ ∞− . Así pues, igualando ambas cargas se 
obtiene que el valor del coeficiente de presión en el interior ha de ser cp0 = −5/3, de donde se 
obtiene el resultado pedido: 0sin 2 3θ = (o bien θ0 ≅ 54,7º). 
 
EJERCICIO A05 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Calcule la fuerza que sería preciso ejercer sobre un torbellino 
bidimensional de intensidad Γ = π m2/s en presencia de paredes rectas 
semi-infinitas, tal como se ha representado en la figura, para que el 
torbellino se mantenga fijo en su posición t0 = aeiπ/4. Suponga que la 
densidad del fluido vale ρ = 1 kg/m3 y que la distancia al origen, a, vale 1 
m. 
 
x 
z 
U∞ 
doblete 
θ0 
a 
U∞ 
π/4 
a 
Γ 
AERODINÁMICA I A-3
Solución 
Para reproducir las paredes rectas se aplica el método de las imágenes, de 
modo que el problema propuesto es análogo al formado por cuatro 
torbellinos dispuestos como se indica en la figura. Para determinar la 
fuerza sobre el torbellino habrá que calcular la velocidad inducida por las 
singularidades imagen en el eje del torbellino. Estas velocidades valen 
Γ/(2πd), siendo d la distancia desde el eje del torbellino de interés y el eje 
de cualquiera de los otros (d = 2a en el caso del torbellino imagen situado 
en la bisectriz del tercer cuadrante y 2d a= para los otros dos 
torbellinos imagen). Sumando vectorialmente las distintas velocidades, el módulo de la resultante es 
4
V
a
Γ
π
= , de modo que el módulo de la fuerza vale 
2
4
F V
a
ρΓρΓ
π
= = 
 
EJERCICIO A06 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un doblete bidimensional de intensidad ka2 
m3/s, situado en el centro de un dominio fluido circular 
de radio a m. Sabiendo que el eje del doblete forma un 
ángulo π/2 con el eje x, determine la posición de los 
puntos del contorno donde la velocidad es mínima y 
donde la velocidad es máxima, indicando los valores 
vectoriales (módulo, dirección y sentido) de dichas 
velocidades mínima y máxima. Determine también la 
fuerza que el doblete ejerce sobre el contorno del 
dominio fluido 
 
Solución 
El potencial complejo de un doblete bidimensional aislado de intensidad ka2, cuyo eje forma un 
ángulo π/2 con el eje x, es ( ) 2i /F t ka t= . Al considerar la existencia de un contorno circular de 
radio a que rodea al doblete será ( ) 2i /F t ka t= − , y entonces ( )2 / iF a t kt= − , de modo que el 
potencial complejo del problema propuesto es ( ) ( )2if t k t a t= − − , que representa un doblete 
como el propuesto en presencia de una corriente uniforme vertical de intensidad k, problema 
conocido cuya velocidad conjugada vale ( )2 2d d i i 1f t U W k a t= − = − + , que se anula en t = ±ia 
(puntos de remanso) y es máxima en t = ±a, donde la velocidad vale W = 2k. La fuerza sobre el 
contorno es la misma, en módulo, que la fuerza sobre el doblete en la corriente uniforme, que, 
obviamente, es cero. 
 
EJERCICIO A07 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere la configuración fluida bidimensional formada por un 
torbellino de intensidad Γ = 3π m2/s, situado en (0,2a), en presencia de 
un círculo de radio a = 2 m. Sabiendo que la circulación alrededor del 
cilindro es nula, determine la diferencia entre las presiones en los puntos 
B(0,−a) y A(0,a), Δp = pB−pA. Suponga que la densidad del fluido vale 
ρ = 1 kg/m3. 
 
Solución 
El potencial complejo es ( ) ( )12( ) ln 2 ln ln2
if t t ia t t iaΓ
π
⎡ ⎤= − + − −⎣ ⎦ , 
x 
z 
2a 
a 
Γ 
B 
A 
x 
z 
a 
a 
a 
ka2 
AERODINÁMICA I A-4
y la velocidad conjugada: 
1
2
1 1 1
2 2
df iU iW
dt t ia t t iaΓ
π
⎛ ⎞
= − = + −⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠
. En t = ia (punto A) será U
a
Γ
π
= − , y en t = −ia (punto B) 
se tiene 
3
U
a
Γ
π
= − , de modo que, aplicando Bernoulli, resulta
2
B A 2 2
4
9
p p
a
ρΓ
π
− = , o bien, tomando 
los valores de Γ y ρ propuestos: 24p aΔ = Pa. 
 
EJERCICIO A08 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Como es sabido, el potencial complejo f(t) = Bt1/2, siendo t = reiθ y B un parámetro real, 
representa el flujo de rebordeo alrededor del extremo de una placa plana. Sabiendo que la densidad 
del fluido es ρ, determine la fuerza que aparece sobre la placa, indicando claramente su magnitud, 
dirección y sentido. 
Compare el campo de velocidades dado por el potencial complejo anterior con el que resulta de 
aplicar la transformación de Yukovski para determinar el flujo potencial alrededor de una placa 
plana, definida en el intervalo [−2a,2a] como se indica en 
la figura, que vuela a través del aire en calma en régimen 
estacionario con un ángulo de ataque α; el campo de 
velocidades de este segundo problema es: 
1 tan
2
U U θα∞
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, siendo ξ = 2acosθ, y α << 1. 
Determine el valor del parámetro B y demuestre que se cumple la paradoja de D´Alembert en el 
flujo potencial estacionario alrededor de una placa plana que vuela con ángulo de ataque pequeño 
en un medio fluido en reposo. 
 
Solución 
La velocidad conjugada vale 1/ 2d 1 cos isin i
d 2 2 22
f BBt U W
t r
θ θ− ⎛ ⎞= = − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Estableciendo el 
balance de cantidad de movimiento en la dirección del eje x en un volumen de control como el 
indicado, como n = icosθ+jsinθ, se tiene: 
 
1
( )dF U sρ− = =∫ V ni 
 
22
0
cos cos cos sin sin d
4 2 2 2
B r
r
π
ρ θ θ θθ θ θ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ 
 ( )
22
2
0
11 cos d
8 4
B B
π
ρ θ θ πρ= + =∫ . 
Por otra parte, cerca del borde de ataque de la placa plana, en la solución de Yukovski, tal como se 
explica en el apartado 3.8, la velocidad en el intradós se comporta como 
 
 1 cos 2tan 2
2 1 cos 2
a aU U U U
a
θ θ ξα α α α
θ ξ ε∞ ∞ ∞ ∞
− −
= =
+ +
, 
 
siendo ε = 2a+ξ la distancia al borde de ataque. De aquí se obtiene B = 4αU∞a1/2, y el resto es 
análogo a lo explicado en el mencionado apartado 3.8. 
 
U∞ ξ 
η 
α 
−2a 2a 
Plano τ 
x 
z 
θ 
n 
r 
1 
2 
AERODINÁMICA I A-5
EJERCICIO A09 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un obstáculo bidimensional cuya sección recta, tal como se indica en la figura, es un 
triángulo equilátero de lado L = 0,1 m, sometido a una corriente 
incidente de densidad ρ = 1,2 kg/m3 y de velocidad U∞ = 50 m/s. 
Suponiendo que en cada una de las caras del obstáculo la distribución 
de presión es constante y de valor p1 = 11,2 kPa, p2 = 9,4 kPa, y 
p3 = 11,2 kPa, donde los subíndices 1, 2 y 3 indican la cara 
correspondiente, determine el valor del coeficiente de resistencia 
aerodinámica del obstáculo sabiendo que la presión estática corriente 
arriba del obstáculo vale 10 kPa. 
 
Solución 
Como los coeficientes de presión son constantes y el ángulo que forman las caras anteriores del 
prisma con la vertical es π/6, será 
( )1 3 2 1 3 21 1cos cos6 6 2d p p p p p pc c L c L c L c c cL
π π⎛ ⎞= + − = + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 
y teniendo en cuenta que cp1 = cp3 resulta finalmente cd = cp1−cp2, donde 21
2
i
pi
p pc
Uρ
∞
∞
−
= . 
EJERCICIO A09 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere el movimiento potencial bidimensional de un 
líquido de densidad ρ = 2 kg·m−3 alrededor de un cilindro 
circular sin circulación de radio R = 1 m. Sabiendo que la 
velocidad U∞ del fluido es uniforme corriente arriba y que las 
presiones sobre el cilindro en los puntos A y B valen PA = 1500 
Pa y PB = 600 Pa, calcule el valor de la velocidad U∞. 
 
Solución 
El potencial complejo del problema es f(t) = U∞(t+R2/t), de modo que la velocidad conjugada vale 
df/dt = U∞(1−R2/t2). Así pues en t = −R (punto A) la velocidad es nula (punto de remanso) y en 
t = −iR (punto B) vale 2U∞. 
Por tanto: ( )212 2A BP P Uρ ∞= + , de donde se deduce que ( )12 2 A BU P P ρ∞ = − . 
 
EJERCICIO A10 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere el movimiento potencial bidimensional generado 
por un manantial de gasto Q = 4 m2·s−1 situado a una altura 
h = 1/π m sobre un suelo plano, en el que existe otro manantial 
que inyecta el mismo gasto Q en el semiplano considerado. Si la 
densidad de fluido es ρ = 1,2 kg·m−3, calcule la fuerza sobre el 
manantial situado en (0,h). 
 
Solución 
Al aplicar el método de las imágenes se obtienen tres manantiales, uno en el origen de intensidad 
2Q, y otros dos, ambos de intensidad Q, situado uno en (0,h) y el otro en (0,−h). La velocidad 
inducida por los dos manantiales inferiores en (0,h) es: 2 1 1 5
2 2 2 4
Q Q Qw
h h hπ π π
= + = , de forma que la 
fuerza sobre el manantial en consideración es, en módulo: 
25
4
QF Qw
h
ρρ
π
= = . 
 
1 
2 
3 
U∞ 
U∞ 
x 
z 
B 
A 
x 
z 
Q 
Q 
h 
AERODINÁMICA I A-6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
0 60 120 180 240 300 360
θ [grados] 
cp 
EJERCICIO A11 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Determine el valor de los parámetros (reales) A, B, D y E, para que la velocidad conjugada, df/dt, 
dada por la expresión 
 d 1i ( i) ; i
d
f A B D E t x z
t t
= + + + = + 
represente el flujo bidimensional alrededor de 
un perfil de cuerda c de un fluido de densidad 
ρ que incide con velocidad U∞ y ángulo α 
con la dirección del eje x, como se indica en 
la figura. El perfil proporciona una 
sustentación l. Exponga claramente las condiciones que impone para determinar los parámetros 
pedidos. 
 
Solución 
La velocidad conjugada es d 1( )
d
f B Di E Hi
t t
= + + + . Las condiciones que deben cumplirse son que 
el potencial lejos del perfil puede describirse como una corriente incidente más un torbellino 
relacionado con la sustentación. Como el perfil es una línea de corriente cerrada no puede aparecer 
ningún término de tipo manantial. Así pues, 1) Corriente incidente: ieB Di U α−∞+ = , es decir, 
cos ; sinB U D Uα α∞ ∞= = − . 2) Manantial nulo: E = 0 y b3) Sustentación: 
Γ
2π 2π
lH
Uρ ∞
= = . 
 
EJERCICIO A12 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un cilindro circular de radio a en presencia de una corriente uniforme de intensidad 
U∞. El cilindro está girando con velocidad angular Ω. Sabiendo que la circulación sobre el cilindro 
vale Γ = 2πa2Ω, dentro de la validez de la teoría potencial, 
calcule en función del parámetro k = aΩ/U∞ la expresión del 
coeficiente de presión sobre el cilindro, y represente dicha 
expresión en el gráfico adjunto en el caso k = 1/2. 
 
Solución 
( )
2 i ln
2π
af t U t t
t∞
⎛ ⎞ Γ
= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, 
2 2 2
2 2 2
d i i1 1 1 i
d 2π 2π
f a a a a a aU U U k
t a t aU t tt t t∞ ∞ ∞∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Γ Γ
= − + = − + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
( ) ( )
i
2i i i i i i
e
1 d 1 e i e e e e i ie 2sin
d t a
f k k k
U t θ
θ θ θ θ θ θ θ− − − − −
∞ =
= − + = − + = + , 
( )
2
21 d1 1 2sin
dp
fc k
U t
θ
∞
= − = − + , 
Puntos de remanso: cp(θ) = 1, o bien sinθ = k/2 
= 1/4 si k = 1/2, es decir θ ≈ 15º. 
Además con este valor de k se tiene: 
cp(90º) = –5/4 = –1.25, y 
cp(270º) = –21/4 = –5.25, 
de modo que la representación es la de la figura 
 
c U∞ 
α x 
z 
U∞ 
2a Ω 
AERODINÁMICA I A-7
EJERCICIO A13 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Para ciertos valores de n y m la función 1( , ) n nx z x mxzφ += − representa el potencial de 
velocidades de un flujo bidimensional de un líquido ideal. Determine en ese caso la ecuación de las 
líneas de corriente divisorias. 
 
Solución 
El potencial de velocidades debe cumplir Δφ = 0, es decir 1 2( 1) ( 1) 0n nn nx mnx n zφ − −Δ = + − − = , 
que se cumple para n = 2 y m = 3, luego 3 23x xzφ = − . 
La función de corriente se obtiene de la condición 2 2 2 23 3 3( )z x x z x zψ φ= = − = − , de modo que 
2 33 ( )x z z g xψ = − + , y aplicando la condición x zψ φ− = se obtiene g(x) = cte.El punto de remanso es x = 0 y z = 0 y la ecuación de la línea de corriente que pasa por ese punto es 
2 33 0x z zψ = − = , es decir, las líneas de corriente divisorias son z = 0 y 3z x= ± . 
 
EJERCICIO A14 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Calcule la posición de los puntos de remanso y dibuje las 
líneas de corriente divisorias de la configuración 
representada en la figura. Suponga Γ = kU∞a, con k = 2π . 
 
 
Solución 
( )( ) i ln( ) ln( ) 1
2
kaf t U t a t a
π∞
⎡ ⎤= + − − −⎢ ⎥⎣ ⎦
 
i , si =2
0 1
/ 2, si =3 / 4
PR
PR
PR
t a kdf kt a
t a kdt
π
ππ
= ±⎧
= → = − ⎨ = ±⎩
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIO A15 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere un perfil que se mueve con velocidad U∞ en el seno de un líquido ideal de densidad ρ, 
de manera que el campo de velocidades se puede describir por la velocidad conjugada dada por la 
expresión d 1 2( i ) ln
d 1
f t pp m
t t t
−
= − + −
+
. Determine la sustentación generada por el perfil. 
 
Solución 
Cuando t →∞ es d 2 2 2i( i )
d
f p mp m
t t t t
+ − = , por lo tanto, Γ = 4πm y l = 4π ρU∞m. 
 
x 
z 
U∞ 
Γ (−a,0) −Γ (a,0) 
AERODINÁMICA I A-8
EJERCICIO A16 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere la configuración bidimensional representada en 
la figura, formada por un manantial potencial en presencia de 
un obstáculo de sección circular de radio a = 1/π m. Sabiendo 
que la presión dinámica medida sobre el cilindro, en el punto 
(0, a), vale 60 Pa, determine la intensidad del manantial, Q. 
Suponga que la densidad del fluido es ρ = 1,2 kg·m−3. 
 
Solución 
( )( ) ln 2 ln ln
2π 2
Q af t t a t t⎡ ⎤⎛ ⎞= + + + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
, 
d 1 2 1
d 2π 2 2
f Q
t t a t a t
⎡ ⎤= + −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
; 
i
2d 1 2 1 2
d 2π 2 i 1 2i i 5π
d
t a
pf Q Q U
t a a ρ=
⎡ ⎤= + − = = =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
, de donde resulta Q = 25 m2/s. 
 
EJERCICIO A17 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Suficientemente lejos de un cierto obstáculo bidimensional, la velocidad conjugada, df/dt, del 
movimiento generado por una corriente uniforme de un líquido ideal, de densidad ρ y de intensidad 
U∞, alrededor de dicho cuerpo se puede aproximar por la expresión 
( )
2
i id
d
M N t K Jf U
t t∞
+ + +
= + 
donde A, B, C y D son constantes reales conocidas. Determine la fuerza que se ejerce sobre el 
obstáculo. 
 
Solución 
A la vista de la velocidad conjugada, df/dt = U∞ + (M + iN)/t + (K + iJ)/t2, el comportamiento a gran 
distancia de las singularidades que representan el cuerpo es equivalente a una corriente incidente 
U∞, un manantial de gasto Q = 2πM en el origen de coordenadas, un torbellino de intensidad 
Γ = 2πN, también en el origen, y un doblete, de igual manera en el origen. 
La fuerza sobre el doblete es nula, sobre el torbellino (teorema de Kutta-Yukovski) vale ρΓU∞ez 
(donde ez es el vector unitario según el eje z), y sobre el manantial −ρQU∞ex. Así pues, la fuerza 
total es 2πρU∞(−Qex + Γez). 
 
EJERCICIO A18 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Considere la configuración fluida formada por una corriente uniforme de intensidad U, dos 
manantiales de intensidad Q , uno en el origen y otro en (–a,0) y un sumidero de intensidad –2Q, 
situado en (a,0), como se indica en la figura. Razone dónde han de estar los puntos de remanso y 
haga un esquema indicando éstos y las líneas de corriente divisorias. Sabiendo que la función de 
corriente es nula, Ψ = 0, en la parte positiva del eje x, corriente abajo del sumidero, escriba el valor 
de Ψ en las líneas de corriente divisorias en el semiplano superior. 
 
Solución 
 
 
 
 
 
2a 
a Q 
x 
z 
U Q Q –2Q 
x 
z 
Ψ=0 
Ψ=0 
Ψ=0 
Ψ=Q/2 
Ψ=–Q Ψ=–Q/2 Ψ=0 Ψ=0 
AERODINÁMICA I A-9
EJERCICIO A19 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 Sabido es que el flujo alrededor de cuerpos romos a altos números de Reynolds la presión en la 
cara de barlovento del cuerpo se asemeja mucho a la proporcionada por la solución potencial, 
mientras que en la cara de sotavento la corriente normalmente está desprendida. Para evaluar el 
valor de la resistencia aerodinámica de un cable de sección circular de radio r = 2 cm, sometido a 
una corriente uniforme de un fluido de densidad ρ = 1,2 kg/m3, cuyas propiedades corriente arriba, 
velocidad y presión estática, valen U∞ = 50 m/s y p∞ = 105 Pa, respectivamente, se supone que en la 
cara anterior, 0 ≤ ⏐θ⏐ ≤ π/2, es válida la solución potencial, mientras que en la cara posterior, 
π/2 ≤ ⏐θ⏐ ≤ π, donde la corriente se supone desprendida, la presión es uniforme y de valor igual a 
la alcanzada donde se produce el desprendimiento,⏐θ⏐ = π/2. Determine el valor de la resistencia 
aerodinámica por unidad de longitud de cable. 
 
Solución 
El coeficiente de presión vale cp = 1−4sin2θ en la cara de barlovento y cp = −3 en la de sotavento. 
La contribución de la cara anterior a la resistencia inducida es 
( )
/ 2 / 2
2
0 0
22 cos d 2 1 4sin cos d
3p
q r c q r q r
π π
θ θ θ θ θ∞ ∞ ∞= − = −∫ ∫ 
y la contribución de la cara posterior vale 6 q∞r, de modo que sumando ambas contribuciones la 
resistencia aerodinámica vale16
3
q r∞ , y como q∞ = 1500 Pa, se tiene d = 10
4r N/m2. Por tanto 
d = 80 N/m si r = 1 cm, y d = 160 N/m si r = 2 cm. 
 
EJERCICIO A20 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
 En la figura adjunta se ha representado en función del número de Reynolds, Re = 2aU∞/ν, el 
coeficiente de resistencia cD de esferas de radio a sometidas a una corriente uniforme U∞. La línea 
de puntos representa el comportamiento real y la línea continua gruesa la aproximación que se 
propone utilizar en este ejercicio. En el esquema se ha dibujado un mecanismo formado por dos 
esferas, de radios a y ka, con k>1, unidas entre sí mediante una varilla (irrelevante desde el punto de 
vista aerodinámico). La varilla está anclada a un punto fijo mediante una articulación. Supuesto que 
a = 0,15 m, U∞ = 10 m/s, y ν = 1,5×10–5 m2/s, determine el valor de k para que la configuración del 
esquema (con la varilla que une las esferas perpendicular a U∞) sea de equilibrio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
Para que sea posición de equilibrio las dos fuerzas de resistencia han de ser iguales, es decir 
0 
0.2 
0.4 
0.6 
104 105 106 Re 
cD 
U∞ 
2a 
2ka 
20a 
20a 
AERODINÁMICA I A-10
2 2 2 2 2
1 2
1 1π π
2 2D D
U a c U k a cρ ρ∞ ∞= , de donde se deduce k = (cD1/cD2)
1/2. Como el número de Reynolds 
de la bola de arriba es 2×105 y el de la de abajo es 2k×105, siempre que este último sea mayor de 
4×105 hay equilibrio, pues entonces cD1/cD2 = 5 y por tanto k = 51/2 > 2.